“三法”解决平面向量数量积问题

“三法”解决平面向量数量积问题

L ——> >

［典例］ 已知在△ ABC 中，AB = 4 ,AC = 6, BC =■ 7,其外接圆的圆心为 0,则AO -BC

偲路点拨］

本题如果直接利用向量数量积的定义求解，计算复杂，过程较长?我们可以从以下三 种思路着手：

(1) 利用数量积的几何意义，及数形结合思想，可以巧妙解决该题；

(2) 选择——t ,——？为基底，利用向量基本定理，将——6 ?——？转化到两个基底之间的运算, 问题自然就能顺利解决.

⑶设D 是边BC 的中点，根据题意可知 0D 丄BC ,因此方便建立平面直角坐标系，利 用坐标运算解答问题.

［方法演示］ 法一：投影法

如图，作0D 丄BC ,垂足为D ，贝U D 是线段BC 的中点. 作AE 丄BC ,垂足为E.

则——0在——6

的方向上的投影为

-- 6 --------- 6 ---- 6

|AO | c os 〈 AO , BC 〉= |ED ——> |,

所以——0 -B 0

=|——°| |——°| cos 〈——0 ,——？> = |ED ——o | |——°|.

在厶 ABC 中，AB = 4, AC = 6, BC = 7, AB

2+ BC 2- AC 2 __ 13 2AB BC =-

8.7.

所以 cos/ ABE = cos( —/ ABC) = 13 , 8寸7 所以 BE = AB cos/ ABE =_13.

2^7 所以 |ED ——o |= BE + BD = 13 +；7

207 2 因为 |1B C |= 7,

-- 6 -- 6 ---------------- 6

所以 AO - BC = |ED ——-61 | BC |= 10.

由余弦定理，得 cos/ ABC =

法二：基底法

如图，作0D 丄BC ,垂足为D

,

则D 是线段BC 的中点，且 -D -BC = 0. 所以-

5 .-c

-- D

=（AB ------ D ----------- D ---------- D

+ BD + DO ） BC

--- >

------ D ------------ D -------- D ----------- D -------- D

BC + BD -BC + DO BC

=—B ------ D ------------ D -------- D

BC + BD -BC

--- D -- D 1 ---- D -- D =-BA -BC + 2BC -BC ,

在厶 ABC 中，AB = 4, AC = 6, BC = 7, 2 2 2

AB 2+ BC 2- AC 2

13

由余弦定理，得cos/ABC = —2ABCBC —=-丽. 所以 入（0 I B C = - - -B C + 2I B C -3C

=-|"B A | I -3C |cos/ ABC + ^崗2

=-4X 7 X

-

8137 + 1X

（ 7）

2= 10.

法三：坐标法

如图，作0D 丄BC ,垂足为D ,

以D 为坐标原点，BC , DO 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系. 在厶 ABC 中，AB = 4, AC = 6, BC = 7, 2 2 2

由余弦定理，得 cos/ ACB =

AC

+

BC - AB

= 9 . AC BC 4,7

作AE 丄BC ,垂足为E.

27 在 Rt △ ACE 中，CE = AC cos/ ACB =

~j= 2^7

A ? (0,2)

B ?(0,4]

答案：10 ［解题师说］ （1） 法一（投影法）利用向量数量积的几何意义，

借助于向量的投影求向量的数量积，

巧妙

地利用平面图形的性质， 解答简短.法二（基底法）通过向量的分解变换，即向量的线性运算， 转化成另外向量的数量积，不断化简求出值，充分体现了转化的思想，其中垂直关系的利 用是化简的关键?思维更自然，处理更简单?法三 （坐标法）巧妙地把向量运算转化为数量运

算，解答过程同样简洁，体现了坐标法的威力.

（2） 如果题目图形便于建立平面直角坐标系，可以优先考虑的坐标法?如果不方便建立 平面直角坐标系，则可考虑投影法或基底法，其中选择恰当的基底，将要求的数量积的两 向量用基底表示是关键.

［应用体验］

1.如图，△ ABC 是边长为2 3的正三角形，P 是以C 为圆心，半径为 1的圆上任意 -- > -- >

点，则AP -P 的取值范围是（

A ? [1,13] C ? (4,10)

解析：选A 取AB 的中点D,连接CD ,CP,则6Q + "CB = 2Ct?, --- B -- B ------ B ---- B ---- B ---- B ----- B -- B --- B --- B

以 AP -BP = ( CP — CA ) (- CP — CB ) = CA -CB — 2 CD ?CP + 1 = (2 ,3)2cos n — 2x 3x 1 x cos <0(5 , C?> + 1 = 7— 6cos 〈-

?, C?>, 3

------ B -------- B ------- B --------- B ------ B --------- B ----- B ---------- B

以当 cos 〈 CD , CP > = 1 时，AP .BP 取得最小值为 1;当 cos 〈 CD , CP > = — 1 时，AP ?

BP

取得最大值为13,因此-

6 亦 的取值范围是［1,13］ ?

2.已知四边形 ABCD 的对角线相交于一点， AC = （1,3）, B D = （ 3, 1）,则 -B -C B

0(0, y 。)，又 B —孑，0 , C# 0 .

-专,y o —y A , —sc =( 7, 0)

.

D ? [4,10]

设A

所以

7 + (y °— y A ) x 0= 10.

所以A O J 3C =

B . (1,13) 所

的取值范围是（）

A ? (0,2) B?(0,4]

C ?[— 2,0)

D ?[— 4,0)

解析：选C 由已知得，|瓜C p i E —E |= 2, AC 丄BD.

法一（基底法）:设四边形 ABCD 的对角线相交于一点 O ,设OA = x , OB = y , 则 OC = 2— x ，OD = 2— y ，且 0

所以6D

=

—2 OC , O B =— 2y OD . 2 — x 2 — y

若以"O （C , 06为基底.

则 AB CD = ( OB — O A ) (6tD — OC )= — —^ O D +—^―

2 — y 2 — x

-- 6 6 x C C

y C 2 x C 2 , 八

2 , 八

2 a

OD -OD — OC -OC =—

|OD|2— |OC|2= (y — 1)2

+ (x — 1)2— 2. 2— x

2— y 2 — x

2

2

又 0 w (x — 1) <1,0 W (y — 1) <1 , 所以一2< —C €[?<0.

