第12章 电磁感应 电磁场
第十二章 电磁感应 电磁场
问题
12-1 如图,在一长直导线L 中通有电流I ,ABCD 为一矩形线圈,试确定在下列情况下，ABCD 上的感应电动势的方向：(1)矩形线圈在纸面内向右移动；(2)矩形线圈绕AD 轴旋转；（3）矩形线圈以直导线为轴旋转.
解 导线在右边区域激发的磁场方向垂直于纸面向
里，并且由2I
B r
μ0=π可知，离导线越远的区域磁感强度越小，即磁感线密度越小．当线圈运动时通过线圈的磁通量会发生变化，从而产生感应电动势．感应电动势的方向由楞次定律确定．
（1）线圈向右移动，通过矩形线圈的磁通量减少，由楞次定律可知，线圈中感应电动势的方向为顺时针方向．
（2）线圈绕AD 轴旋转，当从0o
到90o
时，通过线圈的磁通量减小，感应电动势的方向为顺时针方向．从90o
到180o
时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针. 从180o
到270o 时，通过线圈的磁通量减少，感应电动势的方向为顺时针．从270o
到360o 时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针方向. （2）由于直导线在空间激发的磁场具有轴对称性，所以当矩形线圈以直导线为轴旋转时，通过线圈的磁通量并没有发生变化，所以，感应电动势为零.
12-2 当我们把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环中时,铜环内有感应电流和感应电场吗？ 如用塑料圆环替代铜质圆环,环中仍有感应电流和感应电场吗？
解 当把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环过程中，穿过铜环的磁通量增加，铜环中有感应电流和感应电场产生；当用塑料圆环替代铜质圆环，由于塑料圆环中的没有可以移动的自由电荷，所以环中无感应电流和感应电场产生.
12-3 如图所示铜棒在均匀磁场中作下列各种运动，试问在哪种运动中的铜棒上会有感应电动势？其方向怎样？设磁感强度的方向铅直向下．（１）铜棒向右平移［图(a)］；（２）铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动［图(b)］；（３）铜棒绕通过中心的轴在竖直平面内转动［图(c)］．
C
I
解 在磁场中运动的导体所产生的感应电动势为()d L
ε=
??v B l ?，
在图(a)与(c)中的运动情况中，?v B 的方向与d l 方向垂直，铜棒中没有感应电动势．在图(b)中，铜棒绕中心轴运动，左右两段产生的感应电动势大小相等，方向相反，所以铜
棒中总的感应电动势为零．
12-4 有一面积为S 的导电回路，其n e 的方向与均匀磁场的B 的方向之间的夹角为θ．且B 的值随时间变化率为d d B t .试问角θ为何值时，回路中i ε的值最大；角θ为何值时，回路中i ε的值最小？请解释之．
解 由i d d d cos S S dt dt
εθ=-
-?B B
S =?，可得当0θ=o 时，回路中i ε的值最大，当90θ=o 时，回路中i
ε的值最小.
12-5 有人认为可以采用下述方法来测量炮弹的速度．在炮弹的尖端插一根细小的永久磁铁，那么，当炮弹在飞行中连续通过相距为r 的两个线圈后，由于电磁感应，线圈中会产生时间间隔为t ?的两个电流脉冲．您能据此测出炮弹速度的值吗？如0.1m r =，4
=210s t -??，炮弹的速度为多少？
解 带有小磁铁的炮弹飞向线圈，线圈中会产生感应电流， 测得的两个电流脉冲产生的时间间隔即炮弹飞过这两个线圈间距所用的时间. 由题意可知, 炮弹的速度为
1500m s r
v t
-=
=??
12-6 如图所示,在两磁极之间放置一圆形的线圈,线圈的平面与磁场垂直.问在下述各种情况中，线圈中是否产生感应电流？并指出其方向．（１）把线圈拉扁时；（２）把其中
B B B (a)(b)
(c)
n
e B
θ
一个磁极很快地移去时；（３）把两个磁极慢慢地同时移去时．
解 这三种情况中, 通过的磁通量均减小,线圈中均会产生感应电流, 从上往下看, 感应电流的方向沿顺时针方向.
12-7 如图所示,均匀磁场被限制在半径为R 的圆柱体内,且其中磁感强度随时间的变化率d d B t =常量,试问: 在回路1L 和2L 上各点的d d B t 是否均为零？各点的k E 是否均为零？
1
k
d L ???E
l 和2
k d L ???E l 各为多少？
解 由于磁场只存在于圆柱体内，在回路1L 上各点d d B t 为常量，在回路2L 上各点d d B t 为零.
空间中各点的感生电场分布为
r R < k d 2d r B
E t
=
r R > 2k d 2d R B
E r t
=
可见在回路1L 和2L 上各点的k E 均不为零.
对于在回路1L
11k d d d d d d L L S S t t
?=-=-??
?B B E l S ?
对于回路2L 22
k
d d 0d L t
Φ?=-=??E l
12-8 一根很长的铜管铅直放置，有一根磁棒由管中铅直下落．试述磁棒的运动情况．
解 长直铜管可以看作由许多铜线圈组成，当磁棒下落，每通过一个线圈，线圈中的磁通量都会发生变化，在下落过程中，铜管中始终会有感应电流产生，并且感应电流产生的磁场的方向与磁棒磁场方向相反，因此，磁棒始终受到铜管对它的阻碍作用.
12-9 有一些矿石具有导电性，在地质勘探中常利用导电矿石产生的涡电流来发现它，这叫电磁勘探．在示意图中，A 为通有高频电流的初级线圈，Ｂ为次级线圈，并连接电流计Ｇ，从次级线圈中的电流变
R
2
L 1
L
化可检测磁场的变化．当次级线圈Ｂ检测到其中磁场发生变化时，技术人员就认为在附近有导电矿石存在．你能说明其道理吗？利用问题12-9图相似的装置，还可确定地下金属管线和电缆的位置，你能提供一个设想方案吗？
解 该检测方法利用的原理是电磁感应。通有高频电流的初级线圈A 产生的交变磁场在导电矿石内产生涡电流，由涡电流产生的变化磁场，使其附近的次极线圈中B 产生感应电流，引起电流计Ｇ中指针偏转。（在探测中要使初、次级线圈的相对位置不变，以保证次级线圈B 中感应电流的变化由导电矿石中涡电流产生的磁场引起。）
要确定地下金属管线和电缆的位置，可以将通有高频电流的初级线圈A 和接有电流计的次级线圈Ｂ组成一个探测仪，使探测仪沿地面运动。当靠近金属管线时，管线中由于初级线圈的作用会产生感应电流，同时使得线圈B 中产生感应电动势，电流计指针发生偏转，当电流计指针变化最大时，可以判断出管线在探测仪正下方.
12-10 如图所示，一个铝质圆盘可以绕固定轴
OO 转动．为了使圆盘在力矩作用下作匀速转动，常在圆盘的边缘处放一永久磁铁．圆盘受到力矩作用后先作加速运动，当角速度增加到一定值时，就不再增加，试说明其作用原理．
解 我们可以把铝质圆盘看作许多根从盘中心到边缘的铝棒，当圆盘绕轴转动时，通过磁场的铝棒切割磁力线，铝棒中产生感应电动势，其方向由盘心指向边缘，同时在盘内闭合回路中产生感应电流，圆盘受到与外力矩相反的安培力力矩的作用.最初，外力矩大于安培力矩，圆盘做加速运动，角速度增大，同时安培力矩增大，导致圆盘加速度减小，当安培力力矩等于外力矩时，圆盘角加速度等于零，角速度增加到最大，安培力矩不再增加，圆盘匀速转动.
