当前位置：文档库 › 中考数学转化思想在代数中的应用专题练习

中考数学转化思想在代数中的应用专题练习

专题练习转化思想在代数中的应用

一、填空题

1. 已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 、b 是关于x 的

一元二次方程的两个根，判断△的形状

。

x c x c ABC 24480-+++=()

答案：直角三角形

222.cos 已知∠为三角形一个内角，抛物线的对称轴是轴，A y x x A y =-++

则∠A=_____________度。答案：90

3. 已知△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若抛物线

y x a b x c ab x ABC =--+-2222()的顶点在轴上，判断△的形状

。

答案：直角三角形

4. 在直角坐标系中，两圆的圆心都在y 轴上，并且两圆相交于A 、B 两点，若点A 的

坐标为，°，则点的坐标为

。

(tan )-2560B

答案：()253，

5. 设两圆半径分别为2、5，圆心距d 使点A （6－2d ，7－d ）在第二象限，判断两圆位置关系___________。答案：两圆相交

6. a 、b 、c 为△ABC 的三条边，满足条件点（a －c ，a ）与点（0，－b ）关于x 轴对称，判断△ABC 的形状____________。答案：等边三角形二、解答题

7. 如图所示，AD 为⊙O 的直径，一条直线l 与⊙O 交于E 、F 两点，过A 、D 分别作直线l 的垂线，垂足是B 、C ，连结CD 交⊙O 于G 。

（1）求证：AD ·BE=FG ·DF ；

（2）设AB=m ，BC=n ，CD=p ，求证：tan ∠FAD 、tan ∠BAF 是方程

mx nx p 20-+=的两个实数根。三角函数值作为方程的根，视为三角函数值(

用几何知识，视为方程根用方程知识）

解：（1）提示：证明CF=BE ，△GFC ∽△ADF ；（2）提示：先证明Rt △DFC ∽Rt △FAB 得DF ：FA=FC ：AB=DC ：FB

∴∠∠tan tan FAD BAF FD FA FB AB FC AB FB AB BC AB n

m +=

+=+== tan tan ∠·∠··FAD BAF FD FA FB AB DC FB FB AB DC AB p

m ====

∴∠、∠是方程的两个实数根。tan tan FAD BAF mx nx p 20-+=

8142022212121.()设关于的二次方程的两根为，，若x a x ax x x x x x +-+==-

32x a ，试求的值。非对称式转化为对称式()

解：a ＝3或a ＝－1

提示：

x x a

a 12241

+①

x x a 12221

+②

由，得，平方，23221212121212x x x x x x x x x x =-++=-()() 得，44316122121212212()()()x x x x x x x x x x ++=+-

将式①、②代入后，解得a ＝3，a ＝－1，检验适合。

9. △ABC 中，AD 是高，AD 与AB 的夹角为锐角α，Rt △ABC 的面积和周长都为

3084210321221322

，又、是关于的方程的两个实数根，且x x x x x x x --+=cos (α

x x AD AC 12239

10012)()cos ()(。求：的值；和的长。“三角函数值”的有关α

“代数式”作为方程的系数）

解：（1）

cos α=

提示：由得，

?=16--+≥<

=451

（2）AD AC AD AC ==??

==???12135

13或提示：由，，·求得，AD DC AC AD DC AC AD DC AC +=-+==???

?=306013222

再由

，

解得或

AD DC

DC +=

10. 如图所示，以正方形ABCD平行于边的对称轴为坐标轴建立直角坐标系，若正方形的边长为4。

（1）求过B、E、F三点的二次函数的解析式；

（2）求此抛物线的顶点坐标。

（先转化为点的坐标，再求函数解析式）

解：（1）y x x =-+

提示：点B（－2，－2），点E（0，2），点F（2，0）；

（2）

顶点坐标为，

()

11. 如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速

度移动，如果、分别从、同时出发，几秒钟后、间的距离等于厘P Q A B P Q42米？（把实际问题转化为几何问题）

解：

t PQ cm

秒时，

提示：

设秒钟后

t PQ cm

=42

由勾股定理，得()()()

6242

222

-+=

t t

解得，，不合题意，舍去

t t BQ

243

===>

()

122

.在直角坐标系中，已知抛物线的开口向上，顶点在直

xOy y ax bx c P

=++

线上，且到坐标原点距离为，又知抛物线与轴两交点、

在y x P x A B A B =-417(

的左侧）的横坐标的平方和为10。（1）求此抛物线的解析式。

*（2）若Q 是抛物线上异于A 、B 、P 的点，且∠QAP=90°，求点Q 的坐标。（利用“点坐标的绝对值等于线段长”沟通函数与几何，转化为点坐标用函数知识，转化为线段长用几何知识）

解：（1）

y x x =--2

23 提示：∵顶点P 在直线y ＝－4x 上，

可设，，则有，解得±，P()()()ααααα-+-==44171222

∴P （1，－4）或（－1，4）。

∵抛物线开口向上，又与x 轴有交点， ∴（－1，4）不合题意舍去。

设与轴交于点，、，y a x ax ax a x A x B x =--=-+-()()()1424002212

x x x x a a x x x x a 1212

1222122410

1+==-+=??????

?=消、，解得；

（2）Q()

4，提示：如图所示，设抛物线上点Q （m ，n ），过Q 作QP ⊥x 轴于点M 。

AQ m n =++()122， QP m n =-++()()1422，

AP =25

∵∠QAP=90°，

由勾股定理，得

(())()m n +++1252222

=-++()()m n 1422，

整理，得，m n -+=210 又n m m =--223

解得舍或m n m n 112210

7294=-=???==??

???

??()

1392335

22.()()已知抛物线的顶点在双曲线上，

y m x m x m D y x =---+=-

直线经过点和点，，且使随的增大而减小，，满足方程组y kx c D C a b y x a b =+()

a b a ab b a b 22

2520--=-+=?????，求这条直线的解析式。、具有两重性，视为点的坐标用(

函数知识，视为方程的根用方程知识）。

解：

y x y x =--=--

6134311

3或提示：

抛物线的顶点的坐标为，y m x m x m D m =---+-

+()()(92331

322

310335

2m m m D y x +-+=-)，由于点在双曲线上，

得，31033

132m m m m +-+=-

整理，得，m m 210240++=

解得，，m m 1246=-=-

∴，，，D D 12151

315()()

又由方程组解得和，a b a ab b a b a b 22

112230

25202121--=-+=?????==???=-=-???

