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人教A版高中数学必修四弧度制导学案

§1.1.2

弧度制

学习目标

1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数

2.了解角的集合与实数集 R 之间可以建立起一一对应关系.

3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某

些简单的实际问题.

学习过程

一、课前准备

（预习教材 P 6~ P 9，找出疑惑之处）在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？

二、新课导学

※ 探索新知

问题 1：什么叫角度制？

问题 2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？

问题 3：什么是 1 弧度的角？弧度制的定义是什么？

问题 4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？

问题 5：角的集合与实数集 R 之间建立了________对应关系。

问题 6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合问题 7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面

积公式。

※ 典型例题

例 1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）

（1）

3π 5

（2）3.5

（3）252o

（4）11o151

变式训练：①填表

②若 α = -6 ，则 α 为第几象限角？

③用弧度制表示终边在 y 轴上的角的集角 0o 45o 60o 90o 150 180 315 合

度 o

制

___

____.

弧 π

2π 3 5π 4 3π 2

2π

用弧度制表示终边在第四象限的角的集

合

度

制

__ _____.

变式训练(2)：A=?x x=kπ+(-1)k?,k∈Z?,

,k∈Z?则A、B之间的关系为.?

12=°；（2）－7π

（1）

2,k∈Z｝，N=｛x∣x=k?π±

例2:①已知扇形半径为10cm,圆心角为60o，求扇形弧长和面积

②已知扇形的周长为8cm,圆心角为2rad,求扇形的面积

变式训练（1）：一扇形的周长为20cm，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积.

??π?2?

B=?x x=2kπ+?π?2?

※动手试试

1、将下列弧度转化为角度：

13π

=°′；（3）=°；

2、将下列角度转化为弧度：

（1）36°=rad；（2）－105°=rad；（3）37°30′=rad；

3、已知集合M=｛x∣x=k?

πA．集合M是集合N的真子集B．集合N是集合M的真子集π

2,k∈Z｝，则（）

π ? { }

C ．M = N

D ．集合 M 与集合 N 之间没有包含关系

4、圆的半径变为原来的 2 倍，而弧长也增加到原来的 2 倍，则(

)

A ．扇形的面积不变

B ．扇形的圆心角不变

C ．扇形的面积增大到原来的 2 倍

D ．扇形的圆心角增大到原来的 2 倍

三、小结反思

角度制与弧度制是度量角的两种制度。在进行角度与弧度的换算时关键要抓住 180o= π rad 这

一关系式，熟练掌握弧度制下的扇形的弧长和面积公式.

学习评价

※ 当堂检测（时量：5 分钟满分：10 分）计分：

1、把 -

11π 4

表示成θ + 2k π (k ∈ z) 的形式，使 | θ | 最小的θ 为（）

3π π 3π

π A 、 - B 、 C 、 D 、 -

4 4 4 4

2、角α 的终边落在区间（－3π ,－2 π ）内,则角α 所在象限是

（

）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

3、已知扇形的周长是 6cm ，面积为 2cm 2 ，则扇形弧度数是（

）

A 、1

B 、4

C 、1 或 4

D 、2 或 4

4、将下列各角的弧度数化为角度数：

（1） - 7π 6

度；（2） - 8π 3

= ______度；

（3）1．4 =

度；（4） = 度.

5、若圆的半径是 6cm ，则15 的圆心角所对的弧长是

；所对扇形的面积是__ .

课后作业

6、已知集合 A= ? x k π + ?

π 3 ≤ x ≤ k π + , k ∈ Z ? ,B= x 4 - x 2 ≥ 0 ，求 A B .

2 ?

7、已知一个扇形周长为C(C0)，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？

8、如图，已知一长为3dm，宽为1dm的长方形木块在桌面上作无滑动的翻滚，翻滚到第三面时被一小木板挡住，使木块底面与桌面成30的角，问点A走过的路程及走过的弧度所在扇形的总面积？

任意角与弧度制导学案.doc

第一章三角函数【学习目标】 1.了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【日主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？所学的角的范围是什么？问题2：在体操、跳水中，有“转体720°”这样的动作名词，这里的 “ 720°”，怎么刻画? 二、建构数学 1.角的概念角同?以看成平面内一条绕着它的从一个位置到另一个位置所形成的图形。射线的端点称为角的，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的和O 2.角的分类按方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做O 如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个,它的和重合。这样，我们就把角的概念推广到了,包括________________________ 、 ________ 和 ________ 。 3.终边相同的角所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成? 4.象限角、轴线角的概念我们常在直鱼坐度内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的与重合，角的与重合。那么，角的（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是o 如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为.

