概率与统计习题及答案
第5章 统计估值
习题5.1（A ）
5. 设在总体),(~2σμN X 抽取一个容量为16的样本，这里2,σμ均未知，求：
)664.1(22
≤σ
S P .
解 因为
)
1(~)1(2
2
2
--n S
n χσ
,此处n=16, 所以
)664.1(22
≤σ
S P )96.24(22
15≤=σ
S P )
96.24(122
15>-=σ
S P
查自由度为15的2χ分布表得, 05.0)96.24(2
2
15=>σ
S P ，所以
)664.1(22
≤σ
S P =0.95.
习题5.1（B ）
10．设)2(,,,21>n X X X n 为取自总体N(0,1)的简单随机样本，X 为样本均值，记
.,,2,1,n i X X Y i i =-=
求：（1） i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =； （2）1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov 解 （1）∑∑≠=-
-
=-
=-=i
k k
i n
k k i i i X n
X n X n
X X X Y 1
)11(1
1
n
n n
n n
X D n
X D n
Y D i
k k i i )1(1)11()(1)()11()(2
2
2
2
-=
-+
-
=+
-=∑
≠
（2）∑≠-
-
+-
=-+=+n
k k
n n n X
n
X n X n
X X X Y Y ,11112)21()21(2
∑≠+-+-=+n
k k
n n X
D n
X D n X D n
Y Y D ,12
2
12
1)(2)()21()()21()(
n
n n
n n
)
2(2)2(2)21(22
2
-=
-+
-
=
)]()()([21),(111n n n Y D Y D Y Y D Y Y Cov --+=
n
n n n n 1
])1(242[21-=---=
习题5.2（A ）
2. 设321,,X X X 是取自总体X 的样本, 试证下列统计量都是总体均值μ的无偏估计量, 并在方差存在时指出哪一个估计最有效? 哪一个估计的有效性最差？
(1) 3
6
12
3
112
1
1?X X
X +
+
=
μ
(2) 331231131
2?X X X ++=μ
(3) 3
3
22
6
116
13?X
X
X +
+
=
μ
解 易见，321?,?,?μμμ都为总体均值μ的无偏估计量. 而 DX DX DX DX DX DX
DX
D 18
736
19
14
13
36
12
9
11
4
11?=++=++=μ
DX DX DX DX DX
DX
DX D 3
19191913
9
12
9
11
9
12?=
+
+
=
+
+
=μ
DX DX DX DX DX
DX
DX
D 2
19
436
136
13
9
42
36
11
36
13?=++=++
=μ
因为DX DX DX 2
118
7
31<
<, 故2?μ
最有效. 5. 从均值为μ, 方差为2σ的正态总体中分别抽取容量为1n 和2n 的两组独立样本,
2
1,X
X 分别为两组样本的样本均值. 试证: 对任何常数)1(,=+b a b a ,
2
1X b X a Y +=都是μ
的无偏估计, 并确定b a ,的值使21X b X a Y
+=在此形式的估计量中最有效.
解 令.)(21μ==+=+=+=EX EX b a bEX aEX X bE X aE EY 所以对任何满足
1=+b a 的常数b a ,, 21X b X a Y +=都是μ的无偏估计.
DX n b
n a
DX n b
DX n a
X
D b X D a DY )(
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
12+
=+
=
+=
令 f (a ,b )=
2
2
1
2
n b
n a
+
, 求f (a ,b )在a +b =1下的条件极值,可知当
a =
2
11n n n +, b =2
12n n n +
时, f (a ,b )最小, 从而Y 最有效.
习题5.2（B ）
1．设总体X 的概率密度为()()121,,,,2
x
n f x e
x X X X -=
-∞
<<+∞ 为取自总体
X 的简单随机样本，其样本方差为2
S ，求)(2
S E .
解 02
1
)(|
|==
?+∞
∞
--dx xe
X E x ，2)3(2
1
)(0
2|
|22
=Γ==
=
?
