第9章构件组合变形
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·198
· 第9章 构件/组合变形
9.1 概 述
前面章节讨论了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲等基本变形形式下的应力和位移的计算等问题。工程实际中的许多构件往往发生两种或两种以上基本变形，称为组合变形。例如，钻探机钻杆（图9.1（a ））上端受到来自动力机械的力螺旋（力+力偶）作用引起的轴向压缩变形，下部受到来自泥土的分布力螺旋作用引起的扭转变形；蓄水堤（图9.1（b ））受自重引起的轴向压缩变形，同时还有水平的水压引起的弯曲变形；又如机械中齿轮传动轴（图9.1（c ））在啮合力作用下，将同时发生扭转变形以及在水平和竖直平面内的弯曲变形；再如厂房中支撑吊车梁的立柱（图9.1（d ））在由吊车梁传来的不通过立柱轴线的竖直载荷作用下，引起的偏心压缩变形，它可看成是轴向压缩和纯弯曲的组合变形。
图9.1 组合变形实例
对于组合变形下的构件，在线弹性范围内，小变形条件下，可按构件的原始形状和尺寸进行计算。因而，可先将载荷化为符合基本变形外力作用条件的外力系，分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形。然后，利用叠加原理，综合考虑各种基本变形的组合情形，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点处的应力状态，并据此进行强度计算。
利用叠加原理进行组合变形构件的强度分析计算过程可概括为：
（1）按引起的变形类型分解外力。通常是将载荷向杆件的轴线和形心主惯轴简化，把组合变形分解为几个基本变形。
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· （2）分别绘出各基本变形的内力图，确定危险截面位置，再根据各种变形应力分布规律，确定危险点。
（3）分别计算危险点处各基本变形引起的应力。
（4）叠加危险点的应力。叠加通常是在应力状态单元体上的进行。然后选择适当的强度理论进行强度计算。
若构件的组合变形超出了线弹性范围，或虽在线弹性范围内但变形较大，则不能按其初始形状或尺寸进行计算，必须考虑各基本变形之间的相互影响，此时不能用叠加原理。
本章主要讨论在实际工程中常见组合变形：拉（压）弯组合、弯扭组合、斜弯曲等。
9.2 轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合
杆件受轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合作用有两种情况：一种是轴向载荷与横向载荷的联合作用，另一种是偏心拉伸或压缩。
若杆受到轴向载荷作用的同时，又在其纵向平面内受到横向载荷的作用，这时杆件将发生轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。对于弯曲刚度较大的杆件，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，原始尺寸原理可以使用，轴向力因弯曲变形而产生的弯矩可以省略不计。这样，轴向力就只引起压缩变形，外力与杆件内力和应力的关系仍然是线性的，叠加原理就可以使用。可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在拉伸（压缩）与弯曲组合变形下杆横截面上的正应力。
下面以图9.2所示的简支梁为例，说明杆受轴向载荷与横向载荷联合作用下的应力及强度计算方法。该简支梁承受轴向载荷F 与横向均布载荷q 的联合作用。轴向载荷F 使梁产生轴向伸长，引起各横截面的轴力均为F N =F （图9.2（c ））；横向载荷q 使梁发生在xy 平面 内的弯曲，跨中截面C 的弯矩最大，其值为2max /8C M M ql ==（图9.2（d ））。显然，截面C 是危险截面（剪力引起的切应力通常忽略不计），如图9.2（b ）所示。
在危险截面上，由轴力F N 引起的正应力N F σ为
N N F F A
σ=
纵坐标为y 处，弯矩C M 引起的弯曲正应力M σ为 max M z
M y I σ= 应用叠加原理，可得危险截面上任一点处的正应力
（9.1）
上式表明，正应力沿截面高度呈线性变化，且中性轴不通过截面形心。截面底部边缘和顶部边缘处的正应力分别为
（9.2）
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图9.2 拉弯组合变形实例及C 截面应力叠加分析
式中，max c σ是压应力还是拉应力或是零，要视具体情况而定。图9.3（e ）所示为
max z M W ＞N
F A
的情形。因为截面底部边缘和顶部边缘处均处于单向应力状态，当tmax σ和cmax σ确定后，即可由强度条件进行正应力强度计算,即 t max σ≤t []σ, c max σ≤c []σ （9.3）
【例9.1】 小型压力机的铸铁框架如图9.3（a ）所示。已知材料的许用拉应力[σt ] = 35 MPa ，许用压应力[σc ] = 170 MPa ，Z 0 = 85 mm ，44814410mm y I =×。试按立柱的强度确定压力机的许可压力F 。
【解】：取截面n ? n 上半部分为研究对象，其受力如图9.3（b ）所示。由此可知压力机的立柱部分发生拉伸和弯曲的组合变形，像立柱这样受力情形有时称为偏心拉伸。容易求得横截面n ? n 上的轴力F N 和弯矩M y 分别为
N F F = 485y M F =
横截面上由轴力N F
引起正应力为均布拉应力，且
N
N 2
160mm 60mm 219200mm F F F F A σ===××（拉应力）
图9.3 例9.1图（单位：mm ）
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· 由弯矩M y 引起的最大弯曲正应力为
0t max 448585MPa 814410y y M
y M z F I σ×==×,（拉应力） 1
cmax
4485135MPa 814410y y M y M z F I σ×==×,（压应力） 应用叠加法叠加以上内力引起的应力，可得n n ?截面内侧的最大拉应力t max σ,并由强度条件计算许可压力
N t max ,t max t 4
48585[]35MPa 19200814410F My F F σσσσ×=+=+=×≤ 求解得
[]62700N 62.7kN F =≤
同理可求得，n n ?截面外侧的最大压应力c max σ,并由强度条件计算许可压力
N c max ,c max c 4485135[]170MPa 19200814410y F M F F σσσσ×=+=
?=×≤ 求解得
[]226100N 226.1kN F =≤
综上所述，为使压力机的立柱同时满足抗拉和抗压强度条件，[]62.7kN F ≤。
【例9.2】 悬臂吊车如图9.4（a ）所示，最大起吊重量为F = 28 kN 。横梁AB 为工字钢制成，材料为Q 235钢，[σ] = 100 MPa 。试选择工字钢型号。
【解】：横梁AB 的受力简图如图9.4（b ）所示，由平衡方程0A m =∑，得
N sin 30 2.4 1.20AB F F °×?=i
解得 N 28kN AB F F ==
将N AB F 按图9.4（b ）所示分解为x F 和y F ，显然x F 使得横梁AB 轴向受压，y F 使得横梁AB 发生平面弯曲，可见横梁AB 发生轴向压缩与平面弯曲的组合变形，且
cos30kN x F F == ， sin 3014kN y F F ==
图9.4 例9.2图
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· 由横梁AB 的受力图可看出，中间截面D 为危险截面。最大压应力c max σ发生在该截面的上边缘，即为危险点。
为了计算方便，在开始计算时，可以先不考虑轴力的影响，只根据弯曲强度条件选取工字钢。这时
[]6333max 1.21410N mm 16810mm 168cm 100MPa
z M W σ××==×=i ＞ 查附录型钢表，选取No.18工字钢，3185cm z W =，230.756cm A =。选定工字钢后，同时考虑轴力F N 及弯矩M 的影响，再进行强度校核。在危险截面D 的上边缘各点发生最大压应力，为
36N max c max 223310N 1.21410N mm 98.7MPa []30.75610mm 18510mm z
F M A W σσ××=+=+=××i ≤ 可见，选择No.18工字钢满足强度需要。
本题若还需考虑工字钢的自重，则应选什么型号的工字钢？请读者自行考虑。
【例9.3】 图9.5（a ）所示的高铁矩形截面桥墩立柱，单向行驶动车传递的铅垂压力P 的作用点位于y 轴上，P 、b 、h 均为已知。试确定在桥墩立柱的横截面上不出现拉应力的最大偏心距e 。
【解】：将外力P 向C 截面形心平移，得作用线与立柱轴线重合的压力P 和作用于xy 平面内的力偶m P e =i 。在P 和m 共同作用下，立柱BC 段产生压缩和弯曲的组合变形，如图9.5（b ）所示。
在轴向压力P 单独作用下，BC 段各横截面上的轴力均为N F P =?；在平面力偶m 单独作用下，BC 段各横截面上的弯矩均为z M Pe =。可见，BC 段内的各横截面均为危险截面。
由轴力N F 引起的横截面上各点的压应力均相等，即N F P A
σ=?；由弯矩引起的横截面上的弯曲正应力沿截面高度按线性分布，横截面左边线（立柱BC 段左侧面）为最大拉应力，
横截面右边线（立柱BC 段右侧面）
为最大压应力，最大弯曲拉、压正应力,t max M σ、,cmax M σ其大小均为z
Pe W 。应力分布分别如图9.5（c ）、图9.5（d ）所示。
图9.5 例9.3图
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· 欲使BC 段任一横截面上不出现拉应力，应使P 与m 共同作用下横截面左侧边缘各点处叠加后的最大拉应力t max σ等于或小于零，即
N tmax ,tm ax 0F M z
P Pe A W σσσ=+=?+≤ 得 20/6P Pe bh bh ?
