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离散型随机变量的方差

1．方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X 的分布列为

X x 1 x 2 … x i … x n P

p 1

p 2

…

p i

…

p n

①方差D (X )＝∑n

i ＝1__(x i －E (X ))2

p i ． ②标准差为D （X ）．

(2)方差的性质：D (aX ＋b )＝a 2

D (X )．

随机变量与样本方差的关系

(1)随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量．

(2)对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差． 2．两个常见分布的方差

(1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) (2)若a 是常数，则D (a )＝0.( )

(3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√

已知X 的分布列为

X 1 2 3 4 P

则D (X )的值为A.2912 B.121144 C.179144 D.1712

答案：C

已知X 的分布列为

X 0 1 2 P

设Y ＝2X ＋3，则D (Y )＝________．答案：83

已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________．

解析：由E (X )＝30，D (X )＝20，可得?

????np ＝30，

np （1－p ）＝20，

解得p ＝1

答案：13

探究点1 求离散型随机变量的方差

袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差. 【解】由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，

P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120

， P (ξ＝2)＝220＝110

，P (ξ＝3)＝320

， P (ξ＝4)＝420＝15.

故ξ的分布列为

ξ 0 1 2 3 4 P

120

110

320

所以E (ξ)＝0×2＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2

×12＋(1－

1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2

×15＝2.75.

[变条件]在本例条件下，若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值．

解：由D (aξ＋b )＝a 2

D (ξ)＝11，

E (aξ＋b )＝aE (ξ)＋b ＝1，及E (ξ)＝1.5，D (ξ)＝2.75，得2.75a 2

＝11，1.5a ＋b ＝1，解得a ＝2，b ＝－2或a ＝－2，b ＝4.

求离散型随机变量的方差的步骤

(1)明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果． (2)求出随机变量取各个值的概率． (3)列出分布列．

(4)利用公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 求出随机变量的期望E (X )．

(5)代入公式D (X )＝(x 1－E (X ))2

p 1＋(x 2－E (X ))2

p 2＋…＋(x i －E (X ))2

·p i ＋…＋(x n －

E (X ))2p n 求出方差D (X )．

(6)代入公式σ(X )＝D （X ）求出随机变量的标准差σ.

甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投

篮，第一次由甲投篮；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为13，3

4.在前3次投篮中，乙投

篮的次数为ξ，求ξ的分布列、期望和方差．解：乙投篮的次数ξ的取值为0，1，2.

P (ξ＝0)＝13×13＝19

； P (ξ＝1)＝13×23

＋23×14

＝718

. P (ξ＝2)＝23×34

＝12.

故ξ的分布列为

ξ 0 1 2 P

718

E (ξ)＝0×19

＋1×718

＋2×2＝18

，

D (ξ)＝(0－2518

)2×19

＋(1－2518

)2×718

＋(2－2518

)2×12＝

149

324

. 探究点2 两点分布与二项分布的方差

一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是1

(1)求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差；

(2)若遇上红灯，则需等待30 s ，求司机总共等待时间η的期望与方差．【解】 (1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布，且ξ～B (6，1

3)，

故E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×(1－13)＝4

(2)由已知η＝30ξ，

故E (η)＝30E (ξ)＝60，D (η)＝900D (ξ)＝1 200.

正确认识二项分布及在解题中的应用

(1)在解决有关均值和方差问题时，要认真审题，如果题目中离散型随机变量符合二项分布，就应直接利用二项分布求期望和方差，以简化问题的解答过程． (2)对于二项分布公式E (X )＝np 和D (X )＝np (1－p )要熟练掌握．

抛掷一枚质地均匀的骰子，用X 表示掷出偶数点的次数．

(1)若抛掷1次，求E (X )和D (X )； (2)若抛掷10次，求E (X )和D (X )．解：(1)X 服从两点分布

X 0 1 P

所以E (X )＝p ＝1

，

D (X )＝p (1－p )＝12

×?

????1－12

＝14

(2)由题意知X ～B ? ????10，12，所以E (X )＝np ＝10×1

＝5，

D (X )＝np (1－p )＝10×12

×?

1－12

＝52

探究点3 方差的实际应用

甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量X 与Y ，且X ，Y 的分布

列如下：

X 1 2 3 P

0.1

0.6

Y 1 2 3 P

0.3

(1)求a ，b 的值；

(2)计算X ，Y 的期望与方差，并以此分析甲、乙的技术状况．【解】 (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知

a ＋0.1＋0.6＝1，

得a ＝0.3.

同理0.3＋b ＋0.3＝1，得b ＝0.4. (2)E (X )＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3，

E (Y )＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2，

D (X )＝(1－2.3)2×0.3＋(2－2.3)2×0.1＋(3－2.3)2×0.6＝0.81， D (Y )＝(1－2)2×0.3＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.3＝0.6.

由于E (X )＞E (Y )，说明在一次射击中，甲的平均得分比乙高，但D (X )＞D (Y )，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术水平都不够全面，各有优势与劣势．

利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤

(1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．

(2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定． (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出结论．

最近，李师傅一家三口就如何将手中的10万元钱进行投资理财，提出了三

种方案．

第一种方案：李师傅的儿子认为：根据股市收益大的特点，应该将10万元全部用来买股票．据分析预测：投资股市一年后可以获利40%，也可能亏损20%(只有这两种可能)，且获利的概率为12

；

第二种方案：李师傅认为：现在股市风险大，基金风险较小，应将10万元全部用来买基金．据分析预测：投资基金一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，且这三种情况

发生的概率分别为35，15，1

；

第三种方案：李师傅的妻子认为：投资股市、基金均有风险，应该将10万元全部存入银行一年，现在存款年利率为3%.

针对以上三种投资方案，请你为李师傅家选择一种合理的理财方案，并说明理由．解：若按方案一执行，设收益为ξ万元，则其分布列为

ξ的数学期望E (ξ)＝4×2

＋(－2)×2

＝1.

若按方案二执行，设收益为η万元，则其分布列为：

η的数学期望E (η)＝2×5

＋0×5

＋(－1)×5

＝1.

若按方案三执行，收益

y ＝10×3%＝0.3，因此E (ξ)＝E (η)＞y .

