统计学二项分布习题

(一)单项选择题

1．某地人群中高血压的患病率为π，由该地区随机抽查n 人，则（ ）

A ．样本患病率p =X /n 服从

B （n , π）

B ．n 人中患高血压的人数X 服从B （n , π）

C ．患病人数与样本患病率均不服从B （n , π）

D ．患病人数与样本患病率均服从B （n , π）

答案：B

[评析] 本题考点：二项分布概念的理解。

二项分布中所指的随机变量X 代表n 次试验中出现某种结果的次数，具体到本题目就是指抽查的n 个人中患高血压的人数，因此答案为B 。

2．二项分布近似正态分布的条件是（ ）

A ．n 较大且π接近0

B ．n 较大且π接近1

C ．n 较大且π接近0或1

D ．n 较大且π接近0.5

答案： D

[评析] 本题考点：二项分布的正态近似特性。

从对二项分布特性的描述中可知：当n 较大，π不接近0也不接近1时，二项分布B （n ,π）近似正态分布N （n π, )1(ππ-n ）

。π不接近0也不接近1，等同于π接近0.5，因而此题目答案为D 。

3. 以下分布中，其均数和方差总是相等的是（ ）

A ．正态分布 B. 对称分布

C ．Poisson 分布 D. 二项分布

答案：C

[评析] 本题考点：Poisson 分布的特性。

Poisson 分布P （μ）的参数只有一个，即μ。它的均数和方差均等于μ，这一点大家需要牢记。

4. 测得某地区井水中细菌含量为10000／L,据此估计该地区每毫升井水中细菌平均含

量的95%可信区间为（ ）

A ．1000096.110000± B. 1096.110±

C ．1000

1000096.110± D. 1000096.110± 答案：C

[评析]本题考点：Poisson 分布的正态近似性。

当X 较大（一般大于50）时，Poisson 分布近似正态分布，按照正态分布资料的计算公式计算该地区井水中平均每升细菌含量的95%可信区间，再除以1000即得平均每毫升井水中细菌的平均含量（设1000

X Y =，有1000100001000==X Y S S ）。 （二） 是非题

从装有红、绿、蓝三种颜色的乒乓球各500、300、200只的暗箱中随机取出10个球，以X 代表所取出球中的红色球数，则X 服从二项分布B （10，0.5）。（ ）

答案：正确。

[评析] 本题考点：二项分布的定义。

二项分布成立的条件是：①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。此题目所述情况完全满足后两个条件，关键在于第一个条件的判断，从表面上看，每次试验的结果有三种，但本题目所关心的试验结果是“红色与否”，因而该试验结果仍为两种互斥的情况—“红色”和“非红色”。所以，此题目所述情况满足以上三个条件，X 服从二项分布B （10，0.5）。

（三）计算题

炮击命中目标的概率为0.2，共发射了14发炮弹。已知至少要两发炮弹命中目标才能摧毁之，试求摧毁目标的概率。

答案：0.802

[评析] 本题的考点：二项分布概率函数的理解和应用能力。

摧毁目标的概率即有两发或两发以上炮弹命中目标的概率，此概率又等于1减去只有一发命中或无一命中的概率之差。根据二项分布的概率函数计算如下：

[]

[]802.0154.0044.01)2.01(2.0)()2.01(111311411412=+-=-??+--=-=≤≥X X P P

四、习 题

（一）名词解释

1．二项分布 2. Poisson 分布

3. Bernoulli 试验

（二） 单项选择题：

1. X 1、X 2分别服从二项分布B （n 1，p 1）、B （n 2，p 2），且X 1、X 2相互独立，若要X = X 1＋X 2也服从二项分布，则需满足下列条件（ ）。

A ．X 1=X 2 B. n 1=n 2

C ．p 1=p 2 D. n 1p 1=n 2p 2

2. 二项分布B （n ，p ）的概率分布图在下列哪种条件下为对称分布（ ）。

A ．n=50 B. p=0.5

C ．np=1 D. p=1

3. Poisson 分布P （μ）满足下列何种条件时近似正态分布N （μ，

μ）（ ）。 A ．μ相当大 B.

