由一道习题引发的教学思考
一道习题引发的思考
一道习题引发的思考 ——如何提高学生解决应用题的能力二年级在学生学习了用除法解决问题后，试卷中出现了这样一道题：“一张邮票8角，小明有4元钱，能买几张这样的邮票？”这道题正确的做法是先把4元换算成40角，再用40÷8=5（张），而大多数学生是这样做的：8÷4=2（张）。学生的错误率如此之高，所犯错误又是如此雷同，为什么会出现这种现象呢？我是这样分析的：这道题的前两题都是用除法解决问题，而且都是大数除以小数，学生做到这题时思维定势，以为还是用题目中的大数除以小数。作为一名数学教师，“如何提高学生解决应用题的能力”成了我思考最多的问题。 一、仔细审题 做一道题目之前首先要读题，所以我认为要提高学生解决问题的能力，培养学生仔细审题的习惯尤为重要。让学生学会读懂题目，明确题目中究竟讲了怎样的一回事，要我们解决的是什么问题。 在平时的教学中，我要求学生读题时放慢速度，用铅笔指着所读的内容，做到“手眼合一”，避免“一目十行”。读到题目中重点的词语作上记号，比如有的题目中提到的“从大到小”、“由高到矮”等比较容易忽视或容易混淆的字词加上着重号，有些题目条件中是“厘米”作单位的，问题是“米”作单位，要求学生圈出“厘米”、“米”。读完题目，可以让学生合上书本，复述刚才读到的条件和问题。这些都可为正确解题打下良好的基础。 二、分析数量关系 解决应用题的核心是分析数量关系。突出数量关系分析，找到解题思路，是解决实际问题教学的重点。 我发现有些数学能力较强的学生，当他们读完一道题后，就能立即看到题目的“骨架”，这个“骨架”就是数量关系。例如，“红花有5朵，黄花的朵数是红花的2倍，两种花一共有多少朵？”这一问题的数量关系是：红花朵数+黄花朵数=总朵数。根据这一数量关系式，发现必须先求出黄花的朵数，该题便迎刃而解。又如，“单价×数量=总价”、“速度×时间=路程”、“工作效率×工作时间=工作总量”等，这些人们在工作和学习中概括出的一些常见数量关系都是学生解题
由一道课本习题引发的思考
由一道课本习题引发的思考 九年义务教育八年级数学上配套练习册 P 65第11题: 已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形, 思考 由命题的条件，根据平行线判定定理易知： AM/CN MC/ NB,由此得命题1： 命题1已知：如图1，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形, 求证：AM CN ，MC /NB 思考二 由命题的条件结合三角形全等的判定定理可知，有三对全等三角形，故得命题: 命题2已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F. 求证：△ACN 也血CB, △AEC 也 JMFC, △ECN 也△CB 思考三 由命题2的结论，根据全等三角形的性质，可得到一些相等的线段和相等的角， 从而得到 命题： 命题3已知：如图2，点C 为线段AB 上一点，△ACM, △:BN 都是等边三角形，AN 、 CM 交于点E,CN 、BM 交于点F. 求证：⑴ AN=BM,CE=CF,AE=MF,NE=FB, (2)/NAC= /BMC; ZANC= JMBC; ZAEC= / MFC; 山东省五莲县洪凝初中 王爱仁 求证: 图1
JCEN= /CFB
思考四 因为/ ACM # NCB=60 ,所以/ MCN=6D ,再由命题3的结论可知CE=CF 则△ ECF 为等边三 角形，得命题： 命题4已知：如图3,点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，AN 交 思考五 _ 由命题4的结论知，/ EFC=60°，故/ EFC=/FCB ，所以EF I AB ，得命题: 命题5已知;如图3,点C 为线段AB 上一点,^ACM, ACBN 是等边三角形,AN 交MC 于点 BM 交CN 于点F. 求证：AN=BM MrzT -[y 、. 思考八 由^ ACN^A MCB 可知，/ CAN=/ CMB 所以/ A0B2 MAO ￡ AMO ^ MAO ￡ AMC ：+ CMB ^ MAO 乂 CAN # AMChMAC+^AMC=60 +60° =120° ,可得命题： 命题6已知;如图4,点C 为线段AB 上一点,AACM, ACBN 是等边三角形,AN,BM 相交于 点O. MC 于点 E ，BM 交CN 于点F. ⑴求证: AN=BM; (2)求证: △CEF 为等边三角形 若AN 、MC 交于点E,BM 、 NC 交于点F ，求证：EF IAB 图4
由教材一道例题教学引发的思考与...
