考研资料——概率论基础知识4

概率论基础知识(4)

第四章 随机变量的数字特征 一 数学期望

§4.1.1离散型随机变量的数学期望

例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下： 该班同学的平均年龄为：

若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为

于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为

定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为

如果级

数

绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)=

意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值

例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为：

问谁的平均中环数高？ 解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+9

0.1+10 0.6=9.3

乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1

可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。

例3：设 ，求E(X)

解：由于

，其分布律为

，k=0,1,2…,所以

例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？

解：令X 表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。X 的分布律为

于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为

由于

,求导数

将x=0.8代如上式，便得

将此结果代入原式便得：

（次）

§4.1.2连续型随机变量的数学期望

绝对收敛，则称此积

分为X 的数学期望，记为E(X)，即

，

例7：设风速V是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W是风速V的函数：

这里a,k均为已知正数。试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。

W的分布函数为

两边求导，使得

进而便可求得W的数学期望

由此运算过程可以看到，不必求出W的概率密度?w(z)，而根据V的概率密度?v(v)也可直接求出W 的数学期望值，即

§4.1.3随机变量函数的数学期望值

1.一维随机变量函数的数学期望

定理1：设X为随机变量，Y=g(X),

(1)如果X，且级数

(2)如果X?(X)，且积分绝对收敛，则有

证略

求：

例8：已知X的分布律为

解：

例9：设，求

解：

（令 m=k-2）

例10：设

，求

解：由于X的概率密度为于是

例11：国际市场上每年对我国某种商品的需求量为一个随机变量X（单位：吨），且已知，

并已知每售出一吨此种商品，可以为国家挣得外汇3万美元，但若售不出去，而屯售于仓库，每年需花费保养费每吨为一万美元，问应组织多少货源可使国家的平均收益达到最大？

解：设a为某年准备组织出口此种商品的数量（单位：吨）Y为国家收益，于是Y是X的函数

，即其概率密度为

令

解得 a=3500（吨）

但，故E(Y)在a=3500时，E（Y）最大，即组织货源为3500吨时，可是国家的收益达到最大。

2.二维随机变量函数的数学期望

定理2.设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y)

（1）如果(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律为

（2）如果（X ，Y ）为二维离散型随机变量?(χ,y)

证略。

例12.设(X,Y)的概率密度为 试求E( )

§4.1.4数学期望的性质

若c 为常数，则E(c)=C

若c 为常数，X 为随机变量，则E(cX)=cE(X)

设X,Y 为任意两个随机变量，则E(X ±Y)=E(X) ±E(Y)

为n 个随机变量，则有

如果X,Y 相互独立，则有E(XY)=E(X)E(Y)

n 个随机变量X 1,X 2,…Xn 相互独立，则有则有

。

例13.有一队射手9人，每位射手击中靶子的概率都是0.8，进行射击时各自击中靶子为止，但限制每人最多只打三次，问平均需要为他们准备多少发子弹？

解：令 表示第i 名射手所需的子弹数i=1,2,…,9 X 为9名射手所需的子弹总数，显然

而 的分布律为

于是

由性质3便可求得 平均所需准备的子弹数：

即平均需准备12发子弹。

二 方差

§4.2.1方差的概念

意义：

D(X)表示

X 取值相对于平均值E(X)的分散程度 §4.2.2 方差的计算 1.由方差定义直接计算

(2)若

X 为连续型随机变量，其概率密度为?(χ),则

GD

2.由下列重要公式计算

证：

GD

例2.设

求

解：前面已求得

于是

例3.设

解：前面已求得

，于是

§4.2.3方差的性质

（注意：相加时期望没要求相互独立）

性质4.设X 为随机变量，则D(X)=0的充分必要条件为其中c 为常数。

例4.设X 为随机变量，E(X),D(X)存在，又设 ，

例5.设X~B(n,p),求E(X), D(X)

解：设在贝努里试验中，事件A 出现的概率为p,将此贝努里试验独立重复进行几次，构成n 重贝努里试验,令

思考：如果二者独立 D(X-Y)=D(X)-D(Y) ? 实际上D(X-Y)=D(X)+D(Y)

i=1，2，…，

n

另一方面，令X 表示n 重贝努里试验中事件A 出现的次数，则

X~B(n,p)

§4.2.4切比雪夫不等式

， 证：只证X 为连续型随机变量的情况 设?(χ)为X 的概率密度，则有

例6.设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率为0.7，且各盏灯开关彼此独立，试估计夜

晚同时开着的灯的数目在6800盏至7200盏之间的概率。 解:令X 表示夜晚同时开着灯的数目，X~B(10000,0.7)

可用车比雪夫不等式进行估计此概率

§4.2.5常用分布的数学期望与方差

以下结果要熟记

1. 二点分布X ～B(1,p)

2. 二项分布X～B(n,p)

.

