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异面直线间的距离(全部方法详细例题)

异面直线间的距离

求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。常用方法有：

1、定义法

2、垂直平面法（转化为线面距）

3、转化为面面距

4、代数求极值法

5、公式法

6、射影法

7、向量法

8、等积法

1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。

例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200

的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。

思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200

，AD=DE=a ，DH=

a 。即异面

直线CD 与AE 间的距离为

a 。

2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。

思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作

AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，

连结CD 。设A 到平面BCD 的距离为h 。由体积法V A-BCD =V C-ABD ，得 h=

αβα2

cos cos 1sin sin -d

3转化为面面距离若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈

A B H

D C

E F

F C P

A G β

B α Q E H D

β。求a 、b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。

例3已知：三棱锥S-ABC 中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AS 与BC 的距离。

思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体，设长方形的长、宽、高分别为x 、y 、z ，

则??

???==+==+==+22222

2222222131415BC x z AC z y AB y x

解得x=3，y=2，z=1。由于平面SA ‖平面BC ，平面SA 、平面BC 间的距离是2，所以异面直线AS 与BC 的距离是2。

4 代数求极值法根据异面直线间距离是分别在两条异面直线上的两点间距离的最小值，可用求函数最小值的方法来求异面直线间的距离。

例4 已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，求A 1B 与D 1B 1的距离。

思路分析：在A 1B 上任取一点M ，作

MP ⊥A 1B 1，PN ⊥B 1D 1，则MN ⊥B 1D 1，只要求出MN 的最小值即可。设A 1M=x ，则MP=

2x ，A 1P=

2x 。所以PB 1=a –

2x ，PN=（a –

2x ）sin450=

1（

2a –x ），MN=2

PN PM

+ =2

2)3

2(2

3a x +

-。当x=

a 3

2时，MN min =

a 3

3。

5公式法异面直线间距离公式：d=?

cos 22

mn n m AB -++求得异面直线间的距离。

例5 已知圆柱的底面半径为3，高为4，A 、B 两点分别在两底面圆周上，并且AB=5，求异面直线AB 与轴OO /之间的距离。

D 1 C 1 N A 1 P B 1

D C

C A

B A

A O

O /

思路分析：在圆柱底面上AO ⊥OO /，BO /⊥OO /，又OO /是圆柱的高，AB=5，所以d=

33。即异面直线AB 与轴OO /之间的距离为

33。

6 射影法将两条异面直线射影到同一平面内，射影分别是点和直线或两条平行线，那么点和直线或两条平行线间的距离就是两条异面直线射影间距离。

例6 在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=1，M 、N 分别是棱AB 、CC 1的中点，E 是

BD 的中点。求异面直线D 1M 、EN 间的距离。

思路分析：两条异面直线比较难转化为线面、面面距离时，可采用射影到同一平面内，把异面直线D 1M 、EN 射影到同一平面BC 1内，转化为BC 1、QN 的距离，显然，易知BC 1、QN 的距离为

2。所以异面直线D 1M 、EN 间的距离为

2。

7.向量法：先求两异面直线的公共法向量，再求两异面直线上两点的连结线段在公共法向量上的射影长。

例7 已知：正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，

求异面直线DA 1与AC 的距离。

思路分析：此题是求异面直线的距离问题，这个距离可看作是 DA 在异面直线的法向量方向上的投影的绝对值。

此题教师引导，学生口述，教师在课件上演示解题过程，总结解题步骤。

解：如图所示建立空间直角坐标系D-xyz

∴D(0,0,0) A 1(1,0,1) A(1,0,0) C(0,1,0) ∴)1,0,1(1=DA )0,1,1(-=AC 设异面直线DA 1与AC 的法向量)1,,(y x n = ∴AC n DA n ⊥⊥

且,1 ∴0,01=?=?AC n DA n ∴??

?=+-=+0

01y x x ??

?-=-=∴1

1y x

)1,1,1(--=∴n )0,0,1(=DA |

|||n n DA d

?=∴ 3

1==

∴异面直线DA 1与AC 的距离为

步骤小结：求异面直线间的距离:

⑴建立空间直角坐标系； ⑵写出点的坐标，求出向量坐标； ⑶求出异面直线的法向量的坐标； ⑷代入异面直线间的距离公式。例8 已知：SA ⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90゜, SA=AB=BC=a,AD=2a ，

D 1 C 1 A 1 B 1

D C

E Q A M B

D 1 C 1

A 1

B 1

A D

求A 到平面SCD 的距离。

解：如图所示建立空间直角坐标系A —xyz

∴A （0,0,0）C(a,a,0) D(0,2a,0) S(0,0,a) ∴AD =(0,2a,0)SC =(a,a,-a) SD =(0,2a,-a) 设面SCD 的一个法向量n =(x,y,1) ∴n ⊥SC 且n ⊥SD ∴n ?SC =0 且n ?SD =0

∴??