由教材一道例题教学引发的思考与探讨 福建省晋江市第二中学 362212 施国龙 在华师版九年级《数学》上册第39页的例2中,教材所用的证明方法与证明过程值得仔细体会与探讨. 题目 例2 (1)如果 d c b a =,那么d d c b b a +=+; 证明 ∵d c b a =,在等式两边同加上1, ∴11+=+ d c b a ,∴d d c b b a +=+. 学生提问1:前面刚学了比例的基本性质,为什么不是像以前那样用刚学的知识去证明呢? 教师思考1:学生讲的有道理呀!以前我们都是这样的学习模式:学生学到一个知识后就会马上去应用,在此处为什么没有呢?如果采用此种方法会怎样呢?心动不如行动. 证明: ∵d c b a =, ∴bc a d =, 在等式两边同加上bd , ∴bd bc bd ad +=+, 即b d c d b a )()(+=+, 两边同时除以bd , ∴d d c b b a +=+. 这种方法其实质是用到了教材中刚学的“比例的基本性质”,这是解决此类问题的常用解法之一.在教材中没有采用这种方法确实与以往的教材安排大不一样,结果让学生适得其反,理解不到位,容易产生误解.让学生认为这道例题的方法与前面刚学的内容无关. 学生提问2:为什么要用“等式两边同加上1”的方法去证明呢? 教师思考2:在华师版数学教材中第一次出现这种“加上1”的方法,学生确实无法马上理解为什么是“加上1”?而不是“加上2”或“加上3”? 经过仔细的思考与对比发现,事实上其实质是:此处是采用了高中数学中证明等式常用的“分析法与综合法”的证明思路.以下为用“分析法”证明. 证明: 要证 d d c b b a +=+, 只要证 11+=+d c b a , 即证 d c b a =, 而d c b a =是已知成立的,
一道课本例题的探究开发
一道课本例题的探究开发 663312云南省广南县篆角乡中心学校 陆智勇 课本的例题不仅仅是传授知识、巩固方法、培养能力、积淀素养的载体，如果我们对它们进行特殊联想、类比联想、可逆联想和推广引申，这些例题也可作为探究教学的重要材料。笔者尝试着从课本例题入手，合理开发课本例题，引导学生反思、深化与推广，并结合数学探究教学作了初步的探讨. 题目：如图(1)，AD 是△ABC 的高，点P,Q 在BC 上，点R 在AC 上，点S 在AB 上，边BC=60cm ，高AD=40cm,四边形PQRS 是正方形. (1)相似吗？与ABC ASR ?? (2)求正方形PQRS 的边长. 分析：由于四边形PQRS 为正方形，所以SR ∥BC ，故ASR ?∽ABC ?.利用相似三角形对应高的比等于相似比列方程求解. 解：（1）ASR ?∽ABC ?.理由： 是正方形，因为PQRS 所以SR ∥BC. 所以 .,ACB ARS ABC ASR ∠=∠∠=∠ 所以ASR ?∽ABC ? . （2）由（1）可知ASR ?∽ABC ?.根据“相似三角形对应高的比等于相似比，可得 设正方形PQRS 的边长 为 AE=(40- χ )cm, 所以 解得： 所以正方形PQRS 的边长为24cm. 此题是北师大版九年义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册第147页 .BC SR AD AE =，cm χ. 24=χ60 4040χχ= -
的一道例题。该题是典型的利用“相似三角形对应高的比等于相似比”解决实际问题的例题。笔者在教学过程中没有停留在问题的解决上，而是以此题为切入口，精心设计了一组变式，恰当设置问题梯度，使难易程度尽量贴近学生的最近发展区，使设计的问题触及学生的兴奋点，把学生从某种抑制状态下激奋起来，使之产生一种一触即发的效果。 变式1：如图(2),△ABC 的内接矩形EFGH 的两邻边之比EF ：FG=9：5，长边在BC 上，高AD=16cm,BC=48cm,求矩形EFGH 的周长。 分析：因为EFGH 为矩形，则AN ⊥HG.这样△AHG 的高可写成AD-DN=AD-FG.再由△AHG ∽△ABC ，即可以找到ＨＧ、ＦＧ与已知条件的关系，求出矩形EFGH 的周长. 解：因为EFGH 为矩形，所以HG ∥EF,HG=EF. 所以△AHG ∽△ABC. 所以 则 解得： 所以矩形EFGH 的周长为56cm. 变式2：如图(3),已知边长为10cm 的等边三角形ABC ，内接正方形HEFG 。求正方形HEFG 的面积。 分析：因为AD 是等边三角形ABC 的高，所以根据等腰三角形的三线合一性质可以求出AD 的长，由△AEH ∽△ABC,可得相似三角形对应高的比等于相似比，即可求出正方形的面积。 . AD AN BC HG =.5,9χχ==FG EF 设16516489χχ-=. 2=χ
一道习题引发的思考
一道习题引发的思考 二年级孩子的思维能力已不可小窥，有时个别孩子的发现令人赞叹。 在《儿童乐园》，即“初步认识乘法意义”这一课中主要是让孩子经历把连加算式改写成乘法算式的过程，初步理解乘法的意义，体会乘法与加法的联系。因此，在《儿童乐园》的练习册中设计这么一道题：如图。 因为这一课是孩子学习乘法的起始课。我们都知道，让孩子完成
