空间两异面直线距离的 若干求法

存档编号

赣南师范学院科技学院学士学位论文

空间两异面直线距离的

若干求法

系别数学与信息科学系

届别 2014届

专业数学与应用数学

学号 1020151224

姓名刘禹伟

指导老师陈海莲

完成日期

目录

内容摘要 (1)

关键字 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

1、引言 (2)

2、空间两异面直线的相关概念 (2)

2.1、空间两异面直线的概念 (2)

2.2、空间两异面直线间距离的概念 (2)

3、求异面直线距离的常用方法 (3)

3.1、直接法 (3)

3.2、线面距离法 (4)

3.3、面面距离法 (4)

3.4、等体积法 (5)

4、求解异面直线间距离的其他方法 (6)

4.1、运用极值法 (6)

4.2、公式法 (7)

4.3、射影面积法 (9)

5、分析比较求解方法 (10)

6、结语 (11)

致谢 (12)

参考文献 (13)

内容摘要：立体几何中的异面直线间距离( 即两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度) 问题是教材中的一个难点, 学生普遍反映困难, 主要由于学生思维不全面和认识上的不足, 又由于学生由平面几何到立体几何思维上的转化存在着问题, 从而导致解题和学习上困难。本文我们来着重讲解空间两异面直线间的距离的求法，即直接或利用转换和利用体积来求解。在其基础上再深入研究，利用解析几何的思想来探讨求解异面直线间距离。比较各种求法，让学生在求异面直线间距离方面简单。

关键字：异面直线间距离直接法转化法体积法解析几何

Abstract：The differences between the three-dimensional geometry of the surface linear distance (ie two different male faces straight vertical line in these two segments of different lengths between straight face) problem is a difficult textbook. Students generally reflect difficulties, Mainly due to the students' thinking is not comprehensive and lack of understanding, Also due to the transformation of the students from the plane geometry on the three-dimensional geometry of thinking there is a problem, resulting in the problem-solving and learning difficulties. In this paper, we explain the space to focus on the distance between the two different method for finding straight face, that directly or using the conversion and use of volume to solve. The basis of its further in-depth study to explore solving linear distance between the different faces of the use of analytic geometry ideas. Comparative method for finding a variety of students in terms of a simple distance between divergent straight face.

Key words：The distance between lines in different planes The direct method Volume method Transformation method Analytic geometry

1、引言

求异面直线的距离是立体几何的一个难点，主要原因是公垂线段较难找，那么如何求异面直线的距离呢？为帮助同学们克服这一难点，下面介绍异面直线的概念、异面直线间距离的概和异面直线间距离的求法。

2、空间两异面直线的相关概念[1]

在空间上,两条直线的位置关系有平行、相交和异面，下面我们着重来介绍空间两条异面直线的相关概念。

2.1、空间两异面直线的概念[2]

定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

特点：既不平行，也不相交。

判定方法：

（1）定义法：由定义判定两直线永远不可能在同一平面内。

（2）定理：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线，是异面直线。

2.2、空间两异面直线间距离的概念[3]

两条异面直线的距离的定义：两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段；公垂线段的长度d，叫做两条异面直线的距离。

其中，两条异面直线所成的角的定义：直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线A//a,B//b,相交直线A，B所成的锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角。角可取的范围在(0，π/2]。

两条异面直线垂直的定义：如果两条异面直线所成的角是直角，则称这两条异面直线互相垂直。

两条异面直线的公垂线的定义：和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。两条异面直线的公垂线，有且只有一条。

