电磁场与电磁波(第四版)课后答案

电磁场 与电磁波（第四版） 课后答案

第一章 习 题 解答

1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e

4y z =-+B e e

52x z =-C e e

求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ；（4）AB θ；（5）A 在B 上的 分量；（6）

?A C ；

（7）()?A B C g 和()?A B C g ；

（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1

）23A x y z +-=

==e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e

e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （

4

）

由

cos AB θ

=

==A B A B g ，得

1cos AB θ-

=(135.5=o （5）A 在B 上的分 量 B A =A cos AB θ

=

=A B B g （6）?=A C 1

235

02

x

y

z

-=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 041502

x y z

-=-e e e 8520x y z ++e e e

?=A B 123041

x

y

z

-=-e e e 1014x y z ---e e e

所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e

（8）()??=A B C 1014502

x

y

z

---=-e e e 2405x y z -+e e e

()??=A B C 1

238

5

20

x y z -=e e e 554411x y z --e e e

1.2 三角形的三个顶点 为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断 123

PP P ?是否为一 直角三角形； （2）求三角形的面积。

解 （1）三个顶点1(0,1,2)

P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 的位置 矢量分别为 12y z =-r e e ，243x y z =+-r e e e ，3625x y z =++r e e e 则 12214x z =-=-R r r e e ， 233228x y z =-=++R r r e e e ，

311367x y z =-=---R r r e e e

由此可见

1223(4)(28)0x z x y z =-++=R R e e e e e g g

故123

PP P ?为一直角三角形。 （2）三角形的面积

122312231117.1322S =?=?==R R R R

1.3 求(3,1,4)P '-点到(2,2,3)P -点的距离矢量R 及R 的方向。

解 34P x y z '=-++r e e e ，223P x y z =-+r e e e ， 则 53P P P P x y z ''=-=--R r r e e e 且P P 'R 与x 、y 、z 轴的夹角分别为

11cos (

)cos 32.31x P P x P P φ--''===e R R o g

11cos (

)cos 120.47y P P

y P P φ'--'===e R R o g

11cos ()cos (99.73z P P z P P φ--''===e R R o g

1.4 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和456x y z =-+B e e e ，求它们之间的夹角和A 在B 上的分量。

解 A 与B 之间的 夹角 为

11

cos ()cos 131θ--===AB

A B A B o g A 在B 上的分量为

3.532B A ===-B A B g 1.5 给定两矢量234x y z =+-A e e e 和64x y z =--+B e e e ，求?A B 在

x y z =-+C e e e 上的分量。

解 ?=A B 234641x y z

-=--e e e 132210x y z -++e e e

所以?A B 在C 上的分量为 ()?=

C A

B ()14.43?==-A B

C C g 1.6 证明：如果A B g =A C g 和?=A B ?A C ，则=B C ；

解 由?=A B ?A C ，则有()()??=??A A B A A C ，即

()()()()-=-A B A A A B A C A A A C g g g g

由于A B g =A C g ，于是得到 ()()=A A B A A C g g 故 =B C

1.7 如果给定一未知 矢量与一已知矢量的标量积和 矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A 为一已知矢量，p =A X g 而=?P A X ，p 和P 已知，试求X 。

解 由=?P A X ，有

()()()()p ?=??=-=-A P A A X A X A A A X A A A X g g g

故得 p -?=A A P X A A

g

1.8 在圆柱坐标中，一点的位置由2(4,,3)3

π定出，求该点在：（1）直角坐

标中的坐标；（2）球坐标中的坐标。

解 （1）在直角坐标系中

4cos(23)2x π==-、4sin(23)y π==3z = 故该点的直角坐标为

(2,-。

（2）在球坐标系中

5r ==、1tan (43)53.1θ-==o 、2120φπ==o

故该点的球坐标为(5,53.1,120)o o

1.9 用球坐标表示的场2

25r r

=E e ， （1）求在直角坐标中点(3,4,5)--处的E 和x E ； （2）求在直角坐标中点(3,4,5)--处E 与矢量22x y z =-+B e e e 构成的夹角。 解 （1）在直角坐标 中点(3,4,5)--处，2222(3)4(5)50r =-++-=，故

