矩阵函数
1.1.1 矩阵函数的定义
定义1.1 设幂级数z
a k
k k ∑+∞
=0的r,且当∣z ∣ 于f(z),即 f(z)= z a k k k ∑+∞ =0 ,∣z ∣ n n ?满足p(A) A a k k k ∑+∞ =0 是绝对收敛的，其和称为矩阵函数，记为f(A),即f(A)= A a k k k ∑+∞ =0 最常用的函数的幂级数展开有： ∑∞+== !k k z k z e (+∞=r ) z sin =z k k k k 1 20 )! 12() 1(+∞ +=∑ -+（+∞=r ） z cos =z k k k k 20 ! 21-∑∞ +=）（）（ （+∞=r ） ∑-+∞ =-= 1 )1(k k z z (r=1) ㏑(1+z)= z k k k k 1 0) 1() 1(+∞ +=∑ -+(r=1) 根据定义1.1，它们所对应的矩阵函数为： ∑∞ +==0 !k k A k A e (c n n A ?∈?) sin =A k k k k 1 20 )! 12() 1(+∞ +=∑ -+(c n n A ?∈?) A cos =A k k k k 20 ! 21-∑∞ +=）（）（(c n n A ?∈?) ∑-+∞ =-= 1 )1(k k A A (p(A)<1) ㏑(I+A)= A k k k k 1 ) 1() 1(+∞ +=∑ -+( p(A)<1)(其中e A 称为矩阵指数函数，sinA 称为矩阵 正弦函数，cosA 称为矩阵余弦函数) 定理1.1 假设∈ A c n n ?，则有： （1） )sin(A -=-A sin ,A A cos )cos(=- （2） A i A e iA sin cos +=,A cos = 2 1(e e iA iA -+),A sin = i 21 (e e iA iA --). 证明：（1）因为A sin =A k k k k 1 20 )! 12() 1(+∞ +=∑ -+，所以)sin(A -=）（A k k k k -) 1(1 20)! 12(+∞ +=∑ -+= A k k k k 1 20 )! 12(-) 1(+∞ +=∑ -+=A sin -,又因为A c o s = A k k k k 20 ! 21-∑∞ +=）（） （，所以 ）（A -cos =）（）（）（A k k k k -1-20 !2∑∞ +==A k k k k 20 ! 21-∑∞ +=）（）（=A cos ，因此证得。 （3） 因为 A k i e k k k iA ∑ ∞ +== 0! ，将k 分为偶数2k 和奇数2k+1,则有 A k i e k k k iA ∑ ∞ +== ! = + ∑∞ +=A i k k k k 20 ) 2(! 2）（A i k k k k 1 20 1 2! 12+∞ +=+∑+）（= + ∑-∞ +=A k k k k 20 ! 2) 1(）（A k k k k i 1 20!1 2) 1(+∞ +=∑-+）（=+A cos A i sin ，因此证得A i A e iA sin cos +=--①。同理 可证得A i A e iA sin cos -=---②，把①+②得A cos =）（e e iA iA -+ 2 1，把①-② 得A sin =）（e e iA iA --2 1 ，从而证得此定理。 （注）因为矩阵的乘法不满足交换律，因此矩阵函数不一定满足一般函数的所有 性质。下面我们通过例1.1来说明这点。 例1 ??? ? ?--=11 11A ,??? ? ? ?--=1111B ,试求 e e e e A B B A B A ,,+ 解： 当k>=2 时 ， 有 ??? ? ? ?=???? ??=00000000 B A k k ，所以 ??? ? ? ?-=+=++=+ = = ∑ ∑ ∑ ∞ +==∞ +=0112 0!! ! 01 2 I A I A k k k k k k k k k A A A A e , ??? ? ? ?=+=10 11 I B e B , 因此??? ? ? ?-=???? ? ?--=0111 ,1132e e e e A B B A 所以e e e e A B B A ≠ ; ,11 21 ??? ? ? ?--=+B A 下用数学归纳法证明e e e B A B A = +是否成立。当k=0，则 e e e B A B A I = =+；假设当k=n 时，e e e B A B A = +成立；则当k=n+1时，因为 （由假设） ）！ （） （)! 1(! ! 1n ! ,)! 1()!1(! )! 1(! )! 1(!! ))! 1(! )()! 1(!() ()(e 1 1 n 0 1 1 1 1 00 1 01 ++ = ++ = +++ ++ ++ = ++ ++ =+∑∑ +∑ +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ +==+=+++=+=+===+=+n k k k n n k n k n k k n k n k B A B A B A B A B A B A A B B A B B A A e e n n k k n k k n k k B A n n n k k n n k k n n k k n k k n k n k n k n k B A )! 1()! 1()!1(! )!1(! )!1() (1 1 1 10 1+≠ +++ ++ ++∑∑+++=+=+n n n k n k n B A B A B A A B n n n n k k n n k k n 显然 ，所以根据数学归纳 法可知e e e B A B A = +，综上得e e e e e A B B A B A ≠ ≠ +。 定理1.2设B A ,c n n ?∈，且BA AB =,有 （1）;e e e e e A B B A B A = = + （2）;sin cos cos sin )sin(B A B A B A +=+ （3）.sin sin cos cos )cos(B A B A B A -=+ 证明： ()()()() () () () () ()() () ()() ()() () () ()）。 ）同理可证（ 因而证得（，可得）由定理（）。 因此证得（同理可证 ； （）（32,sin 214141 212 12 121sin cos cos sin 1.121;! ! 2)(! 2) ()() ! 3! 2)(! 3! 2)! )(! (10 2 2 2 3 2 3 2 00 ) () (B A i i i i i B A B A k B A I BA AB B A I B I A I k k e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e B A B A B A B B A A B A e e B A i B A i B A i A B i B A i B A i B A i A B i B A i B A i iB iB iA iA iB iB iA iA B A A B B A k k k k k k B A +- =- + - +- - + = - + ++- =+= = = ++ ++=++ +++++=++ + +++ + +==+-++---++---+----++∞ +=∞ +=∞ +=∑ ++∑ ∑ 根据定理1.2，很容易证得下面结论： 推论1.1则有：设, C n n A ?∈ ()() . )4(;cos sin 22sin )3(; 21122cos )2(; )1cos sin sin cos sin cos 2 2 2 22 2 1 I =A + A =A -=-A =A -A = = --A A A A A e e A 证明： 可证得此条推论；，由定理）（）因为（2.1-1-1A =?A ()()()()()推导出 可由 e e e e iA iA iA iA i A A ---= += 21 sin ,2 1 cos 432。 却不一定可逆。 和可逆的，但，是 注：对于任意方阵A A A e A cos sin 由于很多矩阵函数都是利用计数的形式来定义的，在实际生活应用中很不方便， 所以我们希望将()A f 所表示的矩阵具体计算出来，下面我们将介绍矩阵函数的三种常用的计算方法，即利用Hamilton-Cayley 定理（高等代数第三版北京：高等教育出版社，2003.9的第297-299页已给出此定理的证明）计算矩阵函数、利用相似对角化计算和利用待定系数法求矩阵函数。 1.1.2矩阵函数的计算 1. 利用Hamilton-Cayley 定理计算矩阵函数 利用Hamilton-Cayley 定理计算矩阵函数基本思想是利用Hamilton-Cayley 定理找出矩阵方幂之间的关系，然后化简矩阵幂级数，从而求出矩阵函数。 例2 已知.sin 1-0 10 At A ，试求??? ? ??