理解这些概念，有助于理解异面直线间距离的求法。

3、求异面直线距离的常用方法

求解异面直线间距离的方法有许多,一般常用的方法有四种，分别为直接法、线面距离法、面面距离法，等体积法，下面详细介绍这四种方法。

3.1、直接法

根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。

例1 （1999?广东）如图，已知正四棱柱ABCD—A

1B

1

C

1

D

1

，点E在

棱D

1D上，截面EAC//D

1

B，且平面EAC与底面ABCD所成的角为45°，

AB=a，求异面直线A B

11

与AC之间的距离。

解：连结DB，设DB交AC于点O

由题设知ABCD-A

1B

1

C

1

D

1

是正四棱柱

则A

1A⊥底面ABCD，即A

1

A⊥AC,而A

1

A⊥A

1

B

1

所以A

1A是异面直线A

1

B

1

与AC的公垂线段

由题意分析知∠ DOE为平面EAC与底面 ABCD所成的角则∠DOE=45°

又∵截面EAC//D

1B，且平面D

1

BD与平面EAC的交线为EO

∴D

1B//EO，∠DBD

1

=∠DOE=45°

∴D

1

D=DB=2a

∵AA

1=D

1

D

∴异面直线A

1B

1

与AC之间的距离为2a

3.2、线面距离法

选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。

例2 （2004?江苏）在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，

AB=2，AD=3，AA 1=4，求异面直线AB 与A 1C 间的距离。

解：如图所示，连结A 1D

由AB//DC ，得AB//平面A 1DC

故AB 到平面A 1DC 的距离即为AB 与A 1C 间的距离

又平面A 1D ⊥平面A 1DC 及平面A 1D ⊥AB

故可在平面A 1D 内过A 作AE ⊥A 1D 于点E

则AE 为AB 到平面A 1DC 的距离即为异面直线AB 与A 1C 间的距离。 由AD ⊥ AA 1=A 1D ⊥AE 可得AE =125

3.3、面面距离法

选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平

行平面，再根据所画平面作出另平行面,两异面直线

分别在两个平面上,求两平行面间的距离。

例 3 （2004?广州一模）如图，正方体

ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线A 1D 与AC 间的

距离。

解：A 1C 、C 1D 、AB 1、B 1C,A 1D 与AC 分别在两个相互平行的平面

A 1DC 1和

B 1CA 内，则A 1D 与A

C 间的距离就是两个相互平行的平面A 1DC 1和B 1CA 之间的距离。

连结BD ，且交AC 于点O ，作OO 1⊥平面AC 交平面A 1C 1于O 1

连结DO 1，作OE ⊥DO 1于E

可知OE 为两平行平面A 1DC 1和B 1CA 之间的距离

在Rt △DOO 1中，OO 1=1，DO=22 ,DO 1=62

∴OE=OO

1133

DO DO = ∴异面直线A 1D 与AC 间的距离为33

3.4、等体积法

在一般情况下，求异面直线间的距离可转化为

(1)一异面直线与过另一异面直线且平行于第一条异面直线的平面之间的距离．

(2)分别过两异面直线的两个平行平面之间的距离．

上述两种距离总是通过直线上(或平面上)

一点到另一平面之间的距离求出，除直接求出

外，一般都要通过等积计算再求高的办法来求得

的．

例4 （2004?江西）如图4所示，正方体

ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求AC 与BC 1的距离．

解：连接A 1C 1，A 1B ，C 1A ，

∵AC ∥A 1C 1，

∴AC ∥平面A 1BC 1，则求AC 与BC 1的距离

转化为求AC 与其平行平面A 1BC 1的距 离．也就是三棱锥A －A 1BC 1的高h ．

而1111A A BC C ABA V V --= 即2213112a h=a a 3432

???（）（） 3h=a 3

∴ 由上可知，等积法与作辅助平面法紧密相连，它是以辅助平面为底，与平面平行的另一条异面直线上某一点到该平面的距离为高组成一个三棱锥，若改变三棱锥的底面易于求得三棱锥的体积，便可利用等积法求出以辅助平面为底的三棱锥的高，即异面直线间的距离．

4、求解异面直线间距离的其他方法

一般的解题方法就是上述四种，这些都是基础的，比较容易掌握。下面我们来结合解析几何的思想，利用其求解空间两异面直线间的距离。

4.1、运用极值法

求异面直线a 、b 的距离是先在a(或b)上取点A ，过A 点作AB ⊥b ，设某一线段为x ，列出AB 关于x 的函数表达式AB ＝f(x)，求出AB 的最小值，就是所求异面直线间的距离．其理论依据是两异面直线间的

距离是连接两直线中最短线段的长．

例5（2004?浙江）如图5，圆锥底面半径为R，母线长为2R，AC为轴截面SAB的底角A的平分线，又BD为底面的一条弦，它和AB 成30°的角，求AC与DB之间的距离．

解：在AC上任取一点E，作EF⊥AB，

垂足为F，则EF⊥底面．

设EF＝x

∵△SAB是正三角形(AB＝SA＝SB＝2R)

∴∠ CAB=30。，AF=3X

∴FB=2R-3X

在底面内作FG⊥ BF，FG=BF? sin30=1

2

（2R-3X）

∴EG2=EF2+FG2=X2+(R-3

2X)2=

7

4

(X-

23

7

R)2+

4

7

R2

∴EG

min =

27

7

R即为所求。

4.2、公式法

预备定理设：OA,OB,OC是空间共端点的3条射线∠AOB=θ1，∠BOC=θ2，∠AOC=θ ,(其

中θ1,θ2均为锐角 ) ,二面角A-OB-C 是直二面角，则COS θ

=COS θ1 .COS θ2. 定理 设A , B 是直二面角l αβ--的棱l 上的两点,AC 在平面α内, BD 在平面β内,且∠ CAB=θ1 ,∠DBA=θ2,（其中θ1,θ2均为锐角）AB=a 。异面直线AC 和BD 所成的角为θ，距离为d ；则：

（1）COS θ =COS 1θ .COS 2θ .

