解析几何第四版吕林根课后的习题集答案第二章.doc
第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程
1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半，求此动点M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？
解：动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 2
1
=。设M 的坐标),(y x 有
2222)6(2
1
)3(y x y x ++=
+- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(2
2
=+-y x
此轨迹为椭圆
2.有一长度为a 2a (＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动，
是求此线段中点的轨迹。A ，B 为两端点，M 为此线段的中点。 解：如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22
x y M .在Rt AOB V 中有 222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得:
222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨
迹为2
2
2
()x y a +=.
3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2
m ,求此动点的轨迹.
解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有:
2AM BM m ?=.设(,)M x y 在Rt BNM V 中
2
2
2
()a x y AM ++=. (1) 在Rt BNM V 中 2
22()a x y BM -+=. (2) 由(1)(2)两式得:
22222244()2()x y a x y m a +--=-.
4.设,,P Q R 是等轴双曲线上任意三点,求证PQR V 的重心H 必在同一等轴双曲线上.
证明:设等轴双曲线的参数方程为x ct
c y t =??
?=??
11(,)P x y ,22(,)Q x y ,33(,)R x y .重心H
123123
(
,)33
x x x y y y ++++
5.任何一圆交等轴双曲线2
xy c =于四点11(,)c P ct t ,22(,)c Q ct t ,33(,)c R ct t 及44
(,)c
S ct t .那么一定有12341t t t t =.
证明:设圆的方程2
2
220x y Dx Ey F ++++=.圆与等轴双曲线交点(,)c
ct t
,则代入得
222
2220.c Ec c t Dct F t t
++++=整理得: 24322220.c t Dct Ft Ect c ++++=可知
(1,2,3,4)i =是它的四个根,则有韦达定理1234t t t t ???=2
4
2(1)1c c
-=.
8. 把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程.
⑴3
2x y =; ⑵ ()0,2
12
121>=+a a y
x ; ⑶()0,0333>=-+a axy y x .
解:⑴???
??==t
y t x 32
令θ4
cos a x =,代入方程2
12
121a y
x =+
得θθθ422
12
2
12
12
1sin ,sin cos a y a a a y
==-=
∴参数方程为?????==θ
θ
4
4
sin cos a y a x .
⑶令,tx y =代入方程033
3=-+axy y x
得(
)
0312
33
=-+atx x t
()[]
03132=-+?at x t x
当0=x 时,;0=y 当3
13t at
x +=时,3213t at y +=
3
130t at x x +=
=?或
故参数方程为???
????+=+=32
3
1313t at y t at x .
§2.2 曲面的方程
1、 一动点移动时，与)0,0,4(A 及xoy 平面等距离，求该动点的轨迹方程。 解：设在给定的坐标系下，动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，
则z C
z y x M =?
∈),,(
亦即z z y x =++-2
2
2
)4(
0)4(22=+-∴y x
由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为0)4(2
2
=+-y x
2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程：
（1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹；
（4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：（1）取二定点的连线为x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m ，二定点的距离为a 2，则二定点的坐标为)0,0,(),0,0,(a a -，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则
222222)()(),,(z y a x m z y a x C z y x M +++=++-?
∈
亦即])[()(2
2
2
2
2
2
2
z y a x m z y a x +++=++-
经同解变形得：0)1()1(2))(1(2
2
2
2
2
2
2
=-++-++-a m x m a z y x m 上式即为所要求的动点的轨迹方程。
（2）建立坐标系如（1），但设两定点的距离为c 2，距离之和常数为a 2。设动点),,(z y x M ，要求的轨迹为C ， 则a z y c x z y c x C
z y x M 2)()(),,(222222=++++++-?
∈
亦即2
2
2
2
2
2
)(2)(z y c x a z y c x +++-=++-
两边平方且整理后，得：)()(2
222222222c a a z a y a x c a -=++- （1）
222c a b c a -=∴>令Θ
从而（1）为2
2
2
2
2
2
2
2
b a z a y a x b =++ 即：2
2
2
2
2
2
2
2
b a z a y a x b =++
由于上述过程为同解变形，所以（3）即为所求的轨迹方程。 （3）建立如（2）的坐标系，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ， 则a z y c x z y c x C
z y x M 2)()(),,(222222±=++++++-?
∈
类似于（2），上式经同解变形为：122
2222=--c
z b y a x
其中 )(2
2
2
a c a
c b >-= （*）
（*）即为所求的轨迹的方程。
（4）取定平面为xoy 面，并让定点在z 轴上，从而定点的坐标为),0,0(c ，再令距离之比为
m 。
设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则
z m z y x C z y x M =++?
∈222),,(
将上述方程经同解化简为：02)1(2
2
2
2
2
=+--++c cz z m y x （*） （*）即为所要求的轨迹方程。
3. 求下列各球面的方程：
（1）中心)3,1,2(-，半径为；6=R （2）中心在原点，且经过点)3,2,6(-； （3）一条直径的两端点是)3,1,4()5,32(--与 （4）通过原点与)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(- 解：（1）由本节例5 知，所求的球面方程为：
36)3()1()2(222=-+++-z y x
（2）由已知，球面半径73)2(6222=+-+=R
所以类似上题，得球面方程为
49222=++z y x
（3）由已知，球面的球心坐标12
3
5,1213,3242=-=-=+-==+=
c b a ，球的半径21)35()31()24(2
1
222=++++-=
R ，所以球面方程为： 21)1()1()3(222=-+++-z y x
（4）设所求的球面方程为：02222
22=++++++l kz hy gx z y x 因该球面经过点)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0(-，所以
????
