平行线垂线

第五章相交线与平行线

教材内容

本章主要内容是两条直线的位置关系：相交线和平行线，以及平移变换的内容。

本章首先研究了相交的情形，探索了两条直线相交所成角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角的概念，得出了“对顶角相等”的结论；并着重研究了相交的特殊情形——垂直，探索了垂直的性质，给出了点到直线的距离的概念。接着研究了平行的情形，教科书首先引入了一个基本事实（平行公理），以此为出发点探讨了两条直线平行的性质和判定，并给出了两条平行线间的距离的概念，还对命题以及命题的构成作了简单的介绍。最后研究了平移的概念和性质，以及利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题。

本章知识是学习线和角的继续，也是学习几何知识的重要基础，以后几乎所有几何图形的学习都用到本章知识。

教学目标

〔知识与技能〕

1、了解两条直线的位置关系有相交与平行两种，理解相交线、平行线、平移的有关概念及性质，会运用这些概念和性质进行简单的推理和计算；

2、会用三角板、量角器等工具熟练地画垂线、平行线及有关简单几何图形，逐步培养学生的识图和绘图能力；

3、进一步熟悉和掌握几何语言，能够把学过的概念和性质，用图形或符号语言表示出来；

4、逐步了解几何推理要步步有据，会准确地填写推理的根据，并会作简单的推理。

〔过程与方法〕

1、通过探索、猜测，进一步体会学会推理的必要性，发展学生初步推理能力；

2、通过揭示一些概念和性质之间的联系，对学生进行创新精神和实践能力的培养.

〔情感、态度与价值观〕

1、通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验数学活动的趣味性，以感受推理过程的严谨性以及结论的确定性；

2、开展探究性活动，充分体现学生的自主性和合作精神，激发学生乐于探索的热情。

重点难点

垂线的概念与平行线的判定与性质及平移是重点；学会写推理过程和对直线平行的性质和判定的灵活运用是难点。

课时分配

5.1相交线……………………………………… 2课时

5.2平行线……………………………………… 3课时

5.3平行线的性质……………………………… 3课时

5.4平移………………………………………… 5课时

本章小结………………………………………… 2课时

5.1.1 相交线

〔教学目标〕1、经历探究对顶角、邻补角的位置关系的过程；2、了解对顶角、邻补角的概念；3、知道“对顶角相等”并会运用它进行简单的说理。

〔重点难点〕对顶角、邻补角的概念和“对顶角相等”是重点；正确区别互为邻补角与互为补角和运用“对顶角相等”说理是难点。

〔教学过程〕

一、情景导入

字形中的线段都相交，“米”字形中间的线段都平行，等等。

；∠1

具有这种关系的两个角，互为邻补角。

讨论：邻补角与补角有什么关系？

邻补角是补角的一种特殊情况，数量上互补，位置上有一条公共边，而互补的角与位置无关。

第二类角有什么共同的特征?

有公共的顶点，两边互为反向延长线。

具有这种位置关系的角，互为对顶角。

思考：〔投影3〕下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是〔〕

A B C D 注意：对顶角形成的前提条件是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个。

三、对顶角的性质

在用剪刀剪布片的过程中，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开布片。在这过程中，两个把手之间的角与剪刀刃之间的角有什么关系？

3、课本5面练习。

4、如2题图，已知∠AOC=80°，∠1=30°，求∠2的度数 六、课堂小结

1、什么是邻补角？邻补角与补角有什么区别？

1 2

A

C

B

D E

O

1

2 1

2 1

2

1

2

2、什么是对顶角？对顶角有什么性质？

作业：

课本8面1、2；9面7、8题。

5.1.2 垂线（一）

〔教学目标〕1、了解垂线的概念；2、理解垂线的性质1；3、会用三角尺或量角器过

b 时,

你能再举一些其它的例子吗？

思考：〔投影3〕下面所叙述的两条直线是否垂直？

①两条直线相交所成的四个角相等;

②两条直线相交,有一组邻补角相等;

③两条直线相交,对顶角互补.

十字路口的两条道路方格本的横线和竖线

铅

①②③都是垂直的。

三、垂线的性质

探究:〔投影4〕.学生用三角尺或量角器画已知直线l的垂线.

(1)画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?

(2)经过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?

(3)经过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?

