连续函数的最值定理证明

连续函数的最值定理证明

连续函数的最值定理是一个非常基础的定理，在数学分析、高等数学等课程中都有涉及。它的表述是：在闭区间上的连续函数必然有最大值和最小值，即存在 $x_1,x_2in[a,b]$，使得 $f(x_1)leq

f(x)leq f(x_2)$ 对于所有的 $xin[a,b]$ 都成立。

现在我们来证明这个定理。

首先，我们先证明连续函数在闭区间上必有最大值。设

$f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，那么它一定在这个区间上有最大值，即存在 $x_1in[a,b]$ 使得 $f(x_1)geq f(x)$ 对于所有的$xin[a,b]$ 都成立。

为了证明这个结论，我们可以采用反证法。假设在 $[a,b]$ 上没有最大值，那么对于任意的 $xin[a,b]$，都存在 $x_1in[a,x]$ 使得 $f(x_1)>f(x)$。显然，$x_1$ 的取值至少是存在上界的，设这个上界是 $x_0$，即 $x_1in[a,x_0]$ 时有 $f(x_1)>f(x_0)$。由于$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，那么根据连续函数的定义，对于任意的$epsilon>0$，都存在 $delta>0$ 使得当 $|x-x_0|

取 $epsilon=f(x_1)-f(x_0)>0$，那么存在 $delta>0$ 使得当$|x-x_0|f(x_0)$，所以 $f(x)-f(x_0)

$f(x)

类似地，我们可以证明连续函数在闭区间上必有最小值。这里不再赘述，读者可以自行尝试证明。

综上所述，我们证明了连续函数的最值定理。需要注意的是，这个定理要求函数在闭区间上连续，如果只在开区间或半开区间上连续，那么就不能保证一定有最大值或最小值。

实数集的完备性的基本定理 闭区间上连续函数性质的证明

实数集的完备性的基本定理闭区间上连续函数性质的证明 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑

第七章实数的完备性 §1 关于实数集完备性的基本定理 (一>教案目的： 理解区间套定理,聚点定理,致密性定理,有限覆盖定理的条件和结论.理解这些定理的含意及关系,了解各定理的证明思 路．b5E2RGbCAP (二>教案内容：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理． (三> 基本要求： (1>掌握和运用区间套定理、致密性定理． (2>掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用． (三> 教案建议： (1)本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么 样情况下应用区间套定理和 致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理． (2> 本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如 何应用聚点定理和有限覆盖定理． —————————————————————————————— 一区间套定理与柯西收敛准则 定义1区间套: 设是一闭区间序列. 若满足条件ⅰ）对, 有, 即, 亦 即 后一个闭区间包含在前一个闭区间中。 ⅱ）. 即当时区间长度趋于零. 则称该闭区间序列为闭区间套, 简称为区间套 . 区间套还可表达为: .

我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列和, 其中 递增,递减. 例如和都是区间套. 但、 和都不是. 区间套定理 Th7.1(区间套定理>设是一闭区间套. 则在实数系中存在Array 唯一的点,使对有. 简言之, 区间套必有唯一公共 点.p1EanqFDPw 二聚点定理与有限覆盖定理 定义设是无穷点集. 若在点(未必属于>的任何邻域内有的 无穷多个点, 则称点为的一个聚点. 数集=有唯一聚点, 但。 开区间的全体聚点之集是闭区间。 设是中全体有理数所成之集, 易见的聚点集是闭区间. Th 7.2 ( Weierstrass > 任一有界数列必有收敛子列. 2. 聚点原理 : Weierstrass聚点原理. Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 三实数完备性基本订立的等价性 证明若干个命题等价的一般方法. 本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行:

高等数学(同济大学版)课程讲解1.9-1.10连续函数的性质

课时授课计划 课次序号：07 一、课题：§1.9连续函数的运算与初等函数的连续性 §1.10 闭区间上连续函数的性质 二、课型：新授课 三、目的要求：1.了解连续函数的和、差、积、商的连续性； 2.了解反函数和复合函数的连续性； 3.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质． 四、教学重点：利用复合函数及初等函数的连续性求函数极限，利用零点定理 证明方程解的存在性. 教学难点：闭区间上连续函数的性质. 五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合． 六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编， 高等教育出版社； 2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社． 七、作业：习题1–9 3（4），4（3）（4），5；习题1–9 1 八、授课记录： 九、授课效果分析：