象限角的集合 (1)第一象限角的集合： ____________________________________________ (2)第二象限角的集合： ____________________________________________ (3)第三象限角的集合： ____________________________________________ (4)第四象限角的集合： ____________________________________________ 轴线角的集合 (1)终边在x轴正半轴的角的集合：_____________________________________________ (2)终边在x轴负半轴的角的集合：_____________________________________________ (3)终边在y轴正半轴的角的集合：____________________________________________ (4)终边在y轴负半轴的佑的集合：____________________________________________ (5)终边在X轴上的角的集合：____________________________________________ (6)终边在y轴上的角的集合：____________________________________________ (7)终边在坐标轴上的角的集合： ____________________________________________ 三、课前练习在百.角坐标系中画出下列各角，并说出这个角是第几象限角。 30° ,150°,-60°, 390°, -390° ,-120° 【典型例题】例1 (1)钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？ (2)若将钟表拨慢了10分钟，则时针和分针分别转了多少度?

人教版高中数学必修四《弧度制》导学案

§1.1.2 弧度制 1.理解弧度制的意义，正确地进行弧度制与角度制的换算，熟记特殊角的弧度数. 2.了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应关系. 3.掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，会利用弧度制、弧长公式、扇形面积公式解决某些简单的实际问题. 一、课前准备（预习教材P6~ P9，找出疑惑之处）在初中，我们常用量角器量取角的大小，那么角的大小的度量单位为什么？二、新课导学 ※探索新知问题1：什么叫角度制？问题2：角度制下扇形弧长公式是什么？扇形面积公式是什么？问题3：什么是1弧度的角？弧度制的定义是什么？问题4：弧度制与角度制之间的换算公式是怎样的？

问题5：角的集合与实数集R 之间建立了________对应关系。问题6：用弧度分别写出第一象限、第二象限、第三象限、第四象限角的集合. 问题7：回忆初中弧长公式，扇形面积公式的推导过程。回答在弧度制下的弧长公式，扇形面积公式。 ※ 典型例题例1：把下列各角进行弧度与度之间的转化（用两种不同的方法）（1） 5 3π （2）3.5 （3）252o （4）11o151 变式训练：①填表 ②若6-=α，则α为第几象限角？ ③用弧度制表示终边在y 轴上的角的集合 ___ ____. 用弧度制表示终边在第四象限的角的集合

__ _____. 例2: ①已知扇形半径为10cm,圆心角为60o，求扇形弧长和面积 ②已知扇形的周长为8cm , 圆心角为2rad,求扇形的面积变式训练（1）：一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大，并求此扇形的最大面积. 变式训练 (2)：A=()? ??? ??∈? -+=Z k k x x k ,21π π, B=? ?? ? ?? ∈+=Z k k x x ,22π π则A 、B 之间的关系为 . ※ 动手试试 1、将下列弧度转化为角度：（1） 12π= °；（2）－87π= ° ′；（3）6 13π = °； 2、将下列角度转化为弧度：（1）36°= rad ；（2）－105°= rad ；（3）37°30′= rad ； 3、已知集合M =｛x ∣x = 2 π ? k , k ∈Z ｝，N =｛x ∣x = 2 π π± ?k , k ∈Z ｝，则（） A ．集合M 是集合N 的真子集

北师大版数学必修四：《弧度制》导学案(含解析)

第2课时弧度制 1.了解弧度制的概念及其意义,会将角度制与弧度制互相转化. 2.了解弧度制下的弧长公式和扇形公式并能应用公式解决有关问题. 3.理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系. 自行车大链轮有48个齿,小链轮有20个齿,当大链轮转过一周时,小链轮转过的角度是多少度?多少弧度? 问题1:弧度制的定义以弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制,把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角,记作1rad. 问题2:角度与弧度之间的转换 ①将角度化为弧度:360°=,180°=,1°=≈0.01745rad,n°= rad. ②将弧度化为角度:2π=,π=,1rad=()°≈57.30°=57°18',n rad=()°. 问题3:弧度制下终边相同的角的表示 (1)与任意角α终边相同的角组成的集合为,其中α为角的弧度数. (2)用弧度制表示角省掉单位“弧度”后,就使角的集合与实数集R之间建立了一种的关系,即每一个角都有的一个实数与它对应;反过来,每一个实数也都有的一个角与之对应. (3)在表示与角α终边相同的角时,要注意统一单位,应避免出现30°+2kπ或+k·360°, 即同一表达式中度量单位要. 问题4:弧长公式及扇形的面积公式 (1)弧长公式: ①弧度制:; ②角度制:. (2)扇形的面积公式:

