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微分中值定理及其应用

本科生毕业论文（设计）系（院）数学与信息科学学院专业数学与应用数学

论文题目微分中值定理及其应用

学生姓名贾孙鹏

指导教师黄宽娜（副教授）

班级11级数应1班

学号 11290056

完成日期：2015年4月

微分中值定理及其应用

贾孙鹏

数学与信息科学学院数学与应用数学 11290056

【摘要】微分中值定理是研究复杂函数的一个重要工具，是数学分析中的重要内容。我们可以运用构造函数的方法来巧妙的运用微分中值定理解决问题。本文主要研究微分中值定理的内容和不同形式之间的关系，以及它的推广形式。并归纳了它在求极限，根的存在性，级数等方面的应用。最后对中间点的问题进行了讨论。

【关键词】微分中值定理应用辅助函数

1引言

微分中值定理主要包括罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagannge）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理，以及泰勒(Taylor)公式。他们之间层层递进。研究了单个函数整体与局部，以及多个函数之间的关系。对掌握函数的性质，以及根的存在性等方面具有重要的作用。学微分中值定理这节同我们要掌握为什么要学这节，和不同定理之间的关系和应用。从教材来看，我们已经明白了导数微分重要性，但没讲明如何运用，因此有必要加强导数的应用，而微分中值定理是导数运用的理论基础。所以这部分内容很重要。它是以后研究函数极限，单调，凹凸性的基础。从微分中值定理的产生来看，其中一个基础问题就是函数最值问题。而解决此类问题就是能熟练的运用微分中值定理。此文为加深对中值定理的理解，在它推广的基础上详细解释了定理间的关系，对它的应用作了5个大方面的归纳。并对最新研究成果作了解释。

2柯西与微分中值定理

2.1柯西的证明

首先在柯西之前就有很多科学家给出了导数的定义，当然他们对导数的认识存在着差异。比如说欧拉在定义导数的时候就用了差商的形式，如将()

g x的导数定义

为

()()

g x h g h

当趋于0时的极限。对于拉格朗日他对导数的认识开始是建立在

错误观点的，他认为任意的函数都可以展开成幂级数的形式，但是事实并不是这样。而柯西采用的是极限来定义并将其转化成了不等式的语言。我们来看下柯西的证明，它开始于：

定理：如果函数()f x 在区间[,]a b 上连续，()f x '在[,]a b 上有最小和最大值C,B 则会有下面的

()()f b f a C B b a

-≤≤-

以下是柯西对上式的证明

分析: 当时在证明的时候Cauchy 用δ和ε表示很小的数。把区间[],a b 划分为:

012.....n a x x x x b =<<<

（i 表示相邻区间长度且i δ<）

()()

()()f x i f x f x f x i

εε+-''-≤

≤+

对于划分的小区间我们有

100010()()

()()f x f x C f x f x B x x εεεε

-''-≤-<

<+≤+-211121()()

()()f x f x C f x f x B x x εεεε-''-≤-<

<+≤+-

1111

()()

()()n n n n f B f x C f x f x B B x εεεε

-----''-≤-<

<+≤+-

整理得

1021110211

()()()()...()()

...n n f x f x f x f x f B f x C B x x x x B x εε

---+-++--<

<+-+-++-

()()

f b f a C B b a

εε

--<

<+-

就可以有这样如果()g x 和它的导函数[,]a b 在上连续，则

00()()

[(()]f x f a f x x b a b a

θ-'++-=

-（01θ<<）

2.2柯西证明分析

[柯西在做此证明的时候，假设了()f x '具有连续性，这样就保证了导函数具有介值性。但是当时他没有认识到此时的()f x '

已经具有了连续性]。华东师范第

三版《数学分析》教材中给出的达布定理就说明了导函数的连续性质。而且柯西的这种证明方法对于一些函数并不实用，比如说具有有限个间断点的函数（这类函数也是连续的），说明柯西对连续和一致连续在开始阶段还不太明白所以认识存在缺

陷，到1840它才区分开来。公式中0()x b a θ+-逐渐的用ξ来代替了，这样看来这个量就不太明确，这样就证明了微分中值定理。这里我介绍这种方式主要是因为再后来科学家都用这种方式ξδ-来证明微分中值定理，原因是这种方式很严格。随着认识的深入，到后来微分中值定理证明到后来就基本成熟了。由上面的例子也可以看出一个概念思想的产生，被接受是困难的。这就需要我们深入的去探究。

3 微分中值定理

3.1 微分中值定理不同形式。

我这里简单的描述几种不同的中值定理。

罗尔中值定理：函数f 在闭区间[,]a b 连续，在其开区间可导，并在,a b 的值相等，

则在(,)a b 内至少有一点ξ使得

=0f ξ'（）。

拉格朗日定理：若函数f 在闭区间[,]a b 连续，在其开区间可导，则在可其区间至少

有一点ξ使的得

()()f b f f b a

ξ-'=

-（a)

柯西中值定理：函数f 和g 在[,]a b 上连续，在其开区间可导。函数g 在其开区间内有

()0g x '≠则

()(()