?=-=-+0

a ay a ay ax ??

121y x ∴n =(,,2

1211) ∴点A 到面SCD 的距离为

6a n

AD d =

∴点A 到面SCD 的距离为

八等积法把异面直线间的距离转化为求某个特殊几何体的的高，利用体积相等求出该高

的长度。

例：正四棱锥S -ABCD 中，底面边长为a ，侧棱长为b(b ＞a)．求：底面对角线AC 与侧棱SB 间的距离．

设BC 与平面SAD 间的距离为d ，则以B 为顶点，△SAD 为底面的三棱锥的体积为

而以S 为顶点，△ABD 为底面的三棱锥的体积为

求异面直线间距离的几种常用方法

求异面直线间距离的几种常用方法 1 辅助平面法 (1)线面垂直法，用于两条异面直线互相垂直情况．若已知两条异面直线互相垂直，那么可以寻找一个辅助平面，使它过其中一条直线且垂直于另一条直线，在辅助平面上，过垂足引前一条直线的垂线，就得到这两条异面直线的公垂线，并求其长度．例1 如图1所示正三棱锥V－ABC的底面边长为a，侧棱为b，求AB与VC的距离．解：在正三棱锥V－ABC中，△AVC≌△BVC，作BE⊥VC，连AE，则AE⊥VC，且AE ＝BE， ∴VC⊥平面AEB ∴VC⊥AB 取AB中点D，连DE，则DE⊥AB，又VC⊥DE． ∴DE是异面直线AB与VC的公垂线．分析：这样求异面直线间距离就化为平面几何中求点到直线的距离了．作VF⊥BC，则有

(2)线面平行法，用于一般情况．其用法为：过其中一条直线作与另一条直线平行的平面，这样可把求异面直线间的距离转化为求点到面的距离．例2 如图2所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BB1＝a，BC＝b，试求异面直线AB与A1C之间的距离．解：∵AB∥A B，∴AB∥平面A B C，于是AB与平面A B C间的距离即为异面直线AB与A C之间的距离． (3)面面平行法，求两异面直线的距离，除了上面(2)介绍的转化为线面的距离外，还可以转化为面面的距离，即作两平行的辅助平面，分别过其中的一条，两平行平面间的距离就为此两异面直线的距离．例3 如图3所示，夹在两平行平面α和β间的异面直线AB、CD，在平面β的射影分别是12cm和2cm，它们与平面β的交角之差是45°，求AC与BD之间的距离．

异面直线间的距离(高中全部8种方法详细例题)

异面直线间的距离求异面直线之间距离的常用策略：求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。常用方法有： 1、定义法 2、垂直平面法（转化为线面距） 3、转化为面面距 4、代数求极值法 5、公式法 6、射影法 7、向量法 8、等积法 1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。

例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2 a 。即异面直线CD 与AE 间的距离为2 a 。 2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作

空间直线异面直线间距离的一个简明公式

异面直线间距离的一个简明公式本文先给出两条异面直线间的距离公式，然后指出其在解题中的应用. 定理如图1，异面直线AB ，CD 分别在二面角α—AC —β的面α和β内，二面角α—AC —β的大小为θ，AC =l ，∠ACD =x ，∠BAC =y .那么异面直线AB 与CD 间的距离 d =.cos ctg ctg 2ctg ctg sin sin 222θθθ y x y x l +++ 证：如图1，过点D 作平面α的垂线DF ，F 为垂足.在平面α内，过点F 作FG ⊥AB 于G ，FE ⊥AC 于E ，连结DE ，DG . 则∠DEF =θ，且（DG ）min =d . 设DF =t ，在Rt △DFE 中，EF =t ctg θ. 在Rt △DEC 中，EC =DE ctg x =t csc θ·ctg x . ∴AE =AC -EC =l -t csc θctg x . 图1 图2 在四边形AEFG 中（图2），过点F 作AE 的平行线交AG 于M ，过点M 作MN ⊥AE 于N .则 MF =NE =AE -AN =.ctg ctg ctg csc ctg )ctg csc (y t x t l y EF x t l θ-θ-=-θ- 在Rt △MGF 中，FG =.sin )ctg ctg ctg csc (sin y y t x t l y MF θ-θ-= 所以在22222]sin )ctg ctg ctg csc [(,Rt y y t x t l t DF GF GD DGF θ-θ-+=+=?中 .sin )cos ctg sin sin ctg (sin 2])cos ctg sin sin ctg (1[2222y l t y y x y l t y y x +θ+θ ?-θ+θ+= 根据二次函数的极值公式可得 )4/()4()(2min 2a b ac GD -=