22512

r

r ==E e

1cos

220

x x rx E θ====-

e E E g

（2）在直角坐标中点(3,4,5)--处，345x y z =-+-r e e e ，所以

233452525r r -+-===

e e e r E

故E 与B 构成的夹角为 11cos (

)cos (153.63θ--===EB E B E B o g g 1.10 球坐标中两个点111(,,)r θφ和222(,,)r θφ定出两个位置矢量1R 和2R 。证明1R 和2R 间夹角的余弦为

121212cos cos cos sin sin cos()γθθθθφφ=+- 解 由 111111111sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e

222222222sin cos sin sin cos x y z r r r θφθφθ=++R e e e

得到 12

12

cos γ=

=R R R R g

1122112212sin cos sin cos sin sin sin sin cos cos θφθφθφθφθθ++=

121211212sin sin (cos cos sin sin )cos cos θθφφφφθθ++= 121212sin sin cos()cos cos θθφφθθ-+

1.11 一球面S 的半径为5，球心在原点上，计算： (3sin )d r S

θ?e S g ?的值。

解 (3sin )d (3sin )d r r r S

S

S θθ==

??e S e e g g 蜒22

20

d 3sin 5

sin d 75π

π

φθθθπ?=??

1.12 在由5r =、0z =和4z =围成的圆柱形区域，对矢量22r z r z =+A e e 验证散度定理。

解 在圆柱坐标系中 21()(2)32rr z r r r z

???=+=+??A g

所以 4

25

d d d (32)d 1200z r r r π

τ

τφπ?=+=????A g

又

2

d (2)(d d d )r

z r r z z S

S r

z S S S φφ=+++=??A S e e e e e g g 蜒

42522

00

00

5

5d d 24d d 1200z r r ππ

φφπ?+?=????

故有 d 1200τ

τπ?=?A g d S

=?A S g ?

1.13 求（1）矢量22222324x y z x x y x y z =++A e e e 的散度；（2）求?A g 对中

心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A 对此立方体表面的 积分，验证散度定理。

解 （1）2222232222()()(24)

2272x x y x y z x x y x y z x y z

????=++=++???A g

（2）?A g 对中心在原点的一个单位立方体的积分为

121212

2222121212

1d (2272)d d d 24

x x y x y z x y z τ

τ---?=

++=

????

A g （3）A 对此立方体表面的积分

1212

1212

22

12121212

11d ()d d ()d d 22S y z y z ----=--+?????A S g ? 12121212

2

2221211212

11

2()d d 2()d d 22x x z x x z ------+????

12121212

2

2

3223112121111

24()d d 24()d d 2224x y x y x y x y ------=????

故有 1d 24τ

τ?=

?A g d S =?A S

g ? 1.14 计算矢量r 对一个球心在原 点、半径为a 的球表面的积分，并求?r g 对球体积的积分。

解 22

30

d d d sin d 4r S

S

S aa

a ππ

φθθπ==

=????r S r e g g 蜒

又在球坐标系中，2

2

1()3r r r r

??==?r g ，所以 22

3000

d 3sin d d d 4a

r r a ππτ

τθθφπ?==????r g

1.15 求矢量22x y z x x y z =++A e e e 沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回

路的线积分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴相重合。再求??A 对此回路所包围的曲面积分，验证斯托克斯定理。

解 2

2

2

2

2

d d d 2d 0d 8C

x x x x y y =-+-=?????A l g ?

又 2

222x y z

x z yz x x y z x

x y z

??

?

??=

=+???e e e A e e 所以 22

00

d (22)d d 8x z z S

yz x x y ??=+=???A S e e e g g

故有

d 8C

=?A l g ?d S

=???A S g

1.16 求矢量2x y x xy =+A e e 沿圆周222x y a +=的线积分，.再计算??A 对此圆面积的积分。

解 2

d d d C

C

x x xy y =

+=??

A l g 蜒24

2

422

(cos sin cos sin )d 4

a a

a π

πφφφφφ-+=

?

d ()d y

x z z S S A A S x y ????=-=????A S e e g g 24222

00

d sin d d 4a S a y S r r r π

πφφ==??? 1.17 证明：（1）3?=R g ；（2）??=R 0；（3）()?=A R A g 。其中x y z x y z =++R e e e ，A 为一常矢量。

解 （1）3x y z

x y z

????=

++=???R g （2） x y z

x y z x

y

y

???

??=

=???e e e R 0 （3）设x x y y z z A A A =++A e e e ，则x y z A x A y A z =++A R g ，故

()()()x

x y z y x y z A x A y A z A x A y A z x y ???=++++++??A R e e g ()z x y z A x A y A z z

?

