2018年高考数学分类汇编之三角函数

2018年高考数学分类汇编之三角函数

一、选择题

1.【2018全国二卷6】在中，，，，则 A ． B

C

D ．

2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是

A ．

B ．

C ．

D ．

3.【2018全国三卷4】若，则 A ．

B ．

C ．

D ． 4．【2018全国三卷9】的内角的对边分别为，，，若的面积为，

则A ．

B ．

C ．

D ．

5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为A. 1

B. 2

C. 3

D.4

6.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+

的图象向右平移10

π

个单位长度，所得图象对应的函数 A 在区间35[

,]44

ππ

上单调递增

B 在区间3[

,]4

π

π上单调递减 C 在区间53[

,]42

ππ

上单调递增

D 在区间3[

,2]2

π

π上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数y =||2x sin2x 的图象可能是

A ．

B ．

ABC △cos

2C =1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π

4

π2

3π4

π1

sin 3α=

cos 2α=89

79

79

-

89

-

ABC △A B C ，，a b c ABC △222

4

a b c +-C =π2

π3

π4

π6

C ．

D ．

二、填空题

1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________． 2．【2018全国二卷15】已知，，则__________．

3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________．

4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π

()()4

f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为

__________．

5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ??ππ=+-<<的图象关于直线3

x π

=对称，则?的值是．

6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=?，ABC ∠的平分线交AC 于点

D ，且1BD =，则4a c +的最小值为．

7.【2018浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若a

b =2，A =60°，则sin B =___________，

c =___________． 三．解答题

1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠=

，2AB =，5BD =.

（1）求cos ADB ∠；

（2

）若DC =BC . 2.【2018北京卷15】在△ABC 中，a =7，b =8，cos B =–

17

． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高． sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ?

?=+ ???

[]0π，

3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6

b A a B π=-.

（I ）求角B 的大小；（II ）设a =2，c =3，求b 和sin(2)A B -的值.

4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4

tan 3

α=

，cos()αβ+=．

（1）求cos 2α的值；（2）求tan()αβ-的值．

5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设

OC 与MN 所成的角为θ．

（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶

．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （34

55

-，-）．

（Ⅰ）求sin （α+π）的值；（Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=

5

13

，求cos β的值．

7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）

=x x a 2cos 22sin +

（1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4

f π

〔〕1=，求方程1f x =（）ππ-［，］上的解.

参考答案

一、选择题1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D

二、填空题

1. 2.

3. 3

4.

23 5.π

6- 6. 9 7.37

21； 三．解答题1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得

sin sin BD AB

A ADB

=∠∠.

由题设知，

52sin 45sin ADB =?∠

，所以sin ADB ∠=.

由题设知，90ADB ∠

，所以cos ADB ∠==（2）由题设及（1

）知，cos sin 5

BDC ADB ∠=∠=

.在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-???

∠258255

=+-??25=. 所以5BC =.

2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cos B =–

17，∴B ∈（π2，π），∴sin B

=． 由正弦定理得sin sin a b A B =?7sin A

，∴sin A

．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．

（Ⅱ）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A

11()72-+

．

如图所示，在△ABC 中，∵sin C =

h BC ，∴h =sin BC C ?

=7=，

∴AC 边上的高为

33

．

3.解：在△ABC 中，由正弦定理

sin sin a b

A B

=

，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()b A a B =-，得π

sin cos()a B a B =-，

12-

即πsin cos()6B B =-

，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B =π

3

．

（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a =2，c =3，B =

π

3

， 有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b

π

sin cos()6b A a B =-

，可得sin A =．

因为a

，故cos A =

sin 22sin cos A A A ==

21cos22cos 17

A A =-=． 所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A

B A B A B -=-

=

1127-= 4.解：（1）因为，，所以． 因为，所以，因此，． （2）因为为锐角，所以．

又因为

，因此． 因为，所以，

因此，．

5.解：（

1）连结PO 并延长交MN 于

H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10．

过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ，

故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为

1

2

×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和

K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=

14，θ0∈（0，π

6

）． 当θ∈[θ0，

π

2

）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 4tan 3α=

sin tan cos α

αα

=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=

27

cos22cos 125

αα=-=-,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=

22tan 24

tan 21tan 7

ααα==--tan 2tan()2

tan()tan[2()]1+tan 2tan()11

ααβαβααβααβ-+-=-+=

=-+

答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是[

1

4

，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，

设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈[θ0，

π

2

）． 设f （θ）=sin θcos θ+cos θ，θ∈[θ0，

π

2

）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′

． 令()=0f θ′，得θ=

π

6

， 当θ∈（θ0，

π

6

）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（

π6，π

2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=

π

6

时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=

π

6

时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．

6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5

α=-

， 所以4sin(π)sin 5

αα+=-=

. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5

α=-

， 由5sin()13αβ+=

得12

cos()13

αβ+=±

. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++，

所以56cos 65β=-

或16

cos 65

β=-

.

1)2cos()2sin()(+-+-=-x x a x f 12cos 2sin ++-=x x a

当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。

（2）4

cos 22

sin

)4

(2

π

π

π+=a f ，

由题意131)4

(+=

+=a f π

，3=∴a ，

x x x f 2cos 22sin 3)(+=∴12cos 2sin 3++=x x 1)6

2sin(2++=π

x ，

当],[ππ-∈x 时，即]6

13,611[6

2π

ππ

-

∈+

x ， 令21)(-=x f ,则21162sin 2-=+???

??

+πx ， 解得：πππ2413,245,2411--

=x 或π24

19

=x 8. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ，

1)2cos()2sin()(+-+-=-x x a x f 12cos 2sin ++-=x x a

当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。

（2）4

cos 22

sin

)4

(2

π

π

π+=a f ，

由题意131)4

(+=

+=a f π

，3=∴a ，

x x x f 2cos 22sin 3)(+=∴12cos 2sin 3++=x x 1)6

2sin(2++=π

x ，

当],[ππ-∈x 时，即]6

13,611[6

2π

ππ

-

∈+

x ， 令21)(-=x f ,则21162sin 2-=+???

??

+πx ，