+ 解得6h e ≤，即6h e =为所求的最大偏心距。由此可知，当压力P 作用在y 轴上时，只要偏心距6
h e ≤，横截面上就不会出现拉应力。 由本例可推断，在截面上总可以找到一个区域（包含截面形心），当偏心力作用点位于此区域之内或其边界上时，横截面上只出现一种性质的应力（偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力）。截面形心附近的这样一个区域就称为截面核心。
在工程上，常用的脆性材料（如砖、石、混凝土、铸铁等）抗压性能好而抗拉性能差，因而由这些材料制成的偏心受压构件，应当力求使其全截面上只出现压应力而不出现拉应力，即P 应尽量作用于截面核心区域之内。
9.3 弯曲与扭转的组合
弯曲与扭转组合变形是机械工程中常见的情况。以图9.6所示一端固定的曲拐为例，说明弯曲与扭转组合变形的强度计算方法。设拐轴AB 段为等圆杆，直径为d ，A 端为固定端约束。分析在力P 作用下AB 轴的受力情况。
图9.6 曲拐在P 作用下的变形
将力P 向AB 轴B 截面的形心简化，得到一横向力P 和作用在轴端平面内的力偶
M = Pa ，AB 轴的受力情况如图9.7（a ）
所示。横向力P 使AB 轴发生弯曲变形，力偶矩M 使AB 轴发生扭转变形。P 和M 共同作用下AB 轴发生弯、扭组合变形。
分别绘出AB 轴的弯矩图和扭矩图，见图9.7（b ）、图9.7（c ）。一般情况下，横向力引起的剪力影响较小，可忽略不计。由图9.7可知，各横截面的扭矩相同，均为T = Pa ，各截面上的弯矩则不同、显然固定端截面的弯矩最大，为M z = Pl 。所以AB 轴的危险截面为固
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·204· 定端截面。
危险截面上与弯矩和扭矩对应的正应力和切应力分布情况示于图9.7（d ）。与弯矩所对应的正应力σ ，沿截面高度按线性规律变化，该截面沿铅垂直径的两端点a 和b 的应力最大；与扭矩T 所对应的切应力τ ，沿半径按线性规律变化，该截面周边各点的切应力最大，分别为
z z M W σ= t T W τ= （9.4）
综合考虑正应力和切应力可知，危险截面上离中性轴最远的上、下两点a 、b 是危险点，其 应力状态如图9.7（e ）所示，该二点均为平面应力状态，利用公式（8.4）可求得这两点的主应力均为
图9.7 AB 杆的受力和A 截面的应力
1σ= 20σ=
3σ= （9.5）
若轴由抗拉和抗压强度相当的塑性材料制成，则可选用第三或第四强度理论。若按第三强度理论，其强度条件为
r313σσσ=?
[]σ
（9.6） 若按第四强度理论，其强度条件为
r4σ=
[]σ （9.7） 对直径为d 的圆截面，有3π32
z W d W ==，3t π216W d W ==。将式（9.4）代入式（9.6），得圆轴弯曲与扭转组合变形，按第三强度理论的强度条件为
（9.8） 将式（9.4）代入式（9.7）得圆轴弯曲与扭转组合变形，按第四强度理论的强度条件为
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·
（9.9）
由式（9.8）和式（9.9）可知，对于弯曲和扭转组合变形，在求得危险截面的弯矩（或合成弯矩）M 和扭矩T 后，就可直接利用式（9.8）或（9.9）进行强度计算。式（9.8）和（9.9）同样也适用空心圆轴，仅需将式中的W 改为空心圆截面的抗弯截面系数。
值得注意的是：式（9.6）和式（9.7）适用于如图9.7（e ）所示的平面应力状态，而发生这一应力状态的组合变形可以是弯曲与扭转的组合变形，也可以是拉伸与扭转组合变形，还可以是拉伸、弯曲和扭转的组合变形。而式（9.8）和式（9.9）只能用于圆轴的弯曲与扭转的组合变形。
【例9.4】 空心圆杆AB 和CD 焊接成整体结构，受力如图9.8（a ）所示。AB 杆的外径 D = 140 mm ，内、外径之比/0.8d D α==，材料的许用应力[σ] = 160 MPa 。试用第三强度理论校核轴AB 的强度。
【解】：将二外力分别向AB 杆的B 截面形心简化如图9.8（b ）所示，得
25kN 15kN m F M ==i
故，AB 杆发生扭转和平面弯曲的组合变形。
分别作AB 杆弯矩图和扭矩图，如图9.8（c ）、图9.8（
d ）所示，由内力图可知固定端
A 截面为危险截面。危险截面上的扭矩和弯矩分别为
15kN m A T =i max 20kN m
A M M ==
i
图9.8 例9.4图
若按第三强度理论进行校核，则由式（9.7）可得
[]r334157MPa 160MPa π(140mm)(10.8)32
σσ===××?＜ 所以，AB 轴满足第三强度理论的强度要求，是安全的。
【例9.5】 图9.9所示一钢制实心圆轴，齿轮C 上作用有铅垂切向力5 kN ，径向力1.82 kN ；齿轮D 上作用有水平切向力10 kN ，径向力3.64 kN 。齿轮C 的节圆直径d 1 = 400 mm ，齿轮D 的节圆直径d 2 = 200 mm 。设许用应力[σ]= 100 MPa ，试按第四强度理论确定轴的直径。
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·
图9.9 例9.5图
【解】：为了分析该轴的基本变形，将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心简化，其结果如图9.10（a ）所示。可知：“沿z 方向的力”使圆轴在xz 纵对称面内产生弯曲；“沿y 方向的力”均使轴在xy 纵对称面内产生弯曲；力偶1 kN ·m 使轴产生扭转。
根据图9.10（a ）所示受力简图，绘制轴的内力图见图9.10（b ）、图9.10（c ），其中
图9.10 实心圆轴的内力分析
0.57kN m
0.36kN m Cy By M M ==i i
0.227kN m 1kN m Cz Bz M M ==i i
1kN m B C T T ==i
由此可知，该圆杆分别在xy 和xz 平面内分别发生平面弯曲，同时发生扭转变形，由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面，故轴在xz 和xy 两平面内弯曲的合成结果仍为平面弯曲，从而可用合成弯矩来计算相应截面弯曲正应力。则B 、C 截面的合成弯矩分别为
1.063kN m B M ==i
0.36kN m C M ==i
第9章 构件/组合变形
·207
· 因B C M M ＞，B C T T =，可判定B 截面是危险截面。
对于危险截面B ，由第四强度条件式（9.9）即可确定出该轴的直径。
[]r 4σσ= 其中3
π32d W =
，解得51.9mm d = 故该轴需要的直径取整为52mm d =。
*9.4 弯弯组合（斜弯曲）
平面弯曲是指作用在梁上的横向载荷都在梁的纵向对称平面内，梁弯曲后的轴线仍是位于该平面内的一条曲线。但工程实际中，许多弯曲杆件上的横向力并非都作用于杆件的同一纵向对称平面内。
如图9.11所示的悬臂梁，在悬臂端作用一集中载荷P ，此载荷并没有作用在梁的纵向对称平面内，因此悬臂梁发生的不是平面弯曲。但集中载荷P 的作用点过横截面形心，将其等效分解为P y 和P z ，此时杆件将在两个相互垂直的形心主惯性平面内同时发生平面弯曲，变
形后的杆件轴线与外力作用线不在同一平面内，这种情况称为斜弯曲。
图9.11 梁斜弯曲下的应力分析
现以图9.11为例详细说明斜弯曲的应力和变形计算。
设作用于梁自由端的外力P 通过截面形心，且与y 轴的夹角为θ ，y 轴与z 轴为截面的形心主轴。将集中力P 沿y 轴和z 轴分解，见图9.11（a ）所示，则
cos sin y z P P P P θθ
== 按照前述平面弯曲的概念，悬臂梁在P y 、P z 的单独作用下，分别在xy 平而和xz 平面内发生平面弯曲。在P y 单独作用下，任意截面C 上的弯矩
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·208· ()cos ()z y M P l x P l x θ=?=?
在P z 单独作用下，任意截面C 上的弯矩
()sin ()y z M P l x P l x θ=?=?
