的取值范围为(1,-?
15 解 (Ⅰ)由题设1x 和2x 是方程2
20x ax --=的两个实根，得1x +2x ＝a 且1x 2x ＝－2，
所以，84)(||22122121+=-+=
-a x x x x x x
当a ∈[-1,1]时，2
8a +的最大值为9，即12||x x -≤3
由题意，不等式2
12|53|||m m x x --≥-对任意实数a ∈[1,1]恒成立的m 的解集等于不
等式2
|53|3m m --≥的解集由此不等式得2533m m --≤-①，或2
533m m --≥②
不等式①的解为05m ≤≤，不等式②的解为1m ≤或m ≥ 因为，对1m ≤或05m ≤≤或6m ≥时，P 是正确的
(Ⅱ)对函数6)3
4()(2
3++++=x m mx x x f 求导3
423)('2
+++=m mx x x f 令0)('=x f ，即03
4
232
=+
++m mx x 此一元二次不等式的判别式 124)3
4
(12422--=+-=?m m m m 若?＝0，则0)('=x f 有两个相等的实根0x ，且)('x f 的符号如下：
x
(－∞,0x )
0x
(0x ,+∞)
)('x f
+
+
因为，0()f x 不是函数()f x 的极值
若?>0，则0)('=x f 有两个不相等的实根1x 和2x (1x <2x )，且)('x f 的符号如下：
x
(－∞,1x )
1x
(1x ，2x )
2x
(2x ,+∞)
)('x f
+
－
+
因此，函数f (x )在x ＝1x 处取得极大值，在x ＝2x 处取得极小值
综上所述，当且仅当?>0时，函数f (x )在(－∞,+∞)上有极值
由0161242
>--=?m m 得1m <或4m >， 因为，当1m <或4m >时，Q 是正确得综上，使P 正确且Q 正确时，实数m 的取值范围为(-∞,1)?)
,6[]5,4(+∞?
16． 解：如图，（1）设椭圆Q ：22
22x y 1a b
＋＝（a >b >0）
上的点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），又设P 点坐标为P （x ，y ），则
222222
11222222
22b x a y a b 1b x a y a b 2?????＋＝…………（
）＋＝…………（）
1? 当AB 不垂直x 轴时，x 1≠x 2， 由（1）－（2）得
b 2（x 1－x 2）2x ＋a 2（y 1－y 2）2y ＝0
212212y y b x y
x x a y x c
∴－＝－＝
－－
∴b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0 (3)
2? 当AB 垂直于x 轴时，点P 即为点F ，满足方程（3） 故所求点P 的轨迹方程为：b 2x 2＋a 2y 2－b 2cx ＝0
（2）因为，椭圆 Q 右准线l 方程是x ＝2a c ，原点距l 的距离为2
a c
，由于c 2＝a 2－b 2，a 2
＝1＋cos θ＋sin θ，b 2＝sin θ（0<θ≤
2
π）， 则2a c
＋＋＝2sin （2θ＋4π）
当θ＝2
π
时，上式达到最大值．此时a 2＝2，b 2＝1，c ＝1，D （2，0），|DF|＝1
设椭圆Q ：22
x y 12
＋＝上的点 A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），三角形ABD 的面积
S ＝12|y 1|＋12|y 2|＝1
2
|y 1－y 2|
设直线m 的方程为x ＝ky ＋1，代入22
x y 12
＋＝
中，得（2＋k 2）y 2＋2ky －1＝0 由韦达定理得y 1＋y 2＝22k 2k －＋，y 1y 2
＝2
1
2k －＋， 4S 2＝（y 1－y 2）2＝（y 1＋y 2）2－4 y 1y 2＝2
22
8k 1k 2（＋）
（＋）
令t ＝k 2＋1≥1，得4S 2＝2
8t 88
21t 14t 2t
≤＝＝（＋）＋＋，当t ＝1，k ＝0时取等号． 因此，当直线m 绕点F 转到垂直x 轴位置时，三角形ABD 的面积最大．
【挑战自我】
已知()),(2
3
R b a b ax x x f ∈++-=．
高考数学之概率大题总结
1（本小题满分12分）某赛季, 甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛, 他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示 （1）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （2）你认为哪位运动员的成绩更稳定？ （3）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随 机抽取一场的得分, 求甲的得分大于乙的得分的概率． （参考数据：2222222981026109466++++++=, 236112136472222222=++++++） 2在学校开展的综合实践活动中, 某班进行了小制作评比, 作品上交时间为5月1日至30日, 评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计, 绘制了频率分布直方图(如图), 已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4：6：4：1, 第三组的频数为12, 请解答下列问 题： (1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数量最多？