?+∞
-+∞
∞
--dx e
x dx e
x X E x
x
2))(()()()(2
2
2
=-==X E X E X D S E
4. 设n X X X ,,,21 是总体),(2σμN 的简单随机样本，2
,S X 分别为样本均值和样本方差，记2
12
S X T n
-
=.（1） 证明T 是2
μ的无偏估计量；（2） 当μ = 0,σ =1时，
求D （T ）.
证 (1) 2
2
12
2
12
12
)()()(μσ
μ
σ
=-
+=
-
=n
n
n
S E X E T E ；
(2) 因为 独立与2
22
22
),1(~)1(),1(~S X n S
n X
n --χχ，又
n n D n n E 2)]([,)]([2
2
==χχ，
所以 .]})1[()({)
1(22
)
1(12
12
2
--=
-+
=
n n n n
S n D X n D T D ）（
5. 设)2(,,,21>n X X X n 为取自总体N(0,2σ)的简单随机样本，X 为样本均值，记.,,2,1,n i X X Y i i =-=
（1）计算概率}0{1≤+n Y Y P ； （2）若21)(n Y Y c +是2σ的无偏估计量，求常数c. 解 ∑
≠-
-
+-
=-+=+n
k k
n
n n X
n
X
n
X n
X X X Y Y ,11112)21()21(2
2
,122
12
1)2(2)()2()()2
1()()21()(σn
n X D n X D n X D n
Y Y D n k k n n -=--
+-
=+∑≠
因0)(1=+n Y Y E ，故 ))
2(2,0(~2
1σn
n N Y Y n -+，2
12
1)
2(2)()(σn
n Y Y D Y Y E n -=
+=+
因此
（1）2
1}0{1=≤+n Y Y P
(2) 令2
12
12
)
2(2)()(σ
σ
n
n c
Y Y cD Y Y cE n n -=+=+=，可得.)
2(2-=
n n c
7. 设总体X 的概率分布
其中未知参数)1,0(∈θ，以i N 表示取自总体X 的简单随机样本（样本容量为n ）中
等于i 的个数（3,2,1=i ）．试求常数i a （3,2,1=i ），使∑==3
1
i i i
N a
T 为θ的无偏估计量，
并求T 的方差．
解 由于),(~),,(~),1,(~2
3221θθθθn B N n B N n B N --，所以令
2
32213
1
)()1()()(θθθθθn a n a n a N
E a T E i i
i
+-+-==
=∑= 比较多项式系数可得 n
a a a 1321,0===，故 )()(11321N n N N T n n -=+=
，于是
n
n
n T D θθθθ)1(1)1()(2
-=
-=
.
（或由),(~32θn B N N +，亦知n
n
n T D θθθθ)1(1)1()(2
-=-=）
习题5.3（A ）
4. 已知某种材料的抗压强度),(~2σμN X , 现随机地抽取10个试件进行抗压试验, 测得数据如下: 482, 493, 457, 471, 510, 446, 435, 418, 394, 469
① 求平均抗压强度μ的点估计值;
② 求平均抗压强度μ的95%的置信区间;
③ 若已知σ=30, 求平均抗压强度μ的95%的置信区间; ④ 求2σ的点估计值;
⑤ 求2σ的95%的置信区间; ⑥ 求σ的点估计值;
⑦ 求σ的95%的置信区间.
解 (1)5.457?==X u
0 (2) 因为)1(~--=n t n
S
u X Z , 故参数μ的置信度为0.95的置信区间是:
))1(),1(2
2
-+
--
n t n
S X n t n
S X αα（, 经计算50.457=X ,S=35.276, n =10,
查自由度为9的分位数表得, 262.2)9(025.0=t ,故
))1(),1((2
2
-+
--
n t n
S X n t n
S X αα
=)262.210
22.3550.457,262.210
22.3550.457(?+
?-
=（432.30, 482.70）
(3) 若已知σ=30, 则平均抗压强度μ的95%的置信区间为:
],[2
2
αασσZ n
X Z n
X +
-
=]96.110
3050.457,96.110
3050.457[?+
?-
=[438.90，476.09]
(4) 2?σ
=S 2=1240.28 (5) 因为
)
1(~)1(2
2
2
--n S
n χσ
,所以2σ的95%的置信区间为:
])
1()1(,
)
1()1([
2
12
2
2
2
2
-----n S
n n S
n ααχχ,
其中
28.12402
=S ,023.19)9()1(2025.022
==-χχαn ,70.2)9()1(2
975.0212
==--χχαn
所以置信区间为 ])
1()1(,
)
1()1([
2
12
2
2
2
2
-----n S
n n S
n ααχχ=]70
.228
.12409,023.1928.12409[
??