.

三协方差及相关系数

§4.3.1协方差

1．协方差的概念

滚动

滚

滚动

2.协方差的性质

滚动

例2：甲乙两人猜测箱中产品的数目，猜测结果分别记为X和Y (单位：百个)已知（X，Y）的分布律和边缘分布律由下表给出：

X\Y 1 2 3

1 0.

2 0.1 0.01 0.31

2 0.15 0.30 0.06 0.51

3 0.03 0.05 0.10 0.18

0.38 0.45 0.17 1

滚

§4.3.2相关系数

1．相关系数的概念

例3：

解：由前面得到的结果可知，且

2．相关系数的性质

性质1

性质 2

证：

（

）

例4：设X 的分布律为

解：

滚动

于是

而

所以

滚动

滚动

X -1 0 1 P

相关系数为0，能否说二者无关了？NO

1/2Pi

滚动讨论如下：

（1）

（2）

。

（3）

。性质3

滚动

§4.3.3协方差矩阵

为（X1，X2，…，Xn）的协方差矩阵，简称为协差阵。

性质

1. V为对称阵，即Vij=Vji,一切i,j

2. V主对角线之元素为X1,X2…,Xn,的方差，即Vii=D(Xi),i=1,2,…,n滚动

滚动

四 n维正态分布

§4.4.1 n维正态分布的概率密度

对二维正态分布的随机变量（X，Y），其概率密度为

滚动

可见，（X，Y）的概率密度便可表为

定义1.如果n维随机变量（X1，X2，…，X N）的概率密度为

§4.4.2 n维正态分布的几个重要性质

滚动

由性质3可知（X，Z）服从二维正态分布，而

即X与Z不相关，从而X与Z相互独立。

第五章大数定律及中心极限定理

一大数定律

§5.1.1 四种收敛性

则称{Xn}依概率收敛于随机变量X，记为

四种收敛性有以下关系：

§5.1.2几个常用大数定律

1．切比雪夫大数定律

证：

再由车比雪夫不等式，使得：

即得

推论：

2．贝努里大数定律

GD

即

贝努里大数定律说明：当试验在不变条件下，重复进行多次时，随机事件的频率应在它的概率附近摆动。

特别，概率很小的事件其频率应很小，即在实际的一，二次试验中几乎是不可能发生的，人们常常认为那些概率很小的事件实际上是不可能发生的。这个原理称之为小概率事件的实际不可能性原理，简称为小概率事件原理，在实践中有广泛的应用。

二中心极限定理

所谓中心极限定理是指一系列定理，研究的是随机变量序列{Xn}的前n项和，

§5.2.1.独立同分布随机序列的中心极限定理

定理3：设随机变量序列独立、同分布，且

证略。

例1：设有串联电阻网络（见图）

每个电阻的阻值为随机变量，它们独立，同分布都服从均匀分布U[90，110]（单位：欧姆）

解：

由上面给出近似公式，可得所求的概率

此例的结果说明一个很有意义的事实：

两者相比，后者概率值有很大提高，这说明电阻串联可以减少电阻值的随机性，使网络变得更加稳健。§5.2.2．隶莫佛--拉普拉斯中心极限定理

第一章 概率统计基础知识(2)概率的古典定义与统计定义

二、概率的古典定义与统计定义 二、概率的古典定义与统计定义(p5-11) 确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历史上，这两种方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。 (一) 概率的古典定义 用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下: （1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点； （2）每个样本点出现的可能性相同(等可能性); 若事件含有k个样本点，则事件的概率为: (1.1-1) [例1.1-3] [例1.1-3]掷两颗骰子，其样本点可用数组（x , y）表示，其中，x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为: 它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。参见教材6页图。这个图很多同学看不懂！其实就是x+y=?在坐标系反映出来的问题。 （二）排列与组合 （二）排列与组合 用古典方法求概率，经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下: 排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。 （1）乘法原理: 如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方法，做第二步m2种方法，做第k步有m k种方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×m k种方法。 例如, 甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游

