最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)

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最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)

1.如图，直线 l 和 l 的异侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。

2.如图，直线 l 和 l 的同侧两点 A、B，在直线 l 上求作一点 P，使 PA+PB 最小。

3.如图，点 P 是∠MON 内的一点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使△PAB 的周长最小

4.如图，点 P，Q 为∠MON 内的两点，分别在 OM，ON 上作点 A，B。使四边

形 PAQB 的周长最小。

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5.如图，点 A 是∠MON 外的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小

6. .如图，点 A 是∠MON 内的一点，在射线 OM 上作点 P，使 PA 与点 P 到射线 ON 的距离之和最小

二、常见题型

三角形问题

1．如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是 AC 上的一点，M 是 AD 上的一点，若 AE = 2，求 EM+EC 的最小值 A

解：∵点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B ，

∴连接 BE ，交 AD 于点 M ，则 ME+MD 最过点 B 作 BH ⊥AC 于点 H ， 则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，

BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3

在直角△BHE 中，BE = BH2 + HE2

=

(3 3)2 + 12 = 2 7

C

C

2．如图，在锐角△ABC 中，AB = 4 2，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，M 、N 分别是 AD 和 AB 上的动点，

则 BM+MN 的最小值是 ．

解：作点 B 关于 AD 的对称点 B'，

过点 B'作 B'E ⊥AB 于点 E ，交 AD 于点 F ， 则线段 B'E 的长就是 BM ＋ＭＮ的最小值 在等腰 Rt △AEB'中， 根据勾股定理得到，B'E = 4

3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在 AC 、AB 上各取一点 M 、N ，使 BM+MN 的值最小，则这个最小值

C

解：作 AB 关于 AC 的对称线段 AB'，

过点 B'作 B'N ⊥AB ，垂足为 N ，交 AC 于点 M ， 则 B'N = MB'+MN = MB+MN B'N 的长就是 MB+MN 的最小值

则∠B'AN = 2∠BAC= 60°，AB' = AB = 2， ∠ANB'= 90°，∠B' = 30°。 ∴AN = 1

在直角△AB'N 中，根据勾股定理 B'N =

3

A

A N

2

1．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 在 DC 上，丐 DM ＝2，N 是 AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 _。

即在直线 AC 上求一点 N ，使 DN+MN 最小

解：故作点 D 关于 AC 的对称点 B ，连接 B M ，

交 AC 于点 N 。则 DN ＋ＭＮ＝BN ＋ＭＮ＝ＢＭ M 线段ＢＭ的长就是 DN ＋ＭＮ的最小值 在直角△ＢＣＭ中，ＣＭ＝６，ＢＣ＝８， 则ＢＭ＝１０ 故 DN ＋ＭＮ的最小值是１０

2．如图所示，正方形 ABCD 的面积为 12，△ABE 是等边三角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P ，使 PD ＋PE 的和最小，则这个最小值为（

）

A ．2 3

B ．2 6

C ．3

D ． 6

D

解：即在 AC 上求一点 P ，使 PE+PD 的值最小

点 D 关于直线 AC 的对称点是点 B ，

连接 BE 交 AC 于点 P ，则 BE = PB+PE = PD+PE ，

BE 的长就是 PD+PE 的最小值 BE = AB = 2 3

3．在边长为 2 ㎝的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB 、PQ ，则△PBQ 周长的

最小值为 _㎝（结果不取近似值）. 解：在 AC 上求一点 P ，使 PB+PQ 的值最小

∵点 B 关于 AC 的对称点是 D 点，

∴连接 DQ ，与 AC 的交点 P 就是满足条件的点 DQ = PD+PQ = PB+PQ 故 DQ 的长就是 PB+PQ 的最小值 在直角△CDQ 中，CQ = 1 ，CD = 2 根据勾股定理，得，DQ =

5

A D

4．如图，四边形 ABCD 是正方形， AB = 10cm ，E 为边 BC 的中点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE 的最小值；

解：连接 AE ，交 BD 于点 P ，则 AE 就是 PE+PC 的最小值

在直角△ABE 中，求得 AE 的长为 5 5

17

17

1．如图，若四边形 ABCD 是矩形， AB = 10cm ，BC = 20cm ，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+ P D 的最小值；

C'

解：作点 C 关于 BD 的对称点 C'，过点 C'，

作 C'B ⊥BC ，交 BD 于点 P ，则 C'E 就是 PE+PC 的最小值 20

直角△BCD 中，CH =

直角△BCH 中，BH = 8 5

△BCC'的面积为：BH ×CH = 160 ∴ C'E ×BC = 2×160

则 CE' = 16

菱形问题

1．如图，若四边形 ABCD 是菱形， AB=10cm ，∠ABC=45°，E 为边 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一个动点，求 PC+PE 的最小值；

