15级微积分I思考题Ⅴ题目+解答(14-15)

15级微积分（一）期末思考题 IV

一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，答案错选或未选者，不得分。每小题3分，共15分）.

1．若)1(3-+=x f y z ，且已知1=y 当时，有x z =，则=)(x f （ ）．

A ．13-x

B ．x x x ++23

C ．23x x -

D ．x x x 3323++ 2.已知函数ax e x f x ln )(-=在2

1

=

x 处有极值， 则=a （ ） A ．2e B ．22e C ．e D ．e 2

3.若(),y g x =且0()5,g x =￠则当0→?x 时，该函数在0x x =的微分dy 是（ ）

A ．比x ?高阶的无穷小

B ．与x ?同阶的无穷小

C ．比x ?低价的无穷小

D ．与x ?等价的无穷小

4.函数()f x =

的间断点有（ ）

A. 1个

B.2个

C.3个

D. 0个 5. 曲线3

)1(1

+=

x y 渐近线的条数为 (

)．

A ．0

B ．1

C ．2

D ． 3

二、填空题（请将下列各小题的正确答案写在答题卷上，在答案前表明题号；每小题3分，共15分）. 1.若函数21

()ln(4)

f x x =

-，则)(x f 的定义域为＿＿＿＿.

2．函数2

12(x x

x f +=）

的单调增加区间为＿＿＿＿. 3.某产品收益函数2

()218

Q R Q Q =-,那么边际收益函数为

.

4.求函数x x x f 23)(3

1+=的上凹区间 .

5.110

lim(1),x

x kx e k -→-==则

.

三、极限计算题（请写出必要的计算步骤；8分）

求 ．x e x

e x x x sin )1(sin 1lim 0---→

四、求函数导数（请写出必要的计算步骤；8分）

已知()ln(f x x x =，求)(x f '

五、求函数微分（请写出必要的计算步骤；8分）

设arccos y x x =，求dy

六、求隐函数导数（请写出必要的计算步骤；10分）

已知22ln arctan y x x y

+=确定函数)(y x ?=,求dy dx

七、（请写出必要的计算步骤；10分）

11

,,)(3>≤???+=x x b ax x x f ，在点1=x 处可导，求常数b a ,.

八、求函数高阶导数（请写出必要的计算步骤；10分）

已知x

x

y +-=22, 求)(n y

九、经济应用题（请写出必要的计算步骤；10分）

某种商品的销量Q 是单价p 的函数：p Q 41

5-=（单位：万元/件），而总成

本（单位：万元）函数为32+=Q C ,假定市场均衡，问如何定价可获得最大利润？最大利润是多少 ？

十、证明题（请写出必要的计算步骤；6分）

设)(x f 在[]3,1上连续，在

)3,1（内可导，证明在)3,1（内存在ηξ、，使得 )()(32ηηξf f '='

15级微积分（一）期末思考题 IV 解答

一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，答案错选或未选者，不得分。每小题3分，共15分）.

1．若)1(3-+=x f y z ，且已知1=y 时，有x z =，则=)(x f （ D ）．

A ．13-x

B ．x x x ++23

C ．23x x - D. 3233x x x ++ 解：因为1=y 时，有x z =，即

11)x f =+ 得

1)1f x =-

令31,(1)t x t ==+,332()(1)133f t t t t t =+-=++即32()33f x x x x =++ 2.已知函数ax e x f x

ln )(-=在2

1

=

x 处有极值， 则=a （ B ） A ．2e B ．22e C ．e D ．e 2

解：11

()ln (ln )x x

x f x e ax e a e ax ax x

---'=-?+?

?=- 由2

1=x 是极值点，有1()02ln 0,ln 2222a a

f '=-==，即 22,22a e a e ==

3.若(),y g x =且0()5,g x =￠则当0→?x 时，该函数在0x x =的微分dy 是（ B ）

A ．比x ?高阶的无穷小

B ．与x ?同阶的无穷小

C ．比x ?低价的无穷小

D ．与x ?等价的无穷小

解：因为000

()lim ()5x g x x

g x x

?

→?==?￠￠，所以当0→?x 时点0x x =处的微分dy 是与x ?同阶的无穷小量.

4.

函数(1)(6)

y x x =++的间断点有（ A ）

A. 1个

B.2个

C.3个

D. 0个

解：4016x x x +≥??≠-??≠-? 即4

16x x x ≥-??

≠-??≠-?

