第3讲绝对值(1)
一主要知识点回顾
1.有理数:按有理数的符号分为三类:正有理数、负有理数和零,简称正数、负数和零
2 .数轴的三要素——原点、正方向和单位长度,缺一不可.
3 相反数:只有符号不同的两个数叫做互为相反数(符号相反且绝对值相等的两数)
4 绝对值
一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;零的绝对值是零.即
绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识,它与距离的概念密切相关.在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值.
结合相反数的概念可知,除零外,绝对值相等的数有两个,它们恰好互为相反数.反之,相反数的绝对值相等也成立.由此还可得到一个常用的结论:任何一个实数的绝对值是非负数
二典型例题分析:
例1 a,b为实数,下列各式对吗?若不对,应附加什么条件?
(1)|a+b|=|a|+|b|;(2)|ab|=|a||b|;(3)|a-b|=|b-a|;
(4)若|a|=b,则a=b;5)若|a|<|b|,则a<b;(6)若a>b,则|a|>|b|.
例2 设有理数a ,b ,c 在数轴上的对应点如图1-1所示,化简|b-a |+|a+c |+|c-b |.
三.专项练习
(一).填空题:
1.a >0时,|2a|=________;(2)当a >1时,|a-1|=________;
2. 已知130a b ++-=,则__________a b
3. 如果a>0,b<0,b a <,则a ,b ,—a ,—b 这4个数从小到大的顺序是______________________(用大于号连接起来)
4. 若00xy z ><,,那么xyz =______0.
5.上山的速度为a 千米/时,下山的速度为b 千米/时,则此人上山下山的整个路程的平均速度是_______________千米/时
(二).选择题:
6.值大于3且小于5的所有整数的和是 ( )
A. 7
B. -7
C. 0
D. 5
7.知字母a 、b 表示有理数,如果a +b =0,则下列说法正确的是( )
A . a 、b 中一定有一个是负数 B. a 、b 都为0
C. a 与b 不可能相等
D. a 与b 的绝对值相等
8.下列说法中不正确的是( )
A.0既不是正数,也不是负数 B .0不是自然数
C .0的相反数是零
D .0的绝对值是0
9.列说法中正确的是( )
A 、a -是正数
B 、—a 是负数
C 、a -是负数
D 、a -不是负数 10.x =3,y =2,且x>y ,则x+y 的值为( )
A 、5
B 、1
C 、5或1
D 、—5或—1
11.<0时,化简a a
等于( )
A 、1
B 、—1
C 、0
D 、1±
12.若ab ab =,则必有( )
A 、a>0,b<0
B 、a<0,b<0
C 、ab>0
D 、0≥ab
13.已知:x =3,y =2,且x>y ,则x+y 的值为( )
A 、5
B 、1
C 、5或1
D 、—5或—1
(三).解答题:
14.a +b <0,化简|a+b-1|-|3-a-b |.
15..若y x -+3-y =0 ,求2x+y 的值.
16. 当b 为何值时,5-12-b 有最大值,最大值是多少?
17.已知a 是最小的正整数,b 、c 是有理数,并且有|2+b |+(3a +2c )2=0. 求式子
4422++-+c a c ab 的值.
18. 若a ,b ,c 为整数,且|a-b |19+|c-a |99=1,试计算|c-a |+|a-b |+|b-c |的值.