共有多少件？ (3)经过评比, 第四组和第六组分别有10件、2件作品获奖, 问这两组哪组获奖率高？ 3已知向量()1,2a =-r , (),b x y =r ． （1）若x , y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1, 2, 3, 4, 5, 6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数, 求满足1a b =-r r g 的概率； （2）若实数,x y ∈[]1,6, 求满足0a b >r r g 的概率．
4某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支, 该公司对这些灯管的使用寿命（单位：小时）进行了统计, 统计结果如下表所示： （1）将各组的频率填入表中； （2）根据上述统计结果, 计算灯管使用寿命不足1500小时的频率； （3）该公司某办公室新安装了这种型号的灯管2支, 若将上述频率作为概率, 试求恰有1支灯管的使用寿命不足1500小时的概率． 5为研究气候的变化趋势, 某市气象部门统计了共100个星期中每个星期气温的最高温度和最低温度, 如下表： （1）若第六、七、八组的频数t 、m 、 n 为递减的等差数列, 且第一组与第八组 的频数相同, 求出x 、t 、m 、n 的值； （2）若从第一组和第八组的所有星期 中随机抽取两个星期, 分别记它们的平均 温度为x , y , 求事件“||5x y ->”的概率． 6某校高三文科分为四个班.高三数学调研测试后,随机地在各班抽取部分学生进行测试成绩统计,各班被抽取的学生人数恰好成等差数列,人数最少的班被抽取了22人. 抽取出来的所有学生的测试成绩统计结果的频率分布条形图如图5 所示,其中120～130(包括120分但不包括130分)的频率为0.05,此分数段的人数为5人. (1)问各班被抽取的学生人数各为多少人? (2)在抽取的所有学生中,任取一名学生, 求分数不小于90分的概率. 频率 分数 90100110120130 0.05 0.100.150.200.250.300.350.4080 70
高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题
高考数学阶段复习试卷：三角形中的最值问题 1． 在ABC ?中，a ，b ，c 分别为角A ,B ,C 所对的边长，已知:3C π= ,a b c λ+=(其中1λ>） (1)当2λ=时，证明:a b c ==; (2)若3AC BC λ?=,求边长c 的最小值. 2. 已知函数()4cos sin()3f x x x π=- (1)求函数()f x 在区间[,]42 ππ上的值域; (２)在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别是,,a b c 若角C 为锐角，()f C =，且2c =,求ABC ?面积的最大值。 3. 已知函数2()22cos f x x x m =+- （Ⅰ)若方程()0f x =在[0,]2x π ∈上有解，求m 的取值范围;(Ⅱ)在ABC ?中，,,a b c 分别是,,A B C 所对 的边,当(Ⅰ)中的m 取最大值，且()1f A =-,2b c +=时,求a 的最小值 4. 在ABC ?中,sin A a =. (1)求角B 的值;(2)如果2b =，求ABC ?面积的最大值． 5. 如图,扇形AOB ，圆心角AOB 等于60o ，半径为2,在弧AB 上有一动点P ,过P 引平行于OB 的直线和OA 交于点C ,设AOP θ∠=,求POC ?面积的最大值及此时θ的值．
6. 如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行到C ,另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ,然后从B 沿直线步行到C .现有甲、乙两位游客从A 处下山,甲沿AC 匀速步行,速度为50m /min ．在甲出发2min 后,乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从匀速步行到C .假设缆车匀速直线运动的速度为130m /min ,山路AC 长为1260m ,经测量,12cos 13A =，3cos 5 C =. (1) 求索道AB 的长； (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3) 为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内？ 7. 如图，在等腰直角三角形OPQ ?中，90POQ ? ∠=,22OP =点M 在线段P Q 上． (1)若5OM =求PM 的长； (2)若点N 在线段MQ 上,且30MON ?∠=,问:当POM ∠取何值时,OMN ?的面积最小?并求出面积的最小值.