++=?e x x y y z z A A A ++=e e e A 1.18 一径向矢量场()r f r =F e 表示，如果0?=F g ，那么函数()f r 会有什么特点呢？

解 在圆柱坐标系中，由 1d [()]0d rf r r r

?==F g

可得到

()C

f r r

=

C 为任意常数。 在球坐标系中，由 221d [()]0d r f r r r ?==F g

可得到 2()C f r r

= 1.19 给定矢量函数x y y x =+E e e ，试求从点1(2,1,1)

P -到点 2(8,2,1)P -的线积分d ?E l g ：（1）沿抛物线2x y =；（2）沿连接该两点的直线。这个E 是保守场吗？

解 （1） d d d x y C

C

E x E y =+=??E l g d d C

y x x y +=?

222

1

d(2)2d y y y

y +=?2

21

6d 14y y =?

（2）连接点1(2,1,1)P -到点2(8,2,1)P

-直线方程为 28

12

x x y y --=-- 即 640x y -+= 故

2

1

d d d d(64)(64)d x

y C

C

E

x E y y y y y =+=-+-=???E l g 2

1

(124)d 14y y -=?

由此可见积分与路径无关，故是保守场。

1.20 求标量函数2x yz ψ=的梯度及 ψ在一个指定方向的方向导数，此方

向由单位矢量x

y z

+e e e 定出；求(2,3,1)点的方向导数值。 解 222()()()x y z x yz x yz x yz x y z ψ???

?=++=???e e e

222x y z xyz x z x y ++e e e

故沿方向l x y z

=+e e e e 的方向导数为

22

l l ψψ?=?=+?e g 点(2,3,1)处沿l e 的方向导数值为

l ψ?==

?1.21 试坐标中

y x z

A A A x y z

????=++

???A g 相似的方法推导圆柱坐标下的公式

1()z r A A rA r r r z

φφ???

?=

++???A g 。 解 在圆柱坐标中，取小体积元如题1.21图所示。矢量场A 沿r e 方向穿出该六面体的表面的通量为

题1.21图

()d d d d z z

z z

r r

r r

r r z

z

A r r r A r r φφφφφ

φ

ψφφ+?+?+?+?+?=

+?-

≈????

[()(,,)(,,)]r r r r A r r z rA r z z φφφ+?+?-??≈

()()

1r r rA rA r z r r r

φτ?????=??? 同理

d d d d r r z z

r r z z

r

z

r

z

A r z A r z φφ

φφ

φφψ+?+?+?+?+?=

-

≈??

??

[(,,)(,,)]A r z A r z r z φφφφφ+?-??≈

A A r z r φφφτφ

φ

?????=

???

d d d d r r r r z z

z z

z z r

r

A r r A r r φφ

φφ

φ

φ

ψφφ+?+?+?+?+?=

-

≈????

[(,,)(,,)]z z A r z z A r z r r z φφφ+?-???≈

z z A A

r r z z z

φτ?????=??? 因此，矢量场A 穿出该六面体的表面 的通量为

()1[]r z

r z A rA A ΨΨΨΨr r r z

φφτφ???=++≈++????

故得到圆柱坐标下的散度表达式 0()1lim r z

A rA A r r r z

φτψτφ?

→?????==++????A 1.22 方程222

222

x y z u a b c =++给出一椭球族。求 椭球表面上任意点的单位法向矢量。

解 由于 222

222x y z

x y z u a b c ?=++e e e

u ?=

222(x y z u x y z a b c u

?=

=++?n e e e 1.23 现有三个矢量A 、B 、C 为

sin cos cos cos sin r θφθφθφφ=+-A e e e

22sin cos 2sin r z z z rz φφφφ=++B e e e 22(32)2x y z y x x z =-++C e e e

（1）哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？

（2）求出这些矢量的源分布。 解（1）在球坐标系中

22111()(sin )sin sin r A r A A r r r r φ

θ

θθθθφ????=

++=???A g

22111(sin cos )(sin cos cos )(sin )sin sin r r r r r θφθθφφθθθφ

???

++-=???

2cos 2sin cos cos sin cos 0sin sin r r r r φθφφθφθθ

+--= 2sin 1sin sin r r r r r r A rA r A θφ

θφ

θθθφ

θ???

??==???e e e A

2sin 10sin sin cos cos cos sin sin r

r r r r r r θφ

θθ

θφθφθφθφ

???