这一题的主要目的是要检查孩子是否真正理解“什么样的加法算式能改写成乘法算式？”“如何改写？”所以大多数老师也包括我，都会认为对孩子的要求只需停留在能把相同加数连加的算式改写成乘法算式就可以了。也就是说以下只有4+4+4+4、2+2+2+2+2、5+5+5+5等三题可以改写成乘法算式。可在改练习册时却发现一个孩子的做法有点特别，他把6+6+6+3写成了3×7。咋一看，不对。可又认真一看：可以啊！于是在讲评时，我请这位同学说他的做法与理由。果然他能讲述得很清楚。因为一个6可以分成2个3，所以3个6能分成6个3，因此一共有7个3写成3×7。多么清楚的表达，多么透彻的理解乘法的意义啊！这让我不禁惊叹，孩子的能力不可低估。在第一节接触乘法的课后练习中，孩子就有如此精彩的表现，真令人赞叹！于是在这个孩子这种思维方法的引领下，又陆续有孩子发现5+4+3也能通过从5中移1个给3，使3个数都变成了4，可以写成4×3。 鉴于孩子的这种能力和表现，让我有了进一步的思考。在批改作业时不要只急于改完，而要留心孩子的作业情况。有时我们一个不经意间，可能就会抹杀一个孩子的创造性思维而造成终身遗憾，同时也有可能培养和造就了一个孩子的明天。我庆幸，这一次作业批改我能多一个心眼，让我发现了班里的一个“数学小天才”！
一道习题引起的思考.doc
一道习题引起的思考 杜建军 人教版化学选修4《化学反应原理》第三章第四节的课后习题4(P67) 根据表3-4判断，将AgCl与AgBr的饱和溶液等体积混合，再加入足量浓AgNO,溶液，发生的反应为() A.只有AgBr沉淀生成 B. AgCl和AgBr等量生成 C. AgCl沉淀少于AgBr沉淀 D. AgCl沉淀多于AgBr沉淀 我认为教材设置此题的目的在于引导学生利用溶解度数据(AgCl : 1.5X10%;AgBr8.4 X 10 ￥)来判断混合溶液中c(Cl )和c(Br )的相对大小，从而判断出再加入足量浓AgNO3溶液后两种沉淀析出的相对多少。加深对溶解平衡的理解；培养学生读取信息、解读信息、利用信息的能力。 答案选“D”，而学生大多错选“C”，理山很简单：AgBr溶解度小，将产生更多的沉淀。 殊不知正是因为AgBr溶解度小，使得c(Br ) 由一道课本习题的思考 数学学习的核心是发展思维能力。同学们在学习的过程中，若能经常对课本的经典题进行挖掘、引申和改编，就可以得到综合性强、形式新颖的命题，这样可帮我们全面系统地掌握知识，培养思维的灵活性和发散思维能力。现举例说明。 原题目：苏科版九年级上册第136页：已知点I为ABC的内心，/ BAC的平分线与ABC的外 接圆于D, AD交BC于E, DB与DI 相等吗？为什么？ 分析：连接BI , VI为内心，.?./ ABI=Z EBI, / BAEh CADh EBD 而/ DIB=Z ABI+Z BAE / DBI=Z EBDZ EBI,.Z DIB=Z DBI,. DB=D。 变形题1:本题还可证得（1）AB?AC=AE?AD（ 2）DI2=DE?DA （3）AB?AC=AE2+BE?CE 分析：结论（1）可通过证明AB? AEC结论（2）可通过证明DB0 DAB;结论（3）可通过证明AE3 BED得AE?DE=BE?EC由（1）得AB?AC=AE?AD=（EAE+ED =AE2+ AE?ED=AE2+BE?EC 原题可互换条件和结论得 变形题2:如图1, ABC的角平分线交BC于E,交ABC的外接圆于D, I为AD上一点，且DB=D,求证：I为ABC的内心。 分析：只要证明/ AB匸/ EBI，与原题的证法类似。 变形题3:在原题条件下，作DMLAB DNLAC M, N为垂 足，AB>AC。 求证：（1）BM=CN=（AB-AC）（2） 分析：（1）易证DBMP?DCN ADMP?ADN 得BM=CNAM=AN 由 AM=AN 得AB-BM=AC+CN即卩2BM=AB-AC 所以BM=CN=（AB-AC）。 （2）易证AE3 ABD, ABE^ ADC 得 。 。 变形题4:在原题条件下，过D作圆的切线交AB AC的延长线于M N,求证：（1）BC// MN （2）CD2=CE （AB-AC）DM 分析：（1）设0为?ABC的外接圆的圆心，连接0D因为MN为切线，所以ODL MN又因为/ BADh CAD可得弧BD=^ CD 所以ODL BC 所以BC// MN （2）由弧BD=弧CD得BD=CD 又BC// MN 得 / DCBh DBCh BDM 又/ ADCh ABCh M 可得CDE^ DMB 得 CD?BD=CE?BD因为BD=CD 所以CD2=CE?DM 通过对一道习题的引申、改编，同学们不仅对课本知识的掌握和应用更为熟练，而且对培养发散思维和创造性思维能力大有裨益。更重要的是可以培养学生对已经解决的数学问题加以引申变化的意识，从而提高创新能力。 让练习题的评价更有灵气 张金玲枝江市董市镇泰洲小学数学专业邮编443214 前段时间，听了一节三年级的两步计算的复习课，课讲得很好，教师研究教材也很透彻，将本单元知识复习的比较扎实、完整。