2020届中考数学培优复习题：二次函数综合应用【含答案】

2020届中考数学培优复习题：二次函数综合应用

一、解答题（共有7道小题） 1.如图，直线1y x =+与x 轴教育点A ，切经过点B(4，m)。点C 在y 轴负半轴上，满足OA=OC ，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点，且与x 轴的另一交点为D 。 （1）球抛物线的解析式。

（2）在抛物线的对称轴上找一点P ，使PA+ PC 的和最小。求出点P 的坐标。

2.如图，已知二次函数22y

ax x c ＝

＋

＋

的图象经过点C (0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B (3，0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数22y

ax x c ＝

＋

＋

的表达式； (2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP ′C．若四边形POP ′C 为菱形，请求出此时点P 的坐标；

(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积．

y x C D B A O

x

y P B

A C

O

3.如图，已知二次函数2＝

＋

＋

y

ax bx c 的图象与x 轴相交于A (－1，0)，B (3，0)两点，与y 轴相交于点C (0，－3)．

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)若P 是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH ⊥x 轴于点H ，与BC 交于点M ，连接PC ．

①求线段PM 的最大值；

②当△PCM 是以PM 为一腰的等腰三角形时，求点P 的坐标．

4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数265＝－

＋

－

y

x x 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与

y 轴交于点C ，其顶点为P ，连接PA 、AC 、CP ，过点C 作y 轴的垂线l ．

(1)求点P ，C 的坐标；

(2)直线l 上是否存在点Q ，使△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

y

x

M C

A O

B P

H

y

D B

A P

5.如图，已知二次函数22y

ax x c ＝

＋

＋

的图象经过点C (0，3)，与x 轴分别交于点A ，点B (3，0)．点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点． (1)求二次函数22y

ax x c ＝

＋

＋

的表达式； (2)连接PO ，PC ，并把△POC 沿y 轴翻折，得到四边形POP ′C．若四边形POP ′C 为菱形，请求出此时点P 的坐标；

(3)当点P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ACPB 的最大面积．

6.如图，直线1y x =+与x 轴教育点A ，切经过点B(4，m)。点C 在y 轴负半轴上，满足OA=OC ，抛物线()20y ax bx c a =++≠经过A 、B 、C 三点，且与x 轴的另一交点为D 。 （1）球抛物线的解析式。

（2）在y 轴上是否存在一点G ，似的GB GD - 的值最大？若存在，求出点G 的左边；若

x

y P

B A C

O

不存在，请说明理由。

7.已知顶点为A 抛物线2

122y a x ?

?=-- ??

?经过点322B ??- ???，

，点522C ?? ???，． (1)求抛物线的解析式；

(2)如图1，直线AB 与x 轴相交于点M ，y 轴相交于点E ，抛物线与y 轴相交于点F ，在直线

AB 上有一点P ，若＝

OPM MAF ∠∠，求△POE 的面积；

(3)如图2，点Q 是折线A －B －C 上一点，过点Q 作QN ∥y 轴，过点E 作EN ∥x 轴，直线QN 与直线EN 相交于点N ，连接QE ，将△QEN 沿QE 翻折得到1QEN ，若点1N 落在x 轴上，请直接写出Q 点的坐标．

y x C D B A O

y

N1N

F E

M A

C B O Q

y

x

F E

M A C

B

O

P

参考答案

一、解答题（共有7道小题）

1.（1）解：把y=0代入1y x =+，得x=-1，所以A(-1，0) 由OA=OC 可得C(0，-1)

将B(4，m)代入1y x =+可得m=5，所以B(4，5)

所以，将A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入()20y ax bx c a =++≠可得

0516411a b c a b c =-+??=+-??=-?，解得12121

a b c ?=??

?

=-?

?

=-???

，进而，211122y x x =-- （2）2

211119

1=22228

y x x x ??=---- ???

所以，函数的对称轴为直线12x =，点A(-1，0)关于直线1

2

x =的对称点为A ’(2，0)。A ’C 与直线1

2

x =

的交点即为点P 。 设A ’C 所在直线解析式为y kx b =+，进而可得1

12

y x =- 当12x =

时13124

y x =-=- 所以，点P 的坐标为13,24??

-

???

2.解：(1)将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得

960

3a c c ++=??

=?

， 解得13a c =-??=?