①弧度制:; ②角度制:. 上述公式中,由α、r、l、S中的两个量可以求出另外两个量,即知二得二;使用弧度制下的弧长公式有很多优越性(如公式简单,便于记忆、应用),但是如果已知的角是以“度”为单位时,则必须先把它化成弧度后再用公式计算. 1.225°角的弧度数为(). A.B.C.D. 2.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为(). A.40πcm2 B.80πcm2 C.40cm2 D.80cm2 3.半径为2的圆中,弧长为4的弧所对的圆心角是. 4.两角差为1°,两角和为1rad,求这两角的弧度数. 角度与弧度的互化 (1)把22°30'化成弧度; (2)把化成角度. 用弧度表示终边相同的角

人教版高中数学必修4 弧度制(结)

1.1.2 弧度制重点：用弧度制表示各种角以及弧度制与角度制之间的换算. 难点：对弧度制的引入. 一、角度制与弧度制的转化同一个角，除零角之外，用“度”表示与用“弧度”表示是不同的数量.“度”不可省略，“弧度”即“rad”可省略.其换算关系以π=180°为转化点. 例1 (1)把112°30′化为弧度；(2)把－5π12化为度．【分析】先把“分”、“秒”化为“度”，再利用1°＝π180 rad ，1 rad ＝(180π )°进行相应地转化．【解】 (1)112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝2252×π180＝5π8 ； (2)－5π12＝－(5π12×180π )°＝－75°. 【点评】以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式.如无特殊要求，不必把π写成小数. 二、用弧度表示角的集合角度制中的度、分、秒是六十进制，弧度制是十进制，因此弧度制使用起来比角度制方便. 例2（1）用弧度表示顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界，如下图）. （2）把-1480°写成α+2kπ（k ∈Z ）的形式，其中0≤α<2π. 【思路点拨】先用弧度制表示这个角（临界角），然后结合图形或者范围写出该角.

【解】 (1)135°＝135×π180＝3π4，225°可以看成是与－135°终边相同的角，而－135°＝－3π4 ， ∴阴影部分角的集合为： {θ|2k π－3π4<θ<2k π＋3π4 ，k ∈Z}． (2)∵－1480°＝－1480π180＝－74π9＝－10π＋16π9 ，又0≤16π9 <2π， ∴－1480°＝16π9－2×5π＝16π9 －10π. 【思维总结】在表示角的集合时，一定使用统一制度，只能用角度或弧度制中的一种，不能混用. 三、弧度制下的弧长公式和扇形面积公式在弧度制下，当圆心角为弧度时，弧长公式、扇形面积公式有更简单的形式，更利于计算. 例3 已知一扇形的圆心角是72°，半径等于20 cm ，求扇形的面积和弧长. 【思维流程】化为弧度→代入公式【解】 ∵72°＝72×π180＝2π5 (rad)， ∴l ＝αr ＝2π5 ×20＝8π(cm)． ∴S ＝12lr ＝12 ×8π×20＝80π(cm 2)．【思维总结】弧度制下与角度制下的弧长公式、扇形面积公式是等价的.

任意角与弧度制导学案

第一章三角函数 1.1.1 任意角【学习目标】 1．了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2．正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0 720”，怎么刻画？ ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念角可以看成平面一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_________重合。这样，我们就把角的概念推广到了___________，包括_______、________和________。 3. 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在，可构成一个_________，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成 ______. 4．象限角、轴线角的概念我们常在直角坐标系讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。如果角的终边落在坐标轴上，则称这个角为____________________. 象限角的集合