= 解 由 ()() ,2,1, , ,, , -,1 224 3 2 2 2 =-=-=-===O =++=-E =+k A A A A A A A f A A A A A A k k 即 从而有 知 λλλλ () ()()() .sin 0sin 0sin !7!5!3!7!5!3! 7!5!3)! 12(sin 7 53 7 53 7 5 3 1 20 )1(??? ? ??-==??? ? ??+-+-=+-+-=+-+- =+= +∞ +=∑ -t t t A t A At At k At t t t A A A At At At At k k k 所以 2. 利用相似对角化计算 设 n n A ?∈ 是可对角化的矩阵，即存在可逆矩阵 Λ ==∈-?},,{,211 λλλn n n diag AP P P c 使得 则有()= = ∑+∞ =A C k k A f 0 k ()()()()()()(). },,,{},,,{} 2 ,1 {1 2 1 1 2 1 1 1 0P P p C C C P C t f t f t f Pdiag At f f f f Pdiag n Pdiag P n n k k k k k k k k k k k k ---+∞ =+∞ =+∞ =-+∞ ====?? ? ??=∑ ∑ ∑ Λ∑λλλλλλλλλ 同理可得 ，， 例 3 已知A A e At cos ,16 3053 221，试求??? ? ? ? ?----= 解：可以求得()()， 5--12 λλλ+=E A 即A 的特征值为51-32 1 ===λλλ，， 同可以求得对应于 1-2 1 == λ λ 的两个线性无关的特征向量为 ???? ? ??=???? ? ??=1-101-012 1αα ，，对应于 5 3 =λ 的特征向量为 ???? ? ??=1113 α 于是 () P e e e e P t t t At P AP P 1 51 -3 2150 001-0001 -11 -1-110101---???? ? ? ? ?=??? ? ? ? ?=??? ?? ? ?== ，从而，使得， ， ααα? ? ? ?? ???? ? ? ?++ ++-++-- -=----------333 3 333323 3 2333 3 3 25555552e e e e e e e e e e e e e e e t t t t t t t t t t t t t t t ()() ()()() ()()() ()()()()()()()()() ()()()()?? ?? ??? ? ? ?+-+--+--+--+-+--+ --+--+-= ????? ??--=-35cos 31cos 23 5cos 3 1cos 35cos 31cos 35cos 31cos 35cos 3 1cos 235cos 31cos 35cos 31cos 3 5cos 3 1cos 35cos 31cos 25cos 1cos 1cos cos 1P P A 3利用待定系数法求矩阵函数 设n 阶方阵c n n A ?∈，其特征多项式为 ()()()()()λλλλλλλλ?s r r r A s ---= -I = 21det 2 1 ， 式中：λλλs ,21，为A 的s 个互异特征值;r i 为特征值λi 的重数，且有 n r r r s =+ ++ 2 1 。 ()() ()()()()()() t r t q t f t f t f At f t a At a k k k k k k k ,,,,0 λλ?λλλλλ+== = ∑∑+∞ =+∞ =可表示为 ，则记为计算矩阵函数 式中：()t q ,λ为一个含参数t 的λ的幂级数；()t r ,λ为含参数t 的关于λ的次数不超过n-1的多项式，即()t r ,λ可表示为 ()t r ,λ=()()()t t t a a a n n 0 1 1 1++ +--λλ .由Hamilton-Cayley 定理知， (),0=A ?因此()()= =t A r A f ,()()I ++ +--t A t a a A a n n 0 1 1 1 ,可见，只需要计算出系数 ()() t t a a n 0 1 ,, -即可得到()A f 。对于的A 的 r i 重特征值λi ，有 ()()( ) ()01 ' ====-λ?λ? λ?i i i r i 从而() ()() ()t i k k i k f t r λλ= ()1,,2,1,0;,,2,1-==r i k s i 这样得到n r r r s =+++ 21个方程，从中求得系数()()t t a a n 01,, -。 例 4 已知???? ? ? ?=11 1-100 010A ，求A sin 。 解：因为()() ()12 1det -+=-I λλλA ，设()a a a r 0 1 2 2 + + =λλλ 由 )?? ?? ???=+=++-=-=+-1cos 1 sin 1sin 1sin 120120 122a a a a a a a a 可得????????? -==-=21sin 1cos 1sin 21cos 1sin 2 10 a a a 因此? ? ?? ?? ? ? ? ?+--+---=I ++= 21cos 1sin 1 sin 21cos 1sin 2 1cos 1sin 02 1 cos 1sin 21sin 1cos 1sin 21 cos 1sin sin 012 2 a a A a A A 1.1.3矩阵的微分与积分 在实际生活应用中，矩阵函数与函数矩阵的微分与积分形影不离。所以在学习了矩阵函数的计算后，还必须学习函数矩阵的微分与积分的运算，这对研究微分方程组及优化问题具有重要性。 定义 1.2 以变量t 的函数为元素的矩阵()()() t a ij t A n m ?= 称为函数矩阵，其中 ()()n j m i t a ij ,,2,1;,,2,1 ==都是变量t 的函数。若[]b a t ,∈，则称()t A 是定义在 []b a ,上的函数；又若每个()t a ij 在[]b a ,上连续、可积，则称()t A 在上连续，可微， 可积。当()t A 可微时，规定其导数为()()() t a A ij t n m '' ?= 或 ()()? ?? ? ???=dt t a d ij dt t dA n m 当()t A 在[]b a ,可积时，规定()t A 在[]b a ,上的积分为()()() dt t a b a ij dt t A n m b a ?=?? 例 5 试求函数矩阵()????? ? ? ?=15 3 cos sin 2 2 e t t t t t t t A 的导数及().10dt t A ?。 解： ()t A '=()dt t dA =???? ??? ? ? ?15 3cos sin 22 dt d dt d t dt d dt d dt d dt d t dt d t dt d dt d e t t t =? ???? ? ??-0120 0sin cos 2ln 2e t t t t t 例6 设()??? ? ??-=t t t t t A sin cos cos sin ，试求()dt t A ?10 . 解：()dt t A ?10 =.1cos 11sin 1sin 1cos 1sin cos cos sin 1010 1 10??? ? ??---=???? ? ??-????tdt tdt tdt tdt 定理1.3 设()t A 与()t B 都是可微的，则 () ()()() ()()()()()()()()()()() ()()() ()()() ()()()()() ()()()()() ()()(). 5; 4;3;2; 11 1 1 1 -' t dt t dA t dt t d t du u dA t dt u dA t t f u dt t dB t A t B dt t dA dt t B t A d dt t dA t k t A dt t dk t A t k dt d dt t dB dt t dA dt t B t A d A A A A f ---?? ? ??- == =+?? ? ??=+?? ? ??=+= +是可微函数矩阵时，有 当可微时，有 关于当当为可微函数时，有 证明：()()()()()。 证根据定义容易证得，下 54321 ()()()()()()() ()()() ()()()()()()()()()()(). 3,111,,3从而证得 则 令?? ? ??+??? ??=∑=∑==== ==??? ? ??+?? ? ??∑????dt t dB t A t B dt t dA n k kj kj n k kj ik kj n k ik dt d dt t B t A d ij t B ij t A t a dt t b d t b dt t a d t b t a t b t a p m p m p n n m ()()()() ()()()()()()() ()(). 