()()()

f f b f a

g g b g a ξξ'-=

'-）泰勒微分中值：函数f 在0x 的某开区间(,)a b 内有阶导数，则对任意x 有

0000000()()()()()()()...()2!!n n

f x f x f x f x f x x x x x x x n '''=+-+-+-

3.2 几何意义

(1)罗尔几何意义

罗尔定理的几何意义：在连续可导的曲线上，若端点值相等则在曲线上存在水平曲线。

（2）拉格朗日微分中值的几何意义

拉格朗日微分中值定理：表示在连续可导的曲线上若它们的端点的函数值不相等，则在曲线上存在一点出的切线平行函数两端点连线。

（3）柯西微分中值定理几何意义

柯西中值微分中值定理：表示由函数()f x 和()g x 确定的参数方程上至少存在一点，并在这点的切线平行于曲线端点出的连线

3.3 微分中值定理不同形式间的关系

首先这几种不同形式的中值定理都给出了函数与其导数之间的关系，都做了定量的刻化，这对导数的应用起着推动性作用。同时也描述出了函数整体与局部之间的关系。

它们之间所不同的是，罗尔微分中值定理是基础。同时也是构造辅助函数的基本原理。若罗尔定理的条件去掉()()f a f b =则推广成了拉格朗日微分中值定理，反之则罗尔定理是拉格朗日定理的特殊情况。

我们来看拉格朗微分表诉的意思就是

()y f x x x θ'=+

这就是导数与函数值增量之间的关系如多我们更详细的表示：

()()f b f f b a ξ-'=

-（a)

这就表示的是平均变化率和瞬时变化率之间的关系。如果要表示两个函数之间变化率的关系就推广到了柯西微分中值定理。这是表诉上的推广。二有反过来柯西中值定理的特例就是朗格朗日微分定理。前面研究的只是函数值与其一阶导数之间的关系。若果推广到了阶则是泰勒定理（就是对函数反复的运用拉格朗日中值定理）。其中对于柯西中值定理应用最典型的就是罗必达法则。对泰勒定理的应用时马克劳林公式。

4 微分中值定理的推广

4.1 微分中值定理的新形式

定义1若函数()f x 在开区间(,)a b 内可导且有

lim ()(0)()()(0)lim ()x a x a

f x f a f a f b f b f x +

-→→=+===-=存在。则在

(,)a b 内至少有ξ，有()0f ξ'=.

定理2 若函数()f x 在开区间(,)a b 内可导且

lim ()(0)(),x a f x f a f a +

→=+=lim ()(0)()x b

f x f b f b -

→=-=则在(,)a b 内至有一点ξ，有()()

()f b f a f b a

ξ-'=

4.2 有限个函数微分中值定理

（罗尔定理推广）若函数12(),()...()n f x f x f x 在闭区间[,]a b 上连续，在其开区上

可导，且()(),1,2,3...i i f a f b i n ≠=则在(,)a b 内至少有一点ξ有：

))

[

1]()0

()n

i i j i j j j

f a f b f f b f ξ=--=-∑（（（a)

证明：根据题意设函数

()()

()[

1]()()(n

i i j i j j j f b f a H x f x f b f a =-'=--∑）

在[,]a b 连续，在其开区间可微，并且有

()()

()()[

1][()()]()(n

i i j j i j j j f b f a H b H a f b f a f b f a =--=---∑）

[()()][()()]0n

i i j j i j f b f a f b f a ==---=∑

所以()()H b H a =有罗尔中值定理至少有一点ξ

))

[

1]()()0()n

i i j i j j j f a f b f H f b f ξξ=--==-∑（（（a)

若将上面的()(),1,2,3...i i f a f b i n ≠=去掉，其余条件不变则会得到：若函数

12(),()...()n f x f x f x 在闭区间[,]a b 上连续，在其开区间上则在(,)a b 内至少有一点ξ使

,11

()()()0n

n k

i j k k j

F F F f ξ==≠'-=∑∏

关于多元函数的微分中值定理这里就不例举出来了

5微分中值定理的应用

5.1微分中值定理在等式中的应用。

微分中值中最基本的结论是()f x C =,C 为常数的充分必要条件是()0f x '=。来看下面这个基础例子：

例1 若()g x 在R 上可到导，而且()()g x g x '=，(0)1g =证明()x g x e =。

分析：题目是不是就需要证明

()

g x e

=也就是证明()x g x e 是一个常数。然后根据题目中的条件来求解。证明：构

造辅助函数

()()x

g x x e

φ=，

2()()

()0x x x

g x e e g x x e φ'-'== 0

(0)()(0)1g x C e φφ∴≡==

()x g x e ∴=

注意：若题目证明的等式两边是积分，要证明他们相等。方式就是构造函数

()p x =左边函数—右边函数，证明()p x 的导数等于0就可以了。

例2 已知()g x 在[0,]t 上连续，证明下面的积分式子成立：

()2()t

g x dx g x dx

-=?

证明：令220

()()2()t t t

t g x dx g x dx ?-=-??则

222()()()(1)2()0t g t g t g t φ'=---=

()(0)0t C ??∴≡== 所以要求证明的式子成立

例3若g(x)在闭区间[a,b]连续，在其开区间内有2阶导数.证明存在

(,)d a b ∈,使得2()2(

)()()()2

a b

g b g g a b a g d +''-+=-。证明：由已知得到:

()2(

)()2a b

g b g g a +-+ [()()][()()]22

a b a b

g b g g g a ++=---

[()()][()()]2222

a b b a a b b a g g g a g a +-+-=+--+-

构造辅助函数()()()2

b a

x g x g x ?-=+-则有上式等于 ()()2a b a ??+=-

()[+)()]222b a b a b a

g g ?ξξξ---'''==-（

()22b a b a

g d --''=?