，

二次函数的解析是为223y

x x ＝

－

＋

＋

；

(2)若四边形POP ′C 为菱形，则点P 在线段CO 的垂直平分线上， 如图1，连接PP ′，则PE ⊥CO ，垂足为E ，

∵C (0，3)， ∴E (0，

3

2

)， ∴点P 的纵坐标32

， 当y ＝

32时，即2

3232

x x =－

＋

＋

， 解得1210x +=

，2210

x -=不合题意，舍)， ∴点P 的坐标为(210

2-，32

)；

(3)如图2，

P 在抛物线上，设P (m ，－m 2＋2m ＋3)，

设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ， 将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得

x

y 图2

Q B

A

C

O

P

F

330

3k b +=??

=?

， 解得1

3

k b =-??

=?．

直线BC 的解析为y ＝－x ＋3， 设点Q 的坐标为(m ，－m ＋3)，

PQ ＝－m 2＋2m ＋3－(－m ＋3)＝－m 2＋3m ．

当y ＝0时，－x 2

＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3，

OA ＝1，

AB ＝3－(－1)＝4，

ABC

PCQ

PBQ

ABPC S S

S

S

四边形＝

＋

＋

＝

12AB ?OC ＋12PQ ?OF ＋1

2PQ ?FB ＝12×4×3＋12

(－m 2

＋3m )×3 ＝3375

228

m ?? ?

??

2

－

－

＋

， 当m ＝

3

2时，四边形ABPC 的面积最大． 当m ＝32时，－m 2

＋2m ＋3＝154，即P 点的坐标为(32，154

)．

当点P 的坐标为(

32，154

)时，四边形ACPB 的最大面积值为758．

3.解：(1)将A ，B ，C 代入函数解析式，得

09303a b c a b c c -+=??

++=??=-?

， 解得123a b c =??

=-??=-?

，

这个二次函数的表达式y ＝x 2

－2x －3； (2)设BC 的解析式为y ＝kx ＋b ，

将B ，C 的坐标代入函数解析式，得

30

3k b b +=??

=-?， 解得13k b =??=-?

，

BC 的解析式为y ＝x －3，

设M (n ，n －3)，P (n ，n 2

－2n －3)，

PM ＝(n －3)－(n 2－2n －3)＝－n 2＋3n ＝－(n －

32)2＋9

4

， 当n ＝

32时，PM 最大＝9

4

； ②当PM ＝PC 时，(－n 2

＋3n )2

＝n 2

＋(n 2

－2n －3＋3)2

， 解得n 1＝n 2＝0(不符合题意，舍)，n 3＝3，

n 2－2n －3＝－0， P (3，0)．

当PM ＝MC 时，(－n 2

＋3n )2

＝n 2

＋(n －3＋3)2

，

解得n 1＝0(不符合题意，舍)，n 2＝32，n 3＝32(不符合题意，舍)，

n 2－2n －3＝2－2， P (32，2－2)；

综上所述：P (322－2)．

4.解：(1)∵y ＝－x 2

＋6x －5＝－(x －3)2

＋4， ∴顶点P (3，4)， 令x ＝0得到y ＝－5， ∴C (0．－5)．

(2)令y ＝0，x 2

－6x ＋5＝0，解得x ＝1或5， ∴A (1，0)，B (5，0)，

设直线PC 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有534b k b =-??+=?

，

解得3

5

k b =??

=-?，

∴直线PC 的解析式为y ＝3x －5，设直线交x 轴于D ，则D (

5

3

，0)， 设直线PQ 交x 轴于E ，当BE ＝2AD 时，△PBQ 的面积等于△PAC 的面积的2倍，

∵AD ＝

23， ∴BE ＝43，

∴E (113，0)或E ′(19

3

，0)，

则直线PE 的解析式为y ＝－6x ＋22， ∴Q (

9

2

，－5)， 直线PE ′的解析式为y ＝－65x ＋385

， ∴Q ′(

21

2

，－5)， 综上所述，满足条件的点Q (

92，－5)，Q ′(212

，－5)． 5.解：(1)将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得

960

3

a c c ++=??

=?， 解得1

3

a c =-??

=?，

二次函数的解析是为223y

x x ＝－

＋

＋

；

(2)若四边形POP ′C 为菱形，则点P 在线段CO 的垂直平分线上， 如图1，连接PP ′，则PE ⊥CO ，垂足为E ， ∵C (0，3)， ∴E (0，

3

2

)， ∴点P 的纵坐标

32

， 当y ＝32时，即2

3232

x x =－

＋

＋

，

解得1210x +=

，2210

x -=不合题意，舍)， ∴点P 的坐标为210

-，32

)； y

x

E'

E Q'

Q D B

A l C

P

O

x

y P 图1

P

'

E B A C

O

(3)如图2，

P 在抛物线上，设P (m ，－m 2＋2m ＋3)，

设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b ， 将点B 和点C 的坐标代入函数解析式，得

330

3

k b +=??