又D (ξ)＝(4－1)2×12＋(－2－1)2

×12

＝9，

D (η)＝(2－1)2×35＋(0－1)2×15＋(－1－1)2×15＝85

由以上可知D (ξ)＞D (η)．这说明虽然方案一、二收益均相等，但方案二更稳妥．所以建议李师傅家选择方案二投资较为合理．

1．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如下表所示，则随机变量X 的方差D (X )等于( )

A.19

B.9

C.13

D.23

解析：选B.由题意可知：m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23，所以D (X )＝? ??

??0－232

×13＋? ????1－232×23＝2

. 2．已知A 1，A 2为两所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为1

2，该同学一旦通过某所高校的考试，就不再参加其他高校的考试，设该同学通过高

校的个数为随机变量X ，则D (X )＝( ) A.316 B.54 C.2564

D.1964

解析：选A.因为X 的取值为0，1，

P (X ＝0)＝12×12＝14

， P (X ＝1)＝12＋12

×12＝34

，

所以E (X )＝0×14＋1×34＝3

，

D (X )＝916×14＋116×34＝316

.故选A.

3．有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，从中随机地抽取3张卡片，设3张卡片数字之和为ξ，求E (ξ)和D (ξ)．解：ξ的可能取值为6，9，12.

ξ＝6表示取出的3张卡片上都标有2，

则P (ξ＝6)＝C 3

8C 310＝7

ξ＝9表示取出的3张卡片上两张标有2，一张标有5，

则P (ξ＝9)＝C 28C 1

2C 310＝7

ξ＝12表示取出的3张卡片上两张标有5，一张标有2，

则P (ξ＝12)＝C 18C 2

2C 310＝1

15.

所以ξ的分布列为

ξ 6 9 12 P

715

115

所以E (ξ)＝6×715＋9×15＋12×15

＝7.8，

D (ξ)＝(6－7.8)2×7

15＋(9－7.8)2×715＋(12－7.8)2×115

＝3.36.

知识结构

深化拓展

对随机变量X 的方差、标准差的五点说明

(1)随机变量X 的方差的定义与一组数据的方差的定义是相同的． (2)随机变量X 的方差和标准差都反映了随机变量X 的取值的稳定性和波动、集中与离散程度．

(3)标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用

更为广泛．

(4)D (X )越小，随机变量X 的取值越稳定，波动越小．

(5)方差也可以用公式D (X )＝E (X 2)－(E (X ))2

计算(可由D (X )＝∑n

i ＝1 (x i －E (X ))2

p i 展开得到).

1．设一随机试验的结果只有A 和A ，且P (A )＝m ，令随机变量ξ＝?

????1，A 发生，

0，A 不发生，则

ξ的

方差D (ξ)等于( ) A ．m B ．2m (1－m ) C ．m (m －1)

D ．m (1－m )

解析：选D.随机变量ξ的分布列为：

ξ 0 1

1－m

所以E (ξ)＝0×(1－m )＋1×m ＝m 所以D (ξ)＝(0－m )2

×(1－m )＋(1－m )2

×m ＝m (1－m )．

2．如果X 是离散型随机变量，E (X )＝6，D (X )＝0.5，X 1＝2X －5，那么E (X 1)和D (X 1)分别是( )

A ．E (X 1)＝12，D (X 1)＝1

B ．E (X 1)＝7，D (X 1)＝1

C ．E (X 1)＝12，

D (X 1)＝2 D ．

E (X 1)＝7，D (X 1)＝2

解析：选D.E (X 1)＝2E (X )－5＝12－5＝7，D (X 1)＝4D (X )＝4×0.5＝2.

3．抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得－1分，则得分X 的均值与方差分别为( )

A ．E (X )＝0，D (X )＝1

B ．E (X )＝12，D (X )＝1

C ．E (X )＝0，

D (X )＝1

D ．

E (X )＝1

，D (X )＝1

解析：选A.由题意知，随机变量X 的分布列为

所以E (X )＝(－1)×12＋1×2

＝0，

D (X )＝12×(－1－0)2＋12

×(1－0)2＝1.

4．已知X 的分布列如下表所示：

则下列式子：①E (X )＝－3；②D (X )＝27；③P (X ＝0)＝3.其中正确的有( )

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．3个

解析：选C.由分布列知P (X ＝0)＝1

，

E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－12＋16＝－13

，

D (X )＝12×?

???－1＋132＋13×? ????0＋132＋? ????1＋132×16＝59，故只有①③正确．

5．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k n (23)k

·(13)n －k ，k ＝0，1，2，…，n ，且E (ξ)＝

24，则D (ξ)的值为( ) A ．8 B ．12 C.2

D ．16

解析：选A.由题意可知ξ～B (n ，2

3)，

所以2

3n ＝E (ξ)＝24.

所以n ＝36.

所以D (ξ)＝n ×23×(1－23)＝2

×36＝8.

6．牧场有10头牛，因误食含有病毒的饲料而被感染，已知该病的发病率为0.02，设发病的牛的头数为ξ，则D (ξ)等于________．解析：因为ξ～B (10，0.02)，

所以D (ξ)＝10×0.02×(1－0.02)＝0.196. 答案：0.196

7．随机变量ξ的取值为0，1，2.若P (ξ＝0)＝1

5，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________．

解析：设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ，则?????15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，

解得?

????a ＝3

5，b ＝15

，

所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝2

答案：2

8．随机变量ξ的分布列如下，其中a ，b ，c 成等差数列．若E (ξ)＝5

3，则D (ξ)的值为

________．

解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以a ＋c ＝2b .又因为a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝1

.又因为E (ξ)

＝a ＋2b ＋3c ＝53，所以a ＝12，b ＝13，c ＝1

，所以ξ的分布列为

所以D (ξ)＝(1－53)2×12＋(2－3)2×3＋(3－3)2×6＝9.

答案：5

9．已知η的分布列为

(1)求η(2)设Y ＝2η－E (η)，求D (Y )．

解：(1)E (η)＝0×13＋10×25＋20×115＋50×215＋60×115＝16，D (η)＝(0－16)2

×13＋(10－

16)2×25＋(20－16)2×115＋(50－16)2×215＋(60－16)2

×115＝384，D （η）＝8 6.

