几何不等式讲解
几何不等式的证明及应用
一、1．定义：几何问题中出现的不等式称为几何不等式. 常常表现为角的大小，线段的长短，面积的多少等. 在几何不等式的证明中，将综合运用到我们所学的很多知识，但最首要的是要注意运用几何中基本的不等关系和一些重要定理．证明不等式，视其论证过程中，以运用何种知识为主，大致分为三种方法：几何方法；三角方法；代数方法。
2．证明几何不等式常用方法（1）代数方法：利用变量代换、因式分解、配方等手段将几何问题转为代数问题，其思路是：适当地引入变量，将几何问题化为代数问题，特别是二次函数；恰当选择变量为关键；利用重要的几何不等式及代数不等式当证明涉及三角形不等式时，注意应用：①三边长的固有不等关系；②海伦公式；③边长的大小顺序关系与对应角的大小顺序关系相同，而与对应高、中线及分角线长的顺序相反.
（2）三角方法：利用三角函数来反映几何图形的变化规律，从而将几何问题转化为三角问题，这时最常用的三角知识是：三角恒等变形：这主要是应用和、差、倍、半角公式，积化和差及和差化积公式等，制造出便于应用已知不等式的形式，以完成命题的证明；边角互换：这主要是利用三角函数定义、正弦定理、余弦定理等，把一个关于角（边）的不等式转化成边（角）的不等式.
（3）几何方法：即指用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式，这时最常用的平面几何知识是：抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系.事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙；与面积有关的几何不等式也占有重要地位.其内容丰富，涉及面宽，富于智巧.证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识. 3．几个著名代数不等式：柯西不等式，排序不等式，算术平均不等式等. 4．几个著名的几何不等式
（1）托勒密定理的推广：在凸四边形ABCD 中，一定有：BD AC BC AD CD AB ?≥?+?，等号成立时四边形
ABCD 是圆内接四边形.
证明1：取点E ，使ACD ABE CAD BAE ∠=∠∠=∠，则ABE ?∽ACD ? ∴
CD BE AC AB =，AD
AE
AC AB = ∴BE AC CD AB ?=? （1） 又DAE BAC ∠=∠ ∴ABC ?∽AED ? ∴
AD
AC
DE BC = ∴DE AC AD BC ?=? ∴BD AC DE BE AC DE AC BE AC AD BC CD AB ?≥+?=?+?=?+?)(
C
C 上式等号成立当且仅当E 在对角线B
D 上.此时ACD ABD ∠=∠，从而四边形内接于圆. 证明2：复数法：设A 、B 、C 、D 对应的复数分别是1z 、2z 、3z 、4z 用到下面的恒等式142324313412()()()()()()0z z z z z z z z z z z z --+--+--=
则12341423|()()||()()|AB CD AD BC z z z z z z z z ?+?=--+--12341423|()()()()|z z z z z z z z ≥--+--
2431|()()|z z z z AC BD =---=?
（2）（嵌入不等式） 设,,,(21),x y z R A B C k k Z π∈++=+∈， 求证：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 22
2
2
++≥++ 等号成立的充要条件是：B z C y x cos cos +=及B z C y sin sin =. 证明：C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 22
2
2
---++
)cos(2)cos cos (2222C B yz z y x C y B z x +++++-=
222)sin sin ()cos cos ()cos cos (2C y B z C y B z x C y B z x -++++-=
0)sin sin ()cos cos (22≥-+--=C y B z C y B z x 当且仅当B z C y x cos cos +=且B z C y sin sin =时取等
号
（3）艾尔多斯——莫迪尔（Erdos —Mordell ）不等式：在ABC ?内部任取点P ，,A d B d ,C d 分别表示由点P 到顶点C B A ,,之间的距离，c b a d d d ,,分别表示由点P 到边AB CA BC ,,的距离， 则)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++
证明1：过P 作直线XY 分别交AC AB ,于Y X ,，使ABC AYX ∠=∠ 则AYX ?∽ABC ? ∴
BC
AB
XY AY BC AC XY AX =
=, 又∵A b c AXY
d XY d AY d AX S ?≤?+?=?2
1
2121 ∴b c A d XY AY d XY AX d ?+?≥即b c A d BC
AB d BC AC d ?+?≥ 同理：a c B d AC AB d AC BC d ?+?≥
a b C d AB
AC
d AB BC d ?+?≥ ∴)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++ 证明2：F A E P ,,,四点共圆 则
A d A
EF
=sin 在EFP ?中，由余弦定理得)cos(22
2
2C B d d d d EF b c b c +??-+=
22)sin sin ()cos cos (C d B d C d B d b c b c ++-=2)sin sin (C d B d b c +≥
∴C d B d EF b c sin sin +≥ ∴b c A d A
C
d A B d sin sin sin sin +≥ 同理a c B d B C d B A d sin sin sin sin +≥
a c C d C
B
d C A d sin sin sin sin +≥ ∴)(2c b a C B A d d d d d d ++≥++ 证明3：设γβα=∠=
∠=∠CPA BPC APB ,,则αcos 22
22??-+=B A B A d d d d AB
βcos 22
2
2??-+=C B C B d d d d BC γcos 22
22??-+=A C A C d d d d CA
又
βsin 2
1
21??=?C B a d d d BC ∴)
cos 1(2)(sin cos 2sin 2
2
2
ββ
β
β-??+-??=
??-+??=
C B C B C B C B C B C B a d d d d d d d d d d d d d
2
cos 212
sin 22sin )
cos 1(2sin 2
β
β
βββC B C B C B C B C B d d d d d d d d d d ?=
????=
-????≤
即2cos 21βC B a d d d ?≤ 同理2cos 21γA C b d d d ?≤
2
cos 21α
B A c d d d ?≤ )2cos 2cos 2cos (21αγβB A A
C C B c b a d d d d d d d d d ?+?+?≤
++)(2
1
C B A d d d ++≤（嵌入不等式） 证明四： 设2,2,2BPC CPA APB αβγ∠=∠=∠=，且αβγπ++=设它们的内角平分线长分别是a b c w w w 、、，且a a b b c c w d w d w d ≥≥≥、、 只要证更强的结论2()A B C a b c d d d w w w ++≥++
a B C w =
B C = 又222cos 22B C B C
d d a d d α+-=，即222
2cos 2B C B C d d a d d α+-=
∴2cos B C B C
a B C B C
d d d d w d d d d αα=
=≤++
同理b w β
，c w γ=
∵αβγπ++=
∴由嵌入不等式得2())a b c A B C w w w d d d αβγ++≤+≤++
（4）外森比克不等式：设ABC ?的边长和面积分别为c b a ,,和S ，则S c b a 342
2
2
≥++，当且仅当ABC ?为正三角形时等号成立.证明方法很多，证明略
5．费尔马(Fermat )问题：在ABC ?中，使PC PB PA ++为最小的平面上的P 点称为费尔马点.当?≥∠120BAC 时，A 点为费尔马点；当ABC ?中任一内角都小于?120时，则与三边张角为?120的P 点为费尔马点.