在练习一只蜻蜓平均每天吃21只蚊子，5只蜻蜓一个周吃多少只蚊子这道题时，从教师批阅学生的作业中我发现了这样一个问题，学生是这样列式的： 21×5=105（只） 105×5=525（只） 答：5只蜻蜓一个周吃了525只蚊子。 教师在第二步的乘“5”处批了一个大大的圆圈并标了一个“×”。很明显，教师认为第一步21×5=105（只）是求5只蜻蜓一天吃了多少只蚊子，第二步105×5=525（只）是求一个周吃多少只蚊子，此处不应该乘5应该乘7。看到这里引起我的思考：一个周他为什么不乘7却乘5呢，他为什么这样做？ 学生的做法引起了我的兴趣，带着问题，我首先找到这个学生。我让学生不要担心说错，当时怎么想的就怎么说给我听。在我的鼓励下学生说出了他的做法。学生说21×5=105（只）是求一只蜻蜓一个周吃了多少蚊子，105×5=525（只）是在求出一只蜻蜓一个周吃了多少蚊子之后再求5只蜻蜓一个周吃了多少只蚊子。也就是说学生的想法与老师的想法是不一致的，学生第一步中的乘5才是表示一周的工作时间，第二步中乘5其实表示的是5只蜻蜓，那么教师在学生的第二步的“5”处打“×”就值得商榷了。 一个周是7天呀，学生在求一只蜻蜓一个周吃多少只蚊子时用21×5=105，为什么不乘7却乘5呢？有了前面的交谈，学生的胆量也大了起来：一个周是7天，但我们都是工作5天休息2天，蜻蜓吃蚊子也是工作呀，如果他天天工作，不累吗，我让他跟我们一样也休了两天，所以列式21×5。听了学生的想法我感觉到学生的做法虽然幼稚但其实还是有他自己的道理。可不是吗，如果把吃蚊子看成是蜻蜓的工作，一个周按照工作5天计算，那求一只蜻蜓一个周吃多少只蚊子，不就应该是21×5吗？ 原来我还在想，学生不乘7却乘5，是不是受5只蜻蜓的干扰不小心马虎写错了，看来我的想法也是与学生的想法是不一致的。幸亏我及时找到这位同学了解到他的想法，要不也不知道我们的评价会给学生造成什么样的影响，那位学生说不定会对求五只蜻蜓吃多少蚊子该不该乘5也会糊涂啦。由此看来，课堂上那位老师的评判处理的还是过于急了，其实很多类似的问题教师在评判时如果发现问题并不急于评判，而是把学生叫到面前进行面对面的交流，学生的想法教师也掌握了，教师的评判是不是会更科学效果更好呢？学生学习过程中出现的问题是不是也就迎刃而解了呢？那样，学生的错误是不是也就不会成为问题，纠正起来也会省很多力呢？ 像今天这样的问题，我感觉教师如果多想想学生为什么这样做可能处理起来也会更艺术、更有实效。 为了防止类似问题的发生，在平日学习过程中，教师在领学生做题时是不是该多思考这样问题： 1、设计这样的练习题是为了干什么？ 2、学生怎样做的，道理是什么？ 3、通过练习，我们要提高学生什么？ 比如一只蜻蜓平均每天吃21只蚊子，5只蜻蜓一个周吃多少只蚊子这道题，我认为教师设计这样一道题就是为了考察学生两步计算问题的算法是否清楚、两三位数乘一位数的算 一道习题引发的思考 ——浅谈基于数学核心概念下小学数学习题的创编与施用 各位老师，刚才钱老师向大家阐述了习题创编的意义、方法、措施等，分析深刻，相信大家现在对习题创编已经有了一个大致的了解。如果说钱老师是站在宏观的角度来分析习题创编的话，那么接下来我就以一道习题为例，从微观的角度浅谈基于数学核心概念下小学数学习题的创编与施用。 【例题】 王大叔从甲村到乙村（如下图），平均每分钟走60米 ①用 在图上标出他出发 10分钟后的位置。 ②王大叔从9：45从甲村出发，到“光明小学”时大约 ： 。 今天，我要分析的是这样一道题，有些老师可能比较熟悉，我从习题创编背景、习题创编新意、习题创编难度以及习题教学过程四个方面谈谈我的想法。 一、习题创编背景 《速度、时间和路程》这一学习内容，相信大家很熟悉。小学阶段这是一组非常重要的数量关系，也是一种基本的模型。因此，每一年试卷中都有考察学生这一知识的习题，但是随着新课程改革的深入，特别是2011版新课标的出台，我们发现有些习题功能明显存在不足。 1．考查知识性目标的习题过多。很多练习中，都把考查目标指向“速度、时间、路程三者之间的数量关系”、“速度的含义”、“算经过时间、速度或路程”等知识性目标，考查学生过程性目标比如数感、符号意识、几何直观、推理能力等等这样的习题比较少。 2400米 （1）用△在图 甲村2400 乙村 当然，在一张练习中，我们也不能全部是考核学生过程性目标的习题，我们也需要考核学生知识性目标的习题，但是同样考核知识技能目标的习题，呈现方式不同，所产生的效果也不相同。我发现（课件） 2．部分习题呈现方式缺乏数学情感。 大家先来看这题： 这题以纯文字的形式出现，主要考核学生有关速度、时间、路程的计算这个知识性目标，但是以这样纯文字形式，不利于学生数学情感的培养。 改成这样，虽然还是考核有关速度、时间、路程的计算这个知识性目标，但是呈现形式上比上一题新颖，能激发学生的解题欲望。 创编习题的时候，我们应该尽量避免发现了这两个问题。 二、习题创编新意 再来看这题，和以往的习题相比，仔细品味一下，有以下几个优势： 1．呈现简洁，指向明确 （课件）此题以简洁的文字叙述结合线段图的形式呈现，给出的信息比较精炼，只有“王大叔从甲村到乙村（如下图），平均每分钟走60米”这样一句话和一条标有总长度和光明小学位置的线段图。