法二（坐标法）:设四边形ABCD 的对角线相交于一点 原

点，OC , OD 分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系.设 =b ,贝U OC = 2— a , OD = 2— b ,且 0

则 A(— a,0), B(0,— b), C(2 — a,0), D(0,2 — b),

- > -------------- >

所以 AB = (a , — b), CD = (a — 2,2 — b).

所以 AB CD = a(a — 2) + (—b)(2 — b) =(a — 1)2+ (b — 1)2— 2.

2

2

又 0W (a — 1) <1,0 w (b — 1) <1, 所以一2< —C €[?<0.

［升级增分训练］

、选择题

1.(2017 日照一模)如图，在△ ABC 中，AB = BC = 4,/ ABC = 30 ° AD 是 BC 边上的

解析：选B 因为AB = BC = 4,/ ABC = 30° AD 是BC 边上的高，所以 AD = 2,所

——C C ——C y

OC (OD - OC) =— 2—y D . — 4

以-D -AC =A D

-- D D D D D D D D 1

(AB + BC) = AD - AB + AD - BC = AD -AB = 2 x 4X ^= 4.

- > --- >

2.（2018郑州质检）已知P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则AP （ AB

------ D

+ AC)()

A .有最大值B.是定值6

C ?有最小值

D .与P点的位置有关

解析：选B

-- > -- > -- > -- >-- >-- > -- > 2 o

设AB = a, AC = b, BP = tBC , A BC = AC —AB = b—a, a2= b2= 4,—> —> —> —> —>

a b= 2 x 2x cos 60 °= 2，二AP = AB + BP = a+ t(

b —a) = (1 —t)a+ tb, AB + AC = a+ b,

(y AB + -A C ) = [(1 —t)a + tb] (a + b) = (1 —t)a2+ [(1 —t) + t]a b+ tb2= (1 —t) x 4 + 2 +

t x 4= 6.

3.如图，菱形ABCD的边长为2,/ BAD = 60 ° M为DC的中点，若N为菱形内任意

一点（含边界），则

AM T

解析：选D 由平面向量数量积的几何意义知，AM -A N等于-D与石？在入质方向上

--- D--- D --------- D --- D1 ---- D ----- D 的投影之积，所以(AM - AN )max = AM -AC = 2 AB + AD

--- D----- D 1 ----- D 2

(AB + AD )= ^AB

- > -- >

AB -AD = 9.

4. (2018 宝鸡质检)在等腰直角△ ABC 中，/ ABC= 90 ° AB = BC= 2, M , N (不与A, C重合）为AC边上的两个动点，且满足|MhN|= 2，则Blv T -的取值范围为（

嗚，2）

C.；, 2

D.

解析：选C 以等腰直角三角形的直角边BC为x轴，BA为y轴，建

立平面直角坐标系，如图，则B（0,0），直线AC的方程为x + y= 2.

设M(a,2—a),贝U 0

——> ——> 2

(a+ 1,1 —a),「. BM *BN = a(a + 1) + (2 —a)(1 —a)= 2a —2a + 2,T

0

BM T 百D取得最小值2又BM D i BN <2，故B M T百D的取值范围为

c

1???当a= 1时,

5. （2018福州模拟）在平行四边形 ABCD 中，/ BAD = 60° AB = 1, AD =Q 3, P 为平

行四边形内一点， AP = 2 ,右AP = XAB +

『AD （入『€ R ）,则^+ A /3『的最大值为（

）

A . 1

C. 2

4 D ?4

解析：选A v —C

= XAI C

+ 卩-C

, ?? I -A C

|2= (XA B + ^A D)2,

=^|—AB|2+『I -C |2+ 2XJ1A B -AD.

又 AB = 1, AD = 3，/ BAD = 60°

二-C

A D = 1 x ^/3x cos 60=爭,

???(入+屁)2=3+w 入 w 4+2^3^2,

- > ----- > -- >

6. （2018开封质检）已知△ ABC 为等边三角形，AB = 2,设点P , Q 满足AP =入AB , AQ

=(1 —为 A C ,入€ R.若 BQ -CP =— 3，贝U U (

)

A.； 1 土. 10 C. 2

???(—1 —人 V3(1 — ?)) (2「1,— 73)= — 2,

? A 2.

1

2,

?-

3卩的最大值为1,当且仅当入=1尸

—3 ±2 2

解析：选A

法一：如图，以点A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴,

过点A 且垂直于 AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.则A （0,0）, B （2,0）, C(1, 3), -AB = (2,0), —

S = (1, V3) ,??? P(2 入 0), Q(1 —人 V3(1—刚.

即

毕口

等号.

. _ _______ > ---- > --- > ----------- > --- > ---- > --- > ---- > --- > ---- > 法二：?/ BQ = AQ - A B = (1 - ?) -C - A B , CP = AP - A C =入A B - AC ，又 —P —P 3 —— —— —— —— BQ -CP =- 2 |AB|=|AC|= 2,〈 AB , AC > = 60°

-- P -- P ----- P ---- P

AB AC = |AB|

「AC|COS 60 = 2,

——— ——— ——— ——— 3

? [(1 一 力 AC - AB ](-入AB - AC )=- ?,

即开忌|2+ (於一入一1)忌—

+ (1 - ?)|—A —

|2= 2,

??? 4入+ 2（亲一入一 1） + 4（1 —片=号，解得 =2.

8 B 8

6 C

?6

解析：选D 法一：以AB , AD 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面

1, 1 , A C = (1,1).

v -AC = ZAM + 而=入—2 仏 扌+ □,

7.如图，△ ABC 的外接圆的圆心为 O , AB = 2, AC = 7, BC = 3,

—

Oo 1BC 的值为（ A"3

Bl

解析：选A 取

--- B 1

BC 的中点为 D ,连接 AD , OD ，贝U OD 丄BC , AD =-

--- P ---- P ---- P ---- P ---- P --- P -- P ------ P ---- P --- P ---- P --- P

(AB + AC ), BC = AC - AB ,所以 AO -BC = (AD + DO ) BC = AD -BC

—P P P P 1 P P + DO -BC = AD -BC = 2( AB + AC

)(? A — - 能)=1( AC 2-A —2) = 1

X [( 7)2 - 22] = 3.

8.（2018贵阳质检）如图，在正方形 ABCD 中，M , N 分别是BC , CD 的中点,

--- P

若AC =

~— -- — r

ZAM + yBN ，则入+ 尸(

)

直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为

1y AM T =

Z = 5,

解得

. . . 1 --- B ----- B

法二：由 AM = AB + 2 AD , BN = — ^AB + AD ,

???入+尸5.