人教版初中七年级数学下册《点到直线的距离》教案

点到直线的距离教学目标：1、掌握点到直线的距离的有关概念。2、会作出直线外一点到一条直线的距离。3、理解垂线段最短的性质。教学重点：点到直线的距离的概念及垂线段最短的性质。教学难点：垂线段最短的性质及从直线外一点作直线的垂线的画法教学过程：一、准备知识 1、垂直的概念 2、经过直线外一点作这条直线的平行线，可以作几条？ 3、如何从直线外一点作已知直线的垂线？二、探究新知 1、经过一点作一条已知直线的垂线。（1）点P在直线AB上（2）点P在直线AB 外 2、讨论思考题：过一点P作已知直线的垂线，可以作几条？是不是一定可以作一条？如果有两条直线PC、PD与直线AB垂直，那么PC、PD的关系怎样呢？（重合） 3、归纳：在平面内，通过一点有一条并且只有一条直线与已知直线垂直。 4、垂线段的概念：

如图，设PO垂直于AB于O，线段 PO叫作点P到直线AB的距垂线段。 PA、PB、PC、PD叫作斜线段。 5、垂线段PO的长度叫作点P到直线AB的距离。 6、做一做（1）请同学们测量一下，PO与PA、PB、PD、PC的长度，然后猜测一下它们之间的关系如何。（2）按教材P73的做一做操作。 7、归纳结论：直线外一点与直线上各点连续的所有线段中，垂线段最短。简单说成：垂线段最短。 8、垂线段的应用 P74的动脑筋三、练习与小结 1、练习P74的练习题 2、课堂小结四、布置作业 1、已知：经过直线m外一点P 。求作：PO，使PO垂直于直线m，O点是垂足。 2、画一个5厘米的正方形ABCD，在正方形内部任取一点P，作经过点作正方形各边的垂线，垂足分别M、N、R、Q，测量PM、PN、PR、PQ的长度。

求两条异面直线之间距离的两个公式

求两条异面直线之间距离的两个公式王文彬（抚州一中江西 344000）本文介绍求异面直线距离的两个简捷公式，以及如何定量地确定异面直线公垂线的方法. 1.公式一如图1，1l 、2l 是异面直线，2l ?平面α，1l A α?=，1l 在α内的射影为l ，设2l l B ?=，且12,l l 与l 所成的角分别为12,θθ，AB m =，则1l 与2l 之间的距离为 d = （1）证明：设1l 与2l 的公垂线为MN ，如图1所示，过M 作MH l ⊥于H ，由于1l 在平面α内的射影为l ，故MH ⊥平面α， NM 在α内的射影为NH .由2MN l ⊥知 2NH l ⊥. 在Rt BNH ?中 22cos ()cos BN BH AB AH θθ==- 12(cos )cos m AM θθ=-……………………………① 同理21(cos )cos AM m BN θθ=-…………………② 联立①②解得 212 22 12cos sin 1cos cos m AM θθθθ=- （1.1） 221 22 12 cos sin 1cos cos m BN θθθθ=- （1.2）图1

从而 212 1122 12cos sin sin sin 1cos cos m MH AM θθθθθθ==?- 221 222212 cos sin tan tan 1cos cos m NH BN θθθθθθ==?- () () 2 2 2 2 2 4 22421 212122 2 2 1 2 cos sin sin cos sin tan 1cos cos m MN MH NH θθθθθθθθ∴=+= +- () () 2 2 4242 12112 2 2212sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ= +- () ()2 22222 121212 2 2 1 2 sin sin cos sin sin 1cos cos m θθθθθθθ= ?+- () ()2 2222221212122 2 2221212sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin m θθθθθθθθθθ= ?+-+- 22212 2222 1212sin sin sin sin sin sin m θθθθθθ=+-22212csc csc 1m θθ=+-. 即有公式（1）成立. 运用公式（1）求1l 与2l 之间的距离时，无需知道它们公垂线的位置，但如果要确定公垂线的位置，则可根据公式（1.1）和公式（1.2）分别计算出AM 和BN 的值，进而确定公垂线MN 具体位置. 2.公式二如图2，1l 、2l 是异面直线，1A l ∈，2AH l ⊥于H ，1l 与AH ，1l 与2l 所成的角分别为,αθ， AH m =，则1l 与2l 之间的距离为 d = （2）证明：过A 作2//l l ，设由l 与2l 确定的