由画图可知：(1)可以画无数条； (2)可以画一条； (3)可以画一条。

这就是说，经过直线上或直线外一点，可以画一条垂线，并且只能画一条垂线，即：性质1过一点有且只有

．．．．一条直线与已知直线垂直。

注意：①“有”指存在，“只有”指唯一；②“过一点”中的“点”在直线上或在直线外。

四、课堂练习

1、课本9面9题；

2、课本5面练习2题。

五、课堂小结

1、垂线的概念，垂直的表示；

2、垂直的性质1；

3、垂线的画法。

作业：

课本8面3、4、5题，10面12题。

5.1.2 垂线（二）

〔教学目标〕1、了解垂线段的概念；2、理解“垂线段最短”的性质；3、体会点到直线的距离的意义, 并会度量点到直线的距离.

〔重点难点〕“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用是重点；理解点到直线的距离的概念是难点。

〔教学过程〕

一、情景导入

〔投影1〕如图（课本图5.1-8）,在灌溉时，要把河中的水引到农田P处, 如何挖渠能使渠道最短?

说到最短，上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗?

两点之间，线段最短.

如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是点P,那么另一个端点的位置在什么地方呢?把江河看成直线l,那么原问题就是这样的数学问题：

在连接直线l外一点P与直线l 上各点的线段中,哪一条最短?

二、垂线的性质2

演示：在黑板上固定木条l, l外一点P,木条a一端固定在点P，使之与l相交于点A。

P

l

A

a

左右摆动木条a, l与a的交点A随之变动,线段PA 的长度也随之变化，a与l的位置关系怎样时，PA最短?

a与l垂直时，PA最短。这时的线段PA叫做垂线段。

〔投影2〕画出PA在摆动过程中的几个位置，如图，点A1、A2、A3……在l上,连接PA1、PA2、PA3……，P O⊥l，垂足为O，用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……的长短，可知垂线段PO最短。

长

1、垂线段、点到直线的距离概念；

2、垂线的性质2及应用.

作业：

课本8面6题，9面10题，10面13题。

第五章复习一（5.1）

一、双基回顾

1、对顶角和邻补角：有 并且两边 的两个角是对顶角；有 并且 的两个角是邻补角。

〔注〕两条直线相交是形成对顶角的前提，但不一定是形成邻补角的前提。 2、对顶角的性质：对顶角 . 〔1〕下列说法正确的是〔 〕

A 、相等的角是对顶角

B 、一个角的邻补角只有一个

C 、补角即为邻补角

D 、对顶角的平分线在一条直线上

3、垂直和垂线：当两条直线相交所成的四个角中 时，这两条直线互相

。 B

例3 如图，直线AB 、CD 相交于点0,OD 平分∠BOF,EO ⊥CD 于O, ∠EOF=1180

,求∠COA 的度数。

A

B

C

D E

F

O

·N

三、练习提高

夯实基础

1、如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有〔 〕

1

21

21

2

2

1

2、如图所示,直线AB 与直线CD 的位置关系是_______,记作_______,此时,?∠AOD=∠

〕

6题 7题 11题

7、如图，已知AB 、CD 相交于点O,OE ⊥AB 于O, ∠EOC=280

,则∠AOD = 度。

8、如图所示,村庄A 要从河流l 引水入庄,需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.

A

l

9、如图所示，如果OA⊥OC,O是垂足，OB是一条射线，且∠AO B︰∠AOC=2︰3,求∠BOC的度数。

线

14、OC把∠AOB分成两部分且有下面两个等式成立：①∠AOC=1/3直角＋1/3∠BOC;

②∠BOC=1/3平角－1/3∠AOC.

问：（1）OA与OB的位置关系怎样？

（2）OC是否为∠AOB的平分线？并写出判断的理由。

5.2.1平行线

〔教学目标〕1、了解平行线的概念，理解同一平面内两条直线间的位置关系；2、掌握平行公理及平行线的画法。

〔重点难点〕平行线的概念、画法及平行公理是重点；理解平行线的概念和根据几何语言画出图形是难点。

〔教学过程〕

一、情景导入

我们知道两条直线相交只有一个交点，除相交外，两条直线还存在其它的位置关系吗？看下面的图片：〔投影1〕

a

注意：这里所指的两条直线是指不重合的直线。

三、平行公理

再来看上面的实验，想象一下，在转动木条a的过程中,有几个位置能使a与b平行?