复习 1.连续的定义：0 0lim ()()x x f x f x →=,三个条件缺一不可； 2.间断点的分类：第一类(可去型、跳跃型)，第二类（无穷型、振荡型）. 下面介绍连续函数的运算法则和闭区间上连续函数的几个性质． 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 一、连续函数的四则运算 由连续函数的定义及极限的运算法则和性质，立即可得到连续函数的下列运算法则． 定理1 若函数f （x ），g （x ）均在点x 0处连续，则() ()()()()() f x f x g x f x g x g x ±⋅、、 （g （x 0）≠0），均在点x 0处连续． 如多项式函数0 ()n k n k k P x a x ==∑在（-∞，+∞）内连续，正切函数sin tan cos x x x = 在其定义区间内连续． 二、反函数的连续性 定理2 若函数()y f x =在区间x I 内单调增加（减少）且连续，则其反函数1()x f y -=在相应区间{(),}y x I y y f x x I ==∈内单调增加（减少）且连续． 从几何上看，该定理是显然的，因为函数()y f x =与其反函数1()x f y -=）在xoy 坐标面上为同一条曲线． 如sin y x =在[,]22 ππ -上单调增加且连续，其反函数arcsin x y =在[1,1]-单调增加且连续． 三、复合函数的连续性 由连续函数的定义及复合函数的极限定理可以得到下面有关复合函数的连续性定理． 定理3 设函数[()]y f x ϕ=是由函数(),()y f u u x ϕ==复合而成的复合函数， 0()f g U x D ⊆．如果()u x ϕ=在点0x 连续，又()y f u =在相应点00()u x ϕ=处连续，则

07 1实数集的完备性的基本定理 闭区间上连续函数性质的证明

第七实数的完备 1 关于实数集完备性的基本定 )教学目的 理解区间套定聚点定致密性定有限覆盖定理的条件和结理解这些定理的意及关了解各定理的证明思 )教学内容：区间套定理、柯西判别准则的证明；聚点定理；有限覆盖定理 )基本要求 (1)掌握和运用区间套定理、致密性定理 (2掌握聚点定理和有限覆盖定理的证明与运用 )教学建议 (1本节的重点是区间套定理和致密性定理．教会学生在什么样情况下应用区间套定理 致密性定理以及如何应用区间套定理和致密性定理 (2)本节的难点是掌握聚点定理和有限覆盖定理．教会较好学生如何应用聚点定理和有覆盖定理 ————————————————————————————— 区间套定理与柯西收敛准 是一闭区间序.若满足条定1 区间: ,亦,,ⅰ后一个闭区间包含在前一个闭区间; 时区间长度趋于. ⅱ .即则称该闭区间序列为闭区间, 简称为区间 . 区间套还可表达: . ,其我们要提请大家注意的,这里涉及两个数递. 例都是区间. n 都不 . 区间套定 ,使.则在实数系中存在唯一的)Th7.1区间套定是一闭区间.简言,区间套必有唯一公共. 聚点定理与有限覆盖定 的无穷多个,若在的任何邻域内未必属定则是无穷点. 的一个聚. ; ,数有唯一聚; 的全体聚点之集是闭区开区.,易的聚点集是闭区中全体有理数所成之Weierstrass.Th 7.2 ( 任一有界数列必有收敛子 ) Weierstrass.2. 聚点原 :聚点原. 每一个有界无穷点集必有聚Th 6 实数完备性基本订立的等价 证明若干个命题等价的一般方. 本节证明七个实数基本定理等价性的路 : 证明按以下三条路线进: 收敛准单调有界原 Cauch区间套定:确界原 确界原 ; Cauch收敛准致密性定 ;

有界闭区域中连续函数的性质讨论及推广

摘要 闭区间在实数系是紧致的，闭区间上的连续函数具有许多优良的整体性质。例如有界性、最值性、介值性及一致连续性。开区间或半开区间是非紧致的,其上的连续函数就未必具有上述性质。本论文从连续函数在不同区间上的性质，分别讨论连续函数的局部性质、在闭区间上的性质、以及一般区间上三方面内容；同时还要讨论连续函数在闭区间上的性质和应用。由上述连续函数在闭区间和局部区间的性质由此推广到一般区间上的相关定理及性质的证明，讨论一般性区间上的连续函数性质，连续函数的性质，主要从连续函数在区间上的几乎处处可积和可微性；同时讨论其复合函数、导函数的证明其是否成立，以及极限的存在；本文还讨论一致连续函数，本论文作为闭区间上连续函数性质的应用,补充一些相应的条件,将上述性质逐一地推广到开或半开区间。 关键词:连续函数，有界性，最值性，闭区间，开区间，极限