例1 已知ABC ?，设I 是它的内心，C B A ∠∠∠,,的内角平分线分别交其对边于/
/
/
,,C B A ，求证：
27
8
41/
//≤???? b c b a IA AA +++=/ ∴ c b a c b AA IA +++=/易得121<+++<++++=c b a c b c b c b c b ∴)1,21 (/ ∈+++=c b a c b AA IA 同理)1,21(/∈+++=c b a c a BB IB )1,21 (/∈+++=c b a b a CC IC 则 2/////=++CC IC BB IB AA IA 处理（1）令 3/2/1/2 1,21,21t CC IC t BB IB t AA IA +=+=+=，则21 ),1,21(,,3 21321=++∈t t t t t t ∴2783)21()21()21()21)(21)(21(3 32 1321=?? ??? ? ??+++++≤+++t t t t t t ∴4 1)(21)(4181)21)(21)(21 (321133221321321>+++++++= +++t t t t t t t t t t t t t t t ∴ 27 841///≤ ???? z CC IC y BB IB x AA IA ===/ //,,，则2=++z y x ，且1 ,,(,1)2x y z ∈ ∴278)3( 3= ++≤z y x xyz 21113139 (2)(2)()[()]22222416 xyz x x z z z z z z z =-->--=-=--+ 又 112z <<（2139[()]2416z --+在区间端点取到最小值）∴221391391 [()][(1)]241624164 xyz z >--+>--+= 处理（3）利用内切圆与三角形的切点把每条边分成两部分作变换令m k c k n b n m a +=+=+=,, )(22)(22)(22/ //k n m k n m k n m k n m k n m k n m CC BB AA CI BI AI ++++?++++?++++=???? 41 ) (8))(()()(3 33>+++++++++++++=k n m mnk k n m nk mk mn k n m k n m 说明：证明关于三角形内各元素的各种不等式时，常作如下变换：（由于三角形的内切圆存在，三条边总可表示为）)0,,(,,,>+=+=+=z y x x z c z y b y x a ，反之，若三个正数c b a ,,可以表示为上述形式，则c b a ,,一定是某个三角形的三边，并且相应的三角形的其它元素也可以通过上面变换用z y x ,,表示，有关三角形的一些几何不等式都可以化为关于z y x ,,的代数不等式 例2 设P 是ABC ?内的一个点，S R Q ,,分别是C B A ,,与P 图），求证：ABC QRS S S ??≤ 41.（ QRS ?是塞瓦三角形）（分析：利用补集思想）证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ????≥++4 3 证明1：令 γβα===RA CR QC BQ SB AS ,,，则由塞瓦定理1=αβγ 则 ) 1)(1(++=??=??γααAC AB AR AS S S ABC ASR 同理 )1)(1(++=??=??αββAB BC BS BQ S S ABC BSQ 、) 1)(1(++= ??=??βγγAB BC CR CQ S S ABC CQR 只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ????≥ ++4 3 即 43)1)(1()1)(1()1)(1(≥++++++++βγγαββγαα 只要证0)()(6≤++-++-γβαγαβγαβ只要证0)]()1 1 1 [( 6≤+++++ -γβαγ β α 显然6)()11 1 ( ≥+++++ γβαγβα 当1 2αβγ===时取等号，此时P 是ABC ?的重心 证明2： 设z S y S x S PAB PBC PAC ===???,,则 z x QB QC y z RC RA x y SA SB ===,,、) )((y z y x xz AC AB AR AS S S ABC ASR ++=??=?? 同理 ) )((x z x y yz AB BC BS BQ S S ABC BSQ ++= ??=??、) )((z y z x xy AB BC CR CQ S S ABC CQR ++= ??=?? 只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ????≥ ++4 3 即 43))(())(())((≥++++++++z y z x xy x z x y yz y z y x xz 通分整理3 ()()()()()()4 xz x z yz y z xy x y x y y z z x +++++≥ +++ 即2 2 2 2 3()()()()()()4x y z y z x z x y x y y z z x +++++≥ ++ +3 64 xyz ≥?= 只要证xyz y x z z y x z x y 6)()()(2 2 2 ≥+++++ 事实上)()()(2 2 2 y x z z y x z x y +++++ )()(2 2 2 2 2 2 zx yz xy x z z y y x +++++= xyz xyz xyz zx yz xy x z z y y x 6333332223222=+=??+??≥ 当且仅当z y x ==时取等号，此时P 是ABC ?的重心 证明3：令 ,,AS BQ CR AB BC CA αβγ===，且)1,0(,,∈γβα则1,1,1BS CQ AR AB BC CA αβγ=-=-=- 由塞瓦定理得)1)(1)(1(γβααβγ---=整理得()12αβγαββγγααβγ++-++=- B )1(γα-=??=??AC AB AR AS S S ABC ASR 、同理)1(αβ-=??=??AB BC BS BQ S S ABC BSQ 、)1(βγ-=??=??AB BC CR CQ S S ABC CQR 只要证4 3 )1()1()1(≥ -+-+-βγαβγα 事实上(1)(1)(1)()12αγβαγβαβγαββγγααβγ-+-+-=++-++=- ))1(2)1(2)1(2(411)1)(1)(1(21γγββααγβααβγ-?-?-?-=----=4 3 411=-≥ 当且仅当2 1 = ==γβα时取等号，此时S R Q ,,是中点，P 是ABC ?的重心 例3 已知ABC ?的面积为S ，三边分别为c b a ,,，求证：2)3 (43c b a S ++≤ ，且当c b a ==时等号成立. 证明1：由海伦公式，设)(2 1 c b a p ++= 223)3 (4393)3())()((c b a p p p c p b p a p p S ++==?≤ ---= 当且仅当c p b p a p -=-=-即c b a ==时取等号 证明2： 欲证2 )3 (43c b a S ++≤ 只要证S c b a 312)(2≥++ ∵)(3222)(2 222ca bc ab ca bc ab c b a c b a ++≥+++++=++故只要证S ca bc ab 34≥++ 由柯西不等式2)sin sin sin ()sin sin )(sin (B ca A bc C ab C B A ca bc ab ++≥++++S S 18)23(2 == ∴C B A S ca bc ab sin sin sin 18++≥ ++ 又233sin sin sin ≤ ++C B A ∴S S C B A S ca bc ab 342 3 318sin sin sin 18=≥++≥ ++ 从而结论得证，当且仅当c b a ==时，取等号 例4 在ABC ?