（2）2212a

d=1+cot +cot θθ 例6 （2004?江西）已知正三棱锥D-ABC 的

侧棱与底面的边长相等M, N 分别为BD,DC 的中点，

求：异面直线AM 与BN 所成角的余弦值。

解 如图，连接NA ，取BC 的中点E ，

连接ME 交BN 与点G ，则DC ⊥平面ABN

MG//DG

∴MG

⊥平面ABN

∴二面角M-AG-N 为直二面角

设正四面体ABCD 的棱长为a ，则 RT △AGM 中，AM=

32a,MG=14a ∴AG=

114 a ∴cos θ1=cos ∠MAG=1123

,△ANG 中，cos θ2=cos ∠AGN

2221.233

AG NG AN AG NG +-==? 由定理可知 121cos =cos cos =

6θθθ? 注：由于易得cot θ1=11，cot θ2=28

；若正四面体的棱长为a ，则AG=11a 4，由定理可得异面直线AM 与BN 的距离为 2212AG

70d=35

1+cot +cot θθ= 4.3、射影面积法

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos θ= S S 射）求出二面角的大小。

例7 （2004?广州）如图，在三棱锥P-ABC 中，

AC=BC=2，∠ACB=90。AP=BP=AB ，PC ⊥AC ．求二面角

B-AP-C 的大小；

分析：本题要求二面角B —AP —C 的大小，如果利用

射影面积法解题，不难想到在平面ABP 与平面ACP 中

建立一对原图形与射影图形并分别求出S 原与S 射

于是得到下面解法。 解：AC=BC,AP=BP ，

∴△APC ?△BPC ．

又PC ⊥AC,，∴PC ⊥BC ．

A B E P A C B P

又∠ACB=90。

，即AC⊥BC，

且AC PC=C，

∴BC⊥平面PAC．

取AP中点E．连结BE,CE．

AB=BP

∴BE⊥AP．

EC是BE在平面PAC内的射影，

∴CE⊥AP．

∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影，

于是可求得：

AB=BP=AP=22

AC CB

+=22，BE=22

AB AE

-=6，AE=EC=2,

则S射=S△ACE=1

2

AE?CE=

1

2

2?2=1，

S射=S△ABE=1

2

AE?EB=

1

2

2?6=3

设二面角B-AP-C的大小为α，则cosα=S

S 射

原

=

1

3

=

3

3

∴二面角B-AP-C的大小为α=arccos33

5、分析比较求解方法

中学空间两异面直线间距离的算法和解析几何算法，有相同之处也有不同之处。

相同点：都是直接或者间接的利用公垂线的来找出两异面直线间的关系，让其两条线能够联系起来。

不同点：中学求解方法都能够在图中找出公垂线，即能够找出实实在在的一条线，说明其为两异面直线的公垂线，而解析几何的方法都是不找出公垂线，而是利用公垂线的性质，没有实实在在的找出来，

后者需要有比较好的空间概念，能够想象出公垂线，从而利用其求解。

6、结语

本文总结了7种求解空间两异面直线距离的方法，介绍的方法都是从简单开始，从基本的思想开始，所以在求解的时候先掌握前面的基本求法，再逐步深入掌握，利用解析几何的思想，巧妙地求解空间两异面直线距离。熟练的掌握了这些方法，能够帮助学生对理解或者求解空间两异面直线距离方面更易懂。

致谢

在论文完成之际，我首先向关心帮助和指导我的指导老师陈海莲表示衷心的感谢并致以崇高的敬意！

在学校的学习生活即将结束，回顾四年来的学习经历，面对现在的收获，我感到无限欣慰。为此，我向热心帮助过我的所有老师和同学表示由衷的感谢!在论文工作中，遇到了许许多多这样那样的问题，有的是专业上的问题，有的是论文格式上的问题，一直得到陈海莲老师的亲切关怀和悉心指导，使我的论文可以又快又好的完成，陈海莲老师以其渊博的学识、严谨的治学态度、求实的工作作风和他敏捷的思维给我留下了深刻的印象，我将终生难忘我的陈海莲老师对我的亲切关怀和悉心指导，再一次向他表示衷心的感谢，感谢他为学生营造的浓郁学术氛围，以及学习、生活上的无私帮助! 值此论文完成之际，谨向陈海莲老师致以最崇高的谢意!

参考文献：

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[2] 付俊兵. 谈有关异面直线的几个问题[J]. 现代中小学教育. 1990(01)

[3] 马金江,张凤然. 求解两异面直线间的距离与公垂线方程的方法[J]. 高师理科学刊. 2007(05)

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[6] 陈长龙. 浅谈异面直线间距离的求法[J]. 安庆师范学院学报(自然科学版). 1999(02)

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[10] 石秉浦. 求两条异面直线距离的一个公式[J]. 数学教学通讯. 1996(05)

[11] 万保军. 异面直线距离的几种常见求法[J]. 中学生数理化(高二版). 2009(01)

求异面直线间距离的几种常用方法

求异面直线间距离的几种常用方法 1 辅助平面法 (1)线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况．若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度． 例1 如图1所示正三棱锥V－ABC的底面边长为a，侧棱为b，求AB与VC的距离． 解：在正三棱锥V－ABC中，△AVC≌△BVC，作BE⊥VC，连AE，则AE⊥VC，且AE ＝BE， ∴VC⊥平面AEB ∴VC⊥AB 取AB中点D，连DE，则DE⊥AB，又VC⊥DE． ∴DE是异面直线AB与VC的公垂线． 分析：这样求异面直线间距离就化为平面几何中求点到直线的距离了． 作VF⊥BC，则有

(2)线面平行法，用于一般情况．其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离． 例2 如图2所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BB1＝a，BC＝b，试求异面直线AB与A1C之间的距离． 解：∵AB∥A B，∴AB∥平面A B C，于是AB与平面A B C间的距离即为异面 直线AB与A C之间的距离． (3)面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面(2)介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离． 例3 如图3所示，夹在两平行平面α和β间的异面直线AB、CD，在平面β的射影分别是12cm和2cm，它们与平面β的交角之差是45°，求AC与BD之间的距离．

空间几何中的角和距离的计算

空间角和距离的计算(1) 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值． 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角． （1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； （2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小． 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2． （1）求直线D 1F 和AB 和所成的角； （2）求D 1F 与平面AED 所成的角． F 1D 1B 1 C 1A 1 B A C A B C D P E C D E F D 1 C 1 B 1 A 1 A B

2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ，AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角的大小． 三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点． （1）证明AB 1∥平面DBC 1； （2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小． 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5． （1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小； （2）求SC 与面ABCD 所成的角． 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小． B 1 C 1 A 1 B A C D B 1 C 1 A 1B A C B A D C S B 1 C 1 B C A 1