(2)因为Y ＝2η－E (η)，

所以D (Y )＝D (2η－E (η))＝22

D (η)＝4×384＝1 536.

10．从5名女生和2名男生中任选3人参加英语演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中男生的人数． (1)求ξ的分布列； (2)求ξ的均值与方差；

解：(1)ξ可能取的值为0，1，2，且P (ξ＝0)＝C 0

2·C 3

5C 37＝27，P (ξ＝1)＝C 1

2·C 2

5C 37＝4

7，P (ξ＝

2)＝C 2

2·C 1

5C 37＝1

7，

所以ξ的分布列为

(2)E (ξ)＝0×27＋1×47＋2×17＝6

，

D (ξ)＝? ????0－672×27＋? ????1－672×47＋? ????2－672

×17＝140343＝20

[B 能力提升]

11．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中击中的环数均大于6环，且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a ，

a ，0.1，乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2.

(1)求ξ，η的分布列；

(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术．解：(1)依题意0.5＋3a ＋a ＋0.1＝1，解得a ＝0.1，

因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2，所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2. 所以ξ，η的分布列分别为

(2)结合第一问中ξ，ηE (ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E (η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，

D (ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96， D (η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21，

由于E (ξ)>E (η)，说明甲平均射中的环数比乙高；

又D (ξ)

n 株沙柳，各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活沙柳的株数，数学期

望E (ξ)＝3，标准差D （ξ）＝

. (1)求n ，p 的值并写出ξ的分布列；

(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．

解：因为每一株沙柳成活率均为p ，种植了n 株沙柳，相当于做n 次独立重复试验，因此ξ

服从二项分布ξ～B (n ，p )．

(1)由E (ξ)＝np ＝3，D (ξ)＝np (1－p )＝3

2，

得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝1

ξ的分布列为：

(2)得P (A )＝1＋6＋15＋2064＝21

13．(选做题)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X (单位：mm)对工期的影响如下表：

0.3，0.7，0.9，求：

(1)工期延误天数Y 的均值与方差；

(2)在降水量至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率．解：(1)由已知条件有

P (X <300)＝0.3，P (300≤X <700)＝P (X <700)－P (X <300)＝0.7－0.3＝0.4， P (700≤X <900)＝P (X <900)－P (X <700)＝0.9－0.7＝0.2. P (X ≥900)＝1－P (X <900)＝1－0.9＝0.1.

所以Y 的分布列为

于是，E (Y )＝0×0.3＋2×D (Y )＝(0－3)2×0.3＋(2－3)2×0.4＋(6－3)2×0.2＋(10－3)2×0.1＝9.8.

故工期延误天数Y 的均值为3，方差为9.8.

(2)由概率的加法公式，得P (X ≥300)＝1－P (X <300)＝0.7，又P (300≤X <900)＝P (X <900)－P (X <300)＝0.9－0.3＝0.6.

由条件概率，得P (Y ≤6|X ≥300)＝P (X <900|X ≥300)＝

P （300≤X <900）P （X ≥300）＝0.60.7＝6

故在降水量X 至少是300的条件下，工期延误不超过6天的概率是6

离散型随机变量的均值与方差(强化练)

1．已知随机变量X 的分布列为

且已知E (X )＝2，D (X )＝0.5123解：根据题意得

?????p 1＋p 2

＋p 3＝1，①p 1

＋2p 2

＋3p 3＝2，②

p 1

（1－2）2

＋p 3

（3－2）2

＝1

，③ 由③得p 1＋p 3＝1

2，④

上式代入①得p 2＝1

2，

代入②得p 1＋3p 3＝1，所以p 3＝14，p 1＝1

2．某公司春节联欢会中设一抽奖活动：在一个不透明的口袋中装入外形一样，号码分别为1，2，3，…，10的十个小球．活动者一次从中摸出三个小球，三球号码有且仅有两个连号的为三等奖，奖金30元；三球号码都连号为二等奖，奖金60元；三球号码分别为1，5，10为一等奖，奖金240元；其余情况无奖金．求： (1)员工甲抽奖一次所得奖金的分布列与期望；

(2)员工乙幸运地先后获得四次抽奖机会，他得奖次数的方差是多少？解：(1)由题意知，甲抽一次奖，基本事件总数是C 3

10＝120，

设甲抽奖一次所得奖金为ξ，则奖金ξ的可能取值是0，30，60，240，所以P (ξ＝240)＝1

120

，

P (ξ＝60)＝8120＝115

， P (ξ＝30)＝

7×2＋6×7120＝7

15，

P (ξ＝0)＝1－

1120－115－715＝1124

所以ξ的分布列是

所以E (ξ)＝30×15＋60×15＋240×120

＝20.

(2)由(1)可得，乙一次抽奖中奖的概率是1－1124＝13

，四次抽奖是相互独立的，

所以中奖次数η～B ? ??

??4，1324，所以D (η)＝4×1324×1124＝143

144

3．为了丰富学生的课余生活，促进校园文化建设，我校高二年级通过预赛选出了6个班(含甲、乙)进行经典美文诵读比赛决赛．决赛通过随机抽签方式决定出场顺序．求： (1)甲、乙两班恰好在前两位出场的概率；

(2)决赛中甲、乙两班之间的班级数记为X ，求X 的均值和方差．解：(1)设“甲、乙两班恰好在前两位出场”为事件A ，则P (A )＝A 2

2×A 4

4A 66＝1

所以甲、乙两班恰好在前两位出场的概率为1

15.

(2)随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4. P (X ＝0)＝A 2

2×A 5

5A 66＝1

3，

P (X ＝1)＝4×A 2

2×A 4

4A 6

6＝4

15， P (X ＝2)＝A 2

4×A 2

2×A 3

3A 6

6＝1

5， P (X ＝3)＝A 3

4×A 2

2×A 2

2A 6

6＝2

15， P (X ＝4)＝A 4

4×A 2

2A 66＝1

15.

随机变量X 的分布列为

13 415 15 215 115

因此，E (X )＝0×3＋1×15＋2×5＋3×15＋4×15＝3.

D (X )＝13? ????0－432＋415? ????1－432＋15? ????2－432

＋

215? ????3－432＋115? ??