Abstract Closed interval in the real number system is compact, continuous function on a closed interval has many excellent overall properties. For example, the value of boundedness and uniform continuity, intermediate value. Open interval or half open interval is non compact, continuous function on which it may not have the above properties. This paper from the continuous function in different section properties,respectively discuss local properties, continuous function in closed interval properties, as well as the general interval of three aspects; At the same time also discussed the properties and application of continuous function in the closed interval. By the continuous function in closed interval and the local properties of interval which is extended to the general interval correlation theorem and properties, discuss the general properties of continuous functions on the interval, the properties of continuous function, mainly from the continuous function on the interval. Almost everywhere Integrability and differentiability . At the same time we prove that the composite function, guiding function whether it was established, and the existence of a limit . This paper also discusses the uniformly continuous function, this paper use as continuous function on a closed interval properties, additional conditions, the properties one by one extension to open or semi open interval. Key Words：Continuous function, Boundedness, The value, The closed interval, The interval, Limit

高等数学十大定理公式

高等数学十大定理公式 高等数学十大定理公式有有界性、最值定理、零点定理、费马定理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒定理（泰勒公式）、积分中值定理（平均值定理）。 1、有界性 |f(x)|≤K 2、最值定理 m≤f(x)≤M 3、介值定理 若m≤μ≤M，∃ξ∈[a,b]，使f(ξ)=μ

4、零点定理 若f(a)⋅f(b)<0∃ξ∈(a,b) ，使f(ξ)=0 5、费马定理 设f(x)在x0处：1，可导2，取极值，则f′(x0)=0 6、罗尔定理 若f(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，且f(a)=f(b) ，则∃ξ∈(a,b) ，使得f′(ξ)=0 7、拉格朗日中值定理 若f(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，则∃ξ∈(a,b) ，使得f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a) 8、柯西中值定理 若f(x)、g(x)在[a,b] 连续，在(a,b) 可导，且g′(x)≠0 ，则 ∃ξ∈(a,b) ，使得f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ)

9、泰勒定理（泰勒公式） n阶带皮亚诺余项：条件为在$x_0$处n阶可导 $f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfra c{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\ ,x\xrightarrow{} x_0$ n阶带拉格朗日余项：条件为n+1阶可导 $f(x)=f(x_0)f'(x_0)(x-x_0)+\dfrac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+...+\dfra c{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0 )^{n+1}\ ,x\xrightarrow{} x_0$ 10、积分中值定理（平均值定理） 若f(x)在[a,b] 连续，则∃ξ∈(a,b)，使得∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a)

考研数学高数中不等式证明的六种方法

考研数学：高数中不等式证明的六种方法（Ⅰ） 来源：文都教育 不等式证明是考研数学高数中的重要内容，也是考研数学的常考知识点，但也是学生很难掌握牢固的内容。只要方法和技巧掌握得恰当，同学们攻克不等式的证明不在话下。下面文都考研数学教研老师介绍六种常见的证明方法，希望帮助广大考生掌握不等式证明。首先，介绍三种比较常用的方法和典型例题，后续会继续介绍另外三种重要的方法和相关例题。 1、利用函数的单调性证明不等式 利用单调性证明不等式是高等数学中一种最常用的方法，使用范围非常广。主要思路是将所证明的不等式做一些适当或必要的变形后，构造适当函数()F x 及区间[,]a b ，利用导数确定函数在区间内的单调性。如果一阶导数不能确定函数的单调性是，再利用高阶导数来判断函数的单调性。 下面来看一道典型例题： 例1 证明：当0x >时，ln(1)x x +<． 证明：构造函数()ln(1)F x x x =+-，则1'()11F x x = -+．当0x >时，'()0F x <，()F x 单调减少，则()(0)0F x F <=，即ln(1)x x +<． 类似可证明：当0x >时，1x e x >+．这两个不等式是经常会使用到的，同学们务必牢记。 2、利用函数的最值证明不等式 利用函数的最大值、最小值证明不等式是一种比较特殊的方法，主要利用连续函数的最大值最小值定理或利用导数求出函数的最值。具体思路是求出函数()f x 在给定区间内的最大值M 、最小值m ，则函数在该区间内满足()m f x M ≤≤。 例2 证明：111ln(1) x x +<-， 当10x x <≠且时成立． 证明：令()ln(1)ln(1)F x x x x x =+---， 则1'()1ln(1)ln(1)11 x F x x x x x =+---=----，当0x <时，'()0F x <，()F x 单调递减；当01x <<时，'()0F x >，()F x 单调递增，所以0x =是()F x 的极小值点，也是最小值点．又

