离散数学公式
离散数学公式
基本等值式
1.双重否定律 A ?┐┐A
2.幂等律 A ? A∨A, A ? A∧A
3.交换律A∨B ? B∨A，A∧B ? B∧A
4.结合律(A∨B)∨C ? A∨(B∨C) (A∧B)∧C ? A∧(B∧C)
5.分配律A∨(B∧C) ? (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）
A∧(B∨C) ? (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
6.德·摩根律┐(A∨B) ?┐A∧┐B ┐(A∧B) ?┐A∨┐B
7.吸收律 A∨(A∧B) ? A，A∧(A∨B) ? A
8.零律A∨1 ? 1,A∧0 ? 0
9.同一律A∨0 ? A，A∧1 ? A
10.排中律A∨┐A ? 1
11.矛盾律A∧┐A ? 0
12.蕴涵等值式A→B ?┐A∨B
13.等价等值式A?B ? (A→B)∧(B→A)
14.假言易位A→B ?┐B→┐A
15.等价否定等值式 A?B ?┐A?┐B
16.归谬论(A→B)∧(A→┐B) ?┐A
求给定公式范式的步骤
(1)消去联结词→、?(若存在)。
(2)否定号的消去(利用双重否定律)或内移(利用德摩根律)。
(3)利用分配律：利用∧对∨的分配律求析取范式，∨对∧的分配律求合取范式。
推理定律--重言蕴含式
(1) A ? (A∨B) 附加律
(2) (A∧B) ? A 化简律
(3) (A→B)∧A ? B 假言推理
(4) (A→B)∧┐B ?┐A 拒取式
(5) (A∨B)∧┐B ? A 析取三段论
(6) (A→B) ∧(B→C) ? (A→C) 假言三段论
(7) (A?B) ∧(B?C) ? (A ? C) 等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) ?(B∨D) 构造性二难
(A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) ? B 构造性二难(特殊形式)
(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐D) ?(┐A∨┐C)破坏性二难
设个体域为有限集D={a1,a2,…,an},则有
（1）?xA(x) ? A(a1)∧A(a2)∧…∧A(an)
（2）?xA(x) ? A(a1)∨A(a2)∨…∨A(an)
设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则
（1）┐?xA(x) ??x┐A(x)
（2）┐?xA(x) ??x┐A(x)
设A(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，B中不含x的出现，则（1）?x(A(x)∨B) ??xA(x)∨B
?x(A(x)∧B) ??xA(x)∧B
?x(A(x)→B) ??xA(x)→B
?x(B→A(x)) ? B→?xA(x)
（2）?x(A(x)∨B) ??xA(x)∨B
?x(A(x)∧B) ??xA(x)∧B
?x(A(x)→B) ??xA(x)→B
?x(B→A(x)) ? B→?xA(x)
设A(x)，B(x)是任意的含自由出现个体变项x的公式，则
（1）?x(A(x)∧B(x)) ??xA(x)∧?xB(x)
（2）?x(A(x)∨B(x)) ??xA(x)∨?xB(x)
全称量词“?”对“∨”无分配律。
存在量词“?”对“∧”无分配律。
UI规则。
UG规则。EG规则。EI规则。
A(c)
xA(x)
或
A(y)
xA(x)
∴
?
∴
?
xA(x)
A(y)
?
∴
xA(x)
A(c)
?
∴
A(c)
xA(x)
∴
?
A∪B＝{x|x∈A∨x∈B } 、
A∩B＝{x|x∈A∧x∈B }
A－B＝{x|x∈A∧x?B }
幂集P(A)＝{x | x?A}
对称差集A⊕B＝(A－B)∪(B－A)
A⊕B＝(A∪B)－(A∩B)
绝对补集～A＝{x|x ? A }
广义并∪A＝{x | ?z(z∈A∧x∈z)} 广义交∩A＝{x | ?z(z∈A→x∈z)} 设A＝{{a,b,c},{a,c,d},{a,e,f}} B＝{{a}} C＝{a,{c,d}}
则∪A＝{a,b,c,d,e,f}
∪B＝{a}
∪C＝a∪{c,d}
∪?＝?
∩A＝{a}
∩B＝{a}
∩C＝a∩{c,d}
集合恒等式
幂等律A∪A＝A A∩A＝A
结合律(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)
交换律A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
分配律A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)
同一律A∪?＝A A∩E＝A
零律A∪E＝E A∩?＝?
排中律A∪～A＝E
矛盾律A∩～A＝?
吸收律A∪(A∩B)＝A A∩(A∪B)＝A
德摩根律A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C)A－(B∩C)＝(A－B)∪(A－C)
～(B∪C)＝～B∩～C～(B∩C)＝～B∪～C
～?＝E～E＝?
双重否定律～(～A)＝A
集合运算性质的一些重要结果
A∩B?A，A∩B?B
A?A∪B，B?A∪B
A－B?A
A－B＝A∩～B
A∪B＝B ? A?B ? A∩B＝A ? A－B＝?
A⊕B＝B⊕A
(A⊕B)⊕C＝A⊕(B⊕C)
A?⊕＝A
A⊕A＝?
A⊕B＝A⊕C ? B＝C
对偶(dual)式：一个集合表达式，如果只含有∩、∪、～、?、E、＝、?、?，那么同时把∩与∪互换，把?与E互换，把?与?互换，得到式子称为原式的对偶式。
有序对
（2）
笛卡儿积的符号化表示为A×B＝{
如果|A|=m,|B|=n,则|A×B|=mn。
笛卡儿积的运算性质
(1)对任意集合A，根据定义有
A×?＝?, ?×A＝?
(2)一般的说，笛卡儿积运算不满足交换律，即
A×B≠B×A (当A≠?∧B≠?∧A≠B 时)
(3)笛卡儿积运算不满足结合律，即
(A×B)×C≠A×(B×C) (当A≠?∧B≠?∧C≠?时)
(4)笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律，即
A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C) (B∪C)×A=(B×A)∪(C×A)
A×(B∩C)=(A×B)∩(A×C) (B∩C)×A=(B×A)∩(C×A)
(5)A?C ∧B?D ? A×B ? C×D
常用的关系
对任意集合A，定义
全域关系EA={
恒等关系IA={
空关系?