()()

b a g

c -''=（(,)

d a b ∈

5.2微分值定理在不等式中的应用.

实际上微分中值定理可以解决一些不等式的问题，使一些问题解决起来就比较方便。我们来看下面这个题目

例题 1 让我们证明2

(1),02

x In x x x +>->

证明：我们令2

()(1),()2

x f x In x g x x =+=-则就是求()()f x g x >(0)(0)f g =

对(),()f x g x 用在（0,1）上用柯西中值定理有：

()()(0)()

()()(0)f x f x f f g x g x g g ξξ'-==

'-（）ξ∈，（0,1)

()()f g ξξ''>就是证明：，即

()12=1+11+f g ξξξ

ξξξ'-='+（）

当0,

x ξ<<20,1ξξ>+即1()

f g ξξ'>'（

）所以原式成立。

从上面我们可以看出，用微分中值定理来解决一些不等式的问题比较简单，达到很好的效果。和以前方式比起来更简单，更加快的得到我们所需要的结果。

例 2估值计算In2的值，使其误差不超过0.001. 解：对In(1+X)进行泰勒展开

23111

(1)...(1)(1),01,123(1)(1)n

n n n

n x x x x In x x x n n x θθ+-++=-+++-+-<<>-++

当x=-1时，

1n+1

111121+...+(123(1)(1+n n

In n n θ-=-++-+（-1)））

当n=7时有

7(1)88

0.01

8(1)82R θ=

<<+

所以求得In2的值等于

1111

21..0.760

2347In =-+-++≈

例 3 若()f x 和()g x 在闭区间内可导，它们在a 的端点值相等，在开区间

(,)a b ()()f x g x ''>则()()

f x

g x >

()()()x f x g x ??'''=-证明：设则:（x)

=f(x)-g(x)>0 所以构造的函数是增函数。

()x ??'''连续，而且（

a)=f (a)-g (a)=0

任意的对于x 属于（a,b ）有

()()x a ??>即f(x)-g(x)>0.

()()

f x

g x ∴>

5.3 证明根的存在性

例题1 若g(x)在闭区间[a,b]上连续，在其开区间可导，证明：在（a,b ）内

222[()()]()()x g b g a b a g x '-=-至少存在一个根

222()()

b a g x ?--证明：令(x)=[g(b)-g(a)]x

构造的函数在[a,b]内连续，在其开区间可导。

22()()()().

a g

b a b g a b ??∴=-=

用罗尔定理有至少有点

222[()()]()()

g b g a b a g ξξ'-=-

在（a,b ）原方程至少有一根存在。

注意：在证明根的存在性的时候，能够构造出我们所需要的函数。这样对解

决问题比较有利用。

例2 设()g x 在非负区间可导，并且有下面的关系式子:()0,(0)0.

g x k g '≥><

()0,0g x =∞证在（，）内有唯一实根

分析：讨论根的存在性可以用零点定理，罗尔定理和拉格朗日中值

定理，此题目如果使用零点定理则还需要找a 一点使得()0g a >

证明：（1）首先证明根的存在性质.

()g x 对于我们在[0,x]上用拉格朗日中值定理

()0,

g x k '≥>

()(0),

g x g kx ξξ'≥∴≥+有g(x)-g(0)=g ()x kx,0<

lim (),

x g x →∞

∴=+∞

0,0()0,(0)0,x g x g ><就存在一点使得有有零点定理有

00)(0,)x ξξ∈∈+∞存在（，使g()=0.

（2）唯一性。

()0,()g x k g x '≥>由我们可以知道单调增加

我们就可以知道g(x)=0,就只有一个根。

例 3：()f x 在[0,1]上可微，证明一定存在属于(0,1)中的点ξ使的

[(1)(0)]f f ξξ'-g ()=2

分析：我们来看这个问题，我们对证明的式子变形有：

(1)(0)()

102f f f ξξ'-=

我们构造2()F x x =与()f x 运用柯西中值定理有

这个问题就分析到这里，接下来的工作就可以套用公式就可以完成了。证明根的存在性，是微分中值定理中比较重要的作用。要学会用中值定理去证明问题，就要学会从问题的结论出发。看出式子运用的是什么形式的中值定理。

并能构造出辅函数。这样的话要解决根的存在性的问题就比较简单了。接下来我们来看哈微分中值定理在求极限方面的应用。文章一开始我们提到过有罗比达法则，但事实上有些问题用起来比较麻烦，可以直接的运用微分中值定理。 5.4 微分中值定理在求极限方面的应用

例1: 求极限

lim

tan tan x x

x e

x x

x e e x e →∞--

这个问题用罗比达法则，求导量就比较大我们可以根据问题形式构造辅助函数来解决问题。

解：设()tan t x t φ=f(x)=e ，在[,]x x e x 用柯西中值定理有

cos ,()1

tan tan cos x

x e

x x x x

e e e e e x x e ξ

ξξξξ

=<<- e x e e e →→当，时有：

=lim cos cos .e

e e

e e e ξξξ→=原式

由此题目我们可以看出。运用微分中值定理解决问题比较简单，可以达到事半攻倍的效果。

例2 求极限：

20(12)lim

(1)x

x e x In x →-++

分析：此题目运用罗比达法则就比较简单。其他中值定理的形式在此题目表现

的不明显

解：用22)(0)x x → In(1+x 有

220

0011(12)(12)(12)

22lim

lim lim (1)2x x x x x x e x e x e x In x x x -→→→-+-+-+==+

0(12)2

lim

x e x -→++==

微分中值定理在求极限上的运用就是罗比达法则和直接运用公式，我

们要具体问题具体分析。

5.5 微分中中值定理在级数方面的应用。

例 1 设g(x)在点x=0的某领域内有二阶连续导数，并且有下面的极限：

01()1lim 0,()x n g x g x n ∞

→==∑证明绝对收敛。

分析：由于g(x)在x=0有二阶导数，我们可以考略用拉格朗日泰勒公式。写出g(x)在x=0的一阶泰勒展开。在求出g(x)的表达式，最后做出判断。

()

lim

0,x g x x

→'= 证明：且g(x)在x=0处可导数有g(0)=0,g (0)=0.