高考数学最值问题复习
第9课时最值问题 要点·疑点·考点 课前热身 能力·思维·方法 延伸·拓展 误解分析
要点·疑点·考点 1.能够根据条件恰当地选择自变量建立目标函数，然后利用求函数最值的方法(如配方法、基本不等式法、三角函数的值域、函数的单调性、判别式法等)求出最大、最小值 2.能够结合曲线的定义和几何性质，运用“数形结合”或者用“几何法”求出某些最大、最小值. 返回
1322=-y x 1.定长为12的线段AB 的端点在双曲线的右支上，则AB 中点M 的横坐标的最小值为_____.2.已知点，F 是椭圆的左焦点，一动点M 在椭圆上移动，则|AM|+2|MF|的最小值为_____.3.若动点P 在直线2x+y+10=0上运动，直线PA 、PB 与圆x 2+y 2=4分别切于点A 、B ，则四边形PAOB 面积的最小值为_______.112 1622=+y x () 32，A 课前热身 2 7 108
返回 4.椭圆且满足，若离心率为e ，则的最小值为()(A)2(B)(C)(D)()0122 22>>=+b a b y a x b a 3≤221e e +6133132 35.设点P 是椭圆上的动点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则sin ∠F 1PF 2的最大值为_________________12222=+b y a x 783B
能力·思维·方法 1.过椭圆2x2+y2=2的一个焦点作直线交椭圆于P，Q两点，求△POQ面积S的最大值. 【解题回顾】本题若选择PQ为底表示△POQ的面积则运算量较大
【解题回顾】本题是通过建立二次函数求最值，基本手法是配方，要注意顶点横坐标是否在此区间内的讨论.2.已知定点A (a ,0)，其中0＜a ＜3，它到椭圆上的点的距离的最小值为1，求a 的值.149 2 2=+y x
全国统考2022高考数学一轮复习高考大题专项六概率与统计学案理含解析北师大版
高考数学一轮复习： 概率与统计 高考大题专项(六) 概率与统计 考情分析 一、考查范围全面 概率与统计解答题对知识点的考查较为全面,近五年的试题考点覆盖了概率与统计必修与选修的各个章节内容,考查了抽样方法、统计图表、数据的数字特征、用样本估计总体、回归分析、相关系数的计算、独立性检验、古典概型、条件概率、相互独立事件的概率、独立重复试验的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望与方差、超几何分布、二项分布、正态分布等基础知识和基本方法. 二、考查方向分散 从近五年的高考试题来看,对概率与统计的考查主要有四个方面:一是统计与统计案例,其中回归分析、相关系数的计算、独立性检验、用样本的数字特征估计总体的数字特征是考查重点,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查;二是统计与概率分布的综合,常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、频率、概率以及函数知识、概率分布列等知识交汇考查;三是期望与方差的综合应用,常与离散型随机变量、概率、相互独立事件、二项分布等知识交汇考查;四是以生活中的实际问题为背景将正态分布与随机变量的期望和方差相结合综合考查. 三、考查难度稳定 高考对概率与统计解答题的考查难度稳定,多年来都控制在中等或中等偏上一点的程度,解答题一般位于试卷的第18题或第19题的位置.近两年有难度提升的趋势,位置有所后调. 典例剖析 题型一相关关系的判断及回归分析 【例1】近年来,随着互联网技术的快速发展,共享经济覆盖的范围迅速扩张,继共享单车、共享汽车之后,共享房屋以“民宿”“农家乐”等形式开始在很多平台上线.某创业者计划在某景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”,为了确定未来发展方向,此创业者对该景区附近六家“农家乐”跟踪调查了100天.得到的统计数据如下表,x为收费标准(单位:元/日),t为入住天数(单位:天),以频率作为各自的“入住率”,收费标准x与“入住率”y的散点图如图. x50100150200300400 t906545302020
(完整word版)2018年高考数学总复习概率及其计算
第十三章概率与统计本章知识结构图
第一节 概率及其计算 考纲解读 1.了解随机事件发生的不确定性、频率的稳定性、概率的意义、频率与概率的区别。 2.了解两个互斥事件的概率的加法公式。 3.掌握古典概型及其概率计算公式。 4.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率。 5.了解几何概型的意义。 命题趋势探究 1.本部分为高考必考内容，在选择题、填空题和解答题中都有渗透。 2.命题设置以两种概型的概率计算及运用互斥、对立事件的概率公式为核心内容，题型及分值稳定，难度中等或中等以下。 知识点精讲 一、必然事件、不可能事件、随机事件 在一定条件下： ①必然要发生的事件叫必然事件； ②一定不发生的事件叫不可能事件； ③可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。 二、概率 在相同条件下，做次重复实验，事件A 发生次，测得A 发生的频率为，当很大时，A 发生的频率总是在某个常数附近摆动，随着的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做A 的概率，记作。对于必然事件A ，；对于不可能事件A ，=0. 三、基本事件和基本事件空间 在一次实验中，不可能再分的事件称为基本事件，所有基本事件组成的集合称为基本事件空间。 四、两个基本概型的概率公式 1、古典概型 条件：1、基本事件空间含有限个基本事件 2、每个基本事件发生的可能性相同 ()(A) = ()A card P A card = Ω包含基本事件数基本事件总数 2、几何概型 条件：每个事件都可以看作某几何区域Ω的子集A ，A 的几何度量（长度、面积、体积或时间）记为 A μ.