小于或等于关系：LA={
整除关系：DB={
关系矩阵和关系图
设 A={1,2,3,4}，R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}， 则R 的关系矩阵和关系图分别是
?????
????
???=00
1
000011000011M R
定义域 dom R ＝ {x | ?y(
例 求R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}的定义域、值域和域。 解答 dom R ＝{1,2,4} ran R ＝{2,3,4} fld R ＝{1,2,3,4}
逆 R-1＝{
右复合 F ?G ＝{
限制 R ↑A={
例 设R ＝{<1,2>，<1,3>，<2,2>，<2,4>，<3,2>}
R ↑{1}＝{<1,2>，<1,3>} R ↑? ＝? R ↑{2,3}＝{<2,2>，<2,4>}，<3,2>} R[{1}]＝{2,3} R[?] ＝? R[{3}]＝{2}
设F 是任意的关系，则 (1)(F-1)-1＝F
(2)dom F-1＝ran F ，ran F-1＝dom F
设F ，G ，H 是任意的关系，则 (1)(F ?G)?H ＝F ?(G ?H) (2)(F ?G)-1＝G-1 ? F-1
设R 为A 上的关系，则R ? IA ＝IA ? R ＝R
设F ，G ，H 是任意的关系，则 (1) F ?(G ∪H)＝F ?G ∪F ?H (2) (G ∪H)?F ＝G ?F ∪H ?F (3) F ?(G ∩H)?F ?G ∩F ?H (4) (G ∩H)?F ?G ?F ∩H ?F
设F为关系，A,B为集合，则
(1) F↑(A∪B)＝F↑A∪F↑B
(2) F[A∪B]＝F[A]∪F[B]
(3) F↑(A∩B)＝F↑A∩F↑B
(4) F[A∩B]?F[A]∩F[B]
关系的幂运算
设R为A上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：（1）R0＝{
（2）Rn+1＝Rn ? R
幂运算的性质
设A为n元集，R是A上的关系，则存在自然数s和t,使得Rs=Rt。设R是A上的关系，m,n∈N，则
(1)Rm ? Rn＝Rm+n (2)(Rm)n＝Rmn
设R是A上的关系，若存在自然数s,t(s (1) 对任何k∈N有Rs+k=Rt+k (2) 对任何k,i∈N有Rs+kp+i=Rs+i，其中p=t-s (3) 令S={R0，R1，…，Rt-1}，则对于任意的q∈N有Rq∈S 自反?x(x∈A→ 反自反?x(x∈A→ 对称?x?y(x,y∈A∧ 反对称?x?y(x,y∈A∧ 传递?x?y?z(x,y,z∈A∧ 关系性质的等价描述 设R为A上的关系，则 （1）R在A上自反当且仅当IA ? R （2）R在A上反自反当且仅当R∩IA＝? （3）R在A上对称当且仅当R＝R-1 （4）R在A上反对称当且仅当R∩R-1 ? IA （5）R在A上传递当且仅当R?R?R (1)若R1，R2是自反的和对称的，则R1∪R2也是自反的和对称的。 (2)若R1和R2是传递的，则R1∩R2也是传递的。 等价类的性质 设R 是非空集合A 上的等价关系，则 （1）?x ∈A ，[x]是A 的非空子集。 （2）?x,y ∈A ，如果xRy ，则[x]＝[y]。 （3）?x,y ∈A ，如果 偏序集中的特殊元素 （1）若?x(x ∈B →y ≤x)成立，则称y 为B 的最小元。 （2）若?x(x ∈B →x ≤y)成立，则称y 为B 的最大元。 （3）若?x(x ∈B ∧x ≤y →x ＝y)成立，则称y 为B 的极小元。 （4）若?x(x ∈B ∧y ≤x →x ＝y)成立，则称y 为B 的极大元 B 上界 下界 上确界 下确界 {2,3,6,12,24,36} 无 无 无 无 {6,12} 12,24,36 2,3,6 12 6 {2,3,6} 6,12,24,36 无 6 无 {6} 6,12,24,36, 2,3,6, 6 6 函数相等 由定义可知，两个函数F 和G 相等, 一定满足下面两个条件： （1）dom F ＝dom G （2）?x ∈dom F ＝dom G ，都有 F(x )＝G(x ) 所有从A 到B 的函数的集合记作BA ，读作“B 上A ”，符号化表示为 BA ＝{f | f ：A →B} 。 例：设A ＝{1,2,3}，B ＝{a,b}，求BA 。 BA ＝{ f 0, f 1, f 2, f 3, f 4, f 5, f 6, f 7} 。其中 f 0＝{<1,a>,<2,a>,<3,a>} f 1＝{<1,a>,<2,a>,<3,b>} f 2＝{<1,a>,<2,b>,<3,a>} f 3＝{<1,a>,<2,b>,<3,b>} f 4＝{<1,b>,<2,a>,<3,a>} f 5＝{<1,b>,<2,a>,<3,b>} f 6＝{<1,b>,<2,b>,<3,a>} f 7＝{<1,b>,<2,b>,<3,b>} 设f :A →B ，（1）若ran f ＝B ，则称f :A →B 是满射(surjection )的。 （2）若?y ∈ran f 都存在唯一的x ∈A 使得f (x )＝y ，则称 f :A →B 是单射(injection )的。 B 最大元 最小元 极大元 极小元 {2,3,6,12,24,36} 无 无 24，36 2,3 {6,12} 12 6 12 6 {2,3,6} 6 无 6 2,3 {6} 6 6 6 6 36 3 24 2 12 6 （3）若f 既是满射又是单射的，则称f:A→B是双射(bijection) 单射双射函数满射 例：判断下面函数是否为单射、满射、双射的，为什么? (1) f：R→R，f(x)= -x2+2x-1 (2) f：Z+→R，f(x)=ln x，Z+为正整数集 (3) f：R→Z，f(x)=?x?(4) f：R→R，f(x)=2x+1。 解（1）f 在x=1取得极大值0。既不是单射也不是满射的。 （2）f 是单调上升的，是单射的，但不满射。ran f={ln1, ln2, …}。 （3）f 是满射的，但不是单射的，例如f(1.5)=f(1.2)=1。 （4）f 是满射、单射、双射的，因为它是单调函数并且ran f=R。 例：(1) 给定无向图G＝ E={(v1,v1),(v1,v2),(v2,v3),(v2,v3),(v2,v5),(v1,v5),(v4,v5)}. (2) 给定有向图D= E＝{ 画出G与D的图形。 邻域：NG(v1) ＝{v2，v5} 后继元集：Г+D(d ) ＝{c} 闭邻域：NG(v1) ＝{v1，v2，v5} 先驱元集：Г-D(d ) ＝{a，c} 关联集：IG(v1) ＝{e1，e2，e3} 邻域：ND(d ) ＝{a，c} 闭邻域：ND(d )＝{a，c，d} d(v1)＝4(注意，环提供2度)，出度：d+(a)＝4，入度：d-(a)＝1 △＝4，δ＝1，(环e1提供出度1，提供入度1)， v4是悬挂顶点，e7是悬挂边。d(a)＝4+1＝5。△＝5，δ＝3， △+＝4 (在a点达到) 度数列为4,4,2,1,3。