??
?=-=++=+=0
8160621008160
k h g g l （1） 解（1）有
????
???=-=-==2
210
k g h l ∴所求的球面方程为0424222=+--++z y x z y x
§2.3 母线平行于坐标轴的柱面方程
1、画出下列方程所表示的曲面的图形。 （1）36942
2
=+y x 解：各题的图形如下： （1）36942
2
=+y x
§2.4 空间曲线的方程
1、平面c x =与022
2=-+x y x 的公共点组成怎样的轨迹。
解：上述二图形的公共点的坐标满足
???=-=???
?==-+c
x c c y c x x y x )
2(02222 从而：（Ⅰ）当20< ???? ?=-=c x c c y ) 2( 及 ???? ?=--=c x c c y ) 2( 即为两条平行轴的直线； （Ⅱ）当0=c 时，公共点的轨迹为： ?? ?==0 x y 即为z 轴； （Ⅲ）当2=c 时，公共点的轨迹为： ?? ?==2 x y 即过)0,0,2(且平行于z 轴的直线； （Ⅳ）当2>c 或0 2、指出下列曲面与三个坐标面的交线分别是什么曲线？ （1）64162 2 2 =++z y x ； （2）641642 2 2 =-+z y x ； （3）641642 2 2 =--z y x ； （4）z y x 1092 2 =+ 解：（1）曲面与xoy 面的交线为： ???==+??? ?==++0 64 0641622222z y x z z y x 此曲线是圆心在原点，半径8=R 且处在xoy 面上的圆。 同理可求出曲面64162 2 2 =++z y x 与yoz 面)0(=x 及zox 面)0(=y 的交线分别为： ?? ?==+0 641622x z y ， ?? ?==+0 64 1622y z x 它们分别是中心在原点，长轴在y 轴上，且处在yoz 面上的椭圆，以及中心在原点，长轴在 x 轴上，且处在zox 面上的椭圆； （2）由面641642 22=-+z y x 与xoy 面)0(=z ，yoz 面)0(=x ，zox 面)0(=y 的交线 分别为： ?? ?==-+064164222z z y x ,???==-+064164222x z y x ,???==-+0 64 164222y z y x 亦即：???==+064422z y x ,???==-016422x z y ,???==-0 64 1622y z x 即为中心在原点，长轴在x 轴上，且处在xoy 面上的椭圆；中心在原点，实轴在y 轴，且处在yoz 面上的双曲线，以及中心在原点，实轴在x 轴，且处在zox 面上的双曲线。 （3）曲面641642 2 2 =--z y x 与xoy 面)0(=z ，yoz 面)0(=x ，zox 面)0(=y 的交线分别为： ?? ?==--064164222z z y x ,???==--064164222x z y x ,? ??==--064 164222y z y x 亦即???==-064422z y x ,???==--06416422x z y ,???==-0 64 1622y z x 即为中心在原点，实轴在x 轴，且处在xoy 面上的双曲线；无轨迹以及中心在原点，实轴在x 轴上，且处在zox 面上的双曲线。 （4）曲面z y x 1692 2 =+与xoy 面)0(=z ，yoz 面)0(=x ，zox 面)0(=y 的交线分别为： ?? ?==+016922z z y x ,???==+016922x z y x ,???==+0 16922y z y x 亦即???==+00922z y x ,???==01692x z y ,? ??==0162y z x 即为坐标原点，顶点在原点以z 轴为对称轴，且处在yoz 面上的抛物线，以及顶点在原点，以z 轴为对称轴，且处在zox 面上的抛物线。 3. 求下列空间曲线对三个坐标面的射影柱面方程。 （1）???+==-+1022x z z y x ;（2）? ??=+-==-+--+010*******z y z x yz z x （3）???=--=++71023562z y x z y x （4）?????=-+-+=++1 )1()1(1 2 222 22z y x z y x 解：（1）从方程组? ??+==-+10 22x z z y x 分别消去变量z y x ,,，得：0)1(2 2 =-+-z y z 亦即： 0132 2 =+-+z y z （Ⅰ） 01=--x z （Ⅱ） 0122=--+x y x （Ⅲ） （Ⅰ）是原曲线对yoz 平面的射影柱面方程； （Ⅱ）是原曲线对zox 平面的射影柱面方程； （Ⅲ）是原曲线对xoy 平面的射影柱面方程。 （2）按照与（1）同样的方法可得原曲线 （Ⅰ）对yoz 平面的射影柱面方程；01=+-z y ； （Ⅱ）对zox 平面的射影柱面方程；036222 2=-+--z x z x ； （Ⅲ）对xoy 平面的射影柱面方程。012222 2 =++--y x y x 。 （3） 原曲线对yoz 平面的射影柱面方程：0272=-+z y 原曲线对zox 平面的射影柱面方程：03=--z x 原曲线对xoy 平面的射影柱面方程：02327=-+y x （4） 原曲线对yoz 平面的射影柱面方程：01=-+z y 原曲线对zox 平面的射影柱面方程：0222 2=-+z z x 原曲线对xoy 平面的射影柱面方程：0222 2 =-+y y x 6. 求空间曲线22 40 y z x z ?-=?+=?的参数方程. 解: 令2y t =,代入方程2 40y z -=得2 y t =再将所得结果代入方程 20x z +=得 4x t =-.从而知曲线的参数方程为4 22x t y t z t ?=-? =??=? 资料 解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章 第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1 (,)F x y ， 2 (,)F x y 及3 (,)F x y . （1） 2222 1x y a b +=；（2） 22 22 1x y a b -=；（3）2 2y px =；（4） 223520; x y x -++= （5）2 226740 x xy y x y -+-+-=.解：（1） 221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ?? ?； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2） 221 0010 0001a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ； 121(,)F x y x a = 221(,)F x y y b =-；3 (,)1F x y =-.（3） 0001000p A p -?? ?= ? ?-?? ； 1(,)F x y p =-；2 (,)F x y y =；3 (,)F x y px =-；（4） 510 20 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+ ；2 (,)3F x y y =-；3 5(,)22 F x y x =+；（5） 222420 x xy ky x y ++--=交于两个共轭虚交点.解：详解 略.（1）4k <-；（2）1k =或3k =（3）1k =或5k =；（4） 4924 k >. §5.2二次曲线的渐进方向、中心、渐进线 1. 求下列二次曲线的渐进方向并指出曲线属于 何种类型的（1） 22230 x xy y x y ++++=；（2） 22342250 x xy y x y ++--+=；（3）24230xy x y --+=. 解：（1）由2 2(,)20 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:1:1 X Y =-或1:1-且属于抛物型的； （2）由2 2(,)3420 X Y X XY Y φ=++=得渐进方向为:(22):3 X Y i =-且属于椭圆型的； （3） 由(,)20X Y XY φ==得渐进方向为:1:0X Y =或0:1且属于双曲型的. 2. 判断下列曲线是中心曲线，无心曲线还是线心曲线. （1）2 2224630 x xy y x y -+--+=；（2）2 2442210 x xy y x y -++--=； （3）2 281230 y x y ++-=；（4）2 296620 x xy y x y -+-+=.解：（1） 因为2 1110 12I -= =≠-，所以它为中心曲线； （2）因 为2 120 24 I -= =-且121 241-=≠--，所以它为无心曲线； （3）因为2 00002I = =且004 026 =≠，所以它为无心曲线； （4）因为2 930 3 1 I -==-且933312--==-，所以它为线心曲线； 数学必修二第二章解析几何初步 宝鸡铁一中 王芳芳 2010.11 一、选择题： 1.x 轴上任一点到定点（0，2）、（1，1）距离之和最小值是（C ） A ．2 B ．22+ C ．10 D ．15+ 2.点（4，0）关于直线5x+4y+21=0对称的点是（B ） A ．（-6，8） B ．（-6，-8） C ．（-8，-6） D ．（6，8） 3.直线 032=+-y x l ： 关于x y -=，对称的直线方程是（C ） A ．032=+-y x B ．032=-+x y C ．032=--y x D ．032=--y x 4.过点P （2，1），且倾斜角是直线l ：01=--y x 的倾斜角的两倍的直线方程为（B ） A ．012=--y x B ．2=x C ．)2(21-=-x y D ．012=--y x 5.以点A （-5，4）为圆心，且与x 轴相切的圆的方程是（C ） A ．25)4()5(22=-++y x B ．16)4()5(22=++-y x C ．16)4()5(22=-++y x D ． 25)4()5(22=++-y x 6.一条直线过点P （-3，23 -），且圆 252 2=+y x 的圆心到该直线的距离为3，则该直线的方程为（C ） A ．3-=x B ． 23 3- =-=y x 或 C ．015433=++-=y x x 或 D ．01543=++y x 7.过点A （1，-1），B （-1，1），且圆心在直线02=-+y x 上的圆的方程是（B ） A ．4)1()3(22=++-y x B ．4)1()1(2 2=-+-y x C ．4)1()3(22=-++y x D ． 4)1()1(22=+++y x 8.已知圆C ：4)2()(2 2=-+-y a x （0 a ），有直线l ：03=+-y x ，当 直线l 被圆C 截得弦长为32时，a 等于（A ） A ．12- B ．2-2 C ．2 D ．12+ 9.直线)(0)11()3()12(R k k y k x k ∈==--+--，所经过的定点是（B ） A ．（5，2） B ．（2，3） C ．（－21 ，3） D ．(5，9) 10.若直线12++=k kx y 与直线2 21 +-=x y 的交点位于第一象限，则实数k 的 取值范围是（C ） A ．26-- k B ．0 61 k - C ．061 k - D ． 21 k 11.三条直线 155,02,0321=--=-+=-ky x l y x l y x l ：：：构成一个三角形， 则k 的范围是（C ） A ．R k ∈ B ．R k ∈且0,1≠±≠k k C ．R k ∈且10,5-≠±≠k k 第四章 柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面 § 4.1柱面 1、已知柱面的准线为： ? ? ?=+-+=-+++-0225 )2()3()1(222z y x z y x 且（1）母线平行于x 轴；（2）母线平行于直线c z y x ==,，试求这些柱面的方程。 解：（1）从方程 ?? ?=+-+=-+++-0 225 )2()3()1(222z y x z y x 中消去x ，得到：25)2()3()3(2 2 2 =-+++--z y y z 即：02 3 5622=----+z y yz z y 此即为要求的柱面方程。 （2）取准线上一点),,(0000z y x M ，过0M 且平行于直线? ??==c z y x 的直线方程为： ??? ??=-=-=? ?? ? ??=+=+=z z t y y t x x z z t y y t x x 0 00000 而0M 在准线上，所以 ?? ?=+--+=-++-+--0 2225 )2()3()1(222t z y x z t y t x 上式中消去t 后得到：026888232 22=--+--++z y x xy z y x 此即为要求的柱面方程。 2 而0M 在准线上，所以： ?? ?+=-++=-) 2(2)2(2 2t z t x t z y t x 消去t ，得到：010******* 22=--+++z x xz z y x 此即为所求的方程。 3、求过三条平行直线211,11,-=+=--==+==z y x z y x z y x 与的圆柱面方程。 