点到直线的距离公式教案

点到直线的距离公式教案 江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠 一、教案背景 1.教材。 本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。 2.学生。 本课时的教学对象是职业高中学生。作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。 二、课时分析 针对以上分析，对本课时作如下定位。 1.教学目标： （1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。 （2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。 （3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。 2.重点：点到直线的距离公式。 3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。 三、教学方法 1.教法。本课教法以讲授为主。采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。通过 从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。 2.学法。本课学法以练习为主。在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解， 巩固知识。学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。 四、教学过程 （一）知识准备 1.两点间的距离公式。 2.直线方程的一般形式。 3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。 4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。 设计目标：复习已有知识，为新课作准备。 （二）问题提出 什么是点到直线的距离？ 设计目标：理解点到直线的距离的几何意义，使学生重温“垂线段”这个名词。 （三）问题解决 1.当直线平行于坐标轴时的情况。例：求点A(2,-3)到下列直线的距离d： (1) y=7；(2) x +1=0． =7

异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)

异面直线间的距离 求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 常用方法有： 1、定义法 2、垂直平面法（转化为线面距） 3、转化为面面距 4、代数求极值法 5、公式法 6、射影法 7、向量法 8、等积法 1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。

例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。 思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2 a 。即异面直线CD 与AE 间的距离为2 a 。 2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。 例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。 思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作

立体几何中角度与距离求法

立体几何中角度距离的求法 一 空间向量及其运算 1 .空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝___________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?______________ a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________， cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝__________. 设A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)， 则d AB ＝|AB → |＝___________. 2.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角，已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2，则 称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积，已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa )·b ＝____________； ②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是 ________________________. 推论，如图所示，点P 在l 上的充要条件是：OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB → ＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB → . (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM → ＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝______. (3)空间向量基本定理，如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底.

空间点到直线的距离公式

空间点到直线的距离公式 y0, z0)，平面：A*x+B*y+C*z+D=0，距离d。 d=|A*x0+B*y0+C*z0+D|/√(A*A+B*B+C*C)空间点到直线距离点(x0, y0, z0)，直线L（点向式参数方程）：(x-xl)/m=(y-yl)/n=(z- zl)/p=t。 (1)式(1)的注释：点(xl, yl, zl)是直线上已知的一点，向 量(m, n, p)为直线的方向向量，t为参数方程的参数。空间直线 的一般式方程（两个平面方程联立）转换为点向式方程的方法， 请参考《高等数学》空间几何部分。设点(x0, y0, z0)到直线L 的垂点坐标为(xc, yc, zc)。因为垂点在直线上，所以有：(xc-xl)/m=(yc-yl)/n=(zc-zl)/p=t (2)式(2)可变形为：xc=m*t+xl, yc=n*t+yl, zc=p*t+zl、 (3)且有垂线方向向量(x0-xc, y0-yc, z0-zc)和直线方向向量(m, n, p)的数量积等于0，即：m*(x0- xc)+n*(y0-yc)+p*(z0-zc)=0 (4)把式(3)代入式(4)，可消去未知 数“xc, yc, zc”，得到t的表达式：t=[m*(x0-xl)+n*(y0- yl)+p*(z0-zl)]/(m*m+n*n+p*p) (5)点(x0, y0, z0)到直线的距离d就是该点和垂点(xc, yc, zc)的距离：d=√[(x0-xc)^2+(y0-yc)^2+(z0-zc)^2] (6)其中xc, yc, zc可以用式(3)和式(5)代入消去。 第 1 页共 1 页

面间距的计算

面间距的计算 该文主要探讨三个方面的问题： 1 面指数为（123h h h ）的晶面族的面间距的计算 2 密勒指数指数为（h k l ）的晶面族的面间距的计算 3 复式格子中指定的两族相互平行的晶面之间面间距的多值性分析 第一个问题的分析 同老师课堂上所讲，正格子中的一族晶面（123 h h h ）与一个倒格矢点 123112233h h h K h b h b h b =++ 相对应；正格子中的一族晶面（123h h h ） 与倒格矢 1 2 311 22 33h h h K h b h b h b =++ 正交；并且正格子（123h h h ）晶面系的面间距为123 123 2h h h h h h d K π=。 第二个问题的分析 首先明确密勒指数与面指数的区别。两者均可以用来标志不同族的晶面，且标志方法相 同。即取定原点和坐标轴，找出晶面族中任一晶面在轴矢上的截距，截距取倒数，再化为互质的整数。两者的区别在于表示晶面时的参考坐标系不同，即选取坐标轴的基矢不同：面指数取原胞的基矢方向为坐标轴的方向，密勒指数取晶胞的基矢方向为坐标轴的方向。原胞是晶体的最小重复单元，而晶胞则是对称性较高的单元，通常比原胞大。同一个晶面，参考坐标系不同，面指数与密勒指数一般不相同。例如对于面心立方晶格，密勒指数为（100）和（001）的面，其面指数分别为（101）和（110）。相同的指数，不同的参考坐标系，晶面一般不同，面间距也有差别。 对于简单格子，它的晶胞即原胞，所以密勒指数（h k l ）的晶面族的面间距的计算即面指数（h k l ）的晶面族的面间距计算，此时可用公式2hkl hkl d K π= 来计算。 然而对于非简单格子（即体心，面心，底心格子），晶胞除顶角位置（可设想为基元的位置）有原子外，非顶角的面心（体心，底心）还有原子。所有原子的位置不能全用 R h a k b lc =++ （h, k, l 取整数）去概括。这样再用公式2hkl hkl d K π=来计算就会出现问题。 从图一可以很清楚地说明这个问题。 如果晶体是简立方晶体，则在一个立方体内(即在一个晶胞内)只能画出一个（110）面ABCD ， 这时的面间距为 110 2a K π=个（110）晶面A ’B ’C ’D ’和A ”B ”C ”D ”，这时其面间距仅是前者的1/2 ，即/a