中，求证：392 cot 2cot 2cot 333 ≥++C B A 证明1：设x z b CA z y a B C y x c AB +==+==+==,, 则3 333333333 )()()(2cot 2cot 2cot r z y x r z r y r x C B A ++=++=++ 又)())()((z y x xyz c p b p a p p S ++=---=、r z y x r c b a S )()(2 1 ++=++= / B / / B / ∴r z y x z y x xyz )()(++=++ ∴z y x xyz r ++= 3333333 2cot 2cot 2cot r z y x C B A ++=++xyz z y x z y x r xyz ++++=≥)(3333933363=??≥xyz xyz xyz 证明2：设x z b CA z y a BC y x c AB +==+==+==,, 则3 333333333 )()()(2cot 2cot 2cot r z y x r z r y r x C B A ++=++=++ 由幂平均不等式33333 3z y x z y x ++≤ ++得3 333)(91z y x z y x ++≥++ （1） 由例3得22)(93)3(43z y x c b a S ++=++≤ ∴)(9 3 z y x z y x S ++≤++，即)(93z y x r ++≤ ∴r z y x 33≥++代入（1）即可得到结论. 例5 设ABC ?是锐角三角形，外接圆圆心为O ，半径为R ，AO 交BOC 所在的圆 于另 一点/A ，BO 交COA 所在的圆于另一点/B ，CO 交AOB 所在的圆于另一点/ C ， 证明：3 / / / 8R OC OB OA ≥??，并指出在什么情况下等号成立？ 证明1：作过BOC 的圆直径OD 则?=∠=∠90/ DCO O DA ABC AOC BAC DOC ∠=∠∠=∠2,ABC ACB AOC DOC OD A ∠-∠=∠-∠-?=∠180/ 在COD Rt ?中，BAC OC DOC OC OD cos cos = = 在OD A Rt / ?中)cos(cos / / ABC ACB OD DOA OD O A ∠-∠?=?= OC BAC ABC ACB ?∠-∠=cos )cos(即 R BAC ABC ACB OA cos )cos(/∠-∠=记为 R A B C OA cos )cos(/-= 同理R B C A OB cos )cos(/-=、R C B A OC cos ) cos(/-= 只要证 8cos ) cos(cos )cos(cos )cos(≥-?-?-B A C A C B C B A ∵ B A B A B A B A B A B A B A B A C B A cot cot 1cot cot 1sin sin cos cos sin sin cos cos )cos()cos(cos )cos(?-?+=+-+=+--=- 令A C z C B y B A x cot cot ,cot cot ,cot cot ?=?=?= A C C B B A z y x cot cot cot cot cot cot ?+?+?=++C B C B A cot cot )cot (cot cot ?++?=C B C B C B cot cot )cot (cot )cot(?++?+-=1cot cot )cot (cot cot cot 1 cot cot =?++?+-?-=C B C B C B C B B / / / B / 而对于ABC ?是锐角三角形，0,,>z y x ∴ z y x z y x z y x z y x x x C B A +++≥++++=-+=-))((2 ) ()(11cos )cos( 同理z x y z y x A C B +++≥-))((2cos ) cos(、y x y z z x A C B +++≥-))((2 cos )cos(显然成立 证明2：如图，设BC AO ,交于D ，AC BO ,交于E ，AB CO ,交于F ， 由C O B A ,,,/ 四点共圆，得CBO BCO O BA ∠=∠=∠/∴BOD ?∽BO A / ? ∴OD BO BO O A =/ ∴OD R O A 2/= 从而OE R O B 2/=，OF R O C 2/ = 处理方式（1）∴OF OC OE OB OD OA OF OE OD R R O C O B O A ??=??=??33 /// 令321,,S S S S S S COA BOC AOB ===??? 3 ///R O C O B O A ??813 2321231≥+?+?+=S S S S S S S S S 处理方式（2）令 z OF OC y OE OB x OD OA ===,,则 111,,111OBC OAC OBA ABC ABC ABC S S S OD OE OF AD S x BE S y CF S z ??????======+++ ∴ 11 1 1111=+++++z y x （利用面积关系）（再去分母，整理得2xyz x y z =+++） ∴2323+≥+++=xyz z y x xyz 令m xyz =3，则0233 ≥--m m ，即2 (1)(2)0m m +-≥∴02≥-m ，即8≥xyz 证明3： 由C O B A ,,,/四点共圆，由托勒密定理，得)(/ //B A C A R BC O A +=? ∴R BC B A C A O A /// += 易知21∠=∠∴BC C A B A BD B A CD C A ////+== 而BD A / ?∽COD ?∴OD AO OD R OD OC BD B A ===/ ∴R OD AO O A =/ R OE BO O B =/ ，R OF CO O C =/ 令321,,S S S S S S COA BOC AOB ===???∴OF OC OE OB OD OA R O C O B O A ??=??3 ///813 2321231≥+?+?+=S S S S S S S S S 证明4： 由C O B A ,,,/ 四点共圆，由托勒密定理，得)(/ / / B A C A R BC O A +=? ∴R BC B A C A O A /// += 设γβα=∠=∠=∠BOC AOB AOC ,, 在BC A / ?中，由正弦定理，得C BA BC BC A C A CB A B A /////sin sin sin == 又γαβsin sin ,sin sin sin ,sin sin sin / ////=====C BA OC A BC A OB A CB A O ∴R R BC B A C A O A ?+=+=γβαsin sin sin /// 同理R O B ?+=α γ βsin sin sin /、R O C ?+= βγαsin sin sin / 以下略 例6 如图所示，设1C ，2C 是同心圆，2C 的半径是1C 半径的2倍，四边形4321A A A A 内接于圆1C ，将14A A 延长交圆2C 于1B ，将21A A 延长交圆2C 于2B ，将32A A 延长交圆2C 于3B ，43A A 延长交圆2C 于4B ，试证明：四边形4321B B B B 的周长大于等于四边形4321A A A A 的 周长的2倍，并请确定等号成立的条件.证明：设公共圆圆心为O ，连结211,,OB OB OA 在四边形211B B OA 中，运用推广的托勒密定理112211211B A OB B B OA B A OB ?+?≤? ∴11212122B A R B B R B A R ?+?≤?∴11212122B A B B B A +≤∴11222121222B A B A A A B B -+≥ 同理22333232222B A B A A A B B -+≥、33444343222B A B A A A B B -+≥、 44111414222B A B A A A B B -+≥∴结论得证，当且仅当211,,,B B A O 四点共圆， ∴21211241B OA B OB B OB A OA ∠=∠=∠=∠， ∴1OA 是214A A A ∠的角平分线， ∴O 到214A A A ∠的两边的距离相等 ∴1214A A A A = 同理四边形4321A A A A 的各边相等，进而四边形4321A A A A 是正方形时，等号成立. 1. 如图，在ABC ?中，,AB AC AM >为中线，P 为AMC ?内一点，证明：PB PC > 证明：在AMC ?与AMB ?