()P A = A μμΩ 。 五、互斥事件的概率 1、互斥事件 在一次实验中不能同时发生的事件称为互斥事件。事件A 与事件B 互斥，则 ()()() P A B P A P B =+U 。 2、对立事件 事件A,B 互斥，且其中必有一个发生，称事件A,B 对立，记作B A =或A B =。 ()() 1P A p A =- 。 3、互斥事件与对立事件的联系 对立事件必是互斥事件，即“事件A ，B 对立”是”事件A ，B 互斥“的充分不必要条件。 题型归纳及思路提示 题型176 古典概型 思路提示 首先确定事件类型为古典概型，古典概型特征有二：有限个不同的基本事件及各基本事件发生的可能性是均等的；其次计算出基本事件的总数及事件A 所包含的基本事件数；最后计算 ()A P A = 包含基本事件数 基本事件总数。 例13.1 设平面向量(),1m a m =，()2,n b n = ，其中{}, 1.2,3,4m n ∈ （1）请列出有序数组(),m n 的所有可能结果； （2） 若“使得()m m n a a b ⊥-成立的(),m n 为事件A ，求事件A 发生的概率。 分析：两向量垂直的充要条件是两向量的数量积为0，从而可得m 与n 的关系，再从以上 (),m n 的16个有序数组中筛选出符合条件的，即得事件A 包含的基本事件个数。 解析：（1）由{}, 1.2,3,4m n ∈，有序数组(),m n 的所有可能结果为()1,1 ， ()()() 1,2,1,3,1,4， ()()()() 2,1,2,2,2,3,2,4， ()()()() 3,1,3,2,3,3,3,4， ()()()()4,1,4,2,4,3,4,4 共16个。 （2）因为(),1m a m =，()2,n b n =，所以()2,1m n a b m n -=-- .又()m m n a a b ⊥-，得 ()(),12,10m m n ?--= ，即22m 10m n -+-= ，所以()21n m =- 。故事件A 包含的
高中数学最值问题
最值问题 一、点击高考 最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面。以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点，考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。因此，它在高考中占有比较重要的地位。 回顾近几年高考，从题型分布来看，大多数一道填空或选择题，一道解答题；从分值来看，约占总分的10%左右。特别是2003年北京卷，选择、填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题各一道，解答题有两道，总分值有36分之多；2003年上海卷，填空题一道，解答题也是两道，总分值有近30分，两份试卷中均有一道实际应用问题。 由此看来，最值问题虽然是老问题，但一直十分活跃，尤其导数的引入，更是为最值问题的研究注入了新的活力。 可以预见：2005年的高考命题中，有关最值问题，题型、题量、分值将保持稳定，题目的背景会更贴近学生的实际生活，更关注社会热点问题，难度不会太难。 二、考点回顾: 分析已有考法，最值问题的呈现方式一般有以下几种： 1、函数的最值； 2、学科内的其它最值，如三角形的面积最值问题、几何体的体积最值问题、数列的最大项等等； 3、字母的取值范围； 4、不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，例如： f(x)≥0对x∈R恒成立?f(x)的最小值≥0成立， f(x)≤0对x∈R恒成立?f(x)的最大值≤0成立； 5、实际应用问题： 实际应用问题中，最优化问题占的比例较大，通过建模可化为最值问题。这类题已成为这几年高考的热点。可以肯定，这个热度会继续保持。
三、知识概要 1、求函数最值的方法： “数”和“形”，数形结合： 配方法 直接法 均值不等式法 单调性 代数方法 导数法 判别式法 间接法 有界性 函数的图像 平面几何知识 几何方法 线性规划 解析几何 斜率 两点间距离 2、求几类重要函数的最值方法； （1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）),0()(R a a x a x x f ∈≠+=:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数。 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列三种模型： 能直接判断 线性规划 建立目标函数 曲函数的最值 四、典型例题分析 例1(2002·全国卷·理·21) 设a 为实数，)(1)(2R x a x x x f ∈+-+=， （1）讨论)(x f 的奇偶性；
高考数学不等式中最值问题全梳理
高考数学不等式中最值问题全梳理 模块一、题型梳理 题型一 基本不等式与函数相结合的最值问题 例题1 若方程ln x m =有两个不等的实根1x 和2x ，则22 12x x +的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ． ) +∞ C ． ()2,+∞ D ．()0,1 【分析】由方程可得两个实数根的关系，再利用不等式求解范围. 【解析】因为 ln x m =两个不等的实根是1x 和2x ，不妨令()()120,1,1,x x ∈∈+∞， 12,Inx m Inx m =-= 故可得()120In x x =，解得211x x = ，则22 12x x + =212112x x +>=，故选：C. 【小结】本题考查对数函数的性质，涉及均值不等式的使用，属基础题. 例题2 22 91 sin cos αα +的最小值为（ ） A ．2 B ．16 C ．8 D ．12 【分析】利用22sin cos 1αα+=将22 91sin cos αα +变为积为定值的形式后，根据基本不等式可求得最小值. 【解析】∵22sin cos 1αα+=，∵ ()22 2222 9191sin cos sin cos sin cos αααααα?? +=++ ??? 2222 sin 9cos 1010616cos sin αααα=+++=，当且仅当23sin 4α=，2 1cos 4α=时“=”成立，故2291 sin cos αα +的最小值为16. 【小结】本题考查了利用基本不等式求和的最小值，解题关键是变形为积为定值，才能用基本不等式求最值，属于基础题.
