南航07-14矩阵论试卷
南京航空航天大学07-14硕士研究生矩阵论试题
2007 ~ 2008学年《矩阵论》 课程考试A 卷
一、（20分）设矩阵
??
??? ??-----=111322211
A ， （1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2）求A 的行列式因子、不变因子和初等因子；
（3）求A 的最小多项式，并计算I A A 236
-+；
（4）写出A 的Jordan 标准形。 二、（20分）设2
2?R 是实数域R 上全体22?实矩阵构成的线性空间(按通常矩阵的加法和数与矩阵的乘法)。
（1）求2
2?R
的维数，并写出其一组基；
（2）设W 是全体22?实对称矩阵的集合， 证明：W 是2
2?R
的子空间，并写出W 的维数和一组基；
（3）在W 中定义内积W B A BA tr B A ∈=,),(),(其中，求出W 的一组标准正交基；
（4）给出22?R 上的线性变换T ： 22,)(?∈?+=R A A A A T T
写出线性变换T 在（1）中所取基下的矩阵，并求T 的核)(T Ker 和值域)(T R 。 三、（20分）
（1）设
?
???
??-=121312A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ； （2）设n
n ij C a A ?∈=)(，令
ij
j
i a n A ,*max ?=，
证明：
*是
n n C ?上的矩阵范数并说明具有相容性；
（3）证明：*2*1
A A A n ≤≤。
四、（20分）已知矩阵
??????
?
??-=10010001111
1A ，向量
???
???
?
??=2112b ，
（1）求矩阵A 的QR 分解；
（2）计算+
A ；
（3）用广义逆判断方程组b Ax =是否相容？若相容,求其通解;若不相容,求其极小最小二乘解。 五、（20分）
（1）设矩阵
??
??? ??=????? ??=15.025.01121
0,2223235t t B t t A ，其中t 为实数， 问当t 满足什么条件时, B A >成立？
（2）设n 阶Hermite 矩阵
022121211
>????
??=A A A A A H
，其中k k C A ?∈11，
证明：0,0121
11122211>->-A A A A A H
。
（3）已知Hermite 矩阵()
n
n ij C
a A ?∈=，
()
n i a a i
j ij
ii ,,2,1 =>∑≠，证明：A 正定。
2007 ~ 2008学年《矩阵论》 课程考试B 卷
一．（20分）已知矩阵
??
??? ??---=040041221A ， （1）求A 的不变因子、初等因子及最小多项式；
（2）求A 的Jordan 标准形J 及可逆变换矩阵P ，使得1
P AP J -=；
（3）问矩阵序列
{}k
A 是否收敛？.
二．（20分）
（1）已知矩阵
210023120A -??
?= ?
???，求12,,,;F A A A A ∞ （2）设A 为n 阶可逆矩阵，?是n n C ?上的相容范数，λ为A 的任一特征值，
证明：
1
1
A A
λ--≤≤ 。
三．（20分）
3[]R x 表示实数域上次数不小于3的多项式与零多项式构成的线性空间，
对3()[]f x R x ?∈，记
R c b a c bx ax x f ∈++=,,,)(2
其中，在3[]R x 上定义线性变换： ).4()322(3)]([2c b a x c b a ax x f T ++++++=
（1）给出
3[]R x 的一组基，并求出线性变换T 在该基下的表示矩阵；
（2）求线性变换T 的特征值和特征向量；
（3）判断线性变换T 是否可对角化？若可以，给出对角化的一组基；若否，证明之。 四．（20分）
（1）设
241112121221A ??
?=- ?
?---??，试给出A 的满秩分解，并计算A +； （2）设
402b ?? ?= ? ?
??，利用广义逆矩阵判断线性方程组Ax b =是否相容？若相容，求其通解； 若不相容，求其极小最小二乘解。
五．（20分）
（1）设
53201
232,110.52220.51A t B t t t ???? ? ?== ? ?
? ?????,其中t 是实数， 问t 满足什么条件时，A B >成立？
（2）设A 为n 阶Hermite 矩阵，对任意,0n
x C x ∈≠，记
x x Ax
x x R H H =)(， 证明：
min max ()()(),0A R x A x λλ≤≤≠。
（3）设n 阶Hermite 矩阵
11
1212
22H
A A A A A ??= ???