4.',4' 从而证得 的可微函数，则 为关于令dt u dA t ij ij ij dt u dA t t f u ij t A f du u a d t f dt du du u a d dt u a d u a n m n m n m n m = =====? ?? ? ????? ? ???? ?? ? ??????()()()() ()()()()()()()() ()()(). 5,,0,,51 1 1 1 1 1 从而证得 所以得 求导在等式两边同时对 可逆，则 令A A A A A A t a dt t dA t dt t d dt t d t A t dt t dA t t t A ij t A n n ------?? ? ? ??- ==??? ? ??+?? ? ??I = =定理1.4 设()()() t a ij t A n n ?= 则有： ()()()()() . 3;sin sin cos 2;cos cos sin 1A A dt d A At At A At dt d A At At A At dt d e e e At At At = =-=-=== 证明： () () ()()() ()()()() ()() ()(). 1cos cos !2! 2!2! 12! 12sin 120 22021 20 21 21 200 1 21 211111，从而证得 A At At A A k k A k k dt d k dt d At dt d A t A t A t A t t A k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ==??? ? ?????? ??== += += -∑-∑ -∑-∑ ∑ -∞+=∞ +=+∞ +=++∞ +=∞ +=++ 用类似的方法可证明()().32和 定理 1.5 设()()() ()()() t b t a ij t B ij t A n m n m ??= =,都是区间[]b a ,上可积的矩阵函 数，() c ij C p n ?= 为常数矩阵，则有： ()()()[]()();1dt t B dt t A dt t B t A b a b a b a ???±= ± () 2()[]()()[](); ,?????? ? ??=?? ? ??=b a b a b a b a dt t A C dt t CA C dt t A dt C t A ()()[]()()()()() ()()(); ,,,3' t t A ds s A dt d t A ds s A dt d b a t b a t A b a b a φφφ==??? ??∈? ?； 有 上连续时，对任意 在当 ()()[]()()().,4' a A b A dt t b a t A b a A -=?上连续可微时，有 在当 证明：()()21由矩阵函数的积分定义容易证明，下证()3()4。 ()()()()()()()()()[] ()()()()() ()()() (),lim lim ,,,3ξξξξA t t t G t t G t A t t G t t G t A ds t t t s A t t t t t t t ds s A t t a ds s A t t a ds s A t t G t t G ds t t a s A t t G ds t a s A t G →?= ?-?+→?=?-?+?=??+?+???+= ????+-= ?-?+??+=?+?=??? ??，所以 使得之间必存在一点 与中值定理知道在 由数学分析中积分第一 ，于是则：令()() ()()()()() ()()()(). 3,,' lim lim lim ，从而证得 同理可证于是 所以这时必定有之间，与在因为t t A ds s A dt d t A A A t t G t t G t t t t b a t t t φφξξξξφξ ==== ?-?+→?+? →→?→?()()()()()()()()()()()()()()()[] ()[]()()(). 4,,0.3:4' ' ' 从而证得所以 由于是一个常数矩阵 其中学数学分析知识知 的一个原函数，根据所 是知由a A b A C a A C b A a G b G b G ds ds a G C C t G t A ds s A t G b a a a t a s A s A t A -=---=-====+==???例7 设矩阵函数()().,11302sin 1 cos 2 3dt x t A dx d t t t t t t A t e e t t ? ?????? ? ? ? +=求 解： ()dt x t A dx d ? 2 =() ??????? ? ? ? + =x x x x e x e x x x x x xA 62 2 2 2 2 2 11302 sin 1cos 222 2 1.1.4矩阵函数的应用 本节介绍矩阵函数及微积分在线性常系数微分方程组（一阶线性常系数微分方程组和n 阶线性常系数微分方程）的求解问题中的应用。 1. 一阶线性常系数微分方程组 通常，关于n 个独立的函数()()()t t t x x x n ,,21的一阶线性常系数微分方程组表 示为() ()()()()()()()()()() ()()()()??? ??? ?? ???++++=++++=++++=t t t t dt t d t t t t dt t d t t t t dt t d f x a x a x a x f x a x a x a x f x a x a x a x n n nn n n n n n n n 2211222221212 1 12121111 ① 式中：t 为自变量；()n j i a ij ,,2,1, =为常数。如果已知()()n i c t x i i ,,2,10 ==如何求解这个方程组呢？假设记： () ()()()()()()()()()()()()()()t x t x t x t f t f t f t x t x t x a n c n t f n t x ij A T T T n n 0 0201, 21,21,,,,,,,,,, === = ?则在已知初值()c x t =0时，求解①式方程组的问题可以表示为 () ()()(),0??? ??=+=c x t f t Ax dt t dx t ② ()() ()()()()()()t f t Ax dt t dx dt t dx t x dt d t x dt d e e e e e At At At At At -----=?? ? ??-= += 因为 所以 ()() ()??--= t As t As t ds s f t s x d e e ，即()( )()?---=- t As A At t ds s f x t t x e t e e 00 从而一阶线性常系数微分方程组初值问题即②式的解为 ()()()()ds t s f x t t x t As At t A e e t e ? -- += 例8求解下列常系数微分方程组初值问题： ()()()??? ? ? ??==????? ??-=??? ? ? ? ?=??? ??=+=1110,11116 -3-05-3 -2210c x t f A c x f Ax dt dx ，，其中 解：由例3知 所以 ? ? ? ?? ???? ? ? ?++ ++-++- - -=----------333 3 333323 3 2333 3 3 25555552e e e e e e e e e e e e e e e e t t t t t t t t t t t t t t t At ()????????? ? ??-----=????????? ??+-+-=-----??15321511153515243232323532550550 e e e e e e e e e e e t t t t t t s s s s s t As ds ds s f ，从而有 ()()? ? ?????? ? ??+---+-++-+?????? ??+-=+ = ------?452525839 595541514-4529119113065656-6550 e e e e e e e e e e e e e e e t t t t t t t t t t t t t As At At ds s f c t x = ? ???? ??? ? ??