梅涅劳斯定理证明方法(一)

梅涅劳斯定理证明方法(一) 梅涅劳斯定理证明 介绍 梅涅劳斯定理是数学中的一个重要定理，其在微积分和数值分析等领域有着广泛的应用。本文将为你介绍梅涅劳斯定理的证明，并详细说明各种方法。 定理的表述 梅涅劳斯定理表述如下： 对于闭区间[a, b]上的连续函数f(x)，存在一个点c∈(a, b)，使得 f(b) - f(a) = (b - a) * f’(c) 证明方法 为了证明梅涅劳斯定理，可以采用以下几种方法： 1.拉格朗日中值定理：这是最常用的证明方法之一。根 据拉格朗日中值定理，存在一个点c∈(a, b)，使得f’(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。结合梅涅劳斯定理的表述，可以得到 证明结果。

2.柯西中值定理：该方法需要借助于柯西中值定理。柯 西中值定理是拉格朗日中值定理的推广，可以适用于连续函数的除法的情况。通过将梅涅劳斯定理转化为除法形式，再应用柯西中值定理，可以得到证明结果。 3.微积分定义：也可以通过运用微积分的定义来证明梅 涅劳斯定理。首先，根据定义，可以得到f(b) - f(a) = ∫[a, b] f’(x) dx。然后，使用定积分的性质和中值定理，将积分转化为导数形式，并得到存在性的结论。 4.归纳法：在一些特殊情况下，可以使用归纳法来证明 梅涅劳斯定理。通过求解梯度序列的极限，利用单调有界原理，可以得到结论。 总结 梅涅劳斯定理是数学中一个非常有用的定理，证明其的方法也多种多样。在实际应用中，根据具体情况选择合适的证明方法是十分重要的。无论采用何种方法证明梅涅劳斯定理，它都为我们提供了一种有效的手段来处理函数在区间上的平均值问题，对于数学研究和实际应用具有重要意义。

闭区间最大值最小值定理证明

闭区间最大值最小值定理证明 闭区间最大值最小值定理证明 闭区间的最大值最小值的问题相信一直是们比较困扰的一个知识点，不用担心，店铺就让为你详细介绍及通过案例的介绍，一定能够充分认识并熟练运用的。 闭区间介绍 直线上介于固定的两点间的所有点的集合(包含给定的两点)。闭区间是直线上的连通的闭集。由于它是有界闭集，所以它是紧致的。 闭区间的函数为小于等于的关系即—∞≤a≤+∞在数轴上为实心点。 闭区间的余集(就是补集)是两个开区间的并集。 实数理论中有著名的闭区间套定理。 代表符号： [x,y] --> 从x值开始到y值，包含x、y 比如：x的取值范围是3到5的闭区间那么用数学语言表示即为[3,5] 也就是从3(含)到5(含)之间的数。 最大值最小值定理证明 对于在区间上有定义的函数，如果有，使得对于任一都有则称是函数在区间上的最大(小)值. 例如: 定理1(最大值和最小值定理)：在闭区间上连续的`函数一定有最大值和最小值. 定理表明：若函数在闭区间上连续，则至少存在一点，使是闭区间上的最小值;又至少存在一点，使在闭区间上的最大值 注：当定理中的“闭区间上连续”的条件不满足是，定理的结论可能不成立. 如，若是开区间内的连续函数，结论可能不成立. 又如，函数在开区间内没有最大值，因为它在闭区间上不连续. 若在上有间断点，结论不一定成立.

函数在闭区间上有间断点，但函数在闭区间上既无最大值又无最小值. 案例过程讲解 证明：设函数f在闭区间[a，b]上连续，记M=sup{f(x)，x∈[a，b]，m=inf{f(x)，x∈[a，b]}， 则必存在x*，x*∈[a，b]，使得f(x*)=M，f(x*)=m. 也就是说，有界闭区间上的连续函数必能取到它在这个区间上的最大值和最小值. 现证明如下 因为函数f在闭区间[a，b]上连续， 所以函数f在闭区间[a，b]上有界， 即数集{f(x)：x∈[a，b]}有界， 利用确界原理，{f(x)：x∈[a，b]}存在上确界和下确界，m和M 都是有限数. 显然m≤f(x)≤M(∀x∈[a，b])，考察上确界M=sup{f(x)，x∈[a，b]，m=inf{f(x)，x∈[a，b]}， 根据上确界的定义， 对任意n∈N*， 必定存在xn∈[a，b]，使得 M−1n 由于a≤xn≤b，{xn}有界， 根据列紧性定理，存在一个子列{xnk}和一点x*∈[a，b]，使得{xnk}， 由于f在x*处连续，所以有imk→∞f(xnk)=f(x∗)，(存在且有限) 在不等式M−1nk<(xnk)≤M的两端让k→∞，得出M≤f(x*)≤M 故存在x*∈[a，b]，使得 f(x*)=M. 同理可证存在x*∈[a，b]，使得f(x*)=m. 是极值定理 已知x、y都是正数,x+y=S,xy=P。(1)如果S是定值,那么当x=y 时,P的值最大; (2)如果P是定值,那么当x=y时,S的值最小。这是众所

