当前位置：文档库 › 正余弦定理题型归纳

正余弦定理题型归纳

正弦定理和余弦定理

一、题型归纳

<一>利用正余弦定理解三角形

【例1】在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.

【例2】设ABC

?的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且32b+32c-32a2b c .

(Ⅰ) 求sinA的值； (Ⅱ)求2sin()sin()

1cos2

A B C

ππ

+++

的

值.

【练习1】 (2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝π

，tan A＝2，

则sin A＝________；a＝________.

【练习2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且

cos B

cos C

＝－b 2a ＋c

(1)求角B 的大小；

(2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．

<二>利用正余弦定理判断三角形的形状

【例3】1、在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC

的形状．

2、在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，则ABC ?三角形的形状为__________________

3、在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若cosA

cosB

＝b a

，则ABC ?三角形的形状为___________________

【练习】1、在△ABC 中，2

cos 22A b c c

+=(,,a b c 分别为角,,A B C 的对边)，则△ABC 的形状为( )

A 、正三角形

B 、直角三角形

C 、等腰三角形或直角三角形

D 、等腰直角三角形

2、已知关于x 的方程

22cos cos 2sin 02

x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是（）

A 、直角三角形

B 、钝角三角形

C 、等腰三角形

D 、等边三角形

3、在△ABC 中，2222

()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则△ABC

的形状为__________

4、在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝c

cos C ；则△ABC 是( )．

A ．直角三角形

B ．等边三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰直角三角形

<三>正余弦定理与三角形的面积

【例4】△ABC 中，

,,a b c 分别为,,A B C ∠∠∠的对边.如果c a b +=2，B ∠=30°，△ABC 的面积为2

，那么b =（）

、 B 、31+ C

、 D 、32+

【练习】已知ABC △

，且sin sin A B C +=．

（1）求边AB 的长；（2）若ABC △的面积为1

sin 6

C ，求角C 的度数．

【例5】设O 是锐角ABC ?的外心，若

75=∠C ，且COA BOC AOB ???，，的面积满足关系：COA BOC AOB S S S ???=+3,求A ∠

【练习】已知O 是锐角三角形ABC 的外心，△BOC ，△COA ，△AOB 的面积满足关系：

COA BOC AOB S S S ???=+2

（1）推算tanAtanC 是否为定值说明理由；

（2）求证：tanA ，tanB ，tanC 也满足关系：B C A tan 2tan tan =+

<四>利用正余弦定理解决最值问题

【例6】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设S 为△ABC 的面积，满足()222

3c b a S -+=

（1）求角C 的大小；（2）求sinA+sinB 的最大值．

【练习】1、已知锐角ABC △中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且

223tan b c a ac

B -+=；

()

1求

∠；

()

2求函数

()sin 2sin cos f x x B x =+0,2x π??

??∈ ????

的最大值

2、设ABC ?的内角C B A ,,所对的边分别为,,,c b a 且

b c C a =+2

cos . （1）求角A 的大小；

（2）若1=a ，求ABC ?的周长l 的取值范围.

<五>正余弦定理与向量的运算

【例

7】已知向量1

(sin ,1),(3cos ,)2

a x

b x =-=-,函数

()()2f x a b a =+?-.

(1)求函数()f x 的最小正周期T ;

(2)已知a 、b 、c 分别为ABC ?内角A 、B 、C 的对边, 其中A 为锐角,

4a c ==,且()1f A =,求,A b 和ABC ?的面积S .

【练习】1、在ABC ?中，已知3AB AC BA BC =．

（1）求证：tan 3tan B A =；（2）若cos 5

C =，求A 的值．

2、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且满足cos

A =，3A

B A

C ?=．

（I ）求ABC ?的面积；

（II ）若1c =，求a 的值．

二、课后作业：

1、在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．

2、在△ABC 中，C B C B A sin sin 2sin sin sin 2

22++=，则A 等于（） A 、60°

B 、45°

C 、120

D 、135°

3、若(c b a ++)(a c b —+)=bc 3，且C B A cos sin 2sin =, 那么ΔABC 是_____________.