高中数学必修四《弧度制》名师教学设计

课题：1.1.2 弧度制教学设计一、教学目标知识与技能 1.理解1弧度的角，弧度制的定义，熟记特殊角的弧度数； 2.掌握角度与弧度的换算公式并能熟练进行角度与弧度的换算； 3.了解角的集合与实数集合之间可以建立一一对应关系； 4.掌握弧度制下的弧长公式，扇形的面积公式. 过程与方法 1.经历弧度制的探索过程，让学生从某一个简单的、特殊的情况着手，更利于教学的开展和学生思维的拓展，共同找出弧度与角度的换算方法，领悟从特殊到一般的思想. 2.通过设置问题启发，发展学生观察、分析、归纳概括解决问题的方法，提高解决问题的能力. 情感态度与价值观 1.使学生领悟到角度制、弧度制都是角的度量制，二者虽然单位不同，但是是互相联系的、辩证统一的，进一步加强对辩证统一思想的理解，欣赏数学之美. 2.使学生体会弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣. 二、教学重点、难点 1.教学重点：理解弧度制意义,能进行角度制与弧度制的互化. 2.教学难点：弧度制的概念及弧度与角度的换算. 三、教学方法与教学手段 1.教学方法：问题教学法、合作学习法. 2.教学手段：多媒图片、几何画板、PPT课件. 四、教学过程（一）创设情境 1.师提出问题：2019年10月1日中华人民共和国成立70周年，同学们有没有看阅兵式?

【设计意图】以时政热点为话题导入新课，极大地调动了学生的学习热情，而且能提高学生的参与度，对培养学生的综合能力和提升课堂效率都很有帮助. 2.问题情境1：中国国土面积960万平方千米，故宫面积约1080亩；中国领海宽度12海里；中国高铁运营里程达到3万公里，位居世界第一；中国黄金储备6245盎司；中国钢铁产量超过10亿吨，连续16年位居世界第一. 【设计意图】以祖国的成就设为问题情境，调动学生的学习积极性，同学们都能够感受到祖国的强大，激起同学们浓烈的爱国思想；类比研究面积、长度、质量可以选择不同的单位，不同的单位制能为我们解决问题带来方便，引出度量角的另一种单位制. 3.问题情境2：回忆初中学习的锐角三角函数定义，教师引出其他版本教材有不一样的定义. 提出问题：为什么有的教材将锐角的正弦、余弦、正切定义成三角比呢？请你结合高中函数的定义进行分析. 【设计意图】通过引出其他版本教材有不一样的定义，利用新旧知识所蕴含的矛盾引发认知冲突一方面引出本节课的主题，另一方面学生发现问题、提出问题的能力在潜移默化中得到培养，这个问题是本节知识的切入点是引发学生思考，培养学生素养的关键. （二）探究新知，得到概念 1.教师提出问题：在半径为r 的圆O 中，当B 点在圆周上运动时，你发现了什么？（教师几何画板演示）学生活动1：学生讨论后总结，弧长变大，圆心角变大，因为我们要用实数度量圆心角，所以由180r n l π=，变形得r l n ?π=180. 师继续追问：当半径发生变化时，你发现了什么？能不能仅用弧长或者半径来度量圆心角？（教师几何画板演示）学生活动2：学生讨论后总结，不能仅用弧长或者半径来度量圆心角的大小. 教师再总结：仅用半径和弧长中的一个量不能度量圆心角的大小，但它又与半径r 和弧长l 相关. A

人教版高中数学版必修四学案弧度制

1.1.2 《弧度制》导学案【学习目标】 1.理解弧度制的意义； 2.能正确的应用弧度与角度之间的换算； 3.记住公式||l r α=（为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； 4．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。【重点难点】弧度与角度之间的换算；弧长公式、扇形面积公式的应用。【学法指导】 1.了解弧度制的表示方法； 2.知道弧长公式和扇形面积公式. 【知识链接】初中学习中我们知道角的度量单位是度、分、秒，它们是60进制，角是否可以用其它单位度量，是否可以采用10进制？自学课本第7、8页.通过自学回答以下问题： 1、角的弧度制是如何引入的？ 2、为什么要引入弧度制？好处是什么？ 3、弧度是如何定义的？ 4、角度制与弧度制的区别与联系? 三、提出疑惑 1、平角、周角的弧度数？ 2、角的弧度制与角的大小有关，与角所在圆的半径的大小是否有关？ 3、角的弧度与角所在圆的半径、角所对的弧长有何关系？【学习过程】（一）复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1角的？角度制的单位有哪些，是多少进制的？（二）为了使用方便，我们经常会用到一种十进制的度量角的单位制——弧度制。 <我们规定> 叫做1弧度的角，用符号表示，读作。练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2 r 的弧所对的圆心角分别为多少？ <思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？