连续函数的最值定理证明

连续函数的最值定理证明 连续函数是数学中的一个重要概念，是指函数在定义域内任何两个足够靠近的自变量所对应的函数值也足够接近，这个概念的引入是为了解决函数在某些点的奇异性问题，从而使得函数在整个定义域内都有良好的性质。而连续函数的最值定理则是在此基础上进一步得到的结论，具体来说，它指出了在一定的条件下连续函数在定义域内必定存在最大值和最小值，本文将对这一结论进行证明。 为了证明连续函数的最值定理，我们需要先引入两个定理：闭区间套定理和连续函数的中间值定理。 闭区间套定理是指，在实数轴上的任何有限个闭区间组成的序列中，若是每个区间都包含在它前面的区间中，则它们的交非空。该定理的证明是基于实数完备性和Cauchy收敛原理的，这里不再赘述。 连续函数的中间值定理是指，若函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，则它在$(a, b)$内取到任何一个介于$f(a)$和$f(b)$之间的值。该定理可以通过介值定理简单地证明。 有了这两个定理的铺垫，我们现在开始证明连续函数的最值定理。具体来说，我们要证明的是： 设函数$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，则$f(x)$在区间$[a,b]$上存在最大值和最小值。

为了方便起见，我们先假设$f(x)$在区间$[a, b]$上无最大值，对于无最 小值的情况，我们可以做类似的讨论。 由于$f(x)$在$[a, b]$上连续，因此$f(a), f(b)$必定有一个是区间$[a, b]$上的最小值。我们记$f(a)$为$M_1$，于是我们可以找到另一个点 $x_1\in(a, b]$，使得$f(x_1)>M_1$。由于$f(x)$在闭区间$[a, x_1]$上连续，因此根据连续函数的中间值定理，$f(x)$在$[a, x_1]$内取到与 $M_1$介于两者之间的某个值，我们记这个值为$M_2$。 类似地，我们可以在$(a, x_1]$内找到一个点$x_2$，使得$f(x_2)>M_2$，再找到$[a, x_2]$内的一个点$x_3$，使得$f(x_3)>M_3$，以此类推。由 于$aM_1$，根据 $f(x)$的无最大值假设，$f(x)\geq f(x_1)$。同理，我们有$f(x) \geq f(x_2) \geq \cdots \geq f(x_n) \geq M_n$，再根据相邻两项之间的大小关系可知，$f(x)$存在极限$\lim_{n \to \infty} f(x_n)$。 由于$f(x)$在闭区间$[a, b]$上连续，因此$\lim_{n \to \infty} f(x_n)=f(x)$。而又因为$f(x_n)$单调递减且下界为$M_n$，因此$\lim_{n \to \infty} f(x_n)$存在且不小于$M_n$。综上所述，我们有$f(x) \geq M_n$，又由

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法

闭区间上连续函数的有界性定理证明的新方法 一、引言 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，连续函数又是数学分析中非常重要的一类函数。在数学中，连续是函数的一种属性。而在直观上来说，连续的函数就是当输入值的变化足够小的时候，输出的变化也会随之足够小的函数。函数极限的存在性、可微性，以及中值定理、积分等问题，都是与函数的连续性有着一定联系的，而闭区间上连续函数的性质也显得非常重要。在闭区间上连续函数的性质中，有界性定理又是最值定理和介值定理等的基础。 在极限绪论中，我们知道闭区间上连续函数具有5 个性质，即：有界性定理、最大值最小值定理、介值定理、零点定理和一致连续定理，零点定理是介值定理的一个重要推论。而闭区间上连续函数的有界性定理的证明，在很多数学教材中，所采用的方法大致相同，一般都是用致密性定理和有限覆盖定理来加以证明的。并且在文献中作者也分别利用闭区间套定理、确界定理、单调有界定理和柯西收敛准则证明了此定理。但是我们知道，分析数学上所列举的实数完备性的7 个基本定理是相互等价的，因而从原则上讲，任何一个都可以证明该定理，只不过是有繁简之分，笔者考虑如何能用最简单的方法将闭区间上连续函数的有界性定理证明出来，上述文献中已经用其他6 个基本定理证明了闭区间连续函数的有界性定理，下面本文用实数