空间直线异面直线间距离的一个简明公式

异面直线间距离的一个简明公式 本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用. 定理 如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离 d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθ y x y x l +++ 证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG . 则∠DEF =θ，且（DG ）min =d . 设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ. 在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x . ∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x . 图1 图2 在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则 MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ- 在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-= 所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=?中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ ?-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得 )4/()4()(2min 2a b ac GD -=

空间角与距离求法(高二)

1 空间角与点面距离求法 求空间角和点到平面的距离是教学的重点，也是学生学习的难点，更是高考的必考点.新课标强调要求利用向量的运算来解决这两个问题,而新教材的处理是通过探究引导学生推理得出相关公式.在复习时,作为教师有必要帮助学生对相关的知识进行梳理、归纳和小结. 1.空间角的求法 在立体几何中,求空间角是学习的重点，也是学习的难点，更是高考的必考点.我们在复习时,必须对相关的知识进行梳理、归纳和小结,才会灵活运用公式熟练地求出空间角. 一、相关概念和公式 (1) b a ,是空间两个非零向量，过空间任意一点O ，作,,b a ==则AOB ∠叫做 向量a 与向量b 的夹角，记作>≤≤=< . (3) 设),,(111z y x a = , ),,(222z y x b = 则212121||z y x a ++= ,222222||z y x b ++= , 212121z z y y x x b a ++=? . 二、两条异面直线所成的角 (1) 定义：已知两条异面直线a 和b ，经过空间任一点O 作直线,//,//b b a a ''我们把a '与b ' 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角（或夹角）. (2) 范围: 异面直线a 和b 所成的角为θ： 900≤<θ, 则cos 0≥θ . (3) 求法: ▲① 平移法: 把两条异面直线a 和b 平移经过某一点(往往选取图中的特殊点),构造三角形(有时会用到补形法,如三棱柱补成平行六面体等),解三角形(通常用到余弦定理).特别提醒:若由边角关系求得为钝角．． 时,注意取其补角为异面直线所成的角. ▲② 向量法: 若a 和b 分别是异面直线a 和b 的方向向量,则 | ||||||||||||,cos |cos b a b a b a b a b a ??=??=><=θ . 说明: ① 其中=θ或- 180 ; ② 在计算b a ?时可用向量分解或坐标进行运算. 三、直线与平面所成的角 (1) 定义: 一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角,叫 做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角) 如果直线和平面垂直,那么就说直线和平面所成的角是直角;如果直线和平面平行或在平

点到直线的距离公式应用

点与直线问题 (1)点P （x 0，y 0）到直线Ax ＋By ＋C=0 的距离 (运用本公式要把直线方程变为一般 式) （2）两条平行线 之 间的距离 (运用此公式时要注意把两平行线方程 x 、y 前面的系数变为相同的) (3)点 P （x ，y ）关于Q （a ，b ）的对称点为P'（2a －x ，2b －y ） (4)直线关于点对称:在已知直线上任取两点A 、B,再分别求出A 、B 关于P 点的对称点A′、B′,然后由两点式可得所求直线方程. (5)点关于直线的对称点，要抓住“垂直”和“平分” 设 P （x 0，y 0），l ：Ax ＋By ＋C=0（A 2＋B 2≠0），若P 关于l 的对称点的坐标Q 为（x ，y ），则l 是PQ 的垂直平分线，即①PQ ⊥l ；②PQ 的中点在l 上， 解方程组可得 Q 点的坐标 例1 求点P = (–1，2 )到直线3x = 2的距离 解：22 |3(1)2|5330d ?--= =+ 例2 已知点A (1，3)，B (3，1)，C (–1， 0)，求三角形ABC 的面积. 解：设AB 边上的高为h ，则 221 ||2||(31)(13)22 ABC S AB h AB =?=-+-=V AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在直线方程为31 1331 y x --= -- 即x + y – 4 = 0. 点C 到x + y – 4 = 0的距离为h 2|104|5112 h -+-==+， 因此，15225 22S ABC =??= 例3 求两平行线 l 1：2x + 3y – 8 = 0 l 2：2x + 3y – 10 =0的距离. 解法一：在直线l 1上取一点P (4,0)，因为l 1∥l 2，所以P 到l 2的距离等于l 1与l 2的距离，于是 22|243010|21313 23 d ?+?-==+ 解法二： 直接由公式22 |8(10)|21313 23d ---= =+ 例 4、求直线3x －y －4=0关于点P （2，－1）对称的直线l 的方程