解：过 又过准线上一点),,(1111z y x M ，且方向为{ }1,1,1的直线方程为： ??? ??-=-=-=? ?? ? ??+=+=+=t z z t y y t x x t z z t y y t x x 1 11111 将此式代入准线方程，并消去t 得到： 013112)(5222=-++---++z y x zx yz xy z y x 此即为所求的圆柱面的方程。 4、已知柱面的准线为{})(),(),((u z u y u x u =γ，母线的方向平行于矢量{}Z Y X ,,=，试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为： S v u Y x +=)( 与 ?? ? ??+=+=+=Zv u z z Yv u y y Xv u x x )()()( 式中的v u ,为参数。 证明：对柱面上任一点),,(z y x M ，过M 的母线与准线交于点))(),(),((u z u y u x M '，则， v M =' 即 1、求顶点在原点，准线为01,0122 =+-=+-z y z x 的锥面方程。 解：设为锥面上任一点),,(z y x M ，过M 与O 的直线为： z Z y Y x X == 设其与准线交于),,(000Z Y X ，即存在t ，使zt Z yt Y xt X ===000,,，将它们代入准线方程，并消去参数t ，得： 0)()(222=-+--y z y z z x 即：02 22=-+z y x 此为所要求的锥面方程。 2、已知锥面的顶点为)2,1,3(--，准线为0,12 22=+-=-+z y x z y x ，试求它的方程。 解析几何初步章末复习 知识网络构建 高频考点例析 考点一直线的方程 例1直线l过点P(8,6)，且与两条坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l的方程． [解]解法一：直线l与两条坐标轴围成的三角形为等腰直角三角形，必须且只需直线l在两条坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0， 故设直线l的方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y －a ＝1(a≠0)， 当直线l的方程为x a ＋y a ＝1时， 把P(8,6)代入得8 a ＋6 a ＝1，解得a＝14， ∴直线l的方程为x＋y－14＝0； 当直线l的方程为x a ＋y －a ＝1时， 把P (8,6)代入得8a －6 a ＝1，解得a ＝2， ∴直线l 的方程为x －y －2＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 解法二：设所求直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)， 令x ＝0，得y ＝b ；令y ＝0，得x ＝－b k . ∵直线与两条坐标轴围成等腰直角三角形， ∴|b |＝??????－b k . ∵b ≠0，∴k ＝±1. 当k ＝1时，直线l 的方程为y ＝x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝8＋b ，解得b ＝－2， ∴直线l 的方程为y ＝x －2， 即x －y －2＝0； 当k ＝－1时，直线l 的方程为y ＝－x ＋b ， 把P (8,6)代入得6＝－8＋b ，解得b ＝14， ∴直线l 的方程为y ＝－x ＋14，即x ＋y －14＝0. 综上所述，直线l 的方程为x ＋y －14＝0或x －y －2＝0. 类题通法 常用待定系数法求直线方程 求直线方程的主要方法是待定系数法，要掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程，当不能确定某种方程条件具备时要另行讨论条件不满足的情况． 第五章 二次曲线一般的理论 §5.1二次曲线与直线的相关位置 1. 写出下列二次曲线的矩阵A 以及1(,)F x y ，2(,)F x y 及3(,)F x y . （1）22221x y a b +=；（2）22 221x y a b -=；（3）22y px =；（4）223520;x y x -++= （5）2226740x xy y x y -+-+-=.解：（1）221 0010 000 1a A b ?? ? ? ?= ? ?- ? ???；121(,)F x y x a =221 (,)F x y y b =3(,)1F x y =-；（2）2210010 000 1a A b ?? ? ? ?=- ? ?- ? ?? ? ；121(,)F x y x a =221(,)F x y y b =-；3(,)1F x y =-.（3）0001000p A p -?? ? = ? ? -?? ； 1(,)F x y p =-；2(,)F x y y =；3(,)F x y px =-；（4）51020 305022A ?? ? ?=- ? ? ? ??； 15(,)2F x y x =+；2(,)3F x y y =-；35 (,)22 F x y x =+；（5）1232 171227342 A ??-- ? ? ?=- ? ? ?-- ??? ；11(,)232F x y x y =- -；217(,)22F x y x y =-++；37(,)342 F x y x y =-+-. 2. 求二次曲线2 2 234630x xy y x y ----+=与下列直线的交点.（1）550 x y --= 第一章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点 2. 设点O 是正六边形ABCDEF 的中心， 在矢量、OB 、 、OD 、OE 、 OF 、AB 、BC 、CD 、 DE 、 和中，哪些矢量是相等的？ [解]：如图1-1，在正六边形ABCDEF 中， 相等的矢量对是： 图1-1 .和和和和和 3. 设在平面上给了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、 ＤＡ的中点，求证：KL ＝NM . 当ABCD 是空间四边形时，这等式是否也成立？ [证明]：如图1-2，连结AC , 则在?BAC 中， 2 1 AC. KL 与方向相同；在?DAC 中， 2 1 AC . NM 与AC 方向相同，从而KL ＝NM 且KL 与NM 方向相同，所以KL ＝ NM . 4. 