高中数学必修4知识点总结
第一章:三角函数
§1.1.1、任意角
1、 正角、负角、零角、象限角的概念.
2、 与角α终边相同的角的集合: {}Z k k ∈+=,2παββ. §1.1.2、弧度制
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.
2、 r
l
=α.
3、弧长公式:R R
n l απ==180
. 4、扇形面积公式:lR R n S 2
1
3602==
π.
§1.2.1、任意角的三角函数
1、 设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点()y x P ,,那么:x
y
x y ===αααtan ,cos ,sin 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点,那么:
(设r =
sin y r α=
,cos x r α=,tan y x α=,cot x
y
α= 3、 αsin ,αcos ,αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法.
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线:AT 4、 特殊角0°,30°,45°,60°,
§1.2.2、同角三角函数的基本关系式 1、 平方关系:1cos sin 22=+αα.
2、 商数关系:α
α
αcos sin tan =
. 3、 倒数关系:tan cot 1αα= §1.3、三角函数的诱导公式
(概括为Z k ∈)
1、 诱导公式一: ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,
sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k (其中:Z k ∈)
2、 诱导公式二: ()()().
tan tan ,cos cos ,
sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+
3、诱导公式三: ()()().tan tan ,cos cos ,
sin sin αααααα-=-=--=-
4、诱导公式四: ()()().
tan tan ,cos cos ,
sin sin ααπααπααπ-=--=-=-
5、诱导公式五: .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=???
??-=??
?
??-
6、诱导公式六: .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=??
?
??+=??
?
??+
§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象:
2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质:定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中
心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图.
sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为:
30010-1202
2
π
π
ππ(,)(,,)(,,)(,,)(,,).
§1.4.3、正切函数的图象与性质
1、记住正切函数的图象:
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质:定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.
周期函数定义:对于函数()x f,如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值()()x f=,那么函数()x f就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期.
图表归纳:正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
§1.5、函数()?ω+=x A y sin 的图象 1、对于函数:
()()sin 0,0y A x B A ωφω=++>>有:振幅A ,周期2T π
ω
=
,初相?,相位?ω+x ,频率
ω
1=
=f .
2、能够讲出函数x y sin =的图象与
()sin y A x B ω?=++的图象之间的平移伸缩变换关系. ① 先平移后伸缩:
sin y x = 平移||?个单位 ()s i n y x ?=+
(左加右减)
横坐标不变 ()s i n y A x
?=+ 纵坐标变为原来的A 倍
纵坐标不变 ()s i n y A x
ω?=+ 横坐标变为原来的1
||ω
倍
平移||B 个单位 ()sin y A x B ω?=++ (上加下减)
② 先伸缩后平移:
sin y x = 横坐标不变 s i n y A
x = 纵坐标变为原来的A 倍
纵坐标不变 s i n y A x ω=
横坐标变为原来的1
||ω
倍
()s i n y A x
ω?=+
平移||B 个单位 ()sin y A x B ω?=++
(上加下减)
3、三角函数的周期,对称轴和对称中心
)x ω?+,x ∈R(A,ω,?为常数,且A ≠0)的周期
2||T πω=;函数tan()y x ω?=+,,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,?为常数,且A ≠0)的周期||T π
ω=.
对于sin()y A x ω?=+和cos()y A x ω?=+来说,对称中心与零点相联系,对称轴与最值点
联系.
求函数sin()y A x ω?=+图像的对称轴与对称中心,只需令()2
x k k Z π
ω?π+=+
∈与
()x k k Z ω?π+=∈
解出x 即可.余弦函数可与正弦函数类比可得. 4、由图像确定三角函数的解析式
利用图像特征:max min 2A =,max min
2
y y B +=.
ω要根据周期来求,?要用图像的关键点来求.
§1.6、三角函数模型的简单应用
1、 要求熟悉课本例题.
第三章、三角恒等变换
§3.1.1、两角差的余弦公式
1、()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+
2、()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-
3、()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+
4、()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-
5、()tan tan 1tan tan tan αβ
αβαβ+-+=. 6、()tan tan 1tan tan tan αβ
αβαβ-+-=.