空间角及空间距离的计算知识点

空间角及空间距离的计算 1.异面直线所成角：使异面直线平移后相交形成的夹角，通常在在两异面直线中的一条上取一点， 过该点作另一条直线平行线， 2. 斜线与平面成成的角：斜线与它在平面上的射影成的角。如图：PA 是平面α的一条斜线，A 为斜足，O 为垂足，OA 叫斜线PA 在平面α上射影，PAO ∠为线面角。 3.二面角：从一条直线出发的两个半平面形成的图形，如图为二面角l αβ--，二面角的大小 指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分别在两个半平面内且角的两边与二面角的棱垂直 用二面角的平面角的定义求二面角的大小的关键点是： ①明确构成二面角两个半平面和棱； ②明确二面角的平面角是哪个？ 而要想明确二面角的平面角，关键是看该角的两边是否都和棱垂直。（求空间角的三个步骤是“一 找”、“二证”、“三计算”） 4.异面直线间的距离：指夹在两异面直线之间的公垂线段的长度。如图PQ 是两异面直线间的 距离 （异面直线的公垂线是唯一的，指与两异面直线垂直且相交的直线） 5. 点到平面的距离：指该点与它在平面上的射影的连线段的长度。 如图：O 为P 在平面α上的射影， 线段OP 的长度为点P 到平面α的距离 长方体的“一角” 模型 在三棱锥P ABC -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===. ①以P 为公共点的三个面两两垂直； ③P 在底面ABC 的射影是△ABC 的垂心 ----,,l OA OB l OA l OB l AOB αβαβαβ??⊥⊥∠如图：在二面角中，O 棱上一点，，， 的平面角。 且则为二面角 a b ''??如图：直线a 与b 异面，b//b ，直线a 与直线b 的夹角为两异 面直线与所成的角，异面直线所成角取值范围是（0，90] 求法通常有：定义法和等体积法 等体积法：就是将点到平面的距离看成是 三棱锥的一个高。 如图在三棱锥V ABC -中有： S ABC A SBC B SAC C SAB V V V V ----=== C A

点面距离的几种求法

点面距离的几种求法 距离的计算是历年高考的重点与热点，求距离问题可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点。而点到平面的距离是是距离问题中的重中之重，线到面的距离及面到面的距离都转化为点到面的距离，线面角、二面角，多面体的体积等都可以借助点面距离使之得以解决。 求点到面的距离方法多而且灵活，可以根据定义从改点作平面的 垂线，有时直接利用已知点求距离比较困难，我们可以把点到平面的距离转化到其它点到面的距离或用空间向量法、或利用三棱锥等体积法等。下面通过几道例题介绍常用的点到面的距离求法： 1、 利用定义作垂线，解三角形。 例1， 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点P 在棱1CC 上，且 1CC =4CP ,求点P 到平面1ABD 的距离。 解: ∵!DC //AB ,∴平面1ABD 与平面D ABC 1是一个平面，∴点P 到平面11D ABC 的距离即为所求。过点P 作PM ⊥!BC 于M ，∵AB ⊥面 C C BB 11,PM ?面C C BB 11,∴AB ⊥PM 。AB 1C B ?=B ， 1 C 1 D 1 A P M D A B C 1 B ，

∴PM ⊥1!D ABC ，∴PM 就是所求的距离，又∵ 0!45=∠BCC ，4 3!= P C ,在PM C R t !?中， 8 2 343224510= ?=?= PM P C PM Sin . 2、 转化成其它点到面的距离： 2 C A A

、向量法： 例3、 在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中,点E, F 分别是 11,D A BC 的中点，求点A 到平面EDF B 1的距离。∥⊥ 解: 建系，如图,设点A 到平面EDF B 1的距离为 d , 平面EDF B 1的法 向量 =(x,y,z),则： AB → →?， y n → )1,2 1,0(),0,2 1,1(=→-=→DF DE

点到直线的距离公式的七种推导方法

点到直线的距离公式的七种推导方法(转载) 很有用哦 已知点 00(,)P x y 直线:0(0,0)l Ax By C A B ++=≠≠求点P 到直线 l 的距离。（因为特殊直线很容易求距离，这里只讨论一般直线） 一、 定义法 证：根据定义，点P 到直线 l 的距离是点P 到直线 l 的垂线段的长，如图1， 设点P 到直线l 的垂线为 'l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B A 解得交点22 00002222 ( ,)B x ABy AC A y ABx BC Q A B A B ----++ 22222 000000 2222 222200002222 2222200000022222222||()()()()()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B A x ABy AC B y ABx BC A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+= ++ +|PQ ∴= 二、 函数法 证：点P 到直线 l 上任意一点的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。在l 上取任意点 (,)Q x y 用两点的距离公式有，为了利用条件0Ax By C ++=上式变形一下，配凑系数处理得： 22220022222222000022 0000220000()[()()] ()B ()()B ()[()B()][()B()][()B()](B )(B 0)A B x x y y A x x y y A y y x x A x x y y A y y x x A x x y y Ax y C Ax y C +-+-=-+-+-+-=-+-+-+-≥-+-=++++= 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 三、不等式法 证：点P 到直线 l 上任意一点Q (,)x y 的距离的最小值就是点P 到直线l 的距离。由柯西不 等式：222222 000000()[()()][()B()](B )A B x x y y A x x y y Ax y C +-+-≥-+-=++ B 0,Ax y C ++=≥ 当且仅当00()B A y y x -=-（x ） 时取等号所以最小值就是d = 四、转化法 证：设直线 l 的倾斜角为 α过点P 作PM ∥ y 轴交l 于M 11(,) x y 显然 10 x x =所以 01Ax C y b +=- x

求两条异面直线之间距离的两个公式

求两条异面直线之间距离的两个公式 王文彬 （抚州一中 江西 344000） 本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法. 1.公式一 如图1，1l 、2l 是异面直线，2l ?平面α，1l A α?=，1l 在α内的射影为l ，设2l l B ?=，且12,l l 与l 所成的角分别为12,θθ，AB m =，则1l 与2l 之间的距离为 d = （1） 证明：设1l 与2l 的公垂线为MN ，如 图1所示，过M 作MH l ⊥于H ，由于1l 在平面α内的射影为l ，故MH ⊥平面α， NM 在α内的射影为NH .由2MN l ⊥知 2NH l ⊥. 在Rt BNH ?中 22cos ()cos BN BH AB AH θθ==- 12(cos )cos m AM θθ=-……………………………① 同理21(cos )cos AM m BN θθ=-…………………② 联立①②解得 212 22 12cos sin 1cos cos m AM θθθθ=- （1.1） 221 22 12 cos sin 1cos cos m BN θθθθ=- （1.2） 图1