大多数学生都能比较快速地读懂题意，两个问题的设计目标指向非常明确，考核学生“速度、时间、路程三者之间的关系”、“算经过时间”两个知识与技能目标，而且还落实了新课标对数学核心概念的要求，考核学生的“估计能力”和“图形分析能力”这两个过程性目标，学生在解决该题的过程中，数感、几何直观这些核心概念得到很好地落实。 2．目标丰富，难度不大 本题巧妙地将速度、时间和路程三者之间的关系与线段图结合在一起，与以往出题的考查方式不同，本题不是单独考查速度、时间、路程的计算，也不是考查画线段图的能力，而是从“标位置”这一角度，将速度、时间、路程的计算和 在运动中探索在变化中思考 江苏省东台市五烈镇中学杨荫林 （获2013江苏省教育科学研究院中学数学组二等奖） 摘要在我们自主学习，合作交流中，要认真观察、实验、归纳，大胆提出猜想。为了证实或推翻提出的猜想，我们要通过分析，概括、抽象出数学概念，通过探究、推理，建立数学理论。我们要积极地运用这些理论去解决问题。在探究与应用过程中，我们的思维水平会不断提高，我们的创造能力会得到发展。在数学学习过程中，我们将快乐成长。 在我们的教科书中设计了一些具有挑战性的内容，包括思考、探究、链接，以及习题中的“思考〃应用”、“探究〃拓展”等，以激发我们探索数学的兴趣。在掌握基本内容之后，选择其中一些内容作思考与探究，我们会更加喜欢数学。 关键词命题运动变化两圆内切、外切、外离、内含。 普通高中新课程标准实验教科书中有一部分例题和习题，它本身提出的的问题是非常明确具体的，但如果我们在自主学习的过程中不是以得到例习题所提问题的解答为满足，而是进一步加强合作、探索实践创新，交流我们的学习成果，我们发现新课程标准实验教科书中的例习题的背后还有好多资源有待去研究与拓展。本文以(苏教版)普通高中课程标准实验教科书选修4-1《几何证明选讲》1.2圆的进一步认识，1.2.2圆的切线，2.弦切角例4为例P32，作初步的探究与拓展。 一. 原题中两圆内切 命题1如图1，两圆内切于点P，大圆的弦AD与小圆相离，PA、PD交小圆于点E、F，直线EF交大圆于点B、C，求证：(1)EF∥AD;(2)∠APB=∠CPD. B D 如图1 如图2 变化1如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相切,那么有 命题2如图2,两圆内切于点P,大圆的弦AB切小圆于点C.求证:∠APC=∠BPC. 设PA,PB交小圆于E,F,则请你探究下列各等式是否成立? (1)CE=CF;(2)⊿ACE∽⊿CPF;(3)PC2=PA·PF;(4)PE·BC=PF·AC;(5)PA·PB-PC2=AC·BC; (6)S ⊿ACE :S ⊿BCF =PE:PF． 变化2如果大圆的弦AD与小圆相离,变化为与小圆相交,那么有 命题3如图3,两圆内切于点P,大圆的弦AD交小圆于点B,C.求证:∠APB=∠CPD 2013年9月21日 由一道连线题引发的思考 洛南县巡检镇中心小学任俊 人教版三年级数学上册20页有这样一道题，如下图： 教学过程中，我先让学生独立完成，结果有个叫王紫彤 的小女孩问道：“老师，这道题是不是错了，您看 的计算结果是837，这把钥匙就找不到与它配对的锁，而这把锁也没有找到能打开它的钥匙。也就是说，这把钥匙无锁可 开。。这把锁呢，题里根本就没设计能打开它的钥匙。”听完小女孩的见解，我微微一笑，告诉她，“我们的课本是课程教材研究所，经过专家反复审定编著的，一般不会出错，这道题你可以能打开几把锁就打开几把锁吧。” 走出课堂，我陷入深深的沉思之中，说句心里话，我是一位不负责任的数学老师，课前没有细细研究这道题，一眼 断定这道题很简单，不需认真研究，凭借自己多年的教学经验到课堂上去处理这类“简单”问题就好了。可是，今天我似乎错了，这道看似简单的连线题也许不简单。它究竟是如学生所说错了呢，还是另有深意？这个问题对于已有十五年丰富数学教学经验，在全镇具有数学权威的我来说，真的无法做出合理解释。我似乎更相信这道题是编委们疏忽造成的错，因为： 1、这道题所处位置在练习五10道题的中间，即第6题位置，按照我们使用的这套教材来说，教材编排有一个整体体现，每组练习设计由浅入深，由易到难，也就是说，每组练习前几道题简单，中间的题适中，最后的题偏难，这是遵循“让不同的学生在课堂上有不同的收获”这一原则的。而这道题在练习中间设计，我认为它的考查意图不会太难。 2、我们使用的做这套教材编排还有一个显著特征，每次遇到需要提示、启发、引导的时候，在哪就会设置一个“小精灵”图像，给我们一适当的提醒，而这道题里没有小精灵的出现，我认为编排时不可能设置更深刻的意图。 3、这道题如果说有意设置和为干烧因素，想告诉我们“一一对应”关系不是时时处处都存在，那么我 认为只需要设置就足够了，因为，这样设置6把钥匙5把锁，学生一下子就看出不存在“一一对应”关系， 由一道考题引起的思考 在一次六年级的数学检测中，试卷设计了这样一个数学问题： 看右图解答： 80m （1） 在操场周围镶嵌上长6分米 的砖，需要多少块？ （2） 操场里面铺上草坪，每平方米 的草坪8元，购买草坪需要多少元？ 这是一道解决实际问题的问题，题目创意是了解学生根据已学知识解决实际问题的能力。