4、在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则AC

cos A

的值等于______，AC 的

取值范围为________

5、在ABC ?中，若135

cos ,53sin ==B A ，则C cos 的值为_________ABC

?的形状为_____

6、ABC ?的面积是30，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，12

cos 13

A =。 (1)求A

B A

C ?。 (2)若1c b -=，求a 的值。

正余弦定理练习题(答案)

1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) D ．26 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定解析：选A.由正弦定理知sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝1∶5∶6. 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 C ．2 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( ) 或 3 或3 2 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) B ．2 C. 3 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．已知△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，a ＝1，则a －2b ＋c sin A －2sin B ＋sin C ＝________. 15．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 16．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解． 17．如图所示，货轮在海上以40 km/h 的速度沿着方位角(指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角)为140°的方向航行，为了确定船位，船在B 点观测灯塔A 的方位角为110°，航行半小时后船到达C 点，观测灯塔A 的方位角是65°，则货轮到达C 点时，与灯塔A 的距离是多少 18．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 19．(2009年高考四川卷)在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且cos 2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 20．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．

正余弦定理题型总结(全)

平面向量题型归纳（全）题型一：共线定理应用例一：平面向量→ →b a ,共线的充要条件是（）A.→ →b a ,方向相同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在 ,R ∈λ→→=a b λ D 存在不全为零的实数0,,2121=+→ →b a λλλλ 变式一：对于非零向量→→b a ,，“→→→=+0b a ”是“→ →b a //”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件变式二：设→ →b a ,是两个非零向量（） A.若→→→→=+b a b a _则→→⊥b a B. 若→→⊥b a ，则→ →→→=+b a b a _ C. 若→ →→→ =+b a b a _，则存在实数λ，使得 →→ =a b λ D 若存在实数λ，使得→ →=a b λ，则 → →→→ =+b a b a _ 例二：设两个非零向量→ → 21e e 与，不共线，（1）如果三点共线；求证：D C A e e e e e e ,,,28,23,212121--=+=-= （2）如果三点共线，且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。变式一：设→ → 21e e 与两个不共线向量，,2,3,2212121e e CD e e CB e k e AB -=+=+=若三点A,B,D 共线，求实数k 的值。变式二：已知向量→ →b a ,，且,27,25,2b a CD b a BC b a AB +=+-=+=则一定共线的三点是（） A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 题型二：线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用例一：设P 是三角形ABC 所在平面内的一点，,2+=则（） A. += B. += C. += D. ++= 变式一：已知O 是三角形ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且++=2,那么（）A. A =

正弦定理与余弦定理练习题

正弦定理与余弦定理 1．已知△ABC 中，a=4， 30,34==A b ，则B 等于（） A ．30° B．30° 或150° C．60° D．60°或120° 2．已知锐角△ABC 的面积为33，BC=4，CA=3，则角C 的大小为（） A ．75° B．60° C．45° D．30° 3．已知ABC ?中，c b a ,,分别是角C B A ,,所对的边，若0cos cos )2(=++C b B c a ，则角B 的大小为（） A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 4．在?ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边.若sin sin C A =2， ac a b 322=-，则B ∠=( ) A. 030 B. 060 C. 0120 D. 0 150 5．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知a=5 ，c=10，A=30°，则B 等于（） A ．105° B．60° C．15° D．105° 或 15° 6．已知ABC ?中， 75 6,8,cos 96BC AC C === ，则ABC ?的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．钝角三角形 7．在ABC ?中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2B C =，2cos 2cos b C c B a -=，则角A 的大小为（） A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 8．在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2 B ＜sin 2 C ，则△ABC 的形状是（） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 9．在ABC ?中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，那么cos C =（） A.14 B.23 C.23- D.1 4- 10．在ABC ?中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是（） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰或直角三角形 11．在△ABC 中，cos 2 =，则△ABC 为（）三角形． A ．正 B ．直角 C ．等腰直角 D ．等腰 12．在△ABC 中，A=60°，a=4 ，b=4 ，则B 等于（）