由上可知：如果半径为r 的园的圆心角α所对的弧长为,那么，角α的弧度数的绝对值是：，α的正负由决定。正角的弧度数是一个，负角的弧度数是一个，零角的弧度数是。 <说明>：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。例如：当弧长4l r π=且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是 4||4l r r r παπ-=- =-=-．（三）角度与弧度的换算 3602π=rad 180π=rad 1801π =?rad 0.01745≈rad 1rad =?)180 (π5718'≈ 归纳：把角从弧度化为度的方法是：把角从度化为弧度的方法是： <试一试>：一些特殊角的度数与弧度数的互相转化,请补充完整例1、把下列各角从度化为弧度： (1)0252 （2）0/1115 (3) 030 (4)'3067? 变式练习：把下列各角从度化为弧度： (1)22 o30′ （2）—210o (3)1200o

高中数学人教版必修4任意角和弧度制教学设计

1.1 任意角和弧度制 1.1.1 任意角整体设计教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务. 学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义. 三维目标 1.通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念. 2.通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义. 3.通过类比正、负数的规定,让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用,为今后的学习与发展打下良好的基础. 重点难点教学重点:将0°—360°范围的角推广到任意角,终边相同的角的集合. 教学难点:用集合来表示终边相同的角. 课时安排 1课时教学过程导入新课图1 思路 1.(情境导入)如图1,在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机,只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品.由此发问:指针怎样旋转,旋转多少度才能赢?还有我们所熟悉

第1课时任意角的概念与弧度制导学案教程文件

第1课时任意角的概念与弧度制导学案

第1课时任意角的概念与弧度制导学案1、学习目标（1）了解任意角的概念。并会写象限角和终边相同的角的集合。（2）熟练掌握角度与弧度的互化。（3）熟记弧长和扇形面积的公式。 2、新知导读 1．与角α终边相同的角的集合为．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为． 3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为，终边在y 轴上的角的集合为，终边在坐标轴上的角的集合为． 4．象限角是指：．如何确定四个象限角？ 5．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系． 6．弧度与角度互化：180o＝弧度，1o＝弧度，1弧度＝ ≈ o．特殊角的角度与弧度的互化。30o= 弧度45o= 弧度60o= 弧度90o= 弧度 7．弧长公式：l ＝；扇形面积公式：S ＝ . 8、阅读练习册P60的名师支招 3、范例点睛例1.（象限角问题）若α是第二象限的角，试分别确定2α,2α ,3 α的终边所在位置.

例2. （弧长与扇形面积）已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3 π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积； (2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值． 4、达标检测 1、已知,αβ的终边关于y=x 对称，则αβ+= 。 2 、一个半径为r 的扇形，如果它的周长等于弧所在半圆的弧长，那么该扇形的圆心角度数是________弧度或_____角度，该扇形的面积是____________________ 3、练习册P62对应演练。

人教版高中数学必修四任意角和弧度制

任意角和弧度制 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数 (一)角的概念： 1 任意角正角：按顺时针方向形成的角负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角定义：角的顶在原点始边与x 轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k 为任意整数）（1）在直角坐标系内讨论角：注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。（2）①与α角终边相同的角的集合：},2|{},360|{0 Z k k Z k k ∈+=∈+=απββαββ或（3）区间角的表示： ①象限角：象限角象限角的集合表示第一象限角的集合 o o o {|360<<36090,x k k k α??+∈Z } 第二象限角的集合 o o o o {|36090<<360180,x k k k α?+?+∈Z } 第三象限角的集合 o o o o {|360180<<360270,x k k k α?+?+∈Z } 第四象限角的集合 o o o o {|360270<<360360,x k k k α?+?+∈Z } ②写出图中所表示的区间角：由α的终边所在的象限，来判断 2α所在的象限，来判断3 α 所在的象限 (二)弧度制 1 弧度角的规定.