∴，，，，C C 122121()()--

其中C 1（2，1）不符合题意，舍去。

∴直线的解析式为；

D C y x 124311

3=--

直线的解析式为。D C y x 22613=--

一、选择题（每小题4分，共20分）

1. 在下列二次根式

42223222ab a

a b a a b ，

，，，+-中，最简二次根式有（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

2. 为适应经济的发展，提高铁路运输能力，铁道部决定提高列车运行的速度，甲、乙两城市相距300千米，客车的行车速度每小时比原来增加了40千米，因此，从甲市到乙市运行的时间缩短了1小时30分，若设客车原来的速度为每小时x 千米，则依题意列出的方程是（）

A. 30040300

15x x --=.

B. 300300

4015x x --=. C. 3003004015x x -+=.

D. 3004030015x x +-=.

3. 对二次函数

y x x =

+-13212

进行配方，其结果及顶点坐标是（）

A. y x =+--1

334342()()

，， B.

y x =+--1

311112()()

，，

C. y x =+---1

334342()()

，，

y x =+---1

311112()()

，，

4. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（） A. 平行四边形 B. 菱形 C. 直角梯形 D. 等边三角形

5. 已知两圆的半径分别为2cm 、5cm ，两圆有且只有三条公切线，则它们的圆心距一定（） A. 大于3cm 且小于7cm B . 大于7cm C. 等于3cm D. 等于7cm

二、填空题（每空4分，共40分）

1. 分解因式

y x y 2221--+=______________________。 2. 用换元法解方程x x x x x x y 222

25312553+-+-=-+=时，设，原方程化

为关于y的一元二次方程是____________。

3. 已知△ABC中，DE交AB于D，交AC于E，且DE∥BC，S S

ADE DBCE

△四边形

：

=1：3，则

DE：BC=____________，若AB=8，则DB=____________。

4. 函数y x

x =++

2的自变量取值范围是____________。

5. △ABC中，∠C=90°，

cosB=

3，tanB=____________。

6. 如果反比例函数的图象在第一、三象限，而且第三象限的一支经过（－2，－1）点，则反比例函数的解析式是____________。当

y=+

31时，x=____________。

7. 一组数据：10，8，16，34，8，14中的众数、中位数、平均数依次是______________________________________________。

8. 圆锥的母线长为10cm，高为8cm，则它的侧面积是____________。（结果保留4个有效数字，π取3.142）

三、解答题（每小题8分，共24分）

1. 计算：

--+

cos

tan

()

230

160

2. 解方程组

320

210

x xy y

x y

--=

-+=

，

3. 先化简再求值：

x x

x x x x

+。（其中x=2）

四、解答题（每小题8分，共16分）

1. 已知：如图所示，正方形ABCD，E为CD上一点，过B点作BF⊥BE于B，求证：∠1=∠2。

2. 已知：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，DC=11，D点到AB的距离为2，求BD的长。

五、（第1题8分，第2题10分，共18分）

1. 某水果批发市场规定，批发苹果不少于100千克，批发价为每千克

2.5元，学校采购员带现金2000元，到该批发市场采购苹果，以批发价买进，如果采购的苹果为x （千克），付款后剩余现金为y （元）。

（1）写出y 与x 间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围，画出函数图象；（2）若采购员至少留出500元去采购其他物品，则它最多能购买苹果多少千克？

2. 如图所示，⊙O 中，弦AC 、BD 交于E ，BD AB ?=?

2。

（1）求证：

AB AE AC 2=·；（2）延长EB 到F ，使EF=CF ，试判断CF 与⊙O 的位置关系，并说明理由。

六、（本题10分）

已知关于x 的方程

m x m x 222310+++=()①的两实根的乘积等于1。（1）求证：关于x 的方程

()()()k x k m x k m ---++=2202

()k ≤3方程②有实数根；（2）当方程②的两根的平方和等于两根积的2倍时，它的两个根恰为△ABC 的两边长，若

△ABC 的三边都是整数，试判断它的形状。七、（本题10分）

如图所示，已知BC 是半圆O 的直径，△ABC 内接于⊙O ，以A 为圆心，AB 为半径作弧交⊙O

于F，交BC于G，交OF于H，AD⊥BC于D，AD、BF交于E，CM切⊙O于C，交BF的延长线

于M，若FH=6，AE DE

3，求FM的长。

八、（本题12分）

如图所示，抛物线y mx mx n

=++

2812

与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），在第

二象限内抛物线上的一点C，使△OCA∽△OBC，且AC：BC=3：1，若直线AC交y轴于P。

（1）当C恰为AP中点时，求抛物线和直线AP的解析式；

（2）若点M在抛物线的对称轴上，⊙M与直线PA和y轴都相切，求点M的坐标。

试题答案

一、选择题

1. B

2. B

3. C

4. C

5. D

6. D

二、填空题

1. ()() y x y x

-+--

2. y y

22150

+-=

3. 1：2，4

4. -≤< 2

6. y

，

7. 8，12，15

8. 188.5cm2

三、1. 解：原式=-+

+=-+

+=-

=--1

2×

，

或

，

3. 原式=-

==-

2225，当时，原式

。

四、1. 证明：设∠ABF=∠3，∠ABE=∠5，∠EBC=∠4 ∵∠3+∠5=90°，（已知BF⊥BE于B），

∠4+∠5=90°（四边形ABCD是正方形），

∴∠3=∠4，

∵正方形ABCD，

∴AB=BC，∠C=∠BAF=90°。

在Rt△ABF和Rt△CBE中，

∠∠，

∠∠°，

FAB C

AB BC

∴△ABF≌△CBE（AAS），

∴∠1=∠2。

2. 解：过D点作DE⊥AB于E，则DE=2，在Rt△ABC中，∵∠ABC=60°，

∴∠A=30°。

在Rt△ADE中，∵DE=2，

∴AD=4，AE=

23，

∵DC=11，∴AC=11+4=15，∴AB ===

103×

∴EB AB AE

=-=83，

在Rt△DEB中，DB DE EB

22222

2834192196 =+=+=+=

()

，

∴BD=14。

五、1. 解：（1）y x x

=-≤≤

200025100800

.，

，

（2）y

最大

2000500

1500

600

..千克。

答：最多购买600千克。

2. 证明：（1）连结BC ，∠ABD=∠C （∵AB AD ?=?

），∠CAB 公用，

∴△ABE ∽△ABC ，∴AB AC AE

AB =，

∴

AB AE AC 2

=·。（2）连结AO 、CO ，设∠OAC=∠1，∠OCA=∠2，

∵A 为DB ?

