二项分布经典例题复习总结练练习习题.docx
二项分布
1． n 次独立重复试验
一般地，由 n 次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有
两种对立的状态， 即 A 与 A ，每次试验中 P( A) p 0 。我们将这样的试验称为 n
次独立重复试验，也称为伯努利试验。
（ 1）独立重复试验满足的条件 第一：每次试验是在同样条件下进行的；第二：各次试验中的事件是互相独立的；第三：每次试验都只有两种结果。
（ 2 ） n 次 独 立 重 复 试 验 中 事 件 A 恰 好 发 生 k 次 的 概 率
P( X k) C n k p k (1 p) n k 。
2．二项分布
若 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 P( X k)
C n k p k q n k
， 其 中
0 p 1.p q 1,k 0,1,2,L ,n, 则称 X 服从参数为 n, p 的二项分布，记作 X : B(n, p) 。
1．一盒零件中有 9 个正品和 3 个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数 X 的概率分布。
2. 一名学生每天骑车上学， 从他家到学校的途中有 6 个交通岗，假设他在各个交 通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是
1 . (1)
3
设 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求
的分布列；
(2) 设 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求 的分布列；
(3) 求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率 .
3. 甲乙两人各进行 3 次射击，甲每次击中目标的概率为 1
，乙每次击中目标的概
2 率为 2
.
3
（ 1）记甲击中目标的此时为 ，求 的分布列及数学期望； （ 2）求乙至多击中目标 2 次的概率；
（ 3）求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率 . 【巩固练习】
1. 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球 , 且规定 : 取出一个白球的 2 分, 取出一个黑
球的 1 分. 现从该箱中任取 ( 无放回 , 且每球取到的机会均等 )3 个球 , 记随机
变量 X 为取出 3 球所得分数之和 .
( Ⅰ ) 求 X 的分布列 ;
( Ⅱ ) 求 X 的数学期望 E( X).
2 甲、乙两人轮流投篮 , 每人每次投一球 ,. 约定甲先投且先投中者获胜
, 一直到有
人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束 . 设甲每次投篮投中的概率为 1
, 乙
3
每次投篮投中的概率为
1
, 且各次投篮互不影响
.
2
( Ⅰ ) 求甲获胜的概率 ;
( Ⅱ ) 求投篮结束时甲的投篮次数
的分布列与期望
3．设篮球队 A 与 B 进行比赛，每场比赛均有一队胜， 若有一队胜 4 场则比赛 宣告结束，假定 A, B 在每场比赛中获胜的概率都是
1
，试求需要比赛场数的
2
期望．
3．电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况
, 随机抽取
了 100 名观众进行调查 . 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图 ;
将日均收看该体育节目时间不低于
40 分钟的观众称为“体育迷” .
( Ⅰ ) 根据已知条件完成下面的列联表 , 并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关
( Ⅱ ) 将上述调查所得到的频率视为概率
. 现在从该地区大量电视观众中 , 采
用随机抽
样方法每次抽取 1 名观众 , 抽取 3 次, 记被抽取的 3 名观众中的“体育迷”人数为 X. 若每次抽取的结果是相互独立的 , 求 X 的分布列 , 期望和方差 .
5. 某项选拔共有三轮考核， 每轮设有一个问题， 能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰，已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为
4 、 3 、
2
，且各轮问题能否正确回答互不影响 .
5 5 5
（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率；
（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为 ξ，求随机变量 ξ的分布列与数数期望 . （注：本小题结果可用分数表示）
6. 一批产品共 10 件，其中 7 件正品， 3 件次品，每次从这批产品中任取一件，
在下述三种情况下，分别求直至取得正品时所需次数的概率分别布 .
(1) 每次取出的产品不再放回去；（ 2）每次取出的产品仍放回去；
（ 3）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中 7. 设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量 x 2+bx+c=0 实根的个数（重根按一个计） ．
（ I ）求方程 x 2 +bx+c=0 有实根的概率；
（ II ）求 ξ 的分布列和数学期望；
8. （本题满分 12 分）某商场为吸引顾客消费推出一项优惠活动消费额每满 100 元可转动如图所示的转盘一次， 并获得相应 .
ξ 表示方程
. 活动规则如下：
A
C 60
B
金的返券，假定指等可能地停在任一位置 . 若指停在 A 区域返券 60 元；停在 B 区域返券 30 元；停在 C 区域不返券 . 例如：消 218 元，可 2 次，所得的返券金是两次金之和 .