+---+-++-----45202583914951571514-45291191165656-6e e e e e e e e e t t t t t t t t t 2. n 阶线性常系数微分方程 在很多场合,必须考虑n 阶线性常系数微分方程的初值问题如： )()()()()()() ?? ???-===++++--1,,2,1,0000' 111n k t f y y y a y a y a y k k n n n ① 其中a a a n 1 10,,,- 为常数；()t y y =为待求函数。对于初值问题①式的求解，可以转化为一阶线性方程组的求解问题。设() x y x x y x x n y n n 1,,1,' 1' ' 21-= = = = =- ，则有 () ()?????? ???- - -- ==== -x a x a x a y x x x x x n n n t f n 1 2 11 '3'2 '21 ② 若记)()()()()( ) y y y x t x t x n x n x T T 10' 00,1,,,,,0 -= == ????? ?? ? ??-----=?a a a a n A n n 12 1 100001000 010 ，? ?? ?? ?? ? ??=1000 b 则问题②可表示为() ()()()?? ? ??= +=x x b t f t Ax dt t dx 00，该问题的解为()()?-+ =t As At At bds s f t x e e x e 0 原问题① 的解()(),1t t y x = 因此有()()()?? ? ?? ?+=?-t As At At bds s f t y e e x e 000,,0,1 例9 求方程()()()?? ???====+--0000' ''' ''y y y y y y t y ’‘ ’ 的解。 解：设()() 记 其中 ,,,,321' '3' 21 ,,y x y x x x x x y t x T = = == ???? ? ? ?=11 1-100 010A ，????? ??=100b ，则所求解问题转化为求解以下问题()()()() ?? ?? ?= +=0,0,00T x tb t Ax dt t dx 该线性微分方程组的解为()()sbds bds x t x t As At t s As At At e e e e e e ??--= + =0 而原问题的解为()sds y t As At e e ?-=0 001 因为()() () 12 1det -+=-I λλλA ，设()a a a r 0 1 2 2 + + = λλλ 由 ? ?? ???=+=++-=+-011120120 122a a a a a a a a 可得????????? ===21-1212 10 a a a 因此???? ??? ? ??--=I ++= 211 2 121021 21121012 2 a a A a e A At ， 所以=???????? ??-=??-ds s s s sds t t As e 00212121?? ? ?? ? ? ? ??-t t t 222414141， 从而()sds y t As At e e ?-=0 0,0,1=??? ??21-1 2 1??????? ? ??-t t t 222414 141=0 二、利用零化多项式求解矩阵函数. 利用Jordan 标准型求解矩阵函数的方法比较复杂，它需要求J 和P 。下面我们介绍根据零化多项式求解矩阵函数的一种方法。 定律：n 阶方阵A 的最小多项式等于它的特征矩阵的第n 个（也就 是最后一个）不变因子n d ()λ。（可参见张远达《线性代数原理》P215） 设n 阶方阵A 的不变因子反向依次为n d (),λn 11d (),,d ()-λλ ，由它们给出的初等因子分别为 12r m m m 12r (),(),,()λ-λλ-λλ-λ ；s r 1m m r 1s (),,()++λ-λλ-λ ； ，s i i 1 m n ==∑ 由于1223n 1n d ()|d (),d ()|d (),,d ()|d ()-λλλλλλ ，故 1o r 1s ~+λλ必定出现在1r ~λλ中； 2o 若i j (i r)(j r)λ>=λ≤则i j m m ≤ 根据上述定理，A 的最小多项式 12r m m m 012r ()()()()?λ=λ-λλ-λλ-λ 即 12r m m m 12r (I A)(I A)(I A)O λ-λ-λ-= 令r i i 1m m ==∑，则可见m A 可以由02m 1A I,A,A ,,A -= 线性表示，从 而m i A (0)+λ>亦可由02m 1A I,A,A ,,A -= 线性表示。所以，矩阵函数f(A)若存在，也必定可由0m 1A ~A -线性表示。 因此，我们定义一个系数待定的(m -1)次多项式m 1 i i i 0g()c -=λ=λ∑，根据 以上论述，适当选择系数0m 1c ~c -，就可以使f (A )=g (A ) 传递函数矩阵最小实现方法 降阶法人们在设计复杂系统时，总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。给定严格真传递函数矩阵G(s)，为寻找一个维数最小的(A,B,C),使C(sl - A)」B二G(s)，则称该(A,B,C )是G(s)的最小实现，也称为不可约实现。最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论： (1)( A,B,C )为严格真传递函数矩阵G(s)的最小实现的充要条件是(A,B) 能控且(A,C)能观测。 (2)严格真传递函数矩阵G(s)的任意两个最小实现(A,B,C)与(A,B,C5之 间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T使得式子 A =T」AT, B =T J B, C =CT 成立。 (3)传递函数矩阵G(s)的最小实现的维数为G(s)的次数n.，或G(s)的极点多项式的最高次数。 为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。求最小实现的方法有三种： 1、降阶法。根据给定的传递函数矩阵G(s)，第一步先写出满足G(s)的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足G(s)的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。 2、直接求取约当型最小实现的方法。若G(s)诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。 3用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。 下面主要研究降阶法(先求能控型再求能观测子系统的方法)并举例说明。 先求能控型再求能观测子系统的方法设(px q)传递函数矩阵G(s)，且p v q时， 实验一 Matlab 常用函数、数组及矩阵的基本运算 一、 实验目的 1. 了解Matlab7.0软件工作界面结构和基本操作; 2. 掌握矩阵的表示方法及Matlab 常用函数; 3. 掌握数组及矩阵的基本运算. 二、 实验内容 1. 了解命令窗口(command widow)和变量空间(workspace)的作用,掌握清 除命令窗口(clc )和变量空间(clear)的方法.掌握查询函数(help)的方法. 2. 掌握保存和加载变量的方法. 加载变量:load 变量名. 3. 掌握掌握矩阵的表示方法: 给a,b,c 赋如下数据: ]6,46,23,4,2,6,3,8,0,1[,356838241248 7,278744125431-=??????????--=??????????=c b a 4. 求a+b,a*b,a.*b,a/b,a./b,a^2,a.^2的结果. 5. 将str1=electronic; str2 = information; str3 = engineering; 三个字符串连接 在一起成str = electronic information engineering. 6. 求矩阵a 的逆矩阵a -1，行列式计算。 (inv(a),det(a)) 三、 实验要求 1.上机操作,熟练掌握清除命令窗口和变量空间的方法、查询变量的方法、加载变量的方法。 2.第2道题请写出步骤。 3.对实验内容中第3-6项,写出指令,上机运行. 记录运行结果(数据)。 4.写出实验报告。 四、 实验结果 2. 用save 函数,可以将工作空间的变量保存成txt 文件或mat 文件等. 比如: save peng.mat p j 就是将工作空间中的p 和j 变量保存在peng.mat 中. 用load 函数,可以将数据读入到matlab 的工作空间中. 比如:load peng.mat 就是将peng.mat 中的所有变量读入matlab 工作空间中。 