δ+＝0(在b点达到) △-＝3(在b点达到) δ-＝1(在a和c点达到) 按字母顺序，度数列：5,3,3,3 出度列：4,0,2,1 入度列：1,3,1,2 a b c 1 2 3 d a b c 1 2 3 4 a b c 1 2 3 4 d a b c 1 2 3 4 d 设G＝ （1）G是树。（2）G中任意两个顶点之间存在唯一的路径。 （3）G中无回路且m＝n-1。（4）G是连通的且m＝n-1。 （5）G是连通的且G中任何边均为桥。 （6）G中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。例题已知无向树T中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构的无向树。 解答设有x片树叶，于是结点总数 n＝1+2+x＝3+x 由握手定理和树的性质m＝n-1可知， 2m＝2(n-1)＝2×(2+x) ＝1×3+2×2+x 解出x＝3，故T有3片树叶。 故T的度数应为1、1、1、2、2、3。 求最小生成树的算法（避圈法(Kruskal)） (1)设n阶无向连通带权图G＝ (2)取e1在T中。 (3)依次检查e2,…,em，若ej(j≥2)与已在T中的边不构成回路，取ej也在T中，否则弃去ej。 (4)算法停止时得到的T为G的最小生成树为止。 例：求下图所示两个图中的最小生成树。 W(T1)＝6 W(T2)＝12 T是n(n≥2)阶有向树， (1) T为根树—T中有一个顶点入度为0，其余顶点的入度均为1 (2) 树根——入度为0的顶点 (3) 树叶——入度为1，出度为0的顶点 (4) 内点——入度为1，出度不为0的顶点 (5) 分支点——树根与内点的总称 (6) 顶点v的层数——从树根到v的通路长度 (7) 树高——T中层数最大顶点的层数 根树的画法：树根放上方，省去所有有向边上的箭头。 树叶——8片内点—— 6个分支点—— 7个高度—— 5 求带权为1、1、2、3、4、5的最优树。 W(T)=38 中序行遍法：b a (f d g) c e前序行遍法：a b (c (d f g) e) 后序行遍法：b ((f g d) e c) a 应用高等数学等价替换公式 1、无穷小量： 设0）x （g lim ）x （f lim 0 x x x x ==→→ *1）若0） x （g ） x （f lim x x =→，f （x ）是g （x ）的 高阶 无穷小 *2）若∞=→） x （g ） x （f lim x x ，f （x ）是g （x ）的 低阶 无穷小 *3）若c ） x （g ） x （f lim x x =→，f （x ）是g （x ）的 同阶 无穷小 *4）若1） x （g ） x （f lim x x =→，f （x ）是g （x ）的 等价 无穷小 *5）若0） x （g ） x （f lim k x x 0 =→，f （x ）是g （x ）的 k 阶 无穷小 2、等价替换： 若x →x 0，f （x ）~ f 1（x ），g （x ）~ g 1（x ） 则=→）x （g ） x （f lim x x ） x （g ）x （f lim 11x x 0→ 6、常用等价形式： 当f （x ）→0时 *1）sinf （x ）~ f （x ） *2）arc sinf （x ）~ f （x ） *3）tanf （x ）~ f （x ） *4）arc tanf （x ）~ f （x ） *5）In （1+f （x ））~ f （x ） *6）e f （x ）-1~ f （x ） *7）1-cosf （x ）~ 2 ） x （f 2 *8）（1+f （x ））α -1~ αf （x ） 二、函数的连续： 1、间断点： *1）第一类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）均 存在的 间断点 ⑴跳跃间断点： f -（x 0）≠f +（x 0） ⑵可去间断点： f -（x 0）=f +（x 0） *2）第二类间断点：f -（x 0）、f +（x 0）至少有一个 不存在的 间断点 ⑴无穷间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个为 ∞ ⑵振荡间断点： f -（x 0）、f +（x 0）中至少有一个 振荡不存在 三、导数： 1、定义：）x （f '= x △） x （f -）x △x （f lim 000 x △+→ 2、导数的常见形式： *1） 0 0x x 0x -x ） x （f -）x （f lim ）x （f 0 →=' *2） h ） x （f -）h x （f lim ）x （f 000 h +='→ 离散数学必备知识点总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项(m)之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R的顺序依次写； 6.真值表中值为1的项为极小项，值为0的项为极大项； 7.n个变元共有n2个极小项或极大项，这n2为(0~n2-1)刚好为化简完后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法(=>)：真值表法；分析法(假定前键为真推出后键为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P规则，T规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取^; 3.既有存在又有全称量词时，先消存在量词，再消全称量词； 第四章集合 1.N，表示自然数集，1,2,3……，不包括0； 2.基：集合A中不同元素的个数，|A|； 3.幂集：给定集合A，以集合A的所有子集为元素组成的集合，P(A)； 4.若集合A有n个元素，幂集P(A)有n2个元素，|P(A)|=||2A=n2； 5.集合的分划：(等价关系) ①每一个分划都是由集合A的几个子集构成的集合； ②这几个子集相交为空，相并为全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比较： 分划：每个元素均应出现且仅出现一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次； 第五章关系 1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×B的基 2种不同的关系； 数为mn，A到B上可以定义mn 2.若集合A有n个元素，则|A×A|=2n，A上有22n个不同的关系； 离散数学图论与系中有图题目 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 图论中有图题目 一、 没有一个简单的办法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。Welch-Powell 给出了一个使颜色数尽可能少（不一定最少）的结点着色方法，在实际使用中比较有效： 第1步、 将图的结点按度数的非增顺序排列；第2步、用第1种颜色给第1个结点着色，并按照结点排列顺序，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不邻接的结点着色；第3步、换一种颜色对尚未着色的结点按上述方法着色，如此下去，直到所有结点全部着色为止。 