12-11 如图所示，设有一导体薄片位于与磁感强
度B 垂直的平面上．（１）如果B 突然改变，则在点P 附近B 的改变可不可以立即检查出来？为什么？（２）若导体薄片的电阻率为零，这个改变在点P 是
始终检查不出来的，为什么？（若导体薄片是由低电
阻的材料做成的，则在点P 几乎检查不出导体薄片下侧磁场的变化，这种电阻率很小的导体能屏蔽磁场变化的现象叫做电磁屏蔽）
解 （1）不能立即检测出来．电磁场改变，在导体薄片内产生涡电流，会有电磁场产生，而电磁场在导体中衰减很快，不能通过导体，即大部分电磁场都会被导体屏蔽掉，所以对于导体一边电磁场的突变，在导体另外一边不能立即检测出来. （2）导体电阻率越小，即电导率越高，电磁场在其中的衰减越快，导体电磁屏蔽的效果越显著，当导体薄片的电阻率为零时，电磁场能被完全屏蔽，因此，导体一边电磁场突变，在导体另外一边始终检测不出来.
B
P
12-12 如果要设计一个自感较大的线圈，应该从哪些方面去考虑？
解 线圈的自感只与线圈匝数、线圈大小和线圈中磁介质有关，要设计自感较大的线圈，需要用较细的导线绕制，以增加单位长度内的匝数，并选取较大磁导率的磁介质防于线圈内．
12-13 有的电阻元件是用电阻丝绕成的,为了使它只有电阻而没有自感,常用双绕法(如图).试说明为什么要这样绕.
解 将电阻丝双绕成一组线圈，当通入电流，相邻两根线圈中的电流流向相反，它们产生的磁场方向相反，通过回路线圈中总的磁通量为零，因此没有自感.
12-14有两个线圈,长度相同,半径接近相等,试指出在下列三
种情况下,哪一种情况的互感最大？哪一种情况的互感最小？(1)两个线圈靠得很近,轴线在同一直线上；(2)两个线圈相互垂直,也是靠得很近；(3)一个线圈套在另一个线圈的外面.
解 互感的大小表示了两线圈的耦合程度，两线圈的互感除了跟线圈大小，形状、匝数有关，还与它们的相互位置有关. 若一线圈中电流所产生的磁场贯穿另一个线圈的部分越大，它们之间的互感越大. 在本题所述的三种情况中，第三种情况的互感最大，第二种情况中的互感最小.
12-15试从以下三个方面来比较静电场和有旋电场：(1)产生的原因；(2)电场线的分布；(3)对导体中电荷的作用.
解 （1）静电场是由空间中的静止电荷所激发的，有旋电场是由变化的磁场产生的；
（2）静电场中电场线是有源场，始于正电荷，终止于负电荷；有旋电场的电场线是闭合的；
（3）它们对导体中的电荷都有作用力，但有旋电场对电荷的作用力不是库仑力，它对电荷作用促使电荷积累，形成电势差.
12-16 变化电场所产生的磁场,是否也一定随时间发生？变化磁场所产生电场，是否也一定随时间发生变化？
解 不一定．当电场随时间变化恒定时，它所产生的磁场恒定；当磁场随时间变化恒定时，它所产生的电场也是恒定的．
习题
12-1 一铁心上绕有线圈100匝，已知铁心中磁通量与时间的关系为
5sin100t Φ=-8.0?10π，式中Φ的单位为Wb ，t 的单位为s .求在21.010s
t -=?时，线圈中的感应电动势.
解 线圈中总的感应电动势为 ()()1d 2.51V cos 100s d N t t
Φ
ε-=-=π 在2
1.010s t -=?时，
()()
12.51V cos 100s 2.51V t ε-=π=
12-2 如图所示,用一根硬导线弯成半径为r 的一个半圆. 使这根半圆形导线在磁感强度为B 的匀强磁场中以频率f 旋转,整个电路的电阻为R ,求感应电流的表达式和最大值.
解 由于导线的转动，通过面积为212
S r =
π的半圆形导线的磁通量发生改变，导线中会产生动生电动势．取初始时刻0t =时，导线平面的法线与磁场的夹角0θ=. 经过时间t 导线平面转过的角度为
2f t θ=π 所以穿过回路的磁通量随时间的变化式为 ()2
1cos cos 22
t BS r B f t Φθ==
ππ 由法拉第电磁感应定律可知，回路中感应电动势为 22d sin 2d r f B f t t
Φ
ε=-=ππ 回路中感应电流为
22sin 2r f B
I f t R
π=
π 感应电流的最大值为 22max r f B I R
π=
12-3 有一测量磁感强度的线圈,其截面积2
4.0cm S =,匝数160N =匝,电阻50R =Ω.线圈与一内阻30i R =Ω的冲击电流计相连.若开始时线圈的平面与均匀磁场的磁感强度B 相垂直,然后线圈的平面很快地转到与B 的方向平行.此时从
冲击电流计中测得电荷值5
4.010C q -=?.问此均匀磁场的磁感强度B 的值为多少？
解 线圈平面转动前后，通过线圈的磁链变化为
21NBS ψψψ?=-=
此过程中流过导体截面的电量为 ()i i
NBS
q I t t R R t R R ψ?=?=?=+?+
由上式可知，磁感强度为 ()
i 0.05T q R R B NS
+==
12-4 如图所示,一长直导线中通有 5.0A I =的电流,在距导线9.0cm 处,放一面积为2
0.10cm ,10匝的小圆线圈,线圈中的磁场可看作是均匀的.今在
21.010s -?内把此线圈移至距长直导线10.0cm 处.
求:(1)线圈中平均感应电动势；（2）设线圈的电阻为
21.010-?Ω，求通过线圈横截面的感应电荷．
解 带电直导线激发的磁场为非均匀磁场，由于线圈面积较小，我们可以认为穿过线圈的磁场为均匀磁场.
当线圈在19.0cm r =、210.0cm r =处，通过线圈平面的磁链分别为
01112N IS NB S r μψ==
π 0222
2N IS
NB S r μψ==π 所以线圈中平均感应电动势为 8
021
2111 1.1110V 2N IS t
t r r μψψε-??-=
=
-=? ??π???
（2）通过线圈横截面的感应电荷为
I
821
1.1110C q R
ψψ--=
=?
12-5 如图所示，把一半径为R 的半圆形导线OP 置于磁感强度为B 的均匀磁场中，当导线OP 以匀速率v 向右移动时，求导线中感应电动势的大小．哪一端电势较高？ 解 如图所示，连接导线OP 两端，使导线构成一闭合回路，此闭合回路由直导线OP 、半圆形导线OAP 组成，由于磁场分布均匀，所以此闭合回路中
的感应电动势为零，0ε=.
所以半圆形导线中的感应电动势的大小与直导线OP 中的感应电动势大小相等,即 2OAP OP BRv εε=-= 由?v B 可知, P 端电势较高.
12-6 长度为L 的铜棒，以距端点r 处为支点，并以角速率ω绕通过支点且垂直于铜棒的轴转动．设磁感强度为B 的均匀磁场与轴平行，求棒两端的电势差.
解 以支点为原点O ，在棒上距原点l 处取一小段线元d l , 其速度为v ，则它产生的电动势为
d ()d ε=?v B l ? 将上式积分可得
1
d (2)2
L r
AB r
B l l BL L r εωω--=-=--?
12-7 如图所示，长度为L 的导体棒OP ，处于均匀磁场中，并绕OO '轴以角速度ω旋转，棒与转轴夹角恒为θ，磁感强度B 与转轴平行. 求OP 棒在图示位置处的电动势.
解 如图，在棒上距O 点为l 处取一小段线元d l ，其速度为sin v l ωθ=，所以导体棒产生的电动势为 d OP OP
ε=
??
v B l ?
sin cos(90)d L
l B l εωθθ=-?o
B R O P
A
v
A v
21
(sin )2
B L ωθ=
12-8 如图所示，金属杆AB 以匀速率1
2.0m s v -=?平行于一长直导线移动，此导线通有电流40A I =．问：此杆中的电动势为多大？杆的哪一端电动势较高？
解 如图所示，建立坐标系，在x 处取一小段线元d x ，此处的磁感强度为 2I B x
μ0=π
所以，杆中电动势为
1.0m
50.1m
d d 3.8410V 2AB AB
I
v
x x
με-0=?-=-?π??
v B x =?