利用Excel中函数进行矩阵运算实验 一、实验目的与要求 了解Excel的函数应用并能够利用Excel进行常用的矩阵运算。掌握以Excel 中的几个主要矩阵运算函数的功能，即 MDETERM：用于计算矩阵行列式的值； MINVERSE：用于求解某个可逆矩阵的逆矩阵； MMULT：用于计算两个矩阵的乘积，进行两个矩阵的乘法时必须确保第一个乘积矩阵的列等于第二个乘积矩阵的行； TRANSPOSE：用来求解矩阵的转置或用于Excel中行列的互换。 二、实验内容及步骤 1.矩阵的数乘 用一个数乘以一个矩阵，必须将该数与矩阵的每一个元素相乘。将单元格B3中的数字乘以矩阵A，只需在单元格B10中输入公式“=$B$3*B5”（注意：单元格B3必须采用绝对引用，及固定单元格），然后将其复制到B10:D12区域（利用自拖功能也可以实现），最终结果见下表： 矩阵的数乘 2.矩阵的加法 具有相同行列的两个矩阵才能相加。要进行矩阵的加法，只需将两个矩阵相 同行、列的元素相加，即可得到新的矩阵。如下图，要将矩阵A和B相加，只需在单元格G4中输入公式“=A4+D4”，并将其复制到G4:H8区域（利用自拖功能也可以实现），就可得到最终结果。 矩阵的相加 3.矩阵的转置 对矩阵E进行转置，首先选中打算放置输出结果的整个单元格区域F4:H7，然后选择“插入-函数”，在“查找与引用”或“全部”函数中选择函数“TRANSPOSE”。在“函数参数”的对话框中输入“A4:D6”，同时按住[Ctrl]+[Shift]+[Enter]键，最终得到下列结果。 矩阵转置 也可以利用复制，选择性粘贴中选择转置即可得到上述结果。 4、矩阵相乘 做法一：进行矩阵乘法必须保证第一个乘积矩阵的列等于第二个乘积矩阵的行。首先选中打算放置输出结果的整个单元格区域A9:D10，然后选择“插入-函数”，在“数学与三角”或“全部”函数中选择函数“MMULT”。在“函数参数”的对话框中分别输入第一个数组“A4:C5”和第二个数组“E4:H6”，同时按住[Ctrl]+[Shift]+[Enter]键，最终得到下列结果。 MATLAB中矩阵常用的操作函数 1. zeos : 生成零矩阵 2. ones : 生成1矩阵 3. eye : 生成单位矩阵 4. rand : 返回[0,1]之间的平均分布的随机数（矩阵） 5. randn : 返回标准正态分布的随机数（矩阵） 6. mean : 返回列的均值 7. std : 返回列的方差 8. magic : 返回魔方矩阵，即行、列，对角线元素之和都相等的矩阵 9. hilb : 返回Hilbert矩阵，即H(i,j)=1/(i+j-1) 的矩阵 10. toeplitz : 返回toeplitz矩阵 11. 常用运算： 和：A+B 积：A*B 转置：A'，注意：如果A是复矩阵，则A'是共轭转置 行列式：det(A) 逆：inv(A) 内积：dot(a, b) 秩：rank(A) 迹：trace(A) 12. 线性方程组：Ax=b，可以用左除运算：x=A\b；也可以用逆运算：x=inv(A)*b，但效率不如左除运算。 13. Jordan 标准型：jordan(A)，返回A的Jordan标准型。或者用两个参数接收结果：[V, J] = jordan(A)，那么J是A的Jordan标准型，V是用到的相似变换矩阵，即A=V*J*inv(V)。 14. SVD分解，即奇异值分解：[U, S, V] = svd(A)，A=USV'。 15. 特征值：eig(A)返回A的所有特征值。如果用两个参数接收结果：[E, F] = eig(A)，那么E 的列是A的特征向量，F是A的特征值。 16. 范数： 1范数：norm(A, 1) 2范数：norm(A, 2) 无穷范数：norm(A, inf) Frobenius范数（也叫Euclid范数，简称F-范数或者E-范数），即A全部元素平方和的平方根：norm(A, 'fro') 17. 矩阵函数：通用方法是funm(A, @fun)，即计算矩阵A的fun函数。 矩阵的运算 （一） 矩阵的线性运算 特殊乘法:222()A B A AB BA B +=+++ 2 22 ()()() A B A B A B A B =≠ （二） 关于逆矩阵的运算规律 111 1 1 11 1 1(1)()(2)() /(3)( )( )(4)()( ) T T n n A B B A k A A k A A A A ---------==== （三） 关于矩阵转置的运算规律 (1)()(2)()T T T T T T A B B A A B B A =+=+ （四） 关于伴随矩阵的运算规律 **1 *2 ***1* **1*11**1(1)(2)(2)(3)()(4)(), ()(5)()1,()1 0,()2(6)()()()n n n AA A A A E A A n A A A kA k A n r A n r A r A n r A n A A A A A A A A A -------===≥===?? ==-??≤-?= ==若若若若可逆，则，， （五） 关于分块矩阵的运算法则 1 1 1 110000(2)000 0T T T T T A B A C C D B D B B B C C C C B -----?? ?? =????????????????==????????????????(1)；， （六） 求变换矩阵 ()121 1 2 11121311111121222321121121313233313131100(a )(2)i n n i i i ij i i i i A T TAT T P P P AP P A a a a p p p a a a p p P p a a a p p p AP P P i λλλλλλλ--?? ? ?= ? ? ? ?===???????? ??? ? ? =→= ??? ? ? ??? ? ?????????=+≥已知矩阵，及其特征值求使得，设，则其中若有重根则时再1 T T -由求 （七） 特征值与矩阵 MatLab常见函数和运算符号 基本运算 convhull :凸壳函数 cumprod :累计积 cumsum :累计和 cumtrapz :累计梯形数值积分 delaunay :Delaunay三角化 dsearch :求最近点(这是两个有趣的函数 factor :质数分解inpolygon :搜索多边形内的点 max :最大元素 mean :平均值 median :数组的中间值 min :最小值 perms :向量所有排列组成矩阵 polyarea :多边形的面积 primes :生成质数列表 prod :数组元素积 sort :元素按升序排列 sortrows :将行按升序排列 std :标准差 sum :元素和 trapz :梯形数值积分 tsearch :搜索Delaunay三角形var :方差 voronoi :Voronoi图 del2 :Laplacian离散 diff :差分和近似微分gradient:数值梯度 corrcoef :相关系数 cov :协方差矩阵 xcorr :互相关系数 xcov :互协方差矩阵 xcorr2 :二维互相关 conv :卷积和多项式相乘conv2 :二维卷积 deconv :反卷积 filter :滤波 filter2 :二维数字滤波 傅立叶变换 abs :绝对值和模 angle :相角 cplxpair :按复共扼把复数分类 fft :一维快速傅立叶变换 fft2 :二维快速傅立叶变换 fftshit :将快速傅立叶变换的DC分量移到谱中央ifft :以为逆快速傅立叶变换 ifft2 :二维逆快速傅立叶变换 ifftn :多维逆快速傅立叶变换 ifftshift :逆fft平移 nextpow2 :最相邻的2的幂 unwrap :修正相角 cross :向量叉积 intersect:集合交集 ismember :是否集合中元素 setdiff :集合差集 setxor :集合异或(不在交集中的元素 union :两个集合的并 矩阵函数求导 首先要区分两个概念：矩阵函数和函数矩阵 （1） 函数矩阵，简单地说就是多个一般函数的阵列，包括单变量和多变量函数。 函数矩阵的求导和积分是作用在各个矩阵元素上，没有更多的规则。 单变量函数矩阵的微分与积分 考虑实变量t 的实函数矩阵 ()()()ij m n X t x t ×=，所有分量函数()ij x t 定义域相同。 定义函数矩阵的微分与积分 0()(),()().t t ij ij t t d d X t x t X d x d dx dx ττττ?????????==????????????