（I ）若某位客消 128 元，求返券金不低于 30 元的概率；
（II ）若某位客恰好消 280 元，并按参与了活，他得返券的金（元），求随
机量的分布列和数学期望 .
9. ( 本分 12 分) 中国?黄石第三届国冶文化旅游将于 2012 年 8 月 20 日在黄石
山行，了搞好接待工作，委会准在湖北理工学院和湖北范学院分招募 8 名和 12 名志愿者，将 20 名志愿者的身高成如下茎叶（位： cm）
若身高在 175cm以上（包括 175cm）定“高个子” ，身高在 175cm以下（不包括175cm）定“非高个子” ，且只有湖北范学院的“高个子”才能
担任“兼游”。
（1）根据志愿者的身高茎叶指出湖北
范学院志愿者身高的中位数；
（2）如果用分抽的方法从“高个子”
和“非高个子”中抽取 5 人，再从 5 人中 2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少（3）若从所有“高个子”中 3 名志愿者，湖北理工学院湖北师范学院
91589
91612589 65017346
721801
119
用表示所志愿者中能担任“兼游”的人
数，写出的分布列，并求的数学期望。
10.某品按行生准分成 8 个等，等系数 X 依次 1,2 ，??， 8，其中 X≥5 准 A，X≥3 准 B，已知甲厂行准 A 生品，品的零售价 6 元/ 件；乙厂行准 B 生品，品的零售价 4 元/ 件，假定甲、
乙两厂得品都符合相的行准
（ I ）已知甲厂品的等系数 X1的概率分布列如下所示：
x1
5678
P0．4a b0．1
且 X1的数字期望 EX1 =6，求 a， b 的；
（II ）分析乙厂品的等系数 X2，从厂生的品中随机抽取 30 件，相的等系数成一个本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 34
6 3 4
7 5 3 4
8 53
8 3 4 3 4 4 7 5 67
用个本的率分布估体分布，将率概率，求等系数X2的数学期望 .
11.受在保修期内修等因素的影响，企生每的利与
首次出现故障的时间有关， 某轿车制造厂生产甲、 乙两种品牌轿车， 保修期均为 2 年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取 50 辆，统计书数据如下：
将频率视为概率，解答下列问题：
（ I ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆， 求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（ I I ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为，
生产一辆乙品牌轿车的利润为，分别求，的分布列；
（ I II ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其
中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车说明理由。
巩固练习答案
1. 【解析 】本题主要考察分布列 , 数学期望等知识点 .
( Ⅰ ) X 的可能取值有 :3,4,5,6.
C 53 5
C 52C 41 20
P (X 3)
C 3
42 ;
P ( X 4)
C 3
42 ;
9
9
C 51C 42 15
C 43
2
P (X 5)
C 3
42 ; P ( X 6)
C 3
42 .
9
9
故 , 所求 X 的分布列为
X
3
4
5
6
5 20 10 15 5 2
1
P
42
42
21
42
14
42 21
( Ⅱ ) 所求 X 的数学期望
E ( X ) 为 :
6
13 . 【答案 】 ( Ⅰ) 见解析 ;( Ⅱ )
13
.
( )=
i P(X i )
E X
3
3
i
4
2. 【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事件的概率
, 考查运用概
率知识解决实际问题的能力
, 相互独立事件是指两事件发生的概率互不影响
, 注意应用
相互独立事件同时发生的概率公式.
