高数导数例题及详解

高数导数例题及详解

高数导数的定义及例题

高数导数是指在一定的范围内，某函数变化率最大的量，它可以用来描述函数及其极值点的变化特征，也可以用来求解函数的最大值及最小值等问题。

下面就以一道关于高数导数的最值问题为例：

求 x^2+2x+1 的导数。

解：首先，我们求导：

d/dx (x^2+2x+1) = 2x + 2

根据定义可知，x^2+2x+1 的导数为 2x + 2，此外，由于导数的正负性决定了一个函数的最大值和最小值，当此函数的导数为正时，说明此函数的变化率不断增加，函数的最大值出现在无穷大处；当此函数的导数为负时，说明此函数的变化率不断减小，函数的最小值出现在无穷小处。因此，由方程式 d/dx (x^2+2x+1) = 2x + 2 得出，函数 x^2+2x+1 的最大值出现在无穷大处，最小值出现在无穷小处，这就是此函数关于高数导数的最值求解问题。

总而言之，高数导数通过导数的正负性可以判为函数的最大值及最小值出现的范围，同时也可以用来描述函数的变化率情况，让我们更加了解函数的变化特征及其极值点。

专升本高数真题及答案解析

专升本高数真题及答案解析 高等数学是专升本考试的一门重要科目，对于许多考生来说，高等数学的难度是一个挑战。在备考过程中，了解历年的真题以及对应的答案解析是非常重要的。本文将为大家介绍一些专升本高数真题以及详细的答案解析，希望对大家的备考有所帮助。 第一题：求函数y = x^2 - 3x + 2的极值。 解析：要求函数的极值，首先需要求出函数的导数。对于给定的函数y = x^2 - 3x + 2，可以分别对x^2、-3x和2求导。 导函数为y' = 2x - 3。要求函数的极值，即要求导函数等于0，得到2x - 3 = 0，解得x = 3/2。 然后，我们继续计算导函数的二阶导数，即y'' = 2。因为y''大于零，所以我们可以确定在x = 3/2处，函数y = x^2 - 3x + 2取得最小值。 将x = 3/2代入原函数中，得到y = (3/2)^2 - 3(3/2) + 2 = -1/4。所以函数y = x^2 - 3x + 2的极小值为-1/4。 第二题：已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2，求f(x)的单调增区间。 解析：要求函数的单调增区间，首先需要求出函数的导数。对于给定的函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2，可以分别对x^3、-6x^2、9x和-2求导。

导函数为f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。要求函数的单调增区间，即要求导函数大于0。我们可以利用一元二次方程的求解方法，将导函数等于0求出x的值。 化简方程3x^2 - 12x + 9 = 0，得到x^2 - 4x + 3 = 0。将方程因式分解为(x - 1)(x - 3) = 0，解得x = 1或x = 3。 我们可以得到一个区间(-∞, 1)和(3, +∞)。然后，我们可以选取这两个区间各一个点，代入导函数，来判断相应区间内函数的单调性。 当x取小于1的数时，如x = 0，代入导函数得到f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9，大于0，说明这个区间内函数单调增。 当x取大于3的数时，如x = 4，代入导函数得到f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 9，大于0，说明这个区间内函数单调增。 综上所述，函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的单调增区间为(-∞, 1)和(3, +∞)。 通过以上两道题目的解析，我们可以发现专升本高数真题中，涉及到求极值和单调性的问题较为常见。这些题目要求考生掌握函数的导数和二阶导数公式，以及一元二次方程的求解方法。因此，在备考过程中，重点复习这些内容是非常重要的。 除此之外，还有一些其他经典的高数题目，如曲线的切线和法线、函数的极限、函数的逼近等等。要在考试中取得较好的成绩，考生需要对这些题目进行充分的练习和理解，并学会将理论知识应用到具体问题的解决过程中。 总之，对于备考非常重要。熟悉真题并掌握解题方法，可以帮助