=（586.79, 4134.27）
(6) 由(4) =σ
?S=28.1240=35.276 (7)由(5) σ的95%的置信区间为:
])
1()1(,
)
1()1([
2
12
2
2
2
2
-----n S
n n S
n ααχχ
=]2982.64,2237.24[]27.4134,79.586[=
2. 假设 0.50 , 1.25 , 0.80 , 2.00 是取自总体X 的样本值, 已知X
Y ln =服从正态分布
)1,(~μN X .
① 求X 的数学期望)(X E (并记)(X E =b ); ② 求μ的置信度为95%的置信区间;
③ 利用上述结果求b 的置信度为95%的置信区间. 解 ① 因为X
Y
ln =服从正态分布)1,(μN , 从而
?
∞
+∞
--=
==dy e e e E X E b y y
Y
2
)
(2
1`21)()(μπ
?
∞
+∞
-++-?=
dy e
e
y μ
μπ
2
1
`)]
1([2
1
`2
21=2
1
+u e
②因为X
Y
ln =,故当00.2,80.0,25.1,50.04321====x x x x 时,相应的
6931.0,2231.0,2231.0)25.1ln(,6931.0)50.0ln(4321=-===-==y y y y
由于12
=σ
已知, 故μ的置信度为95%的置信区间为：
）（025.0025.04
,4
z Y z Y σσ+
-
易求得,0=Y 查表得025.0z =1.96, 所以
）（025.0025.04
,4
z Y z Y σσ+
-
=(-0.98, 0.98)
③因为μ的置信度为95%的置信区间为 (-0.98, 0.98), 而b =2
1
+u e ,由指数函数的严格单
调性，有
}48.15.048.0{}98.098.0{5.90<+<-=<<-=μμP P
}{48
.15
.048
.0e
e
e
P <<=+-μ
所以b 的置信度为95%的置信区间为
）（48
.148
.0,e
e -
习题5.4（A ）
3. 已知总体X 服从瑞利分布，其密度函数
??
??
?≤>=-
,00,
)(22
x x e x x f x θθ
未知参数θ>0, n X X X ,,,21 为取自该总体的样本. 求θ的矩估计量和最大似然估计量,
并问这两个估计量是不是无偏估计量?
解 先求θ的矩估计量，因为
?
+∞
∞
-=
dx x xf EX )(=?∞
+-
22
dx e
x
x
x
θ
θ
?
∞
+-=
22
dx e
x x x
θ
θ=2?
∞+-0
22
2
2dx e
x
x
θ
θ
（令
u x
=θ
22
）
?
∞
+-
=0
22
2
22dx e
x x
θ
θ
=
?
+∞
-0
2du e u u
θ
)23(2Γ=
θ=
)2
1(21
2Γθ
=πθ
2
12=
2
πθ
故EX =
2
πθ，2
)(2
EX π
θ=
，因此θ的矩估计量为=1?θ2
2X
π
.
再求θ的最大似然估计量，当0,,,21>n x x x 时，
),,,;(21n x x x L θ=
=
∏
=n
i i x f 1
);(θ∑=-
=∏n
i i
x n
n
i i
e
x
1
2
211
θ
θ
θ
θ2ln ln ln 1
21
∑∑==-
-=
n
i i
n
i i
x
n x
L
令
02ln 2
1
2=+
-
=∑=θ
θθ
n
i i
x
n
d L d
可得θ的最大似然估计量为 2?θ=
∑=n
i i
X
n
1
221
.
下面考察两个估计量的无偏性，因为
?
∞
+-
=
23
2
2
dx e
x
EX
x
θ
θ
?
∞
+-
=0
2
22
2222
θ
θ
θ
θ
x
d
e
x
x
（令
u x
=θ
22
）
?