??4－432＝14

9. 4．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．

(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的销售量低于50个的概率；

(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X )及方差D (X )．

解：(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，

A 2表示事件“日销售量低于50个”，

B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量都不低于100个且另1天销售量低于50

个”．因此

P (A 1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6， P (A 2)＝0.003×50＝0.15， P (B )＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.

(2)X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为

P (X ＝0)＝C 03·(1－0.6)3＝0.064， P (X ＝1)＝C 13·0.6×(1－0.6)2＝0.288， P (X ＝2)＝C 23·0.62×(1－0.6)＝0.432， P (X ＝3)＝C 33·0.63＝0.216.

所以X 的分布列为

因为X ～B (3，0.6)0.6)＝0.72. 5．现有如下投资方案，一年后投资盈亏的情况如下；

投资股市

(1)至少有一人获利的概率大于4

，求p 的取值范围；

(2)丙要将家中闲置的20万元钱进行投资，决定在“投资股市”“购买基金”这两种方案中选择一种，已知p ＝1

2，那么丙选择哪种投资方案，才能使一年后投资收益的均值较大？给

出结果并说明理由．

解：(1)记事件A 为“甲投资股市且获利”，事件B 为“乙购买基金且获利”，事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”，则C ＝AB ∪AB ∪AB ，且A ，B 独立．由题表可知，P (A )＝1

，P (B )＝p .

所以P (C )＝P (AB )＋P (AB )＋P (AB )＝12×(1－p )＋12p ＋12p ＝12＋12p >45，解得p >3

又因为p ＋13＋q ＝1，q ≥0，所以p ≤2

所以p 的取值范围是? ??

??35，23.

(2)假设丙选择“投资股票”方案进行投资，且记X 为丙投资股票的获利金额(单位：万元)，所以随机变量X 的分布列为

则E (X )＝8×12＋0×18＋(－4)×38＝5

假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额(单位：万元)，所以随机变量Y 的分布列为

Y 4 0 －2 P

则E (Y )＝4×12＋0×13＋(－2)×6＝3

因为E (X )>E (Y )，所以丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的均值较大． 6．某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费．

(1)求某户居民用电费用y (单位：元)关于月用电量x (单位：度)的函数解析式；

(2)为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a ，b 的值；

(3)在满足(2)的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y 为该居民用户1月份的用电费用，求Y 的分布列和数学期望．

解：(1)当0≤x ≤200时，y ＝0.5x ；

当200400时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x －400)＝x －140，所以y 与x 之间的函数解析式为： y ＝????

?0.5x ，0≤x ≤200，0.8x －60，200400.

(2)由(1)可知：当y ＝260时，x ＝400，则P (x ≤400)＝0.80，

结合频率分布直方图可知?

????0.1＋2×100b ＋0.3＝0.8，

100a ＋0.05＝0.2，

所以a ＝0.001 5，b ＝0.002 0.

(3)由题意可知x 可取50，150，250，350，450，550. 当x ＝50时，Y ＝0.5×50＝25，所以P (Y ＝25)＝0.1，当x ＝150时，Y ＝0.5×150＝75，所以P (Y ＝75)＝0.2，当x ＝250时，Y ＝0.5×200＋0.8×50＝140，所以P (Y ＝140)＝0.3，

当x ＝350时，Y ＝0.5×200＋0.8×150＝220，所以P (Y ＝220)＝0.2，

当x ＝450时，Y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×50＝310，所以P (Y ＝310)＝0.15，

当x ＝550时，Y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×150＝410，所以P (Y ＝410)＝0.05，故Y 的概率分布列为：

所以随机变量Y E (Y )＝25×0.1＋75×0.2＋140×0.3＋220×0.2＋310×0.15＋410×0.05＝170.5.

知识讲解离散型随机变量的均值与方差(理)(基础)

离散型随机变量的均值与方差【学习目标】 1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题； 2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题；【要点梳理】要点一、离散型随机变量的期望 1.定义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．要点诠释：（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平．（2）一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p … n p n 1= =，=ξE +1(x +2x …n x n 1 )?+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值。（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质： ①()E E E ξηξη+=+； ②若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，有b aE b a E +=+ξξ)(； b aE b a E +=+ξξ)(的推导过程如下：： η的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax ++22)(p b ax …()i i ax b p +++… ＝+11(p x a +22p x …i i x p ++…)++1(p b +2p …i p ++…)＝b aE +ξ

∴b aE b a E +=+ξξ)(。要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念：已知一组数据1x ，2x ，…，n x ，它们的平均值为x ，那么各数据与x 的差的平方的平均数 [1 2n S = 21)(x x -＋22)(x x -＋…＋])(2x x n -叫做这组数据的方差。 2.离散型随机变量的方差：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称ξD ＝121)(p E x ?-ξ＋22 2)(p E x ?-ξ＋…＋2()n i x E p ξ-?＋…称为随机变量ξ的方差，式中的ξE 是随机变量ξ的期望． ξD 的算术平方根ξD 叫做随机变量ξ的标准差，记作σξ．要点诠释： ⑴随机变量ξ的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的； ⑵随机变量ξ的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）． ⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系： 22()()D E E ξξξ=- 4.方差的性质：若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，2 ()D D a b a D ηξξ=+=；要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布：若离散型随机变量ξ服从参数为p 的二点分布，则期望E p ξ= 方差(1).D p p ξ=-

常用离散型和连续型随机变量

常用离散型随机变量的分布函数 (1) 离散型随机变量 [1] 概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布律，表格表示形式如下： [2] 性质： ? 0i p ≥ ?11n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- (2) 连续型随机变量 [1] 概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数 ()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x dx -∞= ? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。

[2] 连续型随机变量的密度函数的性质 ?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞=? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞<≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= (3) 连续型随机变量和离散型随机变量的区别： [1] 由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是 (),-∞+∞，对于任何x ，000 {}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。 [2] 概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. [3] 连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0. [4] 对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间取值的概率与区间端点无关，即：