在任意截面C 上的任意点k (y ，z )处，由弯矩M z 和M y 分别引起的最大正应力为
,z z k M z
M y I σ=± ,y y k M y M z I σ=±
式中，I z 和I y 分别表示横截面对形心主轴z 轴和y 轴的惯性矩。M z 、M y 分别单独作用下横截面上正应力分布如图9.11（c ）、图9.11（d ）所示。
根据叠加原理，在M z 、M y 共向作用下，即在外载荷P 作用下，截面C 上任一点k (y ，z )的正应力应为,z k M σ和,y k M σ的代数和，即
（9.10）
M z 、M y 共同作用下横截面上正应力分布如图9.11（e ）所示。式（9.10）中的正、负号可根据M z 、M y 分别单独作用下的变形与点k (y ，z )相对位置来判定，若点k (y ，z )位于横截面左下区域时，式（9.9）等号右边的二项均取负号。
对斜弯曲构件进行强度计算，应首先确定危险截面和危险点的位置。危险截面的位置可根据弯矩图来确定，再根据叠加原理进一步确定危险截面上的危险点。
对于图9.11（a ）所示的悬臂梁，因梁内对y 、z 轴的最大弯矩都发生在固定端A ，故A 端为危险截面，且两个最大弯矩分别为
max max sin cos y z z y M P l Pl M P l Pl θ
θ====
其中，max z M 使得固定端A 截面上ab 边线各点产生最大拉应力、cd 边线各点产生最大压应力；而max y M 则引起A 截面上ad 边线各点产生最大拉应力，bc 边线各点产生最大压应力。叠加后a 点出现最大拉应力t max σ；c 点出现最大压应力c max σ，故a 点和c 点为危险点。或由式（9.10）知，若令0k σ=，则可得到斜弯曲截面上的中性轴方程，为一直线方程，其中性轴如图9.11（e ）所示。离中性轴最远的点即为危险点，仍然是a 点和c 点，此方法更简便。a 、c 两危险点的应力为
max max t max max max c max
y z a z y y z c z y M M W W M M W W σσσσ?==
+????==???? （9.11）
第9章 构件/组合变形
·209
· 根据式（9.11）即可求得危险点的最大拉应力t max σ和最大压应力c max σ，因该危险点处于单向应力状态，故最大拉应力t max σ和最大压应力c max σ应当小于等于材料的许用拉（压）应力，即
（9.12） 上式即为斜弯曲时构件的强度条件，从而对斜弯曲构件进行强度计算。
【例题9.6】 No.32a 工字钢梁的受力情况如图9.12（a ）所示，若P = 30 kN ，θ = 15°，l = 4 m ，许用应力[σ]=
160 MPa ，试校核该工字钢梁的强度。
【解】：由于P 通过截面形心，但偏离纵向对称平面与y 轴成15°角，因工字钢截面z y I I ≠，所以该梁发生斜弯曲。将P 沿截面形心主轴z 、y 轴分解得
cos 30kN cos1528.98kN sin 30kNsin157.76kN
y z P P P P θθ======
图9.12 例9.6图
故，此简支梁在y P 、z P 的单独作用下，分别在xy 、xz 平面内发生平而弯曲。
由y P 、z P 分别单独作用引起的在xy 和xz 平面内的最大弯矩max y M 、max z M 都发生在梁的跨中C 截面，故跨中C 截面为危险截面，两个最大弯矩max y M 、max z M 分别为
max max 7.76kN 4m 7.76kN m 4428.98kN 4m 28.98kN m 44
z y y z P l M P l M ×===×===i i 由图9.12（c ）知，a 点为最大压应力cmax σ点，c 点为最大拉应力t max σ点，且t max σ=c max σ= max σ，故a 、c 两点都是危险点，且为单轴应力状态。可由强度条件式（9.12）对该工字钢梁的强度进行校核。
由附录型钢表查得，No.32a 工字钢的抗弯截面模量分别为W z = 693×103 mm 3，W y = 70.83×103 mm 3，因材料的抗拉、抗压强度相同。
66max
max max 3333
7.7610N mm 28.9810N mm 151.5MPa []160MPa 70.810mm 69310mm y z y z M M σW W σ××=+=+==××i i ＜
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· 因此，工字钢梁满足强度要求。
思 考 题
思9.1 利用叠加原理分析组合变形杆件的应力应满足什么条件？
思9.2 何谓组合变形？如何计算组合变形杆件截面上任一点的应力？
思9.3 将组合变形分解为基本变形时，对纵向外力和横向外力如何进行简化和分解？ 思9.4 横力弯曲梁的横向力作用在梁的形心主惯性平面内，则梁只产生平面弯曲。正确与否？
思9.5 偏心压缩时，中性轴是一条不通过截面形心的直线。正确与否？
思9.6 圆轴弯扭组合变形时，轴内任一点的主应力是否一定为10σ≥，30σ≤？ 思9.7 当承受弯、扭组合的圆截面构件上，又附有轴向力时，如果是塑性材料，其强度条件应如何选择？若改为脆性材料其强度条件又如何选择？
思9.8 何谓斜弯曲？与平面弯曲有何区别？
思9.9 回形和正方形截面梁能否产生斜弯曲？为什么？图示矩形和圆形截面直杆的弯矩
为z M 和y M ，它们的最大正应力是否都可应用公式max max max y z z y
M M W W σ=+来计算，为什么？
思9.9图
思9.10 对弯、扭组合变形杆件进行强度计算时，应用了强度理论，而在斜弯曲、拉（压）弯曲组合及偏心拉伸（压缩）时，都没有应用强度理论，这是为什么？
思9.11 斜弯曲时，梁的挠度曲线仍是一条平面曲线，只是并不在外力作用的纵向平面内。这种说法是否正确？
思9.12 一正方形截面粗短立柱如图（a ），若将其底面加宽一倍如图（b ），但原厚度不变，则该立柱的整体强度将如何变化？
思9.12图
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·211·
思9.13 图（a ）所示平板，上边切了一深度为5h 的槽口，图（b ）所示平板，上边和下边各切了一深度为h 的槽口。则在图示外力作用下，哪块平板的强度高？
思9.13图
思9.14 纵向集中压力作用在截面核心的边缘上时，柱体横截面的中性轴有何特点？ 思9.15 图示槽形截面梁，C 点为横截面形心。若该梁横力弯曲时外力的作用面为纵向平面a a ?，则该梁的变形状态是什么组合？
思9.16 工字钢的一端固定，—端自由，自由端受集中力P 的作用，若梁的横截面和P 力作用线如图所示，则该梁的变形状态是什么组合？
思9.15图 思9.16图
分 类 习 题
【9.1类】 计算题（拉、压弯的组合变形）
题9.1.1 如图所示起重架的最大起吊重量（包括移动小车等）为40kN P =，横梁AB 由两根No.18[或： ]槽钢组成，材料为Q235钢，其许用应力[]120MPa σ=。试校核横梁
的强度。
题9.1.1图
题9.1.2 材料为灰铸铁HT15-33 的压力机框架如图所示。其许用拉应力为
t []30MPa σ=、许用压应力为c []80MPa σ=[或： ]。试校核框架立柱的强度。
【9.2类】 计算题（偏心拉压）
题9.2.1 如图所示材料和受力均相同的两个杆件，试求两杆横截面上最大正应力及其比值。
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·212
·
题9.1.2图（单位：mm ）
题9.2.2 如图所示偏心受压立柱。试求该立柱中不出现拉应力时的最大偏心距。 题9.2.3 具有切槽的正方形木杆，受力如图所示。求：（1）m －m 截面上的tmax σ和 cmax σ；（2）此tmax σ是截面削弱前的t σ的几倍？
题9.2.1图 题9.2.2图 题9.2.3图
题9.2.4 如图所示矩形截面钢杆，用应变片测得杆件上、下表面的轴向正应变分别为3110a ε?=×[或： ]、30.410b ε?=×，材料的弹性模量210GPa E =。（1）试绘制横截面上的正应力分布图；（2）求拉力F 及其偏心距δ。
题9.2.4图（单位：mm ）
题9.2.5 平板的尺寸及受力如图所示，已知12kN F =[或： ]，[]100MPa σ=。求切口的允许深度x
。（不计应力集中影响）
题9.2.5图（单位：mm ）
题9.2.6 偏心拉伸杆，弹性模量为E ，其尺寸、受力如图所示。试求：（1）最大拉应力和最大压应力并标出相应的位置；（2）棱边AB [或： ]长度的改变量。
第9章 构件/组合变形
·213
· 题9.2.7 试确定如图所示各截面的截面核心边界。
题9.2.6图 题9.2.7图（单位：mm ） 【9.3类】 计算题（圆轴的弯扭组合）
题9.3.1 如图所示钢制水平直角曲拐ABC ，A 端固定，C 端挂有钢丝绳，绳长s = 2.l m ，截 面面积20.1cm A =。绳下连接吊盘D ，其上放置重量为100N Q =[或： ]的重物。已知 40cm a =，100cm l =， 1.5cm b =，20cm h =，4cm d =，钢材的弹性模量210GPa E =，80GPa G =，[]160MPa σ=（直角曲拐、吊盘、钢丝绳的自重均不计）。试求：（1）用第四强度理论校核直角曲拐中AB 段的强度。（2）求曲拐C 端及钢丝D 端竖直方向位移。
※题9.3.2 如图所示，传动轴上的两个齿轮分别受到铅垂和水平的切向力15kN P F =、210kN P F =[或： ]作用，轴承A 、D 处可视为铰支座，轴的许用应力[]100MPa σ=，试
按第三强度理论设计轴的直径d 。
题9.3.1图 题9.3.2图（单位：mm ） ※题9.3.3 手摇绞车如图所示，轴的直径d = 30 mm ，材料为Q235钢，[σ]= 80 MPa 。试按第三强度理论．求绞车的最大起吊重量P 。
题9.3.4 如图所示铁道路标圆信号板，装在外径D = 60 mm 的空心圆柱上，承受的最大风载22kN/m p =[或： ]，材料的许用应力[]σ=60 MPa 。试按第三强度准则选择空心圆柱AB 的厚度δ。
题9.3.5 如图所示钢制圆轴，按第三强度理论校核圆轴的强度。已知：直径100mm d =， 4.2kN P =[或： ]， 1.5kN m m =i ，[]80MPa σ=。
材 料 力 学
·214·
题9.3.3图（单位：mm）题9.3.4图
题9.3.6如图所示直径为d的圆截面钢杆处于水平面内，AB垂直于CD，铅垂作用力
12kN
P=，
26kN
P=。已知7cm
d=[或：]，材料[]110MPa
σ=。用第三强度理论校核该杆的强度。
题9.3.5图（单位：mm）题9.3.6图
【9.4类】计算题（斜弯曲及其他形式的组合变形）
题9.4.1 如图所示简支梁，已知10kN
F=[或：]。试确定：（l）危险截面上中性轴的位置；（2）最大正应力。
※题9.4.2如图所示矩形截面悬臂梁，其截面尺寸30mm
b=，60mm
h=。已知30
β= ，1
400mm
l=，600mm
l=，材料的弹性模量200GPa
E=；今测得梁的上表面距左侧面为5mm
e=[或：]的A点处的纵向线应变4
4.310
xA
ε?