§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、αααcos sin 22sin =, 变形: 12sin cos sin 2ααα=. 2、ααα22sin cos 2cos -=
1cos 22-=α α2sin 21-=.
变形如下:
升幂公式:2
2
122cos 1cos 22sin αα
αα
?+=??-=??
降幂公式:221cos (1cos 2)2
1sin (1cos 2)2
αααα=+=-?????
3、α
αα2tan 1tan 22tan -=. 4、sin 21cos 2tan 1cos 2sin 2αα
ααα
-=
=+
§3.2、简单的三角恒等变换 1、 注意正切化弦、平方降次. 2、辅助角公式
)sin(cos sin 22?++=+=x b a x b x a y
(其中辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b
a
?=
). 第二章:平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
1、 了解四种常见向量:力、位移、速度、加速度.
2、 既有大小又有方向的量叫做向量. §2.1.2、向量的几何表示
1、 带有方向的线段叫做有向线段,有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
2、 向量的大小,也就是向量的长度(或称模),记作AB ;长度为零的向量叫做零向量;长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
3、 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(或共线向量).规定:零向量与任意向量平行. §2.1.3、相等向量与共线向量
1、 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. §2.2.1、向量加法运算及其几何意义
1、 三角形加法法则和平行四边形加法法则.
2
+
≤+.
§2.2.2、向量减法运算及其几何意义
1、 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.
2、 三角形减法法则和平行四边形减法法则.
§2.2.3、向量数乘运算及其几何意义
1、 规定:实数λ与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘.记作:λ,它的长
度和方向规定如下:
⑴= ⑵当0>λ时, λ的方向与的方向相同;当0<λ时, λ的方向与的方向相反. 2、 平面向量共线定理:向量()
0≠a a 与 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使λ=. §2.3.1、平面向量基本定理
1、 平面向量基本定理:如果21,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内任
一向量,有且只有一对实数21,λλ,使2211e e a λλ+=. §2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表示 1、 ()y x y x ,=+=. §2.3.3、平面向量的坐标运算 1、 设()()2211,,,y x y x ==,则: ⑴()2121,y y x x ++=+,
⑵()2121,y y x x b a --=-, ⑶()11,y x a λλλ=, ⑷1221//y x y x =?. 2、 设()()2211,,,y x B y x A ,则: ()1212,y y x x --=. §2.3.4、平面向量共线的坐标表示 1、设()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ,则
⑴线段AB 中点坐标为(
)
2
22
121,y y x x ++, ⑵△ABC 的重心坐标为(
)
333213
21,y y y x x x ++++.
§2.4.1、平面向量数量积的物理背景及其含义
1、 θ=?.
2、 在方向上的投影为:θ.
3、 2a =.
4、=.
5、 0=??⊥b a b a .
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1、 设()()2211,,,y x y x ==,则:
⑴2121y y x x +=?
2121y x +=
⑶121200a b a b x x y y ⊥??=?+= ⑷1221//0a b a b x y x y λ?=?-= 2、 设()()2211,,,y x B y x A ,则:
()()212212y y x x -+-=
.
3、 两向量的夹角公式 22
c o s a b a b
x θ?=
=
+
4、点的平移公式
平移前的点为(,)P x y (原坐标),平移后的对应点为(,)P x y '''(新坐标),平移向量为
(,)
P P h k '=, 则.
x x h y y k '=+??'=+? 函数()y f x =的图像按向量(,)a h k =平移后的图像的解析式为().y k f x h
-=- §2.5.1、平面几何中的向量方法
§2.5.2、向量在物理中的应用举例
知识链接:空间向量
.下面对空间向量在立体几何中证明,求值的应用进行总结归纳.
1、直线的方向向量和平面的法向量 ⑴.直线的方向向量: 若A 、B 是直线l 上的任意两点,则AB 为直线l 的一个方向向量;与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量.
高中数学必修4知识点 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来 是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S , 则l r α=,2C r l =+,211 22 S lr r α==. 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是
高中高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} 1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。
注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A 记作a∈A ,相反,a不属于集合A 记作a?A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集
高中数学必修4知识点汇总 第一章:三角函数 1、任意角①正角:按逆时针方向旋转形成的角 ②负角:按顺时针方向旋转形成的角 ③零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限 对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π= ,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为α(α为弧度制),半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S 则αr l =,l r C +=2,221 21r lr S α== 9、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离 是() 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 10、三角函数在各象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦.