专题五 绝对值 1.(第15届希望杯竞赛题)已知a=|-2004|+15,则a 是( ) A .合数 B .质数 C .偶数 D .负数 2.(北京市迎春杯竞赛题)已知|a|=1,|b|=2,|c|=3,且a>b>c ,那么a+b-c= 3.(第16届希望杯竞赛题)如果|a|=3,|b|=5,那么|a+b|-|a-b|的绝对值等于 4.(2004年重庆市竞赛题)计算:|31-21|+|41-31|-|41-21 |= 5.(希望杯竞赛题)若|a+b+1|与(a-b+1)2互为相反数,则a 与b 的大小关系是 A .a>b B .a=b C .a
7.(希望杯竞赛题)|x+1|+|x-1|的最小值是 A.2 B.0 C.1 D.-1 8.(第13届江苏省竞赛题)|x+1|+|x-2|+|x-3|的最小值是多少? 9.(希望杯竞赛题)设a,b,c为整数,且|a-b|+|c-a|=1,求|c-a|+|a-b|+|b-c|的值10.(2004年广西竞赛题)已知a
13.(第18届北京市迎春杯竞赛题)代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值为 14.(第17届希望杯竞赛题)已知a,b,c 都是整数,m=|a+b|+|b-c|+|a-c|,那么( ) A .m 一定是奇数 B .m 一定是偶数 C .仅当a,b,c 同奇或同偶时,m 是偶数 D .m 的奇偶性不能确定 15.已知a,b,c 都是有理数,且满足 a a ||+ b b ||+ c c ||=1,求||abc abc 的值 作业: 1.已知2|3a-2b|+(4b-12)2=0,求41a 2b-1-(a 3+21a b +4) 2.求y=|x-1|+|x-2|的最小值 3.已知a,b 是整数,且满足|a-b|+|ab|=2,求ab 的值
绝对值的性质及化简 【绝对值的几何意义】一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . (距离具有非负性) 【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数; 0的绝对值是0. 注意:① 取绝对值也是一种运算,运算符号是“| |”,求一个数的绝对值,就是根 据性质去掉绝对值符号. ② 绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相 反数;0的绝对值是0. ③ 绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0. ④ 任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:5-符号是负 号,绝对值是5. 【求字母a 的绝对值】 ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??- ②(0)(0)a a a a a ≥?=?- ③(0)(0)a a a a a >?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小. 绝对值非负性:|a|≥0 如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0. 例如:若0a b c ++=,则0a =,0b =,0c = 【绝对值的其它重要性质】 (1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数, 即a a ≥,且a a ≥-; (2)若a b =,则a b =或a b =-; (3)ab a b =?; a a b b =(0)b ≠; (4)222||||a a a ==; (5)||a|-|b|| ≤ |a ±b| ≤ |a|+|b| a 的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离. a b -的几何意义:在数轴上,表示数a .b 对应数轴上两点间的距离.
初一数学上册奥数题 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
初一数学上册奥数题 姓名:座号:班级:成绩:_______ 一、选择题(每小题3分,共15分) 1、汽车的雨刷把玻璃上的雨水刷干净,是属于()的实际应用 A.面动成体 B.线动成面 C.点动成线 D.以上答案都不对 2、b为有理数,则下列结论正确的是() A、|b|=b B、|b|是非负数 C、|b|是正数 D、-b为负有理数 3、当a=2时,代数式2a-3的值为() A.3 B.1 C.-1 D.5 4、化简-2a+(2a-1)的结果是() A.-4a-1 B.4a-1 C.1 D.-1 5、与m2t是同类项的是() A.t2m B.m2st C.-3m2t D.(mt)2 二、填空题(每小题3分,共30分) 6、平面内两直线相交有______个交点,两平面相交形成______条直线 7、-5的绝对值是______,相反数是______,倒数是______ 8、|a b|=1,x与y互为相反数,则(x+y)+2a b=______ 9、若|m+3|+(n-2)2=0,则m+n=________. 10、代数式-的系数是________. 11、如果x a+2y3与-5x3y2b-1是同类项,则a-b=_____________________ 12、周角=____度=____平角=____直角 13、0.5的相反数的倒数的绝对值是_______ 14、定义a☆b=a2-b2,则(-3)☆5☆(-1)=______ 15、绝对值大于或等于1,而小于4的所有负整数的和是____ 三、解答题(本大题共55分)