例题3 已知函数y ＝log a x ＋1(a >0且a ≠1)图象恒过定点A ，若点A 在直线x m ＋y n －4＝0(m >0，n >0)上，则 m ＋n 的最小值为________． 【解析】由题意可知函数y ＝log a x ＋1的图象恒过定点A (1,1)，∵点A 在直线x m ＋y n －4＝0上，∵1m ＋1 n ＝4，∵m >0，n >0，∵m ＋n ＝14(m ＋n )????1m ＋1n ＝14????2＋n m ＋m n ≥14? ?? ?? 2＋2 n m ·m n ＝1，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立，∵m ＋n 的最小值为1. 题型二 基本不等式与线性规划相结合的最值问题 例题4 已知,x y 满足约束条件230 23400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? ，若目标函数2z mx ny =+-的最大值为1（其中 0,0m n >>），则 11 2m n +的最小值为（ ） A ．3 B ．1 C ．2 D ． 32 【分析】画出可行域，根据目标函数z 最大值求,m n 关系式23m n +=，再利用不等式求得112m n +最小值. 【解析】画出可行域如下图所示，由于0,0m n >>，所以基准直线0mx ny +=的斜率为负数，故目标函数在点()1,2A 处取得最大值，即221m n +-=，所以23m n +=. ()11111151519322323232322n m m n m n m n m n ?????+=?+?+=?++≥?+=?= ? ? ?????，当且仅当,1n m m n m n ===时等号成立，所以112m n +的最小值为32 .故选：D
高中数学概率大题经典一
高中数学概率大题（经典一） 一．解答题（共10小题） 1．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X 的数学期望； （2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？ 2．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分 （1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率； （2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望． 3．某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行． （1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？ （2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值． 4．一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球． （1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率； （2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望； （3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值． 5．某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖． （Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率； （Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）． 6．将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2． （Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2； （Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小． 7．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：
2020高考数学最可能考的50道题
高考数学历年考点框架 理科数学每年必考知识点： 复数、程序框图、三视图、函数与导数、三角函数、圆锥曲线、球的组合体、（计数原理、概率与统计模块）等。 理科数学每年常考的知识点： 常用逻辑用语、集合、线性规划、数列、平面向量、解三角形、定积分、直线与圆等。 最后冲刺指导（14个专题） 1、集合与常用逻辑用语小题 （1）集合小题 历年考情： 针对该考点，近9年高考都以交并补子运算为主，多与解不等式等交汇，新定义运算也有较小的可能，但是难度较低；基本上是每年的送分题，相信命题小组对集合题进行大幅变动的决心不大。 常见集合元素限定条件;对数不等式、指数不等式、分式不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、对数函数的定义域、二次根式、、点集（直线、圆、方程组的解）；补集、交集和并集；不等式问题画数轴很重要；指数形式永远大于0不要忽记；特别注意代表元素的字母是还是。 2020高考预测：
（2）常用逻辑用语小题 历年考情： 9年高考中2017年在复数题中涉及真命题这个概念．这个考点包含的小考点较多，并且容易与函数，不等式、数列、三角函数、立体几何交汇，热点就是“充要条件”；难点：否定与否命题；冷点：全称与特称（2015考的冷点），思想：逆否．要注意，这类题可以分为两大类，一类只涉及形式的变换，比较简单，另一类涉及命题真假判断，比较复杂。 简单叙述：小范围是大范围的充分不必要；大范围是小范围的必要不充分。 2020高考预测：
2、复数小题 历年考情： 9年高考，每年1题，考查四则运算为主，偶尔与其他知识交汇，难度较小．考查代数运算的同时，主要涉及考查概念有：实部、虚部、共轭复数、复数的模、对应复平面的点坐标、复数运算等。 无法直接计算时可以先设z=a+b i 2020高考预测： 3、平面向量小题 历年考情：
2020高考数学(理)大一轮复习配套练习：第九章10第9讲第1课时圆锥曲线中的范围、最值问题含解析