61随机变量的概率分布、期望与方差1

如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习 61随机变量的概率分布、期望与方差【考点解读】离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A； n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B 【复习目标】 1?了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。 2?了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3?了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。 4 ?理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 5?了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。活动一：基础知识 1. 随机变量： 1) 定义： _________________________________________________________ 。 2) ____________________________________ 表示方法：。 2. 随机变量分布列的定义：假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列 3. 概率分布表将①用表的形式表示如下： 4. 分布列的性质：概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件: (1) ______________________________ (2) ______________________________ 5. 两点分布如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 ___ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X?0-1或X?两点分布. 其概率分布表为：其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列

随机变量的数学期望与方差

第9讲随机变量的数学期望与方差教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。教学重点： 1．随机变量的数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义 For personal use only in study and research; not for commercial use 5．方差的性质教学难点：数学期望与方差的统计意义。教学学时：2学时。 For personal use only in study and research; not for commercial use 教学过程：第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。

1．离散随机变量的数学期望我们来看一个问题：某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变量，如何定义X 取值的平均值呢？若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品， 21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 27.1100 213100172100301100320=?+?+?+? 这个数能作为X 取值的平均值吗？可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是 1.27。对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ，相应的概率为 ,,21P P ，则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近 ∑∞=1k k k p x 由此引入离散随机变量数学期望的定义。定义1 设X 是离散随机变量，它的概率函数是 ,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k 如果 ∑∞ =1||k k k p x 收敛，定义X 的数学期望为 ∑∞ ==1)(k k k p x X E 也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。例1 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望。

独立随机变量期望和方差的性质

第七周多维随机变量，独立性 7.4独立随机变量期望和方差的性质独立随机变量乘积的期望的性质： Y X ,独立，则()()() Y E X E XY E =以离散型随机变量为例，设二元随机变量(),X Y 的联合分布列() ,i j P X x Y y ==已知，则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=， () 1,2,,; 1,2,,i m j n == ()() 11,m n i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()() 11 m n i j i j i j x y P X x P Y y =====∑∑()() 1 1 m n i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()() E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质： Y X ,独立，则()()() Y Var X Var Y X Var +=+()()() 2 2 Var X Y E X Y E X Y ??+=+-+?? ()222E X XY Y =++()()()()22 2E X E X E Y E Y ??-++? ? ()()()()2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()() 2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()() Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立，且都存在方差，则()() 121 n m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差

离散型随机变量的期望值和方差

离散型随机变量的期望值和方差一、基本知识概要： 1、期望的定义：一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为则称E ξ=x 1P 1+x 2P 2+x 3P 3+…+x n P n +…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。若η=a ξ+b(a 、b 为常数)，则η也是随机变量，且E η=aE ξ+b 。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n ，P )，则E ξ=n P 2、方差、标准差定义： D ξ=(x 1- E ξ)2·P 1+(x 2-E ξ)2·P 2+…+(x n -E ξ)2·P n +…称为随机变量ξ的方差。 D ξ的算术平方根ξD =δξ叫做随机变量的标准差。随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。且有D(a ξ+b)=a 2D ξ,可以证明D ξ=E ξ2- (E ξ)2。若ξ～B(n ，p)，则D ξ=npq ，其中q=1-p. 3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。二、例题：例1、（1）下面说法中正确的是（） A ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的概率的平均值。 B ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的平均水平。 C ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的平均水平。 D ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的概率的平均值。解：选C 说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。（2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是。解：含红球个数ξ的E ξ=0× 101+1×106+2×10 3=1.2 说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的“了解……，会……”的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致解题错误。例2、设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、D ξ 剖析：应先按分布列的性质，求出q 的值后，再计算出E ξ、D ξ。解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以??? ? ???≤≤-≤=+-+11 2101212122 q q q q

离散型随机变量的方差教案教学内容

精品文档精品文档离散型随机变量的方差一、三维目标： 1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 2、过程与方法：了解方差公式“D (aξ+b )=a 2Dξ”，以及“若ξ～Β(n ，p )，则Dξ=np (1—p )”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。 3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题四、教学过程：（一）、复习引入： 1..数学期望则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平 3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 5、如果随机变量X 服从二项分布，即X ～ B （n,p ），则EX=np （二）、讲解新课： 1、(探究1) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？ (探究2) 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则这组数据的方差是多少？ 2、离散型随机变量取值的方差的定义: 设离散型随机变量X 的分布为：则(x i -EX)2描述了x i (i=1,2,…n)相对于均值EX 的偏离程度，而 DX 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值EX 的平均偏离程度。我们称DX 为随机变量X 的方差，其算术平方根DX 叫做随机变量X 的标准差. 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量偏离于均值的平均程度的平均程度，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值。（三）、基础训练求DX 和解：00.110.220.430.240.12EX =?+?+?+?+?= 104332221111+++++++++=X 2101 4102310321041=?+?+?+?=] )()()[(122212x x x x x x n s n i -++-++-=ΛΛ1 ])24()23()23()22()22()22()21()21()21()21[(10 1 22222222222=-+-+-+-+-+-+-+-+-+-=s 2 2222)24(101)23(102)22(103)21(104-?+-?+-?+-?=s ∑=-=n i i i p EX x 1 2)(DX

选修2-3离散型随机变量及其分布知识点

离散型随机变量及其分布知识点一：离散型随机变量的相关概念；随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母、等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若是随机变量， a b ，其中a 、b 是常数，则也是随机变量连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以 --------------------- 列出离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量可能取的值为X i 、X 2 X i 取每一个值X i i 1,2, 的概率为P( X ) p ，贝U 称表为随机变量的概率分布，简称的分布列知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；任何随机事件发生的概率都满足:0 P(A) 1,并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为 1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) P i 0, i 1,2, ; (2) RP.L 1 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即P( 知识点二：两点分布：若随机变量X 的分布列: 特别提醒：(1) 若随机变量X 的分布列为两点分布，则称X 服从两点分布，而称P(X=1为成功率? (2) 两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 ⑶两点分布列的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究? 知识点三：超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则 C k C n k X k ) P( X k ) P( X k 1) L 则称X 的分布列为两点分布列

离散型随机变量的方差()