μ=1 C ．μ=0 D. μ=0.5

4. 已知某高校学生近视眼的患病率为50%，从该高校随机挑选3名学生，其中2人患近视眼的概率为（ ）。

A ．0.125 B. 0.375

C ．0.25 D. 0.5

5. 某自然保护区狮子的平均密度为每平方公里100只，随机抽查其中一平方公里范围内狮子的数量，若进行100次这样的抽查，其中的95次所得数据应在以下范围内（ ）。

A ．5～195

B ．80.4～119.6

C ．95～105

D ．74.2～125.8

（三）简答题

1．服从二项分布及Poisson 分布的条件分别是什么？

2．二项分布、Poisson 分布分别在何种条件下近似正态分布？

3．在何种情况下，可以用率的标准误S p 描述率的抽样误差？

（四）计算题

1. 已知我国成人乙肝病毒表面抗原平均阳性率为10%，现随机抽查某地区10位成人的血清，其中3人为阳性。该地区成人乙肝表面抗原阳性率是否高于全国平均水平？

2. 对甲、乙两种降压药进行临床疗效评价，将某时间段内入院的高血压病人随机分为两组，每组均为100人。甲药治疗组80位患者有效，乙药治疗组50位患者有效，两种降压药有效率有无差别？

3. 某放射性物质发生脉冲频率为100／克／小时，已知某矿区矿石中该放射性物质的含量为4克／千克，今又测得另一矿区同种矿石每千克发生脉冲频率为1000／小时，问两个矿区矿石中该放射性物质的含量是否相等？

4. 一台仪器在10000个工作时内平均发生10次故障，试求在100个工作时内故障不多于两次的概率。

五、习题答题要点

（一）名词解释

1. 二项分布：若一个随机变量X ，它的可能取值是0,1,…,n ，且相应的取值概率为

k n k n k k X P --==)

1()()(ππ 则称此随机变量X 服从以n 、π为参数的二项分布（Binomial Distribution ），记为 X ～B （n ,π）。

2. Poisson 分布：若离散型随机变量X 的取值为0,1,…,n ，且相应的取值概率为

μμ-==e k k X P k

!)(（μ>0）

则称随机变量X 服从以μ为参数的Poisson 分布（Poisson Distribution ），记为X ～P （μ）。

3. Bernoulli 试验：将感兴趣的事件A 出现的试验结果称为“成功”，事件A 不出现的试验结果称为“失败”，这类试验就称为Bernoulli 试验（Bernoulli Test ）。

（二）单项选择题

1.C

2.B

3.A

4.B

5.B

（三）问答题

1.二项分布成立的条件：①每次试验只能是互斥的两个结果之一；②每次试验的条件不变；③各次试验独立。Poisson 分布成立的条件：①平稳性：X 的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关；②独立增量性：在某个观察单位上X 的取值与前面各观察单位上X 的取值无关；③普通性：在充分小的观察单位上X 的取值最多为1。

2. 二项分布的正态近似：当n 较大，π不接近0也不接近1时，二项分布B （n ,π）近似正态分布N （n π, )1(ππ-n ）

。 Poisson 分布的正态近似：Poisson 分布P （μ），当μ相当大时（≥20），其分布近似于正态分布。

3. 当率P 所来自的样本近似服从正态分布时，即n 较大，P 不接近0也不接近1时，可以用率的标准误S p 描述率的抽样误差。

（四）计算题

1. 建立检验假设

H 0：该地区成人乙肝表面抗原阳性率为10%；

H 1：该地区成人乙肝表面抗原阳性率大于10%。

α=0.05。

从总体率为10%的人群随机抽取10人，3人或3人以上阳性的概率为：

P (X ≥3)=1-[P (X =0)+P (X =1)+P (X =2)]=1-[0.910+10*0.1*0.99+45*0.12*0.98]=0.0702 P (X ≥3)＞0.05，在α=0.05水平上，不拒绝H 0，不能认为该地区成人乙肝表面抗原阳性率高于全国水平。

2. 建立检验假设

H 0：两种药有效率无差别；

H 1：两种药有效率有差别。

α=0.05。

)11(2

1212121n n n n X X S p p +++=- 1095.0)100

11001(100100508021=+++=-p p S 2121p p S p p u --= 6312.2114

.05.08.0=-=u ＞2.58，P ＜0.01 在α=0.05水平上，拒绝H 0，接受H 1，即两种降压药有效率有显著差别，甲药比乙药有效率高。

3. 放射性物质含量为4克／千克的矿石每千克的平均脉冲记数为μ=100*4=400／小时，μ值较大，可利用Poisson 分布的近似正态分布特性进行计算。

H 0：两矿区矿石中该放射性物质含量相等，即后一矿区矿石发生脉冲频率的总体均数为400／小时；H 1：两矿区矿石中该放射性物质含量不相等，即后一矿区矿石发生脉冲频率的总体均数不等于400／小时。α=0.05。

00

u u X u -=

30400400

1000=-=u ＞2.58，P ＜0.01。

在α=0.05水平上，拒绝H 0，接受H 1，即两矿区矿石中该放射性物质含量不相等，后一矿区矿石中该放射性物质含量高于前一矿区。

4. 该仪器在100个工作时内故障不多于两次的概率即为)0(=X P ，)1(=X P ，)2(=X P 三者之和。而100个工作时内故障平均次数为=μ1.010********=?