解：点 C 关于 BD 的对称点是点 A ， 过

点 A 作 AE ⊥BC ，

交 BD 于点 P ，则 AE 就是 PE+PC 的最小值 在等腰△EAB 中，求得 AE 的长为 5 2

C

梯形问题

1．已知直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点 P 在 BC 上秱动，则当 PA +PD 取最小值时，△

APD 中边 AP 上的高为（ ）

A 、 2

B 、

4

C 、

D 、3 17

17

解：作点 A 关于 BC 的对称点 A'，连接 A'D ，交 BC 于点 P

则 A'D = PA'+PD = PA+PD A'D 的长就是 PA+ P D 的最小值 S △APD = 4

在直角△ABP 中，AB = 4，BP = 1 根据勾股定理，得 AP = 17

C

4 ∴AP 上的高为：2× =

17

8 17 17 A'

圆的有关问题

︵

1．已知⊙O 的直径 CD 为 4，∠AOD 的度数为 60°，点 B 是AD 的中点，在直径 CD 上找一点 P ，使 BP+AP 的值最小，并

求 BP+AP 的最小值．

解：在直线 CD 上作一点 P ，使 PA+ P B 的值最小

作点 A 关于 CD 的对称点 A'，连接 A'B ， 交 CD 于点 P ，则 A'B 的长就是 PA+ P B 的最小值 连接 OA'，OB ，则∠A'OB=90°， D

OA' = OB = 4

根据勾股定理，A'B = 4 2

2．如图，MN 是半径为 1 的⊙O 的直径，点 A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为 AN 弧的中点，P 是直径 MN 上一动点，则

PA ＋PB 的最小值为(

)

A 2 2

B 2

C 1

D 2

解：MN 上求一点 P ，使 PA+PB 的值最小

作点 A 关于 MN 的对称点 A'，连接 A'B ，交 MN 于点 P ，

则点 P 就是所要作的点 A'B 的长就是 PA+PB 的最小值

N 连接 OA'、OB ，则△OA'B 是等腰直角三角形

∴ A'B = 2

A'

一次函数问题

20．一次函数 y=kx+b 的图象与 x 、y 轴分别交于点 A （2，0），B （0，4）． （1）求该函数的解析式；

（2）O 为坐标原点，设 OA 、AB 的中点分别为 C 、D ，P 为 OB 上一动点，求 PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时 P 点 坐标．

解：(1)由题意得：0 = 2x+b ，4 = b 解

得 k = -2，b= 4， ∴ y = -2x+4

(2)作点 C 关于 y 轴的对称点 C'，连接 C'D ，交 y 轴于点 P 则 C'D = C'P+PD = PC+PD C'D 就是 PC+PD 的最小值 连接 CD ，则 CD = 2，CC' = 2

在直角△C'CD 中，根据勾股定理 C'D = 2 2 求直线 C'D 的解析式，由 C'(-1，0)，D(1，2) ∴，有 0 = -k+b ，2 = k+b 解得 k = 1，b = 1， ∴ y = x+1

当 x = 0 时，y =1，则 P(0，

1)

3

b 二次函数问题

1．如图，在直角坐标系中，点 A 的坐标为（-2，0），连结 0A ，将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 120。，得到线段 OB. （1）求点 B 的坐标；

（2）求经过 A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；

（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点 C ，使△BOC 周长最小？若存在求出点 C 坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)B(1， 3 )

(2) y = 3 2 3 x 2 + x 3 3

(3)∵点 O 关于对称轴的对称点是点 A ，则连接 AB ， 交对称轴于点 C ，则△BOC 的周长最小

3 y = x2 +

3 2 3 3

x ，当 x=-1 时，y = 3 3

∴C(-1， )

3

2．如图，在直角坐标系中，A ，B ，C 的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过 A ，B ，C 三点的抛物线的对称轴为直 线 l ，D 为直线 l 上的一个动点， (1)求抛物线的解析式；

(2)求当 AD+CD 最小时点 D 的坐标； (3)以点 A 为圆心，以 AD 为半径作圆 A ；

解：（1）①证明：当 AD+CD 最小时，直线 BD 与圆 A 相切；

②写出直线 BD 与圆 A 相切时，点 D 的另一个坐标。

（2）连接 BC ，交直线 l 于点 D ，则 DA+DC = DB+DC = BC ， BC 的长就是 AD+DC 的最小值 BC ：y = -x + 3

则直线 BC 与直线 x = 1 的交点 D (1，2)，

3．抛物线 y = ax 2+bx+c(a ≠0)对称轴为 x = -1，与 x 轴交于 A 、B 两点，与 y 轴交于点 C ，其中 A(-3，0)、C(0，-2) （1）求这条抛物线的函数表达式．

（2）已知在对称轴上存在一点 P ，使得△PBC 的周长最小．请求出点 P 的坐标．

（3）若点 D 是线段 OC 上的一个动点（不与点 O 、点 C 重合）．过点 D 作 DE ∥PC 交 x 轴于点 E ，连接 PD 、PE ．设 CD 的长为 m ，△PDE 的面积为 S ．求 S 与 m 之间的函数关系式．

试说明 S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

??2a = 1 (1)由题意得

?