离散型随机变量的方差（一）白河一中邓启超教学目标： 1、知识与技能：了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差。 2、过程与方法：会利用离散型随机变量的均值（期望）和方差对所给信息进行整合和分析，得出相应结论。 3、情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。二、教学重点：离散型随机变量的方差、标准差三、教学难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题四、教学过程：（一）、复习引入： 1..数学期望则称 =ξE +11p x +22p x …++n n p x … 为ξ的数学期望，简称期望． 2. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，也称为随机变量的均值。 3. 期望的一个性质: b aE b a E +=+ξξ)( 4、常见特殊分布的变量的均值（期望）（1）如果随机变量X 服从二项分布（包括两点分布），即X ～ B （n,p ），则 E ξ=np （2）如果随机变量X 服从超几何分布，即X ～H （N ，M ，n ）,则 E ξ= N M n （二）、讲解新课： 1、(探究1):A ，B 两种不同品牌的手表，它们的“日走时误差”分别为X ，Y （单位： S ），X A 型手表 B 型手表 np EX =

问题：（1）分别计算X,Y 的均值，并进行比较；（2）这两个随机变量的分布有什么不同，如何刻画这种不同分析：ＥＸ＝ＥＹ，也就是说这两种表的平均日走时误差都是０. 因此，仅仅根据平均误差，不能判断出哪一种品牌的表更好。进一步观察，发现Ａ品牌表的误差只有01.0±而Ｂ品牌的误差为±0.05 结论：Ａ品牌的表要好一些。探究（2）：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列 2 8 9 10 0.4 0.2 0.4 分析：甲和乙射击环数均值相等，甲的极差为2，乙的极差也为2，该如何比较？思考：怎样定量刻画随机变量的取值与其均值的偏离程度呢？样本方差：类似的，随机变量X 的方差： 222221)(......)......()()(EX X EX X EX X EX X DX n i -+-+-+-= =2)(EX X E i - 思考：离散型随机变量的期望、方差与样本的期望、方差的区别和联系是什 9 ,921==EX EX ? ? ????-++-+-=---2 n 22212)x (x )x (x )x (x n 1s ...n 1)x (x n 1)x (x n 1)x (x s 2n 22212? -++?-+?-=---...

离散型随机变量的方差

2．3.2离散型随机变量的方差整体设计教材分析本课仍是一节概念新授课，方差与均值都是概率论和数理统计的重要概念，是反映随机变量取值分布的特征数．离散型随机变量的均值与方差涉及的试题背景有：产品检验问题、射击、投篮问题、选题、选课、做题、考试问题、试验、游戏、竞赛、研究性问题、旅游、交通问题、摸球问题、取卡片、数字和入座问题、信息、投资、路线等问题．从近几年高考试题看，离散型随机变量的均值与方差问题还综合函数、方程、数列、不等式、导数、线性规划等知识，主要考查能力．课时分配 1课时教学目标知识与技能了解离散型随机变量的方差、标准差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差．过程与方法了解方差公式“D(aX＋b)＝a2D(X)”，以及“若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)”，并会应用上述公式计算有关随机变量的方差．情感、态度与价值观承前启后，感悟数学与生活的和谐之美，体现数学的文化功能与人文价值．重点难点教学重点：离散型随机变量的方差、标准差．教学难点：比较两个随机变量的均值与方差的大小，从而解决实际问题．教学过程复习旧知 1 则称Eξ＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为ξ的数学期望． 2．数学期望的一个性质：E(aξ＋b)＝aEξ＋b. 3．若ξ～B(n，p)，则Eξ＝np. 教师指出：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示随机变量在随机试验中取值的平均值．但有时两个随机变量只用这一个特征量是无法区别它们的，还需要对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行刻画．探究新知已知甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数ξ1、ξ2的分布列如下：

离散型随机变量的方差

2.3.2 离散型随机变量的方差 1．理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念． 2．能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点) 3．掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点 ) [基础·初探] 教材整理1 离散型随机变量的方差的概念阅读教材P 64～P 66上面第四自然段，完成下列问题． 1．离散型随机变量的方差、标准差 (1)定义：设离散型随机变量X 的分布列为则(x i －E (X ))描述了i D (X )＝∑i ＝1n (x i －E (X ))2p i 为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值E (X ) 的平均偏离程度．称D (X )为随机变量X 的方差，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． (2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小． 2．随机变量的方差与样本方差的关系随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方

差越来越接近于总体的方差． 1．下列说法正确的有________(填序号)． ①离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； ②离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的平均水平； ③离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的波动水平； ④离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平．【解析】 ①错误．因为离散型随机变量ξ的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平． ②错误．因为离散型随机变量ξ的方差D (ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度． ③错误．因为离散型随机变量的方差D (ξ)反映了ξ取值的波动水平，而随机变量的期望E (ξ)反映了ξ取值的平均水平． ④正确．由方差的意义可知．【答案】 ④ 2．已知随机变量ξ，D (ξ)＝1 9，则ξ的标准差为________．【解析】 ξ的标准差D (ξ)＝19＝13. 【答案】 1 3 3．已知随机变量ξ的分布列如下表：则ξ的均值为【解析】均值E (ξ)＝x 1p 1＋x 2p 2＋x 3p 3＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－1 3；方差D (ξ)＝(x 1－E (ξ))2 ·p 1＋(x 2－E (ξ))2 ·p 2＋(x 3－E (ξ))2 ·p 3＝5 9. 【答案】－13 59 教材整理2 离散型随机变量的方差的性质

常见离散型随机变量的分布列

4．常见离散型随机变量的分布列 (1>两点分布像这样的分布列叫做两点分布列．如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从分布，而称p＝P(X＝1> 为成功概率． (2>超几何分布列一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为 P(X＝k>＝错误!，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.称分布列为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布. 1设离散型随机变量X 求：(1>2X＋1的分布列； (2>|X－1|的分布列．【思路启迪】利用p i≥0，且所有概率之和为1，求m；求2X＋1的值及其分布列；求|X－1|的值及其分布列．【解】由分布列的性质知： 0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3. 首先列表为： 4 9 3 则常数c＝________，P(X＝1>＝________.X的所有可能取值x i(i＝1,2，…，>； (2>求出取各值x i的概率P(X＝x i>；(3>列表，求出分布列后要注意应用性质检验所求的结果是否准确．常用类型有：(1>由统计数据求离散型随机变量的分布列，关键是由统计数据利用事件发生的频率近似表示该事件的概率，由统计数据得到的分布列可以帮助我们更好地理解分布列的作用和意义．(2>由古典概型来求随机变量的分布列，这时需利用排列、组合求概率．(3>由相互独立事件同时发生的概率求分布列无