2020年人教版高中数学必修一全套精品教 案(完整版) 第一章集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示 一. 教学目标: l.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点
重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 2. 教学用具:投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1.教师首先提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. (二)研探新知 1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例: (1)1—20以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形;
(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥; (6)到一个角的两边距离相等的所有的点; (7)方程2560 -+=的所有实数根; x x (8)不等式30 x->的所有解; (9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体. 2.教师组织学生分组讨论:这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果,在此基础上,师生共同概括出9个实例的特征,并给出集合的含义. 一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的 每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出:集合常用大写字母A,B,C,D,…表示,元素常 用小写字母,,, a b c d…表示. (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:集合中元素有 什么特点?并注意个别辅导,解答学生疑难.使学生明确集合元素的 三大特性,即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是 一样的,我们就称这两个集合相等. 2.教师组织引导学生思考以下问题: 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于3小于11的偶数;
高一数学必修一知识点整理归纳 【集合与函数概念】 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{…}如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法:https://www.wendangku.net/doc/847313434.html, 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集:N*或N+ 整数集:Z 有理数集:Q 实数集:R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合{x?R|x-3>2},{x|x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA 2.“相等”关系:A=B(5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。AíA ②真子集:如果AíB,且A1B那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA) ③如果AíB,BíC,那么AíC ④如果AíB同时BíA那么A=B 3.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 4.子集个数: 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有2n-1个非空子集,含有2n-1个非空真子集 三、集合的运算 运算类型交集并集补集 定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作AB(读作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.
高中数学必修四知识点总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角.第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{} 36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S , 则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 9、(一)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的正弦,记做sin α, 即sin y α=;(2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=;(3)y x 叫做α的正切,记做tan α,即 tan (0)y x x α=≠。 (二)设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠.
高中数学必修4知识点 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落 在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限,叫做轴线角。 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角,连同角α在内,都可以表示为集合{Z k k ∈?+=,360| αββ} 4、弧度制: (1)定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。 半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α=. (2)度数与弧度数的换算:π2360o =,π= 180 rad ,1 rad '185730.57)180 ( =≈=π 注:角度与弧度的相互转化:设一个角的角度为o n ,弧度为α;
①角度化为弧度: 180180ππ n n n o o o = ? =,②弧度化为角度:o o 180180?? ? ??=?=παπαα (3)若扇形的圆心角为α(α是角的弧度数),半径为r ,则: 弧长公式: ①,180 (用度表示的)π n l = ② (用弧度表示的)r l ||α=; 扇形面积:①)(3602用度表示的扇r n s π=② lr r S 2 1 ||212==α扇(用弧度表示的) 5、三角函数: (1)定义①:设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点 是(),x y ,它与原点的距离是( ) 0r OP r ==>, 则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠ 定义②:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P (那么v 叫做α的正弦,记作sin α,即sin α=y ; u 叫做α的余 弦,记作cos α,即cos α=x ; 当α的终边不在y 轴上时, x y 叫做α的正切,记作tan α, 即tan α=x y . (2)三角函数值在各象限的符号:口诀:全正,S 正,T 正,C 正。 口诀:第一象限全为正; 二正三切四余弦. (3)特殊角的三角函数值 αsin x y + + _ _ O x y + + _ _ αcos O αtan x y + + _ _ O