∫∫ 函数矩阵的微分有以下性质： （1） ()()()()()d d d X t Y t X t t dt dt dt +=+； （2） ()()()()()()()d dX t dY t X t Y t t X t dt dt dt =+； 特殊情形 （a ） 若K 是常数矩阵，则()()()d d KX t K X t dt dt =； （b ） 若()X t 是方阵，则2()()()()()d dX t dX t X t X t X t dt dt dt =+； （3） () 111()()()()d dX t X t X t X t dt dt =－－－－； （4） 对任意的方阵A 和时变量t ，恒有At At At d e Ae e A dt ==； （5） 若AB BA =，则A B B A A B e e e e e +==。如果,A B 可交换，则许多三角不等 式可以推广到矩阵上。如sin(),sin(2)A b A +等。 参考文献：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社。 第六章 矩阵函数 矩阵函数是矩阵理论的重要内容，它在力学、控制理论、信号处理等学科中具有重要作用．本章讨论矩阵函数——以方阵为“变量”、其“值”仍为方阵的函数．矩阵函数中最简单的是矩阵多项式，矩阵多项式是研究其他矩阵函数的基础，因为最终是通过它来定义和计算一般矩阵函数的．当然可以用收敛的矩阵幂级数来定义和计算某些矩阵函数． 矩阵函数在线性微分方程组及矩阵方程的求解中都有重要的应用，而这些问题的求解是系统与控制理论中经常面临并且必须解决的实际问题． §6.1 矩阵级数 定义1 设(){}k A 是m n C ?的矩阵序列，其中()()()k k m n ij A a C ?=∈，无穷和 (1)(2)(3)()k A A A A +++++ 称为矩阵级数，记为() 1 k k A ∞ =∑．对正整数1k ≥，记() ()1 k k i i S A ==∑，称()k S 为矩阵 级数()1 k k A ∞ =∑的部分和，如果矩阵序列(){}k S 收敛，且有极限S ，即()lim k k S S →∞ =， 则称矩阵级数() 1 k k A ∞ =∑收敛，并称S 为矩阵级数() 1 k k A ∞ =∑的和，记为()1 k k A S ∞ ==∑．不 收敛的矩阵级数称为发散的． 由此定义可知，矩阵级数()1k k A ∞ =∑收敛的充分必要条件是mn 个数项级数 () 1 (1,2,;1,2,,)k ij k a i m j n ∞ ===∑ 都收敛． 由矩阵级数的收敛性定义易知 (1)若矩阵级数()1 k k A ∞ =∑收敛，则()lim 0;k k A →∞ = (2)若矩阵级数() 11 k k A s ∞ ==∑，()21 k k B s ∞ ==∑ ，,a b C ∈，则 () ()121 ()k k k aA bB as bs ∞ =+=+∑； (3)设m m P C ?∈，n n Q C ?∈，若矩阵级数() 1 k k A ∞ =∑收敛，则()1 k k PA Q ∞ =∑收敛且 () ()1 1 ()k k k k PA Q P A Q ∞ ∞ ===∑∑． 定义2 设()1 k k A ∞ =∑是矩阵级数，其中()()()k k m n ij A a C ?=∈，如果mn 个数项 级数() 1 k ij k a ∞ =∑(1,2,;1,2,,)i m j n == 都绝对收敛，则称矩阵级数()1 k k A ∞ =∑绝对收 敛． 显然，若()1k k A ∞ =∑绝对收敛，则它必是收敛的，但反之未必． 定理1 矩阵级数()1 k k A ∞ =∑(其中()()()k k m n ij A a C ?=∈)绝对收敛的充分必要条 件是对任何一种矩阵范数.，数项级数()1 k k A ∞ =∑都收敛． 证 由各种矩阵范数的等价性，只须就某一种矩阵范数证明之，如考虑 ,max ij i j A a =． 必要性 () 1 k k A ∞ =∑绝对收敛，则()1 k ij k a ∞ =∑绝对收敛，该数项级数各项绝对值之 >> x=zeros(3,4) x = 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 >> x=ones(3,4) x = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 >> x=eye(3,4) x = 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 >> x=rand(3,4) x = 0.9501 0.4860 0.4565 0.4447 0.2311 0.8913 0.0185 0.6154 0.6068 0.7621 0.8214 0.7919 >> x=randn(3,4) x = -0.4326 0.2877 1.1892 0.1746 -1.6656 -1.1465 -0.0376 -0.1867 0.1253 1.1909 0.3273 0.7258 >> magic(3) ans = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 >> a=[1 2 3] a = 1 2 3 >> diag(a) ans = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 >> diag(a -1) ans = 0 0 0 0 1 0 0 0 2 >> h1=hilb(2) h1 = 1.0000 0.5000 0.5000 0.3333 >> h2=invhilb(2) h2 = 4 -6 -6 12 >> inv(h1) ans = 4.0000 -6.0000 -6.0000 12.0000 拼接矩阵： ①水平方向拼接 >> a=magic(3) a = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 >> b=eye(3) b = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 >> c=[a b] c = 8 1 6 1 0 0 3 5 7 0 1 0 4 9 2 0 0 1 ②垂直方向拼接 >> d=[a;b] d = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 拼接函数： 1)Cat函数 C=cat（dim，A,B）； Dim= 1 垂直方向 2 水平方向 3 生成三维数组 >> a=[1,5,9;3,5,7;10,2,8]; >> b=magic(3); >> c1=cat(2,a,b) c1 = 1 5 9 8 1 6 3 5 7 3 5 7 10 2 8 4 9 2 >> c2=cat(1,a,b) §7矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用 1.矩阵函数的性质： 设n n C B A ?∈. 1． A e Ae e dt d At At At ?== proof : 由 ()∑∑ ?==∞ =m m m m At A t m At m e !1! 1 对任何t 收敛。因而可以逐项求导。 ()∑∞=--=∴01!11m m m At A t m e dt d ()()???? ??-?=∑∞=-11!11m m At m A ()??? ? ???=∑k At k A !1At e A ?= ()()()A e A At m A A t m At m m m m m ?=???? ? ??-=?-=∑∑∞ =∞=---0111 1!11!11 可见，A 与At e 使可以交换的，由此可得到如下n 个性质 2．设BA AB =，则 ①．At At Be B e =? ②．B A A B B A e e e e e +=?=? ③．()()A A A A A A B A B A B A B A B A B A B A cos sin 22sin sin cos 2cos sin cos cos sin sin sin sin cos cos cos 22=-=?+=+-=+= proof ：①，由m m BA B A BA AB =?= 而∑∑∞ =∞==?? ? ??=00!1!1m m m m m m At B A t m B t A m B e ()∑∑∞ =∞ =?==00!1!1m m m m m At m B BA t m At e B ?= ②令()Bt At B A e e e t C --+??=)( 由于 ()0=t C dt d )(t C ∴为常数矩阵 因而E e e e C C t C =-?===000)0()1()( 当1=t 时，E e e e B A B A =??