小学人教四年级数学点到直线的距离教案

执教时间：年月日课题点到直线的距离执教者李子涵共 1 课时学情分析本课是在学生学习了射线、线段和直线、垂线、平行线之后，进一步学习空间与图形知识的基础。小学四年级学生认知水平以及生活阅历相对较少，但孩子们都喜欢亲自动手试一试。所以学生的这种认知特征要善于引导，寻求科学的学习方法和适合学生年龄特点的教学方法。教学目标1、学生经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画的线段中垂直线段最短，知道点到直线的距离。 2、认识平行线之间的距离相等。 3、在学习过程中进一步发展观察能力、实践能力，体会数与形的联系，发展空间观念。 4、进一步体会数学和现实生活的联系，进一步培养数学应用意识和学习数学的积极情感。教学重点认识点到直线的距离，认识平行线之间的距离。教学难点能解决一些实际的问题教学准备多媒体课件、三角尺教学过程一、复习引入 1、下面各组直线，哪一组互相平？哪一组互相垂直？（课件出示）（学生判断，并说明理由） 2、复习过直线外一点（点A）画已知直线的垂线的方法。（学生口述画垂线的方法，教师补充并在黑板上作图示范） 3、谈话导入：掌握了经过直线外一点向已知直线作垂线的方法，这节课我们在此基础上，继续学习有关垂直的重要知识——点到直线的距离（板书课题）。【设计意图：通过复习平行与垂直的知识，直接引出课题，可以让学生尽快进入数学知识的学习状态中，而平行与垂直、画垂线知识的复习为今天的学习起到铺垫作用】二、新知探究。修改意见

（一）点到直线的距离 1、画一画从直线外一点A到这条直线画几条不同的线段，要求有一条垂线。（以比赛的形式展开：在1分钟的时间内看谁从点A向直线画出的线段多，速度快） 2、量一量学生动手量一量所画的线段的长度，并观察这些线段的长度，看看有什么发现，同桌互相说一说。 3、通过学生交流，引导学生总结从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短。教师小结并板书：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离【设计意图：进行画图、测量、交流等多种活动，引导学生得出垂线的性质，对距离的含义，让学生在交流中明确它的定义】（二）认识平行线间垂直线段的特点 1、课件出示课本例3（2）图，直线a//b，想一想这组平行线之间可以画出多少条垂线段？ a b 引导学生：一条直线上有无数个点，因此可以画出无数条垂直线段。2、学生独立完成（在课本上画）：在直线a上任选5个点，分别向b画垂直线段。 3、小组合作测量所画垂直线段的长度，然后交流测量结果，你有什么发现？（生动手操作，指名汇报） 4、师根据学生汇报，总结：端点分别在两条平行线上，且与平行线垂直的所有线段的长度都相等。 5、拓展延伸：根据平行线间的距离处处都相等的性质可以判断两条直线是否平行。三、巩固练习（一）基础练习 1、填空。

立体几何——求异面直线距离

异面直线距离一. 直接法直接法就是根据定义，直接找出公垂线段，再求其长，这是解题时首先要考虑的方法。例1. 如图1所示，已知正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1，点E 在棱D 1D 上，截面EAC//D 1B ，且平面EAC 与底面ABCD 所成的角为45°，AB=a ，求异面直线A B 11与AC 之间的距离。解：连结DB ，设DB 交AC 于点O 由题设知ABCD A B C D -1111是正四棱柱则A A ABCD A A AC A A A B 11111⊥⊥⊥底面，即，而所以A A 1是异面直线A B 11与AC 的公垂线段由题意分析知∠为平面与底面DOE EAC ABCD 所成的角则∠DOE=45° 又∵截面EAC//D 1B ，且平面D 1BD 与平面EAC 的交线为EO ∴D 1B//EO ，∠DBD 1=∠DOE=45° ∴D 1D=DB=2a ∵AA 1=D 1D ∴异面直线A 1B 1与AC 之间的距离为2a

二. 间接法间接法就是当采用直接法不便于求解或证明时，可利用已知条件进行间接求解或证明的方法。（1）线面距离法线面距离法就是选择异面直线中的一条，过它作另一条直线的平行平面，则此直线与平行平面的距离即为异面直线间的距离。例2. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AD=3，AA1=4，求异面直线AB与A1C间的距离。解：如图2所示，连结A1D 由AB//DC，得AB//平面A1DC 故AB到平面A1DC的距离即为AB与A1C间的距离又平面A1D⊥平面A1DC及平面A1D⊥AB 故可在平面A1D内过A作AE⊥A1D于点E 则AE为AB到平面A1DC的距离即为异面直线AB与A1C间的距离。由AD AA A D AE ·· 11 = 可得AE=12 5 图2 （2）面面距离法面面距离法就是把所求异面直线间的距离转化为分别过两条异面直线的两个平行平面间的距离。例3. 如图3所示，正方体ABCD A B C D - 1111 的棱长为1，求异面直线A1D与