[基础题组练] 1．如图，抛物线W ：y 2＝4x 与圆C ：(x －1)2＋y 2＝25交于A ，B 两点，点P 为劣弧AB ︵ 上不同于A ，B 的一个动点，与x 轴平行的直线PQ 交抛物线W 于点Q ，则△PQC 的周长的取值范围是( ) A ．(10，14) B ．(12，14) C ．(10，12) D ．(9，11) 解析：选C.抛物线的准线l ：x ＝－1，焦点(1，0)， 由抛物线定义可得|QC |＝x Q ＋1， 圆(x －1)2＋y 2＝25的圆心为C (1，0)，半径为5， 可得△PQC 的周长＝|QC |＋|PQ |＋|PC |＝x Q ＋1＋(x P －x Q )＋5＝6＋x P ， 由抛物线y 2＝4x 及圆(x －1)2＋y 2＝25可得交点的横坐标为4，即有x P ∈(4，6)，可得6＋x P ∈(10，12)， 故△PQC 的周长的取值范围是(10，12)．故选C. 2．过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，斜率为43的直线交抛物线于A ，B 两点，若AF →＝λFB → (λ＞1)， 则λ的值为________． 解析：根据题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AF →＝λFB → ，得????p 2－x 1，－y 1＝λ????x 2－p 2，y 2，故－y 1＝λy 2，即λ＝－y 1y 2.设直线AB 的方程为y ＝43????x －p 2，联立直线AB 与抛物线方程，消元得y 2－3 2 py －p 2＝0.故y 1＋y 2＝32p ，y 1·y 2＝－p 2，（y 1＋y 2）2 y 1·y 2＝y 1y 2＋y 2y 1＋2＝－94，即－λ－1λ ＋2＝－94.又λ＞1，故λ＝4. 答案：4 3．已知椭圆C ：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为4且过点(2，－2)． (1)求椭圆C 的方程； (2)过椭圆焦点的直线l 与椭圆C 分别交于点E ，F ，求OE →·OF → 的取值范围． 解：(1)椭圆C ：y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距是4，所以焦点坐标是(0，－2)，(0，2)，2a ＝2＋0＋ 2＋（2＋2）2＝42，所以a ＝22，b ＝2，
2019届理科数学高考中的概率与统计问题
2019届理科数学 高考中的概率与统计问题 一、选择题(每小题5分,共15分) 1.某市园林绿化局在名贵树木培埴基地种了一批红豆杉树苗,为了解这批红豆杉树苗的生长状况,随机抽取了15株进行检测,这15株红豆杉树苗的高度(单位:cm)的茎叶图如图6-1所示,利用样本估计总体的思想,求培埴基地种植的这批红豆杉树苗的高度在(140,145)内的概率为 () 图6-1 A.0.3 B.0.4 C.0.2 D.0.1 2.如图6-2,正方形BCDE和正方形ABFG的边长分别为2a和a,连接CE和CG,现将一把芝麻随机地撒在该图形中,则芝麻落在阴影部分的概率是() 图6-2 A. B. C. D. 3.日常生活中,常听到一些谚语、俗语,比如“三个臭皮匠,顶个诸葛亮”,这句话有没有道理呢?我们假设三个臭皮匠中的老大、老二、老三能独立解出同一道问题的概率依次是0.6,0.5,0.4,而诸葛亮能独立解出同一道问题的概率是0.9,则三个臭皮匠与诸葛亮解出同一道问题的概率较大的是() A.三个臭皮匠 B.诸葛亮 C.一样大 D.无法确定 二、填空题(每小题5分,共10分) 4.已知函数f(x)=log2x+2log4x,其中x∈(0,4],若在[,4]上随机取一个数x0,则f(x0)≤0的概率 为. 5.第十三届全运会于2017年8月27日在天津举行,在自由体操比赛中,5位评委给甲、乙两位体操运动员打分(满分为30分)的茎叶图如图6-3所示,则甲、乙两位体操运动员中,得分的方差较大的是.(填甲或乙) 图6-3
三、解答题(共36分) 6.(12分)已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关.为了确定某一个时段鸡舍的控制温度,某企业需要了解鸡舍的时段控制温度x(单位:℃)对某种鸡的时段产蛋量y(单位:t)和时段投入成本z(单位:万元)的影响.为此,该企业选取了7个鸡舍的时段控制温度x i和产蛋量y i(i=1,2,…,7)的数据,对数据初步处理后得到了如图6-4所示的散点图及一些统计量的值.其中k i=ln y i,=k i. 图6-4 (1)根据散点图判断,y=bx+a与y=c1(e为自然对数的底数)哪一个适宜作为该种鸡的时段产蛋量y关于鸡舍的时段控制温度x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (2)根据(1)的判断及表中的数据,建立y关于x的回归方程; (3)已知时段投入成本z与x,y的关系为z=e-2.5y-0.1x+10,当鸡舍的时段控制温度为28 ℃时,鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值是多少? 附:对于一组具有线性相关关系的数据(u1,v1),(u2,v2),…,(u n,v n),其回归直线v=βu+α的斜率和截 距的最小二乘估计分别为=(-)(-) (-) , ＾ =-. 参考数据:
高考数学最值问题
专题十六最值问题 【考点聚焦】 考点1向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积 考点2:解斜三角形. 考点3:线段的定比分点、平移. 考点4:向量在平面解析几何、三角、复数中的运用 考点5:向量在物理学中的运用. 【自我检测】 1求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法， 2、求几类重要函数的最值方法； (1)二次函数：配方法和函数图像相结合； a (2) f (x) =x (a = 0, a ? R):均值不等式法和单调性加以选择； x (3)多元函数：数形结合成或转化为一元函数?3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值) 【重点?难点?热点】 问题1:函数的最值问题 函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题?求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、 判别式法、有界性、图象法等? 例1: (02 年全国理1)设a 为实数，f (x) =x2+ x —a +1(x^ R)， (1)讨论f (x)的奇偶性；(2)求f (x)的最小值. 思路分析：(1)考察f(x)与f (-x)是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证.(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论. (1)解法一：(利用定义)f (一x) =x2+ x + a +1, - f (x) = -x2- x -a T. 若f(x)为奇函数，贝V f(-x) = -f(x),即2x2+ x + a +|x-a +2 = 0.此等式对R 都不成立，故f(x)不是奇函数；
【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题(教师版)