()[4,1)(1,)f x D ---+∞的为: ∪

()[4,1),(1,)f x ---+∞的连续区间为: ；间断点为1x =-

5. 曲线3

)

1(1

+=

x y 渐近线的条数为 ( C )． A ．0 B ．1 C ．2 D ． 3 解：3

1

lim

0,0(1)x y x →∞

==+是其水平渐近线； 3

-11

lim

,1(1)x x x →=∞=-+是其垂直渐近线； 3()1lim

lim 0,(1)

x x f x a x x x →∞

→∞===+无斜渐近线.

二、填空题（每小题3分，共15分）. 1.若2

1

()ln(4)

f x x =

-，则)(x f

的定义域为(2,(2)-∪∪. 解：22

4041x x ?->?-≠?，223x x ?

，22

x x -<

y x

=

+的单调增加区间为[1,1]-. 解：:(,)D -∞+∞

222

2(1)0(1)

x y x -'==+令

，得驻点1x =± (,1)1

(1,1)1(1,)00(1,1)[1,1].

x y y ????-∞---+∞'-+---↘

极小值↗

极大值↘所以函数的单调增加区间为或

3.某产品收益函数为2

()218

Q R Q Q =-，那么边际收益函数为

()214

Q

R Q =-￠.

4.曲线x x x f 23)(3

1+=的上凹区间为(,0)-∞.

解：253

32()2()0()3f x x

f x x x f x --'=+=-==″时″不存在

(,0)0

(0,)0(,0).

x y y ????-∞+∞''+--∞∪

∩

所以函数曲线的上凹区间为

5.已知110lim(1),x

x kx e k -→-==则1. 解：1

1

()10

0lim(1)lim(1)

,1k k x

kx

x x kx kx e e k -?---→→-=-===因为所以

三、极限计算题（请写出必要的计算步骤；8分）.

求 x

e x

e x x x sin )1(sin 1lim 0---→ 解：x e x e x x x sin )1(sin 1lim 0---→=201sin lim x x e x x →--=0cos lim 2x x e x x →-=0sin 1

lim 22

x x e x →+=

四、求函数导数（请写出必要的计算步骤；8分）

已知()ln(f x x x =+，求)(x f '

解：()ln(f x x '=++

=ln(x +

五、求函数微分（请写出必要的计算步骤；8分）

设arccos y x x = ，求dy

解：①arccos (y x x '=

--×=arccos x -

arccos dy xdx =-

②(arccos )(arccos arccos )dy d x x xdx xd x ==

-+

arccos arccos dx xdx dx xdx =-=-

六、求隐函数导数（请写出必要的计算步骤；10分）

已知2

2ln arctan y x x

y +=确定函数)(y x ?=,求dy dx

解： 221

arctan

ln )2

y x y x =+（ 方程两边对y 求导得 2222

2

111

()(22)21x y x x x y y x x y x

'-'?=?+++ 整理上式得 x yx xx y ''-=+ 故 d x x y x d y x y

-'==+

七、（请写出必要的计算步骤；10分）

设11

,

,)(3>≤???+=x x b ax x x f ，在点1=x 处可导，求常数b a ,.

解：因为)(x f 在1=x 处可导，所以)(x f 在1=x 处连续

则有 11

lim ()lim ()(1)1,x

x f x f x f -

+

→→=== 3

1

1

lim ()lim 1,x x f x x --

→→== 1

1

lim ()lim(),x x f x ax b a b ++→→=+=+ 所以 1,a b +=

又因为 32

111(1)lim

lim(1)3,1x x x f x x x --

-→→-'==++=- 11111(1)lim

lim ,11

x x ax b ax a f a x x +

+

+→→+-+--'===-- 3,2a b ==-故

八、求函数高阶导数（请写出必要的计算步骤；10分） 已知x

x

y +-=

22, 求)(n y 解：① 2

24

()2(2)x y x x --''==++

3

2

4[

]4(1)(2)(2)(2)

y x x --'''==-?-++ 4

4(1)(2)(3)(2)y x -'''=-?-?+-

.....................