新人教版四年级《点到直线的距离》教学设计

课题点到直线的距离教学内容：人教版教材第59页例3 课程标准描述通过观察、操作等活动，经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画线段中垂直线段最短，理解点到直线的距离。会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。教学目标: 1、经历垂直线段的性质的探索过程，知道从直线外一点到已知直线所画线段中垂直线段最短，理解点到直线的距离。 2、会测量点到直线的距离，会利用垂直线段的性质解释一些生活现象。 3、进一步体会数学和现实生活的联系，培养数学应用意识。教学重点、难点：会画已知直线的垂线，认识点到直线的距离。评价活动方案 1、通过画一画，折一折等操作活动，认识点到直线的距离。以评价教学目标1。

2、能用直尺或三角尺测量点到直线的距离。以评价目标2。教学准备：课件教学过程一、导入 1、提问：在同一个平面内两条直线的位置关系有哪几种特殊情况？特殊在哪儿？ 2、谈话：请大家在白纸上画一条直线，在较远处画一个点A，并利用工具经过A点画出已知直线的垂线。 3、学生画图，指名到黑板上板演。指出垂足。师谈话：今天这节课我们要继续学习有关垂直的重要知识——点到直线的距离（板书课题）二、新授（一）认识“点到直线的距离” 1、刚才大家过A点作直线的垂线，那么，从A点到垂足之间的这条线是线段？还是射线？还是直线？ 2、教师指出：从A点到垂足之间这条垂直线段的长度，叫做这点到这条直线的距离。

指明学生说说什么叫“点到直线的距离” （二）认识垂直线段的性质 1、谈话：刚才我们画了从A点到直线的垂直线段。你能从A点向直线画几条不垂直的线段吗？任意画几条。 2、把这些线段的长度与刚才那条垂直线段的长度比一比，你发现了什么？ 3、把你的发现与同桌交流一下。 4、指名交流。 5、小结：正因为这条垂直的线段最段，所以“点到直线的距离”其实就是指这个点到这条直线的垂直线段的长度。三、巩固练习：第59页上“做一做” （一）第1题： 1、出示题目，谈话：题目要求我们量出点到直线的距离，那么什么是点到直线的距离？ 2、学生动手作图，测量。 3、汇报测量结果。（二）第2题：

求异面直线之间距离的常用策略

求异面直线之间距离的常用策略求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。 1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200 ，AD=DE=a ，DH=2a 。即异面直线CD 与AE 间的距离为2 a 。 2 转化为线面距离若a 、b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。例2 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。设A 到平面BCD 的距离为h 。由体积法V A-BCD =V C-ABD ，得 h= β αβα2 2 cos cos 1sin sin -d 3转化为面面距离若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈β。求a 、b 两条异面直线的距离转化为平行平面α、β间的距离。例3已知：三棱锥S-ABC 中，SA=BC=13，SB=AC=14，SC=AB=15，求异面直线AD 与BC 的距离。思路分析：这是一不易直接求解的几何题，把它补成一个易求解的几何体的典型例子，常常有时还常把残缺形体补成完整形体；不规则形体补成规则形体；不熟悉形体补成熟悉形体等。所以，把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得，因此，将三棱锥补形转化为长方体，设长方形的长、宽、高分别为x 、y 、z ，

高中数学异面直线距离(教师用)

求异面直线之间距离的常用方法求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转化为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。方法一、定义法也叫直接法，根据定义，找出或作出异面直线的公垂线段，再计算此公垂线段的长。这是求异面直线距离的关键。该种方法需要考虑两种情况：一是如两条一面直线垂直，一般采用的方法是找或做：过其中一个直线与另一个直线垂直的平面。若两个直线不垂直，则需要找第三条直线，若第3条直线与两个异面直线都垂直，则平移第3条直线使得与两个异面直线都相交。例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200，AD=DE=a ，DH=2 a 。即异面直线CD 与AE 间的距离为2a 。例2 如图，在空间四边形ABCD 中，AB =BC =CD =DA =AC =BD =a ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点. (1)求证：EF 是AB 和CD 的公垂线； (2)求AB 和CD 间的距离； (3)求EF 和AC 所成角的大小. (1)证明：连结AF ，BF ，由已知可得AF =BF . 又因为AE =BE ，所以FE ⊥AB 交AB 于E . 同理EF ⊥DC 交DC 于点F . 所以EF 是AB 和CD 的公垂线. (2)在Rt △BEF 中，BF = a 23,BE =a 21, 所以EF 2=BF 2-BE 2=a 21 2，即EF =a 2 2. 由(1)知EF 是AB 、CD 的公垂线段，所以AB 和CD 间的距离为 a 22. (3)过E 点作EG ∥AC 交BC 于G ，因为E 为AB 的中点，所以G 为BC 的中点.所以∠FEG 即为异面直线EF 和AC 所成的角. E 例2题图