5

DE 并延长到点F ，使得DE = 2EF ，则Nl ? I B C 的值为（

）

解析:

选B 如图所示， -- > --- > ---- > AF = AD + DF .

又D , E 分别为AB , BC 的中点, —> 1 —>

且 DE = 2EF ，所以 A D = ?A B ,

D F = 17D + 4A D=4 A D ,

2

4 4

所以 A D

=1 AB + 3-A D

.

2 4

又 B B = -

AC -AB ,

则A B B B = 2A B + 4 A B (AC -A B ) 1—> —> 1—> 2 3 —> 2 3 —> —>

=o AB -AC — o AB + AC — AC AB 4 4

9.已知△ ABC 是边长为1的等边三角形，点

D ,

E 分别是边 AB , BC 的中点，连接

-- B ----- B -- B

得 AC = ZAM + ^BN =

+扌+茴.

--- > ----- > ---- >

又 AC = AB + AD ,

1

尸

4. 2 X-

供

2

6-5 2- 5

- =

11

3——> 21——> 2 1 ——> ——>

蔦AC -1AB -4A C -A B.

--- C ----- C

又|AB|= | AC |= 1,/ BAC = 60 °

——C ——C 3 11 1 1

故AF Be = 3-2-4X 1X1 x 1=8.

10. （2018成都诊断）已知A, B是圆O：x2+ y2= 4上的两个动点，I-2, I O C =-5 C）A

2 ---- >----------------------------- > -- >

-^OB若M是线段AB的中点，贝U OC OM的值为（）

B. 2 3

解析：选A 由条件易知△ OAB为正三角形.又由M为AB的中点，则6丽=1（OA + OEB),所以°D C ?O-M = 2( O ct + 冋(5 ODt - 2 阿=15| 看2+戏牯-^|2= 3.

11.（2018湖北八校联考）如图，O ABC的外心，AB = 4, AC= 2,/ BAC为钝角,

--- C -- C

M为BC边的中点，贝U AM

D. 5

解析：选D如图，取AB，AC的中点分别为D，E，

可知OD丄AB, OE丄AC ,v M是BC边的中点,

),

--- C -- C 1 --- C ---- C ---- C 1 ----- C--- C 1

--- C -- C C

??? AM AO = 2( AB + AC) AO = ?AB -AO + "AC -AO = AD AO + AE -AO .由数量

积的定义可得A D -AO = |AD || AO | cos〈A D , -O >,而|°A O |cos〈 AID , AO > = -1,

故-D T AO = |^AD |2= 4,同理可得忌J AQ = |忌|2= 1，即0(D J AQ + 能J A O = 5,故

-- > -- >

AM -AO = 5.

12. （2018陕西质检）已知非零单位向量a, b满足|a + b|=|a—b|,则a与b-a的夹角是

4

4

3 C. n 4

解析：选 C 由 |a + b|= |a — b|,得 a b = 0, 即卩 a 丄 b.

法一：如图，令 0X = a , 1O B = b , 则厶AOB 为等腰直角三角形. 又 b — a = AB ,

??? a 与b — a 的夹角为3 n.

4 法二：不妨令 a = (1,0), b = (0,1), 则 b — a = (— 1,1),

又T 0€ [0, n] ? 0= 3 n . 二、填空题

13.在厶ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且1B C = 3 0(?，点O 在线段CD 上(与 - B --- B --- B 点C , D 不重合)，若AO = xAB + (1 — x) AC ，

贝U x 的取值范围是 --- .

--- B ------ B

4

-- X ----- B ----- B ----- B ----- B ----- B

解析：依题意，设 BO =入BC ,其中1< ?<3，则有 AO = AB + BO = AB +入BC = AB

3 + x AC — AB )= (1 — R AB + XAC .又 AO = xAB + (1 — x)AC ，且 AB , AC 不共线，于是 有x = 1—人由入€ 1 3知，x €

3, 0 j,即x 的取值范围是3 0]

答案：-

3,0

14.如图，在平行四边形 ABCD 中，已知 AB = 8, AD = 5, CP = 3 PD , AP -BP = 2, 则石

I °D 的值是 _______________ .

解析：因为刁？ = A D +15? = A D +AB ,

E B P = °? + C? = A DD — 3 AE B

,

设a 与b — a 的夹角为0, 贝U cos

1

|AID |2- 16|—A B |2-1—A D —A B = 2, 将 AB = 8, AD = 5 代入解得 ^A B —AD = 22. 答案：22

15.如图，在 Rt △ ABC 中，AB = AC , BC = 4, O 为BC 的中点，以 O 为圆心,

--- D -- D

径的半圆与BC 交于点D , P 为半圆上任意一点，则 BP —D 的最小值为 _______________

答案：2— 5

16.在厶ABC 中，AB 丄AC, AB =十,AC = t, P 是厶ABC 所在平面内一点， 若k ? = 4—AB I -

?|

--- D

+ AC ，则△ PBC 面积的最小值为

______________ . | —C |

解析：由于AB 丄AC ，故以AB , AC 所在直线分别为 x 轴，y 轴，建立平面直角坐标系

-- D ----- D

(图略)，则B t ，0，C(0, t),因为入？ = LAB

，所以点P 坐标为(4,1)，直线BC 的

7

|A B | |A C |

2

|4t + 1 — t|

PBC 的面积为

J X |4昇J = *

4t +1 — 1 A 2,当且仅当t = 2时取等旦

号

.