如图1-3，设ABCD -EFGH 是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量： (1) AB 、; (2) AE 、; (3) 、; (4) AD 、GF ; (5) BE 、CH . [解]：相等的矢量对是（2）、（3）和（5）； 互为反矢量的矢量对是（1）和（4）。 §1.2 矢量的加法 1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ C 第一章 矢量与坐标 §1.3 数量乘矢量 4、 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→ →→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 证明 ∵→ → → → → → → → → → =+=-++-=+=AB b a b a b a CD BC BD 5)(382 ∴→ AB 与→ BD 共线，又∵B 为公共点，从而A 、B 、D 三点共线． 6、 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量AL , BM , CN 可 以构成一个三角形. 证明： )(21 AC AB AL += Θ )(21 BC BA BM += )(2 1 CB CA CN += 0)(2 1 =+++++=++∴CB CA BC BA AC AB CN BM AL 7.、设L 、M 、N 是△ABC 的三边的中点，O 是任意一点，证明 OB OA ++OC =OL +OM +ON . [证明] LA OL OA +=Θ MB OM OB += NC ON OC += )(NC MB LA ON OM OL OC OB OA +++++=++∴ =)(CN BM AL ON OM OL ++-++ 由上题结论知：0=++CN BM AL ON OM OL OC OB OA ++=++∴ 从而三中线矢量CN BM AL ,,构成一个三角形。 8.、如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB +OC +OD ＝4OM . [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), OM ＝2 1 (OB +OD ), 所以 2OM ＝2 1 (OA +OB +OC +OD ) 所以 OA +OB +OC +OD ＝4OM . 10、 用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半． 图1-5 第1章 矢量与坐标 §1.1 矢量的概念 1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？ （1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点； （2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点； （3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点； （4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点. [解]：（1）单位球面； （2）单位圆 （3）直线； （4）相距为2的两点 §1.3 数量乘矢量 1.要使下列各式成立，矢量,应满足什么条件？ （1-=+ （2+=+ （3-=+ （4+=- （5 = [解]：（1）, -=+； （2）, +=+ （3 ≥且, -=+ （4）, +=- （5）, ≥ -=- 2. 设L 、M 、N 分别是ΔABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，证明：三中线矢量, , 可 以构成一个三角形. [证明]： )(21 AC AB AL += )(21 BM += 0= 3. 设L 、 [证明] 4. [证明] 但 OB OD OC OA OB OC OA OD +=+-=-∴=-=-= 由于)(OC OA +∥,AC )(OD OB +∥,BD 而AC 不平行于BD ， ∴0=+=+OB OD OC OA ， 从而OA=OC ，OB=OD 。 5. 如图1-5，设M 是平行四边形ABCD 的中心，O 是任意一点，证明 OA +OB ++＝4. [证明]：因为OM ＝ 21 (OA +OC ), ＝2 1 (OB +), 所以 2＝2 1 (OA +OB ++OD ) 所以 OA +OB ++OD ＝4OM . 6. [所以所以显然所以 1. [所以从而 OP ＝λ+1. 2. 在△ABC 中，设＝1e ，AC ＝2e ，AT 是角A 的平分线（它与BC 交于T 点），试将分解为1e ,2e 的线性组合. 图1-5 第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1）Θ }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又}3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式： 042:=+-+z y x π. 解： π与三个坐标轴的交点为：)4,0,0(),0,20(),0,0,4(--， 所以，它的截距式方程为： 14 24=+-+-z y x . 又与所给平面方程平行的矢量为：}4,0,4{},0,2,4{-， ∴ 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量},,{Z Y X =平行与平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： 0=++CZ BY AX . 证明： 不妨设0≠A ， 则平面0=+++D Cz By Ax 的参数式方程为： 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B --， 从而v 平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： Θ }5,2,3{z +-= 而平行于0147=--+z y x 由题3知：0)5(427)3(=+-?+?-z 从而18=z . 5. 求下列平面的一般方程. ⑴通过点()1,1,21-M 和()1,2,32-M 且分别平行于三坐标轴的三个平面; ⑵过点()4,2,3-M 且在x 轴和y 轴上截距分别为2-和3-的平面; 1. 