中点，∴AO ⊥DB ，

∴∠1+∠AED=90°

∵∠AED=∠FEC ，∴∠1+∠FEC=90°，又EF=CF ，∴∠FEC=∠ECF ， ∵AO=OC ，∴∠1=∠2， ∴∠1+∠FEC=∠2+∠ECF=90°， ∴FC 与⊙O 相切。

六、证明：由方程①两实根乘积等于1，

∴

m m m ≠，

，±，01

112==经检验m=±1是方程的根。

当m=1时，

x x 2510++=，符合题意。

m=－1时，

x x 210140++==-<，?。

∴

m m =-=11舍去，∴。

方程②

()()()k x k x k k ---++=≤2211032

，。

当k=2时，方程②为

-+==

2303

2x x ，，有实根。

当

k k ≤32且≠时，方程②为()()k x k x k ---++=221102。

?=----+=---+[()]()()()()()214214142122k k k k k k =-+---=-+4214241222()()k k k k k 。

∵

k k k ≤-≥--+≥34124120，∴，∴，

∴方程②有实根。

（2）方程②

x x x x x x k k 122212122212+=+=

--，()

，

x x k k x x 121221

20·，=

+--=()，

∵

x x x x 121200>>=，，∴

∴

221212121112

x k k x k k x k k =

--=--=+-()，∴，，

∴

(

)()()()k k k k k k k k --=+--=+-1212211222，≠，，

∴k=3，当k=3时，

x x 122==。

∵△ABC 三边均为整数，

∴设第三边为n ，则2222-<<+n ，∴04<

n Z n ∈=，∴，，123。

当n=2时，△ABC 为等边三角形。

当n=1或3时，△ABC 为等腰三角形，n=1时，是等腰锐角三角形。 n=3时，是等腰钝角三角形。

七、解：∵A 为⊙A 的圆心，∴AB=AF ，∴AB AF ?=?

，∵AD ⊥BC ，BC 为⊙O 直径。

又∠ABC+∠ACB=90°，∠ABD+∠BAD=90°， ∴∠BAD=∠ACB ，∴∠AFB=∠BAD ，

∴∠AFB=∠ACB ，∴AF BN ?=?

，∴∠BAE=∠ABE ，∴AE=BE 。

设

AE BE k DE k ===53，，∴BD=4k 。

过A 作AQ ⊥FH 于Q ，连结AO ，AO 垂直平分BF ，易知∠ABE=∠AFB 。 ∵OB=OF ，∴∠OBF=∠OFB ，∴∠AFQ=∠ABD ， ∴△ABD ≌△AFQ 。 ∴AD=AQ ，BG=FH=6，

∵AB=AG ，又AD ⊥BG ，∴BD=DG=4k 。

BG=8k=6，∴

k =

34。

∵∠BAC=90°，∠ADB=90°，∴AD 2=BD ·DC 。

∴

()84162k k DC DC k ==·，∴， ∴BC=4k+16k=20k 。

∵MC 是⊙O 切线，∴MC ⊥BC ，△BED ∽△BMC 。

∴

ED BD MC BC k k MC

k ==，即3420。∴MC=15k 。

在Rt△BMC中，BM CM BC k

2222

=+=()

。

由切割线定理，MC MF MB k MF k 22

22525 ==

·，·

，

∴MF k

===

。

八、解：（1）设y mx mx n

=++

2812

与x轴交于A、B两点，A（x1，0）、B（x2，0）。

在Rt△APO中，∵C为AP中点，∴OC AP AC CP ===

∵△OCA∽△OBC，∴OC

===3

。

设AC k BC k OA OB OC k ====

，，·

，

∴OC k PC k OB k OA k AB k OP k ====== 33323

，，，，，

。

在△ABC中，∵BC AC AB ACB CAB 2229030

+===

，∴∠°，∠°

。

∵x x BO AO AO BO

8 +=--=-+=-=-

()

，

∴--=-=-=

k k k k

3482

，∴

。

∴A（－6，0），B（－2，0），∴OP =23023

，，

P()

。

设AP直线y k x

'23

，A（－6，0）代入。

062323

=-+===+ k k AP y x

，∴，∴直线

。

（2）设抛物线的对称轴为M1M2，由题意M1到y轴距离M P M N N M N

1111111

=(为

⊥AP的垂足）。

同理M P M N

222

。

∵y x x

=----=-

2，∴

。

∴M1和M2的横坐标均为－4。

设M1M2与AP交于Q点，M N M N M P M P 11221122

44 =====

，

∵OP k AP k ==

323

，，

∴∠PAO=30°，∠AQM 2=60°。将Q 点横坐标－4代入直线AP 方程：

y =

-+=-+=33423433633233×()。

∵

△≌△M QN M QN 1122，∴M Q M Q 1243

283

3==

×。

∴

M 1833233103

3的纵坐标=

+=，

∴

M 141033()-，

。 ∴M 2点的纵坐标=-=-=-(

)83323363

323的相反数，

∴M 2（－4，-2

3）。

综上，抛物线：

y x x AP y x =-

--=+33833433

3232，直线：，

M M 124103

3423()()---，

，，。

数学的转化思想

中考数学专题复习之三：数学的转化思想【中考题特点】：转化思想要求我们居高临下地抓住问题的实质，在遇到较复杂的问题时，能够辩证地分析问题，通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。具体地说，比如把隐含的数量关系转化为明显的数量关系；把从这一个角度提供的信息转化为从另一个角度提供的信息。转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机．．。【范例讲析】：例1：已知：n m ,满足13,132 2 =-=-n n m m , 求 n m m n +的值。例2：已知：一元二次方程x 2+x+m=0，x 2－(m －1)x+4 1 =0中至少有一个方程有实数根，求m 的取值范围。例3：已知：如图，平行四边形ABCD 中，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，AB ∶BC=6∶5，平行四边形ABCD 的周长为110，面积为600。求：cos ∠EDF 的值。 A B C D E F

例4：已知方程组 kx 2－x －y+ 2 1=0 y=k(2x －1) (x 、y 为未知数) 有两个不同的实数解 x=x 1 或 x=x 2 y=y 1 y=y 2 ⑴求实数k 的取值范围；⑵如果3x 1 x 1y y 2 121=++，求实数k 的值。例5：如图，AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，∠APB 的平分线分别交BC 、AB 于点D 、E ，交⊙O 于点F ，∠A=60°，并且线段AE 、BD 的长是一元二次方程x 2－kx+23=0的两个根（k 为正的常数）。 ⑴求证：PA ·BD=PB ·AE ； ⑵求证：⊙O 的直径为常数k ； ⑶求tan ∠FPA 的值。【练习】： 1．已知：m, n 是方程x 2－3x+1=0的两根，求代数式2m 2+4n 2－6n+1999的值。 2．已知：ab ≠1，且5a 2+1995a+8=0，8b 2+1995b+5=0。求 b a 的值。 3．如图，在直角坐标系中，点B 、C 在x 轴的负半轴上，点A 在y 轴的负半轴上，以AC 为直径的圆与AB 的延长线交于点D ，弧CD =弧AO ，如果AB=10AO>BO ，且AO 、BO 是关于x 的二次方程x 2+kx+48=0的两个根。 ⑴求点D 的坐标；⑵若点P 在直径AC 上，且AC=4AP ，判断点（－2，－10）是否在过D 、P 两点的直线上，并说明理由。 A B C D E F P