新课标高考数学题型全归纳正余弦定理常见解题类型典型例题

正余弦定理常见解题类型 1．解三角形正弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知两角和任一边，求其他两边和一角；②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角及其他的边和角．余弦定理常用于解决以下两类解斜三角形的问题：①已知三边，求三个角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角．例1 已知在ABC △中，4526A a c ∠===，，，解此三角形．解：由余弦定理得22(6)26cos 454b b +-=，从而有31b =±．又222(6)222cos b b C =+-?，得1cos 2 C =±，60C ∠=或120C ∠=． 75B ∴∠=或15B ∠=．因此，31b =+，60C ∠=，75B ∠= 或31b =-，120C ∠=，15B ∠=．注：此题运用正弦定理来做过程会更简便，同学们不妨试着做一做． 2．判断三角形的形状利用正余弦定理判断三角形的形状主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或

边的关系，一般的，利用正弦定理的公式2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C ===，，，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数恒等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理： A B C ++=π；利用余弦定理公式222222 cos cos 22b c a a c b A B bc ac +-+-==，， 222 cos 2a b c C ab ++=，可将有关三角形中的角的余弦转化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题．例2 在ABC △中，若2222sin sin 2cos cos b C c B bc B C +=，判定三角形的形状．解：由正弦定理2sin sin sin a b c R A B C ===，为ABC △外接圆的半径，可将原式化为22228sin sin 8sin sin cos cos R B C R B C B C =， sin sin 0B C ≠∵， sin sin cos cos B C B C ∴=，即cos()0B C +=． 90B C ∴+=，即90A =，故ABC △为直角三角形． 3．求三角形中边或角的范围例3 在ABC △中，若3C B ∠=∠，求c b 的取值范围．解： A B C ∠+∠+∠=π，4A B ∴∠=π-∠． 04B π∴<∠<．可得210sin 2 B <<．又2sin sin 334sin sin sin c C B B b B B ===-∵， 2134sin 3B ∴<-<．故13c b <<．点评：此题的解答容易忽视隐含条件B ∠的范围，从而导致结果错误．因此，解此类问题应注意挖掘一切隐含条件． 4．三角形中的恒等式证明根据所证等式的结构，可以利用正、余弦定理化角为边或角的关系证得等式．例4 在ABC △中，若2()a b b c =+，求证：2A B =．证明：2222cos 2222a c b bc c b c a B ac ac a b +-++====∵， 222222 22222cos 22cos 1214222a a b b bc b c b B B b b b b -+--∴=-=?-===．

(完整版)必修五正余弦定理习题练习

必修五正余弦定理习题练习一．选择题（共5小题） 1．（2015?秦安县一模）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（） A．B．C．D． 2．（2016?太原校级二模）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，a=2，，则b的值为（） A．B．C． D． 3．（2016?大连一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足acosA=bcosB，那么△ABC的形状一定是（） A．等腰三角形B．直角三角形 C．等腰或直角三角形 D．等腰直角三角形 4．（2016?宝鸡一模）在△ABC，a=，b=，B=，则A等于（）A．B．C． D．或 5．（2014?新课标II）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5 B．C．2 D．1 二．填空题（共6小题） 6．（2015?天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣，则a的值为______． 7．（2015?重庆）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=______． 8．（2015?广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=，sinB=，C=，则b=______． 9．（2015?北京）在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=______．10．（2015?安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=______．11．（2013?福建）如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC=，AB=3，AD=3，则BD的长为______．