，根据Poisson 分布的概率函数计算如下：

99984.000452.009048.090484.0!2!1!0)2(2

1

=++=++=≤---μμμμμμe e e X P

故该仪器在100个工作时内故障不多于两次的概率为0.99984。

随机变量及其分布列经典例题

随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一.离散型随机变量的定义 1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、 ①随机变量就是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化、 2.表示:随机变量常用字母X ,Ｙ,ξ,η,…表示. 3、所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( dis ｃｒe ｔｅ ｒan ｄｏm ｖar ｉa ｂle ) . 二、离散型随机变量的分布列 1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,ｘi ,…,x n, X 取每一个值x i (ｉ=1,2,…, ｎ)的概率P (X =ｘｉ)=ｐi ,则称表: 为离散型随机变量X Ｐ(X =x i )＝p i , i =１,２,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列、 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①ｐi ≥0,ｉ=１,2,…,n ;②11 =∑=n i i p . 三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X ＝1)为成功概率. 2、超几何分布),,(~n M N H X 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取ｎ件,其中恰有X 件次品,则P (X ＝k )= n N k n M N k M C C C --,k =0,１,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,Ｍ,N ∈N ＊ . 三、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件Ａ发生的概率为p ,则P (Ｘ=k )=C 错误!p k (1－ｐ)n － k ,ｋ=０,1,2,…,n 、此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作X ～B (n ,ｐ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下;

高考真题突破：二项分布及其应用、正态分布

专题十一 概率与统计 第三十六讲二项分布及其应用、正态分布 一、选择题 1．（2015湖北）设211(,)X N μσ:，222(,)Y N μσ:，这两个正态分布密度曲线如图所 示．下列结论中正确的是 A ．21()()P Y P Y μμ≥≥≥ B ．21()()P X P X σσ≤≤≤ C ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≤≥≤ D ．对任意正数t ，()()P X t P Y t ≥≥≥ 2．（2015山东）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布2 (0,3)N ，从中随 机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为 （附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则()68.26%P μσξμσ-<<+=，(22)95.44%P μσξμσ-<<+=） A ．4.56% B ．13.59% C ．27.18% D ．31.74% 3．（2014新课标2）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75， 连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为 优良的概率是 A ．0．8 B ．0．75 C ．0．6 D ．0．45

4.（2011湖北）已知随机变量ξ服从正态分布()2,2σN ，且()8.04=<ξP ，则 ()=<<20ξP A ．6.0 B ．4.0 C ．3.0 D ．2.0 二、填空题 5．（2017新课标Ⅱ）一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放 回地抽取100次，表示抽到的二等品件数，则DX = ． 6．（2016四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次 试验成功，则在2次试验中成功次数X 的均值是 ． 7．（2015广东）已知随机变量X 服从二项分布(),n p B ，若()30E X =，()20D X =， 则p = ． 8．（2012新课标）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工 作，且元件3正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布)50,1000(2N ，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 ． 三、解答题 9．（2017新课标Ⅰ）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线 上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条 生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2 (,)N μσ． (1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(3,3) μσμσ-+之外的零件数，求(1)P X ≥及X 的数学期望； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)μσμσ-+之外的零件，就认为这条生 1 元件2元件3元件

统计学三大分布与正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系[1] 张柏林 41060045 理实1002班 摘要：本文首先将介绍2χ分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质， 然后用理论说明2χ分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件MATLAB 来验证之. 1. 三大分布函数[2] 1.12χ分布 2()n χ分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅 (Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。 定义：若随机变量12n ,,X X …X 相互独立，且都来自正态总体01N （，） ，则称统计量2222 12n =+X X χ++…X 为 服从自由度为n 的2χ分布，记为22~()n χχ. 2χ分布的概率密度函数为 122210(;),2()200n x n x e x n f x n x --?≥??=Γ???? ，2χ分布的密度函数图形是一个只取非负值 的偏态分布，如下图.