=?×，试求梁的最大正应力。
题9.4.1图（单位：mm）题9.4.2图题9.4.3矩形截面杆受力如图所示，求固定端截面上A、B、C、D各点的正应力。
第9章 构件/组合变形
·215·
题9.4.3图
※题9.4.4 受集度为10kN/m q =的均布载荷作用的矩形截面简支梁，其载荷作用面与 梁的纵向对称面间的夹角为30α= [或： ]，如图所示。已知该梁材料的弹性模量10GPa E =，梁的尺寸为4m l =，160mm h =，120mm b =；许用应力[]12MPa σ=；许可挠度[]/500l ω=。试校核梁的强度和刚度。
题9.4.4图
题9.4.5 如图所示直径30mm d =[或： ]的圆杆，[]170MPa σ=，试求F 的许可值。 ※题9.4.6 水平悬臂梁受力及尺寸如图所示，10GPa E =[或： ]，求最大正应力、最大 切应力和最大挠度。
题9.4.5图 题9.4.6图
第八章组合变形构件的强度习题
第八章组合变形构件的强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形,称为（）变形。 二、计算题 1、如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N，卷筒直径D=36cm,两轴承间的距离l=80cm,轴的许用应力[]σ=80Mpa。试按第三强度理论设计轴的直径d。 2、图示手摇铰车的最大起重量P=1kN，材料为Q235钢，[σ]=80 MPa。试按第三强度理论选择铰车的轴的直径。 3、图示传动轴AB由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重G=5kN,半径R=0.6m,胶带紧边张力F1=6kN,松边张力F2=3kN。轴直径d=0.1m，材料许用应力[σ]=50MPa。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有F=3kN及重物Q，该轴处于
平衡状态。若[σ]=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d。 5、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm，承受集中载荷F 的作用，许用应力[σ]=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3，。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。(注：写出解题过程) 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D=1m的皮带轮，皮带紧边张力为2F=5KN，松边张力为F=2.5KN，轮重F P=2KN，已知材料的许用应力[σ]=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为l，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R，并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为[σ]。
组合变形的强度计算
§9.1 组合变形概述 前面研究了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲四种基本变形时的强度和刚度问题。但在工程实际中，许多构件受到外力作用时，将同时产生两种或两种以上的基本变形。例如建筑物的边柱，机械工程中的夹紧装置，皮带轮传动轴等。 我们把杆件在外力作用下同时产生两种或两种以上的基本变形称为组合变形。常见的组合变形有： 1.拉伸（压缩）与弯曲的组合； 2.弯曲与扭转的组合； 3.两个互相垂直平面弯曲的组合（斜弯曲）； 4.拉伸（压缩）与扭转的组合。 本章只讨论弯曲与扭转的组合。 处理组合变形问题的基本方法是叠加法，将组合变形分解为基本变形，分别考虑在每一种基本变形情况下产生的应力和变形，然后再叠加起来。组合变形强度计算的步骤一般如下： (1) 外力分析将外力分解或简化为几种基本变形的受力情况； (2) 内力分析分别计算每种基本变形的内力，画出内力图，并确定危险截面的位置； (3) 应力分析在危险截面上根据各种基本变形的应力分布规律，确定出危险点的位置及其应力状态。 (4) 建立强度条件将各基本变形情况下的应力叠加，然后建立强度条件进行计算。 §9.2 弯扭组合变形强度计算 机械中的转轴，通常在弯曲和扭转组合变形下工作。现以电机为例，说明此种组合变形的强度计算。图10-1a所示电机轴，在轴上两轴承中端装有带轮，工作时，电机给轴输入一定转矩，通过带轮的皮带传递给其它设备。带紧边拉力为F T1，松边拉力为F T2，不计带轮自重。
图10-1 (1) 外力分析将作用于带上的拉力向杆的轴线简化，得到一个力和一个力偶，如图10-1(b)，其值分别为 力F使轴在垂直平面内发生弯曲，力偶M1和电机端产生M2的使轴扭转，故轴上产生弯曲和扭转组合变形。 (2) 内力分析画出轴的弯矩图和扭矩图，如图10-1(c)、(d)所示。由图知危险截面为轴上装带轮的位置，其弯矩和扭矩分别为
第八章组合变形构件的强度
第八章 组合变形构件的强度 8．1概 述 到现在为止，我们所研究过的构件，只限于有一种基本变形的情况，例如拉伸(或压缩)、剪切、扭转和弯曲。而在工程实际中的许多构件，往往存在两种或两种以上的基本变形。例如图8—1a 中悬臂吊车的横梁AB ，当起吊重物时，不仅产生弯曲，由于拉杆BC 的斜向力作用，而且还有压缩(图8—lb)。又如图8—2a 所示的齿轮轴，若将啮合力P 向齿轮中心平移、则可简化成如图8—2b 所示的情况。载荷P 使轴产生弯曲变形；矩为C m 和D m 的两个力偶则使轴产生扭转变形。这些构件都同时存在两种基本变形，前者是弯曲与压缩的组合；后者则是弯曲与扭转的组合。在外力作用下，构件若同时产生两种或两种以上基本变形的情况，就称为组合变形。
由于我们所研究的都是小变形构件，可以认为各载荷的作用彼此独立，互不影响，即任一载荷所引起的应力或变形不受其他载荷的影响。因此，对组合变形构件进行强度计算，可以应用叠加原理，采取先分解而后综合的方法。其基本步骤是：(1)将作用在构件上的载荷进行分解，得到与原载荷等效的几组载荷，使构件在每组载荷作用下，只产生一种基本变形；(2)分别计算构件在每种基本变形情况下的应力；(3)将各基本变形情况下的应力叠加，然后进行强度计算。当构件危险点处于单向应力状态时，可将上述应力进行代数相加；若处于复杂应力状态，则需求出其主应力，按强度理论来进行强度计算。 本章将讨论弯曲与拉伸(或压缩)的组合以及弯曲与扭转的组合构件的强度问题。 8．2 弯曲与拉伸 (或压缩) 的组合 在外力作用下，构件同时产生弯曲和拉伸(或压缩)变形的情况，称为弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。图8—1所示悬臂吊的横梁同时受到横向载荷和纵向载荷的作用，这是弯曲与拉伸(或压缩)组合构件的一种受力情况。在工程实际中，常常还遇到这样一种情况，即载荷与杆件的轴线平行，但不通过横截面的形心，此时，杆件的变形也是弯曲与拉伸(或压缩)的组合，这种情况通常称为偏心拉伸(或压缩)。载荷的作用线至横截面形心的垂直距离称为偏心距。例如图8—3a 中的开口链环和图8—4a 中的厂房柱子，如果将其上的载荷P 向杆件横截面的形心平移，则作用于杆件上的外力可视为两部分：一个轴向力P 和一个矩为Pe M =0 的力偶(图8—3b 、8—4b)。轴向力P 将使杆件产生轴向拉伸(或压缩)；力偶将使杆件产生弯曲。由此可见，偏心拉伸(或压缩)实际上就是弯曲与拉伸(或压缩)的组合变形。 现在讨论弯曲与拉伸(或压缩)组合变形构件的应力和强度计算。 设一矩形截面杆，一端固定，一端自由(图8—5a)，作用于自由端的集中力P 位于杆的纵对称面Oxy 内，并与杆的轴线x 成一夹角?。将外力P 沿x 轴和y 轴方向分解，得到两个分力(图8—5b)： ?cos P P x = ?sin P P y = 其中，分力x P 为轴向外力，在此力的单独作用下，杆将产生轴向拉伸，此时，任一横