电动势方向由B 指向A ，A 端电动势较高．
12-9 如图所示，在一“无限长”直载流导线的近旁放置一个矩形导体线框．该线框在垂直于导线方向以匀速率v 向右移动．求在图示位置处线框中的感应电动势的大小和方向．
解 矩形线框中的感应电动势为各边框
导线产生的感应电动势之和．
由l
d ε=??
v B l ?可知，矩形线框中AB 、CD 与导线垂直，它们产生的感应电动势为零，所以线框的电动势为DA 、BC 两边所产生的电动势之和．
在图示位置处，导线DA 、BC 中产生的感应电动势分别为
222DA Il v
Bl v d
με0==
π
()
212BC Il v
d l με0=-
π+
这两边导线中电动势方向相反，此时线框中总的感应电动势为
I
I
x
v
()
1212DA BC Il l v
d d l μεεε0=-=π+
其方向为顺时针．
12-10 如图所示，一长为l 、质量为m 的导体棒CD ，其电阻为R ，沿两条平行的导电轨道无摩擦的滑下，导轨的电阻可不计，导轨与导体构成一闭合回路．导轨所在的平面与水平面成θ角，整个装置放在均匀磁场中，磁感强度B 的方向为铅直向上．求：（1）导体在下滑时速度随时间的变化规律；（2）导体棒CD 的最大速
度m v ．
解 （1）导体在重力的作用下，沿轨道下滑，回路中磁通量发生变化，导体中有感应电动势产生，其大小为cos Blv εθ=，导体中有感应电流通过，从而受到水平向左的安培力作用，最初，导体棒的速度较小，导体沿轨道加速运动，速度增大，同时安培力也增大，当导体所受的安培力与其重力在轨道方向平衡时，导体加速度为零，速度达到最大值．导体达到最大速度由安培定律可得，导体受到的安培力大小为
22cos B l v F IBl Bl R R
ε
θ
===
所以导体下滑的动力学方程为
d sin cos d v
mg F m t
θθ-= 由上两式可得
222
d d cos sin v
t B l v g mR
θ
θ=-
将上式积分可得t 时刻导体棒的速度为
22
2
cos 22
2sin 1cos B l t
mR mgR v e B l θ
θ
θ
??=- ? ??
?
-
（2）由上问中分析可知，当导体所受的安培力与其重力在轨道方向平衡时，导
N F
体加速度为零，速度达到最大值，即
222max cos sin B l v mg R
θ
θ= max 222
sin cos mgR v B l θ
θ
=
另外，由上问中速度与时间的关系可知，当t →∞，222cos 0B l t
mR
e θ
→-
速度达到最大 max 222
sin cos mgR v B l θ
θ
=
12-11 有一磁感强度为B 的均匀磁场，以恒定的变化率
d d B
t
在变化．把一块质量为m 的铜拉成截面半径为r 的导线，并用它做成半径为R 的圆形回路，圆形回路的平面与磁感强度B 垂直．试证：这回路中的感应电流为 d 4d m B
I d t
ρ=
π
式中ρ为铜的电阻率，d 为铜的密度．
证明 由电磁感应定律可知，圆形回路中的感应电动势为 2
d d d d R t t ΦB
ε==π 又圆形回路总电阻为
22l R R R S r r
ρρ
ρ2π2'===π 所以回路中的感应电流为
2d 2d Rr B I R t
ε
ρπ==' 又由导体总的质量222m dV r Rd ==π可知2
2m
Rr d
π=π，代入上式可得 d 4d m B
I d t
ρ=π
12-12 在半径为R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场，B 的方向与圆柱轴线平行．如图所示有一长为l 的金属棒放在磁场中，设B 随时间的变化率d d B
t
为常量．试证棒上的感应电动势的大小为
ε=
证明 变化的磁场会产生感生电场k E ，感生电场的方向与d d t
-
B
遵从右手螺旋定则．如图，连接OA ，OB ，使OAB 成为一闭合回路，回路中的感应电动势大小为为 k k k k d d d d d d OAB
OABO
OA
AB
BO
t
Φε=
?=?+?+?=
?
????E l E l E l E l 又OA ，OB 沿半径方向，与感生电场k E 垂直，所以OA ，OB 中感应电动势为零，所以AB 段，即金属棒上的感应电动势的大小为
k d d d d d OAB OAB AB
B
S t t
Φε=?=
=?E l
=
12-13 一半径为R ，电阻率为ρ的金属薄圆盘放在磁场中，B 的方向与盘面垂直，B 的值为()0
t
B t B τ
=，式中0B 和τ为常量，t 为时间．（1）求盘中产生的
涡电流的电流密度；（2）若0.20m R =，8
6.010m ρ-=?Ω?，0 2.2T B =，
18.0s τ=，计算圆盘边缘处的电流密度．
解 （1）变化的磁场会产生感生电场，从而
在金属薄圆盘中产生涡电流．取圆盘中心为O ，圆盘上的感生电场线为一组以O 为圆心的同心圆，各点场强方向沿切线方向，圆盘上半径为r 的点感生电场强度大小为0
d 2d 2rB r B E t τ
==，该点电流密度大小为
2B E
j r ρ
ρτ
=
=
其方向与该点电场强度的方向一致．
B
（2）在边缘处，即0.20m r R ==处的电流密度为
520
2.0410A m 2B j R ρτ
-=
=??
12-14 截面积为长方形的环形均匀密螺绕环，其尺寸如图所示，共有N 匝（图中仅画出少量几匝），求该螺绕环的自感L ．
解 设螺绕环中线圈电流为I ，以螺绕环中心为圆点O ，取半径为r 12()R r R <<的圆形回路，由安培定律可得，12R r R <<区域内的磁感强度为 02NI B r
μ=π
穿过螺绕环上线圈中总的磁链为 2
1
2001d d d 22R S
S
R NI
N Ih
N
N S r r
r
μμψ===
ππ
?
?
?
B S ? 202
1
ln
2N Ih
R R μ=π
螺绕环的自感为
202
1
ln 2N h R L I R μψ==π
12-15 如图所示，螺线管的管心是两个套在一起的同轴圆柱体，其截面积分别为1S 和2S ，磁导率分别为1μ和2μ，管长为l ，匝数为N ，求螺线管的自感（设管的截面很小）．
解 设螺线管中线圈电流为I 由于螺线管截面很小，
我们可以利用
N
B nI I l
μμ
==来求管内的磁感强度，其中μ为管内介质磁导率．本题中螺线管内由两种不同的介质填充，通过磁导率分别为1μ、2μ的介质截面的磁感强度分别为 11
N B I l μ= 22N B I l
μ=
22
,S N
则通过螺线管截面的总的磁链为
()21211221122N I
NB S NB S S S l
ψψψμμ=+=+=+
螺线管的自感为
()21122N L S S I l
ψ
μμ==+
12-16 有两根半径均为a 的平行长直导线，它们中心距离为d ．试求长为l 的
一对导线的自感（导线内部的磁通量可略去不计）．
解 长为l 、相距为d 的两平行直导线可以看作无限长、宽为d 的矩形回路的一部分，设回路中通有顺时针电流I ．如图所示，建立坐标轴Ox ，则在两平行导线间的磁感强度为 ()
0022I
I
B x
d x μμ=
+
ππ-
则通过两导线之间的矩形（宽为d 、长为l ）面积
的磁通量为
0d d ln
d a
S
a
Il
d a
Bl x a
μΦ--===
π
??
B S ? 所以长为l 的两平行导线的自感为
0ln
l
d a
L I
a
μΦ
-=
=
π
12-17 如图所示，在一柱形纸筒上绕有两组相同线圈AB 和A B ''，每个线圈的自感均为L ，求：（1）A 和A '相接时，B 和B '间的自感1L ，（2）A '和B 相接时，A 和B '间的自感2L ．
解 （1）设当只有一组线圈中通有电流I 时，它穿过自身线圈回路的磁通量为LI Φ=；则当两组线圈中都通有相同的电流时，穿过两组线圈回路中总的磁通量为4Φ．
当A 和A '相接，线圈AB 和A B ''中的电流方向相反，通过线圈的磁通量也相反，
总的磁通量为1Φ=0，所以B 和B '间的自感10L =.