线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2=6 条旅游线路。 (2) 加法原理: 如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法, 在第二类方法中又有m2种完成方法，在第k类方法中又有m k种完成方法, 那么完成这件事共有m1+m2+…+m k种方法。 例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具: 汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10 个班次供旅游选择。 排列与组合 排列与组合的定义及其计算公式如下: ①排列:从n个不同元素中任取）个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n×(n1) ×…×(n-r+1) 个，记为。若r=n, 称为全排列，全排列数共有n!个，记为，即:= n×(n-1) ×…×(n-r+1), = n! ②重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有个。注意，这里的r允许大于n。 例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为。假如上述抽取不允许放回，则所得排列数为10×9×8×7=5040 。 ③组合: 从n个不同元素中任取x个元素并成一组 (不考虑他们之间的排列顺序)称为一个组合，此种组合数为： .特别的规定0!=1，因而。另外，在组合中，r个元素"一个接一个取出"与"同时取出"是等同的。例如，从10个产品中任取4个做检验，所有可能取法是从10个中任取4个的组合数，则不同取法的种数为： 这是因为取出的任意一组中的4个产品的全排列有4!=24 种。而这24种排列在组合中只算一种。所以。 注意:排列与组合都是计算"从n个不同元素中任取r个元素"的取法总数公式，他们的主要差别在于: 如果讲究取出元素间的次序，则用排列公式；如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式。至于是否讲究次序，应从具体问题背景加以辨别。 [例1.1-4] [例1.1-4] 一批产品共有个，其中不合格品有个，现从中随机取出n个，问：事

桂林理工大学874概率统计2020年考研真题

2020年 《概率统计》 第1页 共2页 桂林理工大学2020年硕士研究生入学考试试题（A 卷） 考试科目代码：874 考试科目名称：概率统计 （总分150分，三小时答完） 考生注意：1．请将答题写在答卷纸上，写在试卷上视为无效。 2．考试需带 用具 一 、填空题（本大题共9小题，每小题5分，共45分） 1．有两个袋子，每个袋子都装有a 只黑球，b 只白球。从第一个袋子中任取1只球放入第二个袋子中，充分混合后再从第二个袋子中任意取出1只球。则从第二个袋子中取得的是黑球的概率p = 。（注：每个袋子中的球只有颜色差别，其它特征均相同） 2．已知()0.7P A =，()0.4P B =，(0.5P AB =，则((|)P A B B = 。 3．已知X 为连续型随机变量，概率密度函数为,02()20,x x f x ?<-= 。 4．已知随机变量X 的概率密度函数为|| (),x k f x e μσσ--=x -∞<<+∞，其中参数μ-∞<<+∞， 0σ>。则常数k = ；X 的期望()E X = 。 5．设随机变量~(1,1)X N ，~(1,2)Y N -且X 与Y 相互独立。则(2)P X Y -<= 。 6．设随机变量X 服从均匀分布(1,2)U ，2X Y e -=，则Y 的概率密度函数()Y f y = 。 7．某厂要从供应商处购进元件，双方协商的验货规则是：每批货随机地抽取5只进行检验，若抽检的5只中的不合格品数不超过1，则该厂应接收这批货，其它情况则作退货处理。若一批元件中有20%的为不合格品，则该厂接收这批货的概率为 。（结果保留4位小数） 8．某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p (0

概率论知识点总结

概率论知识点总结 基本概念随机实验：将一切具有下面三个特点：（1）可重复性（2）多结果性（3）不确定性的试验或观察称为随机试验，简称为试验，常用 E 表示。随机事件：在一次试验中，可能出现也可能不出现的事情（结果）称为随机事件，简称为事件。不可能事件：在试验中不可能出现的事情，记为Ф。 必然事件：在试验中必然出现的事情，记为Ω。 样本点：随机试验的每个基本结果称为样本点，记作ω、样本空间：所有样本点组成的集合称为样本空间、样本空间用Ω表示、一个随机事件就是样本空间的一个子集。基本事件多点集一个随机事件发生，当且仅当该事件所包含的一个样本点出现。事件的关系与运算（就是集合的关系和运算）包含关系：若事件A 发生必然导致事件B发生，则称B包含A，记为或。 相等关系：若且，则称事件A与事件B相等，记为A＝B。事件的和：“事件A与事件B至少有一个发生”是一事件，称此事件为事件A与事件B的和事件。记为A∪B。事件的积：称事件“事件A与事件B都发生”为A与B的积事件，记为A∩ B或AB。事件的差：称事件“事件A发生而事件B不发生”为事件A 与事件B的差事件,记为 A－B。用交并补可以表示为。互斥事件：如果A，B两事件不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与事件B是互不相容事件或互斥事件。互斥时可记为A＋B。对立事