高等数学第二章导数试题及答案

第二章 导数 一．导数与微分概念 1．导数的定义 如果极限()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在， 称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?， 则()()() 000 lim x x x f x f x f x x --='→ h x f h x f x f h )()(lim )(000 0-+='→或h x f h x f x f h ---='→) ()(lim )(0000 我们也引进单侧导数概念。 右导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()0001 x x x f x f y -'- =-()()00≠'x f 3．函数的可导性与连续性之间的关系 如果函数()x f y =在点0x 处可导，则()x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数()x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。 例如，()x x f y ==，在00=x 处连续，却不可导。 4．微分的定义 设函数()x f y =在点0x 处有增量x ?时，如果函数的增量 ()()00x f x x f y -?+=?有下面的表达式 ()()x x x A y ?+?=?00()0→?x 其中()0x A 为与x ?无关，()x ?0是0→?x 时比x ?高阶的无穷小。 则称()x f 在0x 处可微，并把y ?中的主要线性部分()x x A ?0称为()x f 在0x 处的微分，记以0x x dy =或() x x x df = 我们定义自变量的微分dx 就是x ?。 5．微分的几何意义 ()()00x f x x f y -?+=?是曲线()x f y =在点 0x 处相应于自变量增量x ?的纵坐标()0x f 的增量， 微分0 x x dy =是曲线()x f y =在点()() 000,x f x M 处切线的纵坐标相应的增量（见图）。

《高等数学一》第四章-微分中值定理和导数的应用-课后习题汇总(含答案解析)

第四章微分中值定理和导数的应用[单选题] 1、 曲线的渐近线为（）。 A、仅有铅直渐近线 B、仅有水平渐近线 C、既有水平渐近线又有铅直渐近线 D、无渐近线 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 B 【您的答案】您未答题 【答案解析】 本题考察渐近线计算. 因为，所以y存在水平渐近线，且无铅直渐近线。 [单选题] 2、 在区间[0，2]上使罗尔定理成立有中值为ξ为（） A、4 B、2 C、3 D、1 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ，罗尔定理是满足等式f′（ξ）=0，从而2ξ-2=0，ξ=1. [单选题] 3、 ，则待定型的类型是（）. A、 B、 C、 D、

【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于当x趋于1时，lnx趋于0，ln(1-x)趋于无穷，所以是型. [单选题] 4、 下列极限不能使用洛必达法则的是（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 由于当x趋于无穷时，cosx的极限不存在，所以不能用洛必达法则. [单选题] 5、 在区间[1，e]上使拉格朗日定理成立的中值为ξ=（）. A、1 B、2 C、e D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】本题考察中值定理的应用。

[单选题] 6、 如果在内，且在连续，则在上（）. A、 B、 C、 D、 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 C 【您的答案】您未答题 【答案解析】 在内，说明为单调递增函数，由于在连续，所以在 上f(a)＜f(x)＜f(b). [单选题] 7、 的单调增加区间是（）. A、（0，+∞） B、（-1，+∞） C、（-∞，+∞） D、（1，+∞） 【从题库收藏夹删除】 【正确答案】 D 【您的答案】您未答题 【答案解析】 ,若求单调增加区间就是求的区间，也就是2x-2>0，从而x>1. [单选题] 8、 （）.

高数-导数的概念、定义及求法

导数的概念 在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：设一质点沿x 轴运动时，其位置x是时间t的函数， ，求质点在t 0的瞬时速度？我们知道时间从t 有增量△t时，质点的位置有增量 ，这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： .若质点是匀速运动的则这就是在t0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在 t 0时的瞬时速度。我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t 时的瞬时速度，即：质点在t 时的瞬时速度= 为此就产生了导数的定义，如下：导数的定义：设函数 在点x 0的某一邻域内有定义，当自变量x在x 处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地函 数有增量 ，若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为 在x 处的导数。记为： 还可记为： ， 函数

处存在导数简称函数 在点x 在点x 处可导，否则不可导。若函数 在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数 在区间(a,b)内可导。这时函数 对于区间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数 的导函数。 注：导数也就是差商的极限 左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限 存在，我们就称它为函数 处的左导数。若极限 在x=x 存在，我们就称它为函数 在x=x 处的右导数。 注：函数 在x 处的左右导数存在且相等是函数