（2）A '和B 相接时，线圈AB 和A B ''中的电流方向相同，通过两线圈总的磁
d
O
x
l l
通量为2ΦΦ=4，所以A 和B '间的自感24L L I
Φ
4==．
12-18 如图所示，一面积为2
4.0cm 共50匝的小圆形线圈Ａ，放在半径为20cm 共100匝的大圆形线圈Ｂ的正中央，此两线圈同心且同平面．设线圈Ａ内各点的磁感强度可看作是相同的．求：（1）两线圈的互感；（2）当线圈Ｂ中的电流的变化率为1
50A s --?时，线圈Ａ中感应电动势的大小和方向．
解 （1）设线圈Ｂ中通有电流I ，则它在中心处的磁感强度为0B
2I
B N R
μ=，
则通过小线圈的磁链为
0B 2A A A A A I
N BS N N S R
μψ==
则两线圈的互感为
60
B
6.2810H 2A
A A M N N S I
R
μψ-=
==?
（2）当线圈Ｂ中的电流的变化率为1
50A s --?时，1d 50A s d I
t
-=-?，则线圈Ａ中的感应电动势为
4d 3.1410V d A I
M
t
ε-=-=? 其方向与线圈Ｂ中的电流方向相同．
12-19 如图所示，两同轴单匝圆线圈Ａ、Ｃ的半径分别为R 和r ，两线圈相距为d ，若r 很小，可认为线圈Ａ在线圈Ｃ处产生的磁场是均匀的．求两线圈的互感．若线圈Ｃ的匝数为N 匝，则互感又为多少？
解 设线圈Ａ中通有电流I ，它在线圈Ｃ处产生的磁感强度为 ()
2032
2
22IR
B R d μ=
+
则穿过线圈Ｃ中的磁链为
()
22
032
222C C IR r BS R d μψπ==
+
所以两线圈的互感为 ()
22
032
2
22C
R r M I
R d
ψμπ==
+
12-20 一半径为R 的圆形回路与一无限长直导线共面，圆心到长直导线间的距离为d ，求它们之间的互感．
解 如图所示，以取圆形回路中心为原点O ，建立坐标轴Oxy ．设长直导线中通有电流
I ，它在线圈平面内的磁感强度为
()
02I
B d x μ=
π+
在圆形回路上取平行于长直导线、宽为d x 的面元d S ，d 2sin d S R x θ=，则穿过此面元的磁通量为
()
0d 2sin d 2I
R x d x μΦθ=
π+
又cos x R θ=，代入上式有 22
0d cos d cos I d R d R d R μΦθθθ??
-=-+ ?π+??
将上式积分可得
2200cos d cos I
d R d R d R μΦθθθπ
??
-=-+ ?π+??
?
(0I d μ=
所以，导线与圆形线圈之间的互感为
(0M d I
Φ
μ=
=
12-21 一个直径为0.01m ，长为0.10m 的长直密绕螺线管，共1000匝线圈，总电阻为7.76Ω．求：（1）如把线圈接到电动势 2.0V ε=的电池上，电流稳定后，线圈中所储存的磁能有多少？磁能密度是多少？（2）从接通电路时算起，要使线圈
储存磁能为最大储存磁能的一半，需经过多少时间？
I
解 （1）密绕螺线管的自感为20N S
L l
μ=，当接上电动势 2.0V ε=的电池
后，线圈中的电流为I R
ε=
，则线圈中所储存的磁能为
2225
0m 2
1W 3.2810J 22N S LI lR
με-===? 螺线管内磁能密度为
3m
m W 4.17J m Sl
-==?w
（2）线圈接上电池ε后，线圈内的电流变化规律为
1R t L
I e R ε-?
?=
- ??
?
当电流稳定后可达最大值m I R
ε=，设线圈储存磁能为最大储存磁能的一半时，电
流为I ，则有
22m 111
222
LI LI =?，
此时2m I I =，将其代入电流变化规律式可得此时经过的时间为
4ln(1 1.5610s L t R -=-
-=?
12-22 一无限长直导线，截面各处的电流密度相等，总电流为I ，试证：每单位长度导线内所贮藏的磁能为2
16I
μπ．
解 设导体半径为R ，则在导体内部磁感强度为 02
2Ir B R
μ=π
因此导体内部的磁能密度为
2
2B μ=w m 则单位长度导线内所贮藏的磁能为
2
200m m 20
1
W d 2d 2216R
V Ir I V r r R μμμ??
==
π= ?ππ??
??
w
12-23 在真空中，若一均匀电场中的电场能量密度与一0.50T 的均匀磁场中的能量密度相等，该电场的电场强度为多少？
解 0.50T 的均匀磁场中的能量密度为
2
2B μ=w m 设均匀电场中电场强度为E ，则其中电场能量密度为 201
2
E ε=
w e 由题可知 =w w m e 则电场强度为 81
1.5110V m E -==??
工程电磁场
如何描述线1周围的用来决定对线2作用力的力场？
Note that in the third case (perpendicular currents), I2 is in the same direction as H, so that their cross product (and the resulting force) is zero. The actual force computation involves a different field quantity, B, which is related to H through B = μ0H in free space. This will be taken up in a later lecture. Our immediate concern is how to find H from any given current distribution. 第三种情况，磁场与电流平行，叉乘=0
特别注意与距离的平方成反比, 而且叉矢量指向纸内（右手螺旋法则决定）Note the similarity to Coulomb’s Law a point charge of magnitude dQ1at Point 1 would generate electric field at Point 2 given by: The units of H are [A/m]
To determine the total field arising from the closed circuit path, we sum the contributions from the current elements that make up the entire loop, or The contribution to the field at P from any portion of the current will be just the above integral evalated over just that portion.
第十二章 电磁感应电磁场(一)作业答案
第十二章 电磁感应 电磁场（一） 一．选择题 [ A ]1.（基础训练1）半径为a 的圆线圈置于磁感强度为B 的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈电阻为R ，当把线圈转动使其法向与B 的夹角为α=60?时，线圈中已通过的电量与线圈面积及转动时间的关系是： (A) 与线圈面积成正比，与时间无关. (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比. (C) 与线圈面积成反比，与时间无关. (D) 与线圈面积成反比，与时间成正比. 【解析】 [ D ]2.（基础训练3）在一自感线圈中通过的电流I 随时间t 的变化规律如图(a)所示，若以I 的正流向作为的正方向，则代表线圈内自感电动势随时间t 变化规律的曲线应为图(b)中(A)、(B)、(C)、(D)中的哪一个？ 【解析】 dt dI L L -=ε，在每一段都是常量。dt dI ［ B ］3.（基础训练6）如图所示，直角三角形金属框架abc 放在均匀磁场中，磁场B ? 平 行于ab 边，bc 的长度为l ．当金属框架绕ab 边以匀角速度转动时，abc 回路中的感应 电动势和a 、c 两点间的电势差U a – U c 为 (A) =0，U a – U c =221l B ω (B) =0，U a – U c =22 1l B ω- (C) =2l B ω，U a – U c =2 2 1l B ω (D) =2l B ω，U a – U c =22 1 l B ω- 【解析】金属框架绕ab 转动时，回路中 0d d =Φ t ，所以0=ε。 2012c L a c b c bc b U U U U v B d l lBdl Bl εωω→→→ ??-=-=-=-??=-=- ??? ?? ［ C ］5.（自测提高1）在一通有电流I 的无限长直导线所在平面内，有一半经 为r ，电阻为R 的导线环，环中心距直导线为a ，如图所示，且r a >>。当直导线的电流被切断后，沿着导线环流过的电量约为： (A))1 1(220r a a R Ir +-πμ (B) a r a R Ir +ln 20πμ (C)aR Ir 220μ (D) rR Ia 220μ 【解析】直导线切断电流的过程中，在导线环中有感应电动势大小：t d d Φ = ε B ? a b c l ω a I r o R q 2 1 φφ-=
工程电磁场基本知识点讲课教案
工程电磁场基本知识 点
第一章矢量分析与场论 1 源点是指。 2 场点是指。 3 距离矢量是，表示其方向的单位矢量用表示。 4 标量场的等值面方程表示为，矢量线方程可表示成坐标形式，也可表示成矢量形式。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示，梯度的方向表示。 6 方向导数与梯度的关系为。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u?=。 8 矢量A在曲面S上的通量表示为Φ=。 9 散度的物理含义是。 10 散度在直角坐标系中的表示为??= A。 11 高斯散度定理。 12 矢量A沿一闭合路径l的环量表示为。 13 旋度的物理含义是。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??= A。 15 矢量场A在一点沿 e方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关 l 系为。 16 斯托克斯定理。