(完整版)解三角形专题题型归纳

《解三角形》知识点、题型与方法归纳一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★） 1．正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）变式：12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式） 2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R ===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C === 2．正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3．余弦定理及其推论 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C =+-=+-=+- 222 222 222 cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab +-= +-=+-= 4．余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边. 注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式. 5．常用的三角形面积公式（1）高底??= ?2 1ABC S ；（2）()111=sin sin sin 2224abc S ab C ac B bc A R ABC R ===?为外接圆半径（两边夹一角）； 6．三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ?>?>?>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在ABC ?中，A B C π++=，所以 ①()sin sin A B C +=；②()cos cos A B C +=-； ③()tan tan A B C +=-；④sin cos ,22A B C +=⑤cos sin 22 A B C += 7．实际问题中的常用角（1）仰角和俯角

正余弦定理题型归类

高二数学《正余弦定理》知识与题型总结 1、正弦定理：_________=_________=_________=2R （R 为____________）变形：________a =；________b =；________c = sinA :sinB:sinC ______________ = 2、余弦定理：2 ______________a =；2 ______________b =；2 ______________c = 变形：cos ________________A =;cosB ________________=；cosC ________________= 3、三角形面积公式：（1）12S a h =g （2）1 sin _________________________2S ab C === （3）1 ()2 S r a b c =++（r 为内切圆半径） 4、常用公式及结论：（1）倍角公式：sin 2__________α=； cos 2_______________________________________α=== tan 2____________α= 降幂公式：2 sin ____________α=；2 cos ____________α= （2）在ABC ?中，sin()sinC A B +=；cos()cosC A B +=-；tan()tanC A B +=-；（3）在ABC ?中，最小角的范围为0, 3π?? ?? ? ；最大角的范围为,3ππ???? ?? ；（4）在ABC ?中，A B C sinA sinB sinC >>?>>；（5）sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin a b c a b c b a c A B C A B C B A C a b c A B C +++===== +++++= ++。类型一：正余弦定理的综合应用 1.在△ABC 中，4a b ＝，＝ 30A ?＝，则角B 等于( )． A ．30° B ．30°或150° C ．60° D ．60°或120° 2.在△ABC 中，三内角A ，B ，C 成等差数列，b ＝6，则△ABC 的外接圆半径为（） 3.在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，向量，(cos ,sin )n A A =v ，若m n ⊥u v v ，且cos cos sin a B b A c C +=，则角A ，B 的大小为( )． 4.在ABC ?中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，B B A C 2sin 3)sin(sin =-+. ） 5.ABC ?各角的对应边分别为c b a ,,，满足，则角A 的范围是（） A 6.在△ABC 中，内角A,B,C ，C B sin 3sin 2=， =（） A 7.在△ABC 中，内角A ， B ， C 的对边分别为a ，b ，c.，且b a >，则∠B ＝( ) A 8.在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是 A ．0 75,45,10===C A b B ．0 80,5,7===A b a C ．0 60 ,48,60===C b a D ． 45,16,14===A b a 9.已知ABC ?中，a b 、分别是角A B 、所对的边，且()0,2,a x x b A =>==60°，若三角形有两解，则 x 的取值范围是（） A 、02x << C

最全正余弦定理题型归纳.

正弦定理和余弦定理一、题型归纳〈一>利用正余弦定理解三角形【例1】在△AＢC中，已知a=3,b=2,Ｂ=４5°,求Ａ、C和c。【例2】设ABC ?的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且32b＋32c-32a2b c. (Ⅰ）求ｓiｎA的值;（Ⅱ)求2sin()sin() 44 1cos2 A B C A ππ +++ - 的值。【练习１】 (201１·北京)在△ABＣ中,若b＝５,∠Ｂ＝错误!，tan A=2，则ｓin A=_______＿；ａ=___＿＿___. 【练习２】在△ABC中,a、ｂ、ｃ分别是角A、B、C的对边，且＼f（cｏs Ｂ，coｓC）=－错误!. (1）求角B的大小;