在x 处的可导的充分必要条件 函数的和、差求导法则 函数的和差求导法则 法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为： 。其中u、v为可导函数。 例题：已知 ，求 解答： 例题：已知 ，求 解答： 函数的积商求导法则 常数与函数的积的求导法则 法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： 例题：已知

高等数学习题详解-第3章 导数与微分

习题3-1 1．设某产品的总成本C 是产量q 的函数:2+1C q =，求 (1) 从100q =到102q =时，自变量的改变量q ?； (2) 从100q =到102q =时，函数的改变量C ?； (3) 从100q =到102q =时，函数的平均变化率； (4) 总成本在100q =处的变化率. 解：(1) q ?=102-100=2, (2) (102)(100)C C C ?=-=22102+1)-(100+1)=404( (3) 函数的平均变化率为 00()()4042022 C q q C q C q q +?-?===??. (4) 总成本在100q =处的变化率为 100 ()(100) lim 100 q C q C q →--22 100 100 100lim lim (100)200100 q q q q q →→-==+=- 2 ．设()f x =(4)f '. 解 44 ()(4) (4)lim lim 4 4 x x f x f f x x →→-'==-- 4 1 lim 2 x →== 3．根据函数导数定义，证明(cos )sin x x '=-. 证 根据函数导数定义及“和差化积”公式，得 cos()cos (cos )lim h x h x x h →+-'=0 sin 2lim sin()2 2 h h h x h →=-+ ? sin x =-. 4．已知()f a k '=，求下列极限： (1) 0 ()() lim ;x f a x f a x →-- (2) 0 ()() lim x f a x f a x x →+-- 解 (1) 00 ()() ()() lim lim ();x x f a x f a f a x f a f a k x x →→----'=-=-=-- (2) 0 ()() lim x f a x f a x x →+--=0 ()()()() lim x f a x f a f a f a x x →+-+-- ()() ()() lim lim x x f a x f a f a x f a x x →→+---=+-()()2f a f a k ''=+= 5．已知.0)0(=f (0)1f '=，计算极限0 (2)lim .x f x x → 解 0 (2)(2)(0) lim =2lim 2(0)22x x f x f x f f x x →→-'== 6．求下列函数的导数： (1) 5 y x =； (2) y =

大一高数导数例题

大一高数导数例题 高等数学是本科教育中一门重要的学科，它涉及到大量的基础理论及其应用，其中导数是学习高等数学过程中非常重要的一部分。导数计算有很多方法可以解决，学习者要根据实际情况进行选择，不能仅仅依赖一种计算方法。以下是一些以大一高数导数为核心的例题，希望能够帮助学习者更好地理解并掌握高数导数知识点。 例一： 已知函数f(x)=x^2(x-2)+1，求f′(x)的值 解： f′(x)=[2x(x-2)+1]+(x^2-2) =2x^2-4x+1 例二： 函数f(x)=cosx+sinx，求f′(x)的值 解： f′(x)=sinx+cosx 例三： 已知函数f(x)=x^4+x^2-6x，求f′(x)的值 解： f′(x)=4x^3+2x-6 例四： 已知函数f(x)=sinx-cosx，求f′(x)的值 解：

f′(x)=cosx+sinx 例五： 已知函数f(x)=2x^3+5x，求f′(x)的值 解： f′(x)=6x^2+5 以上是涉及大一高数导数的一些例题，供学习者参考。在学习高等数学过程中，除了掌握上述几个基本例题之外，还要注意以下几点： 一、要熟练掌握数学基础知识，如基本概念、基本公式、数学思维等，不仅要理解，还要能够记住和应用。 二、多做导数，不要总是依靠书本给的答案，多练习，多动手，让自己掌握实际的计算技巧。 三、等数学学习不仅要过程，更要完成此过程的目的，即形成正确、有效的思维。要有自己独立思考、归纳推理的能力，从而推广应用所学知识，深入探索数学真谛。 以上就是关于大一高数导数例题的详细介绍，希望能够帮助大家更好地掌握高数导数的知识点。通过熟悉上述几个例题，以及注意前面提到的学习重点，学习者可以更好地掌握数学中的相关知识，为今后的学习生涯打下坚实的基础。