+∞
-=0
2du ue
u
θ=)2(2Γθ=2θ
则
=1?θE 2
2
X E
π=])([2
2
X E X D +π=])([22
EX n DX +π=])()([22
2
2
EX n
EX EX +-π
])
)(1([22
2
n
EX n n
EX
-+
=π =
)14
(
-+n n π
θ
≠θ
故1?θ不是θ的无偏估计量.
2?θE =
∑
=n
i i
EX
n
1
221=
∑=n
i EX
n
1
2
21
=
2
2
1EX
=θ
所以2?θ是θ的无偏估计量.
4. 设总体X 的对数函数X
ln
服从正态分布),(2σμN , n X X X ,,,21 为取自总体X 的
样本, 求 2,σμ及)(X E 的最大似然估计量.
解 设Y =ln X ~N (u ,σ2
)，u 的最大似然估计Y Y
n
u
n
i i
∑===1
1?，故∑==n
i i X n
u
1
ln
1?为u
的最大似然估计. 且
21
2
1
2
)?(ln 1
)(1
?u
X n
Y Y n
n
i i n
i i
-=
-=
∑∑==σ
为σ2
的最大似然估计. 由于EX=2
2
1σ
+u e
，故EX 的最大似然估计为22
1??σ+u
e .
6. 设总体X 的分布函数
,1,
1,
0,11),(≤>?????
-=x x x
x F ββ 其中未知参数n X X X ,,,,121 >β为取自总体X 的简单随机样本，求：
（1） β的矩估计量；（2）β的最大似然估计量. 解 总体的概率密度函数
,1,
1,0,),(),()1(≤>?
?
?='=+-x x x x F x f x ββββ （1）1
)(1
-=
=
?
+∞
-ββββ
dx x
X E ，令1
-=
ββX ，即得矩估计1
?-=X X β
（2）似然函数为
??
???=>=+,0)
,,2,1(1)
()(1
21n i x x x x L i n n
βββ
当)
,,2,1(1n i x i
=>时，0)(>βL ，上式两端取对数，得
∑=+-=n
i i x n L 1
ln )1(ln )(ln βββ
令
0ln )(ln 1
=-
=
∑=n
i i x n
d L d β
β
β，得最大似然估计量 ∑==
n
i i
X n
1
ln
?β
习题5.4（B ）
1. 一地质学家为研究某湖滩地区的岩石成分，随机地自该地区取100个样品，每个样品有10块石子，记录了每个样品中属石灰石的石子数．假设这100次观测相互独立，求这地区石子中石灰石的比例p 的最大似然估计．该地质学家所得的数据如下：
解法1 任意10块石子中所含石灰石块数为随机变量X ，则),10(~p B X ，视X 为
总体，p 为待估参数.由p X E 10)(=可得矩估计量10?X p
=. 根据所给数据， 99.4100/)19736211(=?++?+?+?= x
因此499.010?==x p
. 解法2 根据“用频率近似概率”的思想，此地区任意一块石子是石灰石的概率为p ，而在抽取的1000块石子中，共有499块石灰石，故有499.01000499?==p
. 2. 设总体X 的概率密度
?
?
?≤>=-,
0,0,0,
)(2x x xe x f x λλ
其中参数)0(>λλ未知，n X X X ,,,21 是取自总体X 的简单随机样本.求：（1）参数λ的矩估计量；（2）参数λ的最大似然估计量.
解（1）λ
λ
λ
λ
λλ2
)3(1
1
)(0
222
=
Γ=
====
=?
?
+∞
+∞
-=-dt e t dx e
x X E t
t
x x
令
令
X =λ2
，即得矩估计量 X
2?=
θ. （2）似然函数
??
???=>∑==-其他
,0),,2,1(0,)(1212n i x e x x x L i x n n n
i i
λλλ
当),,2,1(0n i x i =>时，该函数大于0，取对数有，
∑-+
===∑n
i i n
i i x x n L 1
1
ln ln 2)(ln λλλ，
令
02)(ln 1=∑-=
=n i i x n
d L d λ
λ
λ，解得最大似然估计X 2?=θ 4. 设总体X 的概率密度
(),
01,;1,12,0,x f x x θθθ<
=-≤
其他,
其中θ是未知参数()01θ<<，12n ,...,X X X 为取自总体X 的简单随机样本，记N 为样本值12,...,n x x x 中小于1的个数，求θ的矩估计和最大似然估计.
