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中考复习：二次函数与图形面积

二次函数与图形面积

★1.已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象过点A (4，0)、B (1，3)． (1)求抛物线的表达式；

(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；

(3)抛物线的对称轴为直线l ，设抛物线上的点P (m ，n )在第四象限，点P 关于直线l 的对称点为E ，点E 关于x 轴的对称点为F ，若以O 、A 、P 、F 四点组成的四边形的面积为20，求m 、n 的值．

解：(1)将点A (4，0)、B (1，3)代入抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 得

?=++-=++-310416c b c b ，解得???==0

c b ， ∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋4x ； (2)对称轴为直线x ＝－b

2a ＝－

()

124

-?＝2，顶点坐标为(2，4)；

(3)抛物线的对称轴为直线x ＝2，设抛物线上的点P (m ，n )在第四象限，则点P 关于直线l 的对称点为E (4－m ，n )，点E 关于x 轴的对称点为F (4－m ，－n )，若以O 、A 、P 、F 四点组成的四边形的面积为20，

则S 四边形OP AF ＝S △AOF ＋S △AOP ＝12×4×(－n )＋12×4×(－n )＝－4n ＝20，得n ＝－5，将(m ，－5)代入y ＝－x 2＋4x ，解得m ＝5或m ＝－1. ∵点P (m ，n )在第四象限， ∴m ＝5，n ＝－5.

★2.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点O 、B (1，3)、C (2，2)，

与x 轴交于另一点N . (1)求抛物线的表达式；

(2)连接BC ，若点A 为BC 所在直线与y 轴的交点，在抛物线上是否存在点P ，使得S △OAP ＝8

15S △ONP ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

解：(1)将0(0，0)、B (1，3)、C (2，2)三点的坐标分别代入抛物线

y ＝ax 2＋bx ＋c ，可得?????==++=++02243c c b a c b a ，解得???

??==-=052c b a ，

∴所求抛物线的表达式为y ＝－2x 2＋5x ； (2)存在，

设BC 所在直线的表达式为y ＝kx ＋b ，将点B 、C 的坐标代入可得

?+=+=b k b k 223，解得???=-=4

b k ，则y ＝－x ＋4.

把x ＝0代入y ＝－x ＋4得y ＝4， ∴点A (0，4)，

把y ＝0代入y ＝－2x 2＋5x 得x ＝0或x ＝5

2， ∴点N (5

2，0)，

设点P 的坐标为(x ，y )，

S △OAP ＝12OA ·x ＝2x ，S △ONP ＝12ON ·y ＝12×52·(－2x 2＋5x )＝54(－2x 2

＋5x )，由S △OAP ＝815S △ONP ，即2x ＝815·54(－2x 2＋5x )解得x ＝0(舍去)或x ＝1，当x ＝1时，y ＝3，

∴存在点P ，其坐标为(1，3)．

★3.已知，m 、n 是方程x 2－6x ＋5＝0的两个实数根，且m

(2)设(1)中抛物线与x 轴的另一交点为C ，抛物线的顶点为D ，试求出点C 、D 的坐标和△BCD 的面积；

(3)点P 是线段OC 上的一点，过点P 作PH ⊥x 轴，与抛物线交于点H ，若直线BC 把△PCH 分成面积之比为2∶ 3的两部分，请求出P 点的坐标．

第3题图

解：(1)解方程x 2－6x ＋5＝0，得x 1＝5，x 2＝1，由m

∴点A 、B 的坐标分别为A (1，0)，B (0，5)．

将A (1，0)，B (0，5)的坐标分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，

得???==++-501c c b ，解得?

??=-=54c b ，

∴抛物线的表达式为y ＝－x 2－4x ＋5； (2)令y ＝－x 2－4x ＋5＝0，解得x 1＝－5, x 2＝1， ∴C 点的坐标为(－5，0)．

由顶点坐标公式计算，得点D (－2，9)．如解图①，过D 作x 轴的垂线交x 轴于点M .