2211

()(0)(0)()(),0.2!2g x g g x g x g x x ξξξ'''''=++

=<< 22

1()()()22M

g x M g x g x x ξ''''≤∴=≤ ， 2

111

,()2M x g n n n ∴=≤

当有

1111

()2n n M g n n ∞

∞==∑∑由于收敛，由此可知收敛

这节我们看到了微分中值定理在不同的方面都起着很重要的作用。我们要学好微分中值定理就要不断的归纳终结。解决这方面的问题关键就是在于要认清问题用的那种中值定理可以解决，适当的构造辅函数，这样问题就可以解决了。以上我们

介绍了未封闭中值定理在等式，不等式，根的存在性，求极限，估值计算等方面的应用。在接下来我们将去探讨中值点的问题，一提到中值点，我们就会去考略它受到了什么的影响，一遍能准确的去刻画中值点。我们开始来探讨中值点的最新研究的成果。

6 微分中值定理中值点的渐进性最新研究成果。

自从来微分中值定理提出以来，很多科学家就对中值点产生了浓厚的兴趣，他们不断深入的研究取得了很大的成就。对于拉格朗日定理，Alfonso G. Azpeitia 得到了如下结论：

6.1中值点的估算定理

定理 1：设函数f 在闭区间[,]a x 二阶可导，

(1)f ''在a 处右连续。

(2)0.f ''≠

1lim 2

x a

ξ→-=

-于是有:。定理1推广：设函数f 在闭区间[,]a x 上存在直到n+1阶导数满足以下条件： (1) (1)n f +在a 处右连续

(2)(1)

()()0,(2,3,...,),()0.n i f a i n f

a +==≠

lim x a

x a

ξ+

→-=

-于是有：对于柯西定理我们有

定理 2 ：设函数,f g 在闭区[,]a x 间阶梯可导，对于任意t 属于[,]a x (1)()0.g t '≠

(2),f g a ''''''''''≠在处右连续，f (a)g (a)-f (a)g (a)0.

1:lim

x a

ξ→-=

-我们有

定理2的推广和定理1的推广得到的结论不同，只是条件不同这里就不加叙述了，有兴趣的同学下来可以查阅资料。 6.2 中值点的性质

对于满足朗格朗日的中值点，对于任意的x 属于(,]a b ,当a 固定式对于

lim

x a

ξ→-=

定理3：设f(x)在闭区[a,b]内可导，在其开区间连续()f x '在其开区间严格单

调有

（1）ξ是x 的单值函数，记：()x ξξ= （2）()x ξξ=是x 单调增加函数。

定理4：设函数在闭区间[a,b]可导，开区间连续，f(x)在开区间有二阶导数。()f x ''在（a,b ）内保号。有：

（1）()x ξξ=是连续函数。

（2）()x ξξ=是x 的可导函数。

()(())

()()(())f x f x x x a f x ξξξ''-'=

''-

中值点在几年的研究比较多，虽然在题目分析的时候不许要对中值点进行详细的讨论，但这些总激励着科学家不断地探索问题。这篇论文主要为了让大家对微分中值定理有能够深入的了解。能够熟练的掌握微分中值定理在不同方面的应用。

【参考文献】

[1]华东师范大学数学系编数学分析第四版北京高等教育出版社 2010 [2]天京师范大学数学学院杨雪婷浅谈微分中值定理的应用 2011 [3]淮阴师范学院数学系程希旺微分中值定理渐进性研究新进展 2009 [4]同济大学应用数学高等数学学北京师范大学学出版社 2002 [5]潇树铁微积分上册(1)版：清华大学出版社 2002 [6]Sun Jiayong.Calcuus with Related Topics 西北工业大学出版社 1988 [7]王志平高等数学大讲堂大连，大连理工出版社。 2004

[8]钱昌本高等数学范例分析西安西安交通大学出版 2004

[9]数学分析选讲陈新亚同济大学出版 2008

[10]Crabriel Klambauer Aspects of Galculus 1986

The Different Mean—Value Theorem and Its Application

Jia Sun-peng

(Department of Mathematics and Information Science, Mathematics and Applied Mathematics ,11290056)

Abatract: The different mean value theorem is not an important tool to research the complex. It also a important content of mathematical analysis.we can solve the differential mean value theorem by constructing auxiliary functions to solve problem This paper mainly studies the relationship between the differential mean value theorem and different forms.also research its promotion. This article summarizes the differential meantial mean value theorem of limit in the book,root existence,application of series and so on.At the end of the mid point of the problem are discussed.