--+ …………………. （@） double scalar(double MA[R1][C1],double k) { int i,j,R1,C1; double k,MA2[][]; for (i=0;i for(i=0;i MATLAB 矩阵及其运算函数表 函数名函数功能 abs( ) 绝对值、负数的模、字符串的ASCII码值都可用来求字符串矩阵所 对应的ASCII码数值矩阵double( ) char( ) 可以把ASCII码数值矩阵转换为字符串矩阵 fix( ) 向零方向取整 floor( ) 不大于自变量的最大整数 ceil( ) 不小于自变量的最小整数 round( ) 四舍五入到最邻近的整数 rem(x,y) 求余函数 mod(x,y) % exp( ) 指数函数 [ ] 空操作符 format 格式符设置或改变数据输出格式 (其中格式符决定数据的输出格式) e1:e2:e3 冒号表达式可以产生一个行向量 (其中e1为初始值，e2为步长，e3为终止值) linspace(a,b,n) 产生一个行向量 (其中a和b是生成向量的第一个和最后一个元素，n是元素总数) [注：linspace(a,b,n)与a:(b-a)/(n-1):b等价] A(:,j) 表示取A矩阵的第j列全部元素 A(i,:) 表示A矩阵第i行的全部元素 A(i,j) 表示取A矩阵第i行、第j列的元素 A(i:i+m,:) 表示取A矩阵第i～i+m行的全部元素 A(:,k:k+m) 表示取A矩阵第k～k+m列的全部元素 A(i:i+m,k:k+m) 表示取A矩阵第i～i+m行内，并在第k～k+m列中的所有元素 zeros 产生全0矩阵(零矩阵) ones 产生全1矩阵(幺矩阵) eye 产生单位矩阵 rand 产生0～1间均匀分布的随机矩阵 randn 产生均值为0，方差为1的标准正态分布随机矩阵 zeros(size(A)) 建立一个与矩阵A同样大小的零矩阵 reshape(A,m,n) 在矩阵总元素保持不变的前提下，将矩阵A重新排成m×n的二维矩阵magic(n) 生成一个n阶魔方矩阵（其每行、每列及两条对角线上的元素和都相等） vander(V) 生成以向量V为基础向量的范得蒙矩阵（最后一列全为1，倒数第二列为一个指定的向量，其他各列是其后列与倒数第二列的点乘积） hilb(n) 生成希尔伯特矩阵 invhilb(n) 求n阶的希尔伯特矩阵的逆矩阵 (用一般方法求逆会因原始数据的微小扰动而产生不可靠的计算结果) toeplitz(x,y) 生成一个以x为第1列，y为第1行的托普利兹矩阵（除第1行第1列外， 请特别注意红色字体的命令 eye 单位矩阵 zeros 全零矩阵 ones 全1矩阵 rand 均匀分布随机阵genmarkov 生成随机Markov矩阵linspace 线性等分向量 logspace 对数等分向量 logm 矩阵对数运算 cumprod 矩阵元素累计乘cumsum 矩阵元素累计和 toeplitz Toeplitz矩阵 disp 显示矩阵和文字内容 length 确定向量的长度 size 确定矩阵的维数 diag 创建对角矩阵或抽取对角向量find 找出非零元素1的下标matrix 矩阵变维 rot90 矩阵逆时针旋转90度 sub2ind 全下标转换为单下标 tril 抽取下三角阵 triu 抽取上三角阵 conj 共轭矩阵 companion 伴随矩阵 det 行列式的值 norm 矩阵或向量范数 nnz 矩阵中非零元素的个数 null 清空向量或矩阵中的某个元素orth 正交基 rank 矩阵秩 trace 矩阵迹 cond 矩阵条件数 inv 矩阵的逆 rref 求矩阵的行阶梯形 rcond 逆矩阵条件数 lu LU分解或高斯消元法 pinv 伪逆 qr QR分解 givens Givens变换 linsolve 求解线性方程 lyap Lyapunov方程 hess Hessenberg矩阵 poly 特征多项式 schur Schur分解 expm 矩阵指数 expm1 矩阵指数的Pade逼近 expm2 用泰勒级数求矩阵指数 expm3 通过特征值和特征向量求矩阵指数 funm 计算一般矩阵函数 logm 矩阵对数 sqrtm 矩阵平方根 spec 矩阵特征值 gspec 矩阵束特征值 bdiag 块矩阵，广义特征向量 eigenmar- 正则化Markov特征 kov 向量 pbig 特征空间投影 svd 奇异值分解 sva 奇异值分解近似 cumprod 元素累计积 cumsum 元素累计和 hist 统计频数直方图 max 最大值 min 最小值 mean 平均值 median 中值 prod 元素积 sort 由大到小排序 std 标准差 sum 元素和 trapz 梯形数值积分 corr 求相关系数或方差 sparse 稀疏矩阵 adj2sp 邻接矩阵转换为稀疏矩阵 full 稀疏矩阵转换为全矩阵 mtlb_sparse 将scilab稀疏矩阵转换为matlab稀疏矩阵格式sp2adj 将稀疏矩阵转换为邻接矩阵 speye 稀疏矩阵方式单位矩阵 sprand 稀疏矩阵方式随机矩阵 spzeros 稀疏矩阵方式全零阵 lufact 稀疏矩阵LU分解 lusolve 稀疏矩阵方程求解 spchol 稀疏矩阵Cholesky分解 矩阵函数以及应用毕业设计 1 绪论 1.1 矩阵（Matrix）的发展与历史 人们对矩阵（Matrix）的研究历史非常悠久，在很久以前就已经有人研究过了幻方和拉丁方阵。在过去的很长时间内，矩阵都是人们解决线性问题的最主要方法。成书于汉朝前期的《九章算术》，在表示线性方程组的过程中使用了将方程中不同系数分开的方法，这种方法在后来的不断演化下最终得到方程的增广矩阵。在计算的过程中经常使用矩阵的初等变换进行消元，具体说就是通过一些计算技巧将前面给出的增广矩阵化为行最简型。但是当时我们能知道的矩阵知识非常的少，虽然过去的标准和现在的矩阵在表示上已经非常的类似了，但这两者都是以线性方程为基本标准。事实上子宫基质的控制中心和开始生活意义的地方是矩阵最开始的意义，所以说矩阵有生命的意义。在数学中，开始出现的是对现在数学都有决定性的行列式，但需要行列式的行和列相等，最终的排成的表都是方的，随着研究的深入人们发现行数等于列数的行列式已经无法满足现实生活中的实际需要了。在这种情况下，矩阵应运而生。现在对于我们来说非常熟悉的矩阵和行列式，它们的概念是非常的不一样的。行列式能按照我们的规则计算出它的结果，而矩阵是将数字按一定顺序排列得到的。在学术研究中恰当地使用矩阵，能用向量空间中的向量表示线性方程组中系数矩阵；因此，一个多元线性方程组的解的情况，以及一系列问题的理论解之间的不同关系，都可以得到彻底解决。矩阵都有自身的行和列，水平的称之为行，竖直的称之为列。这些我们现在能看到的关于矩阵的一切都是由无数数学家的摸索得来的。 矩阵（Matrix）在数学发展历史上有着非常重要的位置，它一直是数学研究的一个主要方面，是数学在研究和应用过程中经常用到的知识。“矩阵”由英国数学家叶（Sylvester）第一次使用，他使用的这个数学术语最后将矩阵的列数和早期的行列式分离开来。在数学 三角函数： （）里如果是角度必须是弧度，如果是矩阵的话则为对每个元素执行。cos(),tan()也是一样。 以2为底对数函数：log2（4）=2 以10为底对数函数：log10() 自然对数：log（） 绝对值函数：abs（-2）=2 平方根函数：sqrt（2）=1.41 符号函数：sign（正数）=1 sign(负数)=-1 sign(0)=0 天花板函数ceil（）向大的方向 地板函数floor（）向小的方向 fix()向0的方向 圆整函数round()对数进行4舍5入，负数的话也对对应的正数4舍5入 取模函数 mod（5，3）=2 rem（5，3）=2 区别rem（-5，3）=-2 mod（-5，3）=1 多项式相乘函数： conv（）deconv（）是相除 取最大和最小函数： max() min() 图中b为行向量或者是列向量 如果（）里为矩阵，则输出每列的最大值（以行向量的形式）如果要求矩阵的最大值max（max（A）） mean（A）输出对应每列的平均值（以行向量的形式） 向量的求和和求积： 整个矩阵的总和sum（sum（A）），求积函数prod同理 多项式乘多项式展开的表达式： [1,1]表示x+1，1 2 1的意思是x^2+2*x+1 复数的函数 real（1+2i）=1(取实部) imag(1+2i)=2(取虚部) abs（1+2i）=2.23 angle（1+2i）=1.107 （在坐标系中对应的角度，即arctan 2=1.107 ）取共轭复数： （1+2i）’=1-2i conj（1+2i）=1-2i dot（a，b）向量的内积 det（a）求行列式的值 （一）矩阵函数 ⒈A =16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 1 5 14 1 det(A);%矩阵的行列式 ⒉R = rref(A)% A的简化行阶梯型矩阵 3.X = inv(A)%矩阵的逆 4. e = eig(A)%特征值 5. poly(A)% 特征多项式中的系数 是 1 -34 -64 2176 0 这表明特征多项式 det( A - I ) 是 4 - 343 - 642 + 2176 常数项是零，因为矩阵是奇异的，立方项系数是-34，6. 