9a-3b+c = 0

2 解得 a = 3

4

，b = 3

，c = - 2

?

c = -2

∴抛物线的解析式为 y = 2 x 2 + 3 4

x - 2

3

(2)点 B 关于对称轴的对称点是点 A ，连接 AC 交对称轴于点 P ，则△PBC 的周长最小 设直线 AC 的解析式为 y = kx +b ，∵A(-3，0)，C(0，-2)，则

??0 = -3k + b

? ??-2 = b 2 解得 k = - 3

，b = -2

2 ∴直线 AC 的解析式为 y = -

3

4

x – 2

4 把 x = -1 代入得 y = - 3

，∴P(-1，- )

3 (3)S 存在最大值

OE ∵DE ∥PC ，∴ =

OA OD OE ，即 = OC 3

2-m

2 OE =

3 -

3 3

m ，AE = OA –OE = m

2 2 方法一，连接 OP

S = S 四边形 PDOE – S △OED = S △POE + S △POD – S △OED

1 = ×(3 -

2

3

4 m)× + 2 3 1 ×(2 - m)×1 - 2 1 ×(3 - 2

3

m)×(2 - m)

2

3 = - m 2 +

4 3 m = -

2 3 3

(m-1)2 + 4 4

3 ∴，当 m = 1 时，S 最大 =

4

方法二，

S = S △OAC – S △AEP – S △OED – S △PCD

3 3 = - m 2 + m = 3 - (m-1)2 + 3

4 2 4 4

最值问题之将军饮马

最值问题之将军饮马学生姓名：年级： 科目： . 任课教师：日期： 时段： .

将军饮马问题 模型1两定一动 例：如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一动点 则DN+MN的最小值为（） A:6 B:8 C:2 D:10 解析：第一步—找：找定点、动点、动点所在的直线 第二步—作：作定点关于动点所在直线的对称点（从对称性入手） 第三步—连：连接对称点与另一个点 第四步—求：求解（一般勾股定理求解） 模型2一定两动 例：如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5．若点M、N分别是线段AC，AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（） A．10 B．8 C．5 D．6 解析：第一步—找：找定点、动点、动点所在的直线 第二步—作：作定点关于动点所在直线的对称点（从对称性入手） 第三步—连：连接对称点与另一个点 第四步—造：构造垂直 第五步—求：求解（一般等积法或相似求解）

模型3求四边形的周长最小值 例：如图，当四边形PABN的周长最小时，a= ． 解析：本题要求四边形周长最小值。因为AB、PN是定长，问题转化为求PA+NB的最小值，跟模型1类似，所以我们需要平移确定交点，转换成模型1去讲解 模型4 一定点、两定直线 例：点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B，使△PAB的周长最小？ 解析：第一步：分别画点P关于直线OM、ON的对称点P1、P2 第二步：联结P1P2，交OM、ON于点A、点B 跟踪练习 1.如图：点P是∠AOB内一定点，点M、N分别在边OA、OB上运动，若∠AOB=45°，OP=32，则△PMN的周长的最小值为．

2020中考数学专题8——最值问题之将军饮马 -含答案

【模型解析】 2020 中考专题 8——最值问题之将军饮马 班级姓名 . 总结：以上四图为常见的轴对称类最短路程问题，最后都转化到：“两点之间，线段最短”解决。 特点：①动点在直线上；②起点，终点固定； 方法：作定点关于动点所在直线的对称点。 【例题分析】 例1.如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为(3，3 )，点C 的坐标为( 1 ，0)，点 2 P 为斜边OB 上的一动点，则PA＋PC 的最小值为． 例 2.如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE 上分别找一点M、N． (1)当△AMN 的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝； (2)求△AMN 的周长最小值． 例3.如图，正方形ABCD 的边长为 4，点E 在边BC 上且CE＝1，长为 2 的线段MN 在AC 上运动． (1)求四边形BMNE 周长最小值； (2)当四边形BMNE 的周长最小时，则tan∠MBC 的值为．

例4.在平面直角坐标系中，已知点A(一 2，0)，点B(0，4)，点E 在OB 上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO 沿x 轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标． 例5.如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P 为y 轴上的一个动点，M、N 为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN 的最小值为． 【巩固训练】 1.如图1 所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P，使PD＋PE 的和最小，则这个最小值为． 图1 图2 图3 图4 2.如图2，在菱形ABCD 中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P 分别是边AB、BC、AC 上的动点，PE＋PF 的最小值是． 3.如图3，在边长为2 的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE＋DE 的最小值为． 4.如图 4，钝角三角形ABC 的面积为 9，最长边AB＝6，BD 平分∠ABC，点M、N 分别是BD、BC 上的动点，则CM＋MN 的最小值为． 5.如图5，在△ABC 中，AM 平分∠BAC，点D、E 分别为AM、AB 上的动点， ＝6，则BD＋DE的最小值为 (1)若AC＝4，S △ABC (2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则BD＋DE 的最小值为． (3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，则BD＋DE 的最小值为．