解 （1）θθθθ-=
-+
=
?=?
?
?
+∞
2
3)1(),(2
1
1
1
dx x dx x dx x f x EX
令
X =-θ23
，可得θ的矩估计为X -=2
3
?θ （2）似然函数N
n N L --=)
1()(θθθ，取对数，)1ln()(ln )(ln θθθ--+=N n N L ，
令 01)()(ln =---
=
θ
θ
θ
θN n N
d L d ，解得最大似然估计n
N
=θ?.
7. 设随机变量X 的分布函数
??
??
?≤>??? ??-
=，
，
，αx αx x αβαx F β
0,1),,(
其中参数1,0>>βα. 设n X X X ,,,21 为取自总体X 的简单随机样本,
(1) 当1=α时, 求未知参数β的矩估计量; (2) 当1=α时, 求未知参数β的最大似然估计量; (3) 当2=β时, 求未知参数α的最大似然估计量. 分析：要先由分布函数导出密度函数. 解 当1=α时, X 的概率密度为
?????≤>=+，
，
，
101,
),(1
x x x ββx f β
(1) 由于 ?
+∞
+-=
?
=
1
1
,1
ββββdx x
x EX
令
X ββ=-1
，则β的矩估计量为 1
?-=X X β
.
（2) 对于样本值1,,,21>n x x x , 似然函数为
∏
=+=
=
n
i n n
i x x x x f L 1
1
21)
();()(ββ
ββ
取对数得 ∑=+-=n
i i x ββn βL 1
ln )1(ln )(ln
令
0ln
)]
([ln 1
=-
=
∑=n
i i x β
n β
d βL d ，
解得∑==
n
i i
x n
β1
ln
，于是β的最大似然估计为 ∑==n
i i
X n
1
ln
?β． (3) 当2=β时, X 的概率密度为
?????≤>=，
，
，
ααααx x x x f 0,
2),(3
2
对于样本值n x x x ,,,21 , 似然函数为
∏
==>=
=
n
i i n n
n i n i x x x x x f L 1
3
212),,2,1()
(2);()( αα
αβ，
显然α越大，)(αL 越大,，即知α的最大似然估计量为
},,,m i n {?21n X X X α =.
8．设总体X 的概率分布
其中)0(2
1<<θθ是未知参数，利用总体的如下样本值 3，1，3，0，3，1，2，3
求θ的矩估计值和最大似然估计值．
解 θθθθθ43)21(32)1(2)(2-=-++-=X E ，令θ43-=X ，得θ的矩估计
)3(4
1?X -=
θ，利用所给数据算得2
=X ，则θ的矩估计值为
4
1；
设样本中数值,2,31,0出现的次数分别为3210,,,n n n n ，则似然函数为
3
12
0113
2
1
)
21()1(2)
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(222
2
n n
n n n n
n n n n L θθθ
θθθθθ--=-??-?=++
0)21ln()1ln(ln )22(2
ln ln 312011
=-+-++++=θθθn n n n n L n
令
02121)
22(ln 31201=--
--
++=
θ
θ
θ
θ
n n n n n d L d
将4,1,2,13210====n n n n 代入上式，得
0218126=--
--
θ
θ
θ
0314122
=+-?θθ
解此方程得12
137±
=
θ
，由于2
112
712
137>>+，则θ的最大似然估计值取为12
137?-=θ.
9. 设总体X 的概率密度
?
?
?<≥=--,
,0,,
2);()(2θθθθx x e x f x
而n X X X ,,,21 是取自该总体X 的简单随机样本，求θ的最大似然估计量．
解 ),,2,1,(}2e x p {
2)(21n i x e x L i n n
i i =≥∑?-==θθθ
显然该函数是关于θ的严格增函数，而θ还必须满足n i x i ,,2,1, =≥θ，因此θ的最大可能取值),,,min(21n X X X 使得似然函数达最大值，因此),,,min(?21n X X X =θ.