中，有两组对边对应相等，且AB AC >， 所以AMB AMC ∠>∠，于是90AMC ∠ 过P 作PH BC ⊥于H ，则垂足H 必在MC 的内部或延长线上，从而BH CH >， 因此PB PC >（斜线长与射影长的关系） 2. 如图，20MON ∠=?，A 为OM 上一点，OA =，B 是ON 上一点，D 为上一点， OD =C 为AM 上任意一点，则12AB BC CD ++≥ 分析：以OM 为对称轴，作D 点关于OM 的对称点/ D ，以ON 为对称轴，作A 点 关于ON 的对称点/A ，连结/OA 、/ OD ，则//60A OD ∠=?，连结/ BA 、 / CD 、/ /A D ，则有/ /AB BC CD BA BC CD ++=++ 因为//OA OD ==/A 、/ D 为 定点，而连结 / A 、 / D 以线段最短，∴ //12AB BC CD A D ++≥==．说明：本题把“折线化直”，然后利用两点间线段距离最短来证明，这种“化直法”在解决几何不等式问题中是常用的． 3.设BC 是ABC ?的最长边，在此三角形内部任意选一点O ，OA 、OB 、OC 1C 1C ， 证明：（1）111OA OB OC BC ++<；（2）111111max{,,}OA OB OC AA BB CC ++≤ 分析：我们先证明一个简单但非常有用的引理： 设点M 是PQR ?的边QR 上的一点，则max{,}PM PQ PR <． 事实上，过P 作PH QR ⊥，则利用斜线长和射影长的关系很容易说明便知引理成立． （1）过O 分别作//,//OX AB OY AC ，分别交BC 于X 、Y 点，再过X 、Y 分别作11//,//XS CC YT BB 分别交AB 、AC 于S 、T ，如图易知，OXY ?∽ABC ?，故XY 是OXY ?的最大边， 由引理知，1max{,}OA OX OY XY <≤； 又因为BXS ?∽1BCC ?，YCT ?∽1BCB ?， 所以1BX XS OC >=（1max{,}CC CA BC BC <=），1C Y Y T O B >= 所以111BC XY BX YC OA OB OC =++>++ （2）令 z CC OC y AB OB x AA OA ===11 1111,,，那么1=++=++??????ABC OAB ABC OCA ABC OBC S S S S S S z y x ． 所以111111OA OB OC xAA yBB zCC ++=++111111()max{,,}max{,,}x y z AA BB CC AA BB CC ≤++= 说明：其实，由（2）和引理知（1）成立，所以我们也可以先证明（2），然后推得（1）． 4. 设凸四边形ABCD 的面积为1，证：在它的边上（包括顶点）或内部可以找出四个点，使得以其中任意三个点为顶点的三角形的面积均不小于 41 析：如果ABCD 是平行四边形，那么4 1= ===????ABD ADC BCD ABC S S S S ， 因此A B C D 、、、即为所求的点；如果ABCD 不是平行四边形，不妨设AD 与BC 不平行， 且DAB CBA π∠+∠<，AD 与BC 交于E ，D 到AB 的距离不超过C 到AB 的距离，过D 作//DF AB ，交BC 于F ， 分两种情况讨论：（1）DF 不超过AB 的一半，此时可在边AD ，BC 上分别取P ，Q ，使得PQ 与AB 平行， PQ 等于AB 的一半，则有111 444 APQ BPQ ABE ABCD S S S S ????== >=,、11122222 ABQ ABP APQ BPQ ABE ABCD S S S S S S ??????==== >= 即A B P Q 、、、即为所求的四个点. （2）若DF 大于AB 的一半，则在线段DC 与FC 上分别取P ，Q ，同样使//PQ AB ，且1 2 PQ AB = ，延长AP 交AE 于/E ，则PQ 是/ABE ?的中位线再过A 作BC 的平行线l ，它与CD 的延长线的交点为G ，则 /AGP PDA PCE S S S ???=>,故有//ABCP PDA ABCP ABCD E AB PCE S S S S S S ?????=+>+=， 于是同样可以证明A B P Q 、、、即为所求的四个点.说明：在遇到比 较复杂的情形时，要注意从简单情形起步，合理规划，通过分类讨论，适时化归，使问题得以圆满解决.到ABC ?三个顶点距离之和为最小的点，通常称为费尔马点.当ABC ?各角均小于120?时，与三边的张角均为120?的点即为费尔马点；当有一个角大于120?时，这角项点就是费尔马点. 下面这个命题是与费尔马问题“反向”的问题. 5. 在ABC ?的内部或边界上找一点P ，使得它到三个顶点距离之和为最大. 分析：若点P 在ABC ?内，作一个以B 、C 为焦点，过P 点的椭圆， 设椭圆与AB 、AC 交于1P 、2P 点，连结AP 并延长与12P P 交于/ P 点，如图，那么 /12max{,}P A P A P A < 不妨设/ 1P A P A <则11111()P A P B P C PA P B P C PA PB PC ++>++=++ 所以点P 必定在边界上.下证P 只能是ABC ?的顶点， 不妨设点P 在线段BC 的内部，因max{,}PA AB AC <，设PA AB <，那么 PA PB PC PA BC AB BC ++=+<+综上所述，所求的点必为ABC ?的顶点，易知它是最短边所对的顶点. 说明：本题所用的方法是“局部调整”法，这是一种重要的思想方法. 6．凸六边形ABCDEF 的每边长至多为1.证明：对角线AD 、BE 、CF 中至少有一条不超过2. 分析：连结AC 、CE 、EA ，在AEC ?中，不妨设边CE 最大，即,CE AC CE AE ≥≥， 如图，对A 、C 、D 、E 四点用托勒密定理，有AE CD ED AC CE AD ?+?≤? 所以21111=?+?≤?+?≤ CE AE CD DE CE AC AD ，从而命题得证. 在证明与面积和周长有关的不等式时，下面的几个结论是很有用的，它们就是著名的等周问题.命题1 在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大；命题2 在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小；命题3 在给定边长为 12,,,n a a a 的所有n 边形中，能够内接于圆的n 边形具有最大的面积命题4 在周长一定的n 边形的集合中， 正n 边形的面积最大；命题5 在面积一定的n 边形的集合中，正n 边形的周长最小 运用等周定理可以解决很多与几何不等式有关的问题，看下面一例： 7．曲线L 将正ABC ?分成两个等积的部分，那么它的长4 3 2a l π≥ ，其中a 是正ABC ?的边长.分析： 以A 为圆心，R 为半径作圆弧/L 将ABC ?的面积等分，那么有 22 432161a R ?=π，所以π 2274=R ，/L 的周长/126l R π=?=，现在证明/l l ≥. 将ABC ?连续翻转5次，由曲线L 形成了一条闭曲线，如图所示，由/ L 形成了一个圆，而两者所围成的面积相 等.根据命题2，知/ 66l l ≥，即/ l l ≥= . 基本不等式及其应用 1．基本不等式 若a>0,，b>0，则 a ＋ b 2 ≥ab ，当且仅当 时取“＝”． 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点： (1)各项或各因式均正；（一正） (2)和或积为定值；（二定） (3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等） 2．常用不等式 (1)a 2＋b 2≥ab 2(a ，b ∈R )． 2 a b +()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和 2 b a +≥a b 它们成立的条件不同，前者只要求a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（2 b a +）2 . (3)ab≤ 2 2 ? ? ? ? ?+b a (a，b∈R)． (4) b a ＋ a b ≥2(a，b同号且不为0)． (5) 2 2 ? ? ? ? ?