最短距离问题将军饮马

第一讲 转化思想 一、线段和、差 “牧童放牛”问题是数学问题中的经典题目，主要转化成“两点之间线段最短问题”，在最近几年的中招试题及竞赛中，该问题经过不同的转化及演变，一 一浮现在我们的眼前，使我们目不暇接，顾此失彼。因此，我们有必要作一下总结，找出其中的规律，以做到屡战屡胜的效果。 原题：如图，一位小牧童，从A 地出发，赶着牛群到河边饮水，然后再到B 地，问怎样选择饮水的地点，才能使牛群所走的路程最短？ 延伸一：某供电部门准备在输电主干线L 上连接一个分支线路，分支点为M ，同时向新落成的A 、B 两个居民小区送电。已知两个居民小区A 、B 分别到主干线的距离AA1=2千米，BB1=1千米，且A1B1=4千米。 （1）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的两旁，如图（1）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？最短线路的长度是多少千米？ （2）如果居民小区A 、B 位于主干线L 的同旁，如图（2）所示，那么分支点M 在什么地方时总路线最短？此时分支点M 与A1的距离是多少千米？ ?A ?B ? A ? B ? B ? A ? A ’ ? B ’ ? A ’ ? B ’ L L

延伸二：如图，正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM=2，N 是AC 上一动点，则DN+MN 的最小值是多少？ 延伸三：如图，A 是半圆上一个三等分点，B 是弧AN 的中点，P 是直径MN 上一动点， ⊙O 的半径为1，求AP+BP 的最小值。 延伸四：如图所示，在边长为6的菱形ABCD 中,∠DAB=600，E 为AB 的中点，F 是AC 上一动点，则EF+BF 的最小值是多少？ 延伸五：在直角坐标系XOY 中x 轴上的动点M （x,0）到定点P （5，5），Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标x=? A B M N O P x A B C D M N A B C D E F ? ?

将军饮马系列---最值问题教案资料

将军饮马系列---最 值问题

1.两点之间，线段最短． 2.点到直线的距离，垂线段最短． 3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边． 4.A B 、分别为同一圆心O 半径不等的两个圆上的一点，R r AB R r -≤≤+ 当且仅当A B O 、、三点共线时能取等号． 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦． 有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题． 下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短． 若A B 、 在河流的异侧，直接连接AB ，AB 与l 的交点即为所求． 若A B 、 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解． “将军饮马”系列最值问题 知识回顾 知识讲解

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线 现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想 轴对称及其性质： 把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC ?是轴对称图形． 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 如下图，ABC ?关于直线l对称，l叫做对称轴．A和'A，B和'B，C和'C ?与''' A B C 是对称点．

13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计

13.4 将军饮马——最短路径问题教学设计 一、教学内容解析 为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。 基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析 新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对称、平移的作用，体会感悟转化的数学思想. 三、学生学情诊断 八年级的学生直接经验少，理解能力差，抽象思维水平较低，处于直觉经验型思维向逻辑思维的过渡阶段，辩证思维还只是处在萌芽和初始的状态上. 最短路径问题从本质上说是最值问题，作为初中生，在此前很少涉及最值问题，解决这方面问题的数学经验尚显不足，特别是面对具有实际背景的最值问题，更会感到陌生，无从下手.

将军饮马系列---最值问题

实用标准 “将军饮马”系列最值问题 1. 两点之间，线段最短. 2. 点到直线的距离，垂线段最短. 3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边. - 知识讲解 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦. 有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题: 饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法.问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索, 作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题. F 面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题. 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短. 若A 、B 在河流的异侧，直接连接 AB , AB 与I 的交点即为所求. 若A 、B 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解. 4. A B 分别为同一圆心0半径不等的两个圆上的一点， 如图，将军从A 出发到河边

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线 现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想 轴对称及其性质: 把一个图形沿某一条直线折叠， 如果直线两旁的部分能够互相重合， 那么这个图形就叫做轴对称图 形.这条直线就是它的对称轴. 这时我们就说这个图形关于这条直线 （或轴）对称.如等腰 ABC 是轴对 称图形. 把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 那么就是说这两个图形关于这条 直线对称，这 条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点. 如下图， ABC 与 A'B'C'关于直线I 对称，I 叫做对称轴.A 和A , B 和B' , C 和C'是对称点. 轴对称的两个图形有如下性质: ① 关于某条直线对称的两个图形是全等形; ② 对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线; ③ 两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上. 线段垂直平分线: 垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等; 到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. AP-aP^A B