，其中
11(1)k k
A C k n ?∈≤<， 如果
1
11221211120,0,H A A A A A ->-> 证明：0A >。
2008 ~ 2009学年《矩阵论》 课程考试A 卷
一（20分）设
81630314210A -?? ?= ?
?--??, （1） 求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2） 求A 的不变因子、初等因子和最小多项式； （3） 写出A 的Jordan 标准形。
二（20分）（1）设
110111A -?? ?= ?
???，求12,,,F A A A A ∞； （2） 设
?是n n C ?上的相容矩阵范数，证明：
（i ） 如果A 是n 阶可逆矩阵，λ是A 的任一特征值，则1
1
||A A
λ--≤≤；
（ii ） 如果n n
P C ?∈是可逆矩阵，令
AP
P A
P
1-=，则
P
A 是n
n C
?上的相容矩阵范数。
三（20分）设101010101A -??
?
= ? ?-??，
122b ?? ?= ?
???， （1） 作出A 的满秩分解，计算A +
；
（2） 应用广义逆矩阵判定线性方程组b Ax =是否相容。若相容，求其通解； 若不相容，求其极小最小二乘解； （3） 设A 是n m ?实矩阵，b 是m 维实向量，证明：不相容线性方程组b Ax =的最小二乘解唯一当且仅当A 列
满秩。
四 (20分)设V 表示实数域R 上全体22?上三角矩阵作成的线性空间（对矩阵的加法和数量乘法）。 （1） 求V 的维数，并写出V 的一组基；
（2） 在V 中定义线性变换T ：
?
???
??+???? ??-=10100011)(X X X T , V X ∈ 求T 在（1）中所取基下的矩阵表示；
（3） 求（2）中线性变换T 的值域)(T R 和核)(T N ，并确定它们的维数；
（4） 在V 中能否取一组基使得（2）中线性变换T 在所取基下的矩阵为对角矩阵？如果能，则取一组基；如果不能，则说明理由。
五（20分）设
)
(ij a A =为n 阶Hermite 矩阵，证明：
存在唯一Hermite 矩阵B 使得3
A B =；
（2） 如果0A ≥，则22
()(())tr A tr A ≤； （3） 如果0A >，则
1()()tr A tr A n -≥。
一、（20分）设??
??
? ??-----=411301621A ，
（1）求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （2）求A 的不变因子、初等因子和最小多项式； （3）写出A 的Jordan 标准型J ； （4）求可逆矩阵P ，使1
P AP J -=。
二、（20分）（1）设
????
??--=10
2
22
1A ，求12,,,F A A A A ∞；
（2）设n
n ij C a A ?∈=)(，令
*,max ||
ij i j
A n a =? ，
证明
*是C n ×n 上的矩阵范数并说明具有相容性；
（3）设A,B 均为n 阶矩阵，并且AB=BA ，证明：如果A 有n 个互异的特征值，则B 相似于对角矩阵。 三、（20分）设
表示实数域R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间（按 通常多项式的加法
和数与多项式的乘法）。
（1）在
中定义线性变换T ：?????=+-=++=++222222)(23)(4)1(x x T x
x x x T x x x T 求变换T 在基21,,x x 下的矩阵；
（2）求 T 的值域R(T)和核ker(T)的维数和基；
（3）求线性变换T 的特征值及特征向量；
（4）在3]
[x R 中定义内积?
-=
4
1
)()(),(dx x g x f g f ,
3]
[)(),(x R x g x f ∈求出3][x R 的一组标准正交基。 四、（20分）
（1）设
??
???
??--=4140104t t A ，其中t 为实参数，问t 取何值时A 正定； （2）设A 是n 阶Hermite 矩阵，证明：A 半正定的充分必要条件是A 的特征值均为非负实数； （3）已知n 阶矩阵0≥A ，证明1||≥+I A ，并且等号成立的充分必要条件为A=0。
五、（20分）
（1）????? ??----=121111111A ，
??
????????=111b (i)做出A 的满秩分解，并计算+
A ；
(ii)用广义逆矩阵判定线性方程组Ax=b 是否相容，若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解； （2）设A,B,C 分别为n m ?