+b a ≤ a2＋b2 2 (a，b∈R). （6） b a ab b a b a 1 1 2 2 2 2 2 + ≥ ≥ + ≥ +()0 ,> b a (7)abc≤ a3＋b3＋c3 3 ;() ,,0 a b c> (8) a＋b＋c 3 ≥ 3 abc；() ,,0 a b c> 3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)求最小值：a>0，b>0，当ab为定值时，a＋b，a2＋b2有，即a ＋b≥，a2＋b2≥. (2)求最大值：a＞0，b＞0，当a＋b为定值时，ab有最大值，即；或a2＋b2为定值时，ab有最大值(a＞0，b＞0)，即. 设a，b∈R，且a＋b＝3，则2a ＋2b的最小值是( ) 解：因为2a＞0，2b＞0，由基本不等式得2a＋2b≥22a·2b＝22a＋b＝42， 当且仅当a＝b＝3 2 时取等号，故选B. 若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0， 则ab的最大值为( ) 解：∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥22ab，即ab≤1 2 .当且仅当a ＝1，b＝1 2 时等号成立.故选A. 初中数学竞赛专题：几何不等式与极值问题 17.1.1★ 一个凸行边形的内角中,恰好有4个钝角,求n 的最大值． 解析 考虑这个凸行边形的n 个外角,有4n -个角90?≥,故有()490360n -??,P 为BC 边的高AD 上的一点,求证：AB AC PB PC -<-. P C D B A 解析 易知AB AC PB PC +>+, 又2222AB AC BD CD -=- 22PB PC =-, 故有AB AC PB PC -<-． 评注 读者不妨考虑AD 是角平分线与中线的情况． 17.1.3 已知四边形ABCD ,AC 、BD 交于O ,ADO △和BCO △的面积分别为3、12,求四边形ABCD 面积的最小值． C B O D A 解析 易知 ABO BCO ADO DCO S S BO S DO S == △△△△,故36ABO CDO ADO BCO S S S S ?=?=△△△△. 从而12ABO CDO S S +△△≥, 且当ABO CDO S S =△△（此时四边形ABCD 为一梯形）时等号成立,所以此时四边形ABCD 面积达到最小值27. 17.1.4★ 已知：直角三角形ABC 中,斜边BC 上的高6h =． （1）求证：BC h AB AC +>+； （2）求()()2 2BC h AB AC ++-. 解析 () ()2 2 BC h AB AC +-+ 222222BC h BC h AB AC AB AC =++?---?, 由条件,知242ABC BC h S AB AC ?==?△,且222AB AC BC +=, 于是()()2 2 236BC h AB AC h +-+==. 注意：这同时解决了（1）和（2）. 17.1.5★ 设矩形ABCD ,10BC =,7CD =,动点F 、E 分别在BC 、CD 上,且4BF ED +=,求AFE △面 积的最小值． B F C E D A 解析设 BF x =,()4DE y x ==-,则()()()1 1 7101077022ABF ADE ECF S S S x y x y xy ++=++--=+????△△△。 由()2 144 xy x y +=≤。故 ()1 70704332 AEF S -?+=△≥. 当2BF ED ==时达到最小值． 17.1.6★ 设P 是定角A ∠内一定点,过P 作动直线交两边于M 、N ,求证：AMN △面积最小时,P 为MN 的中点． 解析 如图,连结AP ,设MAP α∠=,NAP β∠=,θαβ=+,由 AMP ANP MAN S S S +=△△△,得 sin sin sin AM AP AN AP AM AN αβθ??+??=?。 又 左式2AP ≥, 证明不等式的几种方法 淮安市吴承恩中学 严永飞 223200 摘要：不等式证明是中学数学的重要内容,证明方法多种多样.通常所用的公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,对于较难的问题则束手无策.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法,使解题容易,新颖独特. 关键词：不等式，公式法，构建模型法 前言 证明不等式是中学数学的重要内容之一,内容抽象，难懂，证明方法更是变化多端.通常所用的一些方法如公式法、放缩法只能解决一些较简单的问题,较难的问题则无法解决.本文给出了几种特殊方法.如倒数变换法、构建模型法、逆用等比数列求和公式等方法. 这里所举的几种证明不等式的特殊方法看似巧妙,但如果认真思考,广泛联系,学以致用,一定能使问题得到很好的解决. 1 运用倒数变换证明不等式 这里所说倒数变换是根据具体的题目要求把不等式的部分进行倒数变换，通过化简后使不等式变得简单，更好更快的解决证明问题. 例1 设+∈R z y x ,,,且xyz =1 求证：)(13z y x ++)(13z x y ++)(13y x z +≥2 3 分析 如果先通分再去分母，则不等式将变得很复杂. 令A x =-1,B y =-1 ,C z =-1 ,则+∈R C B A ,,且1=ABC . 欲证不等式可化为 C B A +2+A C B +2+B A C +2≥23（*） 事实上,a 2+22b λ≥ab λ2 (+∈R b a ,,λ), 而当b >0时, a 2/b ≥b a 22λλ-. （*）式左边≥A λ2-2λ(C B +)+ B λ2-2λ(C A +)+C λ2-2λ(A B +) = λ2(λ-1)(C B A ++) ≥λ6(λ-1)3ABC = λ6(λ-1). 令λ=21时,C B A +2+A C B +2+ B A C +2 ≥6×21×(1-21)=23 得证. (这里用到二元平均不等式的变形和三元平均不等式.) 例 2 已知z y x ,,>0,n 为大于1的正整数，且n n x x +1+n n y y +1+n n z z +1=1 求证：n x x +1+n y y +1+n z z +1≤n n 12- 基本不等式(导学案) ab，3.4 ab,2 1、学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等 号“?”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等 a，b2、理解利用基本不等式ab 证明不等式的方法 ,2 ab，3、进一步掌握基本不等式；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决ab,2 一些简单的实际问题 ab，应用数形结合的思想理解不等式并从不同角度探索不等式的证明过程；ab,2 理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵 1、回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2、如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案 中找出一些相等关系或不等关系吗？ 1、重要不等式： 22如果a,b,R,那么a，b,2ab(当且仅当a,b时取","号) 1 a，b2、基本不等式：如果a,b是正数，那么 ,ab(当且仅当a,b时取","号).2 a，b3、我们称ab为a,b的算术平均数，称的几何平均数为a,b2 a，b224、a，b,2ab和,ab成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，2 而后者要求a,b都是正数。 1、已知x、y都是正数，求证： 223333yx(1)?2； (2)（＋）（＋）（＋）?８. xyxyxyxy，xy 92、求(x>5)的最小值. fxx()4,，x,5 283、若x>0,y>0,且,求xy的最小值. ，,1xy 11，4、设a、b?R且a＋b＝1,求＋的最小值 1,a1,b 1、两正数a、b的算术平均数与几何平均数成立的条件。?理解“当且仅当a=b 时取等 号”的数学内涵。 