=???-e e e

故矢量A 既可以由一个标量函数的梯度表示，也可以由一个矢量函数的旋度表示；

在圆柱坐标系中

11()z r B B rB r r r z φφ????++=

???B =g 2211(sin )(cos )(2sin )rz z rz r r r z φφφφ???

++=???

22sin sin 2sin 2sin z z r r r r φφ

φφ-+= 22110sin cos 2sin r z r z r z r r r r z r r z B rB B z rz rz θθθφφφφφ

??????

??===??????e e e e e e B

故矢量B 可以由一个标量函数的梯度表示；

直角在坐标系中

y x z C C C x y z ????++=

???C =g 22(32)()(2)0

y x x z x y z ???

-++=??? 22(26)322x y z z x y x y z y x x z

???

??==-???-e e e C e

故矢量C 可以由一个矢量函数的旋度表示。 （2）这些矢量的源分布为 0?=A g ，0??=A ；

2sin r φ?B =g ，0??=B ； 0?=C g ，(26)z x y ??=-C e

1.24 利用直角坐标，证明

()f f f ?=?+?A A A g g g

解 在直角坐标中

(

)()y x z x y z A A A f f f

f f f A A A x y z x y z

???????+?=+++++=??????A A g g ()()()y x z x y z A A A f f f

f A f A f A x x y y z z ??????+++++=?????? ()()()()x y z fA fA fA f x y z

???

++=????A g 1.25 证明

()??=??-??A H H A A H g g g

解 根据?算子的微分运算性质，有

()()()A H ??=??+??A H A H A H g g g

式中A ?表示只对矢量A 作微分运算，H ?表示只对矢量H 作微分运算。

由()()?=?a b c c a b g g ，可得

()()()A A ??=??=??A H H A H A g g g

同理 ()()()H H ??=-??=-??A H A H A H g g g 故有 ()??=??-??A H H A A H g g g

1.26 利用直角坐标，证明

()f f f ??=??+??G G G

解 在直角坐标中

[()()()]y

y x x z z x y z G G G G G G f f y z z x x y ????????=-+-+-??????G e e e

f ??=G [()()()]x z

y y x z z y x f f f f f f G G G G G G y z z x x y

??????-+-+-??????e e e 所以

f f ??+??=G G [()()]y z x z y G G f f

G f G f y y z z

????+-++????e

[()()]x z y x z G G f f

G f G f z z x x

????+-++????e

[()()]y x z y x G G f f

G f G f x x y y ????+-+=????e

()()[]y z x fG fG y z ??-+??e ()()[]x z y fG fG z x ??-+

??e ()()[]y x z fG fG x y

??-=??e ()f ??G

1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意义下证明()0u ???=及()0???=A g ，试证明之。

解 （1）对于任意闭合曲线C 为边界的任意曲面S ，由斯托克斯定理有 ()d d d

S C C u u u l l ????=?==????S l g g 蜒由于曲面S 是任意的，故有 ()0u ???=

（2）对于任意闭合曲面S 为边界的体积τ，1

题1.27图

由散度定理有

1

2

()d ()d ()d ()d S

S S τ

τ???=??=??+??????A A S A S A S g g g g ? 其中1S 和2S 如题1.27图所示。由斯托克斯定理，有

1

1

()d d S C ??=??A S A l g g ?， 2

2

()d d S C ??=??A S A l g g ?

由题1.27图可知1C 和2C 是方向相反的同一回路，则有

1

2

d d C C =-??A l A l g g 蜒

所以得到 1

2

2

2

()d d d d d 0C C C C τ

τ???=+=-+=?????A A l A l A l A l g g g g g 蜒蜒 由于体积τ是任意的，故有 ()0???=A g

第二章习题解答

2.1 一个平行板真空二极管内的电荷体密度为43230049

U d x ρε--=-，式中阴

极板位于0x =，阳极板位于x d =，极间电压为0U 。如果040V U =、1cm d =、横截面210cm S =，求：（1）0x =和x d =区域内的总电荷量Q ；（2）2x d =和x d =区域内的总电荷量Q '。

解 （1） 4323000

4

d ()d 9d

Q U d x S x τρτε--==-=??11004 4.7210C 3U S d ε--=-?

（2） 432002

4d ()d 9d

d Q U d x S x τρτε--''==

-=?