)(1)

4(1)!(2)n n n y n x -+=-?+（

②22244

=()(1)2222

x x x y x x x x --+-=

=--=--++++ ()

()(1)14()4(1)!(2)2

n n n n y

n x x -+==-?++

九、经济应用题（请写出必要的计算步骤；10分）

某种商品的销量Q 是单价p 的函数：p Q 4

15-=（单位：万元/件），而总成本（单位：万元）函数为32+=Q C ,假定市场均衡，问如何定价可获得最大利润？最大利润是多少 ？

解：)()()(P C P R P L -=

132

11

413)415(2)415(2-+-=----

=p p p p p (020)p ≤≤

111

()22

L P p '=-

+ 令 ()011L P p '==，得

1

(11)02

L ''=-

< 故11=p 万元利润最大， 最大利润为(11)17.25L =万元

十、证明题（请写出必要的计算步骤；6分）.

设)(x f 在[]3,1上连续，在(1,3)内可导，证明在(1,3)内存在ηξ、，使得 )()(32ηηξf f '='

证明：设x x g 1

)(=, 显然)(x g 在[]3,1上连续，在(1,3)内可

导,21

()0g x x

'=-

≠ 由柯西中值定理知：在(1,3)内至少存在一点η，使 2

2(3)(1)()2(3)(1)()111331f f f f f f ηηηη

'-'=-=--即

又因为)(x f 在[]3,1上连续，在(1,3)内可导，由拉格朗日中值定理，则有

(3)(1)(31)()2()(1

f f f f ξξξ''-

=-=<< 比较两式可得 23()()f f ξηη''=

微积分试题及答案(5)

微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分，共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=，则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =，则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(，则=)(x f 。 二、单项选择（每小题2分，共10分） 1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（ ） （A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（ ） （A ）x sin （B ）2 x x + （C ）3x （D ）x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a ， 上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则x x f ) ('在区间)0(a ，内是（ ） （A ）不增的 （B ）不减的 （C ）单调增加的 （D ）单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(，则=-?x x xf d )1(2 。 （A ）C x +-2 2)1(2 （B ）C x +--2 2)1(2

微积分中10大经典问题

微积分中10大经典问题 最初的想法来自大一，当时想效仿100个初等数学问题，整理出100个经典的 高等数学问题（这里高等数学按广义理解）。可惜的是3年多过去了，整理出 的问题不足半百。再用经典这把尺子一量，又扣去了一半。 这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉 典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案 是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引 入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以 是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。

微积分试卷及答案

微积分试卷及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+

2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分）

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

高等数学试题及答案

高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos

微积分期末测试题及答案

微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.

大一微积分下册经典题目与解析

微积分练习册[第八章]多元函数微分学 习题8-1多元函数的基本概念 1.填空题： （1）若y x xy y x y x f tan ),(2 2 -+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(22+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x -== （3）若)0()(2 2 y y y x x y f += ，则__________)(=x f （4）若2 2),(y x x y y x f -=+，则____________),(=y x f （5）函数) 1ln(4222y x y x z ---=的定义域是_______________ （6）函数y x z -= 的定义域是_______________ (7)函数x y z arcsin =的定义域是________________ （8）函数x y x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2.求下列极限： （1）xy xy y x 4 2lim 0 0+-→→ (2)x xy y x sin lim 0→→ (3)2222220 0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim 2 2 ) 0,0(),(=+→y x xy y x 4.证明：极限0lim 2 42)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在 5.函数?? ? ?? =≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么 习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用 1.填空题 （1）设y x z tan ln =，则 __________________,=??=??y z x z ;

微积分总复习题与答案

第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =） 解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++???

微积分试卷及答案

2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟 命题人 2010 年 6 月10日使用班级 教研室主任年月日教学院长年月日 姓名班级学号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 3.设，其中可导，则（）. (A) (B) (C) (D) 4.设点使且成立，则（） (A) 是的极值点 (B) 是的最小值点 (C) 是的最大值点 (D)可能是的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（）． (A) (B) (C) (D) 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分）

1. 2. 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 1.设，求 2.设函数，而，求. 3.设方程确定隐函数，求 五、计算二重积分其中是由三条直线所围成的闭区域. (本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分） 1.判别正项级数的收敛性． 2. 求幂级数收敛区间（不考虑端点的收敛性）. 七、求抛物线与直线所围成的图形的面积（本题10分） 八、设，求.（本题6分） 徐州工程学院试卷 2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末B 考试形式闭卷考试时间 100 分钟 命题人杨淑娥 2010 年 6 月10日使用班级 09财本、会本、信管等 教研室主任年月日教学院长年月日 姓名班级学号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.下列广义积分发散的是 ( ). (A) (B)