过点Ｍo （１,1-，１)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程. 3９．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等. 7.)5 1,1,57(. ５.已知：→ →-AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ） Ａ.4 B ．1 C. 2 1 D ．2 ７.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ） Ａ．平行于x 轴 B.平行于y 轴 Ｃ．平行于z 轴 Ｄ.过z 轴. 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D.重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) Ａ.平行 Ｂ.垂直 C ．斜交 D.直线在平面内 1０．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ) Ａ.5 B ． 6 1 C. 51 D.8 1 5.Ｄ 7．D ８.B 9．A 10．A. 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2, 22+-=, 243+-=，则 )(prj c += . 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 1０．曲面方程为:442 2 2 =++z y x ,它是由曲线___＿____绕____＿_______＿旋转而成的. 北师大版必修二第二章解析几何初步综合测试题 一、单选题 1．已知圆C 的标准方程为222 1x y ，则它的圆心坐标是（ ） A ．()2,0- B ．()0,2- C ．()0,2 D ．()2,0 2．直线30x y a ++=是圆22240x y x y ++-=的一条对称轴，则a =（ ） A ．1- B ．1 C ．3- D ．3 3．直线x +（m +1）y ﹣1＝0与直线mx +2y ﹣1＝0平行，则m 的值为（ ） A ．1或﹣2 B ．1 C ．﹣2 D ．12 4．已知直线1l ：210x ay +-=，与2l ：()12102a x ay --+ =平行，则a 的值是（ ） A ．0或1 B ．0或14 C ．0 D ．14 5．已知两条直线()1:3450l a x y ++-=与()2:2580l x a y ++-=平行，则a 的值是（ ） A ．7- B ．1或7 C ．133- D ．1-或7- 6．已知点(2,A 0,1)，(4,B 2,3)，P 是AB 的中点，则点P 的坐标为（ ） A ．(3,1,2) B ．(3,1,4) C ．()0,2,1-- D ．(6,4,5) 7．直线210x y --=与圆221x y +=的位置关系是（ ） A ．相切 B ．相交且直线过圆心 C ．相交但直线不过圆心 D ．相离 8．已知点A (－1，0)，B (0，2)，点P 是圆22:(1)1C x y -+=上任意一点，则△P AB 面积的最大值与最小值分别是（ ） A ．2，2 B ．2，2 C ，4 D ． ＋1－1 9．已知圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝6，圆O 2的圆心坐标为(2，1).若两圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝4，则圆O 2的方程为（ ） A ．(x －2)2＋(y －1)2＝6 习题 习题设A 是一个n 阶下三角矩阵。证明： （1）如果A 的对角线元素jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，则A 必可对角化； （2）如果A 的对角线元素nn a a a ===Λ2211，且A 不是对角阵，则 A 不可对角化。 证明：（1）因为A 是一个n 阶下三角矩阵，所以A 的特征多项式为)())((||2211nn a a a A E ---=-λλλλΛ，又因jj ii a a ≠),,2,1,(n j i Λ=，所以A 有 n 个不同的特征值，即A 有n 个线性无关的特征向量，以这n 个线性无 关的特征向量为列构成一个可逆阵P ，则有AP P 1-为对角阵，故A 必可对角化。 （2）假设A 可对角化，即存在对角阵???? ?? ? ? ?=n B λλλO 2 1 ，使得A 与B 相似，进而A 与B 有相同的特征值n λλλ,,,21Λ。又因为矩阵A 的特征多项式为n a A E )(||11-=-λλ，所以1121a n ====λλλΛ，从而 E a a a a B nn 112211 =???? ?? ? ? ?=O ，于是对于任意非退化矩阵X ，都有B E a EX a X BX X ===--111111，而A 不是对角阵，必有A B BX X ≠=-1，与 假设矛盾，所以A 不可对角化。 习题设n 维线性空间V 的线性变换σ有s 个不同的特征值 s λλλ,,,21Λ，i V 是i λ的特征子空间),,2,1(s i Λ=。证明： （1）s V V V +++Λ21是直和； （2）σ可对角化的充要条件是s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 证明：（1）取s V V V +++Λ21的零向量0，写成分解式有 021=+++s αααΛ，其中i i V ∈α，s i ,,2,1Λ=。现用1 2,,,-s σσσΛ分别作用分解式两边，可得 ??? ??? ?=+++=+++=+++---000 1212111221121s s s s s s s s αλαλαλαλαλαλαααΛΛΛΛΛΛΛΛΛ。 写成矩阵形式为 )0,,0,0(11 1 ),,,(11221 1 121ΛΛ M M M Λ ΛΛ=???? ?? ? ? ?---s s s s s s λλλλλλααα。 由于s λλλ,,,21Λ是互不相同的，所以矩阵???? ?? ? ? ?=---11221 1111 1 s s s s s B λλλλλλΛ M M M Λ Λ的行列式不为零，即矩阵B 是可逆的，进而有 )0,,0,0()0,,0,0(),,,(1121ΛΛΛ==--B BB s ααα，)0,,0,0(),,,(21ΛΛ=s ααα。 这说明s V V V +++Λ21的零向量0的分解式是唯一的，故由定义可得 s V V V +++Λ21是直和。 （2）)(?