【精品】2007——2017年高考数学全国卷概率统计大题 2007某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买.根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6.经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元;若顾客采用分期付款，商场获得利润250元. (Ⅰ)求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率; (Ⅱ)求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率. 记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”． 2 ()(10.6) 0.064 P A =-=，()1()10.0640.936P A P A =-=-=． （Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． 0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”． 则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，12 13()0.60.40.432P B C =??=． 01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=． 2008 已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止． 方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验． 求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率． （20）解：记A 1、A 2分别表示依方案甲需化验1次、2次，B 表示依方案乙需化验3次，A 表示依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数。依题意知A 2与B 独立，且 B A A A 21+=, 5 1C 1)A (P 15 1= = ，5 1A A )A (P 25 142= = ，5 2) (1 3 3 51224= ??= C C C C B P 。 P(A )=P(A 1+A 2·B) =P(A 1)+P(A 2·B)=P(A 1)+P(A 2)·P(B) =5 25 15 1? += 25 7 所以 P(A)=1-P(A )= 25 18=0.72 2009 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束。假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。 （Ⅰ）求再赛2局结束这次比赛的概率；
2020年高考数学(理)热点题型：概率与统计(含答案)
概率与统计 热点一 常见概率模型的概率 几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率、条件概率是高考的热点，几何概型主要以客观题考查，求解的关键在于找准测度(面积，体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列，期望与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式. 【例1】现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏. (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率； (2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列. 解 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为1 3，去参加乙游戏的概率为23. 设“这4个人中恰有i 人去参加甲游戏”为事件A i (i ＝0，1，2，3，4). 则 P (A i )＝C i 4? ??? ? 13i ? ?? ??234－i . (1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P (A 2)＝C 24? ??? ? 132? ?? ??232＝8 27. (2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3＋A 4，且A 3与A 4互斥， ∴P (B )＝P (A 3＋A 4)＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34? ??? ?133 ×23＋C 44? ?? ??134＝19. (3)依题设，ξ的所有可能取值为0，2，4. 且A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥.
2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：与圆有关的最值问题含解析
与圆有关的最值问题 一、考情分析 通过对近几年的高考试题的分析比较发现,高考对直线与圆的考查,呈现逐年加重的趋势,与圆有关的最值问题,更是高考的热点问题.由于圆既能与平面几何相联系,又能与圆锥曲线相结合,命题方式比较灵活,故与圆相关的最值问题备受命题者的青睐. 二、经验分享 1. 与圆有关的最值问题的常见类型及解题策略 (1)与圆有关的长度或距离的最值问题的解法．一般根据长度或距离的几何意义，利用圆的几何性质数形结合求解． (2)与圆上点(x ，y )有关代数式的最值的常见类型及解法．①形如u ＝y －b x －a 型的最值问题，可转化为过点(a ，b )和点(x ，y )的直线的斜率的最值问题；②形如t ＝ax ＋by 型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值 问题；③形如(x －a )2 ＋(y －b )2 型的最值问题，可转化为动点到定点(a ，b )的距离平方的最值问题． 2.与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化 三、知识拓展 1.圆外一点P 到圆C 上点的距离距离的最大值等于，最小值等于PC r -. 2.圆C 上的动点P 到直线l 距离的最大值等于点C 到直线l 距离的最大值加上半径，最小值等于点C 到直线l 距离的最小值减去半径. 3.设点M 是圆C 内一点，过点M 作圆C 的弦，则弦长的最大值为直径，最小的弦长为. 四、题型分析 (一) 与圆相关的最值问题的联系点 1.1 与直线的倾斜角或斜率的最值问题 利用公式k ＝tan α(α≠90°)将直线的斜率与倾斜角紧密联系到一起,通过正切函数的图象可以解决已知斜率的范围探求倾斜角的最值,或者已经倾斜角的范围探求斜率的最值.