将军饮马—最短路径最小值问题 教案

将军饮马—最短路径最值问题教学设计 一、教学内容解析 为了解决生产，经营中省时省力省钱而希望寻求最佳的解决方案而产生了最短路径问题. 初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”，“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”，为理论基础，有时还要借助轴对称、平移、旋转等变换进行研究. 本节内容是在学生学习平移、轴对称等变换的基础上对数学史中的一个经典问题——“将军饮马问题”为载体进行变式设计，开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称、平移将线段和最小问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.从中，让学生借助所学知识和生活经验独立思考或与他人合作，经历发现问题和提出问题，分析问题和解决、验证问题的全过程，感悟数学各部分内容之间，数学与实际生活之间及其他学科的联系，激发学生学习数学的兴趣，加深对所学数学内容的理解，它既是轴对称、平移知识运用的延续，又能培养学生自行探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。 基于以上分析，本节课的教学重点确定为： [教学重点] 利用轴对称、平移等变换将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题. 二、教学目标解析 新课程标准明确要求，数学学习不仅要让学生获得必要的数学知识、技能，还要包括在启迪思维、解决问题、情感与态度等方面得到发展.因此，确定教学目标如下：[教学目标] 能利用轴对称、平移解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟领会转化的数学思想，培养学生探究问题的兴趣和合作交流的意识，感受数学的实用性，体验自己探究出问题的成就感. [目标解析] 达线目标的标志是：学生能将实际问题中的“地点”、“河”、“草地”抽象为数学中的“点”、“线”，把最短路径问题抽象为数学中的线段和最小问题，能利用轴对称将处在直线同侧的两点，变为两点处在直线的异侧，能利用平移将两条线段拼接在一起，从而转化为“两点之间，线段最短”问题，能通过逻辑推理证明所求距离最短，在探索问题的过程中，体会轴对

中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)

中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等） 一、基本图形 最值问题在几何图形中分两大类： ①[定点到定点]：两点之间，线段最短； ②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。 由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边； ④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短； ⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）； ⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短； ⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。 举例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。 证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP ≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。

上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。 类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形 例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。 简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。 （二）动点路径待确定 例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。 简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。

最短路径问题(将军饮马问题)--教学设计复习过程

最短路径问题——将军饮马问题及延伸 湖南省永州市双牌县茶林学校 熊东旭

最短路径问题 教学内容解析： 本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。 本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。 教学目标设置： 1、能利用轴对称解决最短路径问题。 2、在解题过程能总结出解题方法，，能进行一定的延伸。 3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。 教学重点难点： 重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。 难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。 学情分析： 1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。 2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。”以及“垂线段最短”。以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

教学条件分析: 在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用PPT动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。 教具准备：直尺、ppt 教学过程： 环节教师活动学生活动设计意图 一 复习引入1.【问题】：看到图片，回忆如 何用学过的数学知识解释这个 问题？ 2.这样的问题，我们称为“最 短路径”问题。 1、两点之间，线段最短。 2、两边之和大于第三边。 从学生已经学 过的知识入 手，为进一步 丰富、完善知 识结构做铺 垫。 二探究新知1.探究一： 【故事引入】：唐朝诗人李颀在 《古从军行》中写道：“白日登 山望峰火，黄昏饮马傍交河．” 诗中就隐含着一个有趣的数学 问题，古时候有位将军，每天 从军营回家，都要经过一条笔 直的小河。而将军的马每天要 到河边喝水，那么问题来了， 问题：怎样走才能使总路程最 短呢？ 认真读题，仔细思考。 将实际问题中的“地点” “河”抽象为数学中的 “点”“线”，把实际问题 抽象线段和最小问题。 从异侧问题入 手，由简到难， 逐步深入。

2020中考将军饮马+变式最值

讲“将军饮马”型最值问题

例 1 （中考题 - 改编）如图，已知点 A（-4 ，8）和点 B（2 ，n ）在抛物线y ax2上. （ 1 ）求 a 的值； （2）在 x 轴上找一点 Q，使得 AQ+BQ 最短，求出点 Q 的坐标； （3 ）平移抛物线，记平移后 A 的对应点为A，点 B 的对应点为B ，当抛物线向左平移到某个位置时，AC CB 最短，求此时抛物线的函数解析式

例 2 如图，抛物线y 3x2 18x 3和 y 轴的交点为 A，M 为OA 的中点，若有一动点 P，自 M 点处出发，55 沿直线运动到 x 轴上的某点（设为点 E ），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直 例 3 （2017 花都一模 16 题）如图，四边形 ABCD 中，∠ BAD=120 °，∠ B= ∠ D=90 °，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使△ AMN 周长最小时，则∠ AMN+ ∠ANM 的度数为 . 例 4 如图，∠ MON=20 °， A 为射线 OM 上一点， OA=4 ， D 为射线 ON 上一点， OD=8 ， C 为射线 AM 上线运动到点 A ，求使点 P 运动的总路程最短的点 E，点 F 的坐标，并求出这个最短路程的长 .