卡方分布具有如下基本性质： 性质1：22(()),(())2E n n D n n χχ==； 性质2：若221122(),()X n X n χχ==，12,X X 相互独立，则21212~()X X n n χ++； 性质3：2 n χ→∞→时，（ n ）正态分布； 性质4：设)(~2 2n αχχ，对给定的实数 ),10(<<αα称满足条件: αχχαχα==>? +∞ ) (222 )()}({n dx x f n P 的点)(2 n α χ为)(2n χ分布的水平α的上侧分位数. 简称为上侧α分位数. 对不同的α与n , 分位数的值已经编制成表供查用. 2()n χ分布的上α分位数 1.2t 分布 t 分布也称为学生分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student”的笔名首次发表的，这个分布在数理统计中也占有重要的位置. 定义：设2 ~0~X N χ（，1），Y （n ），,X Y 相互独立，，则称统计量 T = 服从自由度为n 的t 分布，记为~()T t n . t 分布的密度函数为

常用医学统计学方法汇总

选择合适的统计学方法 1连续性资料 1.1 两组独立样本比较 1.1.1 资料符合正态分布,且两组方差齐性,直接采用t检验。 1.1.2 资料不符合正态分布，（1）可进行数据转换,如对数转换等,使之服从正态分布,然后对转换后的数据采用t检验；（2）采用非参数检验,如Wilcoxon检验。 1.1.3 资料方差不齐，（1）采用Satterthwate 的t’检验；（2）采用非参数检验,如Wilcoxon检验。 1.2 两组配对样本的比较 1.2.1 两组差值服从正态分布，采用配对t检验。 1.2.2 两组差值不服从正态分布，采用wilcoxon的符号配对秩和检验。 1.3 多组完全随机样本比较 1.3.1资料符合正态分布，且各组方差齐性，直接采用完全随机的方差分析。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，两两比较的方法有LSD检验，Bonferroni法，tukey 法，Scheffe法，SNK法等。 1.3.2资料不符合正态分布，或各组方差不齐，则采用非参数检验的Kruscal－Wallis法。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，一般采用Bonferroni法校正P值，然后用成组的Wilcoxon检验。 1.4 多组随机区组样本比较 1.4.1资料符合正态分布，且各组方差齐性，直接采用随机区组的方差分析。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，两两比较的方法有LSD检验，Bonferroni法，tukey 法，Scheffe法，SNK法等。 1.4.2资料不符合正态分布，或各组方差不齐，则采用非参数检验的Fridman检验法。如果检验结果为有统计学意义，则进一步作两两比较，一般采用Bonferroni法校正P值，然后用符号配对的Wilcoxon检验。 ****需要注意的问题： （1）一般来说，如果是大样本，比如各组例数大于50，可以不作正态性检验，直接采用t 检验或方差分析。因为统计学上有中心极限定理，假定大样本是服从正态分布的。 （2）当进行多组比较时，最容易犯的错误是仅比较其中的两组，而不顾其他组，这样作容易增大犯假阳性错误的概率。正确的做法应该是，先作总的各组间的比较，如果总的来说差别有统计学意义，然后才能作其中任意两组的比较，这些两两比较有特定的统计方法，如上面提到的LSD检验，Bonferroni法，tukey法，Scheffe法，SNK法等。**绝不能对其中的两

二项分布专题练习

二项分布专题练习 1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3?? ??? ，则P (X ＝2)＝( )． A ． 316 B ． 4243 C ． 13 243 D ． 80 243 2．设某批电子手表正品率为 34，次品率为1 4 ，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )． A ．223 13C 44??? ??? B ．2 2331C 44 ??? ? ?? C ．2 1344 ??? ??? D ．2 3144 ??? ??? 3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )． A ．0.6k － 1×0.4 B ．0.24k －1×0.76 C ．0.4k －1×0.6 D ．0.76k － 1×0.24 4．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )． A ．2191010n k -???? ? ? ???? B ． 191010k n k -???? ? ? ???? C ．1119C 1010k n k k n ---???? ? ????? D ．1 1119C 1010k n k k n ----???? ? ??? ?? 5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为 65 81 ，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ． 13 B ． 25 C ． 56 D ． 34 6．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为4 5 ，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________． 7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答) 8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数)

二项分布经典例题+测验题

二项分布 1．n 次独立重复实验 一般地，由n 次实验构成，且每次实验相互独立完成，每次实验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次实验中()0P A p =>。我们将这样的实验称为n 次独立重复实验，也称为伯努利实验。 （1）独立重复实验满足的条件第一：每次实验是在同样条件下进行的；第二：各次实验中的事件是互相独立的；第三：每次实验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k == k k n k n C p q -，其中 0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2 1，乙每次击中目标的概率为3 2 . （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】 1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且

规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X的分布列。 (Ⅱ)求X的数学期望E(X). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投 篮投中的概率为1 3,乙每次投篮投中的概率为1 2 ,且各次投篮互不 影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率。 (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望 3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜 4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是1 2 ， 试求需要比赛场数的期望． 3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。

二项分布经典例题+测验题资料

二项分布经典例题+测 验题

二项分布 1．n 次独立重复实验 一般地，由n 次实验构成，且每次实验相互独立完成，每次实验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次实验中()0P A p =>。我们将这样的实验称为n 次独立重复实验，也称为伯努利实验。 （1）独立重复实验满足的条件第一：每次实验是在同样条件下进行的；第二：各次实验中的事件是互相独立的；第三：每次实验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n k n C p q -，其中 0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2 1，乙每次击中目标的概率为3 2. （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】