绝对值综合练习题一 1、有理数的绝对值一定是() 2、绝对值等于它本身的数有()个 3、下列说法正确的是() A、—|a|一定是负数 B只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C、若|a|=|b|,则a与b互为相反数 D、若一个数小于它的绝对值,则这个数为负数 4.() A、a>|b| B、a|b| D、|a|<|b| 5、相反数等于-5的数是______,绝对值等于5的数是________。 6、-4的倒数的相反数是______。 7、绝对值小于2的整数有________。 8、若|-x|=2,则x=____;若|x-3|=0,则x=______;若|x-3|=1,则x=_______。 9、实数a_______。 10、已知|a|+|b|=9,且|a|=2,求b的值。 11、已知|a|=3,|b|=2,|c|=1,且a0, n<0, m<|n|,那么m,n,-m, -n的大小关系() 13、如果,则的取值范围是() A.>O B.≥O C.≤O D.<O 14、绝对值不大于11.1的整数有()
A .11个 B .12个 C .22个 D .23个 15、│a │= -a,a 一定是( ) A 、正数 B 、负数 C 、非正数 D 、非负数 16、有理数m ,n 在数轴上的位置如图, 17、若|x-1| =0, 则x=__________,若|1-x |=1,则x=_______. 18、如果,则,. 19、已知│x+y+3│=0, 求│x+y │的值。 20、│a -2│+│b -3│+│c -4│=0,则a+2b+3c= 21、如果a,b 互为相反数,c,d 互为倒数,x 的绝对值是1, 求代数式x b a ++x 2+cd 的值。 22、已知│a │=3,│b │=5,a 与b 异号,求│a -b │的值。 23.如果 a,b 互为相反数,那么a + b = ,2a + 2b = . 24. a+5的相反数是3,那么, a = . 25.如果a 和 b 表示有理数,在什么条件下, a +b 和a -b 互为相反数? 26、若X 的相反数是—5,则X=______;若—X 的相反数是—3.7,则X=_______ 27、若一个数的倒数是1.2,则这个数的相反数是________,绝对值是________ 28、若—a=1,则a=____; 若—a=—2,则a=_______;如果—a=a,那么a=_______ 29、已知|X —4|+|Y+2|=0,求2X —|Y|的值。 30.若)5(--=-x ,则=x ________,42=-x ,则=x ________
第二讲代数式 一主要知识点回顾 字母代表量,是数学重要的抽象,高度的抽象是数学有别其他科学一个最重要的特征,是数学广泛应用的基础。初一一个最为重要的训练是如何运用字母和代数式解决问题. 1.代数式 用运算符号把表示数或表示数的字母连结而成的式子,叫做代数式.单独一个数或一个字母也是代数式. 2. 单项式、多项式 数与字母的积的代数式,单独一个数或字母也是单项式. 3.整式的意义:单项式和多项式统称为整式 4.同类项:多项式中,所含字母相同,并且相同字母的指数也分别相等的项 5.用字母表示数解题 在某些数学问题中,如果把其中的特殊常数用字母表示,即用字母表示数解题,常会收到化繁为简,化难为易的效果. 6.求代数式的值:用具体的数代替代数式里的字母进行计算,求出代数式的值,是一个由一般到特殊的过程.具体求解代数式值的问题时,对于较简单的问题,代入直接计算并不困难,但对于较复杂的代数式,往往是先化简,然后再求值 二.典型例题讲解 例1:某市出租车收费标准如下:3km以内(含3km)收费8元,超过3km的部分,每千米收费1.5元, (1)请写出收费y(元)与出租车行驶的路程x(km)的关系式; (2)若小明乘出租车行驶6km,则应付车费多少元? (3)若小明付车费17元,则他乘出租车行使了多少千米?
例4:如果4a-3b=7,并且3a+2b=19,求14a-2b 的值. 三.专项练习 (一)选择题: 1.已知14x 5y 2和-31x 3m y 2是同类项,则代数式12m -24的值是 ( ) (A )-3 (B )-5 (C )-4 (D )-6 2.列去括号错误的是 ( ) (A )2x 2-(x -3y)=2x 2-x +3y (B )31x 2+(3y 2-2xy)=3 1x 2-2xy +3y 2 (C )a 2-4(-a +1)=a 2-4a -4 (D )-(b -2a)-(-a 2+b 2)=-b +2a +a 2-b 2 3.a ,b 互为相反数,c ,d 互为倒数,m 的相反数是21 的倒数,则m 2-2cd +m b a +的 值为( ) (A )2 (B )3 (C )4 (D )5 4.M 厂库存钢材100吨,每月用去15吨,N 厂库存钢材82吨,每月用去9吨,经过x 个月,两厂所剩钢材相等,x 等于 ( ) (A )2 (B )4 (C )3 (D )5 5.a 是有理数,则200011 +a 的值不能是( ) A 1 B 1- C 0 D 2000- 6.若a a a 112000,0+<则等于( ) A a 2007 B a 2007- C a 1989- D a 1989