=?， 解得1

3k b =-??

=?

．

直线BC 的解析为y ＝－x ＋3， 设点Q 的坐标为(m ，－m ＋3)，

PQ ＝－m 2＋2m ＋3－(－m ＋3)＝－m 2＋3m ．

当y ＝0时，－x 2

＋2x ＋3＝0， 解得x 1＝－1，x 2＝3，

OA ＝1，

AB ＝3－(－1)＝4，

ABC

PCQ

PBQ

ABPC S S

S

S

四边形＝

＋

＋

＝

12AB ?OC ＋12PQ ?OF ＋1

2PQ ?FB ＝12×4×3＋12

(－m 2

＋3m )×3 ＝3375

228

m ?? ?

??

2

－

－

＋

， 当m ＝

3

2时，四边形ABPC 的面积最大． 当m ＝32时，－m 2

＋2m ＋3＝154，即P 点的坐标为(32，154

)．

当点P 的坐标为(

32，154

)时，四边形ACPB 的最大面积值为75

8．

6.（1）解：把y=0代入1y x =+，得x=-1，所以A(-1，0) 由OA=OC 可得C(0，-1)

将B(4，m)代入1y x =+可得m=5，所以B(4，5)

所以，将A(-1，0)，B(4，5)，C(0，-1)代入()20y ax bx c a =++≠可得

x

y P 图2

Q

B A C

O

P F

0516411a b c a b c =-+??=+-??=-?，解得12121

a b c ?=??

?

=-?

?

=-???

，进而，211122y x x =-- （2）连接BD 并延长，交y 轴于点G ，则点G 即为所求。

设BD 所在直线解析式为y kx b =+，代入B(4，5)，D(2，0)进而可得5

52

y x =-。 当x 时5

552

y x =

-=- 所以，存在这样的点G(0，-5)

7.解：(1)把点322B ??- ???，

代入2

122y a x ?

?=-- ??

?， 解得：a ＝1，

∴抛物线的解析式为：2

122y x ?

?=-- ???；

(2)由2

122y x ?

?=-- ??

?知A (12，－2)，

设直线AB 解析式为：y ＝kx ＋b ，代入点A ，B 的坐标，

得：122322

k b k b ?

-=+????=-+??， 解得：2

1

k b =-??

=-?，

∴直线AB 的解析式为：y ＝－2x －1，

易求E (0，1)，704F ??- ???，

，102M ??

- ???

，， 若∠OPM ＝∠MAF ， ∴OP ∥AF ， ∴△OPE ∽△FAE ，

∴

14

33

4

＝

OP OE FA

FE ==， ∴2244175(0)(2)33243

OP FA =

=-+-+=， 设点P (t ，－2t －1)2

2

5

(21)3

t t +--= 解得1215t =-

，223

t =-， 由对称性知；当12

15

t =-时，也满足∠OPM ＝∠MAF ，

∴1215t =-，22

3

t =-都满足条件，

∵△POE 的面积＝1

2

?OE ?|t |，

∴△POE 的面积为115或1

3

．

(3)若点Q 在AB 上运动，如图1，

设Q (a ，－2a －1)，则NE ＝－a 、QN ＝－2a ， 由翻折知QN ′＝QN ＝－2a 、N ′E ＝NE ＝－a ， 由∠QN ′E ＝∠N ＝90°易知△QRN ′∽△N ′SE ，

∴

''''＝

QR RN QN N S

ES EN =，即2121＝

QR a a

ES a

---=-＝2， ∴QR ＝2、ES ＝21

2

a --，

由NE ＋ES ＝NS ＝QR 可得－a ＋21

2

a --＝2，

解得：a ＝－5

4，

∴Q (－54，3

2

)；

若点Q 在BC 上运动，且Q 在y 轴左侧，如图2， 设NE ＝a ，则N ′E ＝a ，

易知RN ′＝2、SN ′＝1、QN ′＝QN ＝3， ∴QR 5SE 5a ，

在Rt △SEN ′中，5a )2＋12＝a 2

，

图1

E

N

S

R

Q

N'

图2

E

Q

R

S

N

N'

解得：a＝35

5

，

∴Q(－35

5

，2)；

若点Q在BC上运动，且点Q在y轴右侧，如图3，设NE＝a，则N′E＝a，

易知RN′＝2、SN′＝1、QN′＝QN＝3，

∴QR5SE5a，

在Rt△SEN′中，5a)2＋12＝a2，

解得：a＝35

5

，

∴Q 35

，2)．

综上，点Q的坐标为(－5

4

，

3

2

)或(

35

，2)或

35

，2)．

图3

E

S

Q

R

N

N'