则S △DMC ＝12×9×(5－2)＝272，S 四边形MDBO ＝12×2×(9＋5)＝14， S △BOC ＝12×5×5＝252，

∴S △BCD ＝S 四边形MDBO ＋S △DMC －S △BOC ＝14＋272－25

2＝15；

第3题解图① 第3题解图②

(3)如解图②，设P 点的坐标为(a ，0)， ∵直线BC 过B 、C 两点， ∴BC 所在直线的解析式为y ＝x ＋5.

那么，PH 与直线BC 的交点坐标为E (a ，a ＋5)，

PH 与抛物线y ＝－x 2－4x ＋5的交点H 的坐标为(a ，－a 2－4a ＋5)．由题意，得①EH ＝3

2EP ，

即(－a 2

－4a ＋5)－(a ＋5)＝3

2(a ＋5)，

解得a ＝－3

2或a ＝－5(舍去)； ②EH ＝2

3EP ，

即(－a 2

－4a ＋5)－(a ＋5)＝2

3(a ＋5)．

解得a ＝－2

3或a ＝－5(舍去)． ∴P 点的坐标为(－32，0)或(－2

3，0)．

★4.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (4，0)、B (2，－43

3)，其中点M 是OA 的中点．

(1)求过A 、B 、O 三点的抛物线L 的表达式；

(2)将抛物线L 在x 轴下方的部分沿x 轴向上翻折，得到一段新的抛物线L ′，其中点B ′与点B 关于x 轴对称，在抛物线L 所在x 轴上方部分取一点C ，连接CM ，CM 与翻折后的抛物线L ′交于点D .当S △CDA ＝

2S △MDA 时，求点C 的坐标．

第4题图

解：(1)由于抛物线L 经过点A (4，0)、B (2，－43

3)、O (0，0)，设抛物线L 的表达式为y ＝ax 2＋bx .

将点A (4，0)、B (2，－43

3)代入抛物线中有：

?????-

=+=+33

4240416b a b a ，解得???

????-==3343

b a ， ∴抛物线L 的表达式为y ＝33x 2－43

3x ；

(2)∵抛物线L ′是由抛物线L 沿x 轴向上翻折得到， ∴抛物线L ′的表达式为y ＝－33x 2＋43

3x (0≤x ≤4)，

如解图，过点C 、D 分别作x 轴的垂线，垂足分别为点E 、F ，故DE ∥CF .连接AD 、AC ， ∴DE CF ＝ME MF ＝MD MC ，

设△ACM 边CM 上的高为h ，

∵S △CDA ＝2S △MDA ，

∴12CD ·h ＝2×12MD ·

h ∴CD ＝2MD ，故CM ＝3MD . ∴CF ＝3DE ，MF ＝3ME .

设点C 的坐标为(t ，33t 2－43

3t )，第4题解图则MF ＝t －2，ME ＝13MF ＝13(t －2)，OE ＝ME ＋OM ＝13t ＋4

3， ∴点D 的纵坐标为：y D ＝－33(13t ＋43)2＋433(13t ＋4

3)，又∵CF ＝3DE ，

∴33t 2－433t ＝3[－33(13t ＋43)2＋433(13t ＋43)]，整理得t 2－4t －8＝0，

解得t 1＝2＋23，t 2＝2－23，

将t 1、t 2代入抛物线L 的解析式中，解得y ＝83

3，

∴满足条件的点C 的坐标为(2＋23，833)或(2－23，83

3)．

★5.如图，等腰Rt △AOC 在平面直角坐标系中，已知AO ＝6，点B (－3，0)．

(1)求过点A 、B 、C 的抛物线的表达式；

(2)已知点P (3

2，0)，过点P 作AB 的平行线交AC 于点E ，连接AP ，求△APE 的面积；

(3)在第一象限内，该抛物线上是否存在点G ，使△AGC 的面积与(2)中△APE 的面积相等？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．

第5题图

解：(1)设抛物线的表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，

由题意得，抛物线的图象经过点A (0，6)，B (－3，0)，C (6，0)，

∴???