任意一点， B 是线段 OD 上任意一点，那么折线 ABCD 的长 AB+BC+CD 的最小值是 . 例 5 如图，在平面直角坐标系中， Rt △ OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上，顶点 B 的坐标为（ 3 ，3 ），1 点 C的坐标为（，0），点 P 为斜边 OB 上的一动点，则 PA＋PC 的最小值为 __________ ． 2

2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总--将军饮马问题及其11种变形汇总

2020 年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总 ---- 将军饮马专题古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归问题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？ 【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括： 1. 定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题． 2．确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题． 3. 定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径． 4．全局最短路径问题：求图中所有的最短路径． 问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”。 涉及知识】“两点之间线段最短” ，“垂线段 最短” ，“三角形三边关系” ，“轴 对称” 平移”． 出题背景】直线、角、三角形、菱形、矩形、正 方形、 圆、坐标轴、抛物线等． 解题思 路】 “化曲为直” 题型一：两定一动，偷过敌营。

例1：如图， AM⊥ EF， BN⊥EF，垂足为 M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝ 4m， P 是 EF 上任 意一点，则 PA＋ PB的最小值是 m． 分析： 这是最基本的将军饮马问题， A， B是定点， P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点 A关于 EF的对称点 A'，根据两点之间，线段最短，连接A'B，此时A'P＋PB即为 A'B，最短．而要求 A'B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答： 作点 A关于 EF的对称点 A'，过点 A'作A'C⊥BN的延长线于 C．易知A'M＝AM＝NC ＝5m，BC＝9m，A'C ＝MN＝ 12m，在 Rt△A'BC中， A'B＝15m，即PA＋PB的最小值是 15m． 例2：如图，在等边△ ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC，E是AC 上的一点， M是AD 上的一点， 且 AE = 2 ，求 EM+EC 的最小值 解：点 C 关于直线 AD 的对称点是点 B，连接 BE，交 AD 于点 M ，则 ME+MD 最小，过点 B 作 BH ⊥AC 于点 H， 则 EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3 在直角△ BHE 中，BE = BH2 + HE2 = (3 3)2 + 12 = 2 7

(完整版)将军饮马系列最值问题-教师版

同步课程˙“将军饮马”系列最值问题 将军饮马”系列最值问题 1. 两点之间，线段最短． 2. 点到直线的距离，垂线段最短． 3. 三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边． 4. A 、B 分别为同一圆心 O 半径不等的两个圆上的一 点， 当且仅当 A 、B 、O 三点共线时能取等号 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦． 有一天， 有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题： 如图，将军从 A 出发到河边 饮马，然后再到 B 地军营视察， 显然有许多走法． 问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索， 便 作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题． 下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短． 若 A 、B 在河流的异侧，直接连接 AB ， AB 与 l 的交点即为所求． 知识回顾 R r AB R

若A 、B 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线 现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想 轴对称及其性质： 把一个图形沿某一条直线折叠， 如果直线两旁的部分能够互相重合， 形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线 称图形． 把一个图形沿着某一条直线折叠， 如果它能够与另一个图形重合， 直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 如下图， ABC 与 A' B' C '关于直线 l 对称， l 叫做对称轴． A 和A'，B 和B'，C 和C'是对称点． 轴对称的两个图形有如下性质： ① 关于某条直线对称的两个图形是全等形； ② 对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线； ③ 两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上． 那么这个图形就叫做轴对称图 （或轴）对称．如等腰 ABC 是轴对 那么就是说这两个图形关于这条

(完整版)将军饮马问题

将军饮马问题——线段和最短 一．六大模型 1.如图，直线l和l的异侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 2.如图，直线l和l的同侧两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小。 3.如图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上作点A，B。使△PAB的周长最小。

4.如图，点P ，Q 为∠MON 内的两点，分别在OM ，ON 上作点A ，B 。使四边形PAQB 的周长最小。 5.如图，点A 是∠MON 外的一点，在射线OM 上作点P ，使PA 与点P 到射线ON 的距离之和最小。 6. 如图，点A 是∠MON 内的一点，在射线ON 上作点P ，使PA 与点P 到射线OM 的距离之和最小。

二、常见题目 Part1、三角形 1．如图，在等边△ABC 中，AB=6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE=2，求EM+EC 的最小值。 2．如图，在锐角△ABC 中，AB=42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是 ____。 3．如图，△ABC 中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC 、AB 上各取一点M 、N ，使BM+MN 的值最小，则这个最小值。

Part2、正方形 1．如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，丐DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为_________。即在直线AC上求一点N，使DN+MN最小。 2．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（）A．23 B．26 C．3 D．6 3．在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）。

八上最短路径问题(将军饮马)