初中数学中的“转化思想”

初中数学中的“转化思想” [摘要]：随着课程改革的深入展开，培养学生的能力越来越重要，数学学习更应重视数学思想方法的渗透和培养。本文从几方面论述了转化思想在数学学习中的重要作用：转化思想可以使学生经历探索的学习过程，改变学生的学习方式，转化思想能培养学生创新思维能力及逻辑思维能力，是一种很重要的思维方法；转化思想可以增强学生的数学应用意识，提高解决问题的能力，从而，大大加强学生学习数学的兴趣。 [关键词]：转化思想数学学习逻辑思维应用意识学习兴趣 [引言]：人们在长期的数学实践中总结了许多解决数学问题的方法，形成了许多光辉的数学思想，每种数学思想都有它一定的应用范围，但笔者在数学实践中体会到，在学生的数学学习过程中，决不能忽视转化数学思想所起的重要作用，在教学中必须重视转化思想的渗透和培养。转化是解数学题的一种重要的思维方法，转化思想是分析问题和解决问题的一个重要的基本思想，不少数学思想都是转化思想的体现。就解题的本质而言，解题既意味着转化，既把生疏问题转化为熟习问题，把抽象问题转化为具体问题，把复杂问题转化为简单问题，把一般问题转化为特殊问题，把高次问题转化为低次问题；把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等，因此学生学会数学转化，有利于实现学习迁移，特别是原理和态度的迁移，从而可以较快地提高学习质量和数学能力。数学转化思想、方法无处不在，它是分析问题、解决问题有效途径，它包含了数学特有的数、式、形的相互转换，又包含了心理达标的转换。转化的目的是不断发现问题，分析问题和最终解决问题。在数学中，很多问题能化复杂为简单，化未知为已知，化部分为整体，化一般为特殊，……等等，下面就“转化思想”在初中数学的应用通过举例作个简单归纳。

专题讲座(数学思想方法与初中数学教学)

数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用（一）渗透转化思想，提高学生分析解决问题的能力所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，转化是化繁为简，化难为

易，化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。我们对转化思想并不陌生，中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元，都是转化思想的体现。在具体内容上，有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如：初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中，教材是通过“议一议”的形式，使学生在自主探究和合作交流的过程中，经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程，“减去一个数等于加上这个数的相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题的策略，今后无论遇到多么难、多么复杂的问题，都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单而忽视它的教学，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显的例子，越能引起学生的认同，

中考数学复习专题转化思想(含答案)

转化思想一. 选择题：（本题10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分；共40分） 1、用换元法解方程x x x x + =++222 1时，若设x 2+x=y, 则原方程可化为（） A 、y 2+y+2=0 B 、y 2－y －2=0 C 、y 2－y+2=0 D 、y 2+y －2=0 2、如图，已知ABC ?外有一点,P 满足PC PB PA ==，则（） A 、22 3 1∠= ∠ B 、21∠=∠ C 、221∠=∠ D 、2,1∠∠的大小无法确定 3、小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数2 3.5 4.9h t t =-（t 的单位：s ， h 的单位：m ）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（） A 、0.71s B 、 0.70s C 、0.63s D 、0.36s 4、已知如图：ΔABC 中，∠C=90°，BC=AC ，以AC 为直径的圆交AB 于D ，若AD=8cm ，则阴影部分的面积为（） A 、64πcm 2 B 、64 cm 2 C 、32 cm 2 D 、48 πcm 2 5、已知实数x 满足0112 2 =+++ x x x x ，那么x x 1+的值为（） A 、1或-2 B 、-1或2 C 、1 D 、-2 6、如图，在半圆的直径上作4个正三角形，如这半圆周长为1C ，这4个正三角形的周长和为2C ，则1C 和2C 的大小关系是（）第2题第3题第4题第6题

A 、1C >2C B 、1 C <2C C 、1C =2C D 、不能确定 7.如图，点A 、D 、G 、M 在半圆O 上，四边形 ABOC 、DEOF 、HMNO 均为矩形，设BC=aEF=b ，NH=c ，则下列各式中正确的是 A 、a ＞b ＞c B 、a=b=c C 、c ＞a ＞b D 、b ＞c ＞a 8. 如图，梯形ABCD 中，AB//DC ，AB ＝a ，BD ＝b ，CD ＝c ，且a 、b 、c 使方程ax bx c 220-+=有两个相等实数根，则∠DBC 和∠A 的关系是（） A. ∠=∠DBC A B. ∠≠∠DBC A C. ∠>∠DBC A D. ∠<∠DBC A 9. 如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1，A 是底面圆周上从点A 出发绕侧面一周，再回到点A 的最短的路线长是( ) (A) 36 (B) 2 3 3 (C) 33 (D) 3 10. 已知a 、b 、c 是?ABC 三边的长，b>a ＝c ，且方程 ax bx c 220-+=两根的差的绝对值等于2，则?ABC 中最大角的度数是（） A. 90? B. 120? C. 150? D. 60? 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，） 11、一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把14个棱长为 1分米的正方体摆在课桌上成如图形式，然后他把露出的表面都涂上不同的颜色，则被他涂上颜色部分的面积为__________ 12、某同学在电脑中打出如下排列的若干个圆（图中●表示实心圆， ○表示空心圆）： ● ○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○ 若将上面一组圆依此规律复制得到一系列圆，那么前2007个圆中有个空心圆； 13、二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的部分对应值如下表，则不等式ax 2+bx+c>0的解集为． H N O F C A D G M c a b E B 第7题第8题 D C 1 2 A B 第9题第11题

代数式知识点、经典例题、习题及答案

代数式【考纲说明】 1、理解字母表示数的意义及用代数式表示规律。 2、用代数式表示实际问题中的数量关系，求代数式的值。【知识梳理】 1、代数式：指含有字母的数学表达式。 2、一个代数式由数、表示数的字母、运算符号组成。单个字母或数字也是代数式。 3、代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值。 4、用字母表示数的规范格式：（1）、数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，乘号可以省略不写，或用“.”来代替。（2）、当数和字母相乘，省略乘号时，要把数字写到前面，字母写后面。如：100a或100?a，na或n?a。（3）、后面接单位的相加式子要用括号括起来。如：（ 5s ）时（4）、除法运算写成分数形式。（5）、带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式。 5、列代数式时要注意：（1）语言叙述中关键词的意义，如“大”“小”“增加”“减少”。 “倍”“几分之几”等词语与代数式中的运算符号之间的关系。（2）要理清运算顺序和正确使用括号，以防出现颠倒等错误，例如“积的和”与“和的积”“平方差”“差的平方”等等。（3）在同一问题中，不同的数量必须用不同的字母表示。