1为半

解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(— 2,0), A(0,2),

D(1,0),设 P(x , y),故El ? = (x + 2, y), Nt D = (1, — 2)，所以 I B ?— =x — 2y + 2.令x — 2y + 2 = t ,根据直线的几何意义可知，当直线 x — 2y + 2= t 与

半圆相切时，t 取得最小值，由点到直线的距离公式可得 |2—

t|

5 =1, t = 2— 5,即 -- D -- D

BP AD 的最小值是

,BC =亠宁，所以△

方呈为你+

y —1

=。，所以点P

到直线BC

的距离为d

=小1 所以入h 6lP =

平面向量数量积

第三节平面向量数量积及应用重点： 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系． 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 难点： 1.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 2 .会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 教学过程： 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos__θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝a·a＝x21＋y21.学-科网 (3)夹角：cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y21·x22＋y22 . (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)?|x1x2＋y1y2|≤ x21＋y21·x22＋y22. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

平面向量的数量积及运算律测试题

平面向量的数量积及运算律同步练习 一、选择题： 1. 若｜a ｜＝｜b ｜=１，a ⊥b ，且2a ＋３b 与k a -4b 也互相垂直，则k 的值为( ) A.－６ B.６ C.３ D.－３ 2．若AP 31 = PB ，AB λ=BP ，则λ的值为 ( ) A ．41 B ．43 C ．34 D ．3 4- 3．设a 和b 的长度均为6，夹角为 120?，则-|a b|等于 （ ） A ．36 B ．12 C ．6 D ．36 4．若| |＝2sin15°，| |＝4cos375°、 ， 夹角为30°，则 · 为（ ） A ． 2 3 B ．3 C ．32 D ．21 5．若|a |=|b |=|a －b |,则b 与a +b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别（ ） A ．0,24 B ．24,4 C ．16，0 D ．4，0 7．已知、均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|+ 3| = （ ） A ．7 B ．10 C ．13 D ．4 8．已知,,为非零的平面向量. 甲：则乙,:,=?=? （ ） A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲既非乙的充分条件也非乙的必要条件 9．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b) ⊥a ，(b －2a ) ⊥b ，则a 与b 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．6 5π 10．若向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,则向量a 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 11．设)4 1,cos 1(),cos 1,2(-+=--=θθb a ，且,2 0,||π θ<

专题二 培优点9 平面向量数量积的最值问题

培优点9 平面向量数量积的最值问题 平面向量部分，数量积是最重要的概念，求解平面向量数量积的最值、范围问题要深刻理解数量积的意义，从不同角度对数量积进行转化． 例 (1)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC → |AC →|，则PB →·PC → 的最大值等于( ) A ．13 B ．15 C ．19 D ．21 答案 A 解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则B ????1t ，0，C (0，t )，AB →＝????1t ，0，AC →＝(0，t )， AP →＝AB →|AB →|＋4AC →| AC →|＝t ????1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)，∴P (1,4)， PB →·PC →＝????1t －1，－4· (－1，t －4) ＝17－????1t ＋4t ≤17－21t ·4t ＝13， 当且仅当t ＝12 时等号成立． ∴PB →·PC →的最大值等于13. (2)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3 的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为________． 答案 5－213 解析 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，

设P (2cos θ，2sin θ)????π3≤θ≤2π3， 则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)， 其中0

(完整版)平面向量的数量积练习题.doc

平面向量的数量积 一．选择题 1. 已知 a ( 2,3), b ( 1, 1),则 a ?b 等于 （ ） A.1 B.-1 C.5 D.-5 r r r r r r r r 2．向量 a ， b 满足 a 1, b 4, 且 a b 2 ,则 a 与 b 的夹角为（ ） A ． B ． 4 C ． D ． 2 6 3 r r 60 0 r r ） 3．已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 a 3b （ A ． 7 B ． 10 C ． 13 D ． 4 4 ．若平面向量 与向量 的夹角是 ，且 ，则 ( ) A ． B ． C ． D ． 5. 下面 4 个有关向量的数量积的关系式① 0 ?0 =0 ②（ a ?b ） ?c = a ?（ b ? c ） ③ a ?b = b ?a ④ | a ?b | ≦ a ?b ⑤ | a ?b | | a | ?| b | 其中正确的是（ ） A ． ① ② B 。 ① ③ C 。③ ④ D 。③ ⑤ 6. 已知 | a |=8 ， e 为单位向量，当它们的夹角为 时， a 在 e 方向上的投影为（ ） 3 A ． 4 3B.4 C.4 2 3 D.8+ 2 7. 设 a 、 b 是夹角为 的单位向量，则 2a b 和 3a 2b 的夹角为（ ） A ． B ． C ． D ． 8. 已知 a =(2,3) , b =( 4 ,7) , 则 a 在 b 上的投影值为（ ） A 、 13 B 、 13 C 、 65 D 、 65 5 5 9. 已知 a (1,2), b ( 3,2), ka b 与 a 3b 垂直时 k 值为 （ ） A 、 17 B 、 18 C 、 19 D 、 20

高中数学必修四之知识讲解_平面向量的数量积_基础

平面向量的数量积 【学习目标】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算； 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 【要点梳理】 要点一： 平面向量的数量积 1. 平面向量数量积(内积)的定义 已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角是θ，则数量cos a b θ叫a 与b 的数量积，记作a b ?，即有 ()cos 0a b a b θθπ?=≤≤.并规定0与任何向量的数量积为0. 2.一向量在另一向量方向上的投影：cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影. 要点诠释： 1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 (1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos θ的符号所决定. (2)两个向量的数量积称为内积，写成a b ?；今后要学到两个向量的外积a b ?，而a b ?是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. (3)在实数中，若0a ≠，且0a b ?=，则0b =；但是在数量积中，若0a ≠，且0a b ?=，不能推出 0b =.因为其中cos θ有可能为0. 2. 投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ=0?时投影为b ；当θ=180?时投影为b -. 要点二：平面向量数量积的几何意义 数量积a b ?表示a 的长度||a 与b 在a 方向上的投影cos b θ的乘积，这是a b ?的几何意义．图（1）（2）（3）所示分别是两向量,a b 夹角为锐角、钝角、直角时向量b 在向量a 方向上的投影的情形，其中 1||cos OB b θ=，它的意义是，向量b 在向量a 方向上的投影是向量1OB 的数量，即11|| a OB OB a =? ． 事实上，当θ为锐角时，由于cos 0θ>，所以10OB >；当θ为钝角时，由于cos 0θ<，所以10OB <； 当090θ=时，由于cos 0θ=，所以10OB =，此时O 与1B 重合；当0 0θ=时，由于cos 1θ=，所以