大一高数隐函数求导题

大一高数隐函数求导题 （最新版） 目录 一、隐函数求导的基本概念 二、隐函数求导的方法 三、具体求解大一高数隐函数求导题的步骤 四、结论 正文 一、隐函数求导的基本概念 隐函数求导是微积分中的一个重要概念，它是求解实际问题中经常遇到的一类问题。在隐函数求导中，我们要求的是一个含有未知函数的导数，这个未知函数通常以方程的形式给出。 二、隐函数求导的方法 求解隐函数的导数，一般采用两种方法：一种是直接求导法，另一种是隐函数转换法。 1.直接求导法 直接求导法就是直接对含有未知函数的方程进行求导。这种方法适用于简单的隐函数，其步骤如下： （1）对隐函数方程两边求导，得到一个新的方程。 （2）将新方程中的未知函数表示成导数的形式。 （3）解出新方程，得到未知函数的导数。 2.隐函数转换法 隐函数转换法适用于较为复杂的隐函数，其步骤如下：

（1）将隐函数方程转换为一个新的方程，使得新方程中的未知函数可以容易地求导。 （2）对新方程两边求导，得到一个新的方程。 （3）解出新方程，得到新方程中的未知函数的导数。 （4）将新方程中的未知函数表示成原隐函数的形式。 三、具体求解大一高数隐函数求导题的步骤 以题目“大一高数隐函数求导题”为例，具体求解步骤如下： （1）首先，根据题目给出的隐函数方程，我们可以得到一个关于 x 和y 的方程。 （2）其次，根据隐函数求导的方法，我们对方程两边求导，得到一个新的方程。 （3）然后，我们对新方程进行整理，解出新方程中的未知函数的导数。 （4）最后，我们将新方程中的未知函数表示成原隐函数的形式，得到原隐函数的导数。 四、结论 通过以上步骤，我们可以求解大一高数隐函数求导题。

高数导数考试试题

高数导数考试试题 高数导数考试试题 在大学的数学课程中，高等数学是必修课之一。而在高等数学中，导数是一个 重要的概念和工具。导数的概念最早由莱布尼茨和牛顿独立提出，它是微积分 的基础之一。导数的计算方法有很多，而在考试中，通常会出现一些经典的导 数计算题。本文将通过几个例子，来探讨高数导数考试试题。 首先，我们来看一个简单的例子。假设函数f(x) = x^2 + 3x + 2，要求计算f(x) 在x = 2处的导数。根据导数的定义，我们可以直接计算出f(x)的导数。首先， 我们需要求出f(x)在x = 2处的函数值，即f(2) = 2^2 + 3*2 + 2 = 12。然后，我们需要求出f(x)在x = 2处的极限，即lim(x→2) [f(x) - f(2)] / (x - 2)。通过计算，我们可以得到lim(x→2) [f(x) - f(2)] / (x - 2) = lim(x→2) [(x^2 + 3x + 2) - 12] / (x - 2) = lim(x→2) (x^2 + 3x - 10) / (x - 2) = lim(x→2) (x + 5) = 7。因此，f(x)在x = 2处的导数为7。 接下来，我们来看一个稍微复杂一些的例子。假设函数g(x) = sin(x) / x，要求 计算g(x)在x = 0处的导数。这个例子涉及到了极限的计算。首先，我们需要求出g(x)在x = 0处的函数值，即g(0) = sin(0) / 0 = 0 / 0。这是一个不确定的形式，无法直接计算。然后，我们需要求出g(x)在x = 0处的极限，即lim(x→0) g(x)。通过泰勒展开，我们可以将g(x)展开成一个无穷级数，即g(x) = 1 - x^2 / 6 + x^4 / 120 - ...。因此，l im(x→0) g(x) = 1。因此，g(x)在x = 0处的导数为1。最后，我们来看一个稍微复杂一些的例子。假设函数h(x) = e^x / (1 + e^x)，要求计算h(x)的导数。这个例子涉及到了复合函数的导数计算。首先，我们可以 将h(x)写成h(x) = 1 / (1 + e^(-x))。然后，我们可以使用链式法则来计算h(x)的