绝对值综合专题讲义 绝对值的定义: 绝对值的性质: (1) 绝对值的非负性,可以用下式表示 (2) |a|= (3) 若|a|=a ,则 ;若|a|=-a ,则;任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个 数的相反数, (4) 若|a|=|b|,则 (5) |a+b||a|+|b| |a-b|||a|-|b|| |a|+|b||a+b| |a|+|b||a-b| 【例1】 (1) 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个? (2) 若ab<|ab|,则下列结论正确的是( ) A.a <0,b <0 B.a >0,b <0 C.a <0,b >0 D.ab <0 (3) 下列各组判断中,正确的是( ) A .若|a|=b ,则一定有a=b B.若|a|>|b|,则一定有a >b C. 若|a|>b ,则一定有|a|>|b| D.若|a|=b ,则一定有a 2=(-b)2 (4) 设a ,b 是有理数,则|a+b|+9有最小值还是最大值?其值是多少? (5) 若3|x-2|+|y+3|=0,则 x y 的值是多少? (6) 若|x+3|+(y-1)2=0,求n x y )4( --的值 【巩固】 1、绝对值小于3.1的整数有哪些?它们的和为多少? 2、有理数a 与b 满足|a|>|b|,则下面哪个答案正确( ) A.a >b B.a=b C.a
A.a <0 B.a >0 C.b <0 D.b >0 5、设b a ,是有理数,则||8b a ---是有最大值还是最小值?其值是多少? 小知识点汇总: 若(x-a)2+(x-b)2=0,则;若|x-a|+(x-b)2=0,则; 若|x-a|+|x-b|=0,则; (1) 已知 x 是有理数,且|x|=|-4|,那么x=____ (2) 已知x 是有理数,且-|x|=-|2|,那么x=____ (3) 已知x 是有理数,且-|-x|=-|2|,那么x=____ (4) 如果x ,y 表示有理数,且x ,y 满足条件|x|=5,|y|=2,|x-y|=y-x ,那么x+y 的值是多少? (5) 解方程05|5|2 3=-+x (6) 解方程|4x+8|=12 (7) 若已知a 与b 互为相反数,且|a-b|=4,求 12+++-ab a b ab a 的值 【巩固】 1、巩固|x|=4,|y|=6,求代数式|x+y|的值 2、解方程 |3x+2|=-1 3、已知|x-1|=2,|y|=3,且x 与y 互为相反数,求 y xy x 4312--的值 (1) 已知a=-2 1,b=-31,求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值 (2) 若|a|=b ,求|a+b|的值 (3) 化简:|a-b| (4) 有理数a ,b ,c 在数轴上对应点如图所示,化简|b+a|+|a+c|+|c-b| 【巩固】 1、化简:(1)|3.14-π| (2)|8-x|(x ≥8) C B 0 A
a,b,c,d,e五个数,和为8,平方和为16,求e的最值。 甲、乙、丙三人在A、B两块地植树,A地要植900棵,B地要植1250棵.已知甲、乙、丙每天分别能植树24,30,32棵,甲在A地植树,丙在B地植树,乙先在A地植树,然后转到B地植树.两块地同时开始同时结束,乙应在开始后第几天从A地转到B地? 有三块草地,面积分别是5,15,24亩.草地上的草一样厚,而且长得一样快. 第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天? 3. 某工程,由甲、乙两队承包,2.4天可以完成,需支付1800元;由乙、丙两队承包,3+3/4天可以完成,需支付1500元;由甲、丙两队承包,2+6/7天可以完成,需支付1600元.在保证一星期内完成的前提下,选择哪个队单独承包费用最少? 4. 一个圆柱形容器内放有一个长方形铁块.现打开水龙头往容器中灌水.3分钟时水面恰好没过长方体的顶面.再过18分钟水已灌满容器.已知容器的高为50厘米,长方体的高为20厘米,求长方体的底面面积和容器底面面积之比. 5. 甲、乙两位老板分别以同样的价格购进一种时装,乙购进的套数比甲多1/5,然后甲、乙分别按获得80%和50%的利润定价出售.两人都全部售完后,甲仍比乙多获得一部分利润,这部分利润又恰好够他再购进这种时装10套,甲原来购进这种时装多少套? 6. 有甲、乙两根水管,分别同时给A,B两个大小相同的水池注水,在相同的时间里甲、乙两管注水量之比是7:5.经过2+1/3小时,A,B两池中注入的水之和恰好是一池.这时,甲管注水速度提高25%,乙管的注水速度不变,那么,当甲管注满A池时,乙管再经过多少小时注满B池? 