解 : 设 A k ,
B k 分别表示甲、乙在第
k 次投篮投中 , 则
P A k
1 , P B k 1 , k
1,2,3
3 2
(1) 记“甲获胜”为事件 C, 由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概
率计算公式知 , P C
P A 1 P A 1 B 1 A 2 P A 1 B 1 A 2 B 2 A 3
P A 1 P A 1 P B 1 P A 2
P A 1 P B 1 P A 2 P B 2 P A 3
1 2 1 1 2
2
1 1 1 1
13
2 1 3
3 2 3 3 2
3
3
9 27 27
(2)
的所有可能为 : 1,2,3
由独立性知 :
P
1
P A 1
P A 1B 1
1 2 1
2
3
3
2
3
2 1 1
2
2
2 P
2 P A 1 B 1 A 2
P A 1 B 1 A 2 B 2
2 1
3 2 3
3
2
9
2 2
2
1
P
1
3 P A 1 B 1 A 2 B 2
2
9
3
综上知 ,
有分布列
1
2 3
P
2 2 1
3
9
9
从而 , E1
2
2 2 3
1
13
( 次 )
3
9
9
9
3. 解：（ 1）事件“ X
4 ”表示， A 胜 4 场或 B 胜 4 场（即 B 负 4 场或 A 负 4 场），且两
两互斥．
P( X 4) C 44 (
1
)
4
( 1 )
0 C 40
( 1
)0
( 1
)4
2 ；
2 2 2 2
16
（ 2）事件“ X 5 ”表示， A 在第 5 场中取胜且前 4 场中胜 3 场，或 B 在第 5 场中取胜且前
4 场中胜 3 场（即第
5 场 A 负且 4 场中 A 负了 3 场），且这两者又是互斥的，所
以
P( X 5)
1 C 43 ( 1 )3 ( 1)4 3 1 C 41( 1 )1 (1 )4 1 4
2 2 2 2 2 2 16
（ 3）类似地，事件“
X 6 ”、 “ X 7 ”的概率分别为
P( X 6)
1 C 53 ( 1 )3 (1 )5 3 1 C 5
2 ( 1 )2 (1 )5 2 5 ，
2 2 2 2 2 2 16 P( X 7)
1 C 63 ( 1 )3 ( 1) 6 3 1 C 63 ( 1)3 (1 )6 3
5
2 2 2
2 2 2
16
比赛场数的分布列为
X
4
5
6 7
2
4
5
5
P
16
16
16
16
故比赛的期望为
2 4 5
7
5
E( X ) 4
5 6
5.8125 （场）
16
16
16
16
这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行
6 场才能分出胜负．
4. 【答案及解析】
(I) 由频率颁布直方图可知 , 在抽取的 100 人中 ,“体育迷” 有 25 人 , 从而 2× 2 列联表如
下 :
由 2×2 列联表中数据代入公式计算
, 得 :
因为 <, 所以 , 没有理由认为“体育迷”与性别有关 .
(II) 由频率颁布直方图知抽到 “体育迷” 的频率为 , 将频率视为概率 , 即从观众中抽取一名
“体育迷”的概率为 , 由题意 ,
, 从而 X 的分布列为 :
【点评】 本题主要考查统计中的频率分布直方图、 独立性检验、 离散型随机变量的分布
列 , 期望和方差 , 考查分析解决问题的能力、 运算求解能力 , 难度适中 . 准确读取频率分布直
方图中的数据是解题的关键 .
5. （Ⅰ）解法一：记“该选手能正确回答第
i 轮的问题”的事件为
( i
1 2 3)
A i
，， ，
则 P( A 1 )
4 ， P( A 2 )
3 ， P( A 3 )
2 55
，
5
该选手被淘汰的概率
P P( A 1 A 1 A 2 A 2 A 2 A 3 ) P( A 1 ) P( A 1 )P( A 2 ) P(A 1) P( A 2 )P( A 3 )
1 4
2 4
3 3 101 ．
5
5
5 5 5
5 125
i
(
1 2 3)
（Ⅰ）解法二：记“该选手能正确回答第
轮的问题”的事件为
i
A i
，， ，
则 P( A 1 )
4
， P( A 2 )
3
， P( A 3 )
2 55
．
5
该选手被淘汰的概率
P 1 P( A 1 A 2 A 3 ) 1 P( A 1 )P( A 2 )P( A 3 )
1 4 3
2 101 ．
5 5 5 125
1 （Ⅱ）
的可能值为 12，，3， P(
1) P( A 1 )
，
5
P( 2) P( A 1 A 2 ) P( A 1 )P( A 2 )
4 2 8
5 5 ，
25 P( 3) P( A 1A 2 ) P( A 1 )P( A 2 )
4 3 12 5
5
．
25
的分布列为
1 2 3
P 1 8 12
5
25
25
E
1 1
2 8
3 12
57 ．
5 25 25 25
6. （ 1） X 的所有可能 1，2， 3， 4。 X 的分布列
P(X=1)=7/10 ，
P(X=2)=3/10 ×7/9=7/30 ，
P(X=3)=3/10 ×2/9 ×7/8=7/120 ，
P(X=4)=3/10 ×2/9 ×1/8=1/120 。
（2） X 的所有可能 1， 2， 3， 4。 X 的分布列
P(X=k)=
( 3 )k 1
.