第09章组合变形题解
第 9 章 组 合 变 形 9-1 试分析下列构件在指定截面A 的内力分量（判断基本变形） 解：（a ）拉伸与弯曲； （b ）压缩、扭转与两个方向的弯曲； （c ）压缩、扭转与两个方向的弯曲。 9-2 木制矩形截面悬臂梁受力如图，已知 F 1 = 0.8 kN ，F 2 = 1.65 kN ，木材的许用应力 [ σ ] =10 MPa ，若矩形 h ／b = 2 ，试确定其截面尺寸。 解：显然固定端是危险截面。 kNm 6.128.01=?==l F M y kNm 65.1165.12 2 =?==l F M z =+=+=2 2max 66bh M hb M W M W M z y z z y y σ ][)2 3 3(1 3 σ≤+ = z y M M b 代入数据得到 363mm 7275001010 65 .15.16.13=??+?≥ b ， mm 180h ,mm 90≥≥b 。 9-3 工字钢简支梁受力如图，已知 F = 7 kN ，[ σ ] =160 MPa ，试选择工字钢型号。（提示：先假定 W z ／W y 的比值进行试选，然后校核。） 解：显然中间截面是危险截面。 kNm 74 1 max == l F M kNm 394.220sin max == M M y ， kNm 578.620cos max == M M z （b ）车刀 （a ）机械 构件
][max σσ≤+ = z z y y W M W M 选 6=y z W W 试算 33cm 8.2110160 6394 .26578.6] [66=???+= +≥ σy z y M M W 查表取 16 号工字钢 W y = 21.2 cm 3 ，W z = 141 cm 3 校核强度 ][M Pa 15910)2 .21394 .2141578.6(3max σσ≤=?+=+ = z z y y W M W M 强度刚好够，所以选定 16 号工字钢。 9-4 证明斜弯曲时横截面仍然绕中性轴转动（提示：证明截面形心位移垂直于中性轴）。 证明：假设在任意相距很近 dx 的截面之间作用两个M y ，M z ，其中下标 y ，z 为截面 形心主惯性轴，中性轴方程由 0=- = y I M z I M z z y y σ 确定为 ?tan ==y z z y I M I M z y 两截面之间由M z 和M y 产生的相对位移分别为 2)(dx EI M dx d Y z z z =?=θ，2)(dx EI M dx d Z y y y -=?=θ， tan =-=z y y z I M I M Z Y 显然 tan α tan ? = -1 ，α = ?±90° 即截面形心位移与中性轴互相垂直。 [反证法] 假设斜弯曲时横截面绕非中性轴转动，则中性轴上的纵向纤维将有伸长或缩短，这与斜弯曲时横截面存在有中性轴的结论是相矛盾的。故斜弯曲时横截面绕中性轴转动。 9-5 证明对正多边形截面梁，横向力无论作用方向如何偏斜，只要力的作用线通过截面形心，都只产生平面弯曲。 证明：只要证明任意正多边形的形心坐标轴为形心主惯轴即可。现以正三角形为例，图中y 、z 轴为一对正交形心主轴，y 和y 1轴为对称轴，显然，I y = I y 1，I yz = 0；由式（A-13）有 β2cos 221y z y z y y I I I I I I -++== 即 z y y z y z I I I I I I =?=-?=--00)2cos 1(2β 设Y 、Z 为一对任意正交形心轴，由式（A-15）有 02cos 2sin 2 =+-=ααyz y z YZ I I I I 即任意形心轴都是主惯性轴，其惯性矩都相等，只可能发生平面弯曲，不会发生斜弯曲。 z
第八章组合变形构件的强度习题
第八章 组合变形构件得强度习题 一、填空题 1、两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上得变形,称为( )变形。 二、计算题 1、如图所示得手摇绞车,最大起重量Q =788N,卷筒直径D =36cm ,两轴承间得距离l =80cm ,轴得许用应力=80Mpa 。试按第三强度理论设计轴得直径d 。 2、图示手摇铰车得最大起重量P =1kN,材料为Q 235钢,[σ]=80 MPa 。试按第三强度理论选择铰车得轴得直径。 3、图示传动轴AB 由电动机带动,轴长L =1、2m ,在跨中安装一胶带轮,重G =5kN,半径R =0、6m ,胶带紧边张力F 1=6kN ,松边张力F 2=3kN 。轴直径d =0、1m,材料许用应力[σ]=50MPa 。试按第三强度理论校核轴得强度。 kN 8.1? kN 2.4? 4、如图所示,轴上安装有两个轮子,两轮上分别作用有F =3kN 及重物Q ,该轴处于平衡状态。若[σ]=80MPa 。试按第四强度理论选定轴得直径d 。
5、图示钢质拐轴, AB轴得长度l AB=150mm, BC轴长度l BC=140mm,承受集中载荷F得作用,许用应力[σ]=160Mpa,若AB轴得抗弯截面系数W z=3000mm3,。试利用第三强度理论,按AB轴得强度条件确定此结构得许可载荷F。(注:写出解题过程) 6、如图所示,由电动机带动得轴上,装有一直径D=1m得皮带轮,皮带紧边张力为2F=5KN,松边张力为F=2、5KN,轮重F P=2KN,已知材料得许用应力[σ]=80Mpa,试按第三强度理论设计轴得直径d。 7、如图所示,有一圆杆AB长为l,横截面直径为d,杆得一端固定,一端自由,在自由端B处固结一圆轮,轮得半径为R,并于轮缘处作用一集中得切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆得强度条件。圆杆材料得许用应力为[σ]。
构件的基本变形与强度练习题
构件的基本变形与强度练习题 构件的基本变形与强度练习题 一.填空题 1. --------------------------------------------------------- 杆件的基本变形有----------------------------- --------------------- 四种。 2.轴向拉伸与压缩的受力特点是： 变形特点是 --------- O 3?杆件所受其他物体的作用力都称为外力。它包括------------- 和 --------------- 杆件内 部由于外力的作用而产生的相互作用力称为
---------- ，在某一范围内随外力的增大而4.单位面积上的内力称为 5?工程中一般把------------- 作为塑性材料的 极限应力，对于脆性材料，则把------------ 作为材料的极限应力。 6. -------------------------------------------- 安全系数反应了-------------------------- 。 7.对于重要的构件和哪些如果破坏会造成重大
事故的构件，应将安全系数取 &当细长杆所受压力达到某个极限时，就会突然 变弯而丧失工作能力，这种现象称为 ------------- ,简称 ----------------- ----------------- , 变形特点是 10?构件发 生剪切变形的同时往往在接触的作用 面之间发生 -------------------------- -------------------- 。变形特点是 12?圆轴扭转时，横截面上只有 --------------- 应力，而没有 ------------- 应力。 13 弯曲变形的受力特点是 ------------------- ,变形特点是 15?根据支 撑方式不同，梁分为 ,三种形式。 9 11 轴扭转的受力特点是
第八章组合变形构建的强度习题答案.