概率论与数理统计复习题带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击 中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可 表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障 的概率依次为，，，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二 次的概率为（）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为 （ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可 表示为（AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)= （）；
9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机被击中的概率为（ ）； 10. 若事件A 与事件B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A -)= （ ） 11. 三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的 概率依次为，，，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（ ）。 12. 若事件 A ? B 且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )=（ ）; 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容，且P （A ）=, P(B) = , 则 P(B A )= （ ） 14. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B =（ S ） 15. Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 （ ABC ABC ABC ++ ） 16. 若()0.4P A =，()0.2P B =，()P AB =则(|)P AB A B =（ ） 17. Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB =（ S ） 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次就能打开保险箱的概 率为（ 1 10000 ）。 二、选择填空题
概率统计习题及答案
1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是（ D ）。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X ＝3的概率为（ C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击，设射击的命中率为0.2,独立射击100次，则至少击中9次的概率为（ B ） A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ，则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N （0，1），常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。（ C ） A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ，则其概率密度为（ A ） A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本， 下列哪一项是μ的无偏估计（ A ） A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为（ C ） （A ）0 （B ）3/8 （C ）5/8 （D ）－3/8
《概率统计》试题及答案
西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 2101 1811515515 k X p -- 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件是次品,乙 企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取 1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 ,03()2,342 0, kx x x f x x ≤
概率统计试题库及答案
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
概率统计试题和答案
题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投
概率论与数理统计题库及答案
概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）．
概率统计习题含答案
作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .
概率统计试题及答案
<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分
概率统计考试试卷及答案
概率统计考试试卷及答案 一、 填空题（每小题4分，共20分） 1. 设)(~λP X ,且)()(21===X P X P ,则_________)(==3X P . 2. 设随机变量X 的分布函数)(,)(+∞<<-∞+= -x e A x F x 1,则___=A 3. 已知,)|(,)|(,)(21 31 41 ===B A P A B P A P 则_____)(=?B A P 4. 已知随机变量),,(~10U X 则随机变量X Y ln 2-=的密度函数___)(=y f Y 5. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2σ==DY DX 则____)(=-Y X D 42 二、 计算下列各题(每小题8分，共40分） 1. 设随机变量X 的概率密度为?? ???≤>=-000 x x e x f x ,,)( 已知Y=2X,求E(Y), D(Y). 2. 两封信随机地投入标号为I,II,III,IV 的四个邮筒，求第二个邮筒恰好投入1封信的概率。 3. 设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 在(0,1)上服从均匀分布，Y 的概率密度为 ?? ? ??≤>=-000212y y e y f y Y ,,)( 求含有a 的二次方程022=++Y Xa a 有实根的概率。 4. 假设91X X ,, 是来自总体 ) ,(~220N X 的简单随机样本，求系数a,b,c 使 298762543221)()()(X X X X c X X X b X X a Q ++++++++=服从2χ分布，并求其自由 度。 5. 某车间生产滚珠，从长期实践知道，滚珠直径X 服从正态分布。从某天产品里随机抽取6个，测得直径为（单位：毫米）14.6, 15.1, 14.9, 14.8, 15.2, 15.1 若总体方差0602.=σ, 求总体均值μ的置信区间(9610502.,./==ααz )
概率统计练习题答案
概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、A 、B 任意二事件，则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案：D 2、设袋中有6个球，其中有2个红球，4个白球，随机地等可能地作无放回抽样，连 续抽两次，则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球，第二次抽得红球， 答案：B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ
A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案：D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立，且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =，又 12,,, ,n c k k k ，为1n +个任意常数，则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案：C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案：D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数)，那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案：B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本， 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ -
概率统计期末考试试题附答案
中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）.