例1 分别求右面两图的色数 （1）由于（1）中图G 中无奇数长的基本回路，由定理可知()2G χ=。 （2）由于（2）中图G 含子图轮图4W ，由于()44W χ=，故()4G χ≥。又因 为此图的最大度()4G ?=，G 不是完全图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知()()4G G χ≤?=，因而()4G χ=。 （对n 阶轮图n W ，n 为奇数时有()3n W χ=，n 为偶数时有()4n W χ=；对n 阶零图n N ，有()1n N χ=；完全图n K ，有()n K n χ=；对于二部图12,,,G V V E E =<>=Φ时即()1n N χ=，E ≠Φ时即()2G χ=；在彼得森图G 中，存在奇数长的基本回路，因而()3G χ≥，又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路，且()3G ?=，由定理()3G χ≤，故()3G χ=） 例 2 给右边三个图的顶点正常着 色，每个图至少需要几种颜色。 答案：（1） ()2G χ=；（2） ()3G χ=； （3）()4G χ= 例3 有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T 要放进贮藏室保管。出于安全原因， 下列各组药品不能贮在同一个室内：A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B, 4个结点、6个结点和8个结点的三次正则图 (2) (1) (3) (2)(1) 、基本等值式 ⑴双重否定律 A A ⑵籍等律 A A A A A V A A ⑶交换律 A A B BA A A V B BV A ⑷结合律 A V (B V C) (A V B) V C A A (B A C) (A A B) A C ⑸分配律 A V (B A C) (A V B) A (A V C) A A (B V C) (A A B) V (A A C) (6)德摩根律(A V B) AA B (A A B) AV B ⑺吸收律 A (8)零律A ⑼同一律 A (10) 排中律 A (11) 矛盾律 A (12) 蕴含等值式A (13) 等价等值式A V (A A B) V1 1 A1 A V A 1 A A 0 B AV B (A A A A A B B) A (B A) A (A V B) A 0 0 V 0 A A A B (AV B) A (A V B) A B (A A B) V ( AA B ) (14) 假言易位ABBA (15) 等价否定等值式ABA B (16)归谬论(A B) A (A B) A 一、推理定律里口编涵式 1.A ( A B) 附加律 2.( A B) A 化简律 3.( A B) A B 假言推理 4.( A B) B A 拒取式 5.( A B) B A 析取三段论 6.( A B) (B C) (A 假言三段论 7.( A B) (B Q (A C) 等价三段论 8.( A B) (C D) (A C) (B D) 构造性二难 (A B) ( A B) B 构造性二难(特殊形式) 9.( A B) (C D) ( B D) ( A Q 破坏性二难 三、量词辖域收缩与扩张 x(A(x) V B) xA(x) VB x(A(x) A B) xA(x) AB x(A(x) —B) xA(x) F x(B t A(x)) B T xA(x) x(A(x) V B) xA(x) VB x(A(x) A B) xA(x) A B x(A(x) —B) xA(x) F x(B t A(x)) B T xA(x) 四、量词分配 x(A(x) A B(x)) xA(x) A xB(x) x(A(x) V B(x)) xA(x) V xB(x) x(A(x) V B(x)) xA(x) V xB(x) 第二章谓词逻辑 2—1基本概念 例题1. 所有的自然数都是整数。 设N(x):x是自然数。I(x):x是整数。此命题可以写成?x(N(x)→I(x)) 例题2. 有些自然数是偶数。 设E(x):x是偶数。此命题可以写成?x(N(x)∧E(x)) 例题3. 每个人都有一个生母。 设P(x):x是个人。M(x,y):y是x的生母。此命题可以写 成:?x(P(x)→?y(P(y)∧M(x,y))) 2-2 谓词公式及命题符号化 例题1. 如果x是奇数,则2x是偶数。 其中客体x与客体2x之间就有函数关系,可以设客体函数g(x)=2x, 谓词O(x):x是奇数,E(x):x是偶数, 则此命题可以表示为:?x(O(x)→E(g(x))) 例题2 小王的父亲是个医生。 设函数f(x)=x的父亲,谓词D(x):x是个医生,a:小王,此命题可以表示为D(f(a))。 例题3 如果x和y都是奇数,则x+y是偶数。 设h(x,y)=x+y ,此命题可以表示为:?x?y((O(x)∧O(y))→E(h(x,y)) 命题的符号表达式与论域有关系 两个公式:一般地,设论域为{a1,a2,....,an},则有 (1). ?xA(x)?A(a1)∧A(a2)∧......∧A(an) (2). ?xB(x)?B(a1)∨B(a2)∨......∨B(an) 1.每个自然数都是整数。该命题的真值是真的。 表达式?x(N(x)→I(x))在全总个体域的真值是真的, 因?x(N(x)→I(x))?(N(a1)→I(a1))∧(N(a2)→I(a2))∧…∧(N(an)→I(an)) 式中的x不论用自然数客体代入,还是用非自然数客体代入均为真。例如(N(0.1)→I(0.1))也为真。 而?x(N(x)∧I(x))在全总个体域却不是永真式。 离散数学图论单元测验题 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1、在图G ＝ 离散数学基础试题（二） 一、判断题（每题2分，共12分） 1.在命运题逻辑中，任何命题公式的主合取范式都是存在的，并且是唯一的。（） 2.与是不等值的（） 3.设是非连通平面图G的对偶图，设分别为的顶点数，边数和面数，则它们之间满足欧拉公式：。（） 4.设无向图G具有割点，则G中一定不存在哈密尔顿通路。（） 5.设，A上的恒等关系既是A上的等价关系也是A上的偏序关系。（） 6.设A,B,C,D均为非空的集合，已知A*B且C*D，则一定有。（） 二、填空题（每小题3分，共30分） 1.设p:小王走路,q:小王听音乐,在命题逻辑中，命题“小王边走路边听音乐”的符号化形式为___________________。 2.设F(x):x是人，H(x,y):x与y一样高，在一阶逻辑中，命题“人都不一样高”的符号化形式为_________________。 3.的成真赋值为________________________。 4.设G是n阶无向带权边通图，各变的权均为a(a>0),设T是G的一棵最小生成树，则T的权W(T)=_______________________。 