(完整版)异面直线间的距离(全部方法详细例题)

异面直线间的距离求异面直线之间的距离是立体几何重、难点之一。常有利用图形性质，直接找出该公垂线，然后求解；或者通过空间图形性质，将异面直线距离转化为直线与其平行平面间的距离，或转化为分别过两异面直线的平行平面间的距离，或转为求一元二次函数的最值问题，或用等体积变换的方法来解。常用方法有： 1、定义法 2、垂直平面法（转化为线面距） 3、转化为面面距 4、代数求极值法 5、公式法 6、射影法 7、向量法 8、等积法 1 定义法就是先作出这两条异面直线的公垂线，然后求出公垂线的长，即异面直线之间的距离。例1 已知：边长a 为的两个正方形ABCD 和CDEF 成1200的二面角，求异面直线CD 与AE 间的距离。思路分析：由四边形ABCD 和CDEF 是正方形，得 CD ⊥AD ，CD ⊥DE ，即CD ⊥平面ADE ，过D 作DH ⊥AE 于H ，可得DH ⊥AE ，DH ⊥CD ，所以DH 是异面直线AE 、CD 的公垂线。在⊿ADE 中，∠ADE=1200 ，AD=DE=a ，DH= 2 a 。即异面直线CD 与AE 间的距离为 2 a 。 2 垂直平面法：转化为线面距离，若a 、 b 是两条异面直线，过b 上一点A 作a 的平行线a /，记a /与b 确定的平面α。从而，异面直线a 、b 间的距离等于线面a 、α间的距离。例1 如图，BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，和棱分别成α、β角，又它们和棱的交点间的距离为d ，求两条异面直线BF 、AE 间的距离。思路分析：BF 、AE 两条异面直线分别在直二面角P-AB-Q 的两个面内，∠EAB=α，∠FAB=β，AB=d ，在平面Q 内，过B 作BH ‖AE ，将异面直线BF 、AE 间的距离转化为AE 与平面BCD 间的距离，即为A 到平面BCD 间的距离，又因二面角P-AB-Q 是直二面角，过A 作 AC ⊥AB 交BF 于C ，即AC ⊥平面ABD ，过A 作AD ⊥BD 交于D ，连结CD 。设A 到平面BCD 的距离为h 。由体积法V A-BCD =V C-ABD ，得 h= β αβα2 2 cos cos 1sin sin -d 3转化为面面距离若a 、b 是两条异面直线，则存在两个平行平面α、β，且a ∈α、b ∈

空间两异面直线距离的若干求法

存档编号赣南师范学院科技学院学士学位论文空间两异面直线距离的若干求法系别数学与信息科学系届别 2014届专业数学与应用数学学号 1020151224 姓名刘禹伟指导老师陈海莲完成日期

目录内容摘要 (1) 关键字 (1) Abstract (1) Key words (1) 1、引言 (2) 2、空间两异面直线的相关概念 (2) 2.1、空间两异面直线的概念 (2) 2.2、空间两异面直线间距离的概念 (2) 3、求异面直线距离的常用方法 (3) 3.1、直接法 (3) 3.2、线面距离法 (4) 3.3、面面距离法 (4) 3.4、等体积法 (5) 4、求解异面直线间距离的其他方法 (6) 4.1、运用极值法 (6) 4.2、公式法 (7) 4.3、射影面积法 (9) 5、分析比较求解方法 (10) 6、结语 (11) 致谢 (12) 参考文献 (13)

内容摘要：立体几何中的异面直线间距离( 即两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度) 问题是教材中的一个难点, 学生普遍反映困难, 主要由于学生思维不全面和认识上的不足, 又由于学生由平面几何到立体几何思维上的转化存在着问题, 从而导致解题和学习上困难。本文我们来着重讲解空间两异面直线间的距离的求法，即直接或利用转换和利用体积来求解。在其基础上再深入研究，利用解析几何的思想来探讨求解异面直线间距离。比较各种求法，让学生在求异面直线间距离方面简单。关键字：异面直线间距离直接法转化法体积法解析几何 Abstract：The differences between the three-dimensional geometry of the surface linear distance (ie two different male faces straight vertical line in these two segments of different lengths between straight face) problem is a difficult textbook. Students generally reflect difficulties, Mainly due to the students' thinking is not comprehensive and lack of understanding, Also due to the transformation of the students from the plane geometry on the three-dimensional geometry of thinking there is a problem, resulting in the problem-solving and learning difficulties. In this paper, we explain the space to focus on the distance between the two different method for finding straight face, that directly or using the conversion and use of volume to solve. The basis of its further in-depth study to explore solving linear distance between the different faces of the use of analytic geometry ideas. Comparative method for finding a variety of students in terms of a simple distance between divergent straight face. Key words：The distance between lines in different planes The direct method Volume method Transformation method Analytic geometry