论是何种类型，都需要深刻理解随机变量的含义及概率分布．3.(2018年福建>受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下： (1>从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率； (2>若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3>该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，因为资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．【解】(1>设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A >＝错误!＝错误!.(2>依题意得，X 1的分布列为 X 2的分布列为 (3>由(2>得，E (X 1>＝1×错误!＋2× 错误!＋3×错误!＝2.86(万元>， E (X 2>＝1.8×错误!＋2.9×错误!＝2.79(万元>．因为E (X 1>>E (X 2>，所以应生产甲品牌轿车． 4.(2018年湖南>某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1>求当天商店不进货的概率； (2>记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列和数学期望．解：(1>P (“当天商店不进货”>＝P (“当天商品销售量为0件”>＋P (“当天商品销售量为1件”> ＝错误!＋错误!＝错误!. (2>由题意知，X 的可能取值为2,3. P (X ＝2>＝P (“当天商品销售量为1件”>＝错误!＝错误!；P (X ＝3>＝P (“当天商品销售量为0件”>＋P (“当天商品销售量为2件”>＋P (“当天商品销售量为3件”>＝错误!＋错误!＋错误!＝错误!.故X 的分布列为

常见离散型随机变量分布列示例

常见随机事件的概率与分布列示例 1、耗用子弹数的分布列例某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．分析：确定ξ取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得．解：本题要求我们给出耗用子弹数ξ的概率分布列．我们知道只有5发子弹，所以ξ的取值只有1，2，3，4，5．当1=ξ时，即9.0)1(==ξP ；当2=ξ时，要求第一次没射中，第二次射中，故09.09.01.0)2(=?==ξP ；同理，3=ξ时，要求前两次没有射中，第三次射中，009.09.01.0)3(2=?==ξP ；类似地，0009.09.01.0)4(3=?==ξP ；第5次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5发子弹，也不考虑是否射中，所以41.0)5(==ξP ，所以耗用子弹数ξ的分布列为：说明：搞清5=ξ的含义，防止这步出错．5=ξ时，可分两种情况：一是前4发都没射中，恰第5发射中，概率为0.14×0.9；二是这5发都没射中，概率为0.15，所以， 5 41.09.01.0)5(+?==ξP ．当然， 5 =ξ还有一种算法：即 0001.0)0009.0009.009.09.0(1)5(=+++-==ξP ． 2、独立重复试验某事件发生偶数次的概率例如果在一次试验中，某事件A 发生的概率为p ，那么在n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为________．分析：发生事件 A 的次数 () p n B ,~ξ，所以， ),,2,1,0,1(,)(n k p q q p C k p k n k k n =-===-ξ其中的k 取偶数0，2，4，…时，为二项式 n q p )(+ 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论．

随机变量的数学期望与方差

限时作业62 随机变量的数学期望与方差一、选择题 1.下列说法中，正确的是( ) A.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值 B.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平 D.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值解析:离散型随机变量X的均值反映了离散型随机变量×取值的平均水平,随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度. 答案:C 则D(X)等于( ) A.0 B.0.8 C.2 D.1 解析:根据方差的计算公式,易求V(X)＝0.8. 答案:B 3.若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( ) A.0.5和0.25 B.0.5和0.75 C.1和0.25 D.1和0.75 解析:∵X服从两点分布， ∴X的概率分布为 D(X)＝0.52×0.5+(1－0.5)2×0.5＝0.25. 答案:A 4.离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k q1－k(k＝0,1,p+q＝1)，则EX与DX依次为( ) A.0和1 B.p和p2 C.p和1－p D.p和p(1－p) 解析:根据题意，EX＝0×q+1×p＝p,DX＝(0－p)2q+(1－p)2p＝p(1－p)或可以判断随机变量X 满足两点分布，所以EX与DX依次为p和p(1－p)，选D. 答案:D 5.已知X～B(n,p),EX＝8,DX＝1.6，则n与p的值分别是( ) A.100,0.08 B.20,0.4 C.10,0.2 D.10,0.8 解析:由于X～B(n,p),EX＝8,DX＝1.6，即np＝8,np(1－p)＝1.6，可解得p＝0.8，n＝10，应选D. 答案:D 二、填空题 6.①连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数为X;②南京长江大桥一天经过的车辆数为X;③某型号彩电的寿命为X；④连续抛掷两枚骰子，所得点数之和为X；⑤某种水管的外径与内径之差X. 其中是离散型随机变量的是____________.(请将正确的序号填在横线上) 解析:②④中X的取值有限，故均为离散型随机变量；①中X的取值依次为1,2,3,…,虽然无限，但可按从小到大顺序列举，故为离散型随机变量;而③⑤中X的取值不能按次序一一列举，故均不是离散型随机变量.

常用离散型和连续型随机变量

常用离散型随机变量的分布函数一、离散型随机变量：（1）概念：设X 是一个随机变量，如果X 的取值是有限个或者无穷可列个，则称X 为离散型随机变量。其相应的概率()i i P X x p ==(12)i =、……称为X 的概率分布或分布列，表格表示形式如下：（2）性质：?0i p ≥ ?1 1n i i p ==∑ ?分布函数()i i x x F x p == ∑ ?1{}()()i i i P X x F x F x -==- 二、连续型随机变量：（1）概念：如果对于随机变量的分布函数()F x ，存在非负的函数()f x ，使得对于任意实数x ，均有： ()()x F x f x dx -∞ = ? 则称X 为连续型随机变量，()f x 称为概率密度函数或者密度函数。（2）连续型随机变量的密度函数的性质：?()0f x ≥ ? ()1f x dx +∞ -∞ =? ?{}()()()P a X b F b F a f x dx +∞ -∞ <≤=-= ? ?若()f x 在x 点连续，则()()F x f x '= 三、连续型随机变量和离散型随机变量的区别： (1)由连续型随机变量的定义，连续型随机变量的定义域是(),-∞+∞，对于任何x ，000{}()()0P X x F x F x ==--=；而对于离散型随机变量的分布函数有有限个或可列个间断点，其图形呈阶梯形。 (2)概率密度()f x 一定非负，但是可以大于1，而离散型随机变量的概率分布i p 不仅非负，而且一定不大于1. (3)连续型随机变量的分布函数是连续函数，因此X 取任何给定值的概率都为0. (4)对任意两个实数a b <，连续型随机变量X 在a 与b 之间取值的概率与区间端点无关，即： {}{}{}{}()() ()b a P a X b P a X b P a X b P a X b F b F a f x dx <<=≤≤=<≤=≤<=-= ? 即：{}{}()P X b P X b F x <=≤= 四、常用的离散型随机变量的分布函数：（1）0-1分布：如果离散型随机变量X 的概率分布为：