5.设G1,G2,G3,G4都是4阶3条边的无向简单图，则它们之间至少有 ___________________个是同构的。 6．设G是n（n2）阶二部图，又是平面图，则命题“G的对偶图是欧拉图”的真值为_______________________。 7.设为整数集，，则f的值域ranf=___________。 8.设则A上共有____________个不同的等价关系。 9.设，恒等关系IA的传递闭包t(IA)=_________________。 无穷小 极限的简单计算 【教学目的】 1、理解无穷小与无穷大的概念； 2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限； 3、不同类型的未定式的不同解法。 【教学内容】 1、无穷小与无穷大； 2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换； 4、求极限的方法。 【重点难点】 重点是掌握无穷小的性质与比较 用等价无穷小求极限。 难点是未定式的极限的求法。 【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（30分钟），在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上,让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法（20分钟）。最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 一、无穷小与无穷大 1.定义 前面我们研究了∞→n 数列n x 的极限、∞→x （+∞→x 、+∞→x ）函数() x f 的极限、0x x →（+→0x x 、- →0x x ）函数()f x 的极限这七种趋近方式。下面 我们用 →x ＊表示上述七种的某一种趋近方式，即 ＊{ } - + →→→-∞→+∞→∞→∞→∈00 x x x x x x x x x n 定义：当在给定的→x ＊下，()f x 以零为极限，则称()f x 是→x ＊下的无穷小，即()0lim =→x f x ＊ 。 例如, ,0sin lim 0 =→x x Θ .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x ,01lim =∞→x x Θ .1 时的无穷小是当函数∞→∴x x ,0)1(lim =-∞→n n n Θ .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n n n 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何 非零常量都不是无穷小。 数理逻辑部分 第2章一阶逻辑 2.1 一阶逻辑基本概念 个体词（个体）: 所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a, b, c表示 个体变项：抽象的事物，用x, y, z表示 个体域: 个体变项的取值范围 有限个体域，如{a, b, c}, {1, 2} 无限个体域，如N, Z, R, … 全总个体域: 宇宙间一切事物组成 谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词 谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F 一元谓词: 表示事物的性质 多元谓词(n元谓词, n≥2): 表示事物之间的关系 如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：x≥y，… 0元谓词: 不含个体变项的谓词, 即命题常项或命题变项 量词: 表示数量的词 全称量词?: 表示任意的, 所有的, 一切的等 如?x 表示对个体域中所有的x 存在量词?: 表示存在, 有的, 至少有一个等 如?x表示在个体域中存在x 一阶逻辑中命题符号化 例1 用0元谓词将命题符号化 要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1) 墨西哥位于南美洲 在命题逻辑中, 设p:墨西哥位于南美洲 符号化为p, 这是真命题 在一阶逻辑中, 设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲 符号化为F(a) 例2 在一阶逻辑中将下面命题符号化 (1)人都爱美; (2) 有人用左手写字 分别取(a) D为人类集合, (b) D为全总个体域 . 解：(a) (1) 设G(x)：x爱美, 符号化为?x G(x) (2) 设G(x)：x用左手写字, 符号化为?x G(x) (b) 设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中 离散数学部分概念和公式总结 命题：称能判断真假的陈述句为命题。 命题公式：若在复合命题中，p、q、r等不仅可以代表命题常项，还可以代表命题变项，这样的复合命题形式称为命题公式。 命题的赋值：设A为一命题公式，p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值，称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真，则称成真赋值。真值表：含n（n≥1）个命题变项的命题公式，共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表，称为A的真值表。 命题公式的类型：（1）若A在它的各种赋值下均取值为真，则称A为重言式或永真式。 （2）若A在它的赋值下取值均为假，则称A为矛盾式或永假式。 （3）若A至少存在一组赋值是成真赋值，则A是可满足式。 主析取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项，则称该析取范式为A的主析取范式。 主合取范式：设命题公式A中含n个命题变项，如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项，则称该析取范式为A的主析取范式。 命题的等值式：设A、B为两命题公式，若等价式A?B是重言式，则称A与B是等值的，记作A<=>B。 约束变元和自由变元：在合式公式?x A和?x A中，称x为指导变项，称A为相应量词的辖域，x称为约束变元，x的出现称为约束出现，A中其他出现称为自由出现（自由变元）。一阶逻辑等值式：设A，B是一阶逻辑中任意的两公式，若A?B为逻辑有效式，则称A与B是等值的，记作A<=>B，称A<=>B为等值式。 前束范式：设A为一谓词公式，若A具有如下形式Q1x1Q2x2Q k…x k B，称A为前束范式。集合的基本运算：并、交、差、相对补和对称差运算。 笛卡尔积：设A和B为集合，用A中元素为第一元素，用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积，记为A×B。 