平面向量的数量积及其应用

06—平面向量的数量积及其应用 突破点(一) 平面向量的数量积 1．向量的夹角；2平面向量数量积的运算 1.第一步，根据共线、垂直等条件计算出这两个向量的坐标，求解过程要注意方程思想的应用； 第二步，根据数量积的坐标公式进行运算即可． 2．根据定义计算数量积的两种思路 (1)若两个向量共起点，则两向量的夹角直接可得，根据定义即可求得数量积；若两向量的起点不同，需要通过平移使它们的起点重合，然后再计算． (2)根据图形之间的关系，用长度和相互之间的夹角都已知的向量分别表示出要求数量积的两个向量，然后再根据平面向量数量积的定义和性质进行计算求解． [典例] (1)设向量a ＝(－1,2)，b ＝(m,1)，如果向量a ＋2b 与2a －b 平行，那么a 与b 的数量积等于( ) A ．－72 B ．－12 (2)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE ＝23BC ，DF ＝16 DC ，则AE ·AF 的值为________． [解析] (1)a ＋2b ＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a －b ＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由题 意得3(－1＋2m )－4(－2－m )＝0，则m ＝－12，所以b ＝? ????－12，1，所以a ·b ＝－1×? ?? ??－12＋2×1＝52. (2)取BA ，BC 为一组基底，则AE ＝BE －BA ＝23 BC －BA ，AF ＝AB ＋BC ＋CF ＝－BA ＋BC ＋512BA ＝－712BA ＋BC ，∴AE ·AF ＝? ????23 BC －BA ·? ????－712 BA ＋BC ＝712 |BA |2－2518BA ·BC ＋23|BC |2＝712×4－2518×2×1×12＋23＝2918. [答案] (1)D (2)2918 [易错提醒] (1)解决涉及几何图形的向量数量积运算问题时，一定要注意向量的夹角与已知平面角的关系是相等还是互补．(2)两向量a ，b 的数量积a ·b 与代数中a ，b 的乘积写法不同，不能漏掉其中的“·”． 突破点(二) 平面向量数量积的应用 的关系 平面向量的垂直问题 1.第一，计算出这两个向量的坐标； 第二，根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可． 2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值 根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数． [例1] (1)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB ＝2a ，AC ＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( ) A ．|b |＝1 B ．a ⊥b C ．a ·b ＝1 D ．(4a ＋b )⊥BC (2)已知向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 [解析] (1)在△ABC 中，由BC ＝AC －AB ＝2a ＋b －2a ＝b ，得|b |＝2，A 错误．又AB ＝2a 且|AB |＝2，所以|a |＝1，所以a ·b ＝|a ||b |cos 120°＝－1，B ，C 错误．所以(4a ＋b )·BC ＝(4a ＋b )·b ＝4a ·b ＋|b |2 ＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a ＋b )⊥BC ，D 正确，故选D. (2)∵(2a －3b )⊥c ，∴(2a －3b )·c ＝0.∵a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，∴2a －3b ＝(2k －3，－ 6)．

平面向量数量积及运算基础练习题

精品 平面向量的数量积及运算练习题 一、选择题： 1、下列各式中正确的是 （ ） （1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a · (λb), （2）|a ·b|= | a |·| b |, （3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a ·c+b ·c A ．（1）（3） B ．（2）（4） C ．（1）（4） D ．以上都不对. 2、在ΔABC 中,若(CA CB)(CA CB)0+?-=,则ΔABC 为 （ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．无法确定 3、若| a |=| b |=| a －b |, 则b 与a+b 的夹角为 （ ） A ．30° B ．60° C ．150° D ．120° 4、已知| a |=1,| b |=2 ,且(a －b)和a 垂直,则a 与b 的夹角为 （ ） A ．60° B ．30° C ．135° D ．45° 5、若2AB BC AB 0?+=,则ΔABC 为 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．等腰直角三角形 6、设| a |= 4, | b |= 3, 夹角为60°, 则| a+b |等于 （ ） A ．37 B ．13 C ．37 D ．13 7、己知 | a |= 1,| b |= 2, a 与的夹角为60, c =3a+b, d =λa －b ,若c ⊥d,则实数λ的值为（ ） A ． 74 B ．75 C ．47 D ．5 7 8、设 a,b,c 是平面内任意的非零向量且相互不共线,则其中真命题是 （ ） ① (a ·b)·c －(c ·a)·b=0 ② | a | －| b |< | a －b | ③ (b ·c)·a －(c ·a)·b 不与c 垂直 ④ (3a+2b) ·(3a －2b)= 9| a | 2－4| b | 2 A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②④ 9.（陕西）已知非零向量AB 与AC 满足0AB AC BC AB AC ?? ?+?= ???且12AB AC AB AC ?=, 则ABC △为 .A 等边三角形 .B 直角三角形 .C 等腰非等边三角形 .D 三边均不相等的三角形 10(全国Ⅰ文）点O 是ABC △所在平面内的一点，满足OA OB OB OC OC OA ?=?=?，则点O 是ABC △的 .A 三个内角的角平分线的交点 .B 三条边的垂直平分线的交点 .C 三条中线的交点 .D 三条高的交点 11．已知向量a ＝(x ＋z,3)，b ＝(2，y －z )，且a ⊥b ，若x ，y 满足不等式|x |＋|y |≤1，则z 的取值范围为( )． A ．[－2,2] B ．[－2,3] C ．[－3,2] D ．[－3,3]

平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析 耿素兰山西平定二中(045200 ) 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、 基本运算和性质为主， 解决此类问题 要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 uuu uuu 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O uuv uur uuu uuu 为圆心的圆弧 AB 上变动.若OC xOA yOB,其中 y 的最大值是 C 点变化的变量，建立目标 x y 与此变量的函数关系是解决最值问题的 常用途径。 ，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则A(1,0)，B(丄，一3)， 2 2 C(cos ,sin ) uuur 取最小值时，求 OQ. uuu uuiu uuu 分析：因为点 Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于 OQ 坐标的一个 uju uuu uur 关系式，再根据QAgQB 取最小值求OQ. 分析：寻求刻画 解:设 AOC umr Q OC uuu xOA uuu yOB, (cos ,sin x 上 2 、3y 2 cos sin 因此，当 cos .3sin 2sin( 評 3) 。 3时，x y 取最大值 uuu UJU 例 2、已知 OA (1,7), OB 2。 uur (5,1),OP (2,1),点Q 为射线OP 上的一个动点，当QAgQB uuu uuu 即 1 心)y( ^,

uur 解：设OQ uuu xOP uuu (2x,x),(x 0)，则 QA uuu (1 2x,7 x),QB (5 2x,1 x)