完备性定理中的聚点原则和构造数列的办法给出了该定理的新证明方法。 二、一种新的证明方法 （一）预备知识【1】 （二）有界性定理的新证法下面将给出实数完备性定理中的聚点原则对闭区间连续函数的有界性定理的证明。【2】 三、有界性定理在数学建模中的应用 本文以一道数学建模的问题为例，介绍闭区间上连续函数的有界性定理如何应用于实际问题。 在2013 年“深圳杯”数学建模夏令营D 题中，根据题意所述：农业灾害保险是政府为保障国家农业生产的发展，基于商业保险的原理并给予政策扶持的一类保险产品。农业灾害保险也是针对自然灾害，保障农业生产的重要措施之一，是现代农业金融服务的重要组成部分。农业灾害保险险种是一种准公共产品，基于投保

拉格朗日中值定理高中

拉格朗日中值定理高中 拉格朗日中值定理的意义在于解析几何以及寻找函数的最值。这是 高中数学必修内容之一，对于理解和掌握许多高中数学中的概念和题 目都有很大的帮助。下面将就其分类进行详细阐述。 一、基础概念 拉格朗日中值定理是微积分中一个基础概念，主要研究函数在单点上 的变化情况。对于被定义在闭区间[a,b]上连续的、在开区间(a,b)上可导的函数f(x)，定理表述者可以找出一个c∈(a,b)，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)。其中，f(b)-f(a)表示函数在区间[a,b]上的增量；f'(c)表示函数f(x)在 点c处的导数。 二、证明方法 证明拉格朗日中值定理，需要借助于罗尔中值定理和柯西中值定理两 种方法，分别利用这两种方法可以互相推理和补充，从而得出更加完 善严谨的证明。利用罗尔中值定理，我们可以得出函数在两个端点处 取得相同的值，从而让拉格朗日中值定理成立；而利用柯西中值定理，则是用来证明一些特定的情况下，拉格朗日中值定理的推广形式是否 成立。 三、应用举例 拉格朗日中值定理是一个非常实用的定理，可以在很多确定函数最值、优化问题中使用。例如，某公司早上7点上班，晚上5点下班，某员 工每天将工作效率通过函数f(x)进行描述，其中x表示时间段，f(x)表

示效率值。则根据拉格朗日定理，可以找到某一时刻，员工的效率达 到最高值。在此基础上，我们可以进一步优化员工的工作节奏和效率，提高企业的生产效率和利润。 总之，拉格朗日中值定理在高中数学的学习中具有非常重要的地位， 其可以作为高中数学各项知识点的基础，从而对提高学生数学素养和 理解能力有极大的帮助。

连续函数介值定理

连续函数介值定理 连续函数介值定理又被称为介值定理或截断定理。它表述如下：如果 函数f在闭区间[a,b]上连续，且f(a)不等于f(b)，那么对于介于f(a) 和f(b)之间的任意实数数值c，总存在一些点x，使得f(x)=c。 证明：为了证明连续函数介值定理，我们需要使用反证法。 假设存在介于f(a)和f(b)之间的实数数值c，但是不满足定理的条件，即在闭区间[a,b]上，并不存在点x使得f(x)=c。我们将构造两个集 合来推导出矛盾。 令A={x，a≤x≤b，并且f(x)c}。 显然，A和B都是非空集合，并且由于连续函数f在闭区间上连续，所以 A和B也都是闭区间[a,b]的子集。 根据上述定义，我们可以得到以下三种情况： 1.如果a∈A或者b∈B，那么存在点x使得f(x)≤c或者f(x)≥c。 不失一般性，我们假设a∈A。由于f在[a,b]上连续，且a∈A，所以根据 连续函数的定义，必然存在一个小区间[a,d]（其中d属于(a,b]），使得[a,d]内的所有点x都满足f(x)c。根据介值定理的假设条件，存在一个点x0使得f(x0)=c，与B的定义相矛盾。