因i V ，s i ,,2,1Λ=都是V 的子空间，所以有s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21。 又因σ可对角化，所以σ有n 个线性无关的特征向量，它们定属于某一特征值，即它们都属于s V V V ⊕⊕⊕Λ21。对任意的V ∈α，一定可由n 个线性无关的特征向量线性表示，所以s V V V ⊕⊕⊕∈Λ21α，即得 s V V V V ⊕⊕⊕?Λ21成立，故有s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21。 )(?因s V V V V ⊕⊕⊕=Λ21， 所以分别取i V ),,2,1(s i Λ=的基：i id i i ααα,,,21Λ， 解析几何第四版吕林根 课后习题答案 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN# 第三章 平面与空间直线 § 平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点 )1,5,1(1-M 和)2,2,3(2-M 且垂直于xoy 坐标面的平面； （3）已知四点)3,1,5(A ，)2,6,1(B ，)4,0,5(C )6,0,4(D 。求通过直线AB 且平行于直线CD 的平面，并求通过直线AB 且与ABC ?平面垂直的平面。 解： （1） }1,2,2{21--=M M ，又矢量}2,0,1{-平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为：07234=-+-z y x （2）由于平面垂直于xoy 面，所以它平行于z 轴，即}1,0,0{与所求的平面平行，又 }3,7,2{21-=M M ，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：0)5(2)1(7=+--y x ，即01727=--y x 。 （3）（ⅰ）设平面π通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=，}2,0,1{-= 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=AB ， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=?AC AB 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 2.化一般方程为截距式与参数式： 第二章解析几何初步 §1直线与直线的方程 1．1直线的倾斜角和斜率 【课时目标】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念．2．掌握求直线斜率的两种方法．3．了解在平面直角坐标系中确定一条直线的几何要素． 1．倾斜角的概念和范围 在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按____________方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．与x轴平行或重合的直线的倾斜角为0°．直线倾斜角α的范围是0°≤α<180°． 2．斜率的概念及斜率公式 一、选择题 1．对于下列命题 ①若α是直线l的倾斜角，则0°≤α<180°； ②若k是直线的斜率，则k∈R； ③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角． 其中正确命题的个数是( ) A．1B．2C．3D．4 2．斜率为2的直线经过点A(3,5)、B(a,7)、C(－1，b)三点，则a、b的值为( ) A．a＝4，b＝0B．a＝－4，b＝－3 C．a＝4，b＝－3D．a＝－4，b＝3 3．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为( ) A．α＋45° B．α－135° C．135°－α D．当0°≤α<135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α<180°时，倾斜角为α－135° 4．直线l过原点(0,0)，且不过第三象限，那么l的倾斜角α的取值范围是( ) A．[0°，90°]B．[90°，180°) C．[90°，180°)或α＝0°D．[90°，135°] 5．若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则( ) A．k1 第二章 轨迹与方程 §2.1平面曲线的方程 1.一动点M 到A )0,3(的距离恒等于它到点)0,6(-B 的距离一半，求此动点M 的轨迹方程，并指出此轨迹是什么图形？ 解：动点M 在轨迹上的充要条件是MB MA 21= 。设M 的坐标),(y x 有 2222)6(2 1)3(y x y x ++=+- 化简得36)6(22=+-y x 故此动点M 的轨迹方程为36)6(22=+-y x 此轨迹为椭圆 2.有一长度为a 2a (＞0）的线段，它的两端点分别在x 轴正半轴与y 轴的正半轴上移动， 是求此线段中点的轨迹。A ，B 为两端点，M 为此线段的中点。 解： 如图所示 设(,),A x o (,)B o y .则(,)22x y M .在Rt AOB 中有 222()(2)x y a +=.把M 点的坐标代入此式得: 222()x y a +=(0,0)x y ≥≥.∴此线段中点的轨迹为222()x y a += 3. 一动点到两定点的距离的乘积等于定值2m ,求此动点的轨迹. 解:设两定点的距离为2a ,并取两定点的连线为x 轴, 两定点所连线段的中垂线为y 轴.现有:2AM BM m ?=.设(,)M x y 在Rt BNM 中 2 22()a x y AM ++=(1) 在Rt BNM 中222()a x y BM -+=.(2) 由(1)(2)两式得: 22222244 ()2()x y a x y m a +--=-. §2.2 曲面的方程 2、在空间，选取适当的坐标系，求下列点的轨迹方程： （1）到两定点距离之比为常数的点的轨迹； （2）到两定点的距离之和为常数的点的轨迹； （3）到两定点的距离之差为常数的点的轨迹； （4）到一定点和一定平面距离之比等于常数的点的轨迹。 解：（1）取二定点的连线为x 轴，二定点连接线段的中点作为坐标原点，且令两距离之比的常数为m ，二定点的距离为a 2，则二定点的坐标为)0,0,(),0,0,(a a -，设动点),,(z y x M ，所求的轨迹为C ，则 平面解析几何初步检测题 考试时间 45分钟 总分 100分 一、选择题（7’× 5） 1.