概率统计习题及答案
1、 已知P （A ）=0.7. P （B ）=0?8,则下列判断正确的是（ D ）o A. A.B 互不相容 B. A.B 相互独立 C.Ac B D. A.B 相容 2、 将一颗塞子抛掷两次，用X 表示两次点数之和，则X=3的概率为（C ） A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、 某人进行射击，设射击的命中率为02独立射击100次，则至少击中9次的概率为（B ） 100 9 C ?工 C ；(x )°?2'°?98 叫' D. 1 - 工(7爲020?98叫' (-10 1-0 4、设 E(X,)= 9-3/(/= 1,2,3),则 E(3X 1+-X 2+-X 3) = ( )B 2 3 A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本来自N （0, 1）,常数c 为以下何值时，统计Me- t 1 —— ■ Jx + x + x 服从t 分布。（C ） A. 0 B. 1 C. 6、设则其概率密度为（A ） 7. X P X 2.X 3为总体的样本，下列哪一项是“的无偏估计（A ） A.-X, + —X. +-X. 5 10「2 C. -X.+-X.+ —X. 3 1 2 ■ 12 3 8、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数（2为（ C ） A.C ；；X )0.290.9891 KX) B ?工 Goo 020.98 "I D.-l c. D 詁+朴+朴 (x-vTJ)2 3Q D.
9、设随机变量X?N(4,25),X1、X2、X3-Xn是来自总体X的一个样本,则样本均值乂近 似的服从( B ) (A) N (4, 25) (B) N (4, 25/n) (C) N (0.1) (D) N (0, 25/n) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验，如果在显著水平a=0.05下，拒绝假设 H。：“ =，则在显著水平a=0.01下，(B ) A.必接受 B.可能接受，也可能拒绝 C.必拒绝 D.不接受，也不拒绝77。 二、填空题(每空1.5分，共15分) 1、 A.B.C为任意三个事件，则A, B, C至少有一个事件发生表示为：_AUBUC __________ : 2、甲乙两人各自去破译密码，设它们各自能破译的概率为0.8, 06,则密码能被破译的槪 率为 ____ 0.92 ___ : 3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx (Y> v x V +s)，贝ij A=_1/2 _____ , B=_1/3.14 _______ : 4、随机变量X 的分布律为P(X =x) = C(-)k, k =1,2,3, 则C=_27/13 ____________ ; 5、设X?b (n,p)o 若EX=4, DX=2.4,贝ij _______ 10 ____ , p= ____ 0.4 _____ 0 6、X为连续型随机变量, 1 , 0
概率论与数理统计试卷A答案
概率论与数理统计复习题 一、计算题： 1、有两个口袋，甲袋中盛有两个白球，一个黑球，乙袋中盛有一个白球，两个黑球。由甲袋任取一个球放入乙袋，再从乙袋中取出一个球，求取到白球的概率。 2、已知随机变量X 服从在区间(0,1)上的均匀分布，Y ＝2X +1，求Y 的概率密度函数。 3、已知二元离散型随机变量(X ,Y )的联合概率分布如下表所示： Y X 1 1 2 1 2 (1) 试求X 和Y 的边缘分布率 (2) 试求E (X ),E (Y ),D (X ),D (Y ),及X 与Y 的相关系数XY 4、设某种电子管的使用寿命服从正态分布。从中随机抽取15个进行检验，算出平均使用寿命为1950小时，样本标准差s 为300小时，以95%的置信概率估计整批电子管平均使用寿命的置信区间。 二、填空题 1. 已知P (A )=, P (B |A )=, 则P (A B )= __________ 2．.设随机变量),2(~2 σN X ，若3.0}40{=< 概率统计习题带答案 概率论与数理统计习题及题解沈志军盛子宁第一章概率论的基本概念1．设事件A,B及A?B的概率分别为p,q及r，试求P(AB),P(AB),P(AB)及P(AB) 2．若A,B,C相互独立，试证明：A,B,C 亦必相互独立。3．试验E为掷2颗骰子观察出现的点数。每种结果以(x1,x2)记之，其中x1,x2分别表示第一颗、第二颗骰子的点数。设事件A?{(x1,x2)|x1?x2?10}，事件B?{(x1,x2)|x1?x2}。试求P(B|A)和P(A|B) 4．某人有5把钥匙，但忘了开房门的是哪一把，只得逐把试开。问：恰好第三次打开房门锁的概率？三次内打开的概率？如果5把里有2把房门钥匙，则在三次内打开的概率又是多少？5．设有甲、乙两袋，甲袋中装有n个白 球、m个红球，乙袋中装有N个白球、M个红球。今从甲袋中任意取一个放入乙袋中，再从乙袋中任意取一个，问取到白球的概率是多少？6．在时间间隔5分钟内的任何时刻，两信号等可能地进入同一收音机，如果两信号进入收音机的间隔小于30秒，则收音机受到干扰。试求收音机不受干扰的概率？7．甲、乙两船欲停靠同一码头，它们在一昼夜内独立地到达码头的时间是等可能的，各自在码头上停留的时间依次是1小时和2小时。试求一船要等待空出码头的概率？8．某仓库同时装有甲、乙两种警报系统，每个系统单独使用的有效率分别为,,在甲系统失灵的条件下乙系统也失灵的概率为。试求下列事件的概率：仓库发生意外时能及时发出警报；乙系统失灵的条件下甲系统亦失灵？