大一微积分下册经典题目及解析

微积分练习册[第八章]多元函数微分学 习题8-1多元函数的基本概念 1.填空题： （1）若y x xy y x y x f tan ),(2 2 -+=，则___________),(=ty tx f （2）若xy y x y x f 2),(2 2+=，则(2,3)________,(1,)________y f f x -== （3）若)0()(2 2 y y y x x y f += ，则__________ )(=x f （4）若2 2 ),(y x x y y x f -=+，则____________ ),(=y x f （5）函数) 1ln(42 2 2y x y x z ---= 的定义域是_______________ （6）函数y x z -=的定义域是_______________ (7)函数x y z arcsin =的定义域是________________ （8）函数x y x y z 2222-+=的间断点是_______________ 2.求下列极限： （1）xy xy y x 4 2lim 0+-→→ (2)x xy y x sin lim 0→→ (3)2222220 0)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 3.证明0lim 2 2 ) 0,0(),(=+→y x xy y x 4.证明：极限0lim 2 42)0,0(),(=+→y x y x y x 不存在

5.函数?? ? ?? =≠+=(0,0)),( ,0)0,0(),(,1sin ),(2 2y x y x y x x y x f 在点（0，0）处是否连续？为什么 习题8-2偏导数及其在经济分析中的应用 1.填空题 （1）设y x z tan ln =，则__________________,=??=??y z x z ; （2）设)(y x e z xy +=，则 __________________,=??=??y z x z ; （3）设z y x u =，则________,__________________,=??=??=??z u y u x u ; （4）设x y axc z tan =，则________ _________,_________,22222=???=??=??y x z y z x z （5）设z y x u )(=，则________ 2=???y x u ; （6）设),(y x f 在点),(b a 处的偏导数存在，则_________) ,(),(lim =--+→x b x a f b x a f x 2.求下列函数的偏导数 y xy z )1()1(+= z y x u )arcsin()2(-= 3.设x y z =，求函数在（1，1）点的二阶偏导数 4.设)ln(xy x z =，求y x z ???23和2 3y x z ??? 5.)11(y x e z +-=，试化简y z y x z x ??+??22

微积分期末测试题及答案

一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0 ()(2) lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②, 2 2π π? ? - ???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0 lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0 lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞ -=+____________. 2.3 1lim (1) x x x +→∞ + =____________. 3.()f x = 那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.1 11lim ( )ln 1 x x x →- - 2.t t x e y te ?=?=?,求2 2d y d x 3.ln (y x =+,求dy 和 2 2 d y d x . 4.由方程0x y e x y +-=确定隐函数y = f (x ) ,求d y d x . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞ .

微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│?(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，与 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2 ＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产 量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的 邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极

限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （ ） 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或 (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 或，则a x g x f x x =→)() (lim 0或 (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 )2(1 4--= x x y （ ）。

四套经典《微积分》期末考题(含答案)

湖北汽车工业学院 微积分(一)(下)考试卷 （ 2011-2012-2） 一、（本题满分21分，每小题3分）填空题： 1．='?]sin [2 x tdt 2sin 2x x ． 2．过点)3,2,1(-且与平面0144=-++z y x 平行的平面方程为 044=+++z y x . 3．设y x z =，则 =dz xdy x dx yx y y ln 1+- . 4．??+-=D dxdy y x I )432(，其中D }4),{(22≤+=y x y x ，则=I π16 . 5．微分方程)1)(1(22y x y --='的通解为C x y +-=2)1(arcsin . 6．平面曲线2x y =与x y =所围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体体积为 15/2π . 7．设数项级数∑∞=1 n n u 收敛且和为s ，则级数∑∞ =++1 1)(n n n u u 的和为12u s - ． 二、（本题满分21分，每小题3分）选择填空题（请将所选答案填入题号前的方括号内）： 【B 】1. 设)(x f 在),(+∞-∞内连续,)(x F 是)(x f 在),(+∞-∞内的一个原函数，0≠c ，则 dx c x f b a ? +)(等于 )(A )()(c a F c b F ---. )(B )(C )()(c b F c a F ---. )(D )()(c b F c a F +-+. 【C 】2．设)2,1,3(--=a ，)1,2,1(-=，则? 等于 )(A 3. )(B 7. )(C )7,1,5(. )(D )7,1,5(-.