高数求导例题分式计算公式

高数求导例题分式计算公式 在高等数学中，求导是一个非常重要的概念和技能。求导的过程就是找出一个 函数的导数，也就是函数在某一点的斜率。求导的过程可以帮助我们理解函数的变化规律，解决实际问题中的最优化和极值等数学问题。在这篇文章中，我们将重点讨论分式函数的求导问题，介绍分式函数求导的计算公式和一些例题。 分式函数的求导是高等数学中的一个重要内容，也是比较复杂的内容之一。分 式函数的一般形式为f(x) = g(x)/h(x)，其中g(x)和h(x)都是关于x的函数。我们需 要通过一定的方法和规则来求解这类函数的导数。下面我们将介绍分式函数求导的计算公式和一些例题。 首先，我们来看一下分式函数的求导公式。对于一个分式函数f(x) = g(x)/h(x)，它的导数可以通过以下公式来计算： f'(x) = (g'(x) h(x) g(x) h'(x)) / (h(x))^2。 其中，g'(x)和h'(x)分别表示g(x)和h(x)的导数。这个公式就是分式函数求导的 基本公式，我们可以通过这个公式来求解各种不同形式的分式函数的导数。 接下来，我们通过一些例题来演示分式函数的求导过程。 例题1，求函数f(x) = (2x + 1) / (x^2 + 1)的导数。 解，根据上面的求导公式，我们可以先求出g(x)和h(x)的导数，然后带入公式 进行计算。 首先，求g(x)和h(x)的导数： g'(x) = 2。 h'(x) = 2x。 然后，带入求导公式进行计算：

f'(x) = (2 (x^2 + 1) (2x + 1) 2x) / (x^2 + 1)^2。 = (2x^2 + 2 4x^2 2x) / (x^2 + 1)^2。 = (-2x^2 2x + 2) / (x^2 + 1)^2。 所以，函数f(x) = (2x + 1) / (x^2 + 1)的导数为f'(x) = (-2x^2 2x + 2) / (x^2 + 1)^2。 例题2，求函数f(x) = (x^2 + 3x 1) / (2x^2 + 1)的导数。 解，同样地，我们可以利用上面的求导公式来计算这个函数的导数。 首先，求g(x)和h(x)的导数： g'(x) = 2x + 3。 h'(x) = 4x。 然后，带入求导公式进行计算： f'(x) = ((2x + 3) (2x^2 + 1) (x^2 + 3x 1) 4x) / (2x^2 + 1)^2。 = (4x^3 + 6x + 2x + 3 4x^3 12x^2 + 4x) / (2x^2 + 1)^2。 = (-12x^2 + 8x + 3) / (2x^2 + 1)^2。 所以，函数f(x) = (x^2 + 3x 1) / (2x^2 + 1)的导数为f'(x) = (-12x^2 + 8x + 3) / (2x^2 + 1)^2。 通过上面的例题，我们可以看到分式函数求导的具体步骤和计算过程。在实际 应用中，我们可能会遇到更加复杂的分式函数，但是只要掌握了上面的求导公式和方法，就可以通过一步一步的计算来求解任何形式的分式函数的导数。 在实际问题中，分式函数的求导可以帮助我们解决一些最优化和极值等数学问题。比如在经济学中，我们需要求解某种产品的生产成本函数的最优生产量，就可以通过求导来找到最优生产量对应的生产成本。在物理学中，我们需要求解某种运