人教版高中数学必修4作业第2课时弧度制

第2课时弧度制课时目标 1.了解度量角的单位制，即角度制与弧度制． 2．理解弧度制的定义，能够对弧度和角度进行正确的换算．识记强化 1．我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad. 2．弧长计算公式：l ＝|α|·r (α是圆心角的弧度数)；扇形面积公式S ＝12l ·r 或S ＝1 2 |α|·r 2(α 是弧度数且0<α<2π)． 3．角度与弧度互化度数 360° 180° 1° (180π )° 弧度数 2π π π180 1 课时作业一、选择题 1．－315°化为弧度是( ) A ．－43π B ．－5π3 C ．－7π4 D ．－76π 答案：C 解析：－315°×π180＝－7π 4 2．在半径为2 cm 的圆中，有一条弧长为π 3 cm ，它所对的圆心角为( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3 答案：A 解析：设圆心角为θ，则θ＝π32＝π 6 . 3．与角－π 6 终边相同的角是( ) A.5π6 B.π3

C.11π6 D.2π3 答案：C 解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2k π，k ∈Z ，当k ＝1时，α＝－π 6 ＋2π ＝11π 6 ，故选C. 4．下列叙述中正确的是( ) A ．1弧度是1度的圆心角所对的弧 B ．1弧度是长度为半径的弧 C ．1弧度是1度的弧与1度的角之和 D ．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小，它是角的一种度量单位答案：D 解析：由弧度的定义，知D 正确． 5．已知集合A ＝{x |2k π≤x ≤2k π＋π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 为( ) A ．? B ．{α|－4≤α≤π} C ．{α|0≤α≤π} D ．{α|－4≤α≤－π}∪{α|0≤α≤π} 答案：D 解析：求出集合A 在[－4,4]附近区域内的x 的数值，k ＝0时，0≤x ≤π；k ＝1时，4<2π≤x ≤3π；在k ＝－1时，－2π≤x ≤－π，而－2π＜－4，－π＞－4，从而求出A ∩B . 6．下列终边相同的一组角是( ) A ．k π＋π 2 与k ·90°，(k ∈Z ) B ．(2k ＋1)π与(4k ±1)π，(k ∈Z ) C ．k π＋π6与2k π±π 6，(k ∈Z ) D.k π3与k π＋π 3，(k ∈Z ) 答案：B 解析：(2k ＋1)π与(4k ±1)π，k ∈Z ，都表示π的奇数倍．二、填空题 7．在半径为2的圆中，弧长为4的弧所对的圆心角的大小是________rad. 答案：2 解析：根据弧度制的定义，知所求圆心角的大小为4 2 ＝2 rad. 8．设集合M ＝?????? αα＝k π2－π3，k ∈Z ，N ＝{α|－π<α<π}，则M ∩N ＝________. 答案：???? ??－5 6π，－π3，π6，23π 解析：由－π

高中数学1.1任意角和弧度制教案新人教a版必修

《任意角和弧度制》教案【教学目标】 1.理解任意角的概念. 2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写. 3.了解弧度制，能进行弧度与角度的换算. 4.认识弧长公式，能进行简单应用.对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深. 5.了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.【导入新课】复习初中学习过的知识：角的度量、圆心角的度数与弧的度数及弧长的关系提出问题： 1．初中所学角的概念. 2．实际生活中出现一系列关于角的问题. 3.初中的角是如何度量的？度量单位是什么？ °的角是如何定义的？弧长公式是什么？ 5.角的范围是什么？如何分类的？新授课阶段一、角的定义与范围的扩大 1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成 OA OB分别是角α的终边、始边. 一个角α，点O是角的顶点，射线, ∠”可以简记为α．说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角. 说明：零角的始边和终边重合. 3．象限角：

在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 例如：30,390,330-o o o 都是第一象限角；300,60-o o 是第四象限角. （2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：90,180,270o o o 等等. 说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”.因为 x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线. 4．终边相同的角的集合：由特殊角30o 看出：所有与30o 角终边相同的角，连同30o 角自身在内，都可以写成30360 k +?o o () k Z ∈的形式；反之，所有形如 30360k +?o o ()k Z ∈的角都与30o 角的终边相同.从而得出一般规律：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合 {}|360,S k k Z ββα==+?∈o ，即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同. 例1 在0o 与360o 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？（1）120-o ；（2）640o ；（3）95012'-o . 解：（1）120240360-=-o o o ，所以，与120-o 角终边相同的角是240o ，它是第三象限角；（2）640280360=+o o o ，所以，与640o 角终边相同的角是280o 角，它是第四象限角；（3）95012129483360''-=-?o o o ，

高中数学必修四《弧度制》优秀教学设计

1.1.2弧度制一、教学目标： 1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；（4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系.(6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系. 2、过程与方法创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器. 3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制---弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备. 二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用. 难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用. 三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里. 用角度制，但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义，在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化. 教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制. 【探究新知】 1．角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等. 弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？请看课本67P P ，自行解决上述问题.