高一数学必修一知识点整理 【导语】高一新生要作好充分思想准备,以自信、宽容的心态,尽快融入集体,适应新同学、适应新校园环境、适应与初中迥异的纪律制度。记住:是你主动地适应环境,而不是环境适应你。因为你走向社会参加工作也得适应社会。以下内容是为你整理的《高一数学必修一知识点整理》,希望你不负时光,努力向前,加油!【篇一】高一数学必修一知识点整理 一、集合有关概念 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: 1.元素的确定性; 2.元素的互异性; 3.元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示:{…}如{我校的篮球队员},{太平洋大西洋印度洋北冰洋} 1.用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员}B={12345} 2.集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a属于集合A记作a∈A,相反,a不属于集合A记作a:A 列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2} 4、集合的分类: 1.有限集含有有限个元素的集合 2.无限集含有无限个元素的集合 3.空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}
高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性如:世界上最高的山 (2)元素的互异性如:由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰 洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 ◆注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1)列举法:{a,b,c……} 2)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。 {x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3)语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} 4)Venn图: 4、集合的分类: (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5} 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。 注意:B ?/B或B?/A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集
高中数学必修4知识点自测题 一、填空题(每空1分,共100分) 1、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l =__________,C=_________,S=_____________ 2、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标是(),x y ,它与原点的距离是r ,则r=__________sin α=_______,cos α=________,tan α=________. 3、三角函数在各象限的符号:第一象限________为正,第二象限__________为正,第三象限___________为正,第四象限______________为正. 4、三角函数线:sin α=________,cos α=____,tan α 5、同角三角函数的基本关系:(1)___________ =1, cos 2α=__________________; sin 2α=__________________ (3)tan α=____________. 6、三角函数的诱导公式: (1)Sin(2k +πα)=___________ cos(2k +πα)=___________ tan(2k +πα)=___________ (2) Sin(π-α)=___________ cos(π-α)=___________ tan(π-α)=___________ (3) Sin(π+α)=___________ cos(π+α)=___________ tan(π+α)=___________ (4) Sin(-α)=___________ cos(-α)=___________ tan(-α)=___________ (5)sin(2π-α)=_________cos(2π -α)=_________ (6) sin(2π+α)=_________cos(2 π +α)=_________ 7、函数sin y x =的图象上所有点向_____(_____)平移?个单位长度,得到函数()sin y x ?=+的图象;再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的_______倍(纵坐标不变),得到函数()sin y x ω?=+的图象;
高中数学必修四 第一章 知识点归纳 第一:任意角的三角函数 一:角的概念:角的定义,角的三要素,角的分类(正角、负角、零角和象限角),正确理解角,与角终边相同的 角的集合 } {|2,k k z ββπα=+∈ , 弧度制,弧度与角度的换算, 弧长l r α=、扇形面积2112 2 s lr r α==, 二:任意角的三角函数定义:任意角α的终边上任意取一点p 的坐标是(x,y),它与原点的距离是 22r x y =+(r>0),那么角α的正弦r y a = sin 、余弦r x a =cos 、正切x y a =tan ,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数。 三:同角三角函数的关系式与诱导公式: 1.平方关系: 22sin cos 1 αα+= 2. 商数关系: sin tan cos α αα = 3.诱导公式——口诀:奇变偶不变,符号看象限。 正弦 余弦 正切 第二、三角函数图象和性质 基础知识:1、三角函数图像和性质 1-1 y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2π π -π o y x 1-1y=cosx -3π2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π 4π 3π 2π π -π o y x
2、熟练求函数sin()y A x ω?=+的值域,最值,周期,单调区间,对称轴、对称中心等 ,会用五点法作 sin()y A x ω?=+简图:五点分别为: 、 、 、 、 。
3、图象的基本变换:相位变换:sin sin()y x y x ?=?=+ 周期变换:sin()sin()y x y x ?ω?=+?=+ 振幅变换:sin()sin()y x y A x ω?ω?=+?=+ 4、求函数sin()y A x ω?=+的解析式:即求A 由最值确定,ω有周期确定,φ有特殊点确定。 基础练习: 1、tan(600)-= . sin 225?= 。 2、已知扇形AOB 的周长是6cm ,该圆心角是1弧度,则扇形的面积= cm 2 . 3、设a <0,角α的终边经过点P (-3a ,4a ),那么sin α+2cos α的值等于 4、函数 y =的定义域是_____ __ 5、. 的结果是 。 6、函数x y 2sin 3=的图象可以看成是将函数)3 x 2sin(3y π -=的图象-------( ) (A)向左平移个6π单位 (B )向右平移个6π单位(C )向左平移个3π单位 (D )向右平移个3 π 单位 7、已知0tan ,0sin ><θθ,那么θ是 。 8.已知点P (tan α,cosα)在第三象限,则角α的终边在 9、下列函数中,最小正周期为π,且图象关于直线3 π = x 对称的是( ) A .sin(2)3π=-y x B.sin(2)6π=-y x C.sin(2)6π=+y x D .sin()23 π =+x y 10、下列函数中,周期为π的偶函数是( ) A.cos y x = B.sin 2y x = C. tan y x = D. sin(2)2 y x π =+ 解答题解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 第一类型:1、已知角α终边上一点P(-4,3),求) 2 9sin()211cos() sin()2cos(απαπαπαπ +---+的值