高数常见导数公式推导

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高数常见求导数题 1.dxx+1((1+3x+1) =. 解:令t6=x+1,则dx=6 t5dtt=6x+1 dxx+1((1+3x+1) = 6 t5dtt31+t2= 6t2dt1+t2=6t2+1-1t2+1dt=61dt- 6dtt2+1=6t-6arctant+C ∴d xx+1((1+3x+1)=66x+1-6arctan6x+1+C 2. dxx2-2x+3 = 解：dxx2-2x+3 =dx2+(x-1)2=1212dx1+(x-12)2=22arctanx-12+C 3.dx1+x-x2= .解：dx1+x-x2=dx54-(x2-x+14)=dx54-x-122= dx521-2x-152= dx521-2x-152=25dx1-2x-152=11-2x-152d2x-15=arcsin2x-15+C 4. dx(1+x2)3= 解：令x=tant,则dx=1 cos2tdt，易知x∈Rt∈(-π2,0)∪(0,π2)，从而有：sint=xcost=x11+tan2t=x1+x2 dx(1+x2)3=1 cos2tdt(1+tan2t)3= 1 cos2tdt1cos3t=costdt=sint+C=x1+x2+C ∴dx(1+x2)3=x1+x2+C 5. X+1X2+X+1dx= 解：X+1X2+X+1dx= x+12+12dxx2+x+1=x+12x2+x+1dx+12dxx2+x+1= 2x+12x2+x+1dx+12dxx+122+34=x2+x+1+12lnx+12+x+122+34+C 常用的积分公式及基本类型 tanxdx=-lncosx+C cotxdx=lnsinx+C tan2xdx=sec2x-1dx=sec2xdx-dx=tanx-x+C cot2xdx=(csc2x-1)dx=cotx-x+C .sinxcosxdx=sin2x2+C=-cos2x2+C=-cos2x4+C

高等数学——导数练习题含答案

高等数学——导数练习题含答案 1. 基本概念 1.1 导数的定义 导数是数学中的一种重要概念，是描述函数变化速率的工具。假设函数f(f)在某一点f=f的某个邻域内有定义，若极限 $$ \\lim_{\\Delta x \\to 0} \\frac{f(a + \\Delta x) - f(a)}{\\Delta x} $$ 存在，则称此极限为函数f(f)在f=f处的导数，记作f′(f)或 $\\frac{{df}}{{dx}}|_{x=a}$。 1.2 常见函数的导数 一些常见的函数的导数如下： •f=f，其中f为常数，导数为零：f′=0 •f=f f，其中f为常数，导数为ff(f−1)：f′= ff f−1 •$y = \\sin x$，导数为 $\\cos x$：$y' = \\cos x$

•$y = \\cos x$，导数为 $-\\sin x$：$y' = -\\sin x$ •f=f f，导数为f f：f′=f f 2. 练习题 2.1 求导练习 1.求函数f(f)=f3−2f2+f+1在f=1处的导数。 2.求函数 $f(x) = \\sin(2x) + \\cos(3x)$ 的导数。 3.求函数 $f(x) = e^{2x} \\cos x$ 的导数。 2.2 高阶导数 4.已知函数f(f)=f3−2f2+f+1，求f″(f)， f‴(f)和ff(f)。 5.已知函数 $f(x) = \\sin(2x) + \\cos(3x)$，求f″(f) 和f‴(f)。

3. 答案 3.1 求导练习答案 1.根据导数的定义，函数f(f)=f3−2f2+f+1在 f=1处的导数为： \begin{align} f’(1) &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{(1 + \Delta x)^3 - 2(1 + \Delta x)^2 + (1 + \Delta x) + 1 - (1^3 - 2 \cdot 1^2 + 1 + 1)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta x^3 + 3 \Delta x^2 + 3 \Delta x + 1 - 2 \Delta x^2 - 4 \Delta x - 2 + \Delta x + 1}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0} (3 \Delta x^2 + 2 \Delta x + 2) \\ &= 2 \end{align} 所以，f′(1)=2。 2.对函数 $f(x) = \\sin(2x) + \\cos(3x)$ 分别对 $\\sin(2x)$ 和 $\\cos(3x)$ 求导，然后相加，得到函数 f(f)的导数： \begin{align} f’(x) &= \frac{{d}}{{dx}}(\sin(2x) + \cos(3x)) \\ &= \frac{{d}}{{dx}}(\sin(2x)) + \frac{{d}}{{dx}}(\cos(3x)) \\ &= 2 \cos(2x) - 3 \sin(3x) \end{align} 所以，$f'(x) = 2 \\cos(2x) - 3 \\sin(3x)$。

高中数学导数及其应用典型例题专题练习40题(详解版)