（2)若b ＝错误!,a ＋c =4,求△AB Ｃ的面积．〈二〉利用正余弦定理判断三角形的形状【例3】1、在△ＡＢC 中，若（ａ2＋b 2）sin （A -B )=(a 2－ｂ２)sin C ,试判断△AB Ｃ的形状. ２、在△ＡB Ｃ中，在ABC ?中,a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，ｂｃosA=a c ｏs Ｂ,则ABC ?三角形的形状为___＿____＿___＿_____ ３、在△ＡBC 中,在ABC ?中,a,b,c 分别是角A 、Ｂ、C 所对的边，若c ｏs ＡcosB =＼f(b,a ），则ABC ?三角形的形状为＿___＿__＿______＿＿___ 【练习】1、在△ABC 中,2cos 22A b c c +=（,,a b c 分别为角,,A B C 的对边),则△AB Ｃ的形状为（ ) A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形或直角三角形Ｄ、等腰直角三角形 2、已知关于x 的方程22cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是(）Ａ、直角三角形Ｂ、钝角三角形C 、等腰三角形D 、等边三角形 3、在△ABC 中,2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+,则△ＡBC 的

正余弦定理练习题

正余弦定理练习题 1.已知圆的半径为4，a 、b 、c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为（） A ．22 B ．8 2 C. 2 D.22 2. 如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为( ) A.518 B.34 C.32 D.78 3. 满足A ＝45°，c ＝6，a ＝2的△ABC 的个数记为m ，则a m 的值为( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．不确定 4. 在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c ，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 5. 在△ABC 中，已知sin A ∶sin B ＝2∶1，c 2＝b 2＋2bc ，则三内角A 、B 、C 的度数依次是________． 6. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若(3b －c )cos A ＝a cos C ，则cos A ＝________. 7. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c .已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b .

8. 在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin ? ?? ??2A －π4的值． 9. 设△ABC 的角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，且3b 2＋3c 2－3a 2＝42bc . (1)求sin A 的值；(2)求A C B A 2cos 214sin 4sin 2-??? ??++??? ??+ππ的值． 10. 在△ABC 中，A 、B 为锐角，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos2A ＝35，sin B ＝1010.(1)求A ＋B 的值；(2)若a －b ＝2－1，求a ，b ，c 的值． 11. 在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13 . (1)求sin A 的值；(2)设AC ＝6，求△ABC 的面积．

最全正余弦定理题型归纳

正弦定理和余弦定理、题型归纳 < 一>利用正余弦定理解三角形【例1】在^ ABC中，已知 a = J3, b=J2,B=45 ° ,求 A C 和c. 【例2】设的内角A B、C的对边长分别为a、b、c,且3+3-3=4b c . (I )求sinA的值； ( n )求的值. n 【练习 1】（2011 ?北京）在^ ABC中，若b= 5,Z B=_4, tan A= 2, 则 sin A= ；a= cos B 【练习2】在厶ABC中, a、b、c分别是角A B、c的对边'且cosE b 2a+ c" (1)求角B的大小； ⑵若b=品，a + c= 4,求^ ABC勺面积.

＜二＞利用正余弦定理判断三角形的形状【例 3】1、在^ABC 中，若(a 2+ b 2)sin( A — B)= (a 2— b 2)sin C,试判断△ ABC 的形状. 2、在^ ABC 中，在 ABC 中，a,b,c 分别是角 A B 、C 所对的边，bcosA =a COSB,则ABC 三角形的形状为 cosA 3、＜△ ABC 中,在 ABC 中, a ，b ，c 分别是角 A B C 所对的边，若CosA 则ABC 三角形的形状为 2 A b c 【练习】1、在^ABC 中, cos - ￡（ a,b,c 分别为角A,B,C 的对边），则^ ABC 的形状为（） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形或直角三角形 D 等腰直角三角形的形状为 2、已知关于x 的方程于两根之积的一半，则 A 、直角三角形 B 边三角形 3、在^ ABC 中，（a 2 2 . 2 C x xcosA cos B 2sin ~ 0的两根之和等） C 、等腰三角形 D 、等 ABC —定是（、钝角三角 b 2)s in (A B) (a 2 b 2)sin( A B)，则△ ABC