二元关系：如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对，则称集合R是一个二元关系。特殊关系：（1）、空关系：Φ（2）全域关系：EA={ 这个问题很多人都搞不明白，很多自认为明白的人也不负责任地说一句“乘除可以，加减不行”，包括不少高校教师。其实这种讲法是不对的！关键是要知道其中的道理，而不是记住结论。 1.做乘除法的时候一定可以替换，这个大家都知道。 如果f(x)～u(x)，g(x)～v(x)，那么lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。关键要记住道理 lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x) 其中两项的极限是1，所以就顺利替换掉了。 2.加减法的时候也可以替换！但是注意保留余项。 f(x)～u(x)不能推出f(x)+g(x)～u(x)+g(x)，这个是很多人说不能替换的原因，但是如果你这样看： f(x)～u(x)等价于f(x)=u(x)+o(f(x))，那么f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x))，注意这里是等号，所以一定是成立的！ 问题就出在u(x)+g(x)可能因为相消变成高阶的无穷小量，此时余项o(f(x))成为主导，所以不能忽略掉。当u(x)+g(x)的阶没有提高时，o(f(x))仍然是可以忽略的。 比如你的例子，ln(1+x)+x是可以替换的，因为 ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x)， 所以ln(1+x)+x和2x是等价无穷小量。 但是如果碰到ln(1+x)-x，那么 ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x)， 此时发生了相消，余项o(x)成为了主导项。此时这个式子仍然是成立的！只不过用它来作为分子或分母的极限问题可能得到不定型而无法直接求出来而已。 碰到这种情况也不是说就不能替换，如果你换一个高阶近似： ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2) 那么 ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2) 这个和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的，但是是更有意义的结果，此时余项o(x^2)可以忽略。也就是说用x-x^2/2作为ln(1+x)的等价无穷小量得到的结果更好。 理学院 《离散数学基础》实验教学大纲 课程名称：离散数学基础实验 课程编号：080J21A 课程总学时：51 实验学时数：17 课程总学分：2.5 实验学分：0.5 开设实验项目数：5 一、实验教学目的 面向离散数学在计算机中的应用，通过实验操作，使学生掌握研究计算机科学的基础理论，进一步提高学生的抽象思维与逻辑推理能力，增强实际应用能力。 二、实验项目内容、基本要求与学时分配 注：1、实验类型：演示、验证、操作、综合、设计、研究。2、实验要求：指必做、选做。 三、实验考核方式与标准 实验考核以学生的实验态度、掌握的实验理论、实际操作技能和实验报告等为主，各单项考核内容所占分数比例为：实验态度占10%、实验理论占15%；操作技能占50%；实验报告占25%。 四、实验教材与参考书 推荐教材：《离散数学》（修订版），耿素云屈婉玲编著，高等教育出版社，2004年。 主要参考书：《离散数学导论》第二版，徐洁磬编著，高等教育出版社，1997年。 《离散数学》， [美]S.利普舒尔茨， M.利普森，周兴和、孙志人、张学斌译, 科学出版社和麦格劳-希尔教育出版集团, 2001年。 《计算方法》实验教学大纲 课程名称：计算方法实验 课程编号：080J22B 课程总学时：85 实验学时数：34 课程总学分：4 实验学分：1 开设实验项目数：5 一、实验教学目的 本课程以MATLAB或C为编程语言，将《计算方法》课程中的常用算法用MATLAB语言描述并上机进行数值实验。通过实验，使学生进一了解各个算法的特点及适用范围，提高学生用计算机解决实际问题的能力。 二、实验项目内容、基本要求与学时分配 三、实验考核方式与标准 实验考核以学生的实验态度、掌握的实验理论、实际操作技能和实验报告等为主，各单项考核内容所占分数比例为：实验态度占10%、实验理论占15%；操作技能占50%；实验报告占25%。 四、实验教材与参考书 1、《计算机数值方法》（第二版），施吉林等，高教出版社出版，2005年 2、《计算方法引论》（第二版），徐翠薇、孙绳武，高等教育出版社，2002 总结离散数学知识点 第二章命题逻辑 1.→，前键为真，后键为假才为假；<—>，相同为真，不同为假； 2.主析取范式：极小项 (m) 之和；主合取范式：极大项(M)之积； 3.求极小项时，命题变元的肯定为1，否定为 0，求极大项时相反； 4.求极大极小项时，每个变元或变元的否定只能出现一次，求极小项 时变元不够合取真，求极大项时变元不够析取假； 5.求范式时，为保证编码不错，命题变元最好按P,Q,R 的顺序依次写； 6.真值表中值为 1 的项为极小项，值为0 的项为极大项； 7.n 个变元共有2n个极小项或极大项，这2n为(0~ 2n -1)刚好为化简完 后的主析取加主合取； 8.永真式没有主合取范式，永假式没有主析取范式； 9.推证蕴含式的方法 (=>) ：真值表法；分析法 (假定前键为真推出后键 为真，假定前键为假推出后键也为假) 10.命题逻辑的推理演算方法：P 规则， T 规则 ①真值表法；②直接证法；③归谬法；④附加前提法； 第三章谓词逻辑 1.一元谓词：谓词只有一个个体，一元谓词描述命题的性质； 多元谓词：谓词有n 个个体，多元谓词描述个体之间的关系； 2.全称量词用蕴含→，存在量词用合取 ^; 3.既有存在又有全称量，先消存在量，再消全称量； 第四章集合 1.N ，表示自然数集， 1,2,3 ??，不包括 0； 2.基：集合 A 中不同元素的个数， |A|； 3.集：定集合 A，以集合 A 的所有子集元素成的集合，P(A) ； 4.若集合 A 有 n 个元素，集 P(A) 有2 n个元素， |P(A)|= 2| A| = 2 n； 5.集合的分划： (等价关系 ) ①每一个分划都是由集合 A 的几个子集构成的集合； ② 几个子集相交空，相并全(A)； 6.集合的分划与覆盖的比： 分划：每个元素均出且出一次在子集中； 覆盖：只要求每个元素都出，没有要求只出一次； 第五章关系 1.若集合 A 有 m 个元素，集合 B 有 n 个元素，笛卡 A×B 的基数mn， A 到 B 上可以定2mn种不同的关系； 2.若集合 A 有 n 个元素， |A ×A|= n2，A 上有2n2个不同的关系； 3.全关系的性：自反性，称性，性； 空关系的性：反自反性，反称性，性； 图论练习题 一.选择题 1、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是( )。 (1) 欧拉图(2) 树(3) 平面图(4)连通图 2、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？() (1) {0，10，110，101111}(2) {01，001，000，1} (3) {b，c，aa，ab，aba}(4) {1，11，101，001，0011} 3、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。 4、设G是一棵树，则G 的生成树有( )棵。 (1) 0(2) 1(3) 2(4) 不能确定 5、n阶无向完全图Kn 的边数是( )，每个结点的度数是( )。 6、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。 7、一个图的欧拉回路是一条通过图中( )的回路。 8、有n个结点的树，其结点度数之和是()。 9、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码( )。 (1) {a，ab，110，a1b11} (2) {01，001，000，1} (3) {1，2，00，01，0210} (4) {12，11，101，002，0011} 10、n个结点的有向完全图边数是( )，每个结点的度数是( )。 11、一个无向图有生成树的充分必要条件是( )。 12、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则 (1) n=m (2) m=n+1 (3) n=m+1 (4) 不能确定。 13、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在( )片树叶。 14、任何连通无向图G至少有( )棵生成树，当且仅当G 是( )，G的生成树只有一棵。 15、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于: (1) m-n+2 (2) n-m-2 (3) n+m-2 (4) m+n+2。 16、设T是一棵树，则T是一个连通且( )图。 17、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 16 18、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有( )个顶点。 (1) 10 (2) 4 (3) 8 (4) 12 离散数学基本知识 体积和表面积三角形的面积,底×高?2。公式S= a×h?2 正方形的面积,边长×边长公式 S= a2 长方形的面积,长×宽公式S= a×b 平行四边形的面积,底×高公式S= a×h 梯形的面积,(上底+下底)×高?2 公式 S=(a+b)h?2 内角和:三角形的内角 和,180度。 长方体的表面积,(长×宽，长×高，宽×高) ×2 公 式:S=(a×b+a×c+b×c)×2 正方体的表面积,棱长×棱长×6 公式: S=6a2 长方体的体积,长×宽×高公式:V = abh 长方体(或正方体)的体积,底面积×高公式:V = abh 正方体的体积,棱长×棱长×棱长公式:V = a3 圆的周长,直径×π公式:L,πd,2πr 1 圆的面积,半径×半径×π公式:S,πr2 圆柱的表(侧)面积:圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。公 式:S=ch=πdh,2πrh 圆柱的表面积:圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式:S=ch+2s=ch+2πr2 圆柱的体积:圆柱的体积等于底面积乘高。公式:V=Sh 圆锥的体积,1/3底面×积高。公式:V=1/3Sh 算术 1、加法交换律:两数相加交换加数的位置，和不变。 2、加法结合律:a + b = b + a 3、乘法交换律:a × b = b × a 4、乘法结合律:a × b × c = a ×(b × c) 5、乘法分配律:a × b + a × c = a × b + c 6、除法的性质:a ? b ? c = a ?(b × c) 7、7、除法的性质:在除法里，被除数和除数同时扩大(或缩小)相同的倍数，商不变。 O除以任何不是O的数都得O。简便乘法:被乘数、乘数末尾有O的乘法，可以先把O前面的相乘，零不参加运算，有几个零都落下，添在积的末尾。 8、 8、有余数的除法: 被除数,商×除数+余数方程、代数与等式 2 9、等式:等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质:等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数，等式仍然成立。 10、方程式:含有未知数的等式叫方程式。一元一次方程式:含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。 11、代数: 代数就是用字母代替数。代数式:用字母表示的式子叫做代数式。如:3x =ab+c 分数:把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几分的数,叫做分数。 分数大小的比较:同分母的分数相比较，分子大的大，分子小的小。异分母的分数相比较，先通分然后再比较;若分子相同，分母大的反而小。 分数的加减法则:同分母的分数相加减，只把分子相加减，分母不变。异分母的分数相加减， 先通分，然后再加减。 分数乘整数，用分数的分子和整数相乘的积作分子，分母不变。 分数乘分数，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作为分母。 3 离散数学总结 班级：学号：姓名： 临近期末各科课程已经结束，随之而来就是总结各科学习总结和对这门学科的建议。《离散数学》这门课程当然也不会例外了。经过一个学期的学习我发现《离散数学》是一门理论性非常强的课程，而且知识点非常多，定义和定理以及定律是数之不尽。 《离散数学》顾名思义就是一门数学，它是数学众多领域中的一个小分支，即使是一个小小的分支，但是它的内容也非常之多，同时也非常抽象。自认我的数学成绩还是不错的，但是面对《离散数学》我就头痛，书本里面很多知识点我都是似懂非懂地。但鉴于《离散数学》在计算科学中的重要性，这是一门必须牢牢掌握的课程。因此我也很无奈，只好硬着头皮去学好它了。 离散数学是理论性较强的学科，学习离散数学的关键是对离散数学(集合论、数理逻辑和图论)有关基本概念的准确掌握，对基本原理及基本运算的运用，并要多做练习。 《离散数学》的特点是： 1、知识点集中，概念和定理多。《离散数学》是建立在大量概念之上的逻辑推理学科，概念的理解是我们学习这门学科的核心。不管哪本离散数学教材，都会在每一章节列出若干定义和定理，接着就是这些定义定理的直接应用。掌握、理解和运用这些概念和定理是学好这门课的关键。要特别注意概念之间的联系，而描述这些联系的则是定理和性质。 2、方法性强：离散数学的特点是抽象思维能力的要求较高。通过对它的学习，能大大提高我们本身的逻辑推理能力、抽象思维能力和形式化思维能力，从而今后在学习任何一门计算机科学的专业主干课程时，都不会遇上任何思维理解上的困难。