有且只有一个位置使a与b平行.

a

如图，过点B画直线a的平行线,能画几条?试试看。

只能画一条。

从实验和作图，我们可以得到怎样的事实？

经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.

这一基本事实是人们在长期的实践中总结出来的结论，我们称它为公理，这个结论叫做平行公理。

在上图中，过点C画直线a的平行线,它与过点B画的的平行线平行吗?试试看。

过点C画的直线a的平行线与过点B画的直线a的平行线相互平行。

这说是说，如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行.

符号语言：∵b∥a,c∥a ∴b∥c.

如果b与c不平行，那么经过直线外一点就有两条直线与已知直线平行，所以上面的结论是平行公理的推论。

四、课堂练习

〔投影2〕1、判断下列说法是否正确？

（1）在同一平面内，两条线段不相交就平行；

（2）在同一平面内，平行于直线AB的直线只有一条。

（3）如果几条直线都和同一条直线平行，那么这几条直线都互相平行。

2、课本13面练习.

五、课堂小结

1、什么是平行线？“平行”用什么表示？

2、平面内两条直线的位置关系有哪些？

3、平行公理及推论是什么？

作业：

课本16面3题，17面8题，18面9、11题。

5.1.3 同位角、内错角、同旁内角

〔教学目标〕1、理解同位角、内错角、同旁内角的概念；2、会识别同位角、内错角、同旁内角.

〔重点难点〕同位角、内错角、同旁内角的概念与识别是重点；识别同位角、内错角、同旁内角是难点。

〔教学过程〕

一、导入新课

前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形，接下来，我们进一步研究一条直线分别与两条直线相交的情形。

二、同位角、内错角、同旁内角

如图，直线a、b与直线c相交，或者说，两条直线a、b被第三条直线c所截，得到八个角。

我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。

∠1与∠2、∠4与∠8、∠5与∠6、∠3与∠7有什么位置关系？ 在截线的同旁，被截直线的同方向（同上或同下）.

∠14∠41、课本7面练习1；

2、[投影2]指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角；

3、课本7面练习2。 作业:

A

B

C D

c

b

a 4

321

5 6 8

7

课本9面11题.

5.2.2 平行线的判定（一）

〔教学目标〕经历探索两直线平行条件的过程，理解两直线平行的条件.

〔重点难点〕探索两直线平行的条件是重点，理解“同位角相等,两条直线平行”是难点。

条

图1

要解决这个问题，就要弄清楚平行的判定。

二、直线平行的条件

以前我们学过用直尺和三角尺画平行线，如图（课本

过程中，什么没有变？

1

两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.

简单地说:同位角相等,两条直线平行.

符号语言：∵∠1=∠2 ∴AB∥CD.

如图（课本14面5.2-7），你能说出木工用图中这种叫做角尺的工具画平行线的道理吗？

用角尺画平行线，实际上是画出了两个直角，根据“同位角相等,两条直线平行.”，可知这样画出的就是平行线。

〔投影2〕如图，（1）如果∠2=∠3，能得出a∥b吗？（2）如果∠2＋∠4＝1800，能得出a∥b吗？

你能用文字语言概括上面的结论吗？

两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行. 简单地说：内错角相等,两直线平行. 符号语言：∵∠2=∠3 ∴a ∥b.

（2）∵ ∠4+∠2=180°,∠4+∠1=180° （已知）

∴∠2=∠1 （同角的补角相等） ∴a ∥b. （同位角相等,两条直线平行） 你能用文字语言概括上面的结论吗？

两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行. 简单地说：同旁内角互补,两直线平行. 符号语言： ∵∠4+∠2=180° ∴ a ∥b.

四、课堂练习

1、课本15面练习1，补充（3）由∠A+∠ABC ＝1800可以判断哪两条直线平行？依据是什么？

2、课本16面2题。 五、课堂小结

怎样判断两条直线平行？ 作业：

16面1、2题；17面4、5、6。

（1）∵∠2=∠3（已知）∠3=∠1（对顶角相等） ∴∠1=∠2 (等量代换)

∴a ∥b （同位角相等,两条直线平行） 3 2

b

a

c 4

1