Key words:The different mean value theorem Applications Auxiliary function

微分中值定理与导数的应用总结

1基础知识详解先回顾一下第一章的几个重要定理 1、0 lim ()()x x x f x A f x A α→∞→=?=+ ，这是极限值与函数值（貌似是邻域）之间的关系 2、=+()o αββαα?: ，这是两个等价无穷小之间的关系 3、零点定理：条件：闭区间[a,b]上连续、()()0f a f b < (两个端点值异号) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()0f ζ= 4、介值定理：条件：闭区间[a,b]上连续、[()][()]f a A B f b =≠= 结论：对于任意min(,)max(,)A B C A B <<，一定在开区间(a,b)上存在ζ，使得 ()f C ζ=。 5、介值定理的推论：闭区间上的连续函数一定可以取得最大值M 和最小值m 之间的一切值。第三章微分中值定理和导数的应用 1、罗尔定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，f(a)=f(b) 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 '()0f ζ= 2、拉格朗日中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得()()'()()f b f a f b a ζ-=- 3、柯西中值定理条件：闭区间[a,b]连续，开区间(a,b)可导，()0,(,)g x x a b ≠∈ 结论：在开区间(a,b)上存在ζ ，使得 ()()'() ()()'() f b f a f g b g a g ζζ-= - 拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情况，当g(x)=x 时，柯西中值定理就变成了拉格朗日中值定理。 4、对罗尔定理，拉格朗日定理的理解。罗尔定理的结论是导数存在0值，一般命题人出题证明存在0值，一般都用罗尔定理。当然也有用第一章的零点定理的。但是两个定理有明显不同和限制，那就是，零点定理两端点相乘小于0，则存在0值。而罗尔定理是两个端点大小相同，

微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用微分中值定理(包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理)是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的有力工具。中值定理名称的由来是因为在定理中出现了中值“ξ”，虽然我们对中值“ξ”缺乏定量的了解，但一般来说这并不影响中值定理的广泛应用. 1．教学目的与要求：掌握微分中值定理与函数的Taylor公式并应用于函数性质的研究，熟练应用L＇Hospital法则求不定式极限，熟练应用导数于求解函数的极值问题与函数作图问题. 2．教学重点与难点：重点是中值定理与函数的Taylor公式，利用导数研究函数的单调性、极值与凸性. 难点是用辅助函数解决有关中值问题，函数的凸性. 3．教学内容： §1 拉格朗日定理和函数的单调性本节首先介绍拉格朗日定理以及它的预备知识—罗尔定理，并由此来讨论函数的单调性. 一罗尔定理与拉格朗日定理定理6.1(罗尔(Rolle)中值定理)设f满足 (ⅰ)在[]b a,上连续; (ⅱ)在) a内可导; (b , (ⅲ)) a f= f ) ( (b

则),(b a ∈?ξ使 0)(='ξf (1) 注 (ⅰ)定理6.1中三条件缺一不可. 如: 1o ? ??=<≤=1 010 x x x y , (ⅱ),(ⅲ)满足, (ⅰ)不满足, 结论不成立. 2o x y = , (ⅰ),(ⅲ)满足, (ⅱ)不满足,结论不成立. 3o x y = , (ⅰ), (ⅱ)满足, (ⅲ)不满足,结论不成立. (ⅱ) 定理6.1中条件仅为充分条件. 如:[]1,1 )(2 2-∈?????-∈-∈=x Q R x x Q x x x f , f 不满足(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)中任一条,但0)0(='f . (ⅲ)罗尔定理的几何意义是:在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线两端点高度相等,则至少存在一条水平切线. 例 1 设f 在R 上可导,证明:若0)(='x f 无实根,则0)(=x f 最多只有一个实根. 证 (反证法,利用Rolle 定理) 例 2 证明勒让德(Legendre)多项式 n n n n n dx x d n x P )1(!21)(2-?= 在)1,1(-内有n 个互不相同的零点. 将Rolle 定理的条件(ⅲ)去掉加以推广,就得到下面应用更为广

高等数学第三章微分中值定理与导数的应用的习题库

第三章微分中值定理与导数的应用一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。（） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。（） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。（） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。（） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。（） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。（） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。（） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。（） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。（） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。（） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。（） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。（）

第五章微分中值定理及其应用答案

139 第五章微分中值定理及其应用上册P 178—180 习题解答 1．设0)(0>'+x f ，0)(0<'-x f .证明0x 是函数)(x f 的极小值点 . 证 0)()(lim )(0000 <--='- →-x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某左去心邻域内有 0) ()(0 0<--x x x f x f ，此时00<-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >； 0)()(lim )(0000 >--='+ →+x x x f x f x f x x ，?在点0x 的某右去心邻域内有0) ()(0 0>--x x x f x f ，此时00>-x x ，?在点0x 的该左去心邻域内有 0)()(0>-x f x f ，即)()(0x f x f >. 综上 , 在点0x 的某去心邻域内有)()(0x f x f >. 即0x 是函数)(x f 的极小值点 . 2. 举例说明 , Rolle 定理的三个条件都不满足 , 函数仍然可以存在水平的切线 . 解答: 例如函数 . 21 , 1, 12 , )(2? ??≤<-≤≤-=x x x x x f )(x f 定义在区间] 2 , 2 [-上 , )(x f 在点1=x 间断 ,因此不满足在闭区间上连续和在开区间内可导的条件 , 并且4) 2(=-f , 而 1) 2 (=f , ≠-) 2(f ) 2 (f . 对区间] 2 , 2 [-上的这个函数)(x f , Rolle 定理的三个条件都不满足 . 但是 , 0) 0 (='f , 该曲线上点) 0 , 0 (处的切线仍然是水平的 . 3. 设函数)(x f 在闭区间] , [b a 上连续 , 在开区间) , (b a 内可微 . ⑴ 利用辅助函数 1 )(1)(1)( )(b f b a f a x f x x =ψ. 证明Lagrange 中值定理 .