《离散数学》的证明题多，不同的题型会需要不同的证明方法（如直接证明法、反证法、归纳法等），同一个题也可能有几种方法。但是《离散数学》证明题的方法性是很强的，如果知道一道题用什么方法讲明，则很容易可以证出来，否则就会事倍功半。因此在平时的学习中，要勤于思考，对于同一个问题，尽可能多探讨几种证明方法，从而学会熟练运用这些证明方法，再者要善于总结。 在学习《离散数学》的过程中，我明白了理解概念是至关重要的。只有概念明确，才有可能将离散数学学好。但是初学者往往不能够将概念与现实世界中的事物联系起来，这是学好离散数学的基础，因此也是初学者面临的一个困难。只有克服它，你才能有可能学好《离散数学》。 学完这门课后，我总结到了，如果你想学得更好——你可以在进行完一章的学习后，用专门的时间对该章包括的定义与定理实施强记。只有这样才可能本课程的抽象能够适应，并为后续学习打下良好的基础。而且必须及时复习和总结。 《离散数学》是一门数学科，大家都知道学数学就是要大量做数学，因此《离散数学》也不会例外。学习数学不仅限于学习数学知识，更重要的还在于学习数学的思维方法。这一点非常重要。 课程虽然是上完了，但是老师你的教学方法独特而新颖，思想开化而先进，是个容易沟通的老师。有你带着我们学习《离散数学》就是我们不想学好，我想也是很难吧！就我来说每次上课时在我快要与“周公”会面之际，你突然一个笑话和雷人的语录，我和“周公”迫不得已就分开了。当我再次看到周公时，耳边 怎样学好离散数学 最常和理论计算机科学放在一起的一个词是什么？答：离散数学。这两者的关系是如此密切，以至于它们在不少场合下成为同义词。（这一点在前面的那本书中也有体现）传统上，数学是以分析为中心的。数学系的同学要学习三四个学期的数学分析，然后是复变函数，实变函数，泛函数等等。实变和泛函被很多人认为是现代数学的入门。在物理，化学，工程上应用的，也以分析为主。 随着计算机科学的出现，一些以前不太受到重视的数学分支突然重要起来。人们发现，这些分支处理的数学对象与传统的分析有明显的区别：分析研究的问题解决方案是连续的，因而微分，积分成为基本的运算；而这些分支研究的对象是离散的，因而很少有机会进行此类的计算。人们从而称这些分支为“离散数学”。“离散数学”的名字越来越响亮，最后导致以分析为中心的传统数学分支被相对称为“连续数学”。 《离散数学》作为一个单独的分枝，在世界上出现的时间并不久，不过几十年，但它的各部分内容中有相当一部分却早已出现在数学中。为什么将各个数学分支中的一些内容集中起来加以研究，并且冠上一个新的名称——离散数学呢？这主要是因为计算机科学的产生和发展。正如恩格斯所说：“……科学的状况还更多的从属于技术的状况和需要。倘若社会上有了一种技术上的需要，那就比十个大学还更能推动科学前进。”①计算机的出现，在很大程度上影响到了人们的思想和生活，对社会生产起了重大作用。为了研究计算机科学的理论基础，离散数学也就应运而生。因此，如果我们不从纯数学的角度，而从应用数学的角度来考虑，也许给离散数学换一个名称一一计算机科学的数学基础——更能说明问题。 正是因为这个原因，在计算机科学系。信息管理系都将离散数学作为必须学习的基础课程。而实践证明这种做法是正确的。 离散数学(Discrete mathematics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。 由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现 方法、知识点总结（知识重点和考题重点） 前三章重点内容（知识重点）： 1、蕴含（条件）“→”的真值 P→Q的真值为假，当且仅当P为真，Q为假。 2、重言(永真)蕴涵式证明方法 <1>假设前件为真，推出后件也为真。 <2>假设后件为假，推出前件也为假。 易错 3、等价公式和证明中运用 4、重要公式 重言蕴涵式：P∧Q => P or Q P or Q => p∨Q A->B =>(A∧or∨C)->(B∧or∨C) 其他是在此基础上演变 等价公式：幂等律 P∧P=P P∨P=P 吸收律 P∧(P∨Q)=P P∨(P∧Q)=P 同一律 P∨F=P P∧T=P P∨T=T P∧F=F P <-> Q = (P->Q)∧(Q->P) = (P∧Q)∨(﹁P∧﹁Q) 5、范式的写法（最方便就是真值表法） 6、派遣人员、课表安排类算法： 第一步：列出所有条件，写成符号公式 第二步：用合取∧连接 第三步：求上一步中的析取范式即可 7、逻辑推理的写法 直接推理论证：其中I公式是指重言蕴涵式那部分 其中E公式是指等价公式部分 条件论证: 形如 ~ , ~, ~ => R->S R P(附加条件) ... ... S T R->S CP 8、谓词基本内容 注意：任意用—> 连接 存在用∧连接 量词的否定公式 量词的辖域扩充公式 量词分配公式 其他公式 9、带量词的公式在论域内的展开 10、量词辖域的扩充公式 11、前束范式的写法 给定一个带有量词的谓词公式， 1)消去公式中的联接词→和←→(为了便于量词辖域的扩充)； 2)如果量词前有“﹁?”，则用量词否定公式﹁?”后移。再用摩根定律或求公式的否定公式，将“﹁?”后移到原子谓词公式之前； 3)用约束变元的改名规则或自由变元的代入规则对变元换名(为量词辖域扩充作准备)； 《离散数学》期末复习大纲（完整版）（含例题和考试说明） 一、命题逻辑 [复习知识点] 1、命题与联结词（否定￢、析取∨、合取∧、蕴涵→、等价?），复合命题 2、命题公式与赋值（成真、成假），真值表，公式类型（重言、矛盾、可满足），公式的基本等值式 3、范式：析取范式、合取范式，极大（小）项，主析取范式、主合取范式 4、公式类型的判别方法（真值表法、等值演算法、主析取/合取范式法） 5、命题逻辑的推理理论 本章重点内容：命题与联结词、公式与解释、（主）析取范式与（主）合取范式、公式类型的判定、命题逻辑的推理 [复习要求] 1、理解命题的概念；了解命题联结词的概念；理解用联结词产生复合命题的方法。 2、理解公式与赋值的概念；掌握求给定公式真值表的方法，用基本等值式化简其它公式，公式在解释下的真值。 3、了解析取（合取）范式的概念；理解极大（小）项的概念和主析取（合取）范式的概念；掌握用基本等值式或真值表将公式化为主析取（合取）范式的方法。 4、掌握利用真值表、等值演算法和主析取/合取范式的唯一性判别公式类型和公式等价方法。 5、掌握命题逻辑的推理理论。 [疑难解析] 1、公式类型的判定 判定公式的类型，包括判定公式是重言的、矛盾的或是可满足的。具体方法有两种，一是真值表法，二是等值演算法。 2、范式 求范式，包括求析取范式、合取范式、主析取范式和主合取范式。关键有两点：一是准确理解掌握定义；另一是巧妙使用基本等值式中的分配律、同一律和互补律（排中律、矛盾律），结果的前一步适当使用幂等律，使相同的短语（或子句）只保留一个。 3、逻辑推理 掌握逻辑推理时，要理解并掌握12个（除第10，11）推理规则和3种证明法（直接证明法、附加前提证明法和归谬法）。 例1.试求下列公式的主析取范式：高等数学等价替换公式泰勒公式资料讲解
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