空间直线—异面直线间的距离

空间直线（四）—异面直线间的距离一、教学目的：（1）理解两条异面直线垂直的概念；（2）了解两条异面直线的公垂线；（3）会求两条异面直线间的距离及主要方法。二、教学重点、难点：异面直线间的距离。三、教学过程：1、复习：（1）异面直线的定义：；（2）两条异面直线所成的角：； ?当两条异面直线互相垂直时；两条异面直线所成的角的范围是； 2、观察正方体ABCD —1111D C B A 中，正方体的棱1AA 和11C B 所在的直线，直线11B A 和它们都，直线1AA 和11D C 直线，直线11D A 和它们都。 3、两条异面直线的公垂线的定义： 4、两条异面直线间的距离的定义：练习（1）；设上图中，已知正方体ABCD —1111D C B A 的棱为a . （1）则异面直线AB 和11C B 的公垂线为；它们的距离是；（2）则异面直线1AA 和C B 1的公垂线为；它们的距离是；（3）则异面直线AC 和11D B 的公垂线为；它们的距离是； [思考题]：则异面直线AC 和1BD 的公垂线为；它们的距离是； [例1]：如图，PA ⊥矩形ABCD ，已知PA=AB=8，BC=15. （1）求直线PA 、BC 间的距离；（2）求直线PA 、BD 间的距离；（3）求直线AD 与PC 所成角的余切值。 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 P A B C D

[例2]：已知正四面体ABCD 中（各边均相等的四面体），若AB=1。求：AB 和CD 间的距离。练习（2）1、判断题；（1）d c b a ,,,是4条直线，;////,//,//d a d c c b b a ?-------------（）（2）若b a ,是直线，βα,是平面，且,,βα??b a 则b a ,一定是异面直线（）（3）b c a c b a ⊥?⊥,//---------------------------------------------------------------（）（4）b a c b c a //,?⊥⊥--------------------------------------------------------------（） 2、填空题：（1）已知b a ,是两条直线，且b a //，φ=?b a ，那么a 与b ；（2）已知c b a ,,是三条直线，且a b a ,//和c 所成的角为0 30，那么b 和c 所成的角的大小为；（3）1AA 是长方体的一条棱，这个长方体中与1AA 垂直的棱共有；（4）如果b a ,是异面直线，直线c 与b a ,都相交，那么由这三条直线中的两条所确定的平面共有个。 3、如图，已知长方体的长和宽都是cm 32，高是cm 2. （1） BC 和11C A 所成的角是多少度？（2） 1AA 和1BC 所成的角是多少度？ 11B A 和1DD ，以及11C B 和CD 的距离各是多少？作业： P 15 7、8 A B C D A B C D A 1 B 1 C 1 D 1

如何求异面直线的距离

如何求异面直线的距离求异面直线距离方法：（1）（直接法）当公垂线段直接能作出时，直接求。此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键。（2）（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a,b距离，先作出过a且平行于b的平面α, 则b与α距离就是a,b距离。（线面转化法）也可以转化为过a平行b的平面和过b且平行于a的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离。（3）（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用体积公式来求。（4）（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解。两条异面直线间距离问题，教学大纲中要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其它解法，要适度接触，以开阔思路。典型题目分析正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a，求异面直线AC与BC1的距离。解法1：（直接法）取BC的中点P，连结PD，PB1分别交AC，BC1于M，N点，易证：DB1//MN，DB1⊥AC，DB1⊥BC1， ∴MN为异面直线AC与BC1的公垂线段，易证：MN=B1D=a。（如图1所示）小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解。解法2：（转化法）∵AC//平面A1C1B，∴AC与BC1的距离等于AC与平面A1C1B的距离，在RtΔOBO1中，作斜边上的高OE，则OE长为所求距离，如图2， ∵OB=a, OO1=a，∴O1B=，∴OE=a。小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离。解法3：（转化法）