7. 小明早上从家步行去学校,走完一半路程时,爸爸发现小明的数学书丢在家里,随即骑车去给小明送书,追上时,小明还有3/10的路程未走完,小明随即上了爸爸的车,由爸爸送往学校,这样小明比独自步行提早5分钟到校.小明从家到学校全部步行需要多少时间? 8. 甲、乙两车都从A地出发经过B地驶往C地,A,B两地的距离等于B,C 两地的距离.乙车的速度是甲车速度的80%.已知乙车比甲车早出发11分钟,但在B地停留了7分钟,甲车则不停地驶往C地.最后乙车比甲车迟4分钟到C地.那么乙车出发后几分钟时,甲车就超过乙车. 9. 甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的公路清扫任务.甲车单独清扫需要10小时,乙车单独清扫需要15小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲车比乙车多清扫12千米,问东、西两城相距多少千米? 10. 今有重量为3吨的集装箱4个,重量为2.5吨的集装箱5个,重量为1.5吨的集装箱14个,重量为1吨的集装箱7个.那么最少需要用多少辆载重量为4.5吨的汽车可以一次全部运走集装箱? 小学数学应用题综合训练(02)
第三讲绝对值 内容概述 绝对值是有理数中非常重要的组成部分,它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石,希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。 绝对值的定义及性质 绝对值简单的绝对值方程 化简绝对值式,分类讨论(零点分段法) 绝对值几何意义的使用 绝对值的定义及性质 绝对值的定义:在数轴上,一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值,记作|a|。 绝对值的性质: (1)绝对值的非负性,可以用下式表示:|a|≥0,这是绝对值非常重要的性质; a (a>0) (2)|a|= 0 (a=0)(代数意义) -a (a<0) (3)若|a|=a,则a≥0;若|a|=-a,则a≤0; (4)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即|a|≥a, 且|a|≥-a; (5)若|a|=|b|,则a=b或a=-b;(几何意义) (6)|ab|=|a|·|b|;||=(b≠0); (7)|a|=|a|=a;
(8)|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|
[例1] (1)绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个? (2)若ab<|ab|,则下列结论正确的是() A.a<0,b<0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.ab<0 (3)下列各组判断中,正确的是() A.若|a|=b,则一定有a=b B.若|a|>|b|,则一定有a>b C. 若|a|>b,则一定有|a|>|b| D.若|a|=b,则一定有a=(-b) (4)设a,b是有理数,则|a+b|+9有最小值还是最大值?其值是多少? 分析: (1)结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3,±4,有4个 (2)答案C不完善,选择D.在此注意复习巩固知识点3。 (3)选择D。 (4)根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0,则|a+b|≥9,有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些?它们的和为多少? <分析>:绝对值小于3.1的整数有0,±1,±2,±3,和为0。 [巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|,则下面哪个答案正确() A.a>b B.a=b C.a(完整)初中数学七年级绝对值练习题
《绝对值》练习 一.选择题 1. -3的绝对值是( ) (A )3 (B )-3 (C )13 (D )-13 2. 绝对值等于其相反数的数一定是 A .负数 B .正数 C .负数或零 D .正数或零 3. 若│x│+x=0,则x 一定是 ( ) A .负数 B .0 C .非正数 D .非负数 5.绝对值最小的数( ) A .不存在 B .0 C .1 D .-1 6.当一个负数逐渐变大(但仍然保持是负数)时( ) A .它的绝对值逐渐变大 B .它的相反数逐渐变大 C .它的绝对值逐渐变小 D .它的相反数的绝对值逐渐变大 7.下列说法中正确的是( ) A .a -一定是负数 B .只有两个数相等时它们的绝对值才相等 C .若b a =则a 与b 互为相反数 D .若一个数小于它的绝对值,则这个数是负数 8.绝对值不大于11.1的整数有( ) A .11个 B .12个 C .22个 D .23个 12.______7.3=-;______0=;______3.3=--;______75.0=+-.