【经典例题】【例1】（2012重庆，9，4分）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成。其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中的五角星的个数为（）【解析】仔细观察图形的特点，它们都是轴对称图形，每一行的个数都是偶数，分别是2，4，6，…，6,4,2，故第⑥个图形中五角星的个数为2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72。答案：D 【例2】（2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n 个矩形的面积为 . 【解析】由中点四边形的性质可知，每次所得新中点四边形的面积是前一个图形的1 2 ，故后一个矩形的面积是前一个矩形的 1 4 ，所以第n 个矩形的面积是第一个矩形面积的1 22 1142n n --????= ? ??? ?? ，已知第一个矩形面积为1，则第n 个矩形的面积为22 12n -?? ? ?? 。【例3】按一定规律排列的一列数依次为111111 ,,,,,,2310152635 …，按此规律，第7个数是。【解析】先观察分子：都是1；再观察分母：2,3,10,15,26，…与一些平方数1,4,9,16，…都差1,2=12 +1，3=22 -1，10=32 +1，15=42 -1，26=52 +1，…，这样第7个数为2 11 7150 =+。答案： 150 【例4】已知： 114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值为（） A ．6 B ．--6 C ．215- D ．2 7 - 【解析】由已知114a b -=，得 4b a ab -=，

初中数学思想方法大全

一、宏观型思想方法数学思想是数学基础知识、基本技能的本质体现，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂。（一）、转化(化归)思想解决数学问题就是一个不断转化的过程，把问题进行变换，使之化繁为简、化难为易、化生疏为熟悉，变未知为已知，从而使问题得以解决。不是对原来的问题直接解答，而是想方设法对它进行变形，直到把它转化成某个（某几个）已经解决了的问题为止。通过转化可使原条件中隐含的因素显露出来，从而缩短已知条件和结论之间的距离，找出它们之间内在的联系，以便应用有关方法将问题解决。 “转化”的思想是一种最基本的数学思想。数学解题过程的实质就是转化过程，具体的说，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“抽象”转化为“具体”，把“复杂问题”转化为“简单问题”，把“高次”转化为“低次”，在不断的相互转化中使问题得到解决。可运用联想类比实现转化、利用“换元”、“添线”、消元法，配方法，进行构造变形实现转化、数形结合，实现转化。一般转化为特殊，有些代数问题，通过构造图形，化抽象为具体，借助直观启发思维，转化为易解的几何问题。有些不易解决的几何题通过辅助线转化为代数三角的知识来证明，有些结构比较复杂的问题，可以简化题中某一条件，甚至暂时撇开不顾，先考虑一个简化的问题，这种简化题对于证明原题常常能起到引路的作用。把实际问题转化为数学问题。结合解题进行化归思想方法的训练的做法：a、化繁为简；b、化高维为低维；c、化抽象为具体；d、化非规范性问题为规范性问题；e、化数为形；f、化实际问题为数学问题； g、化综合为单一；h、化一般为特殊。有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，首先要认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法应用：A将未知向已知转化；B将陌生向熟知转化；C方程之间的转化；D平面图形间的转化；E空间图形与平面图形的转化；F统计图之间的相互转化。例子：减法转化成加法（减去一个数等于加上这个数的相反数）；除法转化成乘法（除以一个不等于零的数等于乘以这个数的倒数）；多项式的先化简再代入求值；单项式乘单项式可化归为有理数乘法和同底数幂的乘法运算；单项式乘多项式和多项式乘多项式都可以化归为单项式乘单项式的运算；将求负数的立方根转化为求正数的立方根的相反数；实数近似运算中据问题需要取近似值，从而转化为有理数计算；将异分母分式的加减转化为同分母分式的加减；将分式的除法转化成分式的乘法；将分式方程转化为整式方程求解；将分子的次数不低于分母次数的分式用带余除法转化为整式部分和分式部分的和；将方程的复杂形式化为最简形式；通过立方程把实际问题转化为数学问题；通过解方程把未知转化为已知；把一元二次方程转化为一元一次方程求解；把二元二次方程组转化为二元一次方程组，再转化为一元一次方程从而求解；通过转化为解方程实现实数范围内二次三项式的分解、方程中字母系数的确定；角度关系的证明和计算；平行线的性质和判定；把几何问题向平行线等简单的熟悉的基本图形转化；特殊化（特殊值法、特殊位置、设项、几何中添辅助线等）；图形的变换（轴对称、平移、旋转、相似变换）；解斜三角形（多边形）时将其转化为解直角三角形；（二）、数形结合思想数学的研究对象是现实世界中的数量关系（“数”）和空间形式（“形”），而“数”和“形”是相互联系、相互渗透的，一定条件下也是可以互相转化的，因此，在解决问题时，常需把同一问题的数量关系与空间形式结合起来考查，利用数的抽象严谨和形的直观表意，把抽象思维和形象思维结合起来，把数量关系问题通过图形性质进行研究，或者把图形性质问题通过数量关

2018年中考数学方法技巧：专题五-转化思想训练(含答案)

2．[2016·扬州]已知M＝a－1，N＝a2－a(a为任意实数)，则M、N的大小关系为() 方法技巧专题五转化思想训练转化思想是解决数学问题的根本思想，解数学题的过程其实就是逐渐转化的过程．常见的转化方法有：未知向已知转化，数与形的相互转化，多元向一元转化，高次向低次转化，分散向集中转化，不规则向规则转化，生活问题向数学问题转化等等．一、选择题 1．[2015·山西]我们解一元二次方程3x2－6x＝0时，可以运用因式分解法，将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程：3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x 1 ＝0，x 2 ＝2.这种解法体现的数学思想是() A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想 27 99 A．M＜N B．M＝N C．M＞N D．不能确定 3．[2016·十堰]如图F5－1所示，小华从A点出发，沿直线前进10m后左转24°，再沿直线前进10m，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是() A．140m B．150m C．160m D．240m 图F5－1 4．[2016·徐州]图F5－2是由三个边长分别为6，9，x的正方形所组成的图形，若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是() 图F5－2 A．1或9B．3或5 C．4或6D．3或6 二、填空题 5．[2017·烟台]运行程序如图F5－3所示，从“输入实数x”到“结果是否＜18”为一次程序操作，若输入x 后程序操作仅进行了一次就停止，则x的取值范围是________．图F5－3