7
， k=1， 2， 3，??
10
10
（ 3） X 的所有可能 1， 2， 3， 4。 X 的分布列
P(X=1)=7/10 ，
P(X=2)=3/10 ×8/10=6/25 ，P(X=3)=3/10 ×2/10 ×9/10 =27/500 ，
P(X=4)=3/10 ×2/10 ×1/10=3/500 。
7. 解：（ I ）由 意知，本 是一个等可能事件的概率，
生包含的基本事件 数 6×6=36，
足条件的事件是使方程有 根， △
=b 2- 4c ≥0，即 b ≥ 2 c
下面 于 c 的取 行
当 c=1 ， b=2， 3，4， 5， 6； 当 c=2 ， b=3， 4， 5， 6； 当 c=3 ， b=4， 5，6； 当 c=4 ， b=4， 5， 6；
当 c=5 ， b=5， 6； 当 c=6 ， b=5， 6，
目 事件个数
5+4+3+3+2+2=19，
因此方程 x 2
+bx+c=0 有 根的概率
19
ξ 表示方程 x 2+bx+c=0 根的个数得到
36
（II ）由 意知用随机 量 ξ=0， 1， 2
根据第一 做出的 果得到
P(ξ=0)=
17
，P(ξ=1)=
2 = 1
，P(ξ=2)=
17 ， 36
36
18
36
∴ξ 的分布列
∴ξ 的数学期望 E ξ=0×
17
+1× 1 +2×
17
=1，
36 18 36
8. 指 落在 A,B,C 区域分 事件 A,B,C.
.
?????? 3 分
（Ⅰ）若返券金 不低于
30 元， 指 落在 A 或 B 区域 . 即消
128 元的 客，返券金 不低于 30 元的概率是 . （Ⅱ）由 意得， 客可 2 次.
随机 量的可能 0， 30， 60， 90，120.
所以，随机 量的分布列 ：
30
60 90 120
???? 11 分
其数学期望
9 、解：（ 1）根据志愿者的身高 茎叶 知湖北 范学院志愿者身高的中位数 ：
168 169
168.5
.
? 2 分
2
（2）由茎叶 可知， “高个子”有
8 人，“非高个子”有 12 人，
按照分 抽 抽取的
5 人中“高个子”
5
8 2 人，“非高个子”
12 3 人；
205
20
至少有
1 人 高个子的概率
P ＝ 1－
C 32
7 ?? 6 分
C 52
10
（3）由 可知：湖北 范学院的高个子只有
3 人， 的可能取 0,1 ， 2,3 ；
故
P(
0)
C 53 10 ，
P(
1) C 52C 31
30 ，
P(
2)
C 51C 32
15
C 83
56
C 83
56
C 83
，
56
P(
3) C 33 1 ，
C 8
3
56
即 的分布列 ：
1
2]
3
P 10 30 15 1
56
56
56
56
E
＝ 0 10 ＋ 1 30 ＋ 2 15 ＋ 3
1 ＝
9
。
56
56
56
56
8
10.
解：（ I ）因 EX 1 6, 所以 5 0.4 6a 7b 8 0.1 6,即6a 7b 3.2.
又由 X 1 的概率分布列得
0.4 a b 0.1 1,即 a b 0.5.
6a 7b 3.2,
a 0.3, 由
b 0.5. 解得
b 0.2.
a
（ II
）由已知得， 本的 率分布表如下：
X 2 3
4
5
6
7
8
f 0． 3
0． 2
0． 2
0． 1
0． 1
0．1
用 个 本的 率分布估 体分布，将 率 概率，可得等 系数
X 2 的概率分布
列如下：
X
2
3
4
5
6 7
8 P 0．3
0． 2
0． 2
0． 1
0． 1
0． 1
所以
EX 2 3P( X 2 3) 4P( X 2 4) 5P( X 2 5) 6P( X 2 6) 7P( X 2 7) 8P( X 2 8)
3 0.3
4 0.2
5 0.2
6 0.1
7 0.1
8 0.1 4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于.（ III）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于6，价格为 6 元/ 件，所以其性价比为6
1.