从所给的数据来看，数目较小，便于计算，重点是检查学生解决问题的方法策略。通过检测后的统计分析，此题解答完全正确的不足20%，没有解题思路的25%，失分率高达60%。 在与教师、学生的调查中发现，问题的症结在于学生不会分析问题，不能将语言文字的表述转化为数学模型，不知道要求的是什么；少数学生没有识图的能力，看不出所给的数据是什么已知条件，图形数据的转化能力相对欠缺，个别学生是由于计算的失误，导致解题的错误。面对着如此大的问题，反思我们的课堂教学，或许能找到答案。 我们的课堂，机械重复地练习较多，如：计算长方形的周长和面积（单位：厘米） 25m 计算图形的周长、计算图形的面积，问题明确，学生思路清晰：只要熟记公式，再加上认真计算，就能得到高分。而这只相当于梅克五种类型问题中的的第一种，条件、条件已知，问题已知，答案唯一。 对于这些基本图形，学生不假思索，照猫画虎，较顺利地完成。教师认为学生已掌握了知识，就此结束。殊不知，学生学习知识，是为了解决实际问题。而我们的学生，缺乏的就是这种实践能力，缺少的就是这种创新精神。面对着新的问题，束手无策。新课程强调“以创新精神和实践能力的培养”为重点，要建立新的教学方式，促进学习方式的变革。这就要求教师首先转变观念，从三个维度 一道课本例题引发的探究 【摘 要】高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，引导学生乐于把现有的问题进行演变、引申，发展学生的创新思维，培养他们的探究能力。 【关键词】例习题 问题 探究 引申 高中数学教材绝大多数例习题都是很经典的，教师应该鼓励学生对其进行积极的探究，通过探究让学生大胆的提出问题、解决问题。这样不仅能加深概念、法则、定理等基础知识的理解与掌握，更重要是开发了学生的智力，培养学生的探究能力。现以人教版选修2—1第41页例3的教学为例，并谈谈自己的一些想法。 一、问题的提出 （选修2—1第41页例3）设点A 、B 的坐标（5,0）、（-5,0）。直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积是-9 4 ，求点M 的轨迹方程。 解答：（略） 本题由学生用直译法做，没有太大的问题。 二、问题的引申 1、逆向思维，大胆猜想： 牛顿说过：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现。”翻开数学史册，可以发现数学的历史就是一部充满猜想的历史。可见猜想与数学发现是形影不离的。我们可以通过例题，引导学生进行大胆猜想与合情推理，发展他们发现问题的能力。针对例3的答案为椭圆方程，学生不禁会问一般的椭圆是不是都有这样的性质呢？ 猜想1：椭圆0(122 22>>=+b a b y a x 上长轴的两顶点A 、B 与任意一 点P （不同于A 、B ）连线PA PB 、的斜率之积为定值. 解答：（略） 有了例3的解答，这个问题让学生自主解决。 2、大胆假设，归纳引申： 先通过大胆假设，再从特殊问题入手，归纳出一般性的结论。这样有利于学生形成良好的认知结构。变式问题中弦AB 是长轴，能不能改成一般过原点的弦呢？ 我们可以先与学生一起来探究一个特殊的问题，归纳出方法，再引申出一般性的命题。 问题：椭圆22 132x y +=上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线P A P B 、与对称轴不平行，求直线PA PB 、的斜率之积。 证明:设111(,),(,),P x y A x y 则111(,),B x y --2222 111,13232 x y x y ∴+ =+=,两式相减得: 22221132x x y y --∴=, 22122 12 3 y y x x -∴=-- 22111221112 3 PA PB y y y y y y k k x x x x x x -+-∴?=?==- -+- 让学生自主探究，再让学生归纳引申出一般的问题。 命题1: 椭圆0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点P 与过中心的弦AB 的两 端点A 、B 连线P A P B 、与对称轴不平行，则直线PA PB 、的斜率之积 为定值. 证明:设111(,),(,),P x y A x y 则111(,),B x y --1,122122122 22=+=+∴b y a x b y a x ,两式相减 得: 22122212b y y a x x --=- 22 2 12212a b x x y y -=--∴ 22 1111a b x x y y x x y y K K PB PA -=++?--=?∴为定值. 3、极限思想，知识串联； G ?波利亚说：“类比是一个伟大的引路人”。我们这时引导学生，然后提问：椭圆的极限位置是圆，此性质可以类比圆中什么性质呢？让学生分组探讨，进行类比与归纳。探讨后部分学生提出了对性质的解释:是圆的性质“圆上一点对直径所张成的角为直角”在椭圆中的推广。 这个解释充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题。