1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球, 且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X的分布列。 (Ⅱ)求X的数学期望E(X). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每 次投篮投中的概率为1 3,乙每次投篮投中的概率为1 2 ,且各次投篮 互不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率。 (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望 3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是 1 2 ，试求需要比赛场数的期望． 3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。

二项分布经典例题练习题

二项分 布 1．n 次独立重复试验 一般地，由n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次试验中()0P A p =>。我们将这样的试验称为n 次独立重复试验，也称为伯努利试验。 （1）独立重复试验满足的条件第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n k n C p q -，其中0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==L 则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p :。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 2.一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到 红灯的事件是相互独立的，并且概率都是31 . (1)设ξ为这名学生在途中遇到红灯的次数，求ξ的分布列； (2)设η为这名学生在首次停车前经过的路口数，求η的分布列；

(3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率. 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为 21，乙每次击中目标的概率为3 2. （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】 1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且规定:取出一个白球的 2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X 为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X 的分布列; (Ⅱ)求X 的数学期望E (X ). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜 或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投篮投中的概率为1 3 ,乙每次投篮投中的概 率为1 2 ,且各次投篮互不影响. (Ⅰ)求甲获胜的概率; (Ⅱ)求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列与期望

二项分布高考试题.

二项分布练习题目： 1.某人射击一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击,此人恰有两次击中目标的概率为 2.加工某种零件需经过三道工序。设第一、二、三道工序的合格率分别为10 9、9 8、8 7，且各道工序互不影响。 (1) 求该种零件的合格率； (2) 从该种零件中任取3件，求恰好取到一件合格品的概率和至少取到一件合格品的概率。 （Ⅰ）解：9877 109810 P = ??=； （Ⅱ）解法一： 该种零件的合格品率为10 7，由独立重复试验的概率公式得： 恰好取到一件合格品的概率为 12 373()0.1891010C ? ?=， 至少取到一件合格品的概率为 .973.0)10 3 (13=- 解法二： 恰好取到一件合格品的概率为1237 3 ()0.1891010 C ??=， 至少取到一件合格品的概率为 1 22233 33373737()()()0.973.1010101010 C C C ? ?+?+= 3. 9粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种

子发芽的概率为5.0，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。 （Ⅰ）求甲坑不需要补种的概率； （Ⅱ）求3个坑中恰有1个坑不需要补种的概率； （Ⅲ）求有坑需要补种的概率。 （Ⅰ）解：因为甲坑内的3粒种子都不发芽的概率为 8 1)5.01(3=-，所以甲坑不需要补种的概率为 .875.08 7 8 11==- （Ⅱ）解：3个坑恰有一个坑不需要补种的概率为 .041.0)8 1(8 721 3=??C （Ⅲ）解法一：因为3个坑都不需要补种的概率为3)8 7(， 所以有坑需要补种的概率为 .330.0)8 7(13=- 解法二：3个坑中恰有1个坑需要补种的概率为 ,287.0)8 7(8 121 3=??C 恰有2个坑需要补种的概率为 ,041.087 )81(223=??C 3个坑都需要补种的概率为 .002.0)8 7()81(033 3=??C 4.某学生在上学路上要经过4个路口，假设在各路口是