4.86
因为乙厂产吕的等级系数的期望等于，价格为 4 元/件，所以其性价比为 1.2. 据
4此，乙厂的产品更具可购买性。
11.（I）首次出现故障发生在保修期内的概率为
（II ）随机变量的分布列为随机变量的分布列为
（III ） ( 万元 )
( 万元 )
所以应该生产甲品牌汽车。
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案)
二次函数专项复习经典试题集锦（含答案） 一、选择题： 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是（ ） A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图，则点 ),(a c b M 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2，且0+-c b a ，则一定有（ ） A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式 是532+-=x x y ，则有（ ） A. 3=b ，7=c B. 9-=b ，15-=c C. 3=b ，3=c D. 9-=b ，21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系，二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ） B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线（ ） A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（ ） A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若 c b a M ++=24c b a N +-=，b a P -=4，则（ ） A. 0>M ，0>N ，0>P B. 0 x 时，求使y ≥2的x 的取值围. -- -- 集 合 1．集合概念 元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算 全集Ｕ：如U ＝Ｒ 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 ３.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8． 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１． 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由. 随机变量及其分布列典型例题 【知识梳理】 一.离散型随机变量的定义 1定义:在随机试验中,确定一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量、 ①随机变量就是一种对应关系;②实验结果必须与数字对应; ③数字会随着实验结果的变化而变化、 2.表示:随机变量常用字母X ,Ｙ,ξ,η,…表示. 3、所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 ( dis ｃｒe ｔｅ ｒan ｄｏm ｖar ｉa ｂle ) . 二、离散型随机变量的分布列 1.一般地,若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1,x 2,…,ｘi ,…,x n, X 取每一个值x i (ｉ=1,2,…, ｎ)的概率P (X =ｘｉ)=ｐi ,则称表: 为离散型随机变量X Ｐ(X =x i )＝p i , i =１,２,…,n, 也可以用图象来表示X 的分布列、 2.离散型随机变量的分布列的性质 ①ｐi ≥0,ｉ=１,2,…,n ;②11 =∑=n i i p . 三.两个特殊分布 1.两点分布),1(~P B X 若随机变量X 的分布列具有上表形式,则称服从两点分布,并称p =P (X ＝1)为成功概率. 2、超几何分布),,(~n M N H X 一般地,在含有M 件次品的N 件产品中,任取ｎ件,其中恰有X 件次品,则P (X ＝k )= n N k n M N k M C C C --,k =0,１,2,…,m ,其中m =min {}n M ,,且n ≤N ,M ≤N ,n ,Ｍ,N ∈N ＊ . 三、二项分布 一般地,在n 次独立重复试验中,用 X 表示事件A 发生的次数,设每次试验中事件Ａ发生的概率为p ,则P (Ｘ=k )=C 错误!p k (1－ｐ)n － k ,ｋ=０,1,2,…,n 、此时称随机变量Ｘ服从二项分布,记作X ～B (n ,ｐ),并称p 为成功概率.易得二项分布的分布列如下; 集合知识点总结 一、集合的概念 教学目标：理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问 题，掌握集合问题的常规处理方法． 教学重点：集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用．： 一)主要知识： 1．集合、子集、空集的概念； 2．集合中元素的3个性质，集合的3 种表示方法； 3. 若有限集A有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n 1，非空子集有2n 1个，非空真子集有2n 2个． 二、集合的运算 教学目标：理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性 质，能利用数轴或文氏图进行集合的运算，进一步掌握 集合问题的常规处理方法. 教学重点：交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用. 一)主要知识： 1. 交集、并集、全集、补集的概念； 2. AI B A A B，AUB A A B； 3. C U AI C U B C U (AUB)，C U AUC U B C U(AI B). 二)主要方法： 1. 求交集、并集、补集，要充分发挥数轴或文氏图的作用； 2．含参数的问题，要有讨论的意识，分类讨论时要防止在空集上出 问题； 3．集合的化简是实施运算的前提，等价转化常是顺利解题的关键． 考点要点总结与归纳 一、集合有关概念 1. 集合的概念：能够确切指定的一些对象的全体。 2. 集合是由元素组成的 集合通常用大写字母A、B、C,…表示，元素常用小写字母a b、c, …表示。 3. 集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性。 (1)确定性：一个元素要么属于这个集合,要么不属于这个集 合,绝无模棱两可的情况。如：世界上最高的山 (2)互异性：集合中的元素是互不相同的个体,相同的元素只能 出现一次。如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} ( 3)无 序性：集合中的元素在描述时没有固定的先后顺序。 女口：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 4. 元素与集合的关系 (1)元素a是集合A中的元素，记做a€ A，读作“ a属于集合A”； (2)元素a不是集合A中的元素，记做a?A，读作“a不属于集合A”。 5. 集合的表示方法：自然语言法, 列举法,描述法,图示法。 ( 1)自然语言法：用文字叙述的形式描述集合。