9．设A,B为两随机变量，试求解下列问题：已知P(A)?P(B)?1/3,P(A|B)?1/6。求：P(A|B)； 概率论与数理统计习题 一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） 1．设)4,5.1(~N X ，且8944.0)25.1(=Φ，9599.0)75.1(=Φ，则P{-2 《概率论与数理统计》试题（1） 一 、 判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理 （ ） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计 （ ） 二 、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来 （1）仅A 发生，B 、C 都不发生； （2）,,A B C 中至少有两个发生； （3）,,A B C 中不多于两个发生； （4）,,A B C 中恰有两个发生； （5）,,A B C 中至多有一个发生。 三、（15分） 把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分） 已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞， 求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ， 的样本，试求未知参数p 的极大似然估计. 概率论与数理统计练习题集及答案 一、选择题： 1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中至多击中目标一次”的正确表示为（ ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++ （C ）321321321A A A A A A A A A ++ （D ）321A A A 2．掷两颗均匀的骰子，它们出现的点数之和等于8的概率为（ ） （A ） 365 （B ）364 （C ）363 （D ）36 2 3．设随机事件A 与B 互不相容，且0)(,0)(>>B P A P ，则（ ） （A ）)(1)(B P A P -= （B ）)()()(B P A P AB P = （C ）1)(=+B A P （D ）1)(=AB P 4．随机变量X 的概率密度为???<≥=-00 )(2x x ce x f x ，则=EX （ ） （A ）21 （B ）1 （C ）2 （D ）4 1 5．下列各函数中可以作为某随机变量的分布函数的是（ ） （A ）+∞<<∞-+=x x x F ,11)(2 1 （B ）?????≤>+=0 001)(2 x x x x x F （C ）+∞<<∞-=-x e x F x ,)(3 （D ） +∞<<∞-+=x x x F ,arctan 21 43)(4π 6．已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度 )(y f Y 为（ ） （A ）)2(2y f X - （B ）)2(y f X - （C ）)2 (21y f X -- （D ）)2 (2 1y f X - 7．已知二维随机向量),(Y X 的分布及边缘分布如表 h g p f e d x c b a x p y y y X Y Y j X i 61818121321，且X 与Y 相互独立，则=h （ ） （A ）81 （B ）8 3 （C ）4 1 （D ）3 1 8．设随机变量]5,1[~U X ，随机变量)4,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，则=-)2(Y XY E （ ） （A ）3 （B ）6 （C ）10 （D ）12 9．设X 与Y 为任意二个随机变量，方差均存在且为正，若 EY EX EXY ?=，则下列结论不正确的是（ ） （A ）X 与Y 相互独立 （B ）X 与Y 不相关 （C ）0),cov(=Y X （D ）DY DX Y X D +=+)( 答案： 1. B 2. A 3.D 4.A 5.B 6. D 7. D 8. C 9. A 1．某人射击三次，以i A 表示事件“第i 次击中目标”，则事件“三次中恰好击中目标一次”的正确表示为（ C ） （A ）321A A A ++ （B ）323121A A A A A A ++ 任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷） } 分 分 108 求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 （2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 （4）P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 相互独立，设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f （1） 求X 的数学期望EX 和方差DX （2） 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解：10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=-概率统计习题带答案
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