件：称事件“A不发生”为事件A的对立事件（逆事件），记为。对立事件的性质：。事件运算律：设A，B，C为事件，则有（1）交换律：A∪B=B∪A，AB=BA（2）结合律： A∪(B∪C)=(A∪B)∪C=A∪B∪C A(BC)=(AB)C=ABC（3）分配律：A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C) A(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)= AB∪AC（4）对偶律（摩根律）： 第二节事件的概率概率的公理化体系：（1）非负性： P(A)≥0；（2）规范性：P(Ω)＝1（3）可数可加性：两两不相容时概率的性质：（1）P(Φ)＝0（2）有限可加性：两两不相容时当AB=Φ时P(A∪B)＝P(A)＋P(B)（3）（4）P(A－B)＝P(A)－ P(AB)（5）P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P(AB)第三节古典概率模型 1、设试验E是古典概型, 其样本空间Ω由n个样本点组成,事件A由k个样本点组成、则定义事件A的概率为 2、几何概率：设事件A是Ω的某个区域，它的面积为 μ(A)，则向区域Ω上随机投掷一点，该点落在区域 A 的概率为假如样本空间Ω可用一线段，或空间中某个区域表示，则事件A 的概率仍可用上式确定，只不过把μ理解为长度或体积即可、第四节条件概率条件概率：在事件B发生的条件下，事件A发生的概率称为条件概率，记作 P(A|B)、乘法公式：P(AB)=P(B)P(A|B)＝P(A)P(B|A)全概率公式：设是一个完备事件组，则

概率论基本知识(通俗易懂)

第一章概率论的基本概论 确定现象：在一定条件下必然发生的现象，如向上抛一石子必然下落，等 随机现象：称某一现象是“随机的”，如果该现象（事件或试验）的结果是不能确切地预测的。 由此产生的概念有：随机现象，随机事件，随机试验。 例：有一位科学家，他通晓现有的所有学科，如果对一项试验（比如：掷硬币），该万能科学家也无法确切地预测该实验的结果（是正面朝上还是反面朝上），这一实验就是随机实验，其结果是“随机的”----为一随机事件。 例：明天下午三点钟”深圳市区下雨”这一现象是随机的，其结果为随机事件。 随机现象的结果（随机事件）的随机度如何解释或如何量化呢？ 这就要引入”概率”的概念。 概率的描述性定义：对于一随机事件A，用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就称为随机事件A发生的概率。

§1.1随机试验 以上试验的共同特点是: 1．试验可以在相同的条件下重复进行； 2．试验的全部可能结果不止一个，并且在试验之前能明确知道所有的可能结果；3．每次试验必发生全部可能结果中的一个且仅发生一个，但某一次试验究竟发

生哪一个可能结果在试验之前不能预言。 我们把对随机现象进行一次观察和实验统称为随机试验，它一定满足以上三个条件。我们把满足上述三个条件的试验叫随机试验，简称试验，记E 。 §1.2样本空间与随机事件 (一) 样本空间与基本事件 E 的一个可能结果称为E 的一个基本事件，记为ω，e 等。 E 的基本事件全体构成的集，称为E 的样本空间，记为S 或Ω, 即：S={ω|ω为E 的基本事件}，Ω={e}. 注意：ω的完备性，互斥性特点。 例：§1.1中试验 E 1--- E 7 E 1：S 1={H,T} E 2：S 2={ HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT } E 3：S 3={0，1，2，3} E 4：S 4={1,2,3,4,5,6} E 5: S 5={0,1,2,3,…} E 6：S 5={t 0 ≥t } E 7：S 7={()y x , 10T y x T ≤≤≤} （二） 随机事件

自考概率论与数理统计基础知识.

一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的

历年考研概率真题集锦(2000-2019)-精品推荐

历年考研概率真题集锦（2000-2019） ——对应茆诗松高教出版社“概率论与数理统计” 第一章 §1.1 1、（2001数学四）（4）对于任意二事件A 和B ，与A B B ?=不等价的是（ ） A 、A B ? B 、B A ? C 、AB =Φ D 、AB =Φ 2、（2000数学三、四）（5）在电炉上安装4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ，电炉就断电。以E 表示事件“电炉断电”，而(1)(2)(3)(4)T T T T ≤≤≤为4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件E 等于（ ） (A ) {}(1)0T t ≥ (B ) {}(2)0T t ≥ (C ) {}(3)0T t ≥ (D ) {} (4)0T t ≥ §1.2 1、（2007数学一、三）(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于1 2 的概率为________. §1.3 1、（2009数学三）（7）设事件A 与事件B 互不相容，则( ) (A )()0P AB = (B )()()()P AB P A P B = (C )()1()P A P B =- (D )()1P A B ?= 2、（2015数学一、三）(7) 若A ,B 为任意两个随机事件，则( ) (A ) ()()()≤P AB P A P B (B ) ()()()≥P AB P A P B (C ) ()()()+2≤ P A P B P AB (D ) ()()() +2 ≥P A P B P AB 3、（2019数学一、三）（7）设A 、B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是（ ） （A ）()()()P A B P A P B =+U （B ） ()()()P AB P A P B = （C ）()()P AB P B A = （D ）()()P AB P AB = §1.4