三大抽样分布

三大抽样分布 众所周知，在概率论中有二项分布、正态分布、泊松分布着三大分布，而统计学中也有三大抽样分布，分别是x2 分布、t布和F分布。这三大抽样分布的发现正好是现代统计学的形成时期，对于以参数统计推断为主要内容的现代统计学理论的形成有着重要意义。X2分布的发现来源于Kad Pears0n创立X2拟合优度理论的过程，而t分布的发现来源于Gosset小样本理论的创立过程，F分布则是来源于Fisher创立方差分析理论的过程。 三大抽样分布的研究意义 c．R．Rao曾经说过“在终极的分析中，一切知识都是历史，在抽象的意义下，一切科学都是数学，在理性的基础上，所有的判断都是统计学。”这句话一语道破统计学的重要性。三大抽样分布在统计学理论中占据着重要地位，由此可见，研究三大抽样分布对于科学研究有着重要意义。在实际工作中，统计工作者对于三大抽样分布的研究必不可少，通过研究三大抽样分布的产生、发展和完善，能够充分了解三大抽样分布理论的重要性。具体到统计学三大分布，对于三大分布理论的研究，能够在充分吸收前人研究成果的基础上不断进行理论创新，从而推动科学技术的进步。纵观所有的科技进步，无一不是在充分研究前人成果的基础上发展而来的研究统计学三大抽样分布，对于我国社会经济发展有着重要的推动作用。三大抽样分布产生于19世纪末20世纪初，在统计学的发展过程中，每一次新的分析统计数据概率模型的发现，统计学理论都会发生一次重大飞跃。为此，要想研究三大抽样分布，就应该对其发展过程进行研究。统计量是样本的函数，是随机变量，有其概率分布，统计量的分布称为抽样分布。 X2分布 x2的早期发展 由于受到中心极限定理和正态误差理论的影响，正态分布一直在统计学中占据重要地位。在很多数学家和哲学家心目中，正态分布是唯一可用的分析和解释统计数据的方法。但是随着时代的发展，一些学者开始对正态性提出了质疑，随后，在多位科学家的试验验证下，正态分布与实际数据拟合不好的情况日渐凸显出来，科学家纷纷开始研究比正态分布范围更广的分布类型，波那个人产生了偏态分布，其中，x2就是最早的偏态分布最早引入偏态分布的是JamesClerk Maxwel，他在研究气体分子运动的过程中引入了X2分布。1891年，X2分布首次被作为统计量的分布导出。Pizzetti在求线性 模型最小二乘估计残差平方和的分布时，通过富氏分析法得出了X2的分布。随着时代的发展，正态分布理论的局限更加明显，更加推动了偏态分布的发展。KarlPearson是对偏态分布贡献最大的人，成为了一代统计学巨人。按照他的观点，统计学应该把在模型基础上对观测数据进行有效预测作为基本任务，所以他开创了一族曲线对观测数据进行拟合，使得分布拟台数据的应用范围进一步扩大。 X2模型

正态分布及其经典习题和答案

专题：正态分布 【知识网络】 1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念； 2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题； 3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】 例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。 （3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102)， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.34131610 10P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ???。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。 答案：8.5。解析：设两数之积为X ， ∴E(X)=8.5. （5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1 ,1x σμ?，2为)(22x σμ?， 则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5 9 61321210313010=?+?+?+? . （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则

(完整word版)统计学三大分布与正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系 [1] 张柏林 41060045 理实1002班 摘要：本文首先将介绍 2分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质， 然后 用理论说明2分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件 MATLAB 来验证之. 1.三大分布函数[2] 1.1 2分布 2（n ）分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅 （Benayme ）赫尔默特（Helmert ）、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发 现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。 定义：若随机变量X 1,X 2,…X n 相互独立，且都来自正态总体 N （0,，）,则称 统计量 2 =x ； X ；…+X ；为服从自由度为n 的2分布，记为 2 2 ~ （n ）. 2 分布的概率密度函数为 1 x e 2 x 0 J x 0 其中伽玛函数（X ） e t t x 1dt,x 0， 2 分布的密度函数图形是一个只取非负值 的偏态分布，如下图? x 2 n 2° f(x; n)

2(n2) ,X!,X2相互独立，则X! X2~ 2g n2); 性质3: n 时，2(n) 正态分布; 性质4:设2~ 2(n),对给定的实数 (0 1),称满足条件： P{ 2 2(n)} 2(、f(x)dx (n) 的点2(n)为2(n)分布的水平的上侧分位数. 简称为上侧分位数.对不同的与n,分位 数的值已经编制成表供查 分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student的'笔名 布在数理统计中也占有重要的位置. 1), Y?2(n), X,Y相互独立，，则称统计量T —X VY/ n 分布，记为T~t( n). 为 性质1: E( 2(n)) n,D( 2(n)) 2n ; 性质2:若X! 2(nJ,X2

统计学常用分布及其分位数

§1、4 常用得分布及其分位数 1、 卡平方分布 卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布,它们与正态分布一起,就是试验统计中常用得分布。 当X 1、X 2、… 、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时,Z=∑i i X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布,记作Z ～2χ(n),它得分布 密度 p(z )=??? ????>??? ??Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得??? ??Γ2n =u d e u u n ?∞+--012,称为Gamma 函数,且()1Γ=1, ?? ? ??Γ21=π。2χ分布就是非对称分布,具有可加性,即当Y 与Z 相互独立,且Y ～2χ(n ),Z ～2χ(m ),则Y+Z ～2χ(n+m )。 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、 X n+m 相互独立且都服从N(0,1),再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性,令 Y=X 21+X 22+…+X 2n ,Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +, Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +, 即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。 2、 t 分布 若X 与Y 相互独立,且 X ～N(0,1),Y ～2χ(n ),则Z =n Y X 得分布称为自由度等于n 得t 分布,记作Z ～ t (n ),它得分布密度 P(z)=)()(221n n n ΓΓ+2121+-???? ??+n n z 。 请注意:t 分布得分布密度也就是偶函数,且当n>30时,t