【A 】3．下列级数中条件收敛的是 )(A ∑∞ =+-111 ) 1(n n n . )(B ∑∞ =+-1211)1(n n n . )(C ∑∞=--1 1 )107() 1(n n n . )(D ∑∞ =-1 51 )1(n n n . 【A 】4. 下列微分方程中是齐次方程的是 )(A dx y x ydx xdy 22-+=. )(B x y y x y sin 2= +'. )(C y y x y ln sin ='. )(D x x y y sec tan =-'． 【D 】5. 设)(x f 在]1,0[上连续且满足1)()(10 -=?dt t f x x f ，则?1 )(dx x f 等于 )(A 1 . )(B 2. )(C 1-. )(D 2-． 【C 】6. 设x y y x D ≤≤≤+≤0,41:22，则二重积分=??σd x y D arctan )(A 2163π . )(B 2323π. )(C 264 3 π. )(D 2 128 3π． 【C 】7. 函数x x f /1)(=的在1=x 点处的幂级数展开式为 )(A ∑∞ =--0)1()1()(n n n x x f ＝, 11<<-x ． )(B ∑∞ =-0 )1()(n n x x f ＝, 20<

微积分试题及答案

微积分试题及答案 Last updated on the afternoon of January 3, 2021

一、选择题(每题2分) 1、设x ?()定义域为（1,2），则lg x ?()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ?()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求02lim x x →等于（） A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x = -的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈ B 、221y x =-+ C 、2y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、 __________2、、 2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________

4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 2 1x y x = +函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim β βαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数 的导数 2、 21 ()arctan ln(12 f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、 计算、2 1 0lim(cos )x x x +→计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大 的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+ 的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x +→+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数 一、 选择题 1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B

大一微积分练习题及答案

大一微积分练习题及答案

《微积分（1）》练习题 一． 单项选择题 1．设()0 x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()() () 0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()() () 0000 lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ． ()() () 0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()() 0000 2 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ． 201 sin lim x x x → B ．1 2lim 2+-+∞ →x x x x C ． x x e 1 lim → D ．()x x x x +-∞ →63 2 213lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数 ?? ???>+=<≤=1,11 ,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为 （ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振

荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0 二、填空题（每题2分） 1、 __________2、、2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、2 63y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 21 11x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 2 1x y x = +函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim β βαα =∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( )

微积分十大经典问题

这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平， 尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专 业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分 书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。 如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz 举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。 5）填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新审视以往对曲线的看法。 BTW：先写到这里，明天接着写另外5个。1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。

微积分(上、下)模拟试卷和答案

北京语言大学网络教育学院 《微积分（上、下）》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷试题为客观题，请按要求填涂答题卡，所有答案必须填涂在答题卡上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共20小题，每小题4分，共80分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、设函数()f x 的定义域是[]0,4 ，则函数1)f 的定义域是（ ） 2、数列n n n )211(lim + ∞ →的极限为（ ）。 [A] e 4 [B] e 2 [C] e [D] e 3 3 、函数y = ）。 [A] ()2 1,,y x x =+∈-∞+∞ [B] [ )21,0,y x x =+∈+∞ [C] (] 21,,0y x x =+∈-∞ [D] 不存在 4、1 arctan y x =， 则dy =（ ）。 [A] (1,1)- [B] (1,0)- [C](0,1) [D] [1,25] [A] 2 1dx x + [B] 2 1dx x -+ [C] 22 1x dx x + [D] () 22 1dx x x +

5、x x x x sin cos 1lim 0?-→=（ ） 6、设,ln x y =则'y ＝（ ）。 [A] [B] 1 x ； [C] 不存在 [D] 7、函数4334+-=x x y 的二阶导数是（ ）。 [A] 2x [B] 2 1218x x - [C] 3 2 49x x - [D] x 12 8、21lim 1x x x →∞ ?? -= ??? （ ） 9、已知()03f x '=-，则()() 000 3lim x f x x f x x x ?→+?--?=?（ ） 10、函数1()()2 x x f x e e -=+的极小值点是（ ） 11、函数()ln z x y =--的定义域为（ ） [A] (){},0x y x y +< [B] (){},0x y x y +≠ [C] (){},0x y x y +> [D] (){},,x y x y -∞<<+∞-∞<<+∞ 12、幂级数1 n n x n ∞ =∑的收敛域是（ ） [A] -1 [B] 0 [C] 1/2 [D] 不存在 [A] 2 e - [B] e [C]2e [D] 1 [A] 12 [B] -12 [C]3 [D] -3 [A] 1 [B] -1 [C]0 [D] 不存在