第八章 组合变形构件的强度习题答案 一、填空题 1、组合 二、计算题 1、解：31 7888010157.610(N mm)4M =???=?? 336 78810141.8410(N mm)2T =??=?? 33 800.1r d σ= =≤ 解得 d ≥30mm 2 、解：(1) 轴的计算简图 画出铰车梁的内力图： 险截面在梁中间截面左侧,P T P M 18.02.0max == (2) 强度计算 第三强度理论:() ()[]σπσ≤+=+= 2 2 322318.02.032 P P d W T M Z r []()()()() mm m d 5.320325.010118.01012.010 8032 10118.01012.032 3 2 32 36 32 32 3==??+????=??+??≥πσπ 所以绞车的轴的最小直径为32.5mm 。 3、解：
m kN 8.1? m kN 2.4? （1）外力分析，将作用在胶带轮上的胶带拉力F 1、F 2向轴线简化，结果如图b ． 传动轴受竖向主动力： kN 1436521=++=++=F F G F ， 此力使轴在竖向平面内弯曲。 附加力偶为： ()()m kN 8.16.03621?=?-=-=R F F M e ， 此外力偶使轴发生变形。 故此轴属于弯扭组合变形。 （2）内力分析 分别画出轴的扭矩图和弯矩图如图（c ）、（d ） 危险截面上的弯矩m kN 2.4?=M ，扭矩m kN 8.1?=T （3）强度校核 ()() []σπσ≤=??+?= += MPa W T M Z r 6.4632 1.0108.110 2.43 2 32 32 23 故此轴满足强度要求。 4、解：1）外力分析 kN F Q Q F 625 .01==∴?=?Θ 2）内力分析，做内力图
组合变形构件的强度习题
一 、 填空题 1两种或两种以上基本变形同时发生在一个杆上的变形 ，称为（ ）变形 、计算题 1如图所示的手摇绞车，最大起重量Q=788N,卷筒直径D=36cm 两轴承间的距离l=80cm, 轴的许用应力 =80Mpa 。试按第三强度理论设计轴的直径 d o 2、图示手摇铰车的最大起重量 P=1kN ,材料为Q235钢，[q]=80 MPa 。试按第三强度理 论选择铰车的轴的直径。 400 -id n 3、图示传动轴AB 由电动机带动，轴长L=1.2m,在跨中安装一胶带轮，重 G=5kN,半径 R=0.6m,胶带紧边张力 F 1=6kN 松边张力 R=3kN 。轴直径 d=0.1m ，材料许用应力 [d =50MPa 。试按第三强度理论校核轴的强度。 4、如图所示，轴上安装有两个轮子，两轮上分别作用有 F=3kN 及重物Q ,该轴处于平 第八章 组合变形构件的强度习题 40-0
5 、图示钢质拐轴，AB轴的长度l AB=150mm, BC轴长度1BC=140mm,承受集中载荷F 的作用，许用应力［c）=160Mpa，若AB轴的抗弯截面系数W z=3000mm3,。试利用第三强度理论，按AB轴的强度条件确定此结构的许可载荷F。（注：写出解题过程） 6、如图所示，由电动机带动的轴上，装有一直径D =1m的皮带轮，皮带紧边张力为 2F=5KN松边张力为F=,轮重F P=2KN,已知材料的许用应力［q］=80Mpa，试按第三强度理论设计轴的直径d。 7、如图所示，有一圆杆AB长为I，横截面直径为d，杆的一端固定，一端自由，在自由端B处固结一圆轮，轮的半径为R,并于轮缘处作用一集中的切向力P。试按第三强度理论建立该圆杆的强度条件。圆杆材料的许用应力为［可。 衡状态。若［d=80MPa。试按第四强度理论选定轴的直径d
组合变形的强度计算.
第8章 组合变形的强度计算 8.1 组合变形的概念 在前面几章中，研究了构件在发生轴向拉伸(压缩)、剪切、扭转、弯曲等基本变形时的强度和刚度问题。在工程实际中，有很多构件在荷载作用下往往发生两种或两种以上的基本变形。若有其中一种变形是主要的，其余变形所引起的应力(或变形)很小，则构件可按主要的基本变形进行计算。若几种变形所对应的应力(或变形)属于同一数量级，则构件的变形为组合变形。例如，如图8.1(a)所示吊钩的AB 段，在力P 作用下，将同时产生拉伸与弯曲两种基本变形；机械中的齿轮传动轴(如图8.1(b)所示)在外力作用下，将同时发生扭转变形及在水平平面和垂直平面内的弯曲变形；斜屋架上的工字钢檀条(如图8.2(a)所示)，可以作为简支梁来计算(如图8.2(b)所示)，因为q 的作用线并不通过工字截面的任一根形心主惯性轴(如图8.2(c)所示)，则引起沿两个方向的平面弯曲，这种情况称为斜弯曲。 图8.1 吊钩及传动轴 屋架 屋面 檀条 q (a) (b)(c) (a) (b) (c) 图8.2 斜屋架上的工字钢檀条 求解组合变形问题的基本方法是叠加法，即首先将组合变形分解为几个基本变形，然
材料力学 180 后分别考虑构件在每一种基本变形情况下的应力和变形。最后利用叠加原理，综合考虑各基本变形的组合情况，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点的应力状态，并据此进行强度计算。实验证明，只要构件的刚度足够大，材料又服从胡克定律，则由上述叠加法所得的计算结果是足够精确的。反之，对于小刚度、大变形的构件，必须要考虑各基本变形之间的相互影响，例如大挠度的压弯杆，叠加原理就不能适用。 下面分别讨论在工程中经常遇到的几种组合变形。 8.2 斜 弯 曲 前面已经讨论了梁在平面弯曲时的应力和变形计算。在平面弯曲问题中，外力作用在截面的形心主轴与梁的轴线组成的纵向对称面内，梁的轴线变形后将变为一条平面曲线，且仍在外力作用面内。在工程实际中，有时会遇到外力不作用在形心主轴所在的纵向对称面内，如上节提到的屋面檀条的受力情况(如图8.2所示)。在这种情况下，杆件可考虑为在两相互垂直的纵向对称面内同时发生平面弯曲。实验及理论研究指出，此时梁的挠曲线不再在外力作用平面内，这种弯曲称为斜弯曲。 现在以矩形截面悬臂梁为例(如图8.3(a)所示)，分析斜弯曲时应力和变形的计算。这时梁在F 1和F 2作用下，分别在水平纵向对称面(Oxz 平面)和铅垂纵向对称面(Oxy 平面)内发生对称弯曲。在梁的任意横截面m —m 上，由F 1和F 2引起的弯矩值依次为 1y M F x =，2()z M F x a =- 在横截面m —m 上的某点(C y ,)z 处由弯矩M y 和M z 引起的正应力分别为 y y M z I σ'= ，z z M y I σ''=- 根据叠加原理，σ'和σ''的代数和即为C 点的正应力，即 y z y z M M z y I I σσ'''+=- (8-1) 式中，I y 和I z 分别为横截面对y 轴和z 轴的惯性矩；M y 和M z 分别是截面上位于水平 和铅垂对称平面内的弯矩，且其力矩矢量分别与y 轴和z 轴的正向一致(如图8.3(b)所示)。在具体计算中，也可以先不考虑弯矩M y 、M z 和坐标y 、z 的正负号，以其绝对值代入，然后根据梁在F 1和F 2分别作用下的变形情况，来判断式(8-1)右边两项的正负号。 (a) (b) 图8.3 斜弯曲
第二章组合变形.
第十一章组合变形 2.5 组合变形 一、教学目标 1、掌握组合变形的概念。 2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。 3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。 4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。 二、教学内容 1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。 2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。 4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。 5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、强度计算。 7、简单介绍截面核心的概念和计算。 三、重点难点 重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。 难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形： 斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲；
弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转； 拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）； 偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算，可归纳为两类： ⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可； ⑵危险点为复杂应力状态：弯扭组合变形的强度计算时，危险点处于复杂应力状态，必须考虑强度理论。 四、教学方式 采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。 五、学时:2学时 六、讲课提纲 (一)斜弯曲 斜弯曲梁的变形计算 仍以矩形截面的悬臂梁为例：
第9章构件组合变形
材 料 力 学 ·198 · 第9章 构件/组合变形 9.1 概 述 前面章节讨论了杆件在拉伸（压缩）、剪切、扭转和弯曲等基本变形形式下的应力和位移的计算等问题。工程实际中的许多构件往往发生两种或两种以上基本变形，称为组合变形。例如，钻探机钻杆（图9.1（a ））上端受到来自动力机械的力螺旋（力+力偶）作用引起的轴向压缩变形，下部受到来自泥土的分布力螺旋作用引起的扭转变形；蓄水堤（图9.1（b ））受自重引起的轴向压缩变形，同时还有水平的水压引起的弯曲变形；又如机械中齿轮传动轴（图9.1（c ））在啮合力作用下，将同时发生扭转变形以及在水平和竖直平面内的弯曲变形；再如厂房中支撑吊车梁的立柱（图9.1（d ））在由吊车梁传来的不通过立柱轴线的竖直载荷作用下，引起的偏心压缩变形，它可看成是轴向压缩和纯弯曲的组合变形。 图9.1 组合变形实例 对于组合变形下的构件，在线弹性范围内，小变形条件下，可按构件的原始形状和尺寸进行计算。因而，可先将载荷化为符合基本变形外力作用条件的外力系，分别计算构件在每一种基本变形下的内力、应力或变形。然后，利用叠加原理，综合考虑各种基本变形的组合情形，以确定构件的危险截面、危险点的位置及危险点处的应力状态，并据此进行强度计算。 利用叠加原理进行组合变形构件的强度分析计算过程可概括为： （1）按引起的变形类型分解外力。通常是将载荷向杆件的轴线和形心主惯轴简化，把组合变形分解为几个基本变形。