从而 212 1122 12cos sin sin sin 1cos cos m MH AM θθθθθθ==?- 221 222212 cos sin tan tan 1cos cos m NH BN θθθθθθ==?- () () 2 2 2 2 2 4 22421 212122 2 2 1 2 cos sin sin cos sin tan 1cos cos m MN MH NH θθθθθθθθ∴=+= +- () () 2 2 4242 12112 2 2212sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ= +- () ()2 22222 121212 2 2 1 2 sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ= ?+- () ()2 2222221212122 2 2221212sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin m θθθθθθθθθθ= ?+-+- 22212 2222 1212sin sin sin sin sin sin m θθθθθθ=+-22212csc csc 1m θθ=+-. 即有公式（1）成立. 运用公式（1）求1l 与2l 之间的距离时，无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式（1.1）和公式（1.2）分别计算出AM 和BN 的值，进而确定公垂线MN 具体位置. 2.公式二 如图2，1l 、2l 是异面直线，1A l ∈，2AH l ⊥于H ，1l 与AH ，1l 与2l 所成的角分别为,αθ， AH m =，则1l 与2l 之间的距离为 d = （2） 证明：过A 作2//l l ，设由l 与2l 确定的

点到直线的距离公式

课 题：7.3两条直线的位置关系（四） ―点到直线的距离公式 教学目的： 1. 2. 会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞 3. 认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题王新敞 教学重点：点到直线的距离公式王新敞 教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 授课类型：新授课王新敞 课时安排：1课时王新敞 教 具：多媒体、实物投影仪王新敞 内容分析： 前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离. 在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生分析点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，通过比较选择其中一种较好的方案来具体实施，以培养学生研究问题的习惯，分析问题进而解决问题的能力. 在解决两平行线的距离问题时，注意启发学生与点到直线的距离产生联系，从而应用点到直线的距离公式求解王新敞 教学过程： 一、复习引入： 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时： (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直王新敞 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之， 如果它们的斜率相等，则它们平行，即21//l l ?1k =2k 且21b b ≠ 已知直线1l 、2l 的方程为1l ：0111=++C y B x A ， 2l ：0222=++C y B x A )0,0(222111≠≠C B A C B A

“点面距离”的常用解法(文科)

“点面距离”常见求法（文科） ------南安新营中学李志参 背景: 在学生全面复习点、线、面的关系下讲，也是其它距离的基础，求点到平面的距离是立体几何教学中一个非常重要的基本问题，也是近几年文科高考的热点、难点。 教学目标：掌握点面距离常见求法 教学重、难点：点面距离的定义，求点面距离几种常见方法的综合运用 教学过程： 一：复习求点面距离常见求法 1：直接法（本质特征是证线面垂直，步骤是：找------证------求） 2：间接法（1）线面法 （2）等体积法（3）比例法 （4）面面法 二：典例分析 已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，GC=2，求 （1）点E 到平面CHG 的距离（2）点O 到平面 EFG 的距离. （3）点B 到平面EFG 的距离 .（4）点A 到平面EFG 的距离. 解： （1） 直接法：证EH ⊥平面CHG 即可，∴EH 为 点E 到平面CHG 的距离，易求EH=2 （2） 直接法：∵ EG=FG ， ∴ GH ⊥EF. 又ABCD 是正方形，故BD ⊥AC ，从而EF ⊥AC. 所以EF ⊥平面GHO. 在平面GHO 内，过点O 作OK ⊥GH 于点K ，则由EF ⊥平面GHO 得EF ⊥OK ，从而OK ⊥平面EFG ， ∴OK 为点O 至平面E FG 的距离 在△GHO 中，OH ×GC=GH ×OK ， 得即点O 到平面EFG 的距离为 （3） 解法1：（线面法） ∵ EF ∥BD ， ∴ BD ∥平面EFG ， ∴ 点B 到平面EFG 的距离等于点O 到平面EFG 的距离，由上知为 解法2：（等体积法） 设四边形ABCD 的对角线相交于点O ，AC 与EF 交于H ，则H 是EF 的中点. C G B D E F H O

利用空间向量求空间角和距离

利用空间向量求空间角和距离 A 级——夯基保分练 1.如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知M ，N 分别是BD 和AD 的中点，则B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为( ) A.30 30 B ．3015 C. 3010 D. 1515 解析：选C 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则B 1(2,2,2)，M (1,1,0)，D 1(0，0,2)，N (1,0,0)，∴B 1M ―→ ＝(－1，－1，－2)，D 1N ―→ ＝(1,0，－2)， ∴B 1M 与D 1N 所成角的余弦值为|B 1M ―→·D 1N ―→ | |B 1M ―→|·|D 1N ―→|＝ |－1＋4|1＋1＋4×1＋4＝30 10 . 2.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝3，E 为线段AB 上一点，且AE ＝1 3AB ，则DC 1与平面D 1EC 所成角的 正弦值为( ) A.33535 B ．277 C.33 D.24 解析：选A 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C 1(0,3,1)，D 1(0,0,1)，E (1,1,0)，C (0,3,0)， ∴DC 1―→＝(0,3,1)，D 1E ―→＝(1,1，－1)，D 1C ―→ ＝(0,3，－1)． 设平面D 1EC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则????? n ·D 1E ―→＝0，n · D 1C ―→＝0，即????? x ＋y －z ＝0，3y －z ＝0，取y ＝1，得n ＝(2,1,3)． ∴cos DC 1―→，n ＝DC 1―→·n |DC 1―→|·|n| ＝33535， ∴DC 1与平面D 1EC 所成的角的正弦值为335 35 .