常见离散型随机变量的分布 (1)

新乡医学院教案首页单位：计算机教研室课程名称医药数理统计方法授课题目 2.1 常见离散型随机变量的分布授课对象05级药学专业时间分配超几何分布15分钟二项分布35分钟泊松分布30分钟课时目标理解掌握常见离散型随机变量的分布函数掌握两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别授课重点伯努利试验、二项分布、泊松分布授课难点两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别授课形式小班理论课授课方法启发讲解参考文献医药数理统计方法刘定远主编人民卫生出版社概率论与数理统计刘卫江主编清华大学出版社北京交通大学出版社高等数学(第五版)同济大学编高等教育出版社思考题二项分布和超几何分布有何联系？教研室主任及课程负责人签字教研室主任（签字）课程负责人（签字）年月日年月日

基本内容备注常见离散型随机变量的分布一、超几何分布例1 带活动门的小盒子里有采自同一巢的20只工蜂和10只雄蜂，现随机地放出5只作实验，表示X 放出的蜂中工蜂的只数，求X 的分布列。解 X 1 2 3 4 5 P 052010530C C C 142010530C C C 232010530C C C 322010530C C C 412010530C C C 502010 5 30 C C C 定义 1 若随机变量X 的概率函数为 {} 0,1,2,,k n k M N M n N C C P X k k l C --?=== 其中N≥M>0,n≤N -M,l=min(M,n),则称X 服从参数为N,M,n 的超几何分布，记作X~H(N,M,n). 超几何分布的分布函数为()k n k M N M n k x N C C F x C --≤?=∑ 二、二项分布 1. Bernoulli 试验只有两个可能结果的试验称为Bernoulli 试验。例2 已知某药有效率为0.7，今用该药试治某病3例，X 表示治疗无效的人数，求X 的分布列。解：X 可取0，1，2，3。用A i 表示事件“第i 例治疗无效”,i=1,2,3.则()0.7i P A p == P{X=0}=33 123123()()()()(1)0.343P A A A P A P A P A p q ==-== P{X=1}=231312123()P A A A A A A A A A ++ 2231312123()()()30.441P A A A P A A A P A A A pq =++== P{X=2}=321121323()P A A A A A A A A A ++ 2321121323()()()30.189P A A A P A A A P A A A p q =++==

(完整版)离散型随机变量及其分布范文

离散型随机变量及其分布知识点一：离散型随机变量的相关概念；随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量。若ξ是随机变量，a b ηξ=+，其中a 、b 是常数，则η也是随机变量连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出离散型随机变量的分布列:设离散型随机变量ξ可能取的值为12i x x x ??????、ξ取每一个值()1,2,i x i =???的概率为()i i P x p ξ==，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列知识点二：离散型随机变量分布列的两个性质；任何随机事件发生的概率都满足:0()1P A ≤≤，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1) 01,2,i p i ≥=???，；12(2) 1P P ++=L 特别提醒：对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即1()()()k k k P x P x P x ξξξ+≥==+=+L 知识点二：两点分布：若随机变量X 的分布列: 则称 X 的分布列为两点分布列. 特别提醒：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1) 为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布 (3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 知识点三：超几何分布：一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则

离散型随机变量的方差

离散型随机变量的方差 1．方差、标准差的定义及方差的性质 (1)方差及标准差的定义：设离散型随机变量X 的分布列为 X x 1 x 2 … x i … x n P p 1 p 2 … p i … p n ①方差D (X )＝∑n i ＝1__(x i －E (X ))2 p i ． ②标准差为D （X ）． (2)方差的性质：D (aX ＋b )＝a 2 D (X )．随机变量与样本方差的关系 (1)随机变量的方差是常数，而样本的方差是随着样本的不同而变化的，因此样本的方差是随机变量． (2)对于简单随机抽样，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．因此，我们常用样本的方差来估计总体的方差． 2．两个常见分布的方差 (1)若X 服从两点分布，则D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则D (X )＝np (1－p )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定．( ) (2)若a 是常数，则D (a )＝0.( ) (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 已知X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 1 4 13 16 14 则D (X )的值为A.2912 B.121144 C.179144 D.1712

答案：C 已知X 的分布列为 X 0 1 2 P 13 13 13 设Y ＝2X ＋3，则D (Y )＝________．答案：83 已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________．解析：由E (X )＝30，D (X )＝20，可得? ????np ＝30， np （1－p ）＝20，解得p ＝1 3. 答案：13 探究点1 求离散型随机变量的方差袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n 号的有n 个(n ＝1，2，3，4)．现从袋中任取一球，ξ表示所取球的标号．求ξ的分布列、均值和方差. 【解】由题意得，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4， P (ξ＝0)＝1020＝12，P (ξ＝1)＝120 ， P (ξ＝2)＝220＝110 ，P (ξ＝3)＝320 ， P (ξ＝4)＝420＝15. 故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 4 P 12 120 110 320 15 所以E (ξ)＝0×2＋1×20＋2×10＋3×20＋4×5＝1.5，D (ξ)＝(0－1.5)2 ×12＋(1－ 1.5)2×120＋(2－1.5)2×110＋(3－1.5)2×320＋(4－1.5)2 ×15＝2.75. [变条件]在本例条件下，若η＝aξ＋b ，E (η)＝1，D (η)＝11，试求a ，b 的值．