概率统计知识点全面总结

知识点总结：统计与概率 I 统计 1．三大抽样 (1)基本定义： ① 总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体． ② 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体． ③ 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本． ④ 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量． (2)抽样方法： ①简单随机抽样：逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法：整体编号（ 1~N ）放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次，即可得样本容量为 n 的样本。 随机数表法：整体编号（等位数，如001、111不能是1、111） 从0~9中随机取一行一列然后初方向随机 （上、下、左、右）重复，超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样：容量大．等距，等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号，若N 无法被整除，则剔除后再分组，n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体，设为l ，则编号为l ，k+l ，2k+l ……（n-1）k ，抽出容量为n 的样本。（每组编号相同）。 ③分层抽样：总体差异明显．按所占比例抽取．等可能．=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成，经总体分成几个部分，然后按照所占比例进行抽样．抽样比为：k ＝n N 3．总体分布的估计： (1)一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数．众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

高中数学概率统计知识点总结

概率与统计 一、普通的众数、平均数、中位数及方差 1、 众数：一组数据中，出现次数最多的数。 ２、平均数：①、常规平均数：12n x x x x n ++???+= ②、加权平均数:112212n n n x x x x ωωωωωω++???+=++???+ 3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数。 4、方差：2222121 [()()()]n s x x x x x x n = -+-+???+- 二、频率直方分布图下的频率 1、频率 =小长方形面积:f S y d ==?距；频率=频数／总数 2、频率之和:121n f f f ++???+=;同时 121n S S S ++???+=; 三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差 1、众数：最高小矩形底边的中点。 ２、平均数: 112233n n x x f x f x f x f =+++???+ 112233n n x x S x S x S x S =+++???+ 3、中位数：从左到右或者从右到左累加,面积等于0.5时x 的值。 4、方差：22221122()()()n n s x x f x x f x x f =-+-+???+- 四、线性回归直线方程：???y bx a =+ 其中:1 1 2 22 1 1 ()() ?() n n i i i i i i n n i i i i x x y y x y nxy b x x x nx ====---∑∑== --∑∑ , ??a y bx =- １、线性回归直线方程必过样本中心(,)x y ； 2、?0:b >正相关;?0:b <负相关。 3、线性回归直线方程：???y bx a =+的斜率?b 中,两个公式中分子、分母对应也相等;中间可以推导得到。 五、回归分析 １、残差：??i i i e y y =-(残差=真实值—预报值)。分析:?i e 越小越好； 2、残差平方和：21?()n i i i y y =-∑, 分析：①意义:越小越好; ②计算:222211221 ????()()()()n i i n n i y y y y y y y y =-=-+-+???+-∑ ３、拟合度(相关指数）:221 2 1 ?()1() n i i i n i i y y R y y ==-∑=- -∑,分析:①．(]20,1R ∈的常数; ②．越大拟合度越高； 4、相关系数 ：()() n n i i i i x x y y x y nx y r ---?∑∑= = 分析：①．[r ∈-的常数； ②.0:r >正相关；0:r <负相关 ③.[0,0.25]r ∈;相关性很弱; (0.25,0.75)r ∈；相关性一般; [0.75,1]r ∈；相关性很强; 六、独立性检验 1、２×２列联表： 2、独立性检验公式 ①．2 2() ()()()() n ad bc k a b c d a c b d -=++++

初中数学统计与概率知识点精炼

统计与概率 一、统计的基础知识 1、统计调查的两种基本形式： 普查：对调查对象的全体进行调查； 抽样调查：对调查对象的部分进行调查； 总体：所要考察对象的全体； 个体：总体中每一个考察的对象； 样本：从总体中所抽取的一部分个体； 样本容量：样本中个体的数目（不带单位）； 平均数：对于n 个数12,,,n x x x ，我们把121()n x x x n +++ 叫做这n 个数的平均数； 中位数：几个数据按大小顺序排列时，处于最中间的一个数据（或是最中间两个数据的平均数）叫做中位数； 众数：一组数据中出现次数最多的那个数据； 方差：2222121()()()n S x x x x x x n ??=-+-++-?? ，其中n 为样本容量，x 为样本平均数； 标准差：S ，即方差的算术平方根； 极差：一组数据中最大数据与最小数据的差称为这组数据的极差； 频数：将数据分组后落在各小组内的数据个数叫做该小组的频数； 频率：每一小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率； ★ 频数和频率的基本关系式：频率 = —————— 各小组频数的总和等于样本容量，各小组频率的总和等于1； 扇形统计图：圆表示总体，扇形表示部分，统计图反映部分占总体的百分比，每个扇形的圆心角度数=360°× 该部分占总体的百分比； 会填写频数分布表，会补全频数分布直方图、频数折线图； 频数 样本容量 各 基 础 统 计 量 频 数 的 分 布 与 应 用 2、 3、