如大于等于2 且小于等于8 的偶数 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2)，与x轴交于A B两点，与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式； (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2；存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9，-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析：(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2，然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值，即可得解； (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标，再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标，从而得 到OA OC AD的长度，根据勾股定理列式求出AC的长度，然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值，再分① AD=QD时，过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE,从而得到点Q的坐标；②AD=AQ时，过Q作QE2丄x轴于点E＞，利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度，根据/ OAC勺余弦求出AE的长度，然后求出OE，从而得到点Q的坐标；③AQ=DQ时，过Q作QE3丄x轴于点已，根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度，然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度，从而得到点Q 的坐标. 试题解析：(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形？若存在，请求出符合条件的点 集合期末复习题12.26 姓名 班级________________ 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=-的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{ 12x x <<，B=}{ x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{ 2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{ 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={} 22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人， 化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人. 二项分布专题练习 1．已知随机变量X 服从二项分布，X ～B 16,3?? ??? ，则P (X ＝2)＝( )． A ． 316 B ． 4243 C ． 13 243 D ． 80 243 2．设某批电子手表正品率为 34，次品率为1 4 ，现对该批电子手表进行测试，设第X 次首次测到正品，则P (X ＝3)等于( )． A ．223 13C 44??? ??? B ．2 2331C 44 ??? ? ?? C ．2 1344 ??? ??? D ．2 3144 ??? ??? 3．甲、乙两名篮球队员轮流投篮直至某人投中为止，设甲每次投篮命中的概率为0.4，乙投中的概率为0.6，而且不受其他次投篮结果的影响，设投篮的轮数为X ，若甲先投，则P (X ＝k )等于( )． A ．0.6k － 1×0.4 B ．0.24k －1×0.76 C ．0.4k －1×0.6 D ．0.76k － 1×0.24 4．10个球中有一个红球，有放回地抽取，每次取出一球，直到第n 次才取得k (k ≤n )次红球的概率为( )． A ．2191010n k -???? ? ? ???? B ． 191010k n k -???? ? ? ???? C ．1119C 1010k n k k n ---???? ? ????? D ．1 1119C 1010k n k k n ----???? ? ??? ?? 5．在4次独立重复试验中，事件A 发生的概率相同，若事件A 至少发生1次的概率为 65 81 ，则事件A 在1次试验中发生的概率为( )． A ． 13 B ． 25 C ． 56 D ． 34 6．某一批花生种子，如果每一粒发芽的概率为4 5 ，那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是__________． 7．一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9，则服用这种新药的4个病人中至少3人被治愈的概率为__________．(用数字作答) 8．假定人在365天中的任意一天出生的概率是一样的，某班级中有50名同学，其中有两个以上的同学生于元旦的概率是多少？(结果保留四位小数) 集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合=A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2a +4a -2,2-a }，且A I B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合 ()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x I 中元素的个数为…………………………………………………………………………（） （A ）1（B ）0（C ）1或0（D ）1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P I 等于（） A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D. {}2≤y y 集合与方程 例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A I ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。 例2、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A I ,求 实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A I ，求实数a 的值。 集合学习中的错误种种 数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生． 一、混淆集合中元素的形成 例 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B =I 忽视空集的特殊性 例 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ?，则m 的值为 没有弄清全集的含义 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 集合·典型例题 能力素质 例用符号∈或填空1 ? 