求解平面向量数量积的三种方法

龙源期刊网 https://www.wendangku.net/doc/9311621013.html, 求解平面向量数量积的三种方法 作者：谢伟杰 来源：《读写算》2018年第34期 摘要梅州市高一数学质量抽测题第11题是一道关于平面向量数量积的考题，这道考题引起了笔者的注意。此题很好地考察了学生对数量积概念的理解，也能很好地考察学生对求解平面向量数量积的方法是否掌握到位。 关键词平面向量数量积；解法 中图分类号：O241.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018） 34-0211-01 做题中的“少运算”是建立在对基本概念理解的基础之上的，学生只有对相关的概念、性质有深刻的理解，而不是纯粹的记公式或套方法，才能在做题中真正实现“多思考，少运算”。教师在教学中，要帮助学生去认识相关知识点的核心及实质，而不是认为学生只要能记住相关的公式或会套用某类方法解题就行，否则，在具体的问题情境中，学生极容易在公式与计算中迷失，从而找不到解决问题的有效途径。 一、原题呈现 已知是边长为的等边三角形，点，分别是边，的中点，连接并延长到点，使得，则 的值为（） 二、解法展示与对比 解法一：如图1， 解法二：如图2，以点为坐标原点，为轴正方向，建立如图所示的直角坐标系。则，， 解法三：如图3，点在上的投影为点，作點在上的投影，则在是的投影为，由向量数量积的含义可知，易得与相似，所以，又，所以，即 . 故 作为选择题，解法三有明显的优点，即我们只需将在上的投影作出，对图中线段的长度作大致估计，就可迅速判断只有选项才是合理的。笔者认为这样并不是投机取巧，恰恰相 反，在考场上会做这样的思考，并采取此策略的学生，说明该生对数量积的概念有更深刻的理解，并有更好的思维能力。这与高考命题中所提倡的“多思考，少运算”的理念也是一致的。

平面向量的数量积运算

考点71 平面向量的数量积运算 1．（13天津T12）在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ?∠=, E 为CD 的中点. 若1AC BE = , 则AB 的长为 . 【测量目标】向量的线性运算，平面向量的数量积运算. 【难易程度】简单 【参考答案】 12 【试题解析】用,AB AD 表示AC 与BE ，然后进行向量的数量积运算. 由已知得AC =AD AB + ，12 BE BC CE AD AB =+=- ， ∴AC BE =221122 AD AB AD AB AD AB -+- 211122AB AD AB =+- 2111cos 60122AB AD AB ? =+-= ，（步骤1） ∴1 2 AB = .（步骤2） jxq59 2.（13新课标Ⅰ T13）已知两个单位向量,a b 的夹角为60 ，c ＝t a ＋(1－t )b 若b c ＝0，则t ＝__________. 【测量目标】平面向量的数量积. 【难易程度】容易 【参考答案】2t = 【试题解析】∵c ＝t a ＋(1－t )b ，∴b c ＝t a b ＋(1－t )|b |2.（步骤1） 又∵|a |＝|b |＝1，且a 与b 夹角为60 ，b ⊥c ，∴0＝t |a | |b |cos 60 ＋(1－t )， 0＝ 1 2 t ＋1－t .∴t ＝2.（步骤2） 3.（13江西T12）设1e ,2e 为单位向量.且1e ,2e 的夹角为π 3 ,若123=+a e e ,12=b e ,则向量a 在b 方向上的射影为 ___________. 【测量目标】平面向量的数量积运算. 【难易程度】容易 【参考答案】 52

平面向量中的最值问题浅析

平面向量中的最值问题浅析 耿素兰 山西平定二中（045200） 平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主，解决此类问题要注意正确运用相关知识，合理转化。 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+ 其中 ,x y R ∈,则x y +的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y + 与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，1(, )22 B -，(cos ,sin ) C θθ。 ,OC xOA yOB =+ 1(cos ,sin )(1,0)(2x y θθ∴=+-即 cos 2sin y x θθ?-=?? = cos 2sin()6x y πθθθ∴+=+=+2(0)3 π θ≤≤。 因此，当3 π θ= 时，x y +取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP === 点Q 为射线OP 上的一个动点，当 QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个 关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥ ，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图 1

2 2 (12)(52)(7)(1) 520125(2)8 QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m ?≤?求最值 例3、ABC ?三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。 分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 解：,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==- 2 2 2 ()() () BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+- 当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。 三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+ 求解 例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-== 求a 的最大值与最小值。 分析：注意到()a a b b =-+ ，考虑用向量模的性质求解。 解：由条件知1b = 。 设a b c -= ，则a =b c + ， c b c b c b -≤+≤+ ， ∴13a ≤≤ 。 所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。 四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ? （B ）1214PP PP ? （C ）1215PP PP ? （D ）1216PP PP ? 分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i = 的几何意义为121i PP PP 等于12PP 的长度与 图 2 图3

平面向量的数量积习题(精品绝对好)

平面向量的数量积(20131119)作业 姓名 成绩 A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题5分，共20分) 1． (2012·辽宁)已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(2，x )，若a ·b ＝1，则x 等于 ( ) A ．－1 B ．－1 2 C.12 D ．1 2． (2012·重庆)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |等于( ) A. 5 B.10 C ．2 5 D ．10 3． 已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.???? 79，73 B.????－73，－79 C.????73，79 D.????－79 ，－7 3 4． 在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝10，则AB →·AC → 等于 ( ) A ．－3 2 B ．－23 C.23 D.3 2 二、填空题(每小题5分，共15分) 5．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________. 6．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 7． 已知a ＝(2，－1)，b ＝(λ，3)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________． 三、解答题(共22分) 8． (10分)已知a ＝(1,2)，b ＝(－2，n ) (n >1)，a 与b 的夹角是45°. (1)求b ； (2)若c 与b 同向，且a 与c －a 垂直，求c . 9． (12分)设两个向量e 1、e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1、e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的 夹角为钝角，求实数t 的取值范围．

平面向量数量积运算专题(附标准答案)

平面向量数量积运算 题型一 平面向量数量积的基本运算 例1 (1)(2014·天津)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF .若AE →·AF →＝1，则λ的值为________. (2)已知圆O 的半径为1，P A ，PB 为该圆的两条切线，A ，B 为切点，那么P A →·PB →的最小值为( ) A.－4＋ 2 B.－3＋ 2 C.－4＋2 2 D.－3＋2 2 变式训练1 (2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________. 题型二 利用平面向量数量积求两向量夹角 例2 (1)(2015·重庆)若非零向量a ，b 满足|a |＝22 3 |b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b 的夹角为( ) A.π4 B.π2 C.3π4 D.π (2)若平面向量a 与平面向量b 的夹角等于π 3，|a |＝2，|b |＝3，则2a －b 与a ＋2b 的夹角的余弦 值等于( )

A.126 B.－126 C.112 D.－1 12 变式训练2 (2014·课标全国Ⅰ)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与 AC → 的夹角为________. 题型三 利用数量积求向量的模 例3 (1)已知平面向量a 和b ，|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 的夹角为120°，则|2a ＋b |等于( ) A.2 B.4 C.2 5 D.6 (2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB → |的最小值为________. 变式训练3 (2015·浙江)已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝1 2.若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2 ＝1，则|b |＝________.