二、概率的基础知识 必然事件：一定条件下必然会发生的事件； 不可能事件：一定条件下必然不会发生的事件； 2、不确定事件（随机事件）：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件； 3、概率：某件事情A 发生的可能性称为这件事情的概率，记为P(A)； P (必然事件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(不确定事件)＜1； ★概率计算方法： P(A) = ———————————————— 例如 注：对于两种情况时，需注意第二种情况可能发生的结果总数 例：①袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 1 10 ②袋子中有形状、大小相同的红球3个，白球2个，取出一个球后放回 ．．，再取出一个球，求两个球都是白球的概率；P = 4 25 1、确定事件 事件A发生的可能结果总数 所有事件可能发生的结果总数 运用列举法（常用树状图）计算简单事件发生的概率 …………

考研数学概率论重要知识点梳理

2017考研数学：概率论重要知识点梳理 来源：文都图书 概率论在历年考研数学真题中特点比较明显。概率论与数理统计对计算技巧的要求低一些，一些题目，尤其是文字叙述题要求考生有比较强的分析问题的能力。所以考生应在这门中尽量做到那全分，这样才能保证数学的分数，下面我们整理了一些概率论的重要知识点： 第一部分：随机事件和概率 (1)样本空间与随机事件 (2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式) (3)条件概率与概率的乘法公式 (4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性) (5)全概公式与贝叶斯公式 (6)伯努利概型 其中：条件概率和独立为本章的重点，这也是后续章节的难点之一，考生务必引起重视， 第二部分：随机变量及其概率分布 (1)随机变量的概念及分类 (2)离散型随机变量概率分布及其性质 (3)连续型随机变量概率密度及其性质 (4)随机变量分布函数及其性质 (5)常见分布 (6)随机变量函数的分布 其中：要理解分布函数的定义，还有就是常见分布的分布律抑或密度函数必须记好且熟练。 第三部分：二维随机变量及其概率分布 (1)多维随机变量的概念及分类 (2)二维离散型随机变量联合概率分布及其性质 (3)二维连续型随机变量联合概率密度及其性质

(4)二维随机变量联合分布函数及其性质 (5)二维随机变量的边缘分布和条件分布 (6)随机变量的独立性 (7)两个随机变量的简单函数的分布 其中：本章是概率的重中之重，每年的解答题定会有一道与此知识点有关，每个知识点都是重点，务必重视! 第四部分：随机变量的数字特征 (1)随机变量的数字期望的概念与性质 (2)随机变量的方差的概念与性质 (3)常见分布的数字期望与方差 (4)随机变量矩、协方差和相关系数 其中：本章只要清楚概念和运算性质，其实就会显得很简单，关键在于计算 第五部分：大数定律和中心极限定理 (1)切比雪夫不等式 (2)大数定律 (3)中心极限定理 其中：其实本章考试的可能性不大，最多以选择填空的形式，但那也是十年前的事情了。 第六部分：数理统计的基本概念 (1)总体与样本 (2)样本函数与统计量 (3)样本分布函数和样本矩 其中：本章还是以概念为主，清楚概念后灵活运用解决此类问题不在话下 第七部分：参数估计 (1)点估计 (2)估计量的优良性 (3)区间估计

概率论与数理统计知识点总结(详细)

《概率论与数理统计》 第一章概率论的基本概念 (2) §2．样本空间、随机事件..................................... 2.. §4 等可能概型（古典概型）................................... 3.. §5．条件概率.............................................................. 4.. . §6．独立性.............................................................. 4.. . 第二章随机变量及其分布 (5) §1随机变量.............................................................. 5.. . §2 离散性随机变量及其分布律................................. 5..§3 随机变量的分布函数....................................... 6..§4 连续性随机变量及其概率密度............................... 6..§5 随机变量的函数的分布..................................... 7..第三章多维随机变量. (7) §1 二维随机变量............................................ 7...§2边缘分布................................................ 8...§3条件分布................................................ 8...§4 相互独立的随机变量....................................... 9..§5 两个随机变量的函数的分布................................. 9..第四章随机变量的数字特征.. (10)

历年考研数学概率论零基础讲义

2016考研数学概率论零基础入门讲 目录 第一讲随机事件与概率 (1) 第二讲一维随机变量及其概率分布 (7) 第三讲随机变量的数字特征 (12)