高中数学导数及其应用典型例题专题练习40(详解版) 一、单选题 1.函数“x) = (x—3)，的单调递增区间是() A. (-00,-2) B.(2,+8) C. (1,4) D, (0,3) 【答案】B 【府】 【分析】 求出函数y = /(x)的导数，在解出不等式ra)>o可得出所求函数的单调递增区间. 【详解】 \ /(.r) = (x-3)e' , ：.f\x) = (x-i)e x ,解不等式解得x>2, 因此,函数/(6 =(工一3)/的单调递增区间是(2,+8),故选B. 【点睛】 本题考查函数单调区间的求解，一般是先求出导数，然后解出导数不等式，将解集与定义域取交集得出单调区间，但单调区间不能合并，考查计算能力，属于中等题. in 2.若函数/*) = Inx+ —在[1,3]上为增函数，则〃?的取值范围为( ) x A. [L+8) B. [3,+co) C. (3,1] D. (一8,3] 【答案】C 【的】 【分析】 Y— JM 转化为r(x) 二—即〃7对XW[1,3]恒成立，继而得解. 厂 【详解】 由题意函数/(x) = lnx+”在[1,3]上为增函数， X 可知/")==之0， 厂 即机< X对x W [1,3]恒成立， 所以"ML 故选：C 【点睛】

本题考查了导数在函数单调性中的应用，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题. 3.设/(X)、g(x)是R上的可导函数，/'(X)、/(X)分别为“X)、g(x)的导函数，且满足 r(x)g(x)+/(x)，(x)<0,则当时，有( ) A. /(x)g(x)>/(〃)g(〃) B. /(x)g(G>/(a)g(x) c. 7(x)g(b)>/(b)g(x) D. f(x)g(x)>/(a)g(a) 【答案】A 【解析】 【分析】 构造函数/?(x) = /(x)g(x),利用导数判断出函数y = 〃(x)的单调性，结合a

高数导数的应用习题及答案

一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ⋅+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0x ，()0>''x f ；0

高等数学导数及微分练习题

作业习题 1、求下列函数的导数。 （1）223)1(-=x x y ； （2）x x y sin =； （3）bx e y ax sin =； （4）)ln(22a x x y ++=；（5）11arctan -+=x x y ；（6）x x x y )1(+=。 2、求下列隐函数的导数。 （1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程⎩ ⎨⎧-=-=)cos 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数 dx dy 与二阶导数2 2dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。 （1）,αx y =求)(n y ； （2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。 （1）)0(,>=x x y x ； （2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线122 22=-b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中⎪⎩⎪⎨⎧=, 0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。 作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222⋅-+-= )37)(1(222--=x x x 。

（2）解：2 sin cos )sin ( x x x x x x y -= '='。 （3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )cos sin (bx b bx a e ax +=。 （4）解：][1])[ln(222 222'++++= '++='a x x a x x a x x y ])(211[1222 22 2'+++ ++=a x a x a x x ]2211[12 2 2 2 x a x a x x ⋅++++= ]1[122 2 2 a x x a x x ++++=2 2 1a x +=。 （5）解：)11 () 1 1(11)1 1 (arctan 2'-+-++='-+='x x x x x x y 1 1 )1()1()1()1(2)1(2 222+-=-+--⋅+-=x x x x x x 。 （6）解：)(])1[(1ln '='+='+x x x x e x x y ]1ln )1()1()1([)1( 2 x x x x x x x x x x x +-+-+⋅++= )1ln 11()1(x x x x x x +-++=。 2、（1）解：两边直接关于x 求导得 0)1)(sin(cos sin ='++++'y y x x y x y ) sin(sin ) sin(cos y x x y x x y y ++++- ='。 （2）解：将0=x 代入原方程解得,1=y

高数导数的应用习题及答案

一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使 ()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 错误４．函数正确正确１． ）， =b ∵ ２．函数 ∵()x x x f 211 2 ⋅+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0x ，()0>''x f ；0

４．曲线()x x f ln =的凸区间是（ ()+∞,0 ）． ∵()x x f 1= '，()21 x x f -=''，使()x f ''无意义的点为0=x 。 当0>x 时，()0<''x f ，∴曲线()x x f ln =的凸区间是()+∞,0。 ５．若21 2sin lim 0=-→x b e ax x ，则=a （ 1 ），=b （ 1 ）． ∵ b e ax x sin lim 0-→=-=→b e ax x lim 01lim 10=-→b e ax x ，即1lim 0=-→b e ax x a c ∵()x f ３．函数⎪⎩ +∞<