第六章微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用引言在前一章中,我们引进了导数的概念,详细地讨论了计算导数的方法.这样一来,类似于求已知曲线上点的切线问题已获完美解决.但如果想用导数这一工具去分析、解决复杂一些的问题,那么,只知道怎样计算导数是远远不够的,而要以此为基础,发展更多的工具. 另一方面,我们注意到：（1）函数与其导数是两个不同的的函数;（2）导数只是反映函数在一点的局部特征;（3）我们往往要了解函数在其定义域上的整体性态,因此如何解决这个矛盾？需要在导数及函数间建立起一一联系――搭起一座桥,这个“桥”就是微分中值定理. 本章以中值定理为中心,来讨论导数在研究函数性态（单调性、极值、凹凸性质）方面的应用. §6.1 微分中值定理教学章节：第六章微分中值定理及其应用——§6.1微分中值定理教学目标：掌握微分学中值定理,领会其实质,为微分学的应用打下坚实的理论基础. 教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义,掌握三个定理的证明方法,知道三者之间的包含关系. 教学重点：中值定理. 教学难点：定理的证明. 教学方法：系统讲解法. 教学过程：一、一个几何命题的数学描述为了了解中值定理的背景,我们可作以下叙述：弧? AB 上有一点P,该处的切线平行与弦AB.如何揭示出这一叙述中所包含的“数量”关系呢？联系“形”、“数”的莫过于“解析几何”,故如建立坐标系,则弧? AB 的函数是y=f(x),x ∈[a,b]的图像,点P 的横坐标为x ξ=.如点P 处有切线,则f(x)在点x ξ=处可导,且切线的斜率为()f ξ';另一方面,弦AB 所在的直线斜率为()() f b f a b a --,曲线y=f(x)上点P 的切线平行于弦 AB ?()() ()f b f a f b a ξ-'= -. 撇开上述几何背景,单单观察上述数量关系,可以发现：左边仅涉及函数的导数,右边仅涉及

微分中值定理例题

理工大学微积分-微分中值定理费马定理罗尔定理拉格朗日定理柯西定理

()()1.()0,(0)0,f x f f f ?ξξξξζξξξ'' <=>><≤[][]''''''[]<<≤１２１２１２１２１２１２１２２１１１２１１１２１１２２１设证明对任何的x ０，ｘ０，有（ｘ＋ｘ）（ｘ）＋ｆ（ｘ）．解：不妨设ｘｘ，（ｘ）＝f （ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ）－ｆ（０）＝ｆ（）ｘ－ｆ（）ｘ＝ｘｆ（）－ｆ（）＝ｘｆ－．因为，０ｘｘ()ξζ?''<<<<２１１２ｘ＋ｘ，又ｆ０，所以（ｘ）０，所以原不等式成立。 12n 12n 12n 11221122n 001 1 000.x b f x .x x x b 1,f )f x f x f x x *,()()()()n n n n n i i i i i i i X b b x f x f x f x x x λλλλλλλχλχλχλλλλλ=='' >???∈<<1++?+=++?+≤?=<=>α. '''=+-+ ∑∑2设f （）在（a ，）内二阶可导，且（）0，，（a ，），0，，，且则，试证明(（）+（）++（）. 解：设同理可证：()20000i 00 1 1 1 1 0000111() ()()()().x 2! ()()()()()(()()().) n n n i i i i i i i n n i n n i i i i i i i i i i i i f x x f x f x x x f x f x f x f x x x f x X X x x f x f x λλλλξξλλλ=======?? ''-'-≥+-<<'≥+-===- ??? ∑∑∑∑∑∑∑注：x ()3.)tan . 2 F ,F 2 (0)0,(0)0,((cos 2 F f x f F F f ππξ ξπξξπππ πππξ [0]0'∈=[0]0=∴===[0]∈Q 设f(x)在，上连续，在（，）内可导，且f （0）=0，求证：至少存在（0，），使得2f ( 证明：构造辅助函数：（x)=f(x)tan 则（x)在，上连续，在（，）内可导，且））所以（x)在，上满足罗尔定理的条件，故由罗尔定理知：至少存在（0()()()()()()F 011F x cos sin F cos sin 0222222 cos 0)tan 2 2 x x x f f f πξξξ ξξξξ ξ ξπξξ'=''''=- =-='∈≠=，），使得，而f(x)f()又（0，），所以，上式变形即得：2f (，证毕。

微分中值定理

微分中值定理班级：姓名：学号：

摘要微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁，本文在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明. 罗尔定理定理1 若函数f 满足下列条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导； (3)()()f a f b =，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()0f ξ'=. 几何意义：在每一点都可导的连续曲线上，若端点值相等则在曲线上至少存在一条水平曲线。（注：在罗尔定理中，三个条件有一个不成立，定理的结论就可能不成立.）例1 若()x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导()0>a ，证明：在()b a ,内方程 ()()[]() ()x f a b a f b f x '222-=-至少存在一个根. 证明：令()()()[]()()x f a b x a f b f x F 222---= 显然()x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，而且 ()()()()b F a f b a b f a F =-=22 根据罗尔定理，至少存在一个ξ，使