【注】（1）数二的考生不需要学习这部分内容。 （2）老师没有完全按照讲义的顺序讲课，而是打乱了顺序，重新整合授课体系，但是老师所讲的内容多数是包含在讲义中的，讲义中没有的内容需要同学们自己做笔记. 第一讲随机事件与概率 一、从古典概型讲起 1.随机试验与随机事件 称一个试验为随机试验，如果满足： （1）同条件下可重复 （2）所有试验结果明确可知且不止一个 （3）试验前不知哪个结果会发生 【注】①在一次试验中可能出现，也可能不出现的结果称为随机事件，简称为事件，并用大写字母A, B, C 等表示，为讨论需要，将每次试验一定发生的事件称为必然事件，记为Ω．每次试验一定不发生的事件称为不可能事件，记为φ． ②随机试验每一最简单、最基本的结果称为基本事件或样本点，记为ωi . 2.古典概率 称随机试验(随机现象)的概率模型为古典概型，如果其基本事件空间(样本空间)满足: (1)只有有限个基本事件(样本点)； (2)每个基本事件(样本点)发生的可能性都一样． 【注】①等可能：对于可能结果: ω1,ω2 , ,ωn ，我们找不到任何理由认为其中某一结果ωi 更易发生，则只好（客观）认为所有结果在试验中发生的可能性一样. ②如果古典概型的基本事件总数为n ，事件A 包含k 个基本事件，即有利于A 的基本事件k 个．则A 的概率定义为 P( A) =k = 事件A所含基本事件的个数n 由上式计算的概率称为A 的古典概率． 3.计数方法 基本事件总数 1

概率论 历年考研真题(牛人总结)

考研概率论部分历年真题（总结） 数学一： 1（87，2分） 设在一次试验中A 发生的概率为p ，现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ；而事件A 至多发生一次的概率为 。 2（87，2） 三个箱子，第一个箱子中有4个黑球1个白球，第二个箱子中有3个黑球3个白球，第三个箱子中有3个黑球5个白球。现随机地取一个箱子，再从这个箱子中取出1个球，这个球为白球的概率等于 。已知取出的球是白球，此球属于第二个箱子的概率为 。 3（88，2分） 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，若已知A 至少出现一次的概率等于2719，则事件A 在一次试验中出现的概率为 。 4（88，2分） 在区间（0，1）中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为 。 5（89，2分） 已知随机事件A 的概率P （A ）=0.5，随机事件B 的概率P （B ）=0.6及条件概率P （B | A ）=0.8，则和事件A B 的概率P （A B ）= 。 6（89，2分） 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 。 7（90，2分） 设随机事件A ，B 及其和事件A B 的概率分别是0.4, 0.3和0.6，若B 表示B 的对立事件，那么积事件A B 的概率P （A B ）= 。 8（91，3分） 随机地向半圆0

最新概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)

最新概率论与数理统计知识点总结(免费超详细 版) 第一章 概率论的基本概念 §2．样本空间、随机事件 1．事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生 φ=?B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件 2．运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??）（ 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3．频率与概率 定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件： （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P

考研资料——概率论基础知识4

概率论基础知识(4) 第四章 随机变量的数字特征 一 数学期望 §4.1.1离散型随机变量的数学期望 例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下： 该班同学的平均年龄为： 若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为 于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为 定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为 如果级 数 绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)= 意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值 例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为： 问谁的平均中环数高？ 解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+9 0.1+10 0.6=9.3 乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1 可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。 例3：设 ，求E(X) 解：由于 ，其分布律为 ，k=0,1,2…,所以

例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？ 解：令X 表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。X 的分布律为 于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为 由于 ,求导数 将x=0.8代如上式，便得 将此结果代入原式便得： （次） §4.1.2连续型随机变量的数学期望 绝对收敛，则称此积 分为X 的数学期望，记为E(X)，即 ，

概率论与数理统计历年考研试题-3

第3章 数字特征 1． （1987年、数学一、填空） 设随机变量X 的概率密度函数,1 )(1 22 -+-= x x e x f π 则 E(X)=( ),)(X D =( ). [答案 填：1； 2 1.] 由X 的概率密度函数可见X ～N(1, 21 ),则E(X)=1，)(X D =2 1. 2． （1990年、数学一、填空） 设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Z=3X-2, 则E(X)=( ). [答案 填：4] 3． （1990年、数学一、计算） 设二维随机变量(X,Y)在区域D:0