已知直线的方程是21y x +=--，则 （ ） A.直线经过点(2，－1)，斜率为－1 B .直线经过点(1，－2)，斜率为－1 C.直线经过点(－2，－1)，斜率为1 D.直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 2.过点A(4，1)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是 （ ） A.5x y += B.5x y -= C.5x y +=或40x y -= D.5x y -=或40x y += 3.斜率为－3，在x 轴上的截距为2的直线的一般式方程是 （ ） A.360x y ++= B.320x y -+= C.360x y +-= D.320x y --= 4.直线20x y k -+=与4210x y -+=的位置关系是 （ ） A.平行 B.不平行 C.平行或重合 D.既不平行也不重合 5.已知A(-4,-5)、B(6,-1),则以线段AB 为直径的圆的方程是 （ ） A.()()221329x y ++-= B.()()22 1329x y +++= C.()()2213116x y ++-= D.()()2213116x y -++= 二、填空题（7’× 2） 6.若直线x ＋2my －1＝0与直线(3m -1)x －my －1＝0平行，那么实数m 的值为_________. 7.点P(5a ＋1,12a )在圆()2 211x y -+=的内部，则a 的取值范围是_________. 三、解答题（14’ + 17’+ 20’） 8.已知P(3,m )在过点M(2,-1)和点N(-3,4)的直线上，则m 的值是多少？ 9.直线l 过点P(－2,3)且与x 轴、y 轴分别交与A 、B 两点，若P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的方程. 10．已知点P （0，5）及圆C ：22 412240x y x y ++-+=， （1）若直线l 过P 且被圆C 截得的线段长为l 的方程； （2）求过P 点的弦的中点的轨迹方程. 《解析几何初步》单元测试卷 检测时间：120分钟 满分：150分 一． 单选题：（每小题5分，共50分） 1、已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB |=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 2、方程（x-2）2+(y+1)2=1表示的曲线关于点T （-3，2）的对称曲线方程是： （ ） A 、 (x+8)2+(y-5)2=1 B 、(x-7)2+(y+4)2=2 C 、 (x+3)2+(y-2)2=1 D 、(x+4)2+(y+3)2=2 3、已知三点A （－2,－1）、B （x ，2）、C （1，0）共线，则x 为： （ ） A 、7 B 、-5 C 、3 D 、-1 4、方程x 2+y 2-x+y+m=0表示圆则m 的取值范围是 ( ) A 、 m ≤2 B 、 m<2 C 、 m<21 D 、 m ≤2 1 5、过直线x+y-2=0和直线x-2y+1=0的交点，且垂直于第二直线的直线方程为 （ ） A 、+2y-3=0 B 、2x+y-3=0 C 、x+y-2=0 D 、2x+y+2=0 6、圆心在直线x=y 上且与x 轴相切于点（1,0）的圆的方程为： （ ） A 、(x-1)2+y 2=1 B 、(x-1)2+(y-1)2=1 C 、(x+1)2+(y-1)2=1 D 、(x+1)2+(y+1)2=1 7、光线沿直线2x-y-3=0经两坐标轴反射后所在的直线是（ ） A 、2x+y+3=0 B 、2x+y-3=0 C 、2x-y+3=0 D 、x-2y-3=0 8、已知直线ax+y+2=0及两点P （-2，1）、Q （3，2），若直线与线段PQ 相 交，则a 的取值范围是 （ ） 1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ →-AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．33 2212--=+=-x y x ； 10．曲线1422=+z y 绕z 轴 第三章 平 面 与 空 间 直 线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点)1,1,3(1-M 和点)0,1,1(2-M 且平行于矢量}2,0,1{-的平面（2）通过点)1,5,1(1-M CD 的（3）（ⅰ）设平面通过直线AB ，且平行于直线CD ： }1,5,4{--=AB ，}2,0,1{-=CD 从而π的参数方程为： 一般方程为：0745910=-++z y x 。 （ⅱ）设平面π'通过直线AB ，且垂直于ABC ?所在的平面 ∴ }1,5,4{--=， }1,1,1{4}4,4,4{}1,1,0{}1,5,4{==-?--=? 均与π'平行，所以π'的参数式方程为： 一般方程为：0232=--+z y x . 0=. 故其方位矢量为：}1,0,{},0,1,{A C A B -- ， 从而平行于平面0=+++D Cz By Ax 的充要条件为： ，}1,0,{},0,1,{A C A B -- 共面? ? 0=++CZ BY AX . 4. 已知连接两点),12,0(),5,10,3(z B A -的线段平行于平面0147=--+z y x ，求B 点的z 坐标. 解： }5,2,3{z AB +-= ⑹求过点()1,5,31-M 和()2,1,42M 且垂直于平面0138=-+-z y x 的平面. 解:平行于x 轴的平面方程为 00 1 011112 =--+-z y x .即01=-z . 同理可知平行于y 轴,z 轴的平面的方程分别为01,01=-+=-y x z . ⑵设该平面的截距式方程为 132=+-+-c z y x ,把点()4,2,3-M 代入得19 24-=c 故一般方程为02419812=+++z y x . ⑶若所求平面经过x 轴，则()0,0,0为平面内一个点, {}2,1,5-和{}0,0,1为所求平面的方位矢量, ∴ .11 6 cos ,119cos ,112cos -=== ?γβ 则该平面的法式方程为: .01111 6 119112=--+z y x 既 .0121692=--+z y x解析几何第四版吕林根课后习题答案第五章
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