2．A [解析] ∵N －M ＝a 2 － a －( a －1)＝a 2－a ＋1＝(a － )2＋＞0，∴M ＜N .故选 A . 6．[2016·达州] 如图 F 5－4，P 是等边三角形 ABC 内一点，将线段 AP 绕点 A 顺时针旋转 60°得到线段 AQ ，连结 BQ .若 PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10，则四边形 APBQ 的面积为________．图 F 5－4 7．[2016·宿迁] 如图 F 5－5，在矩形 ABCD 中，AD ＝4，点 P 是直线 AD 上一动点，若满足△PBC 是等腰三角形的点 P 有且只有 3 个，则 AB 的长为________．图 F 5－5 三、解答题 8．如图 F 5－6①，点 O 是正方形 ABCD 两条对角线的交点．分别延长 O D 到点 G ，OC 到点 E ，使 OG ＝2OD ，OE ＝2OC ，然后以 OG 、OE 为邻边作正方形 OEFG ，连结 AG ，DE . (1)求证：DE ⊥AG ； (2)正方形 ABCD 固定，将正方形 OEFG 绕点 O 逆时针旋转 α 角(0°＜α ＜360°)得到正方形 OE ′F ′G ′，如图②. ①在旋转过程中，当∠OAG ′是直角时，求 α 的度数； ②若正方形 ABCD 的边长为 1，在旋转过程中，求 AF ′长的最大值和此时 α 的度数，直接写出结果，不必说明理由．图 F 5－6 参考答案 1．A 7 2 1 3 9 9 2 4 注：此题把比较两个式子的大小转化为比较两个代数式的差的正负． 3．B [解析] ∵多边形的外角和为 360°，这里每一个外角都为 24°，∴多边形的边数为 360°÷24°＝15.

化归思想在初中数学解题中的应用

化归思想在初中数学解题中的应用向阳乡初级中学周红林【摘要】化归思想是中学数学最重要的思想方法之一。本文从化归的功能，化归的原则，化归的思维模式以及中学数学中化归的基本形式，化归的特点等内容出发，力求比较全面地体现化归思想在初中数学解题中的作用和地位。【关键词】化归思想化归的原则教学策略化归思想要点新课程标准指出：“数学为其他科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础。”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”从中我们可以看出新课程标准下的数学教学更加突出培养学生的数学思想的重要性，而数学思想同样离不开数学方法的支持。数学是一门演绎推理的学科。它的任一分支在其内容展开过程中，都有形或无形地存在着如下的结论链：从中我们可以发现，在解决某一个具体问题时，不必都从原始概念开始，而只要把待解决的问题转化为结论链中的某一环节即可。所以，初中数学中，化归思想的运用尤为突出，本文结合自己的工作实际对化归思想提出了一些自己的看法。

一、化归思想的涵义和作用化归思想，又称转换思想或转化思想，是一种把待解决或未解决的问题，通过某种转化过程归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题中去，最终求得问题解答的数学思想。化归法和数形结合方法是转化思想在数学方法论上的体现，是数学中普遍适用的重要方法。二、化归思想的基本原则数学中的化归有其特定的方向，一般为：化复杂为简单；化抽象为具体；化生疏为熟悉；化难为易；化一般为特殊；化特殊为一般；化“综合”为“单一”；化“高维”为“低维”等。为更好地把握化归方向，我们必须遵循一些化归的基本原则，化归思想的基本原则主要有熟悉化原则、简单化原则、具体化原则、极端化原则、和谐化原则。 ⒈熟悉化原则熟悉化就是把我们所遇到的“陌生”问题转化为我们较为“熟悉”的问题，以便利用已有的知识和经验，使问题得到解决。这也是我们常说的通过“旧知”解决“新知”。学习是新旧知识相互联系、相互影响的过程。奥苏伯尔说，影响学习的最重要的因素是学生已知的内容。在教学的应用策略中，他提出了设计“先行组织者”的做法，也就是在学生“已经知道的知识”和“需要知道的知识”之间架起桥梁。这样有利于学生解决问题。 ⒉简单化原则简单化原则就是把比较复杂的问题转化为比较简单的易于确定

中考数学思想方法专题之整体思想

初中数学思想之整体思想整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．从整体上去认识问题、思考问题，常常能化繁为简、变难为易，同时又能培养学生思维的灵活性、敏捷性．整体思想的主要表现形式有：整体代入、整体加减、整体代换、整体联想、整体补形、整体改造等等．在初中数学中的数与式、方程与不等式、函数与图象、几何与图形等方面，整体思想都有很好的应用，因此，每年的中考中涌现了许多别具创意、独特新颖的涉及整体思想的问题，尤其在考查高层次思维能力和创新意识方面具有独特的作用．一．数与式中的整体思想【例1】已知代数式3x 2－4x+6的值为9，则2463x x -+的值为 ( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．7 【例2】.已知114a b -=，则2227a ab b a b ab ---+的值等于（） A.6 B.6- C. 125 D.27- 【例3】已知2002007a x =+，2002008b x =+，2002009c x =+，求多项式222a b c ab bc ac ++---的值．二．方程(组)与不等式（组）中的整体思想【例4】已知24122x y k x y k +=+?? +=+? ，且03x y <+<，则k 的取值范围是【例5】已知关于x ，y 的二元一次方程组3511x ay x by -=??+=?的解为56 x y =??=?，那么关于x ， y 的二元一次方程组3()()5()11x y a x y x y b x y +--=??++-=? 的解为为【例6】．解方程 22523423x x x x +-=+ 三．函数与图象中的整体思想【例7】已知y m +和x n -成正比例（其中m 、n 是常数）（1）求证：y 是x 的一次函数；（2）如果y =-15时，x =-1；x =7时，y =1，求这个函数的解析式四．几何与图形中的整体思想

专题二中考数学转化思想(含答案)-

第2讲转化思想概述：在解数学题时，所给条件往往不能直接应用，?此时需要将所给条件进行转化，这种数学思想叫转化思想，在解题中经常用到．典型例题精析例1．（2002，上海）如图，直线y= 1 2 x+2分别交x ，y 轴于点A 、C 、P?是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP =9．（1）求P 点坐标；（2）设点R 与点P 在同一反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 右侧．作RT ⊥x 轴，?T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标．分析：（1）求P 点坐标，进而转化为求PB 、OB 的长度，P （m ，n ）?再转为方程或方程组解，因此是求未知数m ，n 值． ∵S △ABP =9，∴涉及AO 长，应先求AO 长，由于A 是直线y= 1 2 x+2与x 轴的交点，∴令y=0，得0= 1 2x+2， ∴x=-4， ∴AO=4． ∴(4)2 m n =9…① 又∵点P （m ，n ）在直线y=1 2 x+2上， ∴n=1 2 m+2…② 联解①、② 得m=2，n=3， ∴P （2，3）．