再引导类比圆中的性质，可以引申出以下命题. 一道简单的题目引发的思考 ++i 与i++ ——Don't believe in magic !Understand what your program do ,how they do .引言 昨晚一时兴起，我脑子就问自己下面的代码会输出什么，也不知道我脑子为什么有这个代码模型，只是模糊的有些印象： 01#include 因为i = 3，故依次i++=4，i++=5，++i=6，i最后输出为i = 6；但是由于前面两个++ 是后置++，最后一个++是前置++，故j = 3+4+6 = 13。 1.2、B君的回答 因为i = 3，故第一个i++后为4，第二个i++后为5，接着做i+i操作= 5+5=10，最后与(++i)相加= 10+6=16。 1.3、C君的回答 因为i = 3，故依次i++=4，i++=5，++i=6，i最后输出为i = 6；但是第一i、第二个i 的++是后置++，先进行i+i操作，然后进行两次i++后置操作，故等价于(i)+(i) = 3+3=6，i++，i++，最后与++i=6相加等于12。 1.4、D君的回答 因为i = 3，故依次i++=4，i++=5，++i=6，i最后输出为i = 6；但是前面两个++都是后置++，故先做i+i+(++i)操作，然后才在i++,i++操作，第三个++是前置++，故等价于i+i +(++i)=3+3+4=10，i++，i++。 到底哪个人说得对呢？ 2、编译器的输出 首先让我们先来看看编译器会输出什么? 2.1、Visual Studio的输出 运行环境：Win7+VS2005 or VS2010，输出如下图所示： 一道数学例题引发的思考 -------《平行四边形（1）》教学反思 北师大数学九年级上册第三章第一节有这样一道例题： 例题： 证明：等腰梯形在同一底上的两个底角相等。 在和学生共同探讨这道题目时，我们首先是共同完成了证明文字命题的一些必要步骤，（如：画出图形、根据题设和结论写出已知和求证）完成对这道题目的数学化，运用准确的数学语言完成翻译。即： 已知：如图，梯形ABCD ，AB=CD. 求证：∠A=∠D ∠B=∠C 课本上给出的证明方法是解决梯形问题的最常见的方法。我在解决这个问题时，要求学生不看书，独立自主的想出尽可能多的解题方式。 学生们在很短的时间内就探索出了几种不同的做法，当然也包括和教材相吻合的解题方式。课本解题方法如下： 过点D 做D E ∥AB,交BC 于点E.不难证出四边形ABED 是平行四边形，进而得出AB=DE,而AB=CD,∴DE=DC, ∴∠DEC=∠C,而AB ∥DE,则∠B=∠DEC,进而得出∠B=∠C, ∠A=∠ADC. A B E C D 在这里我想要谈的是，其中一个学生用了以下方式来解决问题： 将线段AB 沿着BC 方向平移至CF 交AD 的延长线于点F,不难证出四边形ABCF 是平行四边形，仿照例题的证法，进而解决了问题。 A C D E 我问她是如何想到了用平移思想解决这道题。她说，她发现课本上的辅助线可以理解为一种平移，将复杂图形分解为简单图形，因而想到了：如果继续平移会产生什么效果，从而找到了这样的解决办法。她的想法让大家耳目一新。平移、旋转的数学思想的运用容易被老师和学生忽视，在这里巧妙运用让这道题“活”了起来，毕竟课本上的解题方式是一种静态的。学生的思维也“活”了起来。此时，我也特别的兴奋，不禁想到在这之前学校崔老师的爱女曾经问到我的一道数学题，我立即把这道题目拿出来和同学们一起分享，让学生们更深入地了解平移、旋转等思想对于解决数学问题的便捷与巧妙。 题目如下： 已知：如图，点P 在正方形ABCD 的内部，且AP:BP:CP:=1:2:3. 求：∠APB 的度数。 A B C D P 我们将△PBC 绕着点B 逆时针方向旋转90°后，点C 将落在A 点位置（因为四边形ABCD 是正方形），点P 落在E 的位置，连接PE ，AE.不难证出△PBE 是等腰直角三角形，得出∠BPE=45°.设AP=1,则PB=EB=2,PC=AE=3,则PE=22；在△APE 中。AP=1,AE=3,PE=22,根据勾股定理的逆定理可判定出△APE 是直角三角形，则∠APE=90°； ∴∠APB=45°+90°=135°. 一道错题引发的思考 宜昌金东方小学周攀波 在学习了一个多月后,我们进行了一次简单的独立作业。检验的结果， 让我十分意外。 原题如下： 3、我能把与数字同样多的部分圈起来。（12分） 3 6 9 5 4 7 按照对孩子的了解，在入学以后一个多月的时间里，每一个孩子都能正确的 数数。对同样多的理解也应该没有问题。可是我粗略的统计了学生的答案，105 班有16位孩子这题全错，106班有20位孩子答错。看着试卷上的这些答案，我 陷入了沉思。心里十分困惑和沮丧.百思不得其解为什么出错率如此之高? 为了找出错误的原因,我有意的把这道题念给身边的朋友听,让他们帮我分 析问题出在哪里?其中一位朋友说;’我拿到这道题,会不明白这题的意思.’我 愕然.继续追问她,题目的表达是不是有问题?她说:’是把哪个数字和图相对 应?”原来题目的表达也存在问题.