新人教版高中数学必修4知识点总结经典
新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<+∈Z o o o 第二象限角的集合为 {}36090 360180,k k k α?++∈Z o o o o 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k α α?+<+∈Z o o o o 第四象限角的集合为 {}360270 360360,k k k αα?+<+∈Z o o o o 区域角怎么表示: 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z o 终边在y 轴上的角的集合为 {}18090,k k αα=?+∈Z o o 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z o 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z o 4、已知α是第几象限角,确定 ()* n n α ∈N 所在象限的方法:先把各象限均分n 等份,再从x 轴的正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则α原来是第几象限对应的标号即为n α 终边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= . 7、弧度制与角度制的换算公式:2360π=o ,1180 π=o ,180157.3 π??=≈ ??? o o . 8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 9、三角函数概念:(一)设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么:(1)y 叫做α的 正弦,记做sin α,即sin y α=;(2)x 叫做α的余弦,记做cos α,即cos x α=;(3)y x 叫做α的正切, 记做tan α,即tan (0)y x x α=≠。
集合与函数知识点讲解 1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。 {}{}{}如:集合,,,、、A x y x B y y x C x y y x A B C ======|lg |lg (,)|lg 中元素各表示什么? 2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况。? 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。 空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。 {} {}如:集合,A x x x B x ax =--===||2 2301 若,则实数的值构成的集合为B A a ? 3. 注意下列性质: {} ()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n 4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法) 如:已知关于的不等式 的解集为,若且,求实数x ax x a M M M a --<∈?5 0352 的取值范围。 ()(∵,∴ ·∵,∴ ·,,)335 30555 501539252 2 ∈----≥?∈? ? ????M a a M a a a 补充:数轴标根法解不等式 5. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。) 6 . 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域) 7. 求函数的定义域有哪些常见类型? ()() 例:函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()(答:,,,)022334 8. 如何求复合函数的定义域? [] 如:函数的定义域是,,,则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。
高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<+∈Z 第二象限角的集合为{}36090360180,k k k α?++∈Z 第三象限角的集合为{}360180360270,k k k αα?+<+∈Z 第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα?+<+∈Z 终边在x 轴上的角的集合为{}180,k k αα=?∈Z 终边在y 轴上的角的集合为{}18090,k k αα=?+∈Z 终边在坐标轴上的角的集合为{}90,k k αα=?∈Z 3、与角α终边相同的角的集合为{}360,k k ββα=?+∈Z 4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度. 5、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ,则角α的弧度数的绝对值是l r α= . 6、弧度制与角度制的换算公式:2360π= ,1180π = ,180157.3π??=≈ ??? . 7、若扇形的圆心角为()α α为弧度制,半径为r ,弧长为l ,周长为C ,面积为S ,则l r α=,2C r l =+, 211 22 S lr r α==. 8、设α是一个任意大小的角,α的终边上任意一点P 的坐标 是(),x y ,它与原点的距离是 () 0r r =>,则sin y r α= ,cos x r α=,()tan 0y x x α=≠. 9、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正, 第三象限正切为正,第四象限余弦为正. 10、三角函数线:sin α=MP ,cos α=OM ,tan α=AT . 11、角三角函数的基本关 系
人教版高中数学必修1课后习题答案(第一章集合与函数概念)人教A版
习题1.2(第24页)
练习(第32页) 1.答:在一定的范围内,生产效率随着工人数量的增加而提高,当工人数量达到某个数量时,生产效率达到最大值, 而超过这个数量时,生产效率随着工人数量的增加而降低.由此可见,并非是工人越多,生产效率就越高. 2.解:图象如下 [8,12]是递增区间,[12,13]是递减区间,[13,18]是递增区间,[18,20]是递减区间. 3.解:该函数在[1,0]-上是减函数,在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,在[4,5]上是增函数. 4.证明:设 12,x x R ∈,且12x x <, 因为 121221()()2()2() 0f x f x x x x x -=--=->, 即12()()f x f x >, 所以函数()21f x x =-+在R 上是减函数.