2、当两个正数之积为定值时，其和有最小值 当两个正数之和为定值时，其积有最大值 3、利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正二定三相等. 4、用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 2 专题7.3 基本不等式及其应用 学习目标 1.了解基本不等式的证明过程； 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 知识点一 基本不等式ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 知识点二 几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)； (3)ab ≤????a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)????a ＋b 22≤a 2＋b 2 2(a ，b ∈R)； (5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)． 知识点三 算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 知识点四 利用基本不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)． (2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 2 4(简记：和定积最大)． 【特别提醒】 1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立. 2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一 利用基本不等式求最值 【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5 的最大值为_______ 【答案】1 【解析】因为x ＜54 ，所以5－4x ＞0， 则f (x )＝4x －2＋ 14x －5＝－????5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号． 故f (x )＝4x －2＋ 14x －5 的最大值为1. 【方法技巧】 1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点 拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键． 2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤 (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)； (2)把确定的定值(常数)变形为1； (3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式； (4)利用基本不等式求解最值． 【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________． 【答案】6 【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ， 因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ， 所以3xy ≤????x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0， 得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6. 【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略 当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值． 考点二 利用基本不等式解决实际问题 【典例2】 【2019年高考北京卷理数】李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果 ·竞赛专题 几何不等式 深圳中学 周峻民 一、知识与方法 几何不等式，顾名思义是研究几何图形中有关元素的数量不等关系，较多的涉及到三角形或多边形的边长、面积等方面的不等式．处理方法一般分为纯几何方法和转化为代数方法、三角方法加以解决，可寻找解题规律，但没有固定的解题模式，要善于抓住主要矛盾解决问题。其知识往往涉及到平面几何的重要定理、公式，代数（三角）的基本等式和不等式以及相关知识。 1．将几何问题转为代数问题 （1）利用三角形三边关系化为代数式：若三角形三边长为,,a b c ，则b c a +>， c a b +>，a b c +>，由此，可设2y z a += ，2z x b +=，2 x y c +=，即x a b c =-++ 0>，0y a b c =-+>，0z a b c =+->，将含有边长,,a b c 的不等式（三角形几个重要 元素，如，外接圆半径R 、内切圆半径r 、面积、中线、高线、角平分线等）化为含有正数 ,,x y z 的代数不等式. （2）利用正弦定理：2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===将含有边长,,a b c 的不等式化为三角函数不等式.在化为三角函数不等式时应注意以下等式的应用： 2 2 2 cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=； 222222444 2(sin sin sin sin sin sin )sin sin sin B C C A A B A B C ++--- 2 2 2 64sin sin sin A B C =； tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； cot cot cot cot cot cot 1B C C A A B ++= 等等。 2．几何方法 利用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式： 基本不等式 2a b +≤ 授课人:祁玉瑞 授课类型：新授课 一、知识与技能： 使学生了解基本不等式的代数、几何背景，学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；学会应用基本不等式解决简单的数学问题。 过程与方法： 通过探索基本不等式的过程，让学生体会研究数学问题的基本思想方法，学会学习，学会探究。 情感态度与价值观： 在探索过程中，鼓励学生大胆尝试，大胆猜想，并能对猜想进行证明，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。同时通过本节内容的学习，让学生体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣。 二、重点及难点 重点：应用数形结合的思想理解不等式，2 a b +≤的证明过程。 难点：2a b +≤等号成立条件。 三、教学过程 1.课题导入 2a b +≤的几何背景： 如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 2.讲授新课 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b 那么正方形的边长为22a b +。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的 面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时 有222a b ab +=。 2．