(完整版)高中数学概率大题(经典二)
高中数学概率大题（经典二） 一．解答题（共10小题） 1．某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率； （Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）． 2．已知盒中有10个灯泡，其中8个正品，2个次品．需要从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设ξ为取出的次数，求ξ的分布列及Eξ．3．某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老师和张老师负责，已知该系共有n位学生，每次活动均需该系k位学生参加（n和k都是固定的正整数），假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机地发给该系k位学生，且所发信息都能收到，记该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人数为X．（I）求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； （II）求使P（X=m）取得最大值的整数m． 4．在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数． （Ⅰ）写出ξ的分布列（不要求写出计算过程）和数学期望Eξ； （Ⅱ）求概率P（ξ≥Eξ）． 5．A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）： A班 6 6.5 7 7.5 8 B班 6 7 8 9 10 11 12 C班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （Ⅰ）试估计C班的学生人数； （Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； （Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明） 6．某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4 5 P 0.4 0.2 0.2 0.1 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润． （Ⅰ）求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P（A）；
经典高考概率分布类型题归纳
经典高考概率分布类型 题归纳 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
经典高考概率分布类型题归纳 高考真题 一、超几何分布类型 二、二项分布类型 三、超几何分布与二项分布的对比 四、古典概型算法 五、独立事件概率分布之非二项分布（主要在于如何分类） 六、综合算法 高考真题 2010年 22、（本小题满分10分）（相互独立事件） 某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。设生产各种产品相互独立。 （1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布 列； （2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。 【解析】本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。 （1）由题设知，X 的可能取值为10，5，2，-3，且 P （X=10）=0.8×0.9=0.72， P （X=5）=0.2×0.9=0.18， P （X=2）=0.8×0.1=0.08， P （X=-3）=0.2×0.1=0.02。 由此得X 的分布列为： （2）设生产的4件甲产品中一等品有n 件，则二等品有4n -件。 由题设知4(4)10n n --≥，解得14 5 n ≥， 又n N ∈，得3n =，或4n =。 所求概率为3 344 0.80.20.80.8192P C =??+= 答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。
高考数学总复习之【最值问题】专题
专题 最值问题 【考点聚焦】 考点1：向量的概念、向量的加法和减法、向量的坐标运算、平面向量的数量积. 考点2：解斜三角形. 考点3：线段的定比分点、平移. 考点4：向量在平面解析几何、三角、复数中的运用. 考点5：向量在物理学中的运用. 【自我检测】 1、求函数最值的方法：配方法，单调性法，均值不等式法，导数法，判别式法，三角函数有界性，图象法， 2、求几类重要函数的最值方法； （1）二次函数：配方法和函数图像相结合； （2）),0()(R a a x a x x f ∈≠+ =:均值不等式法和单调性加以选择； （3）多元函数：数形结合成或转化为一元函数. 3、实际应用问题中的最值问题一般有下列两种模型：直接法，目标函数法(线性规划，曲函数的最值) 【重点?难点?热点】 问题1：函数的最值问题 函数的最值问题是其他最值问题的基础之一，许多最值问题最后总是转化为函数(特别是二次函数)的最值问题.求函数最值的方法有：配方法、均值不等式法、单调性、导数法、判别式法、有界性、图象法等. 例1：(02年全国理1) 设a 为实数，)(1)(2 R x a x x x f ∈+-+=， （1）讨论)(x f 的奇偶性；（2）求)(x f 的最小值． 思路分析：(1)考察)(x f 与)(x f -是否具有相等或相反的关系；或从特殊情形去估计，再加以验证．(2)二次函数的最值解，一般借助于二次函数的图像，当对称轴与所给区间的相对位置关系不确定，则需分类讨论． (1)解法一：(利用定义)2 )(x x f =-＋1++a x ，2 )(x x f -=-. 1---a x
若2 2),()()(x x f x f x f 即为奇函数，则-=-R x a x a x ∈=+-++此等式对＋.02 都不成立，故)(x f 不是奇函数； 若)(x f 为偶函数，则)()(x f x f =-，即2 x ＋21x a x =++,1+-+a x 此等式对 R x ∈恒成立，只能是0=a ． 故0=a 时，)(x f 为偶数； ≠a 时，)(x f 既不是奇函数也不是偶函数． 解法二：(从特殊考虑),1)0(+=a f 又R x ∈，故)(x f 不可能是奇函数． 若0=a ，则=)(x f 1)(2 ++=-x x x f ，)(x f 为偶函数； 若 ≠a ，则12)(,1)(2 2++=-+=a a a f a a f ，知)()(a f a f ≠-，故)(x f 在 ≠a 时，既不是奇函数又不是偶函数． （2）当a x ≤时，4 3 )2 1(1)(2 2 ++-=++-=a x a x x x f ，由二次函数图象及其性质知：若2 1 ≤ a ，函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为1)(2 +=a a f ；若21>a ，函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为4 3)21(=f ，且 )()2 1 (a f f ≤． 当a x ≥时，函数4 3)21(1)(22 +-+=+-+=a x a x x x f ． 若21-≤a ，函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为a f -=-43)21(，且)()21 (a f f ≤-； 若2 1 ->a ，函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数函数)(x f 在),[+∞a 上的最 小值为1)(2 +=a a f ． 综上所述，当21- ≤a 时，函数)(x f 的最小值是a -43；当2121≤<-a 时，函数)(x f 的最小值为12 +a ；当21>a 时，函数)(x f 的最小值是4 3+a ．