4． （1991年、数学一、填空） 设X ～N(2，2 σ）且P{2

清华大学历年概率论考研试卷

清华大学2000年概率统计研究生入学考试试题 一、设(|)0.5P A B =，(|)0.4P B A =，()0.6P A =。求()P A B ?，并问事件A 与事件B 是否独立，为什么？ 二、设随机向量(,)X Y 服从二维正态分布2 2 1212(,,,,)N a a σσρ。试证明：U X Y =+和 V X Y =-独立。 三、设（12,,,n X X X ）是正态总体2 (,)X N μσ 的一个简单样本，X 为样本均值，求 1 (||)n i i E X X =-∑。 四、设12,,,n X X X 是总体X 的简单样本，而总体101X q r p -?? ? ?? （ 表示遵从），其中01,01,1p q p q r <<<<++=， 1） 求12,,,n X X X 最大值M 的分布。 2） 设0r =。当n 充分大时，利用极限定理求样本均值X 的近似分布。 五、设总体X 的概率密度函数为 (),()0, x e x f x λμλμμ --?>=? ≤?x 。 这里μ和λ（>0）都是参数。又设12,,,n X X X 为该总体的简单样本，而12,,,n x x x 为其样本观察值。 1） 设λ已知，求μ的极大似然估计 L μ 2） 设μ已知，求λ的矩估计 M λ 。 六、设网络中在(0,]t 时段内到某个网站访问的次数(0,]t ξ，0t ≥，是强度为λ（>0）的 Poisson 流。 （1）试求第k 次访问次网站的时间k η的分布，k 为正整数； （2）求比 1 2 ηη的分布和120(|)E t ηη=，00t >；

（3）利用Poisson 流的性质，证明Poisson 的可加性，即若随机变量1X ，2X 独立，且()i i X p λ （服从参数为i λ的Poisson 分布），1,2i =。则12X X +12()P λλ+ 。 清华大学2001年概率统计研究生入学考试试题 一、某项福利彩票的抽奖活动中有n 个号码（1,,n ），中奖的号码定为k 个，采用无放回 随机抽样。求k 个中奖号码算术平均值的期望。 二、12,,,n X X X 为独立2 (,)N μσ分布样本，X 为样本均值， 1） 求(||)i E X X -； 2） 用 1 ||n i i c X X σ==-∑作为σ的估计，确定c 使得次估计是无偏的。 三、1212,,;,,X X Y Y ，为两串随机变量序列。 1） 设当n →∞，n Y 依分布收敛到常数a ，证明n Y 依概率收敛到a 。 2） 设当n →∞，n X 依概率收敛到随机变量X ，n Y 依概率收敛到随机变量Y ，证明 n n X Y +依概率收敛到X Y +。 四、设X 和Y 为两个独立的随机变量，都服从期望值为θ的指数分布。 （1）求在已知X Y t +=的条件下，Y 的条件分布； （2）求 Y X Y +的分布。 五、12,,,n X X X 为独立(,1)N μ分布随机变量，记12(,,,)T n X X X X = ，A 为n 阶对 称矩阵。证明，当下列的三条件: （1）2 A A = （2）()tr A k = （3）AI =0，其中I 为所有元素为1的n 阶向量，0为所有元素为0的n 阶向量 全部满足时，T X AX 服从自由度为k 的2 χ分布。

概率论基础知识归纳

概率论基础知识 第四章 随机变量的数字特征 一 数学期望 §4.1.1离散型随机变量的数学期望 例1：全班40名同学，其年龄与人数统计如下： 该班同学的平均年龄为： 若令x 表示从该班同学中任选一同学的年龄，则x 的分布律为 于是，x 取值的平均值，即该班同学年龄的平均值为 定义1：设x 为离散型随机变量，其分布律为 如果级 数 绝对收敛，则此级数为x 的数学期望（或均值）既为 E(X)，即 E(X)= 意义：E(X)表示X 取值的（加权）平均值 例2：甲、乙射手进行射击比赛，设甲中的环数位X1，乙中的环数为X2，已知X1和X2的分布律分别为： 问谁的平均中环数高？ 解：甲的平均中环数为 E(X 1)=8 0.3+9 0.1+10 0.6=9.3 乙的平均中环数为 E(X 2)=8 0.2+9 0.5+10 0.3=9.1 可见E(X 1)> E(X 2)，即甲的平均中环数高于乙的平均中环数。 例3：设 ，求E(X) 解：由于 ，其分布律为 ，k=0,1,2…,所以 例4：一无线电台发出呼唤信号被另一电台收到的概率为0.2，发方每隔5秒拍发一次呼唤信号，直到收到对方的回答信号为止，发出信号到收到回答信号之间需经16秒钟，求双方取得联系时，发方发出呼唤信号的平均数？

解：令X 表示双方取得联系时，发方发出呼唤信号的次数。X 的分布律为 于是，双方取得联系时，发方发出的呼唤信号的平均数为 由于 ,求导数 将x=0.8代如上式，便得 将此结果代入原式便得： （次） §4.1.2连续型随机变量的数学期望 绝对收敛，则称此积 分为X 的数学期望，记为E(X)，即 ， 例7：设风速V 是一个随机变量，且V~U[0,a]，又设飞机的机翼上所受的压力W 是风速V 的函数： 这里a,k 均为已知正数。试求飞机机翼上所受的平均压力E(W)。