（2）令x=0，代入y=1 2 x+2中有y=2， ∴OC=2，∴△AOC∽△BRT，设BT=a，RT=b．分类讨论： ①当2 4 b a =…① 又由P点求出可确定反比例函数y=6 x 又∵R（m+a，b）在反比例函数y=6 x 上 ∴b= 6 m a + ……② 联解①、②可求a，b值，进而求到R点坐标． ②当2 4 a b =时，方法类同于上．例2．（2002，南京）已知：抛物线y1=a（x-t-1）2+t2（a，t是常数，a≠0，t≠0）?的顶点是A，抛物线y2=x2-2x+1的顶点是B．（1）判断点A是否在抛物线y2=x2-2x+1上，为什么？（2）如果抛物线y1=a（x-t-1）2+t2经过点B， ①求a的值；②这条抛物线与x轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？?若能，求出t的值；若不能，请说明理由．分析：（1）∵y1的顶点为（t+1，t2），代入y2检验 x2-2x+1=（t+1）2-2（t+1）+1=t2+2t+1-2t-2+1=t2， ∴点A在y2=x2-2x+1的抛物线上．（2）①由y2=x2-2x+1=（x-1）2+0， ∴y2顶点B（1，0），因为y1过B点， ∴0=a（1-t-1）2+t 2?at2+t2=0． ∵t≠0，∴t2≠0，∴a=-1． ①当a=-1时，y=-（x-t-1）2+t2，它与x轴的两个交点纵坐标为零，即y1=0，有0=-（x-t-1）2+t2?x-t-1=±t ∴x1=t+t+1=2t+1， x2=-t+t+1=1．情况一：两交点为E（2t+1，0），F（1，0）．

【学案】用代数式表示实际中的数量关系

3.2 代数式第2课时用代数式表示实际问题中的数量关系学习目标： 1.能用代数式表示实际问题中的数量关系的方法;(重点、难点） 2.进一步培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识.（难点）学习重点：用代数式表示实际问题中的数量关系. 学习难点：培养学生观察、分析、抽象、概括等思维能力和应用意识. 自主学习一、知识链接 1.代数式的概念 2.代数式的书写规则 3.列代数式表示下列数量关系：（1）a的平方与b的2倍的差；（2）m与n的和的平方与m与n的积的和；（3）x的2倍的三分之一与y的一半的差；（4）比a除以b的商的2倍小4的数. 二、新知预习做一做 1.火车平均每小时运行v km，用代数式表示：（１）经过2h，火车运行了________km；（２）如果火车行驶400 km，那么需要__________h． 2.汽车厂去年生产汽车a台，今年比去年增产p％，那么今年生产了汽车 __________台. 3.一台洗衣机的原价是x元，先按原价的9.5折出售.这台洗衣机现在售价是________; 4.底面半径为r,高为h的圆锥的体积是___________________. 【自主归纳】用代数式表示实际问题中的数量关系，需掌握实际问题中一些基本的数量

关系：（1）路程=__________×____________; （2）增长后的量=___________×___________; （3）售价=_________×___________,利润=______×___________; （4）利息=________×______×_______, 本息和=______+___________=______×___________；（5）工作量＝______×___________；（6）总价＝_______×_______，总产量＝_______×_______; （7）各种特殊图形的周长、面积、体积公式. 三、自学自测 1.A、B两地相距s千米，某人计划a小时到达，每小时需多走____________千米. 2.一个长方形的周长是45cm，一边长a cm，这个长方形的面积为______________2 cm. 3.班会活动中，买苹果m kg，单价x元，买桔子n kg，单价y元，则共需____________元. 4.某钢铁厂每天生产钢铁a吨，现在每天比原来增加10%，现在每天钢铁的产量是______吨. 5.一项工程，甲队单独完成要天，那么三天后，甲完成的工作量为____________. 6.小明将a元存入银行，年利率为p%,那么两年后小明一共能拿到_____________元. 四、我的疑惑 ___________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________ __ ___________________________________________________________________________ __

2019年中考数学运用转化思想解决数学问题

2019年中考数学运用转化思想解决数学问题各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢转化思想和构造思想是数学中两大基本的数学思想，本文就是想利用转化思想最重要也是最有效的思想之一转化为已能解决的问题来解竞赛题。本文以竞赛题目中经常会出现一些关于素数、带余除法、完全平方数等问题为着手点，这些都是属于初等数论范畴，而且这些知识几乎在每年竞赛题中都会出现，包括高中数学联赛、冬令营、中国国家队选拔考试，乃至在IMO考试中都是必考的内容，所以大家应该对此给予重视。对于数论的学习，不能操之过急，应该首先把数论的基础知识和性质认真的系统的学习一遍，对竞赛中出现相应的题目进行反思，这一点是很重要的。一同来体会一下最近几年全国和各省市初中

竞赛题目中常见的问题，如何把问题转化。例1 设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，求m的值。分析不妨先求出三个互不相等的合数之和，即4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数。解：由于4+6+8=18，故下面就来证明m的最大整数是17。当m>18时，若，则m>9 即任意大于18的整数均可以表示为三个互不相等的合数之和，故m=17 此题容易入手，逆向去考虑，采取极端性想法使问题得以解决。例2 求满足等式的正整数x、y。分析此问题容易想到因式分解，再加之问题里有数2003，因为2003是质数，这也是一个信息。

解：观察式子特点不难得出故所求的正整数对x,y)=1，2003)，2003，1) 此问题考察的重点在于因式分解。例3 如果对于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值是________。分析采取分析法，因为是一个完全平方数，所以设，再去推导n和a的关系，使问题不断得到解决。解：由已知是一个完全平方数，所以就设#p#分页标题#e# ，显然不是3的倍数，于是，从而即，所以k的最小值是3 此方法是解决数论问题的一个常用的，也是基本的一个方法。