5.最小值. 练习(第36页) 1.解:(1)对于函数 42()23f x x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内 每一个x 都有4242()2()3()23()f x x x x x f x -=-+-=+=, 所以函数42()23f x x x =+为偶函数; (2)对于函数 3()2f x x x =-,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内 每一个x 都有33()()2()(2)()f x x x x x f x -=---=--=-, 所以函数 3()2f x x x =-为奇函数; (3)对于函数 21 ()x f x x +=,其定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ,因为对定义域内 每一个x 都有 22()11 ()()x x f x f x x x -++-==-=--, 所以函数 21 ()x f x x +=为奇函数; (4)对于函数 2()1f x x =+,其定义域为(,)-∞+∞,因为对定义域内 每一个x 都有22()()11()f x x x f x -=-+=+=, 所以函数 2()1f x x =+为偶函数. 2.解:()f x 是偶函数,其图象是关于y 轴对称的; ()g x 是奇函数,其图象是关于原点对称的. 习题1.3(第39页) 1.解:(1)
高中数学必修1知识点 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念: 1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性: (1)元素的确定性; (2)元素的互异性; (3)元素的无序性 说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法:列举法与描述法。 (Ⅰ)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。 (Ⅱ)描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x ∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} (3)图示法(文氏图): 4、常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 5、“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A 记作 a ∈A ,相反,a 不属于集合A 记作 a ?A 6、集合的分类: 1.有限集 含有有限个元素的集合2.无限集 含有无限个元素的集合3.空集 不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系———子集 对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们就说两集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作A ?B 注意: 有两种可能(1)A 是B 的一部分,;(2)A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A ?B 或B ? A 集合A 中有n 个元素,则集合A 子集个数为2n . 2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5) 实例:设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合A 与B ,如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,同时,集合B 的任何一个元素都是集合A 的元素,我们就说集合A 等于集合B ,即:A=B A B B A ???且 ① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠B 那就说集合A 是集合B 的真子集,记作A ?B(或B ?A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B
必修四常考公式及高频考点 第一部分 三角函数与三角恒等变换 考点一 角的表示方法 1.终边相同角的表示方法: 所有与角α终边相同的角,连同角α在内可以构成一个集合:{β|β= k ·360 °+α,k ∈Z } 2.象限角的表示方法: 第一象限角的集合为{α| k ·360 °<α 必修1数学知识点 第一章、集合与函数概念 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素,把一些元素组成的总 体叫做集合。集合三要素:确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个 集合相等。 3、 常见集合:正整数集合:*N 或+N ,整数集合: Z ,有理数集合:Q ,实数集合:R . 4、集合的表示方法:列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地,对于两个集合A 、B ,如果集合A 中任 意一个元素都是集合B 中的元素,则称集合A 是 集合B 的子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?,但存在元素B x ∈,且A x ?, 则称集合A 是集合B 的真子集.记作:A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作:?.并规定: 空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素,则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地,由所有属于集合A 或集合B 的元素组成 的集合,称为集合A 与B 的并集.记作:B A . 2、 一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素 组成的集合,称为A 与B 的交集.记作:B A . 3、全集、补集?{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的对应 关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有惟一确定的数()x f 和它对应,那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数,记 作:()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为:定义域、对应关系、值 域.如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法:解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大(小)值 1、 注意函数单调性证明的一般格式: 解:设[]b a x x ,,21∈且21x x <,则: ()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f =-,那么就称函数()x f 为 偶函数.偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地,如果对于函数()x f 的定义域内任意一个 x ,都有()()x f x f -=-,那么就称函数()x f 为 奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数(Ⅰ) §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根。 其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时,a a n n =; 当n 为偶数时,a a n n =. 3、 我们规定: ⑴m n m n a a = () 1,,,0* >∈>m N n m a ; ⑵()01 >= -n a a n n ; 4、 运算性质:高中数学必修1-5知识点归纳