∵平面ACD1//平面A1C1B，∴AC与BC1的距离等于平面ACD1与平面A1C1B的距离，（如图3所示）， ∵DB1⊥平面ACD1，且被平面ACD1和平面A1C1B三等分；∴所求距离为B1D=a。小结：这种解法是将线线距离转化为面面距离。解法4：（构造函数法）任取点Q∈BC1，作QR⊥BC于R点，作RK⊥AC于K点，如图4所示，设RC=x，则OK2=x2+(a-x)2=(x-a)2+a2≥a2, 故QK的最小值，即AC与BC1的距离等于a。小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离。解法5：（体积桥法）当求AC与BC1的距离转化为求AC与平面A1C1B的距离后，设C点到平面A1C1B的距离为h，则 ∵h·(a)2=·a·a2,∴h=a，即AC与BC1的距离为a。小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转化为锥体的高，然后体积公式求之。立体几何中几类问题在平面几何中，我们研究了平面图形及其性质，对于空间图形的问题，基本上无所接触。立体几何是研究空间图形及其性质的学科。由于空间图形的抽象性，一个图形可以是许多实际物体的抽象形式，因而立体几何在生产实际、科学试验中有广泛的应用。立体几何是在学习平面图形知识的基础上来研究空间图形。从平面到空间是观念上的一个飞跃，同学要从平面跳入空间，困难很多，怎样完成这个飞跃呢？要注意两点：（1）充分发挥教具或用具的作用，逐步培养和训练同学们的空间想象能力，建立立体感。（2）善于运用“转化”的思维方法——空间图形转化为平面图形，平面图形转化为空间图形，不规则的空间图形转化为规则的空间图形，并注意掌握具体的转化方法。一、平面问题 1．正确理解公理及推论中的意义

人教新课标版(A)高一必修点到直线的距离公式教案

3．3．3两条直线的位置关系 ―点到直线的距离公式三维目标：知识与技能：1. 理解点到直线距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式；能力和方法：会用点到直线距离公式求解两平行线距离王新敞情感和价值：1。认识事物之间在一定条件下的转化。用联系的观点看问题王新敞教学重点：点到直线的距离公式王新敞教学难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学方法：学导式教具：多媒体、实物投影仪王新敞教学过程一、情境设置，导入新课：前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研

究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离。用POWERPOINT 打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一直线上的计算？能否用两点间距离公式进行推导？两条直线方程如下： ?? ?=++=++0 0222111C y B x A C y B x A . 二、讲解新课： 1．点到直线距离公式：点),(0 y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为： 2 200B A C By Ax d +++= 王新敞（1）提出问题在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为),(0 y x ，直线＝0或B ＝0时，以上公式0:=++C By Ax l ，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直线l 的距离呢?

学生可自由讨论。（2）数行结合，分析问题，提出解决方案学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为一个曾今解决过的问题，一个自己熟悉的问题。画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。方案一：设点P到直线l的垂Array线段为PQ，垂足为Q，由 PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为 B（A≠0），根据点斜 A 式写出直线PQ的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d王新敞此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法王新敞

向量法求异面直线的距离解法探求

向量法求异面直线的距离解法探求空间异面直线的距离问题是立体几何的重点，难点，同时也是历届高考试题的热点问题。如何很好地利用向量法求解这类问题又是一个值得探讨与研究的问题。下举例谈谈向量法求解这类问题的基本方法与策略。一、定义法：例1、如图1，正方形ABCD 与ABEF 成600的二面角，且正大光明方形的边长为，M ，N 分别为BD ，EF 的中点，求异面直线BD 与EF 的距离。解析：选取为,,,AB AF AD 基向量。显然AF AD ,的夹角为600，AD AB ,的夹角为900，AF AB ,的夹角为900，AD AF AB AD AF AB AD FE DF BD FN DF MD MN 2 121)()(212121-=+-+-=++=++= EF MN EF MN AB AD AB AF AB AD AF FE MN BD MN BD MN a a AB AD AB AF AD AD AF AB AD AD AF BD MN ⊥⊥∴=?-?=?-=?⊥⊥∴=+--=?+?--?=-?-=?∴即又即）（,021)2 1(.,,0002160cos 2 121)21(2022从而MN 为异面直线BD 与EF 的公垂线。 ,2 3||434160cos 41)21(||2202222222a a a a a ==+-=+?-=-== 异面直线BD 与EF 的距离为a 2 3。点评：本题利用向量数量积定义，很好地证明MN 为异面直线的公垂线。然后利用向量模与数量积的关系，巧妙进行了模与向量的转化，解法自然，回味无穷。二、射影法：分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为，与这两条异面直线都垂直的法向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向量的模设为d ，从而由公式d = 例2、如图2，四棱锥P-ABCD 的底面是正方形， ,PA ABCD ⊥底面33PA AB a ==，求异面直线AB 与PC 的距离。解析：以A 为坐标原点，AB 为x 轴建立如图所示的直角坐标系，则B （a,0,0）,C(a,a,o),P(0,0,3a)，则)3,,(),0,0,(a a a PC a AB -==，设PC AB ,的公垂线的方向向量为),,(z y x n =由 ? ??==??????=-+=?==?z y x az ay ax PC n ax AB n 30030，不妨令x=0,y=1,z=3则有)3,1,0(=n ，又)3,0,0(a AP =，∴AB 与PC 间的距离为：a a d 1010910 9===。点评：异面直线公垂线难于确定时，可用向量法求异面间的距离。这种方法的关键是利用待定系数法确定公垂线的方向向量n 。