?11004(10.9710C 3U S d ε--=-? 2.2 一个体密度为732.3210C m ρ-=?的质子束，通过1000V 的电压加速后2mm ，束外没有电荷分布，试求电流密度和电流。

解 质子的质量271.710kg m -=?、电量191.610C q -=?。由

2

12

mv qU = 得

61.3710v ==? m 故 0.318J v ρ== 2A m

26(2)10I J d π-== A

2.3 一个半径为a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷，球体以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球内的电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球内任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为

sin r φωθ=?=v r e ω

球内的电荷体密度为

3

43Q

a ρπ= 故 33

3sin sin 434Q Q r r a a

φφω

ρωθθππ===J v e e 2.4 一个半径为a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度ω绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。

解 以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为r ，且r 与z 轴的夹角为θ，则P 点的线速度为

sin a φωθ=?=v r e ω

球面的上电荷面密度为

2

4Q a σπ=

故 2sin sin 44S Q Q a a a

φφωσωθθππ===J v e e

2.5 两点电荷18C q =位于z 轴上4z =处，24C q =-位于y 轴上4y =处，求(4,0,0)处的电场强度。

解 电荷1q 在(4,0,0)处产生的电场为

1113014q πε'-=='-r r E r r

电荷2q 在(4,0,0)处产生的电场为

22230244

4q πε-'-=='-e e r r E r r 故(4,0,0)处的电场为

122

+-=+=

e e e E E E

2.6 一个半圆环上均匀分布线电荷l ρ，求垂直于圆平面的轴线上z a =处的电场强度(0,0,)a E ，设半圆环的半径也为a ，如题2.6 图所示。

解 半圆环上的电荷元d d l l l a ρρφ''=在轴线上z a =处的电场强度为

d φ'

'==E

(cos sin )φφφ''-+'e e e

在半圆环上对上式积分，得到轴线上z a =处的电场强度为

(0,0,)d a ==?E E

2

[(cos sin )]d z x y ππφφφ'''-+=?e e

e 2.7 三根长度均为L ，均匀带电荷密度分别为1l ρ、

2l ρ和3l ρ地线电荷构成等边三角形。设1l ρ=22l ρ=32l ρ，计算三角形中心处的电场

强度。

解 建立题2.7图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为

tan 3026

L d L =

=o 则

111003(cos30cos150)42l l y

y d L

ρρπεπε=-=E e e o o

2

120033(cos30sin 30)()28l l x y y L L ρρπεπε=-+=-E e e e e o o

3130033(cos30sin 30)()28l l x y y L L ρρπεπε=-=E e e e e o o 故等边三角形中心处的电场强度为 123=++=E E E E

111000333()()288l l l y y y L L L ρρρπεπεπε-+=e e e e e 1

034l y

L

ρπεe 2.8 －点电荷q +位于(,0,0)a -处，另－点电荷2q -位于(,0,0)a 处，空间有没有电场强度0=E 的点？

题 2.6图

题

2.7图

解 电荷q +在(,,)x y z 处产生的电场为

12

2

232

0()4[()]

x y z x a y z

q

x a y z πε+++=

+++e e e E

电荷2q -在(,,)x y z 处产生的电场为

222232

0()24[()]x y z x a y z q x a y z πε-++=-

-++e e e E

(,,)x y z 处的电场则为12=+E E E 。令0=E ，则有

22232()[()]x y z x a y z x a y z +++=+++e e e 22232

2[()]

[()]

x y z x a y z x a y z -++-++e e e 由上式两端对应分量相等，可得到

222322223()[()]2()[()]x a x a y z x a x a y z +-++=-+++

①

222322232[()]2[()]y x a y z y x a y z -++=+++

②

2223222232[()]2[()]z x a y z z x a y z -++=+++

③

当0y ≠或0z ≠时，将式②或式③代入式①，得0a =。所以，当0y ≠或0z ≠时无解；

当0y =且0z =时，由式①，有

33()()2()()x a x a x a x a +-=-+

解得

(3x a =-±

但3x a =-+

不合题意，故仅在(3,0,0)a --处电场强度0=E 。

2．9 σ。证明：垂直于平面的z 轴上0z z =处的电场强度E 中，有一半是有平面上半径为03z 的圆内的电荷产生的。

解 半径为r 、电荷线密度为d l r ρσ=的带电细圆环在z 轴上0z z =处的电场强度为

0223200d d 2()

z

r z r

r z σε=+E e 故整个导电带电面在z 轴上0z z =处的电场强度为

0022322212

00000

d 1

2()2()2z z z

r z r z r z r z σσσ

εεε∞

∞

==-=++?E e e e 而半径为03z 的圆内的电荷产生在z 轴上0z z =处的电场强度为

022320000

d 1

2()42

z

z z

r z r r z σσεε'==-==+?