17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e 20 0(0)11''4()(0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=?????g g 第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E = 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点 P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ???处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其内部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其内部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。
工程电磁场复习基本知识点
第一章 矢量分析与场论 1 源点是指 。 2 场点是指 。 3 距离矢量是 ，表示其方向的单位矢量用 表示。 4 标量场的等值面方程表示为 ，矢量线方程可表示成坐标形 式 ，也可表示成矢量形式 。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示 ，梯度的方向表 示 。 6 方向导数与梯度的关系为 。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u ?= 。 8 矢量A 在曲面S 上的通量表示为Φ= 。 9 散度的物理含义是 。 10 散度在直角坐标系中的表示为??=A 。 11 高斯散度定理 。 12 矢量A 沿一闭合路径l 的环量表示为 。 13 旋度的物理含义是 。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??=A 。 15 矢量场A 在一点沿l e 方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关系 为 。 16 斯托克斯定理 。 17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e
20 0(0)11''4() (0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=????? 第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E = 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ??? 处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。 11 无限长直导线，电荷线密度为τ，则空间电场E = 。 12 无限大导电平面，电荷面密度为σ，则空间电场E = 。 13 静电场中电场强度线与等位面 。 14 两等量异号电荷q ，相距一小距离d ，形成一电偶极子，电偶极子的电偶极矩 p = 。 15 极化强度矢量P 的物理含义是 。 16 电位移矢量D ，电场强度矢量E ，极化强度矢量P 三者之间的关系 为 。 17 介质中极化电荷的体密度P ρ= 。 18介质表面极化电荷的面密度P σ= 。
第十二章电磁感应 电磁场
第十二章 电磁感应 电磁场和电磁波 12－3 有两个线圈，线圈1对线圈2 的互感系数为M 21 ，而线圈2 对线圈1的互感系数为M 12 ．若它们分别流过i 1 和i 2 的变化电流且 t i t i d d d d 2 1<，并设由i 2变化在线圈1 中产生的互感电动势为12 ，由i 1 变化在线圈2 中产生的互感电动势为ε21 ，下述论断正确的是（ ）． （A ）2112M M = ，1221εε= （B ）2112M M ≠ ，1221εε≠ （C ）2112M M =， 1221εε< （D ）2112M M = ，1221εε< 分析与解 教材中已经证明M21 ＝M12 ，电磁感应定律t i M εd d 1 2121=；t i M εd d 21212=．因 而正确答案为（D ）． 12－5 下列概念正确的是（ ） （A ） 感应电场是保守场 （B ） 感应电场的电场线是一组闭合曲线 （C ） LI Φm =，因而线圈的自感系数与回路的电流成反比 （D ） LI Φm =，回路的磁通量越大，回路的自感系数也一定大 分析与解 对照感应电场的性质，感应电场的电场线是一组闭合曲线．因而 正确答案为（B ）． 12－7 载流长直导线中的电流以 t I d d 的变化率增长.若有一边长为d 的正方形线圈与导线处于同一平面内，如图所示.求线圈中的感应电动势. 分析 本题仍可用法拉第电磁感应定律t Φ d d - =ξ ，来求解.由于回路处在非均匀磁场中，磁通量就需用??= S S B Φd 来计算. 为了积分的需要，建立如图所示的坐标系.由于B 仅与x 有关，即B =B (x )，故取一个平行于长直导线的宽为d x 、长为d 的面元d S ，如图中阴影部分所示，则d S =d d x ，所以，总磁通量
电磁场与电磁波课后习题与答案七章习题解答(2)
《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波 7.1 求证在无界理想介质沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成 j() e n r t m βω?-=e E E 。 解 E m 为常矢量。在直角坐标中 故 则 而 故 可见，已知的() n j e r t m e βω?-=E E 满足波动方程 故E 表示沿e n 方向传播的平面波。 7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。 解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为 式中取 显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。 7.3 在自由空间中，已知电场3(,)10sin()V/m y z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度 (,)z t H 。 解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式 这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90? -。与之相伴的磁场为 7.4 均匀平面波的磁场强度H 的振幅为1 A/m 3π，以相位常数30rad/m 在空气中沿z -e 方向传播。当t=0和z=0时，若H 的取向为y -e ，试写出E 和H 的表示式，并求出波的频率和波长。 解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式 与之相伴的电场为 由rad/m β=30得波长λ和频率f 分别为 则磁场和电场分别为 7.5 一个在空气中沿 y e +方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为 （1）求β和在3ms t =时， z H =的位置；（2）写出E 的瞬时表示式。 解（1 ） 781π 10πrad /m rad /m 0.105rad /m 31030β==? ==? 在t =3ms 时，欲使H z =0，则要求 若取n =0，解得y =899992.m 。 考虑到波长260m π λβ = =，故 因此，t =3ms 时，H z =0的位置为 （2）电场的瞬时表示式为 7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m 。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m 。设1r μ=，试求理想介质的相对介电常数r ε以及在该介质中的波速。 解 在自由空间，波的相速 80310m/s p v c ==?，故波的频率为 在理想介质中，波长0.09m λ=，故波的相速为 而
工程电磁场教案-国家精品课华北电力学院崔翔-第4章(倪光正主编教材)
第四章 准静态电磁场 4．1 准静态电磁场 1．电准静态场 由麦克斯韦方程组知，时变电场由时变电荷和时变磁场产生的感应电压产生。时变电荷产生库仑电场，时变磁场产生感应电场。在低频情况下，一般时变磁场产生的感应电场远小于时变电荷产生的库仑电场，可以忽略。此时，时变电场满足 ρ =??≈??D 0E 称为电准静态场。可见，电准静态场与静电场类似，可以定义时变电位函数? ，即 ?-?=E 且满足泊松方程 ε ρ?-=?2 与电准静态场对应的时变磁场满足 0 t =????+ =??B D E H γ 2．磁准静态场 由麦克斯韦方程组知，时变磁场由时变传导电流和时变电场产生的位移电流产生。在低频情况下，一般位移电流密度远小于时变传导电流密度，可以忽略。此时，时变磁场满足 0=??≈??B J H c 称为磁准静态场。可见，磁准静态场与恒定磁场类似，可以定义时变矢量位函数A ，即 A B ??= 且满足矢量泊松方程 c J A μ-=?2 与磁准静态场对应的时变电场满足 ρ =????- =??D B E t