高中数学必修4——任意角与弧度制导学案

任意角【学习目标】1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念； 2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示. 【重点难点】正确理解终边相同的角的概念【学习过程与方法】 1．角的定义： 2．角的分类：正角：按方向旋转形成的角叫做正角；负角：按方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线旋转，我们称它为零角。说明：零角的始边和终边重合。 3．象限角：在直角坐标系中，使角的与坐标原点重合，角的与x 轴的非负轴重合，若角的在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。如：30,390,330-都是第象限角； 300,60-是第象限角。注：非象限角（也称象限间角、轴线角）：如果角的终边在上，就认为这个角不属于任何象限。例如：90,180,270等等。 4．终边相同的角的集合所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合： {}|360,S k k Z ββα==+?∈，小结：1、任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。 2、终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。【典型例题】例1．（1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？（2）若将钟表拨慢10分钟，则时针和分针分别转了多少度？

例2．在00到0360的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）0650 （2）0150- （3）0'99015- 例3、若3601575,k k Z α=?-∈，试判断角α所在象限。例4．已知α与0240角终边相同，判断2α 是第几象限角. 例5．写出终边落在第一、三象限的角的集合. 【课堂练习】 1.与500°终边相同的角为（） A .()36040k k Z ?+∈ B.()360140k k Z ?+∈ C .()360240k k Z ?+∈ D.()360340k k Z ?+∈ 2.下列各命题，其中正确的有（） ①相等的角终边相同； ②终边相同的角一定相等； ③第二象限的角一定大于第一象限的任意角； ④若0180α<<,则α必是第一或第二象限的角

【最新】高中数学必修四导学案

高中数学《必修四》导学案班级________ 姓名___________ 第一章三角函数 1.1.1 任意角【学习目标】 1、了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念 2、正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示【学习重点、难点】用集合与符号语言正确表示终边相同的角【自主学习】一、复习引入问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？ ______________________________________________________ 所学的角的范围是什么？ ______________________________________________________ 问题2：在体操、跳水中，有“转体0 720”，怎么刻画？ 720”这样的动作名词，这里的“0 ______________________________________________________ 二、建构数学 1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。 2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。 3.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合_________ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成。 4．象限角、轴线角的概念我们常在直角坐标系内讨论角。为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。

必修4-任意角和弧度制-练习题整理

1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式）－150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置

人教版高中数学高一A版必修4 弧度制

课后训练 1．若圆的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( ) A ．扇形面积不变 B ．扇形的圆心角不变 C ．扇形的面积增大到原来的2倍 D ．扇形的圆心角增大到原来的2倍 2．下列转化结果错误的是( ) A ．67°30′化成弧度是3π 8 B ．10π 3-化成度是－600° C ．－150°化成弧度是7π 6- D ．π 12化成度是15° 3．把11π4-表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ的值是( ) A ．3π 4- B ．π 4- C ．π 4 D ．3π 4 4．集合P ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，Q ＝{α|－4≤α≤4}，则P ∩Q ＝( ) A ． B ．{α|－4≤α≤－π或0≤α≤π} C ．{α|－4≤α≤4} D ．{α|0≤α≤π} 5．用集合表示终边在阴影部分的角α的集合为( ) A ．ππ43αα?? ≤≤???? B ．π5π43αα?? ≤≤???? C ．π π2π2π,43k k k αα?? +≤≤+∈????Z

D． π5π 2π2π, 43 k k k αα ??+≤≤+∈ ???? Z 6．将钟表的分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是__________． 7．若角θ的终边与8π 5 的终边相同，则在[0,2π]内终边与角 4 θ 的终边相同的角是 __________． 8．扇形的周长是16，圆心角是2 rad，则扇形的面积是__________． 9．设两个集合M＝ ππ , 24 k x x k ?? =+∈ ?? ?? Z，N＝ π π, 4 x x k k ?? =-∈ ?? ?? Z，试判断M与 N之间的关系． 10．如图所示的圆中，已知圆心角∠AOB＝2π 3 ，半径OC与弦AB垂直，垂足为点D．若 CD的长为a，求ACB的长及其与弦AB所围成的弓形ACB的面积．