3.如果a不属于A和B，那么存在a'∈A和b'∈B，使得a'≤b'。由于a'∈A，根据连续函数的定义，一定存在一个小区间[a',a'']内的所有点x满足f(x)c，其中b''属于[a',b']。 由于a'≤a''≤b''≤b'，所以可以得到一个分段连续的函数g(x)：{f(x),a≤x≤a'' g(x)= {c,a''c。根据介值定理的假设条件，应该存在一个点x0，使得 g(x0)=c。如果x0属于[a,a'']，那么f(x0)c，同样与假设条件不符。因此，这种情况也是不可能的。 综上所述，对于三种情况的讨论我们都得出了矛盾的结论。因此，假设不成立，根据反证法可知，介值定理的结论成立。 连续函数介值定理的应用非常广泛。它可以用来证明存在性问题，解方程和不等式等。例如，利用介值定理，我们可以证明柯西中值定理、罗尔中值定理，以及柯西-施瓦茨不等式等重要结果。此外，介值定理在数值计算和拓扑学等领域也有重要的应用。 总结起来，连续函数介值定理是分析学中的重要定理之一、它明确了连续函数在闭区间上介值的条件，并给出了证明其正确性的方法。其广泛的应用使得介值定理在数学研究和实际问题中发挥了重要作用。

数学分析7.2闭区间上连续函数性质的证明

第七章 实数的完备性 2 闭区间上连续函数性质的证明 有界性定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有界. 证法一：(应用有限覆盖定理)由连续函数局部有界性知， 对每一点x 0∈[a,b]，都存在邻域U(x 0, δx )及正数M x , 使得 |f(x)|≤M x , x ∈U(x 0, δx )∩[a,b]，则开区间集H={U(x 0, δx )|x 0∈[a,b]} 是[a,b]的一个无限开覆盖. 由有限覆盖定理，存在H 的一个有限子集 H ’={U(x i , δi )|x i ∈[a,b], i=1,2,…k}覆盖住[a,b]，且存在正数M 1,M 2,…M k , 使得对一切x ∈U(x i , δi )∩[a,b]，有|f(x)|≤M i , i=1,2,…k. 令M=k i 1max ≤≤M i , 则对任何x ∈[a,b]，x 必属于某U(x i , δi )，且|f(x)|≤M i ≤M. ∴f 在[a,b]上有界. 证法二：(应用致密性定理)若f 在[a,b]上无上界，则对任何正整数n ， 存在x n ∈[a,b]，使得f(x n )>n. 依次取n=1,2,…，则得到数列{x n } ⊂[a,b]. 由致密性定理，{x n }含有收敛子列{x k n }，记∞→k lim x k n =ξ. 由a ≤x k n ≤b 及数列极限的保不等式性，ξ∈[a,b]. ∵f 在ξ连续，∴∞→k lim f(x k n )=f(ξ)<+∞. 又f(x k n )>n k ≥k →+∞=>∞→k lim f(x k n )=+∞矛盾，∴f 在[a,b]上有上界. 同理可证f 在[a,b]上有下界，∴f 在[a,b]上有界. 最大、最小值定理：若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有最大值与最小值. 证：(应用确界原理)根据连续函数在[a,b]上的有界性及确界原理知，

证明方程根的存在性的方法

在数学的研究领域中，求解方程是一个重要的知识点，而证明方程根的存在性又是求解方程的关键一步.本文利用连续函数的介值定理，费马定理，微分中值定理，函数的单调性，最大值与最小值定理，泰勒公式，积分中值定理七种方法来解决这一问题，并给予了相应的方法步骤，例题简析及结论. 1 利用连续函数的介值定理 1.1 知识回顾： 介值性定理：设函数f 在闭区间[,]a b 上连续，且()()f a f b ¹,若m 为介于()f a 与 ()f b 之间的任何实数(()f a m >()f b ),则至少存 在一点0x Î(,)a b ,使得0()f x m =. 根的存在定理:若函数f 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号(即 ()()0f a f b <),则至少存在一点0x Î(,)a b ，使得0()0f x =. 1.2 方法步骤： （1）构造合适的辅助函数； （2）选取合适的区间，使辅助函数在区间两端点的函数值不同或符号异号； （3）由介值性定理或根的存在定理得出结论. 1.3 例题简析： 例1. 设f 在[,]a b 上连续，且满足([,])[,]f a b a b Ì,证明在区间[,]a b 内，方程()f x x =至少有一根. 分析： 通过引入一个辅助函数()()F x f x x =-,把原来要证明的()f x x =变为 ()0F x =,这就相当于证明方程()0F x =的根的存在问题，这种证明方法常见. 证明：令()()F x f x x =-. 由于([,])[,]f a b a b Ì, 所以，对任何[,]x a b Î有() a f x b ＃.进而()a f a £, ()f b b £. 若()a f a =或()b f b =,则取0x a =或b ,于是方程()f x x =至少有一根a 或b . 若()a f a <与()f b b <,则()()0F a f a a =-> ()()0F b f b b =-<由根的