“转化思想”在初中数学中的应用和作用

“转化思想”在初中数学中的应用和作用 □许记花数学思想方法是数学的灵魂和精髓，是指导我们探索问题、研究问题和解决问题的尚方宝剑，它常常隐含于数学知识的发生、发展过程中。而“转化思想”是数学思想方法中最基本、也是最重要的一种方法，“转化思想”在初中数学中的应用之广，作用之大，是无法用语言形容的，理解并掌握了这种方法，许许多多的数学问题都能迎刃而解。一、“转化思想”初中代数中的应用和作用 1、进入初中，我们学习了用数轴上的点来表示有理数，因而计算一个数的绝对值就转化为求数轴上的点到原点的距离，这是数与形的转化。 2、两个负数大小的比较，绝对值大的反而小，这是把负数大小的比较通过取绝对值转化为正数大小的比较。这是数与数之间的转化。 3、根据减法法则，减去一个数可以转化为加上这个数的相反数，从而把有理数的减法运算转化为有理数的加法运算。这是运算与运算之间的转化。 4、类似地，除以一个不为0的数可以转化为乘以这个数的倒数，把有理数的除法运算转化为有理数的乘法运算，这是运算与运算之间转化。像这样，把复杂问题转化为简单问题，把陌生的未知问题转化为已知的学过的知识去解决，把新的问题转化为已知的或已解决的问题，这就是我们学习数学解决问题的一种常用的数学思想——转化思想。 5、而解一元一次方程的过程实质也是一种转化，是将复杂的方程逐步转化为最简单的方程。例如：解方程：解：去分母，得5(3x+1)-20=(3x-2)-2(2x+3) ① 去括号，得15x+5-20=3x-2-4x-6 …② 移项，得15x-3x+4x=-2-6-5+20 …③

合并同类项，得16x=7 .…④ 系数化为1，得x …⑤ 大家都知道一元一次方程的解的基本表达形式是x=a，它是一元一次方程中形式最简单的方程，而我们研究一元一次方程起点便是从这里开始的.学习了等式的基本性质，我们可以探索形如方程②、③、④形式的解法；学习了去括号法则之后，又可以探索形如方程①形式的解法；最后，学习了含分母的一元一次方程的解法。从此不难发现：我们课本知识是由浅显、简单到较难、较复杂是逐步展开的，而上述解方程的过程正好是我们课本知识展开过程的逆过程，正好符合我们解方程的数学思维过程，即把复杂的问题，逐步转化为简单的问题，把陌生的问题逐步转化为熟悉的问题，从而求得问题的解。二、“转化思想”在初中几何中的应用和作用学习几何知识，用几何知识分析问题、探索问题、研究问题和解决更离不开“转化思想”，几何题的解答、几何题的证明、多数定理的证明，公式的推导，也都用到“转化思想”，转化思想在数学中的应用之广，作用之大是无法测量的。例如： 1、如图：求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，把求∠A+ ∠B+∠C+∠D+∠E五个角的度数转化为一个三角形的内角和等于180°来解决的。这是角与角之间的转化。 2、多边形的内角和公式（n－2）×180°推导：利用添加辅助线的方法把n边形转化为(n-2)个三角形，利用三角形的内角和等于180°。这是图形与图形之间、角与角之间的转化。 3、直线、抛物线、双曲线可以用方程（即解析式）来表示，这是形与式的转化。直线、抛物线、双曲线交点问题，可以用求方程组解来解决，这是形、式、数之间的转化。 4、如图：△ABC中，A、B、C三点的坐标分别为（-2，-1）、（3，-3）、（1，3），求△ABC 的面积。

代数式专项训练及答案

代数式专项训练及答案【答案】 D 【解析】【分析】直接利用合并同类项法则以及积的乘方法则、同底数幂的乘法法则、完全平方公式分别化简求出答案．【点睛】本题主要考查合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法、完全平方公式，熟练掌握相关的计算法则是解题的关键． 3．如果多项式 4x 4 4x 2 A 是一个完全平方式，那么 A 不可能是（）．【详解】解： A.、 x 2 y 22 x 2xy y B.、 22 aa 2a 2 ，故本选项错误； C.、 22 aa 4 a ，故本选项错误； D 、 2 2 xy 2 2 x 2 y 4 ，故本选项正确；故选： D ．，故本选项错误； 1 ．如果长方形的长为（4a 2 2a 1)，宽为 (2a 1) ， A ．8a 2 4a 2 2a 1 B ．8a 3 C ． 8a 3 1 D ．8a 3 【答案】 D 【解析】【分析】那么这个长方形的面积为（） 4a 2 2a 1 利用长方形的面积等于长乘宽，【详解】解：根据题意，得： S 长方形=（4a 2-2a+1）（2a+1）= 8a 3 4a 2 2a 4a 2 2a 故选： D ．【点睛】然后再根据多项式乘多项式的法则计算即可． 1=8a 3 +1，本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握其运算方法：解题的关键． (a b)( p q) ap aq bp bq 是 2．下列运算正确的是（ 2 x 2xy 2 A ． x y C ． a 2 a 2 a 6 ）． B ． D ． xy 2 2 24 xy 、选择题

中考数学运用转化思想的答题技巧

中考数学运用转化思想的答题技巧中考数学运用转化思想的答题技巧转化思想和结构思想是数学中两大基本的数学思想，本文就是想应用转化思想最重要也是最有效的思想之一转化为已能处置的效果来解竞赛题。本文以竞赛标题中经常会出现一些关于素数、带余除法、完全平方数等效果为着手点，这些都是属于初等数论范围，而且这些知识简直在每年竞赛题中都会出现，包括高中数学联赛、冬令营、中国国度队选拔考试，乃至在IMO考试中都是必考的内容，所以大家应该对此给予注重。关于数论的学习，不能稳扎稳打，应该首先把数论的基础知识和性质仔细的系统的学习一遍，对竞赛中出现相应的标题停止反思，这一点是很重要的。我们一同来体会一下最近几年全国和各省市初中竞赛标题中罕见的效果，如何把效果转化。例1 设m是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数，求m的值。剖析我们无妨先求出三个互不相等的合数之和，即 4+6+8=18，所以容易想到17是不能表示为三个互不相等的合数之和的最大整数。解：由于4+6+8=18，故下面我们就来证明m的最大整数是17。当m18时，假定，那么m9

即恣意大于18的整数均可以表示为三个互不相等的合数之和，故m=17 此题容易入手，逆向去思索，采取极端性想法使效果得以处置。例2 求满足等式的正整数x、y。剖析此效果容易想到因式分解，再加之效果里有数2021，由于2021是质数，这也是一个信息。解：观察式子特点不难得出故所求的正整数对(x,y)=(1，2021)，(2021，1) 此效果调查的重点在于因式分解。例3 假设关于不小于8的自然数n，当3n+1是一个完全平方数时，n+1都能表示成k个完全平方数的和，那么k的最小值是________。剖析我们采取剖析法，由于是一个完全平方数，所以设，再去推导n和a的关系，使效果不时失掉处置。解：由是一个完全平方数，所以我们就设，显然不是3的倍数，于是，从而即，所以k的最小值是3 此方法是处置数论效果的一个常用的，也是基本的一个方法。例4 设为完全平方数，且N不超越2392。求满足上述条件的一切正