例1：图示圆形平板电容器，极板间距d = 0.5 cm ，电容 器填充εr =5.4的云母介质。忽略边缘效应，极板间外施电压 t t u 314cos 2110)(=V ，求极板间的电场与磁场。 [解]：极板间的电场由极板上的电荷和时变磁场产生。 在工频情况下，忽略时变磁场的影响，即极板间的电场为电 准静态场。在如示坐标系下，得 ()()()V/m t 31410113t 31410 501102d u z 4z 2z e e e E -?=-??=-=-cos .cos . 由全电流定律得出，即由 ()z z 20r 4S l t 31431410113d t H 2d e e S D l H ?-π??-=???=π=???ρεερφsin . 极板间磁场为 φφφρe e H t 314103352H 4sin .-?== A/m 也可以由麦克斯韦方程直接求解磁场强度，如下 t t 0r ??=??=??E D H εε 展开，得 t 314106694H 14sin .)(-?=??φρρ ρ 解得 φφφρe e H t 314103352H 4sin .-?== A/m 讨论：若考虑时变磁场产生的感应电场，则有 t t ??-=??-=??H B E 0μ 展开，得 t E z 314cos 103.231440ρμρ -??-=??- 解得 t E z 314cos 10537.428ρ-?= V/m 可见，在工频情况下，由时变磁场产生的感应电场远小于库仑电场。 图 平板电容器
电磁场与电磁波试题 (2)
. '. 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙一﹚ 一、 填空题（每题8分，共40分） 1、在国际单位制中，电场强度的单位是________；电通量密度的单位是___________；磁场强度的单位是____________；磁感应强度的单位 是___________；真空中介电常数的单位是____________。 2、静电场 →E 和电位Ψ的关系是→E ＝_____________。→ E 的方向是从电位_______处指向电位______处。 3、位移电流与传导电流不同，它与电荷___________无关。只要电场随__________变化，就会有位移电流；而且频率越高，位移电流密度___________。位移电流存在于____________和一切___________中。 4、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝________；而磁场 → B 的法向分量B 1n －B 2n ＝_________；电流密度→ J 的法向分 量J 1n －J 2n =___________。 5、沿Z 轴传播的平面电磁波的复数表示式为：_____________________=→ E , ____________________=→ H 。 二、计算题（题，共60分） 1、（15分）在真空中，有一均 匀带电的长度为L 的细杆， 其电荷线密度为τ。 求在其横坐标延长线上距 杆端为d 的一点P 处的电 场强度E P 。 2、（10分）已知某同轴电容器的内导体半径为a ，外导体的内半径为c ， 在a ﹤r ﹤b (b ﹤c)部分填充电容率为ε的电介质，求其单位长度上的电容。 3、（10分）一根长直螺线管，其长度L ＝1.0米，截面积S ＝10厘米2，匝数N 1＝1000匝。在其中段密绕一个匝数N 2＝20匝的短线圈，请计算这两个线圈的互感M 。 4、（10分）某回路由两个半径分别为R 和r 的 半圆形导体与两段直导体组成，其中通有电流I 。 求中心点O 处的磁感应强度→ B 。 5、电场强度为)2106(7.378 Z t COS E Y a ππ+?=→ → 伏／米的电磁波在自由空间传播。问：该波是不是均匀平面波？并请说明 其传播方向。 求：（1）波阻抗； （2）相位常数； （3）波长； （4）相速； （5） → H 的大小和方向； （6）坡印廷矢量。 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙二﹚ （一）、问答题（共50分） 1、（10分）请写出时变电磁场麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式，并写出其辅助方程。 2、（10分）在两种媒质的交界面上，当自由电荷面密度为ρs 、面电流密度为J s 时，请写出→ →→→H B D ,,,E 的边界条件的矢量表达式。 3、（10分）什么叫TEM 波，TE 波，TM 波，TE 10波？ 4、（10分）什么叫辐射电阻？偶极子天线的辐射电阻与哪些因素有关？ 5、什么是滞后位？请简述其意义。 （二）、计算题（共60分） 1、（10分）在真空里，电偶极子电场中的任意点M （r 、θ、φ）的电位为2 cos 41r P θ πε= Φ （式中，P 为电偶极矩，l q P =） ， 而 → →→?Φ?+?Φ?+?Φ?=Φ000sin 11φφ θθθr r r r 。 试求M 点的电场强度 → E 。 2、（15分）半径为R 的无限长圆柱体均匀带电，电荷 体密度为ρ。请以其轴线为参考电位点， 求该圆柱体内外电位的分布。 3、（10分）一个位于Z 轴上的直线电流I ＝3安培，在其旁 边放置一个矩形导线框，a ＝5米，b ＝8米，h ＝5米。 最初，导线框截面的法线与I 垂直（如图），然后将该 截面旋转900，保持a 、b 不变，让其法线与I 平行。 求：①两种情况下，载流导线与矩形线框的互感系数M 。 ②设线框中有I ′＝4安培的电流，求两者间的互感磁能。 4、（10分）P 为介质（2）中离介质边界极近的一点。 已知电介质外的真空中电场强度为→ 1E ，其方向与 电介质分界面的夹角为θ。在电介质界面无自由电 荷存在。求：①P 点电场强度 → 2E 的大小和方向； ５、（１５分）在半径为Ｒ、电荷体密度为ρ的球形 均匀带电体内部有一个不带电的球形空腔，其半径为ｒ， 两球心的距离为ａ（ｒ<ａ<Ｒ）。介电常数都按ε０计算。 求空腔内的电场强度Ｅ。 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙三﹚ 二、 填空题（每题8分，共40分） R O r a x
电磁场第四章习题
O 0=φ 4.1 两块无限大接地平行板导体相距为d,其间有一与导体板平行的无限大电荷片，其电荷面密度为S ρ，如图所示。试通过拉普拉斯方程求两导体之间导体分布。 4.2 设很长的同轴圆柱结构的内、外导体之间填充以电子云，其电荷体密度 r A =ρ )(b r a <<,其中a 和b 分别为内、外导体的半径，A 为常数。设内导体维持在电位0V ，而外导体接地用解泊松方程的方法求区域b r a <<内的电位分布。 4.3 通过解电位的泊松方程和拉普拉斯方程，确定球形电子云内部和外部的电位和电场。已知电子云内部区域b r ≤≤0，有均匀的体电荷密度0ρρ-=；在电子云外部区域b r >中，0=ρ。 4.4 一电荷量为q 质量为m 的小带电体，放置在无限大导体平面下方，与平面距离h 。求q 的值以使带电体上受到的静电力恰与重力相平衡。(设m h kg m 02.0,1023=?=-)。 4.5 一个点电荷q 与无限大导体平面距离为d ，如果把它移到无穷远处，需要做多少功？ 4.6 两点电荷Q 和Q -位于一个半径为a 的导体球直径的延长线上，分别距球心D 和D -。 (1) 证明：镜像电荷构成一偶极子，位于球心，偶极矩为232D Q a (2) 令D 和Q 分别趋于无穷，同时保持 2 D Q 不变，计算球外的电场
题 4.6 图 4.7 半径为a 的长导线架在空中，导线和墙和地面都相互平行，且距墙和地面分别1d 和2d ，设墙和地面都视为理想导体，且a d >>1，a d >>2。试求此导线对地的单位长电容。 4.8 半径为a 的接地导体球，离球心1r (a r >1)处放置一个点电荷q ，如图所示,用分离变量法求电位分布。 4.9 在一个半径为a 的圆柱面上，给定其电位分布： ? ??=00U φ 00<<-<
第12章 电磁感应 电磁场
第十二章 电磁感应 电磁场 问题 12-1 如图,在一长直导线L 中通有电流I ,ABCD 为一矩形线圈,试确定在下列情况下，ABCD 上的感应电动势的方向：(1)矩形线圈在纸面内向右移动；(2)矩形线圈绕AD 轴旋转；（3）矩形线圈以直导线为轴旋转. 解 导线在右边区域激发的磁场方向垂直于纸面向 里，并且由2I B r μ0=π可知，离导线越远的区域磁感强度越小，即磁感线密度越小．当线圈运动时通过线圈的磁通量会发生变化，从而产生感应电动势．感应电动势的方向由楞次定律确定． （1）线圈向右移动，通过矩形线圈的磁通量减少，由楞次定律可知，线圈中感应电动势的方向为顺时针方向． （2）线圈绕AD 轴旋转，当从0到90时，通过线圈的磁通量减小，感应电动势的方向为顺时针方向．从90到180时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针. 从180到270时，通过线圈的磁通量减少，感应电动势的方向为顺时针．从270到360时，通过线圈的磁通量增大，感应电动势的方向为逆时针方向. （2）由于直导线在空间激发的磁场具有轴对称性，所以当矩形线圈以直导线为轴旋转时，通过线圈的磁通量并没有发生变化，所以，感应电动势为零. 12-2 当我们把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环中时,铜环内有感应电流和感应电场吗？ 如用塑料圆环替代铜质圆环,环中仍有感应电流和感应电场吗？ 解 当把条形磁铁沿铜质圆环的轴线插入铜环过程中，穿过铜环的磁通量增加，铜环中有感应电流和感应电场产生；当用塑料圆环替代铜质圆环，由于塑料圆环中的没有可以移动的自由电荷，所以环中无感应电流和感应电场产生. 12-3 如图所示铜棒在均匀磁场中作下列各种运动，试问在哪种运动中的铜棒上会有感应电动势？其方向怎样？设磁感强度的方向铅直向下．（１）铜棒向右平移［图(a)］；（２）铜棒绕通过其中心的轴在垂直于B 的平面内转动［图(b)］；（３）铜棒绕通过中心的轴在竖直平面内转动［图(c)］． C I
第十二章电磁感应电磁场