()()[]() ()x f a b a f b f '222-=-ξ 至少存在一个根. 例2 求极限： 1 2 20(12) lim (1) x x e x ln x →-++ 解：用22ln )(0)x x x →:(1+有 20 2 12 012 01(12)2lim (1) 1(12)2 lim (12)lim 2(12)lim 2212 x x x x x x x x e x In x e x x e x x e x →→-→- →-++-+=-+=++=== 拉格朗日中值定理定理2：若函数f 满足如下条件： (1)在闭区间[,]a b 连续； (2)在开区间(,)a b 可导，则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得 ()() () f b f a f b a ξ-'=- 显然，特别当()()f a f b =时，本定理的结论即为罗尔中值定理的结论．这表明罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的一种特殊情形．拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线()y f x =上至少存在一点(,())P f ξξ，该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB ．此外，拉格朗日公式还有以下几种等价表示形式，供读者在不同场合适用：

微分中值定理及其应用

分类号UDC 单位代码密级公开学号 2006040223 四川文理学院学士学位论文论文题目：微分中值定理及其应用论文作者：XXX 指导教师：XXX 学科专业：数学与应用数学提交论文日期：2010年4月20日论文答辩日期：2010年4月28日学位授予单位：四川文理学院中国达州 2010年4月

目录摘要 .......................................................................... Ⅰ ABSTRACT....................................................................... Ⅱ 引言第一章微分中值定理历史 (1) 1.1 引言 ................................................................... 1 1.2 微分中值定理产生的历史 .................................................. 2 第二章微分中值定理介绍 (4) 2.1 罗尔定理 ............................................................... 4 2.2 拉格朗日中值定理........................................................ 4 2.3 柯西中值定理 ........................................................... 6 第三章微分中值定理应用 (7) 3.1 根的存在性的证明........................................................ 7 3.2 一些不等式的证明........................................................ 8 3.3 求不定式极限 .......................................................... 10 3.3.1 型不定式极限 .................................................... 10 3.3.2 ∞ ∞ 型不定式极限 .................................................... 11 3.4 利用拉格朗日定理讨论函数的单调性 ....................................... 12 第四章结论 ................................................................... 14 参考文献....................................................................... 15 致谢 .. (16)

数学分析之微分中值定理及其应用

第六章微分中值定理及其应用教学目的： 1.掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打好坚实的理论基础； 2.熟练掌握洛比塔法则，会正确应用它求某些不定式的极限； 3.掌握泰勒公式，并能应用它解决一些有关的问题； 4.使学生掌握运用导数研究函数在区间上整体性态的理论依据和方法，能根据函数的整体性态较为准确地描绘函数的图象； 5.会求函数的最大值、最小值，了解牛顿切线法。教学重点、难点：本章的重点是中值定理和泰勒公式，利用导数研究函数单调性、极值与凸性；难点是用辅助函数解决问题的方法。教学时数：14学时 § 1 中值定理（4学时）教学目的：掌握微分学中值定理，领会其实质，为微分学的应用打下坚实的理论基础。教学要求：深刻理解中值定理及其分析意义与几何意义，掌握三个定理的证明方法，知道三者之间的包含关系。教学重点：中值定理。教学难点：定理的证明。教学难点：系统讲解法。一、引入新课：

通过复习数学中的“导数”与物理上的“速度”、几何上的“切线”之联系，引导学生从直觉上感到导数是一个非常重要而有用的数学概念。在学生掌握了“如何求函数的导数”的前提下，自然提出另外一个基本问题：导数有什么用？俗话说得好：工欲善其事，必先利其器。因此，我们首先要磨锋利导数的刀刃。我们要问：若函数可导，则它应该有什么特性？由此引入新课——第六章微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性（板书课题）二、讲授新课：（一）极值概念： 1．极值：图解，定义 ( 区分一般极值和严格极值. ) 2.可微极值点的必要条件: Th ( Fermat ) ( 证 ) 函数的稳定点, 稳定点的求法. （二）微分中值定理: 1. Rolle中值定理: 叙述为Th1.( 证 )定理条件的充分但不必要性. https://www.wendangku.net/doc/8212026820.html,grange中值定理: 叙述为Th2. ( 证 ) 图解 . 用分析方法引进辅助函数, 证明定理.用几何直观引进辅助函数的方法参阅[1]P157. Lagrange中值定理的各种形式. 关于中值点的位置. 推论1 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. (证) 推论2 函数和在区间I上可导且

微分与积分中值定理及其应用

第二讲微分与积分中值定理及其应用 1 微积分中值定理 0 微分中值定理 .......................................................................................... 0 积分中值定理 .......................................................................................... 2 2 微积分中值定理的应用 . (3) 证明方程根（零点）的存在性 ............................................................... 3 进行估值运算 .......................................................................................... 7 证明函数的单调性................................................................................... 7 求极限 ...................................................................................................... 8 证明不等式 . (9) 引言 Rolle 定理，Lagrange 中值定理，Cauchy 中值定理统称为微分中值定理。微分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带，具有重要的理论价值与使用价值。 1 微积分中值定理微分中值定理罗尔(Rolle)定理: 若函数f 满足如下条件 (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =, 则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 0)(='ξf ．朗格朗日(Lagrange)中值定理: 设函数f 满足如下条件： (ⅰ)f 在闭区间[a,b]上连续； (ⅱ)f 在开区间（a,b ）上可导；则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得 a b a f b f f --= ') ()()(ξ．