可是我认为这不是造成学生出现大面积错误 的根本原因.如果题目改为,数学是几,就圈出几个,学生就不会出错了. 我再次把学生做错的答卷拿出来认真观察.看着看着,我知道问题出在哪里 了.原来,学生把5只小鸡和数字5圈在一起了.9个蘑菇与数字9圈在了一起.按 照学生的这种答案,确实是把数字与图形同样多的圈在了一起.为了验证的我想 法,我找来了出错的两位同学.问他们是怎么想的?他们告诉我,运用了一一对应 的思想,把同样多的数字与图形圈在了一起. 那么前段时间学习过的’一一对应”的思想在这道题中,对学生的理解造成 了知识的困扰.通过以上分析,我认识到: 错题,是学生知识和思维暴露问题的十分有价值的资源.在面对学生的错题时,教师要抱着平常心.不把把学生的意见完全丢弃不管,不去追求错误产生的原因.让它丢掉了真正的价值.对出错的孩子,不能抱怨和指责.要给学生充分的时间去分析错题的原因,并且要引导孩子正确对待错误,形成正面的差错观.让每一个孩子重视错题的价值,不要害怕自己出错,要在错误中反思,醒悟.提高. 针对普遍性的错误，教师要寻找原因,找到相应的解决办法.有针对性的设计集中讲评.比如,这道题还存在学生对题意的理解不清.把与数字同样多的部分圈起来,造成学生答题错误的还有一个重要原因,就是学生对”部分”和”整体”感知没有完全建立.当一个完整的图形出现时,学生没有认真去分析’与数字同样多的部分’那么在讲评时,也应该重点让学生体会部分与整体的关系.学生的审题与对题意的思考也应成为教师点拨,引导的方面. 艾宾浩斯的“遗忘曲线”告诉我们：在学习中的遗忘是有规律的，遗忘的进程不是均衡的，而是在记忆的最初阶段遗忘的速度很快，后来就逐渐减慢了，到了相当长的时间后，几乎就不再遗忘了，这就是遗忘的发展规律。根据这条遗忘曲线“先快后慢”的原则，学生学得的知识在一天后，如不抓紧复习，就只剩下原来的25%（艾宾浩斯的单词记忆实验的结论）。可见，如果反馈评价不及时，随着学生对练习题内容和解题思路记忆的消减，寻求正确答案及分析错误原因的积极性也会大大下降，“遗忘规律”就起作用了，这显然不利于对错误的纠正和缺失知识的弥补。 因此，教师必须根据小学生的心理认知规律，排除负面心理因数的影响，及时调控自己的教学，指导学生的学习，这样就可以在一定的范围内减少错题的产生。针对学生这道错题,我设计了有针对性的反馈练习. ３.看数字是几，就圈出同样多的图形． ４７８ ６５ 3 从一道数学题引发的思考 张场小学李应国 义务教育课程标准实验教科书(人教版)《数学练习册》三年级下册，湖北省教学研究室编写，湖北少年儿童出版社，期中测试卷(p27)第28页有这样一道数学题（应用题第4题）： 实验小学5位老师和30个同学去公园，怎样头买票最合算？ 票价 成人8元 儿童3元 团体(10以上) 5元 习惯想法，多数学生认为买团体票合算，这道题表面上看我也以为买团体票合算。结果真的和我们想的一致吗？下面我们来算一算： （1）分开买： 5×8=40（元） 3×30=90（元） 40＋90=130（元） （2）买团体： 5＋30=35（人） 35×5=175（元） 而事实上并非如此，我们可以看出分开买反而合算。问题到这里是不是可以结束了呢？其实不然，有没有更合算的买法呢？你不要认为分开买是最合算的买法！这是一个值得思考的问题，这种错误给我们留下了哪些值得探讨的问题呢！针对上面出现的这种问题，结合我在教学中的一些感受，谈谈我的一点心得体会。 一、克服定势思维，寻求最佳方案 习惯是人们在长期的生活实践中形成的一种定势的方式和方法。请看下面的故事，从中我们也许可以学点什么。 哥伦布竖鸡蛋。为了庆祝哥伦布发现美洲新大陆，西班牙女王在王宫里举行了盛大宴会。许多达官贵人纷纷前往，向哥伦布祝贺。一位来宾看到大家如此看重哥伦布，很不服气。就对哥伦布说：“这有什么了不起的，大陆本来就在那里，不正过被你碰上罢了。”哥伦布笑了笑，随后从茶盘里拿起一个鸡蛋，让这个人把鸡蛋竖起来。他拿着鸡蛋左摆弄，右摆弄，急得满头大汗也立不起来。哥伦布把鸡蛋往桌子上一磕，鸡蛋底部砸碎了，鸡蛋竖了起来。哥伦布说道：“许多事情看起来很简单，问题在于有人发现了，想到了，有人却发现或没想到，就差这么一点儿。”（摘自义务教育课程标准实验教科书三年级下册《数学》第68页）司马光砸缸。大约一千年前，司马光跟小伙伴们在后院里玩耍。院子里有一口大水缸，有个小孩爬到缸沿上玩，一不小心，掉到缸里。缸大水深，眼看那孩子快要没顶了。别的孩子们一见出了事，吓得边哭边喊，跑到外面向大人求救。司马光却急中生智，从地上捡起一块大石头，使劲向水缸砸去，“砰！”水缸破了，缸里的水流了出来，被淹在水里的小孩也得救了。（语文S版一年级下册）曹冲称象。三国时期，吴王孙权送给曹操一头巨象，曹操想知道这象的质量，询问属下，都不能说出称象的办法。曹冲说：“把象放到大船上，在水面所达到由一道课本习题的思考
由一道练习题引发的思考
创编一道习题引发的思考(ppt用)
一道课本例题的探究与拓展
由一道连线题引发的思考
由一道考题引起的思考
一道课本例题引发的探究
[++i_与i++]一道简单的题目引发的思考
一道数学例题引发的思考
一道错题引发的思考(周攀波)
从一道数学题引发的思考