??==++=+-606360

39c c b a c b a ，解得?

??????

==-=6131c b a ，故此抛物线的表达式为y ＝－13x 2

＋x ＋6；

第5题解图①

(2)如解图①，∵点P 的坐标为(3

2，0)，

则PC ＝92，S △ABC ＝12BC ·AO ＝1

2×9×6＝27， ∵PE ∥AB ， ∴△CEP ∽△CAB . ∴CAB CEP S S ??＝(PC BC )2， ∴S △CEP ＝27

4，

∵S △APC ＝12PC ·AO ＝27

2， ∴S △APE ＝ S △APC －S △CEP ＝274； (3)存在．

如解图②，在第一象限内的抛物线上任取一点G ，过点G 作GH ⊥BC 于点H ，连接AG 、GC ，设点G 的坐标为(a ，b )，

第5题解图②

∵S 四边形AOHG ＝1

2a (b ＋6)， S △CHG ＝1

2(6－a )b .

∴S 四边形AOCG ＝12a (b ＋6)＋1

2(6－a )b ＝3(a ＋b )． ∵S △AGC ＝ S 四边形AOCG －S △AOC ， ∴27

4＝3(a ＋b )－18.

∵点G (a ，b )在抛物线y ＝－13x 2

＋x ＋6的图象上， ∴b ＝－1

3a 2＋a ＋6.

∴274＝3(a －13a 2

＋a ＋6)－18，化简得4a 2－24a ＋27＝0. 解得a 1＝32，a 2＝9

故点G 的坐标为(32，274)或(92，15

4)．

二次函数与几何图形结合练习

3.2 与几何图形结合3.2.1 与等腰三角形结合1、如图，直线y=3x+3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交 x 轴于另一点C （3,0）. ⑴求抛物线的解析式 ; ⑵在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的 Q 点坐标；若不存在，请说明理由 2、如图，已知直线y=x 与交于A 、B 两点．（1）求交点A 、B 的坐标；（2）记一次函数y=x 的函数值为y 1，二次函数的函数值为y 2．若y 1＞y 2，求x 的取值范围；（3）在该抛物线上存在几个点，使得每个点与AB 构成的三角形为等腰三角形？并求出不少于3个满足条件的点 P 的坐标． y =x 2 y =x 2

3、如图，已知二次函数的图象经过点A （3，3）、B （4，0）和原点O 。P 为二次函数图象上的一个动点，过点 P 作x 轴的垂线，垂足为 D （m ，0），并与直线OA 交于点C ．（1）求出二次函数的解析式；（2）当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；（3）当m ＞0时，探索是否存在点P ，使得△PCO 为等腰三角形，如果存在，求出 P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 3.2.2 与直角三角形结合1、二次函数的图象的一部分如图所示．已知它的顶点 M 在第二象限，且经过点A(1，0)和点B(0，l)．(1)试求，所满足的关系式；(2)设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为 C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的倍时，求a 的值；(3)是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形．若存在，请求出 a 的值；若不存在，请说明理由． 2 y ax bx c a b 5 4

二次函数与图形面积

二次函数与图形面积涉及图形：三角形、不规则四边形。考查设问：（1）首先求出不规则三角形或者四边形的面积；（2）通过已知图形的面积确定未知三角形的面积；（3）通过未知三角形的面积求点坐标。例1：（2009陕西24题10分）如图，在平面直角坐标系中，OB OA ⊥，且2OB OA =，点A 的坐标(12)-，．（1）求点B 的坐标；（2）求过点A O B 、、的抛物线的表达式；（3）连接AB ，在（2）中的抛物线上求出点P ，使得ABP ABO S S =△△． 24．（本题满分10分）解：（1）过点A 作AF x ⊥轴，垂足为点F ，过点B 作则21AF OF ==，． OA OB ⊥， 90AOF BOE ∴∠+∠=°．又 90BOE OBE ∠+∠=°， AOF OBE ∴∠=∠． Rt Rt AFO OEB ∴△∽△． 2BE OE OB OF AF OA ∴ ===．（第24题）