得到结论：一般的，如果)""(2R,,22号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 222)(2b a ab b a -=-+ 当 22,()0,,()0,a b a b a b a b ≠->=-=时当时 所以，0)(2≥-b a ，即 .2)(22ab b a ≥+ 4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式2a b ab +≤ 特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得2a b ab +≥， 通常我们把上式写作：(a>0,b>0)2a b ab +≤ 22a b ab +≤ 用分析法证明： 32a b ab +≤的几何意义 探究：课本第98页的“探究” 在右图中，AB 是圆的直径，点C 是AB 上的一点，AC=a,BC=b 。过 点C 作垂直于AB 的弦DE ，连接AD 、BD 。你能利用这个图形得出基本 2a b ab +≤的几何解释吗？ 几个重要不等式及其应用 一、几个重要不等式 以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。 1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式 设12,,,n a a a L 是非负实数，则12n a a a n +++≥L 2、柯西（Cauchy ）不等式 设,(1,2,)i i a b R i n ∈=L ，则2 22111.n n n i i i i i i i a b a b ===?????? ≥ ??? ??????? ∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使 ,1,2,,.i i b a i n λ==L 变形（Ⅰ）：设+ ∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===??? ??≥n i i n i i n i i i b a b a 1 2 112；等号成立当且仅当存在R λ∈， 使,1,2,,.i i b a i n λ==L 变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===??? ??≥n i i i n i i n i i i b a a b a 1 2 11。等号成立当且仅当n b b b ===Λ21 3．排序不等式 设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121?≤?≤≤≤?≤≤是n ,,2,1?的一个排列，则 n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ΛΛΛ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当 n a a a ===Λ21或n b b b ===Λ21。（用调整法证明）. 4．琴生（Jensen ）不等式 若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈Λ* ()n N ∈有 ()()()12121 ( ).n n x x x f f x f x f x n n +++≤+++??? ?L L 等号当且仅当n x x x ===Λ21时取得。（用归纳法证明） 二、进一步的结论 运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到 的效果。 1. 幂均值不等式 设0>>βα，),,2,1(n i R a i Λ=∈+ ，则 中国计量学院 吴跃生 几何问题中出现的不等式称为几何不等式．证明几何不等式的方法大致可分为三种方法：几何方法、代数方法和三角方法． 记号约定：在ABC V 中，,,a b c 表示三边长；,,A B C 表示对应角；s 表示半周长；,,a a a h t m 分别表示a 边上的高、内角平分线长、中线长；R 和r 分别表示ABC V 的外接圆半径和内接圆半径；S 表示ABC V 的面积．设P 是ABC V 内任意一点，记123,,PA R PB R PC R ===；点P 到三边,,BC CA AB 的距离分别记为123,,r r r ；记,,BPC CPA ABC αβγ∠=∠=∠=；,,BPC CPA ABC ∠∠∠的内角平分线长分别记为123,,w w w ． 一、距离不等式与化直法 仅仅涉及线段长度的几何不等式称为距离不等式． 1． 设,,a b c 是ABC V 的边长，求证： 2a b c b c c a a b ++<+++． ２． 已知：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证： PA PB PC a b ++<+． （冷岗松） 加强：在ABC V 中，c 是最小边，P 是ABC V 内任意一点，求证：存在(01)p p λλ<<，使得 (1)[min(,)]p PA PB PC a b a b c λ++<+---． （鱼儿） 3． 设a 是ABC V 的最大边，O 是ABC V 内任意一点，设直线AO BO CO 、、与ABC V 的三边分别交于点P Q R 、、，证明： OP OQ OR a ++<． 二、托勒密(Ptolemy)定理及其应用 托勒密定理：在凸四边形ABCD 中，有 AB CD AD BC AC BD ?+?≥?， 当且仅当四边形ABCD 是圆内接四边形时等号成立． 下面各例中的不等式的等号成立的条件，请读者自行判明，不再赘述． 1． 242b c m m a bc ≤+(1993年，陈计) 对偶式：22242449b c m m a b c bc ≥--+．(1992年，陈计) 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 普安县第五届中小学优质课评选授课教案 【课题】3．4 基本不等式（1） 【执教人】吴应艳 【上课时间】2013、12、 【教学方法】探究学习、学案导学 【教学手段】投影仪、彩笔 【课型】新授课 【总课时数】1课时 【教学内容分析】 本节课是必修5第3章第4节的内容，内容安排在实数的性质与不等式性质之后，所以对于不等式的证明不存在太大难度。本节课内容的应用又十分广泛，因此引导学生学习好本节内容显得十分重要。 【学生学习情况分析】 授课的班级学生程度不太高，基础差不多，学习的知识结构较为合理。因此设计时也注重对探究能力的培养，同时也注意对基本不等式的应用教学。【教学目标】 知识目标：1、使学生了解基本不等式及其证明；2、让学生感知与基本不等式相近的一些不等式的证明与几何背景。 能力目标：1、通过对基本不等式的探究，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；2、让学生初步了解用分析法证明不等式，培养学生分析问题能力与逻辑思维能力 情感目标：通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好的探究学习习惯及勇于探索精神及灌输问题教学法。 【教学重点与难点】 重点：应用数形结合的思想理解基本不等式并从不同角度探索不等式的证明 过程，并能说明基本不等式的意义 难点：利用基本不等式推导一些与其相似的不等式 一、教学过程 (一)情景设置 【探究】右图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 现将图中的“风车”抽象成下图， 这个会标中含有怎样的几何图形？你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ 问题1:我们把“风车”造型抽象成图一.在正方形ABCD 中有4个全等的直角三角形.如果设直角三角形的两直角边长为ａ、ｂ，你能用ａ、ｂ表示哪些图形的面积，这些面积有什么关系？那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？4个直角三角形的面积和是多少呢？（由学生回答，培养学生独立思考问题的能力） （22 a b +，22a b +、2ab ） 问题2：比较大正方形的面积与4个直角三角形的面积，你能找到怎样的不 等关系？ （根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可容易得到一个不等 式， >(a ≠b)） 图一 2 2 b a +a b 2 2 第二节基本不等式及其应用 考纲解读 a + b I — 了解基本不等式 ab （a ，b ?R ）的证明过程. 