第12章电磁感应 内容：1 . 法拉第电磁感应定律 2 . 动生电动势和感生电动势 3 . 互感 4 . 自感 5 . RL电路的暂态过程 6 . 自感磁能磁场的能量密度 7 . 位移电流电磁场基本方程的积分形式 重点：法垃第电磁感应定律 难点：感生电动势和感生电场
12.1 法拉第电磁感应定律 12.1.1 电磁感应现象 G v 演示动画：现象1演示动画：现象2 G k （1）线圈固定，磁场变化
当穿过闭合导体回路的磁通量发生变化时，不管这种变化是什么原因引起的，在导体回路中就会产生感应电流。这就是电磁感应现象。 G B ω 演示动画：现象3 （2）磁场不变，线圈运动 演示程序：在磁场中旋转的线圈? ?? ?? ? ?? ? G S B
思考：仅一段导体在磁场中运动，导体内有无感 生电流？有无感应电动势？ 有感生电动势存在，而无感生电流。 12.1.2 法拉第电磁感应定律 在电磁感应现象中，导体回路出现感应电流，这表明回路中有电动势存在。 因回路中磁通量的变化而产生的这种电动势叫感应电动势 （1）法拉第电磁感应定律 通过回路所包围面积的磁通量发生变化时，回路中产生的感应电动势 的大小与磁通量对时间的变化率成正比。
t Φk m d d -=ε单位: 1V=1Wb/s 国际单位制中k =1 负号表示感应电动势总是反抗磁通的变化 磁链数:m N ΦΨ=若有N 匝线圈，每匝磁通量相同，它们彼此串联，总电动势等于各匝线圈所产生的电动势之和。令每匝的磁通量为Φm t N t m d d d d Φψε-=- =（2）感应电动势方向 由于电动势和磁通量都是标量，它们的“正负”相对于某一指定的方向才有意义。 t d d m Φ- =ε
工程电磁场基本知识点
第一章矢量分析与场论 1 源点是指。 2 场点是指。 3 距离矢量是，表示其方向的单位矢量用表示。 4 标量场的等值面方程表示为，矢量线方程可表示成坐标形式，也可表示成矢量形式。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示，梯度的方向表示。 6 方向导数与梯度的关系为。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u ?=。 8 矢量A在曲面S上的通量表示为Φ=。 9 散度的物理含义是。 10 散度在直角坐标系中的表示为??= A。 11 高斯散度定理。
12 矢量A 沿一闭合路径l 的环量表示为 。 13 旋度的物理含义是 。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??=A 。 15 矢量场A 在一点沿l e 方向的环量面密度与该点处的旋度之间 的关系为 。 16 斯托克斯定理 。 17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别 为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别 为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e 20 0(0)11''4()(0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=?????
第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E= 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ???处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其内部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其内部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。 11 无限长直导线，电荷线密度为τ，则空间电场E=
电磁场与电磁波(西安交大第三版)第7章课后答案
习题 7-1、如果z z H E ,已知,由无源区的麦克斯韦方程,求圆柱坐标系中?ρ?ρH H E E ,,,与z z H E ,的关系。 解： 设z jk z e E E -=),(0?ρ ；z jk z e H H -=),(0?ρ 则 E jk z E z -=??；H jk z H z -=?? 在圆柱坐标系中展开无源区的麦克斯韦方程 E j H ωε=??；H j E ωμ-=?? 得 ρ?ωε?ρE j H jk H z z =+??1 ρ?ωμ? ρH j E jk E z z -=+??1 ?ρωερE j H H jk z z =??- - ?ρωμρ H j E E jk z z -=??-- z E j H H ωε?ρρρρ?=??-??1 z H j E E ωμ? ρρρρ?-=??-??1 由以上几式得 )1(12 ?ρωμρρ??+??- =z z z c H j E jk k E )(12 ρωμ?ρ???+??-= z z z c H j E k j k E )(12 ρ?ρωερ??-??= z z z c H jk E j k H )(12 ?ρρωε???+??- =z z z c H k j E j k H 式中 2 22z c k k k -= 7-2证明（7.2-6） 式为(7.2-4)式的解。 证明： 由（7.2-6） 式z z e V e V z V γγ---++=00)( 可得：22 00'')()()(γγ γγz V e V e V z V z z =+=---+
因此 022 2=-V dz V d γ 即 (7.2-4)式 7-2、 从图7.2-2的等效电路，求(7.2-５) 和(7.2-6)式对应的传输线方程的时域形式。 解： 图7.2-2 )() (1z I Z dz z dV -= (7.2-５) )() (1z V Y dz z dI -= (7.2-６) 串联支路上的电压为 dV V dt di dz L dz iR V +=++11 （1） 并联支路上的电流为 di i dt du dz C dz uG i +=++11 (2) 由（1）和（2）式得 dz dt di L iR dV )(1 1+-= （3） dz dt du C uG di )(11+-= （4） 两边同除dz 得 )(11dt di L iR dz dV +-= （5） )(11dt du C uG dz di +-= （6） （5）、（6）式就是(7.2-５) 和(7.2-6)式对应的传输线方程的时域形式。 7-3、由(7.2-１０)、(7.2-3)、(7.2-4)和(7.2-９)式推导(7.2-１１)和 (7.2-１2)式。
工程电磁场基本知识点
第一章矢量分析与场论 1 源点是指 _______________________________ 。 2场点是指________________________________ 。 3 距离矢量是 _____________________________ ,表示其方向的单位矢 量用_______ 表示。 4标量场的等值面方程表示为_____________ ，矢量线方程可表示成坐标形式_______________ ，也可表示成矢量形式 _______________________ 。 5梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示__________________ ，梯度的方向表示________________ 。 6方向导数与梯度的关系为_________________ 。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u ________________________ 。 8矢量A在曲面S上的通量表示为___________________ 。 9散度的物理含义是_______________________________ 。 10 散度在直角坐标系中的表示为 A ______________________ 。 11高斯散度定理_______________________ 。 12矢量A沿一闭合路径I的环量表示为___________________ 。 13旋度的物理含义是_______________________________ 。 14 旋度在直角坐标系中的表示为 A ______________________ 。 15矢量场A在一点沿e方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关系为
工程电磁场课后题目答案解析
2-5有两相距为d 的无限大平行平面电荷，电荷面密度分别为σ和σ-。求由这 两个无限大平面分割出的三个空间区域的电场强度。 解： 10 00 22E σσσεεε??= --= ??? 20 0300 022022E E σσεεσσεε??=- --= ???= -= 2-7有一半径为a 的均匀带电无限长圆柱体，其单位长度上带电量为τ，求空间 的电场强度。 解：做一同轴单位长度高斯面，半径为r (1)当r ≦a 时，2 2 2 012112E r r a r E a τ πππετπε??=? ??= (2)当r>a 时，0 022E r E r τπετπε?= = 2-15有一分区均匀电介质电场，区域1（0z <）中的相对介电常数12r ε=，区域2（0z >）中的相对介电常数25r ε=。已知1234x y z =-+E e e e ，求1D ，2E 和2D 。 解：电场切向连续，电位移矢量法向连续