24BE OE ∴==，． (42)B ∴，． ················································································· （2分）（2）设过点(12)A -，，(42)B ，，(00)O ，的抛物线为2y ax bx c =++． 216420.a b c a b c c -+=??∴++=??=?，，解之，得12320a b c ? =?? ? =-?? =??? ，，． ∴所求抛物线的表达式为213 22 y x x = -． ············································ （5分）（3）由题意，知AB x ∥轴．设抛物线上符合条件的点P 到AB 的距离为d ，则11 22 ABP S AB d AB AF = =△． 2d ∴=． ∴点P 的纵坐标只能是0，或4． ····················································· （7分）令0y =，得 213 022 x x -=．解之，得0x =，或3x =． ∴符合条件的点1(00)P ，，2(30)P ，．令4y =，得 213 4 22 x x -=．解之，得32 x ±= ． ∴符合条件的点33 ( 4)2P ，43(4)2 P +． ∴综上，符合题意的点有四个： 1(00)P ，，2(30)P ，，33 (4)2P ，43(4)2 P +． ···························· （10分）（评卷时，无1(00)P ，不扣分） 1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。

二次函数与几何图形结合题及答案

1.如图，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求A 、B 、C 三点的坐标; （2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积; （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由．解：（1）令0y =，得2 10x -= 解得1x =± 令0x =，得1y =- ∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分（2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O= 45 ∵A P ∥CB ， ∴∠P AB = 45 过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则?A P E 为等腰直角三角形令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a + ∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴2 11a a +=- 解得12a =，21a =-（不合题意，舍去） ∴P E =3……………………………………………………………………………5分 ∴四边形ACB P 的面积S =12AB ?O C +12AB ?P E =11 2123422 ??+??=………………………………6分 (3)．假设存在 ∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC ∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2 在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 ………8分设M 点的横坐标为m ，则M 2 (,1)m m - ①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当?A MG ∽?P CA 时，有 AG PA =MG CA ∵A G=1m --，MG=2 1m -即2322 = 解得11m =-（舍去） 23m =（舍去）………9分 G M C B y P A o x

2020二次函数中的面积问题

二次函数——面积问题〖知识要点〗一．求面积常用方法： 1. 直接法（一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边） 2. 利用相似图形，面积比等于相似比的平方 3. 利用同底或同高三角形面积的关系 4. 割补后再做差或做和（三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解）二．常见图形及公式抛物线解析式y=ax 2 +bx+c (a ≠0) 抛物线与x 轴两交点的距离AB=︱x 1–x 2︱= a ? 抛物线顶点坐标（-a b 2, a b ac 442-）抛物线与y 轴交点（0，c ） “歪歪三角形中间砍一刀” ah S ABC 2 1=?，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. y 轴交PCD 的面 3、已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点，且BC=2，S △ABC =3，则b = ， c = ．〖典型例题〗 ● 面积最大问题 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像与x 轴交于点A （-1,0）、B （3 ，0），与y 轴交于点C ，∠ACB=90°. （1）求二次函数的解析式；（2）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得△PAB 面积最大，求P 坐标（3）P 为抛物线X 轴上方一点，若使得四边形PABC 面积最大，求P 坐标 (4) P 为抛物线上一点，若使得ABC PAB S S ??=2 1，求P 点坐标。 ● 同高情况下，面积比=底边之比 2．已知：如图，直线y=﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C ，抛物线y=﹣x 2+bx +c 经过点B 、C ，点A 是 B 图1