平面向量的数量积的求法

平面向量的数量积的求法 一、知识储备 1．向量的夹角 已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角 的范围是：[0，π]． 2．平面向量的数量积 3.平面向量数量积的性质 设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ?a ·b ＝0. (3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |.特别地，a ·a ＝|a |2或|a |(4)cos θ＝a ·b |a ||b | .(5)|a ·b |≤|a ||b |. 4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ；(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)；(3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到： (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ?x 1x 2＋y 1y 2＝0. [方法与技巧] 1．计算数量积的五种方法：定义法、坐标运算、数量积的几何意义、基向量法、极化公式法，解题要灵活选用恰当的方法，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用． 2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．

平面向量数量积运算的解题方法与策略

平面向量数量积运算的解题方法与策略 平面向量数量积运算一直是高考热点内容，它在处理线段长度、垂直等问题的方式方法 上尤为有突出的表现,而正确理解数量积的定义和几何意义是求解的关键，同时平面向量数 量积的运算结果是实数而不是向量,因此要注意数量积运算和实数运算律的差异,本文仅举 数例谈谈求解向量数量积运算的方法和策略。 1.利用数量积运算公式求解 在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛, 即(a ＋b )２＝a ２＋２a ·b ＋b ２，（a －b ）２＝a ２－２a ·b ＋b ２ 上述两公式以及(a ＋b )(a －b )＝a ２－b ２这一类似于实数平方差的公式在解题过程中 可以直接应用. 例1 已知｜a ｜＝２，｜b ｜＝５，a ·b ＝－３，求｜a ＋b ｜，｜a －b ｜. 解析：∵｜a ＋b ｜２＝（a ＋b ）２＝a ２＋２a ·b ＋b ２＝２２＋２×（－３）＋５２＝２３ ∴｜a ＋b ｜＝23，∵（｜a －b ｜）２＝（a －b ）２＝a ２－2a ·b ＋b ２＝2２－2×（－3） ×５２＝35， ∴｜a －b ｜＝35． 例2 已知｜a ｜＝8，｜b ｜＝10，｜a ＋b ｜＝16，求a 与b 的夹角θ(精确到１°). 解析：∵（｜a ＋b ｜）２＝（a ＋b ）２＝a ２＋2a ·b ＋b ２＝｜a ｜２＋2｜a ｜·｜b ｜ｃｏ ｓθ＋｜b ｜ ２ ∴１６２＝８２＋２×８×１０ｃｏｓθ＋１０２， ∴ｃｏｓθ＝40 23，∴θ≈５５° 例3 已知a ＝（3，4），b ＝（4，3），求x ,y 的值使(xa +yb )⊥a ，且｜xa +yb ｜=1. 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想. 解：由a ＝（3，4），b ＝（4，3），有xa +yb =(3x +4y ,4x +3y ) 又（xa +yb ）⊥a ?(xa +yb )·a ＝０?3(3x +4y )+4(4x +3y )=0 即25x +24y ＝０ ① 又｜xa +yb ｜=1?｜xa +yb ｜２＝１?（３x +4y ）２＋（４x +3y ）２＝１ 整理得：25x ２＋48xy +25y ２＝１即x (25x +24y )+24xy +25y ２＝１ ② 由①②有24xy +25y ２＝１ ③ 将①变形代入③可得：y =±7 5 再代回①得：??? ????=-=???????-==75 3524753524y x y x 和

13平面向量数量积最值问题的求解策略教师版

平面向量数量积最值问题的求解策略 近几年,平面向量数量积的最值问题频频出现在各地的高考卷上,成为高考中的一个热点问题,现以几例具体阐述此类问题的解决途径. 一、利用函数思想方法求解 例1、给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120o .如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上变动.若,OC xOA yOB =+其中 ,x y R ∈,则x y +的最大值是________. 分析：寻求刻画C 点变化的变量，建立目标x y + 与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。 解：设AOC θ∠=，以点O 为原点，OA 为x 轴建立直角坐标系，则(1,0)A ，1(2B -，(cos ,sin )C θθ。 ,OC xOA yOB =+ 1(cos ,sin )(1,0)(,22 x y θθ∴=+-即 cos 2sin y x θθ?-=?? = cos 2sin()6x y πθθθ∴+==+2(0)3 π θ≤≤。 因此，当3 πθ= 时，x y +取最大值2。 例2、已知(1,7),(5,1),(2,1),OA OB OP ===点Q 为射线OP 上的一个动点，当 QA QB 取最小值时，求.OQ 分析：因为点Q 在射线OP 上，向量OQ 与OP 同向，故可以得到关于OQ 坐标的一个关系式，再根据QA QB 取最小值求.OQ 解：设(2,),(0)OQ xOP x x x ==≥，则(12,7),(52,1)QA x x QB x x =--=-- 图 1

2 2 (12)(52)(7)(1)520125(2)8 QA QB x x x x x x x ∴=--+--=-+=-- ∴当2x =时，QA QB 取最小值-8，此时(4,2).OQ = 二、利用向量的数量积n m n m ?≤?求最值 例3、ABC ?三边长为a 、b 、c ，以A 为圆心,r 为半径作圆,PQ 为直径，试判断P 、Q 在什么位置时，BP CQ 有最大值。 分析：用已知向量表示未知向量，然后用数量积的性质求解。 解： ,AB BP AP AC CQ AQ AP +=+==- 2 22 ()()()BP CQ AP AB AP AC r AB AC AP AB AC r AB AC AP CB AB AC AP CB r ∴=---=-++-=-++≤+- 当且仅当AP 与CB 同向时，BP CQ 有最大值。 三、利用向量模的性质a b a b a b -≤+≤+求解 例4：已知2,(cos ,sin ),a b b θθ-==求a 的最大值与最小值。 分析：注意到()a a b b =-+，考虑用向量模的性质求解。 解：由条件知1b =。 设a b c -=，则a =b c +， c b c b c b -≤+≤+， ∴13a ≤≤。 所以当b 与c 同向时，a 取最大值3；当b 与c 反向时，a 取最小值1。 四、利用几何意义，数形结合求解 例5、如图，已知正六边形123456PP P P P P ，下列向量的数量积中最大的是 （A ）1213PP PP ? （B ）1214PP PP ? （C ）1215PP PP ? （D ）1216PP PP ? 分析：平面向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =的几何意义为121 i PP PP 等于1 2PP 的长度与 图 2 图3