证明函数连续(共5篇)

证明函数连续（共5篇） 首先引入Heine定理: 存在的充要条件是:对属于f(x)定义域的任意数列 =a,xn不等于a,有 =b. 下面证明分布函数(F(x)=P{Xx})的右连续性,因为F(x)是单调有界不减函数,所以任一点x0的右极限必存在.由Heine定理,只要对 单调下降的数列x1>x2>...>xn>...x0,当xnx0(n )时, =F(x0)成立即可.因为 参考资料:百度百科:海涅定理,概率论与数理统计教程(茆诗松等编). 1 第一章函数、极限、连续第四节 函数连续性 有关知识： （1）连续与间断的概念及间断点分类． （2）闭区间上连续函数性质及应用（中间值存在性证明及方程根存在性证明）．（3）f(x)在x0处连续f(x)在x0处既左连续又右连续． 例1：设f(x)在(0,1)内有定义，且函数exf(x),e f(x)在(0,1)内都是单增函数，证明f(x)在(0,1)内连续．

分析：欲证f(x)在x0(0,1)处连续，需证左，右都连续证明：对x0(0,1)，由题设知当x(x0,1)时，有 e所以ex0xx0f(x0)exf(x),，e f(x0)e f(x) f(x0)f(x)f(x0) x x0f(x)f(x0)，即f(x)在x0处右连续令x x0，由夹逼 定理得lim类似地，可证f(x)在x0处左连续，于是得结论． 例２：设f(x)在[a,b]上连续，且对x[a,b]，存在y[a,b]，使得|f(y)|证明：至少存在一点[a,b]，使得f()0．分析：初一看无处下手，此时可试一试反证法。 证明：若对x[a,b]，f(x)0，则f(x)在[a,b]上恒正或恒负，不妨设f(x)0,x[a,b]，则x0[a,b]，使得 f(x0)minf(x)m0 x[a,b]1|f(x)|，2对此x0，存在y，使得f(y)|f(y)|从 而得出矛盾．故结论成立． 1m|f(x0)|22例３设f是定义在一个圆周上的连续函数，证明 存在一条直径，使得f在直经的两端取相同值．分析：首先要将问 题用数学语言表达，设圆周的圆心为O，取圆周上一点A，B为圆周 上任一点，记AOB,[0,2]，则该问题用数学语言表达为： 已知f()在[0,2]上连续，且f(0)f(2)，求证存在 0[0,]，使得f(0)f(0)．此问题的证明不困难： Pageof3令F()f()f()，则F(0)F()0，从而 由连续函数的性质知0[0,]，使得 F(0)0，即可得结论． 或令F()f()f()，则F(0)F()0，从而由连续函数的性质知 0[0,]，使得 F(0)F(0)F()0，即可得结论．

导数证明题(5道)

导数证明题（5道) 答题时间：120分钟，总分150分 一、解答题 1．已知函数()2 ln f x x x x x =+-. （1）设()()h x f x ='，（其中()f x '是()f x 的导数），求()h x 的最小值； （2）设()()x a g x e x af x -=+-，若()g x 有零点，求a 的取值范围. 2．已知函数f x lnx ax a R =-∈（）（）． （Ⅰ） 讨论f x （）的单调性； （Ⅱ）若2f x x ≤（）对0x ∞∈+（，） 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）当1a =时，设1f x g x xe x e -=--（） （）（为自然对数的底.）若正实数12λλ，满足 12121210x x x x λλ∞+=∈+≠，，（，）（），证明：11221122.g x x g x g x λλλλ+<+（ ）（）（） 3．设函数()x f x ae =，()ln g x x b =+，其中,a b ∈R ,e 是自然对数的底数. （1）设()()F x xf x =，当1a e -=时，求()F x 的最小值； （2）证明：当1a e -=，1b <时，总存在两条直线与曲线()y f x =与()y g x =都相切； （3）当22 a e ≥ 时，证明：()[()]f x x g x b >-. 4．已知函数()ln(2)f x x a =+(0,0)x a >>，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线在y 轴上的截距为 2ln 33 -. （1）求a ； （2）讨论函数()()2g x f x x =-(0)x >和2()()21 x h x f x x =- +(0)x >的单调性； （3）设12 ,5 a =()1n n a f a +=，求证：1521202n n n a +-<-<(2)n ≥. 5．已知函数()2cos 1.f x x ax =+- （1）当1 2 a = 时，证明：()0f x ；