1________N ， 0________N ， －3________N ， 0.5N N ，；2 1________Z ， 0________Z ， －3________Z ， 0.5Z Z ，；2 1________Q ， 0________Q ， －3________Q ， 0.5Q Q ，；2 1________R ， 0________R ， －3________R ， 0.5R R ，；2 分析元素在集合内用符号∈，而元素不在集合内时用符号． ? 解∈， ∈，－，，； 1N 0N 3N 0.5N N ???2 1Z 0Z 3Z 0.5Z Z 1Q 0Q 3Q ∈， ∈，－∈，，；∈，∈，－∈，??2 0.5Q Q 1R 0R 3R 0.5R R ∈，； ∈，∈，－∈，∈，； 22?? 说明：要注意符号的规范书写． 例2 (1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来； (2)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，试用列举法表示集合A ； 分析 (1)中集合含的元素为0、2、4、6、8、10；(2)中集合所含的元素是点(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)． 解 (1){0，2，4，6，8，10｝；用描述法表示为{不超过10的非负偶数}，或|x|x ＝2n ，n ∈N ，n ＜6}． (2)A ＝{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}． 说明：注意(2)中集合A 的元素是点的坐标． 二项分布经典例题+测 验题 二项分布 1．n 次独立重复实验 一般地，由n 次实验构成，且每次实验相互独立完成，每次实验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次实验中()0P A p =>。我们将这样的实验称为n 次独立重复实验，也称为伯努利实验。 （1）独立重复实验满足的条件第一：每次实验是在同样条件下进行的；第二：各次实验中的事件是互相独立的；第三：每次实验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k ==k k n k n C p q -，其中 0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2 1，乙每次击中目标的概率为3 2. （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】 1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球, 且规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X的分布列。 (Ⅱ)求X的数学期望E(X). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每 次投篮投中的概率为1 3,乙每次投篮投中的概率为1 2 ,且各次投篮 互不影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率。 (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望 3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是 1 2 ，试求需要比赛场数的期望． 3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。 集合类型题 一、有关参数类集合关系问题 1、已知集合{x A =|}0232=+-x ax 至多有一个元素，则a 的取值范围 ；若至少有一个元素，则a 的取值范围 。 2、（2013山西运城模拟题） （1）已知A=｛x |-3 、中考导航图 顶点 对称轴 1. 二次函数的意义 ; 2. 二次函数的图象 ; 3. 二次函数的性质 开口方向 增减性 顶点式： y=a(x-h) 2+k(a ≠ 0) 4. 二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式： y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 两根式： y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0) 5. 二次函数与一元二次方程的关系。 6. 抛物线 y=ax 2+bx+c 的图象与 a 、 b 、 c 之间的关系。 三、中考知识梳理 1. 二次函数的图象 在 画二 次函数 y=ax 2+bx+c(a ≠ 0) 的图象 时通常 先通 过配 方配成 y=a(x+ b ) 2+ 2a 公式来求得顶点坐标 . 2. 理解二次函数的性质 抛物线的开口方向由 a 的符号来确定 , 当 a>0 时, 在对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小 b 4ac-b 2 反之当 a0时,抛物线开口向上 ; 当 a<0时,?抛物线开口向 下 ;c 的符号由抛物线与 y 轴交点的纵坐标决定 . 当 c>0 时, 抛物线交 y 轴于正半轴 ; 当 c<0 时,抛物线交 y 轴于负半轴 ;b 的符号由对称轴来决定 .当对称轴在 y?轴左侧时 ,b 的符号与 a 二次函数 4ac-b 的形式 , 先确定顶点 4a (- 2b a 4ac-b 2 ), 然后对称找点列表并画图 ,或直接代用顶点 4a 在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而增大 简记左减右增 , 这时当 x=- b 时 ,y 2a 最小值= 4ac-b 2 4a 二项分布 1．n 次独立重复实验 一般地，由n 次实验构成，且每次实验相互独立完成，每次实验的结果仅有两种对立的状态，即A 与A ，每次实验中()0P A p =>。我们将这样的实验称为n 次独立重复实验，也称为伯努利实验。 （1）独立重复实验满足的条件第一：每次实验是在同样条件下进行的；第二：各次实验中的事件是互相独立的；第三：每次实验都只有两种结果。 （2）n 次独立重复实验中事件A 恰好发生k 次的概率 ()P X k ==(1)k k n k n C p p --。 2．二项分布 若随机变量X 的分布列为()P X k == k k n k n C p q -，其中 0 1.1,0,1,2,,,p p q k n <<+==则称X 服从参数为,n p 的二项分布，记作(,)X B n p 。 1．一盒零件中有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品数X 的概率分布。 3.甲乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为2 1，乙每次击中目标的概率为3 2 . （1）记甲击中目标的此时为ξ，求ξ的分布列及数学期望； （2）求乙至多击中目标2次的概率； （3）求甲恰好比乙多击中目标2次的概率. 【巩固练习】 1.（2012年高考（浙江理））已知箱中装有4个白球和5个黑球,且 规定:取出一个白球的2分,取出一个黑球的1分.现从该箱中任取(无放回,且每球取到的机会均等)3个球,记随机变量X为取出3球所得分数之和. (Ⅰ)求X的分布列。 (Ⅱ)求X的数学期望E(X). 2．（2012年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.) 甲、乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获胜,一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束.