E e e e E 2.10 一个半径为a 的导体球带电荷量为Q ，当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转，如题2.10图所示。求球心处的磁感应强度B 。

题2.10图

解 球面上的电荷面密度为

2

4Q a σπ=

当球体以均匀角速度ω绕一个直径旋转时，球面上位置矢量r a =r e 点处的电流面密度为

S z r a σσσω==?=?=J v ωr e e

sin sin 4Q

a a

φφ

ωωσθθπ=e e 将球面划分为无数个宽度为d d l a θ=的细圆环，则球面上任一个宽度为

d d l a θ=细圆环的电流为 d d sin d 4S Q

I J l ωθθπ

== 细圆环的半径为sin b a θ=，圆环平面到球心的距离cos d a θ=，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为

202232d d 2()z b I b d μ==+B e 230222232sin d 8(sin cos )z Qa a a μωθθπθθ=+e 30sin d 8z

Q a

μωθθπe

故整个球面电流在球心处产生的磁场为 3

000sin d 86z z Q Q a a

πμωθμωθππ==?B e e 2.11 两个半径为b 、同轴的相同线圈，各有N 匝，相互隔开距离为d ，如题2.11图所示。电流I 以相同的方向流过这两个线圈。

（1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度x x B =B e ； （2）证明：在中点处d d x B x 等于零；

（3）求出b 与d 之间的关系，使中点处22d d x B x 也等于零。

解 （1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度 2

02

232

2()

z

Ia a z μ=+B e

得到两个线圈中心点处的磁感应强度为 2

02

2

32

(4)

x

NIb b d μ=+B e

（2）两线圈的电流在其轴线上x )0(d x <<处的磁感应强度为

22

00223222322()

2[()]x NIb NIb b x b d x μμ??=+??++-??B e 所以 22

0022522252

d 33()d 2()2[()]x B NIb x NIb d x x b x b d x μμ-=-+++- 故在中点2d x =处，有 220022522252

d 32320d 2[4]2[4]

x B NIb d NIb d x b d b d μμ=-+=++ （3） 2222

00222722252d 153d 2()2()

x B NIb x NIb x b x b x μμ=-+++ 222

0022722252

15()32[()]2[()]

NIb d x NIb b d x b d x μμ--+-+- 令 0d d 2

2

2

==d x x x B ，有 0]

4[1

]4[452

52227222=+-+d b d b d

题2.11

图

即 45222d b d += 故解得 b d =

2.12 一条扁平的直导体带，宽为a 2，中

心线与z 轴重合，通过的电流为I 。证明在第一度为 04x I B a μαπ=-，象限内的磁感应强02

1ln 4y I r B a r μπ=

式中α、1r 和2r 如题2.12图所示。 解 将导体带划分为无数个宽度为x 'd 的

带的电流x a

I I '=d 2d 。由安细条带，每一细条培环路定理，可得位于x '处的细条带的电流I d 在点),(y x P 处的磁场为

00d d d 24I I x B R aR

μμππ'

===02212d 4[()]I x a x x y μπ''-+

则 022

d d d sin 4[()]x Iy x B B a x x y μθπ'

=-=-'-+ 022

()d d d cos 4[()]

y I x x x B B a x x y μθπ''

-=='-+ 所以

022

d 4[()]a

x a

Iy x B a x x y μπ-'

=-='-+?0arctan 4a a

I x x a y μπ-'??--= ???

0arctan arctan 4I a x a x a y y μπ?

?????----

-=?? ? ???????

0arctan arctan 4I x a x a a y y μπ?

?????+--

-=?? ? ???????

021()4I a μααπ--=04I a

μαπ- 022

()d 4[()]a

y a

I x x x B a x x y μπ-''-=='-+?220ln[()]8a

a

I

x x y a

μπ-'--+=

22022()ln 8()I x a y a x a y μπ++=

-+021

ln 4I r a r μπ

2.13 如题2.13图所示，有一个电矩为1p 的电偶极子，位于坐标原点上，另一个电矩为2p 的电偶极子，位于矢径为r 的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为

12

3p p 题 2.12图