最短路径问题 练习 一．选择题（共4小题） 1．（2016秋房山区期末）如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（2015秋通州区期末）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=6，CD 是△ABC的一条高线．若E，F分别是CD和BC上的动点，则BE+EF 的最小值是（） A．6 B．3C．3D．3 3．（2014秋昌平区期末）如图，等边△ABC的边长为6，E是AC边上一点，AD是BC边上的中线，P是AD上的动点．若AE=2，则EP+CP 的最小值为（）

A．2 B．C．4 D． 4．（2011秋东城区期末）如图，已知∠AOB的大小为α，P是∠AOB 内部的一个定点，且OP=2，点E、F分别是OA、OB上的动点，若△PEF周长的最小值等于2，则α=（） A．30°B．45°C．60°D．90° 二．填空题（共5小题） 5．（2016秋门头沟期末）如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，则△PQR周长的最小值为． 6．（2014春海淀期末）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB边的中点，BF平分∠ABC交AD于F，P是BF上任意一点，∠ABC=60°，AB=4，则PE+PA的最小值为．

7．（2011秋昌平期末）已知∠AOB=30°，点P在∠AOB的内部，OP=6，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则△P1OP2的周长为；若OA上有一动点M，OB上有一动点N，则△PMN的最小周长为． 8．（2011秋海淀期末）已知点A（﹣2，3）和点B（3，2），点C是x 轴上的一个动点，当AC+BC的值最小时，则点C的坐标为．9．（2010秋东城期末）已知如图所示，∠MON=40°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，则当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为． 三．解答题（共15小题） 10．（2014东城二模）我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题： 如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB 最小． 我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB′．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然

八上距离最短问题(将军饮马及其变形)

距离最短问题 两点一线 例1.在直线l上求一点P，使PA+PB的值最小． 1.如图，在游艺室的水平地面上，沿着地面的AB边放一行球，参赛者从起点C起步，跑向边AB任取一球，再折向D点跑去，将球放入D点的纸箱内便完成任务，完成任务的时间最短者获得胜利，如果邀请你参加，你将跑去选取什么位置上的球?为什么? 2.台球是一项高雅的体育运动。其中包含了许多物理学、几何学知识。图①是一个台球桌，目标球F与本球E之间有一个G球阻挡，击球者想通过击打E球先撞击球台的AB边。经过一次反弹后再撞击F球。他应将E球打到AB边上的哪一点,请在图①中用尺规作出这一点H,并作出E球的运行路线;(不写画法。保留作图痕迹) 一点两线 例2.如图,要在两条街道AB、CD上设立两个邮筒,K处是邮局.邮递员从邮局出发,从两个邮筒里取出信件后再回到邮局,则邮筒应设在何处,方能使邮递员所走的路程最短?请说出其中的数学道理.

1.在直线l1,l2，上分别求点M，N，使△PMN的周长最小． 2.如图,P为∠AOB内一定点,M、N分别是射线OA、OB上一点,当△PMN周长最小时,∠OPM=50°,则∠AOB=( ) A. 40° B. 45° C. 50° D. 55° 3.如图,∠AOB=30°，P是∠AOB内的一点，且OP=6cm，.M、N分别是射线OA、OB上一点,求△PMN周长得最小值. 两点两线 例3.如图，牧区内住着一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他家的帐篷.l1是草地的边沿，l2是一条笔直的河流.每天清晨，牧民都要从马厩牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河岸边去饮马，然后回来帐篷B处.请你为牧民设计一条最短的行走路线. 1.如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，请分别在边AB，AC上找到点E，F，使四边形PEFQ的周长最小。

中考数学压轴题专题复习：将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练

将军饮马问题----两线段和最小值专题讲解训练知识链接 几何中最值问题的解题思路 轴对称最值图形 原理两点之间线段最短两点之间线段最短三角形三边关系 特征 A，B为定点，l为定直线， P为直线l上的一个动点， 求AP+BP的最小值 A，B为定点，l为定直线，MN为直线l 上的一条动线段，求AM+BN的最小值 A，B为定点，l为定直线，P 为直线l上的一个动点，求 |AP-BP|的最大值 转化 作其中一个定点关于定直 线l的对称点 先平移AM或BN使M，N重合，然后 作其中一个定点关于定直线l的对称点 作其中一个定点关于定直线 l的对称点 折叠最值图形 原理两点之间线段最短 特征 在△ABC中，M，N两点分别是边AB，BC上的动点，将△BMN沿MN翻折，B点的对应点为B'，连接AB'，求AB'的最小值． 转化转化成求AB'+B'N+NC的最小值 例题精讲 例、如图，直线y=kx+b交x轴于点A（-1，0），交y轴于点B（0，4），过A、B两点的抛物线交x 轴于另一点C． （1）直线的解析式为_______； （2）在该抛物线的对称轴上有一点动P，连接PA、PB，若测得PA+PB的最小值为5，求此抛物线的解析式及点P的坐标； （3）在（2）条件下，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．