立体几何专题空间几何角和距离的计算

立体几何专题：空间角和距离的计算 一 线线角 1．直三棱柱A 1B 1C 1-ABC ，∠BCA=900，点D 1，F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成角的余弦值。 B 1 2．在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD=900，AD ∥BC ，AB=BC=a ，AD=2a ，且PA ⊥面ABCD ，PD 与底面成300角，（1）若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；（2）若AE ⊥PD ，求异面直线AE 与CD 所成角的大小； D 二．线面角 1．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1、CD 的中点，且正方体的棱长为2，（1）求直线D 1F 和AB 和所成的角；（2）求D 1F 与平面AED 所成的角。 1 2．在三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，四边形AA 1B 1B 是菱形，四边形BCC 1B 1是矩形，C 1B 1⊥AB ， AB=4，C 1B 1=3，∠ABB 1=600，求AC 1与平面BCC 1B 1所成角 的大小。 B 1

三．二面角 1．已知A 1B 1C 1-ABC 是正三棱柱，D 是AC 中点，（1）证明AB 1∥平面DBC 1；（2）设AB 1⊥BC 1，求以BC 1为棱，DBC 1与CBC 1为面的二面角的大小。 B 1 2．ABCD 是直角梯形，∠ABC=900，SA ⊥面ABCD ，SA=AB=BC=1，AD=0.5，（1）求面SCD 与面SBA 所成的二面角的大小；（2）求SC 与面ABCD 所成的角。 B C 3．已知A 1B 1C 1-ABC 是三棱柱，底面是正三角形，∠A 1AC=600，∠A 1AB=450，求二面角B —AA 1—C 的大小。 1 四 空间距离计算 （点到点、异面直线间距离）1.在棱长为a 的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，P 是BC 的中点，DP 交AC 于M ，B 1P 交BC 1于N ，（1）求证：MN 上异面直线AC 和BC 1的公垂线；（2）求异面直线AC 和BC 1间的距离； C 1 A

等体积法求点到平面距离

等体积法求点到平面距离 用等体积法求点到平面的距离主要是一个转换的思想，即要将所要求的垂线段置于一个四面体中，其中四面体的一个顶点为所给点，另外三点位于所给点射影平面上，这里不妨将射影平面上的三点构成的三角形称为底面三角形。先用简单的方法求出四面体的体积，然后计算出底面三角形的面积，再根据四面体体积公式 1 3 V Sh =求出点到平面的距离h 。在常规方法不能轻松获得结果的情况下，如果能用 到等体积法，则可以很大程度上提高解题效率，达到事半功倍的效果。特别是遇到四面体的有一条棱垂直于其所相对的底面时，首选此方法。下面用等体积法求解例子. 例：所示的正方体ABCD A B C D ''''- 棱长为a ，求点A '到平面ABD ''的距离 解法(等体积法):如图所示，作AH '垂直于平面ABD ''于点H ，则AH '长度为所求。对于四面体AABD '''，易见底面ABD ''的高为AH '，底面ABD '''的高为AA '。对四面体AABD '''的体积而言有： A A B D A AB D V V ''''''--= 即有: 1133A B D AB D AA S A H S '''''??''?=?，也即: A B D AB D AA S A H S ''' ?'' ?'?'= 由AB B D D A ''''===，从而ABD ''?为正三角形，060AB D ''∠=，进而可求得 202 11sin )sin60222 AB D S AB AD AB D a ''?''''= ?∠==

又易计算得到Rt A B D '''?的面积为212 A B D S a '''?= 所以2 13A B D AB D a a AA S A H a S ''' ?'' ??'?'= = 从上面的解答过程知道，我们在使用等体积法求点到平面距离时使用的点与平面间的垂线段只是概念上的，并不一定要知道点在平面射影的具体位置，从而也就不需要使用几何方法寻找或者求作垂线段，垂线段的长度在这种方法上只是作为几何体高的意义而存在的。 练习：1、如图所示，棱长均为a 的正三棱柱中，D 为AB 中点，连结 A 1D ，DC ，A 1C . (1) 求BC 1到面A 1DC 的距离． 2、如图所示，在三棱锥P －ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，AP ＝BP ＝AB ，PC ⊥AC .求点C 到平面APB 的距离． 3、如图，在长方体1111ABCD ABC D -，中，11 ,2AD AA AB ===，E 为AB 的中点，求

(完整版)异面直线间的距离(全部方法详细例题)

异面直线间的距离 求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 常用方法有： 1、 定义法 2、 垂直平面法（转化为线面距） 3、 转化为面面距 4、 代数求极值法 5、 公式法 6、 射影法 7、 向量法 8、 等积法 1 定义法 就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。 例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。 思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200 ，AD=DE=a ，DH= 2 a 。即异面 直线CD 与AE 间的距离为 2 a 。 2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、 b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。 例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。 思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ， 连结CD 。设A 到平面BCD 的距离为h 。由体积法V A-BCD =V C-ABD ， 得 h= β αβα2 2 cos cos 1sin sin -d 3转化为面面距离 若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