第9章 构件/组合变形 ·199 · （2）分别绘出各基本变形的内力图，确定危险截面位置，再根据各种变形应力分布规律，确定危险点。 （3）分别计算危险点处各基本变形引起的应力。 （4）叠加危险点的应力。叠加通常是在应力状态单元体上的进行。然后选择适当的强度理论进行强度计算。 若构件的组合变形超出了线弹性范围，或虽在线弹性范围内但变形较大，则不能按其初始形状或尺寸进行计算，必须考虑各基本变形之间的相互影响，此时不能用叠加原理。 本章主要讨论在实际工程中常见组合变形：拉（压）弯组合、弯扭组合、斜弯曲等。 9.2 轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合 杆件受轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合作用有两种情况：一种是轴向载荷与横向载荷的联合作用，另一种是偏心拉伸或压缩。 若杆受到轴向载荷作用的同时，又在其纵向平面内受到横向载荷的作用，这时杆件将发生轴向拉伸（压缩）与弯曲的组合变形。对于弯曲刚度较大的杆件，由于横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，原始尺寸原理可以使用，轴向力因弯曲变形而产生的弯矩可以省略不计。这样，轴向力就只引起压缩变形，外力与杆件内力和应力的关系仍然是线性的，叠加原理就可以使用。可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在拉伸（压缩）与弯曲组合变形下杆横截面上的正应力。 下面以图9.2所示的简支梁为例，说明杆受轴向载荷与横向载荷联合作用下的应力及强度计算方法。该简支梁承受轴向载荷F 与横向均布载荷q 的联合作用。轴向载荷F 使梁产生轴向伸长，引起各横截面的轴力均为F N =F （图9.2（c ））；横向载荷q 使梁发生在xy 平面 内的弯曲，跨中截面C 的弯矩最大，其值为2max /8C M M ql ==（图9.2（d ））。显然，截面C 是危险截面（剪力引起的切应力通常忽略不计），如图9.2（b ）所示。 在危险截面上，由轴力F N 引起的正应力N F σ为 N N F F A σ= 纵坐标为y 处，弯矩C M 引起的弯曲正应力M σ为 max M z M y I σ= 应用叠加原理，可得危险截面上任一点处的正应力 （9.1） 上式表明，正应力沿截面高度呈线性变化，且中性轴不通过截面形心。截面底部边缘和顶部边缘处的正应力分别为 （9.2）
材料力学-第十一章组合变形(讲稿)
第十一章组合变形 一、教学目标 1、掌握组合变形的概念。 2、掌握斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的概念和区分、危险截面和危险点的确定、应力计算、强度计算、变形计算、中性轴的确定等。 3、正确区分斜弯曲和平面弯曲。 4、了解截面核心的概念、常见截面的截面核心计算。 二、教学内容 1、讲解组合变形的概念及组合变形的一般计算方法：叠加法。 2、举例介绍斜弯曲和平面弯曲的区别。 3、讲解斜弯曲的应力计算、中性轴位置的确定、危险点的确立、强度计算、变形计算。 4、讲解弯曲和扭转组合变形内力计算，确定危险截面和危险点，强度计算。 5、讲解拉伸(压缩)和弯曲组合变形的危险截面和危险点分析、强度计算。 6、讲解偏心拉伸(压缩)组合变形的危险截面和危险点分析、应力计算、
强度计算。 7、简单介绍截面核心的概念和计算。 三、重点难点 重点：斜弯曲、弯扭、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）等组合变形形式的应力和强度计算。 难点： 1、解决组合变形问题最关键的一步是将组合变形分解为两种或两种以上的基本变形： 斜弯曲——分解为两个形心主惯性平面内的平面弯曲； 弯曲和扭转组合变形——分解为平面弯曲和扭转； 拉伸（压缩）和弯曲组合变形——分解为轴向拉伸（压缩）和平面弯曲（因剪力较小通常忽略不计）； 偏心拉伸（压缩）组合变形——单向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和一个平面弯曲，双向偏心拉伸（压缩）时，分解为轴向拉伸（压缩）和两个形心主惯性平面内的平面弯曲。 2、组合变形的强度计算，可归纳为两类： ⑴危险点为单向应力状态：斜弯曲、拉（压）弯、偏心拉伸（压缩）组合变形的强度计算时只需求出危险点的最大正应力并与材料的许用正应力比较即可；
构件的基本变形与强度练习题
构件的基本变形与强度练习题 一.填空题 1.杆件的基本变形有------------------ -------------------- --------------------- ---------------------------------四种。 2.轴向拉伸与压缩的受力特点是：------------------------------------------------------------------------，变形特点是----------------------------------------------------------------。 3.杆件所受其他物体的作用力都称为外力。它包括--------------------和----------------------杆件内部由于外力的作用而产生的相互作用力称为-----------------，在某一范围内随外力的增大而----------------------------。 4.单位面积上的内力称为-------------------------------。 5.工程中一般把--------------------作为塑性材料的极限应力，对于脆性材料，则把---------------作为材料的极限应力。 6.安全系数反应了---------------------------。 7.对于重要的构件和哪些如果破坏会造成重大事故的构件，应将安全系数取------------------------。 8.当细长杆所受压力达到某个极限时，就会突然变弯而丧失工作能力，这种现象称为--------------------，简称------------------------。 9.剪切变形的受力特点是-----------------------------，变形特点是---------------------------------------。 10.构件发生剪切变形的同时往往在接触的作用面之间发生--------------------------------------。11圆轴扭转的受力特点是------------------------------。变形特点是----------------------------------------。 12.圆轴扭转时，横截面上只有-----------------------应力，而没有-------------------应力。 13弯曲变形的受力特点是--------------------------------，变形特点是----------------------------- 15.根据支撑方式不同，梁分为--------------------------，------------------------------------，--------------------------------------，三种形式。 16.构件在外力作用下，同时产生两种或两种以上的基本变形，称为----------------------------。 17.提高梁抗弯能力的措施有--------------------------------，------------------------------------------，-------------------------------------------。 18.要使零件在载荷的作用下安全，可靠地工作，零件必须具有足够的------------------------，------------------------------------，--------------------------------------------。 19.低碳钢拉伸时的四个阶段是--------------------阶段---------------------------------阶段------------------------------阶段----------------------------------阶段。 20.铸铁压缩时的抗压强度极限远-----------------于抗拉强度极限。 21.材料丧失正常工作能力时的应力，称为---------------------------------------------。 22.圆轴任一点的切应力与该横截面上的------------------------成正比，与该点所在圆周的 ---------------成正比。，方向与过该点的半径-----------------------。最大切应力在------------------------。 23.弯曲变形时，横截面绕-------------------转动。梁一侧的纤维受拉而------------------------另- 一侧的纤维受压而-------------------------------，横截面上只有----------------------------而没有--------------------------------、 23.梁的横截面上任意一点的正应力与该点到中性轴的距离成------------------------------。 24.挤压变形的特点是-----------------------------------------------------------------------------------。
第9章组合变形作业参考解答.
7-14 图示圆截面杆，受荷载 F1，F2 和 T 作用，试按第三强度理论校核杆的强度。已知： F1=0.7kN，F2=150kN，T=1.2kN·m，［σ］=170MPa，d=50mm， l=900mm。解：由内力分析，该杆发生拉弯扭组合变形，固定端为危险截面其内力为 FN = F2 ， M Z = F1l ， M x = T 该截面上顶点为危险点，上顶点应力状态如图，大小为τ σ s= FN M z F Fl + = 2 2 + 1 3 = 76.39MPa + 51.34MPa=127.73MPa pd A Wz p d 4 32 Mx T = = 48.89MPa WP p d 3 / 16 t= 由第三强度理论强度条件 s r 3 = s 2 + 4t 2 = 160.86MPa<[s ] ，杆安全 9-2 3 圆轴受力如图所示。直径d=100mm，容许应力［σ］=170MPa。 (1绘出A、B、C、D 四点处单元体上的应力； (2用第三强度理论对危险点进行强度校核。解：（1）A、B、C、D 四点处所在截面内力(不考虑剪力: FN = 110kN M x = F y1 × d = 90kN ′ 0.05m = 4.5kN × m 2 M z = ( Fy1 - Fy 2 × l = 10kN ′ 1m = 10kN × m M y = Fx × d = 110kN ′ 0.05m = 5.5kN × m 2 A 、B、 C、D 四点应力分别为: sA = FN M z 110kN 10kN × m + = + = 14.01MPa + 101.91MPa = 115.92MPa A Wz p × 0.12 p × 0.13 4 32 M x 4.5kN × m = = 22.93MPa = t B = t C = t D Wp p × 0.13 16 tA = 6
第11章组合变形杆件的强度和刚度.