设甲每次投 篮投中的概率为1 3,乙每次投篮投中的概率为1 2 ,且各次投篮互不 影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率。 (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 的分布列与期望 3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜 4场则比赛宣告结束，假定,A B在每场比赛中获胜的概率都是1 2 ， 试求需要比赛场数的期望． 3．（2012年高考（辽宁理））电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况,随机抽取了100名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图。 慧诚教育2017年秋季高中数学讲义 必修一第一章复习 知识点一集合的概念 1．集合 一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素 构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于 如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示 名称非负整数集(自然数集)整数集实数集 符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法 把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 2．描述法 用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集 定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素 都是集合B中的元素，我们就 说这两个集合有包含关系，称 集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们 称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等 定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时， 集合A与集合B中的元素是 一样的，因此，集合A与集 合B相等 A＝B 4.集合相等的性质 如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________. 二次函数典型例题解析 关于二次函数的概念 例1 如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 。 例2 抛物线422-+=x x y 的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。 关于二次函数的性质及图象 例3 函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示， 则a 、b 、c ，?，c b a ++，c b a +-的符号 为 ， 例4 （镇江2001中考题）老师给出一个函数y=f （x ）,甲,乙,丙,丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙：函数的图像经过第一象限。丙：当x ＜2时，y 随x 的增大而减小。丁：当x ＜2时，y ＞0，已知这四位同学叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。 例5 （荆州2001）已知二次函数y=x 2＋bx ＋c 的图像过点A （c ，0），且关于直线x=2对称，则这个二次函数的解析式可能是 （只要写出一个可能的解析式） 例6 已知a －b ＋c=0 9a ＋3b ＋c=0,则二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图像的顶点可能在（ ） （A ） 第一或第二象限 （B ）第三或第四象限 （C ）第一或第四象限 （D ）第二或第三象限 例7 双曲线x k y = )0(≠k 的两分支多在第二、四象限内，则抛物线222k x kx y +-=的大致图 象是（ ） 例8 在同一坐标系中，直线b ax y +=和抛物线c bx ax y ++=2 确定二次函数的解析式 例9 已知：函数c bx ax y ++=2的图象如图：那么函数解析式为（（A ）322++-=x x y （B ）322--=x x y （C ）322+--=x x y （D ）322---=x x y 选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A= }{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U= {}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 专题：正态分布 【知识网络】 1、取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念； 2、能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题； 3、通过实际问题，借助直观（如实际问题的直观图），认识正态分布、曲线的特点及曲线所表示的意义。 【典型例题】 例1：（1）已知随机变量X 服从二项分布，且E （X ）=2.4，V （X ）=1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为 （ ） A ．n=4，p=0.6 B ．n=6,p=0.4 C ．n=8，p=0.3 D ．n=24，p=0.1 答案：B 。解析：()4.2==np X E ，()44.1)1(=-=p np X V 。 （2）正态曲线下、横轴上，从均数到∞+的面积为( )。 A ．95% B ．50% C ．97.5% D ．不能确定（与标准差的大小有关） 答案：B 。解析：由正态曲线的特点知。 （3）某班有48名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，平均分为80，标准差为10，理论上说在80分到90分的人数是 （ ） A 32 B 16 C 8 D 20 答案：B 。解析:数学成绩是X —N(80,102)， 8080 9080(8090)(01)0.3413,480.34131610 10P X P Z P Z --??≤≤=≤≤=≤≤≈?≈ ???。 （4）从1，2，3，4，5这五个数中任取两个数，这两个数之积的数学期望为___________ 。 答案：8.5。解析：设两数之积为X ， ∴E(X)=8.5. （5）如图，两个正态分布曲线图： 1为)(1 ,1x σμ?，2为)(22x σμ?， 则1μ 2μ，1σ 2σ答案：＜，＞。解析：由正态密度曲线图象的特征知。 例2：甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题.规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格. （Ⅰ）求甲答对试题数ξ的概率分布及数学期望； （Ⅱ）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率. 答案：解：（Ⅰ）依题意，甲答对试题数ξ的概率分布如下： 甲答对试题数ξ的数学期望 E ξ=5 9 61321210313010=?+?+?+? . （Ⅱ）设甲、乙两人考试合格的事件分别为A 、B ，则高中数学集合典型例题
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