高等数学题库第章(导数的应用)

第三章 导数的应用 习题一 一．选择题 1．使函数322)1()(x x x f -=适合罗尔定理条件的区间是（ ） A ．[]1,0 B. []1,1- C. []2,2- D. ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡-54 ,53 2. 函数x e x f x sin )(-=在[]π,0上满意罗尔定理的=ξ( ) A.2π B.π C. 4π D. 4 5π 3.设0,1 )(<=ab x x f ,则在b a <<ξ内使))(()()('a b f a f b f -=-ξ成立的点ξ( ) A.只有一点 B.有两个点 C.不存在 D.是否存在,与b a ,值有关 4.设⎪⎩⎪⎨⎧≤<≤≤-=,21,2 1 0,3)(2x x x x x f , 则在区间()2,0内适合值的ξξ)02)(()0()2('-=-f f f ( ) A.只有一个 B.不存在 C.有两个 D.有三个 5.设)(x f 在[]b a ,上连续,在()b a ,内可导,若设(I):)()(b f a f =；（II ）：在()b a ,内至少有一点ξ，使得0)('=ξf ，则(I)与（II ）之间的关系是（ ） A ．(I)是（II ）的充分而非必要条件 B. (I)是（II ）的必要而非充分条件 C. (I)是（II ）的充分必要条件 D. (I)是（II ）的既非充分也非必要条件 6.)0()0(g f =,当0>x 时,有)()(''x g x f <,则当0>x 时,有( ) A.)()(x g x f < B. )()(x g x f > C. )()(x g x f ≤ D. )()(x g x f ≥ 7.函数x x y =在区间⎪⎭⎫⎢ ⎣⎡+∞,1e ( ) A.不存在最小值 B. 最大值是e e 1 C. 最大值是e e 11⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ D. 最小值是e e 11⎪⎭ ⎫ ⎝⎛ 二. 填空题 1.函数321)(x x f -=在[]1,1-上不能有罗尔定理的结论,其缘由是)(x f 不满意罗

高等数学习题及解答(极限,连续与导数)

高等数学习题库 淮南联合大学基础部 2008年10月

第一章 映射，极限，连续 习题一 集合与实数集 基本能力层次： 1: 已知：A ＝{x|1≤x ≤2}∪{x|5≤x ≤6}∪{3},B={y|2≤y ≤3} 求：在直角坐标系内画出 A ×B 解：如图所示A ×B ＝{（x,y ）| ,x A y B ∈∈ }. 2： 证明：∵ P 为正整数，∴p ＝2n 或p ＝2n+1，当p ＝2n+1时，p 2＝4n 2+4n+1，不能被2整除，故p ＝2n 。即结论成立。 基本理论层次： 习题二 函数、数列与函数极限 基本能力层次 1： 解： 2： 证明：由得cxy ay ax b -=+即 ay b x cy a += -，所以 ()x f y = 所以命题成立

3： （1）2 2x y -= （2）lg(sin )y x = （3 []y x = （4）0,01,0x y x ≥⎧⎫ =⎨⎬<⎩⎭ 解： 4：用极限定义证明： 1 lim 1n n n →∞-=(不作要求) 证明：因为 ω∀ 有11|1|n n n ω--=<成立,只要1n ω>取N ＝[1 ω ]，则当n>N 时,就有11|1|n n n ω--=<有定义变知1lim 1n n n →∞-=成立 5：求下列数列的极限 （1）lim 3n n n →∞ （2）222 3 12lim n n n →∞++ + （3） （4）n 解：（1） 233n n n n <,又 2lim 03 n n x →∞=,所以 0lim 03n n n →∞≤≤ , 故：lim 3n n n →∞＝0 （2）由于 222 3 312(1)(21)111 (1)(2)6n n n n n n n n n ++ +++= =++ 又因为：1111lim (1)(2)63n n n n →∞++=,所以：2223 121 lim 3 n n n →∞++ + （3）因为： 所以： （4） 因为：1 11n n ≤≤+，并且1lim(1)1n n →∞+=, 故由夹逼原理得 1n =