() () 11 222 1111 2 22122202020210220 20,10,505020,10,201050502010201050x y z r r x r y r z r r x r y r z r x y z r r x r y r z E E D D D E D e e e E e e e D e e e εεεεεεεεεεεεεεεεεε==-===-=∴=-+=-+ =-+ 2-16一半径为a 的金属球位于两种不同电介质的无穷大分界平面处，导体球的电位为0?，求两种电介质中各点的电场强度和电位移矢量。 解：边界电场连续，做半径为r 的高斯面 ()()()()()()2 21 2 1 22 120 2121212002222222S a a r D dS r E E r E Q Q E r Q Q E dr dr r a Q a a E e r πεεπε επεε?πεεπεεπεε??∞ ∞?=+=+=∴= +?===++∴=+∴=??? ? 1 2 1020 122210 20 112210 20 1020 ,,,r r p n p n a a D e D e r r D D a a p e p e a a ε?ε?ε?ε?σσεεεεσ?σ?= === == --=?=- =?=- 两介质分界面上无极化电荷。 4-6 解：当2d z <- 时，()02 y x K B e e μ=- 当22d d z -<<时，()02 y x K B e e μ=-- 当2d z >时，()02 y x K B e e μ=-+
工程电磁场知识点总结
工程电磁场知识点总结 第一章矢量分析与场论 1 源点是指。 2 场点是指。 3 距离矢量是，表示其方向的单位矢量用表示。 4 标量场的等值面方程表示为，矢量线方程可表示成坐标形式，也可表示成矢量形式。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示梯度的方向表示。 6 方向导数与梯度的关系为 7 梯度在直角坐标系中的表示为?u?。 8 矢量A在曲面S上的通量表示为?? 9 散度的物理含义是 10 散度在直角坐标系中的表示为??A?。 11 高斯散度定理。 12 矢量A沿一闭合路径l的环量表示为。 13 旋度的物理
含义是 14 旋度在直角坐标系中的表示为??A?。 15 矢量场A在一点沿el方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关 系为。 16 斯托克斯定理 17 柱坐标系中沿三坐标方向er,e?,ez的线元分别为， 18 柱坐标系中沿三坐标方向er,e?,e?的线元分别为， 19 ?1111???'??2eR?2e'R RRRR ???20 ??????'??'???????4??(R)?R??R??11?0(R?0)( R?0) 第二章静电场 1 点电荷q在空间产生的电场强度计算公式为。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E。
4 已知空间电场强度分布E，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P处的电位?P。 5 一球面半径为R，球心在坐标原点处，电量Q均匀分布在球面上，?则点?,,??处的电位等于。 222??RRR 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 7 处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度等于 8处于静电平衡状态的导体，其内部电位和外部电位关系为 9 处于静电平衡状态的导体，其内部电荷体密度为 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的。 11 无限长直导线，电荷线密度为?，则空间电场E。 12 无限大导电平面，电荷面密度为?，则空间电场E。 13 静电场中电场强度线与等位面 14 两等量异号电荷q，相距一小距离d，形成一电偶极子，电偶极子的电偶极矩p= 。 15 极化强度矢量P的物理含义是
《电磁场与电磁波》课后习题解答(第七章)
第7章习题解答 【7.1】 解：设第一个分子的球心位置为原点，即0d （d 为分子直径）处 依题意任意时刻都要满足 %5) 10()0(0 ≤-E d d E E （1） 其中E 是空间变化的电场，其形式为)exp(0ikx E -=E ，c k ω = ，则（1）式变为 %5)210exp(1≤--c f d i π （2） 可以求出 15151019.11056 .1215 ?≈?≤ f 所以频率上限的数量级为1510 【7.2】解 p V k ω = p p g p g p kdV dV d V V V dk dk V d ωωω===+ 1p g p p V V V d ωω = - 2 2() 1p i o r c c V n n ωωαω = =-+ 0i n → p V c ∴= g p V V c == 即 2g p V V c ?= 【7.3】解 （1 ）波数68 1 221501022310k f πππ===????=?（rad/m ） 相速 81.510p v == =? （m/s ） 波长 21k π λ==（m ） 波阻抗60ηπ= =（Ω） （2）均匀平面波的平均坡印廷矢量 26z m S 0.26510z e e -==? 平均 （W/m 2）
得 31010m E -=? （V/m ） 当t = 0，z = 0时 33sin 10100.8668.66103m E E π--?? ==??=? ??? （V/m ） (3) t = 0.1s μ后 210sin 23E ft kz ππ-? ?=-+ ?? ? 267310sin 21501011028.66103z πππ---? ?=????-+=? ??? 得 1sin 3028.66103z πππ-?? +-=? ??? 15z =（m ） 【7.4】 解：电磁波的频率为 88 2 0310******** v f λ-?===??（Hz ） 在无损耗媒质中的波长为 12810v f λ-= =? （m ） 故波速为 12888102510210v f λ-==???=?=（m/s ） 而无损耗媒质的本征阻抗为 505000.1 E H η==== （Ω） 联解以下两式： 8210=? 500= 得 1.99, 1.13r r με==
第四章习题答案
4．3题、已知在无源的空气中 90.1sin(10)cos(610)y x kz ππ=?-H e 利用波动方程求k 。 解：在无源的空气中，磁场强度应满足的波动方程为： 220020t με??-=?H H 而 229229[0.1sin(10)cos(610)] [(10)]0.1sin(10)cos(610)y y x kz k x kz πππππ?=??-=--?-H e e 22 9229290.1sin(10)cos(610) (610)0.1sin(10)cos(610) y y x kz t t x kz πππππ??=?-??=-??-H e e 代入 220020t με??-=?H H 得到， 2292900{[(10)](610)}0.1sin(10)cos(610)0 y k x kz πμεπππ--+??-=e 于是：229200[(10)](610)0k πμεπ--+?= 得到：k == 4．8题、给定标量位x ct ?=-及矢量位()x x t c =-A e ，式中c =。（1）证明：00t ? εμ??=-? A ；（2）求B 、H 、E 和D ；（3）证明上述结果满足自由空间中的麦克斯韦方程。
解：（1 ）1()x A x t x x c c ???==-==?? A 同时，()x ct c t t ???=-=-=?? 因此：00001t ?εμεμ?--=-=? 所以：00t ? εμ??=-? A （2）0x x y z A A z y ??=??=-=??B A e e 0μ==0B H ()0x x x x x t t x t c ?????=-?-=---=-+=???A E e e e e （3）这是无源自由空间的零场，自然满足麦克斯韦方程。 4．9自由空间中的电磁场为： (,)100cos() /x z t t kz V m ω=-E e (,) 2.65cos() /y z t t kz A m ω=-H e 式中0.42/k rad m ==。求：（1）瞬时坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量；（3）任一时刻流入如图题4.9所示的平行六面体（长1m 、横截面积为0.25m 2）中的净功率。
工程电磁场部分课后习题答案
12-1 一点电荷q放在无界均匀介质中的一个球形空腔中心■设介质的 介电常数为一空腔的半径为S求空腔表面的极化电荷面密度。解由高斯定律，介质中的电场强度为 -P(SM- e r) = KT 二——_- E 4πer2*r 由关系式n = e0E+P,得电极化强度为 P-(E - Eo)E = ---- --- - 4 Tter 因此，空腔表面的极化电荷面密度为 1-3-1从静堪场基本方程出发‘证明当电介质均匀时*极化电荷密度P P 存在的条件是自由电荷的体密度P不为零,且有关系式P P- - (I-^)P O 解均匀介质的E为常数C t从关系式D= ε0E + P Xr> = εE1得介质中的电极化强度 P=D-ε0E-D-E0≤ = (l 扱化电荷密度 PP =-V -P= - V *[(1 -~)D \ =?D灼(1 一“)Tl )V ?！> εε 由円?DP和Sl -号)=仇故上式成为 P P=-学)卩 1-4-3 IJillF列静电场的边值问题： (0电荷体密度分别为角和他，半径分别为G的双层同心带电球体(如题1 - 4 - 3 图(a)); (2)在两同心导体球壳间，左半部和右半部分别填充介电常数为引与∈2 的均匀介质，内球壳带总电荷量为外球売接地(如题1-4-3图(b)); (3)半径分别为α与B的两无限也空心同轴圆柱面导体，内圆柱表面上单 位长度的电量为厂外圆柱面导休接地(如题I -3图(C))O 仅供用于学习版权所有郑州航院电气工程及其自动化邓燕博倾力之作
J? t -4- 3 图 解（1）选球坐标系，球心与原点重合寸 数，故有如下静电场边值问题： 由对称性町知，电位护仅为厂的函 y 1 d z d7σ豁- EO (0≤r< α) ?d / 不 &豁- (a