,q p ?,q m ?矩阵，则矩阵方程AXB=C 有解的充分必要条件是AA CB B C ++=。
一（20分）（1）设
234468678A -?? ?=- ?
?-??。 （i ）求A 的特征多项式和A 的全部特征值； （ii ）求A 的行列式因子，不变因子和初等因子；
（2）设
1761460,4516313A B --????== ? ?
--????，试问A 和B 是否相似？并说明原因。
二（20分）（1）设
??
??? ??-=132112A ，求1A ，2A ，∞A ，F A ； （2）设n
n C
A ?∈的特征值为
n λλλ,,,21 ，求证：
(i)
∑=≤n
i F
i A 12
2
λ；
(ii)∑==n
i F
i A 1
2
2
λ的充要条件是A 为正规矩阵。
三（20分）设
{}
22
10,,12A W X AX XA X R ???===∈????
（1） 证明：W 是22R ?的线性子空间，并求W 的基和维数；
（2） 在W 中定义变换*:()T T X X X =-, 其中*X 为X 的伴随矩阵， 证明：T 为线性变换；
（3） 求T 在（1）中所取基下的矩阵表示；
（4） 求（2）中线性变换T 的值域)(T R 和核()Ker T ，并确定它们的维数. 四（20分）设m n
A R
?∈。
（1）证明：T
A A 半正定；
（2）证明：
||1T I A A +≥，并且等号成立当且仅当0A =； （3）证明：
21
1
||()n
m
T
ik i k A A a ==≤∑∏；
（iii ）写出A 的Jordan 标准形；
（4）证明：存在唯一的对称半正定矩阵S 使得2
T A A S =。
五（20分）（1）设110111A ?? ?= ? ?-??，
011b ?? ?= ?
???. （i ） 求A 的奇异值分解； （ii ）计算广义逆矩阵+
A ；
（iii ）用广义逆矩阵判定线性方程组b Ax =是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解;
（2）设0.20.30.60.5A -??
= ???，判定矩阵级数0(1)k k k A ∞=-∑是否收敛。若收敛，求其和。
2011 ~ 2012学年《矩阵论》 课程考试A 卷
一（20分）设
3615125125A -?? ?=- ?
?-??。 （1） 求A 的特征多项式和A 的全部特征值；
（2） 求A 的行列式因子，不变因子，初等因子和最小多项式； （3） 写出A 的Jordan 标准形J 。
二（20分）（1）设
211203A ??
?=- ?
?-??，求F A A A A ,,,21∞； （2）设
n
m ij C a A ?∈=)(，证明：
（i ）对m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V ，有
F
F
UAV
A =；
（ii ）若()rank A r =，r σσσ,,,21 为A 的全部正奇异值，则2
2
1
11
r
m n
k
ij
k i j a σ
====∑∑∑。
三（20分）设110101101211A ?? ?= ? ???，
304b ?? ?= ?
???. （1） 计算A 的满秩分解； （2）计算广义逆矩阵+
A ；
（3）用广义逆矩阵判定线性方程组b Ax =是否相容。若相容，求其通解；若不相容，求其极小最小二乘解。
四（20分）（1）设
210133032A -?? ?=-- ?
?-??，判断A 是否是正定或半正定矩阵，并说明理由； （2）设A 是n 阶Hermite 正定矩阵，B 是n 阶Hermite 矩阵，证明：AB 相似于实对角矩阵；
（3）设A ，B 均为n 阶Hermite 矩阵，并且AB BA =，λ是AB 的特征值，证明：存在A 的特征值α和B 的特征值β，使得λαβ=。 五（20分）设3[]R x 表示实数域R 上次数小于3的多项式再添上零多项式构成的线性空间。
（1） 确定3[]R x 的维数，并写出3[]R x 的一组基；
（2） 对
20123()[]f x a a x a x R x =++∈，在3[]R x 上定义线性变换T 如下：
2011220(())()()()T f x a a a a x a a x =-+-+-，
求T 在（1）中所取基下的矩阵表示；
（3） 求（2）中线性变换T 的值域)(T R 和核()Ker T ，并确定它们的维数； （4） 在
3[]R x 中定义内积
1
3
1
(,)()(),(),()[]f g f x g x dx f x g x R x -=?∈?