微分中值定理及其应用习题解析2

第六节定积分的近似计算 1. 分别用梯形法和抛物线法近似计算 ?21x dx (将积分区间十等份) 解 (1)梯形法 ?21x dx ≈412.111.1121(1012+??+++-)6938.0≈ (2)抛物线法 ?21x dx =???++-(42 113012])8.116.114.112.11(2)9.117.115.113.111.11++++++++6932.0≈ 2. 用抛物线法近似计算dx x x ?π0sin 解当n=2时，dx x x ?π 0sin ≈12π?? ?????+++πππ22)32222(41≈1.8524. 当n=4时，dx x x ?π 0sin ≈ 24π ??? ????????? ??+++??? ??++++πππππππππππ322222287sin 7885sin 5883sin 388sin 841 ≈1.8520. 当n=6时，dx x x ?π 0sin ≈ ??? ? ??+++++???? ??+?+++++πππππππππππππππ54332233321211sin 11122234127sin 712125sin 5122212sin 124136≈1.8517. 3..图10-27所示为河道某一截面图。试由测得数据用抛物线法求截面面积。解由图可知n=5，b-a=8. ? b a x f )(dx ≈()()[]864297531100245*68y y y y y y y y y y y ++++++++++ =()()[]85.075.165.185.0255.02.10.230.15.0400154++++++++++ =()2.102.2215 4+=8.64（m 2）（1）按积分平均 ?-b a t d t f a b )(求这一天的平均气温，其中定积分值由三种近视法分别计算；

微分中值定理历史与发展

微分中值定理历史与发展卢玉峰 (大连理工大学应用数学系, 大连, 116024) 微分中值定理是微分学的基本定理之一, 研究函数的有力工具. 微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义. 以拉格朗日(Lagrange) 定理微分中值定理为例,它的几何意义：一个定义在区间[]b a ,上的可微的曲线段,必有中一点()x f (b a ,)ξ，曲线在这一点的切线平行于连接点())(,a f a 与割线.它的运动学意义：设是质点的运动规律，质点在时间区间()(,b f b )f []b a ,上走过的路程),()(a f b f ?a b a f b f ??)()(代表质点在()b a ,上的平均速度，存在()b a ,的某一时刻ξ，质点在ξ的瞬时速度恰好是它的平均速度. 人们对微分中值定理的认识可以上溯到公元前古希腊时代.古希腊数学家在几何研究中,得到如下结论:“过抛物线弓形的顶点的切线必平行于抛物线弓形的底”,这正是拉格朗日定理的特殊情况.希腊著名数学家阿基米德(Archimedes) 正是巧妙地利用这一结论,求出抛物弓形的面积. 意大利卡瓦列里(Cavalieri) 在《不可分量几何学》(1635年) 的卷一中给出处理平面和立体图形切线的有趣引理,其中引理3基于几何的观点也叙述了同样一个事实: 曲线段上必有一点的切线平行于曲线的弦.这是几何形式的微分中值定理,被人们称为卡瓦列里定理. 人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了. 1637年,著名法国数学家费马(Fermat) 在《求最大值和最小值的方法》中给出费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔(Rolle) 在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究是法国数学家柯西(Cauchy) ,他是数学分析严格化运动的推动者,他的三部

微分中值定理的证明题(题目)

微分中值定理的证明题 1. 若()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，()()0f a f b ==，证明：R λ?∈， (,)a b ξ?∈使得：()()0f f ξλξ'+=。。 2. 设,0a b >，证明：(,)a b ξ?∈，使得(1)()b a ae be e a b ξξ-=--。。 3. 设()f x 在(0,1)内有二阶导数，且(1)0f =，有2()()F x x f x =证明：在(0,1) 内至少存在一点ξ，使得：()0F ξ''=。证 4. 设函数)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，0)0(=f ，1)1(=f .证明： (1)在(0,1)内存在ξ，使得ξξ-=1)(f ． (2) 在(0,1)内存在两个不同的点ζ，1)()(//=ηζηf f 使得 5. 设)(x f 在[0，2a]上连续，)2()0(a f f =，证明在[0,a]上存在ξ使得 )()(ξξf a f =+. 6. 若)(x f 在]1,0[上可导，且当]1,0[∈x 时有1)(0<

9. 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导(0),a b ≤<()(),f a f b ≠ 证明: ,(,)a b ξη?∈使得 ()().2a b f f ξηη +''= (1) 10. 已知函数)(x f 在[0 ,1]上连续，在（0 ，1）内可导，b a <<0，证明存在),(,b a ∈ηξ，使)()()(3/22/2ηξηf b ab a f ++= 略） 11. 设)(x f 在a x ≥时连续，0)(时，0)(/>>k x f ，则在))(,(k a f a a -内0)(=x f 有唯一的实根根 12. 试问如下推论过程是否正确。对函数21sin 0()0 0t t f t t t ?≠?=??=?在[0,]x 上应用拉格朗日中值定理得： 21s i n 0()(0)111s i n ()2s i n c o s 00x f x f x x f x x x ξξξξ --'====--- (0)x ξ<< 即：1 1 1cos 2sin sin x x ξξξ=- (0)x ξ<< 因0x ξ<<，故当0x →时，0ξ→，由01l i m 2s i n 0ξξξ+→= 01lim sin 0x x x +→= 得：0lim x +→1cos 0ξ=，即01lim cos 0ξξ+→= 出 13. 证明：02x π?<<成立2cos x x tgx x <<。