二项分布与正态分布-高考理科数学试题

（五十七） 二项分布与正态分布 [一般难度题——全员必做] 1．若同时抛掷两枚骰子，当至少有5点或6点出现时，就说这次试验成功，则在3次试验中至少有1次成功的概率是( ) A.125729 B.80243 C.665729 D.100243 解析：选C 一次试验中，至少有5点或6点出现的概率为1－???1－13×???1－13＝1－49＝5 9 ，设X 为3次试验中成功的次数，则X ～B ????3，59，故所求概率P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 03 ×????590×????493＝665729，故选C. 2．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是1 2， 则μ＝( ) A ．1 B ．4 C ．2 D ．不能确定 解析：选B 根据题意函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时， Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4.根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是1 2 时，μ＝4. 3．为向国际化大都市目标迈进，某市今年新建三大类重点工程，它们分别是30项基础设施类工程、20项民生类工程和10项产业建设类工程．现有3名民工相互独立地从这60个项目中任选一个项目参与建设，则这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是( ) A.1 2 B.1 3 C.14 D.16 解析：选D 记第i 名民工选择的项目属于基础设施类、民生类、产业建设类分别为事件A i 、B i 、C i ，i ＝1、2、3.由题意知，事件A i 、B i 、C i (i ＝1、2、3)相互独立，则P (A i )＝ 30 60＝12，P (B i )＝2060＝13，P (C i )＝1060＝1 6(i ＝1、2、3)，故这3名民工选择的项目所属类别互异的概率是P ＝A 33P (A i B i C i )＝6×12×13×16＝16 .选D. 4．某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小

统计学三大分布及正态分布的关系

统计学三大分布与正态分布的关系 [1] 张柏林 41060045 理实1002班 摘要：本文首先将介绍2χ分布，t 分布，F 分布和正态分布的定义及基本性质， 然后用理论说明2χ分布，t 分布，F 分布与正态分布的关系，并且利用数学软件MATLAB 来验证之. 1.三大分布函数[2] 1.12χ分布 2()n χ分布是一种连续型随机变量的概率分布。这个分布是由别奈梅(Benayme)、赫尔默特(Helmert)、皮尔逊分别于1858年、1876年、1900年所发现，它是由正态分布派生出来的，主要用于列联表检验。 定义：若随机变量12n ,,X X …X 相互独立，且都来自正态总体01N （，） ，则称统计量222 212n =+X X χ++…X 为服从自由度为n 的2χ分布， 记为22~()n χχ. 2χ分布的概率密度函数为 122210(;),2()200n x n x e x n f x n x --?≥??=Γ???? ，2χ分布的密度函数图形是一个只取非负值的偏态分布，如下图.

卡方分布具有如下基本性质： 性质1：22(()),(())2E n n D n n χχ==； 性质2：若221122(),()X n X n χχ==，12,X X 相互独立，则21212~()X X n n χ++； 性质3：2 n χ→∞→时，（ n ）正态分布； 性质4：设)(~2 2n α χχ，对给定的实数),10(<<αα称满足条 件:αχχα χα ==>?+∞ ) (2 22)()}({n dx x f n P 的点)(2 n α χ为)(2n χ分布的水平α的上侧分位数. 简称为上侧α分位数. 对不同的α与n , 分位数的值已经编制成表供查 用. 2()n χ分布的上α分位数 1.2t 分布 t 分布也称为学生分布，是由英国统计学家戈赛特在1908年“student ”的笔名 首次发表的，这个分布在数理统计中也占有重要的位置. 定义：设2 ~0~X N χ（，1），Y （n ），,X Y 相互独立，，则称统计量/T Y n = 服从自由度为n 的t 分布，记为~()T t n .

正态分布附其经典习题及答案

25.3正态分布 【知识网络】 1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念； 2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题； 3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】 例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。 （3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是（） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102 )， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.3413161010P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ???。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________。 ∴ （5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1 ,1x σμ?，2为)(22x σμ?， 则1μ2μ，1σ2σ（填大于，小于） 答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 例2 ：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5 9 61321210313010=?+?+?+? . （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则