题型强化 1、在平面直角坐标系中，已知 2 12 y x bx c （b 、c 为常数）的顶点为 P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的 坐标为（0，﹣1），点C 的坐标为（4，3），直角顶点B 在第四象限．（1）如图，若抛物线经过 A 、 B 两点，求抛物线的解析式． （2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上并沿AC 方向滑动距离为 2时，试证明：平移后的抛物线与 直线AC 交于x 轴上的同一点．（3）在（2）的情况下，若沿 AC 方向任意滑动时，设抛物线与直线AC 的另一交点为 Q ，取BC 的中点N ，试探究 NP+BQ 是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由．

(精品)将军饮马问题的11个模型及例题

将军饮马问题 问题概述 路径最短、线段和最小、线段差最大、周长最小等一系列最值问题 方法原理 1.两点之间，线段最短； 2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 3.中垂线上的点到线段两端点的距离相等； 4.垂线段最短. 基本模型 1. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P′，连接AP′、BP′， 在△ABP’中，AP′+BP′>AB，即AP′+BP′>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2. 已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小（或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA′的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA′，要使PA+PB最小，则 需PA′+PB值最小，从而转化为模型1.

3. 已知：如图，定点A、B分布在定直线l的同侧（A、B两 点到l的距离不相等） 要求：在直线l上找一点P，使︱PA-PB︱的值最大 解：连接BA并延长，交直线l于点P，点P即为所求； 理由：此时︱PA-PB︱=AB，在l上任取异于点P的一点P′， 连接AP′、BP′，由三角形的三边关系知︱P′A-P′B︱

将军饮马系列---最值问题

1.两点之间，线段最短． 2.点到直线的距离，垂线段最短． 3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边． 4.A B 、分别为同一圆心O 半径不等的两个圆上的一点，R r AB R r -≤≤+ 当且仅当A B O 、、三点共线时能取等号． 古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦． 有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题． 下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短． 若A B 、 在河流的异侧，直接连接AB ，AB 与l 的交点即为所求． 若A B 、 在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解． “将军饮马”系列最值问题 知识回顾 知识讲解

海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线 现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想 轴对称及其性质： 把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC ?是轴对称图形． 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 如下图，ABC ?与'''A B C ?关于直线l 对称，l 叫做对称轴．A 和'A ，B 和'B ，C 和'C 是对称点． 轴对称的两个图形有如下性质： ①关于某条直线对称的两个图形是全等形； ②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．

最短路径(将军饮马)问题

最短路径（将军饮马）问题与拓展 相关定理或公理：①线段公理：两点之间，线段最短。由此可以推出两边之和大于第三边； ②垂线段性质：垂线段最短。 问题提出： 唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐隐含着一个有趣的数学问题。 如图，将军在观望烽火后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后 再走到B 点的营地。怎样走才能使总的路程最短？ 模型【1】一定直线，异侧两定点 已知：直线l 和它异侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小 模型【2】一定直线，同侧两定点 已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使PA ＋PB 最小 模型【3】两定直线，两定点 已知：∠MON 内部有两点P 、Q ，在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使四边形PQBA 周长最小 模型【4】两定直线，一定点 已知：∠MON 内部有一点P 在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使△PAB 周长最小 模型【5】两定直线，一定点 已知：∠MON 内部有一点P 在OM 、ON 上分别作点A 、B ，使AB ＋PB 最小 注意：模型4与模型5的联系与区别 变式：线段之差最大问题 模型【6】一定直线，同侧两定点 已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使︱PA －PB ︱最大 模型【7】一定直线，异侧两定点 已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线l 上求作一点P ，使︱PA －PB ︱最大 造桥选址问题 利用平移变换进行造桥选址，是平移变换的一个重要应用。 原题再现 如图1，A 和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥与河垂直）。（人教版八年级上册第86页） 变式拓展 模型【8】一定直线及直线上一长度不变的线段，同侧两定点 已知：直线l 和它同侧两点A 、B ，在直线求作一条线段CD （长度不变），使AC ＋CD ＋DB 最小 巩固练习 1、如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠BAD ＝110°，在BC 上存在一点M ，在CD 上存在点N ，使△AMN 的周长最短，则∠MAN 的度数为 ； 2、如图，Rt △ABC 中，BC ＝3，AC ＝4，AB ＝5， BD 平分∠BAC ，点E 、F 分别为BD 、BC 上的动点， 连接CE 、EF ，则C E ＋EF 的最小值是______ 3、如图，若AP ＝4，∠CAB ＝30°，在AB 上有一动点M ， AC 上有一动点N ，则 PMN 周长的最小值是____________ 4、如图，△ABC 在平面直角坐标系中，且A (1，3)、B (－4，1)、 若M （a-1，0）、N （a ，0） ，当BM ＋ l A B M O N P 第1题图 D C B A D C A B E F