2 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 利用基本不等式证明不等式 . 命题趋势探究 基本不等式是不等式中的重要内容，也是历年高考重点考查的知识点之一，其应用范围涉及高中数学的很多 章节，且常考常新，但考查内容却无外乎大小判断、求最值和求最值范围等问题 预测2019年本专题在高考中主要考查基本不等式求最值、大小判断 ，求取值范围问题? 本专题知识的考查综合性较强 ，解答题一般为较难题目，每年分值为5 8分. 知识点精讲 1.几个重要的不等式 （1）a 2 启 0（a € R ）,需 兰 0（a 兰 0）, a 3 0（a w R ）. ④重要不等式串：-ab < 1 1 2 -+- 厶 a b 调和平均值 乞几何平均值 乞算数平均值 乞平方平均值（注意等号成立的条件）. 2?均值定理 已知 x ，y ?二 R X + V c s 2 （1）如果X y = S （定值），则xy 乞（ ）2 （当且仅当“ x = y ”时取“ 2 4 大值”. （2）如果xy = p （定值）,则x ■ y _ 2、, xy 二2 p （当且仅当“ x = y ”时取“ =”）?即积为定值，和有最小值”. 题型归纳及思路提示 题型91 基本不等式及其应用 思路提示 熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证 . a 2 + b 2 1. 2 . （2）基本不等式：如果 a b a,b R ,则 2 ..ab （当且仅当“ a =b ”时取 ”）. 1 特例：a 0，a 2; a （3）其他变形： a b 「 （a, b 同号）. b a 2 2 （a +b ） 2 ①a b （沟通两和a b 与两平方和 2 2 （沟通两积ab 与两平方和a 2 b 2的不等关系式） ②ab 4 2 2 a - b 的不等关系式） 2 a + b ③ab 乞（ ）2 （沟通两积ab 与两和a b 的不等关系式） 2 2 （a ，b R ）即 a 2 b ”）.即“和为定值，积有最 几何不等式测试题 1．在△ABC中，M为BC边的中点，∠B=2∠C，∠C的平分线交AM于D。 证明：∠MDC≤45°。 2．设NS是圆O的直径，弦AB⊥NS于M，P为弧上异与N的任一点，PS交AB于R，PM的延长线交圆O于Q，求证：RS＞MQ。 3．在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的平分线交外接圆于P、Q、R。 证明：AP+BQ+CR＞BC+CA+AB。 4．过△ABC内一点O引三边的平行线，DE∥BC,FG∥CA,HI∥AB,点D、E、F、G、I都在△ABC的边上，表示六边形DGHEFI的面积，表示△ABC的面积。 求证：。 5．求证：△ABC的内心I到各顶点的距离之和不小于重心G到各边距离之和的2倍。 6．凸四边形ABCD具有性质：（1）AB=AD+BC，（2）在其内部有点P，P点到CD的距离 为h，并使AP=h+AD,BP=h+BC，求证：。 7．设H为锐角△ABC的垂心，A1，B1，C1，分别为AH，BH，CH与△ABC外接圆的交点。 求证：。其中等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。 8．一凸四边形内接于半径为1的圆。证明：四边形周长与其对角线之和的差值u,满足0 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 回归课本专题五 不等式、立体几何 第 1 页 回归课本专题五：不等式、立体几何 一、不等式： 1．不等式的基本概念和性质 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- 例1．（1）设a ∈R 且a ≠-2,比较a +22 与2-a 的大小． （2）若不等式|x-1|+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<-><-，则p 是q 的_________. （2）已知1230a a a >>>，则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是 ____. 4.不等式证明的几种常用方法 比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 常用不等式的放缩法：① 21111111(2)1 (1)(1)1 n n n n n n n n n n - ==-≥+ +-- 1) n = =≥ 5.不等式的应用 例5：已知)(x f 对一切实数y x ,都有()()()f x y f x f y +=+，且当x ＞0时，)(x f ＜0 （1）证明)(x f 为奇函数且是R 上的减函数；（2）若关于x 的不等式 22[cos ()][sin ()]()66f x f x f m ππ+-+<对一切0,2x π?? ∈???? 恒成立，求m 的取值范围. 6.练习： 1、不等式x x x <-2 4解集是___________. 2．函数)34(log 1 )(22-+-= x x x f 的定义域为_____________. 3．设命题甲为:???<<<+<3042xy y x ;命题乙为:???<<<<3 21 0y x ;则甲是乙的___________条件. 4．若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得 x x f 的0)(<的取值范围是_____________. 5．设a 、b 、c 是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立．．．．的是__________. （1）||||||c b c a b a -+-≤- （2）a a a a 1 12 2+ ≥+ （3）21 ||≥-+ -b a b a （4）a a a a -+≤+-+213 6、若不等式|x -1|，则x 1与x 2的关系为____________. 10、若a,b,c ＞0且a(a+b+c)+bc =4-23,则2a+b+c 的最小值为 . 基本不等式2 b a a b +≤ （一） 学习目标：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并 掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件. 学习重点：基本不等式的证明，正确运用基本不等式. 你看到市场买鸡蛋，商贩用不等臂天平秤称量，先把鸡蛋放在左盘，砝码放 在右盘，砝码质量为x ，然后把鸡蛋放在右盘，砝码放在左盘，此时，砝码质量为y ，最后商贩告诉你，鸡蛋质量为 2 y x +，并让你付钱，请问你觉得公平吗？ 学习任务：阅读课本第97页至第100页，完成下列问题: 1.对于基本不等式2 b a a b +≤ ，你用能什么方法证明？ 2.比较不等式ab b a 22 2≥+与2 b a ab +≤ ，它们有什么关系？有什么区别？它们适用范围和等号成立的条件各是什么？ 3.基本不等式2 b a a b +≤ 有何结构特点？利用这个结构可以解决什么问题？应用时应注意什么？ 4.精读课本P 97例1，思考：0,0>>y x （1）如果y x ?是定值P ，和y x +有最值吗？若有，是多少？何时取得最值？ （2）如果y x +是定值S ，积y x ?有最值吗？若有，是多少？何时取得最值？ 5.动手做例2. 6.证明：0,0>>y x （1） 2≥+x y y x （2）21 ≥+x x （3）（y x +）（2 2 y x +）（3 3 y x +）≥83 3y x 必做题： P 100练习2、3、4基本不等式2 b a a b +≤ （二） 芅蚀芃螆蒇罿袃 学习目标：会应用基本不等式求某些函数的最值,能够解决一些简单的实际问 题. 膀膁羃芆莀螂袄 学习重点：会恰当地运用基本不等式求数学问题中的最值. 学习任务： 1．（1）若0>x ，求x x x f 312 )(+= 的最小值. （2）若0基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案)
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