求
3[]R x 的一组标准正交基。
2012 ~ 2013学年《矩阵论》 课程考试A 卷
一、(20分) 设
?
?????=∈???? ??=?22112
222211211
a a |a a
a a R V 是2
2?R
的一个线性子空间，对任意V X ∈，定义：
XP PX X T +=)(，其中????
??=0110P .
(1) 求V 的一组基和维数；
(2) 对任意
V B A ∈????
??=???? ??=2221
1211
22211211
b b b b ,a a
a a ，定义：
2121121211112),(b a b a b a B A ++=，
二、(20分)设三阶矩阵?
???? ??--=201034011A ，????? ??=300130013B ，
??
??? ??=3003003a a C . (1) 求A 的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； (2) 利用λ矩阵的知识，判断矩阵B 和C 是否相似，并说明理由.
三、(20分)已知线性方程组???
??=+=+++=++1
,12,143432142
1x x x x x x x x x 不相容.
(1) 求系数矩阵A 的满秩分解； (2) 求广义逆矩阵+
A ；
(3) 求该线性方程组的极小最小二乘解.
四、(20分)已知幂级数∑∞=031k k
k x 的收敛半径为3,矩阵
???
?? ??-=021011011A . (1) 求
F
A A A A ,,,21∞；
(2) 证明矩阵幂级数∑∞
=031k k k A 收敛； (3) 求矩阵幂级数∑∞
=031k k k
A 的和.
五、(20分)设B A ,是两个n 阶矩阵,其中)(ij a A =，证明:
(1) 若对任意n i ,,2,1 =，有
,
1||1
<∑=n
j ij
a
则A I -可逆；
(2) 若B A ,都是Hermite 正定矩阵，则AB 的特征值均为正数；
(3) 若B A ,都是Hermite 半正定矩阵，则0)(≥AB tr ,并且当等号成立时,必有0=AB .
2013 ~ 2014学年《矩阵论》 课程考试A 卷
一、(20分) 设三阶矩阵
??
??? ??---=100031141A . 1. 求A 的特征多项式和初等因子；
2. 求A 的Jordan 标准形；
3. 问:A 与矩阵?
???? ?
?--10001011
1是否相似?并说明理由. 二、(20
分)设3
R
的线性变换σ将基
??
???
??-=????? ??-=????? ??-=101,120,011321ααα变为向量??
???
??-=????? ??-=????? ??-=101,110,011321βββ．
1. 求σ在基
321,,ααα下的矩阵A ；
2. 求向量
??
??
?
??=321ξ及)(ξσ在基
321,,ααα下的坐标；
3. 求线性变换σ的值域和核．
三、(15分)设????? ??-=210101111A ，
??
??? ??-=133b . 1. 计算+
A ；
2. 判断方程组b Ax =是否相容？如果相容，求方程组的通解；如果不相容，求方程组的极小最小二乘解．
四、(15分)已知矩阵???
??
??--=011101111A ,且幂级数∑∞=021k k
k x 的收敛半径为2.
1. 求
F
A A A A ,,,21∞；
2. 证明矩阵幂级数∑∞
=021k k
k
A 收敛,并求其和．
五、(20分)设A 是n 阶Hermite 正定矩阵,B 是n 阶Hermite 矩阵,证明:
1. 存在可逆矩阵P ，使得
),,,(,21n H
H diag BP P I AP P λλλ ==,并且n λλλ,,,21 均为实数； 2. 存在正数
0t ，当0t t >时，B tA +也是Hermite 正定矩阵；
3. 若0≥>B A ，则有A
B A ≤-.
2016矩阵论试题
第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P (a) (())'()p x xp x σ= (b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+ Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=. (())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈ The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-. (())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈= (c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++. (())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by 10()(())(0)p x dx p x p σ?? ?= ??? ? Find a matrix A such that ()x A ασαββ??+= ??? . Solution 1(1)1σ??= ??? 1/2()0x σ?? = ??? 11/211/2()101 0x ασαβαββ????????+=+= ? ? ??????????? Hence, 11/210A ??= ??? #10. Let σ be the transformation on 3P defined by (())'()"()p x xp x p x σ=+ a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -= d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ. Solution (a) (1)0σ=南航矩阵论2013研究生试卷及答案
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