第11章组合变形杆件的强度和刚度 11-1选择题 1. 如图所示的矩形截面柱，受F P1和F P2力作用，将产生（C）的 组合变形。 A. 弯曲和扭转 B. 斜弯曲 C. 压缩和弯曲 D. 压缩和扭转 题1图 2、叠加原理的适用条件构件必须是（C）。 A.线弹性杆件 B.小变形杆件 C.线弹性、小变形杆件 D. 线弹性、小变形直杆
3、同时发生两种或两种以上的基本变形称为（）其强度计算方法的依据是（B ）。 A.复杂变形截面法 B.组合变形叠加原理 C.组合变形平衡条件D都.不对 4 在图示刚架中，( B) 段发生拉弯组合变形。 题4图
5 图示槽型截面梁，C点为截面形心，若该梁横力弯曲时外力的作用面为纵向 平面a-a，则该梁的变形状态为( C ) 。 A.平面弯曲 B.斜弯曲 C.平面弯曲+扭转 D.斜弯曲+扭转 6.截面核心的形状与（C）有关。 A、外力的大小 B、构件的受力情况 C、构件的截面形状 D、截面的形心 7．下列构件中，属于拉（压）弯组合变形的是（B）。 A．钻削中的钻头B．车削中的车刀 C．拧紧螺母时的螺杆D．工作中的带传动轴
8．如图所示，AB杆产生的变形是（B）。 A．拉伸与扭转的组合B．拉伸与弯曲的组合 C．扭转与弯曲的组合D．压缩与弯曲的组合 题8图 9．如图所示结构，其中AD杆发生的变形为（C）。 A．弯曲变形B．压缩变形 C．弯曲与压缩的组合变形D．弯曲与拉伸的组合变形
题9图 10.下列构件中，属于“扭弯”组合变形的是（D）。 A．钻削中的钻头B．车削中的车刀 C．拧紧螺母时的螺杆D．镗削中的刀杆 11-2 矩形截面悬臂梁受力如图所示，P1作用在梁的竖向对称平面内，P2作 用在梁的水平对称平面内，F1、F2的作用线均与梁的轴线垂直，已知F 1 =2kN、 F 2=lkN，l 1 =lm，l 2 =2m，b=12cm，h=18cm，材料的容许正应力[σ]=10MPa，试校
组合变形构件的强度练习题
组合变形构件的强度 一、单项选择题： 1．在偏心拉伸（压缩）情况下，受力杆件中各点的应力状态为（ ）。 A ．单向应力状态； Ｂ．二向应力状态； Ｃ．单向或二向应力状态； Ｄ．单向应力状态或零应力状态。 2．圆截面折杆ABCDEF 在端部受一对集中力P 作用，力P 与Z 轴平行，如图所示。该折杆处于弯扭组合变形状态的部分是（ ）。 A ．杆BC 和杆DE ； Ｂ．杆CD ； Ｃ．杆BC 、杆CD 和杆DE ； Ｄ．无。 个那么好吗c3．圆截面悬臂梁受载如图，固定端横截面上的最大拉、压应力为（ ）。 A ． )( z y y W Mz W M + ±； Ｂ． )32( 3 2 2d M M z y π+±； Ｃ．)16(3 2 2d M M z y π+±； Ｄ． )(1 z y z M M W +± 。 题2图 题3图
4．图（1）杆件承受轴向拉力F ，若在杆上分别开一侧、两侧切口如图（2）、图（3）所示。令杆（1）、（2）、（3）中的最大拉应力分别为、m ax 1σ、m ax 2σ和m ax 3σ，则下列结论中（ ）是错误的。 A. m ax 1σ一定小于m ax 2σ B. m ax 1σ一定小于m ax 3σ C. m ax 3σ一定大于m ax 2σ D. m ax 3σ可能小于m ax 2σ 5．某构件横截面上危险点处的应力：弯曲正应力z W M =σ，扭 转切应力t W T = τ 。按第三强度理论的强度条件为（ ）。 A ．t W T M 22+= σ ≤[σ]； Ｂ．2 )(42)( t W T z W M += σ≤[σ]； Ｃ．2 )(32)( t W T z W M += σ≤[σ]； Ｄ．t W T z W M + = σ≤[σ]。 6．图示刚架BACD ，处于弯扭组合变形的是（ ）段。 A ．A B ,CD 段； Ｂ．A C ,C D 段； Ｃ．AB,AC 段； Ｄ．CD 段。 题7图 题4图 题6图
第八章 组合变形
第八章组合变形 目录 第八章组合变形 (2) §8.1 组合变形和叠加原理 (2) 一、组合变形的概念 (2) 二、组合变形的计算方法 (2) §8.2 斜弯曲 (2) 一、斜弯曲的概念 (2) 二、斜弯曲的应力计算 (2) §8.4 扭转与弯曲的组合 (4) 一、基本概念 (4) 二、扭转与弯曲的组合的应力计算 (4) 三、强度条件 (5) §8.3 拉伸或压缩与弯曲的组合 (8) 一、基本概念 (8) 二、拉伸或压缩与弯曲的组合的应力计算 (8)
第八章 组合变形 §8.1 组合变形和叠加原理 一、组合变形的概念 由两种或两种基本变形的组合而成的变形。 例如：转扬机，牛腿，水坝，烟囱等。 二、组合变形的计算方法 由于应力及变形均是荷载的一次函数，所以采用叠加法计算组合变形的应力和变形。 §8.2 斜弯曲 一、斜弯曲的概念 若梁作用的载荷的荷载不在同一平面内或虽在同一平面但并不位于梁的一个形心主惯性矩内，这时梁发生非平面弯曲。这种非平面弯曲可分解为两个平面弯曲。两个互相垂直平面弯曲的组合，构成斜弯曲或双向弯曲。 二、斜弯曲的应力计算 1. 外力的分解 对于任意分布横向力作用下的梁，先将任意分布的横向力向梁的两相互垂直的形心主惯性矩平面分解，得到位于两形心主惯性矩平面内的两组力。位于形心主惯性平面内的每组外力都使梁发生平面弯曲。如上所示简支梁。 2. 内力计算 形心主惯性平面xOy 内所有平行于y 轴的外力将引起横截面上的弯矩z M ，按弯曲内力的计算方法可以列出弯矩方程z M 或画出z M 的弯矩图。同样，形心主惯性平面xOz 内所有平行于z 轴的外力将引起横截面上的弯矩y M ，也可列出
组合变形构件的强度计算.
第7章组合变形构件的强度计算150 7.1 点的应力状态简介150 7.2 强度理论152 7.3 组合变形的概念155 7.4 拉伸（压缩）与弯曲的组合变形156 7.5 扭转和弯曲的组合变形160 第7章组合变形构件的强度计算 本章主要讲授一点应力状态的概念、强度理论；重点介绍弯曲和拉伸（压缩）组合作用下构件的强度计算、弯曲和扭转组合作用下构件的强度计算的方法。 7.1 点的应力状态简介 7.1.1 一点应力状态定义 构件受外力作用产生变形时，其同一截面上的内力元素往往不是单一的，而且各点的应力随该点在截面上的位置也不尽相同；通过同一点的不同截面上，应力的大小和方向也随截面的方向而变化。 受力构件内某一点在各个截面上的应力情况称为该点处的应力状态。在研究复杂受力时必须分析构件在一点处的应力状态。 7.1.2 研究目的 实际构件的受力往往要复杂得多（如图7-1的A点），需要全面的研究危险点处各斜截面上的应力情况，从而为建立与实际情况相符的强度条件提供理论基础。 7.1.3 研究方法 研究构件内的一点的应力状态时，通常是围绕该点 取出一个边长为无限小的立方体（简称单元体）作为研 究对象，当边长趋于零时，单元体就趋于所研究的点。 因此，单元体三对互垂侧面上的应力分量就代表了一点 的应力状态。以转轴受弯曲与扭转的组合作用（图7-1） 为例来说明单元体的取法。若研究A点处的应力状态， 可用两个横截面、一个外表面和三个纵向截面取出一个
单元体（图 7-lc）。两个横截面上有正应力σ和切应力τ，根据切应力互等定理可以确定A点处单元体各表面上的切应力。于是，A点的应力状态就完全确定了。图7-1 从这个单元体出发，采用截面法求出该单元体各个斜截面上的应力，即可求出圆轴表面上A点处各不同截面上的应力。应该指出，由于单元体三个方向的尺寸为无穷小，故可认为它的每个面上的应力是均匀分布的。另外，还可认为单元体任意两个平行面上的应力其大小和性质完全相同，而且两个相平行面上的应力即代表通过所研究的点且与上述两个面相平行的面上的应力。 7.1.4 应力状态分类、主应力、主平面 图7-lc中所示单元体的上、下两个面上，都没有切应力。通过某点处的各截面中，切应力等于零的截面称为该点的主平面。主平面上的正应力称为该点的主应力。一般来说，在受力物体内的任一点处都可截出每个面都是主平面的单元体。若单元体的三个互相垂直的面上都作用有主应力，则称这种应力状态为三向应力状态。图7-2所示的滚珠轴承中滚珠与外圈接触处的应力状态即是三向应力状态的实例。若在外圈与滚珠的接触点处取单元体（图7-2），滚珠与外圈的接触面上，有接触应力σ3。由于σ3的作用，接触点处的材料将向周围膨胀，于是引起周围材料对它的约束应力σ2和σ1，故A点处于三向应力状态。火车车轮与钢轨的接触点，也是三向应力状态。单元体上两个主应力等于零时，称为单向应力状态。图7-3所示拉杆中的任一点A即处于单向应力状态。单元体上一个主应力等于零时，称为二向应力状态。图7-4为薄壁容器圆筒部分的应力状态，从圆筒部分任一点取微体，则纵向截面上的应力为σ1＝pD／2t而横向截面上的应力为σ2=pD／4t，故为二向应力状态。二向应力状态也称为平面应力状态。一般把单向应力状态称为简单应力状态。而把二向和三向应力状态称为复杂应力状态。 图7-2 图7-3 一般情况下，受力物体内一点处都可找出三个主应力，并用σ1、σ2、σ3表示，其顺序按代数值的大小排列即σ1≥σ2≥σ3。