高中数学——平面向量数量积的教学设计

《2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义》 教学设计 2.4.1《平面向量数量积的物理背景及其含义》教学设计 一、教材分析 1.地位与作用 本节课是人教版普通高中课程标准实验教科书A版必修4第二章《平面向量》的第4节内容。本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。向量数量积运算是继向量的线性运算后的一种新的重要的运算，它有明显的物理意义、几何意义。向量数量积是代数、几何与三角的结合点，应用广泛，很好地体现了数形结合的数学思想。

2.学情分析 学生在学习本节内容之前，已经学习了平面向量的线性运算，理解并掌握了向量数乘运算及其几何意义。学生会产生这样的疑问——平面向量之间可以进行向量与向量的乘法运算吗？而学生此时已学习了功等物理知识，能够解决简单的物理问题，并熟知了实数的运算体系，这为学生学习数量积做了很好的铺垫。所以本节课我从学生所熟悉的“功”引入“数量积”，通过学生的自主探究，小组合作探究，教师点评等环节完成本节知识的学习。 二、教学目标 1.知识与技能 ⑴理解平面向量数量积和投影的概念及数量积的几何意义； ⑵掌握平面向量数量积的性质与运算律； ⑶会用平面向量数量积表示向量的模与向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； ⑷以数学知识的教学为载体，为学生创造学习数学英语知识的环境，进而了解数学专业术语的英语表示，能用英语进行数学方面的交流，培养学生的跨文化意识与双思维，提高英语理解能力。 2.过程与方法 本节课以物体受力做功为背景引入向量数量积的概念，让学生明白数量积的物理背景，学习“投影”后，通过设置例1让学生练习计算数量积与投影，并引导学生观察完成的表格发现数量积与投影的关系，从而得出数量积的几何意义，随后通过学生的自主学习与小组活动，探究数量积的性质与运算律。设置分层例题与分层练习，夯实基础，提升能力。采用双语教学，不仅达到学习数学知识的目的，同时还提高了学生的英语理解能力，激发了学生学习的兴趣。 3.情感态度与价值观 通过平面向量数量积的学习，加深学生对数学知识之间联系的认识，体会数形结合思想、类比思想，体会数学知识抽象性、概括性和应用性，促使学生形成学数学、用数学的思维和意识。课堂中不断培养学生自主学习、主动探索，勤于观察、思考，善于总结的态度，并提高参与意识和合作精神。 三、教学重难点 重点：平面向量数量积的概念，用平面向量数量积表示向量的模及向量的夹角,判断向量的

平面向量中的最值问题0

平面向量中的最值问题 1．求向量的模的最值或取值范围． 2．求平面向量的夹角的最值或取值范围． 3．求平面向量数量积的最值或取值范围． 【复习指导】 本讲复习时，应结合平面向量数量积的定义及其几何意义，将有关的量表示出来，代数或几何方法求解最值与取值范围． 基础梳理 求最值的方法小结 ㈠．几何方法 ⑴．平面几何方法： 两点之间线段最短、点到直线的距离最短、与圆有关的最值 ⑵．解析几何方法 利用截距、斜率、两点之间的距离等几何意义求最值； 先求轨迹，后求最值 ㈡．代数方法 ⑴．函数方法： 首先分析要求的量的变化和什么因素有关，从而选定变量，建立函数关系式，利用函数有关知识求解最值问题，另外有些问题需结合导数知识求解； ⑵．利用基本不等式求解； ⑶．利用三角函数求解． 双基自测 ㈠．求模的最值或范围

1．平几法求最值 【例1】已知向量OA 和OB 的夹角为3 π ，||4,||1OA OB ==，若点M 在直线OB 上，则||OA OM - 的最小值为________．练习1．⑴．(11全国大纲)设向量,,a b c 满足1||||1,,,602 a b a b a c b c ==?=-<-->=，则||c 的 最大值等于________． 【思路点拨】本题按照题目要求构造出如右图所示的几何图形，然后分析观察不难得到当线段AC 为直径时，||c 最大． 解：如图，构造,,,120AB a AD b AC c BAD ===∠=， 60BCD ∠=，所以,,,A B C D 四点共圆，分析可知当线段AC 为 直径时，||c 最大，最大值为2． ⑵．已知向量,||1a e e ≠=，对任意t R ∈，恒有||||a te a e -≥-，则下列结论正确的是________． ①a e ⊥ ②．()a a e ⊥- ③．()e a e ⊥- ④．()()a e a e +⊥- 解法一：由||||a te a e -≥-知，2 2 ||||a te a e -≥-，即222||2||21a ta e t a a e -?+≥-?+，化简得， 22(1)1t a e t -?≤-，当1t ≤时，即212a e t ?≥+≤恒成立，故1a e ?≥；当1t >时，即212a e t ?≤+>，故1a e ?≤．故1a e ?=，故③成立． 解法二：22(1)1t a e t -?≤-，即2 2210t a et a e -?+?-≥任意t R ∈恒成立，故24()a e ?=?- 840a e ?+≤，即1a e ?=，故③成立． 解法三：由几何意义可知，在所有的向量a te -中，以a e -的模最小，故()e a e ⊥-． 【例2】(08浙江)已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足：()()0a c b c -?-=，则||c 的最大值是___________． 解法一：由()()0a c b c -?-=可得，2||()||||cos c a b c a b c θ=+?=+(其中θ为a b +与c 的夹 角)，即||()||cos c a b c a b θθ=+?=+≤,故||c 的最大值是2． 解法二：作四边形OABC ，设,,OA a OB b OC c ===，则由已知得，90,90AOB ACB ∠=∠=，