独立重复试验与二项分布含解析理

课后限时集训(五十七) (建议用时：60分钟) A 组 基础达标 一、选择题 1．甲、乙、丙三人进行象棋比赛，每两人比赛一场，共赛三场．每场比赛没有平局，在每一场比赛中，甲胜乙的概率为23，甲胜丙的概率为14，乙胜丙的概率为1 5.则甲获第一名且丙 获第二名的概率为( ) A.11 12 B.16 C.130 D.215 D [设“甲胜乙”“甲胜丙”“乙胜丙”分别为事件A ，B ，C ，事件“甲获第一名且丙获第二名”为A ∩B ∩–C ，所以P (甲获第一名且丙获第二名)＝P (A ∩B ∩–C )＝P (A )P (B )P (– C )＝23×14×45＝215 .] 2．甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为12和1 3，甲、乙两人各射击一次，有下列 说法：①目标恰好被命中一次的概率为12＋13；②目标恰好被命中两次的概率为12×1 3；③目标 被命中的概率为12×23＋12×13；④目标被命中的概率为1－12×2 3 ，以上说法正确的是( ) A ．②③ B ．①②③ C ．②④ D ．①③ C [对于说法①，目标恰好被命中一次的概率为12×23＋12×13＝1 2，所以①错误，结合选项 可知，排除B 、D ；对于说法③，目标被命中的概率为12×23＋12×13＋12×1 3，所以③错误，排除 A.故选C.] 3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和3 4，两个零件是否加工 为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16

B [设事件A ：甲实习生加工的零件为一等品； 事件B ：乙实习生加工的零件为一等品， 则P (A )＝23，P (B )＝3 4 ， 所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为 P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )P (B －)＋P (A － )P (B )＝ 23×? ????1－34＋? ????1－23×34＝5 12.] 4．某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪烁，已知开关第一次闭合后出现红灯的概率为12，两次闭合后都出现红灯的概率为1 5，则开关在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯的概率为( ) A.1 10 B.15 C.25 D.12 C [设“开关第一次闭合后出现红灯”为事件A ，“开关第二次闭合后出现红灯”为事件B ，则“开关两次闭合后都出现红灯”为事件AB ，“在第一次闭合后出现红灯的条件下第二次闭合后出现红灯”为事件B |A ，由题意得P (B |A )＝ P AB P A ＝2 5 ，故选C.] 5．(2018·绵阳诊断)某射手每次射击击中目标的概率是2 3，且各次射击的结果互不影 响．假设这名射手射击5次，则有3次连续击中目标，另外2次未击中目标的概率为( ) A.89 B.7381 C.881 D.19 C [因为该射手每次射击击中目标的概率是23，所以每次射击不中的概率为1 3，设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“该射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则P (A )＝P (A 1A 2A 3–A 4– A 5)＋P (–A 1A 2A 3A 4–A 5)＋P (–A 1– A 2A 3A 4A 5) ＝? ????233 ×? ????132 ＋13×? ????233 ×13＋? ????132 ×? ????233 ＝881 .] 二、填空题 6．投掷一枚图钉，设钉尖向上的概率为P ，连续掷一枚图钉3次，若出现2次钉尖向上的概率小于3次钉尖向上的概率，则P 的取值范围为________．

统计学常用分布

二项分布(,)B n p n 为试验次数，p 为每次成功概率 {}x x n x n p X x C p q -== 其中1p q += (),()E X np Var X npq == ()()tX t n E e q pe =+其中t -￥<<￥ 解释：n 重贝努里实验中正好成功x 次的概率 几何分布()Geo p p 为成功概率 ()x P X x pq == 2(),()E X q p Var X q p == ()(1),ln tX t E e p qe t q =-<- 解释：n 重贝努里实验中首次成功正好在第x+1次 负二项分布(,),1NB k p k >，k 为成功次数，01p <<，p 为成功概率 1{}x k x k x P X x C p q +-== 2(),()E X kq p Var X kq p == ()(),ln 1tX k t p E e t q qe =<-- 解释：贝努里实验系列中第k 次成功正好出现在第x ＋k 次实验上地概率 泊松分布()P l {},0! x P X x e x l l l -==> (),()E X Var X l l == (1)()t tX e E e e l -=，t -￥<<￥ 解释：贝努里概型中的实验次数很大，但每次成功的概率很小，平均成功次数接近于常数

均匀分布(,)U a b 1 (),X f x a x b b a =<<-；(),X x a F x a x b b a -=<<- 2 ()(),()212a b b a E X Var X +-== 11 ()(1)()r r r b a E X r b a ++-=+- 正态分布2(,)N m s 2 1) 2()x X f x m s -- = 2(),()E X Var X m s == 22 1 2()t t tX E e e m s += 对数正态分布2log (,)N m s 2 1 ln () 2()x X f x m s --=2 221 22(),()(1)E X e Var X e e m m s s ++==- 22 1 2()t t t E X e m s += 解释：如果X~2log (,)N m s ,则logX ～2(,)N m s 指数分布()Exp l ()x X f x e l l -=，()1x X F x e l -=- 21 1 (),()E X Var X l l == (1) ()r r r E X l G += 1()(1,X t M t t l l -=-<