7. mu = mean(D), sigma = std(D)%均值，标准差 8. 要查看MATLAB中可用的一系列数据分析函数，键入 help datafun 如果你想使用统计工具箱，键入 help stats 9.T F = isprime(A) 返回一个和A大小相同的数组，当A中的元素为素数时数组对应元素为逻辑1（真），否则为逻辑0（假），A中必须仅仅包含正整数。 find函数确定已给逻辑条件的数组元素的指标。以它最简单的形式，返回一个指标的列向量。求这个向量的转置以获得一个指标的单行矩阵。例如： k = find(isprime(A))' 用一维标定指数挑选出素数在魔方中的位置。 k = 2 5 9 10 11 13 以按照k决定的次序的行向量展示这些素数，有 A(k) ans = 5 3 2 11 7 13 （二）命令行的编辑 1. 2．根据输入的不同，plot函数有不同的窗体。如果y是向量的形式，plot(y) 则在y对应的轴上作出一个分段线状图。如果指定要求含两个向量时，则 plot(x,y)作出一个y相对于x的图表。 例如：下面这些语句了用colon（冒号）算子来创建一个定义值取从0到2的向量x，计算出这些值的正弦函数值，然后画出结果。 x = 0:pi/100:2*pi; y = sin(x); plot(x,y) 现在给轴加上标签和标题，用\pi作符号。 xlabel('x = 0:2\pi') ylabel('Sine of x') title('Plot of the Sine Function','FontSize',12) 一个函数作图命令plot使不同的(x-y)变元函数生成不同的函数图象。MATLAB 自动地通过预设地颜色库来区别不同的函数（也可用户自设）。例如，以下是三个x的相关函数的图象，每条曲线都由各自不同的颜色加以区分。 y2 = sin(x-.25); y3 = sin(x-.5); plot(x,y,x,y2,x,y3) legend命令提供一种简易方式来辨别不同的函数作图。 legend('sin(x)','sin(x-.25)','sin(x-.5)') 1. 矩阵的构造与操作 zeros 生成元素全为0的矩阵 ones 生成元素全为1的矩阵 eye 生成单位矩阵 rand 生成随机矩阵 randn 生成正态分布随机矩阵 sparse 生成稀疏矩阵 full 将稀疏矩阵化为普通矩阵 diag 对角矩阵 tril 矩阵的下三角部分 triu 矩阵的上三角部分 flipud 矩阵上下翻转 fliplr 矩阵左右翻转 MATLAB还能够构造一些常用的特殊矩阵 2. 矩阵运算函数 norm 矩阵或向量范数 normest 稀疏矩阵（或大规模矩阵）的2-范数估计 rank 矩阵的秩 det 方阵的行列式 trace 方阵的迹 null 求基础解系（矩阵的零空间） orth 正交规范化 rref 矩阵的行最简形（初等行变换求解线性方程组）subspace 计算两个子空间的夹角 3. 与线性方程有关的矩阵运算函数 inv 方阵的逆 cond 方阵的条件数 condest 稀疏矩阵1-范数的条件数估计 chol 矩阵的Cholesky分解（矩阵的平方根分解）cholinc 稀疏矩阵的不完全Cholesky分解 linsolve 矩阵方程组的求解 lu 矩阵的LU分解 ilu 稀疏矩阵的不完全LU分解 luinc 稀疏矩阵的不完全LU分解 qr 矩阵的正交三角分解 pinv 矩阵的广义逆 4. 与特征值或奇异值有关的矩阵函数 eig 方阵的特征值与特征向量 svd 矩阵的奇异值分解 eigs 稀疏矩阵的一些（默认6个）最大特征值与特征向量svds 矩阵的一些（默认6个）最大奇异值与向量 hess 方阵的Hessenberg形式分解 schur 方阵的Schur分解 MATLAB 常用函数简介 一、通用命令 1.1帮助命令 demo 启动演示程序helpbrowser 超文本文档帮助信息help 在线帮助命令 helpdesk 超文本文档帮助信息doc 以超文本方式显示帮助文档Helpwin 打开在线帮助窗 1.2工作空间管理 clear 从内存中清除变量和函数 quit 退出MATLAB clc 清除命令窗口 exit 关闭MATLAB save 把变量存入数据文件中 who 列出工作空间中的变量 load 从文件中读入数据变量 whos 列出工作内存中变量的详细信息 format 设置数据显示格式 what 列出当前目录中的Matlab文件 more 分页输出 which 查找指定函数和文件的位置 1.3路径管理 addpath 添加搜索路径 path 控制MATLAB的搜索路径 rmpath 从搜索路径中删除目录pathtool 弹出修改搜索路径窗口 1.4操作系统指令 cd 改变当前工作目录 pwd 显示当前工作目录名copyfile 文件拷贝 getenv 给出环境值 delete 删除文件 dos 执行DOS指令并返回结果dir 列出文件 ！ 执行外部应用程序 mkdir 创建目录 rmdir 删除目录 二、基本运算 2.1算术运算 + 加/ 斜杠或右除.* 数组乘- 减 \ 反斜杠或左除 ./ 数组右除 * 矩阵乘 ^ 矩阵乘方 .\ 数组左除 dot 向量内积 cross 向量叉积 .^ 数组乘方 Kronecker乘积或张量积2.2关系运算 ＜ 小于 ＞ 大于 == 等于 ＜= 小于或等于 ＞= 大于或等于 ~= 不等于 2.3逻辑操作 & 逻辑“与” | 逻辑“或” ~ 逻辑“非” xor 逻辑“异或” any 有非零元素则为真 all 所有元素非零时为真2.4特殊运算符 = 赋值号 ‘ 引号 （） 园括号 . 小数点 ， 矩阵转置用符号“`”来表示和实现。 例如：A=[1 2 3；4 5 6 ；7 8 9 ]； B=A`↙ B=1 4 7 2 5 8 3 6 9 如故Z是复数矩阵，则Z`为它们的复数共轭转置矩阵，非共轭转置矩阵使用Z.`或conj(Z`)。 size(a) [d1,d2,d3,..]=size(a) 求矩阵的大小，对m*n二维矩阵，第一个为行数m,第二个为列数n； 对多维矩阵，第N个为矩阵第N维的长度。 cat(k,a,b) 矩阵合并,运行a = magic(3) b = pascal(3) c = cat(4,a,b) 改4为3或2或1，自己体会合并后的效果。 k=1,合并后形如[a;b],行添加矩阵（要求a,b的列数相等才能合并）；k=2,合并后形如[a,b],列添加矩阵（要求a,b的行数相等才能合并）,以此类推,n维的矩阵合并，要求n-1维维数相等才可以）。 fliplr(a) 矩阵左右翻转 flipud(a) 矩阵上下翻转 rot90(a) rot90(a,k) 矩阵逆时针旋转90度（把你的头顺时针旋转90看原数就可以知道结果了,^-^） k参数定义为逆时针旋转90*k度。 flipdim(a,k) 矩阵对应维数数值翻转,如k=1时，行(上下)翻转，k=2时，列(左右)翻转。 tril(a) tril(a,k) 矩阵的下三角部分（包括对角线元素），对应k=0时的取值数。 k参数设置为正负数值对应对角线向上或向下移动k行划分下三角元素。 triu(a) tril(a,k) 矩阵的上三角部分（包括对角线元素），对应k=0时的取值数。 k参数设置为正负数值对应对角线向上或向下移动k行划分上三角元素。 diag(a) diag(a,k) 生成对角矩阵或取出对角元素，对应k=0时的取值数。 k参数设置为正负数值对应对角线向上或向下移动k行取对角元素或生成对角矩阵。 repmat(a,m,n) 矩阵复制,把矩阵a作为一个单位计算，复制成m*n 的矩阵，其每一元素都含一个矩阵a,实际结果为一个size(a,1)*m 1.1.1 矩阵函数的定义 定义1.1 设幂级数z a k k k ∑+∞ =0的r,且当∣z ∣矩阵函数的求法
传递函数矩阵的状态空间最小实现
Matlab常用函数数组及矩阵的基本运算
Excel 矩阵运算及引用
MATLAB中矩阵常用的操作函数
矩阵的简单运算公式
MatLab常见函数和运算符号解读
矩阵函数和函数矩阵
教材第六章 矩阵函数
常用MATLAB矩阵处理
矩阵函数的性质及其在微分方程组中的应用
C常用矩阵子函数
MATLAB矩阵及其运算函数表
常用矩阵函数
矩阵函数以与应用毕业设计_说明
常见的matlab的运算函数
常用矩阵运算函数
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(整理)Matlab笔记之五----MATLAB常用函数简介.
Matlab中矩阵函数
矩阵函数