正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳

正弦定理和余弦定理知识点与题型归纳 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-

●高考明方向掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． ★备考知考情 1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角问题是高考考查的热点． 2.常与三角恒等变换、平面向量相结合出现在解答题中，综合考查三角形中的边角关系、三角形形状的判断等问题． 3.三种题型都有可能出现，属中低档题. 一、知识梳理《名师一号》P62 知识点一正弦定理 (其中R 为△ABC 外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化。知识点二余弦定理

222 222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2?+-=??=+-?+-??=+-?=??=+-???+-?=?? b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：(补充) （1）关于边的二次式或关于角的余弦均可考虑利用余弦定理进行边角互化。（2）勾股定理是余弦定理的特例（3）在?ABC 中，222090?? <+?<

最全正余弦定理题型归纳

正弦定理和余弦定理一、题型归纳 <一>利用正余弦定理解三角形【例1】在△ABC 中，已知a =3 ,b = 2 ,B=45°,求A 、C 和c . 【例2】设ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且32b +32c -32a =42b c . (Ⅰ) 求sinA 的值； (Ⅱ)求 2sin()sin() 441cos 2A B C A ππ +++-的值. 【练习1】 (2011·北京)在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π 4，tan A ＝2，则sin A ＝________；a ＝________. 【练习2】在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且 cos B cos C

＝－b 2a ＋c . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝13，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积． <二>利用正余弦定理判断三角形的形状【例3】1、在△ABC 中，若(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)sin C ，试判断△ABC 的形状． 2、在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，bcosA ＝a cosB ，则ABC ?三角形的形状为__________________ 3、在△ABC 中，在ABC ?中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 所对的边，若cosA cosB ＝b a ，则ABC ?三角形的形状为___________________ 【练习】1、在△ABC 中，2 cos 22A b c c +=(,,a b c 分别为角,,A B C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、等腰三角形或直角三角形 D 、等腰直角三角形

正弦定理余弦定理习题及答案[精选.]

正余弦定理 1．在ABC ?中，A B >是sin sin A B >的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 2、已知关于x 的方程2 2 cos cos 2sin 02 C x x A B -?+=的两根之和等于两根之积的一半，则ABC ?一定是（）（A ）直角三角形（B ）钝角三角形（C ）等腰三角形（D ）等边三角形. 3、已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若a=1,b=3, A+C=2B,则sinC= . 4、如图，在△ABC 中，若b = 1，c =3，23 C π ∠=，则a= 。 5、在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，若2a =，2b =， sin cos 2B B +=，则角A 的大小为． 6、在?ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且2 7 4sin cos 222 B C A +-= （1）求A ∠的度数（2）若3a =，3b c +=，求b 和c 的值 7、在△ABC 中已知acosB=bcosA,试判断△ABC 的形状. 8、如图，在△ABC 中，已知3= a ，2= b ，B=45? 求A 、C 及 c . 1、解：在ABC A B ?>中，2sin 2sin sin sin a b R A R B A B ?>?>?>，因此，选C ． 2、【答案】由题意可知：211cos cos cos 2sin 222 C C A B -= ??=，从而2cos cos 1cos()1cos cos sin sin A B A B A B A B =++=+- A B 3 23 π

(完整版)正弦定理、余弦定理综合应用典型例题

正弦定理、余弦定理综合应用例1.设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．解：（Ⅰ）由2sin a b A =，根据正弦定理得sin 2sin sin A B A =，所以1 sin 2 B = ，由ABC △为锐角三角形得π6B = ．（Ⅱ）cos sin cos sin A C A A π?? +=+π-- ?6?? cos sin 6A A π??=++ ??? 1cos cos 2A A A =++ 3A π? ?=+ ???．由ABC △为锐角三角形知，22A B ππ->-，2263B ππππ-=-=． 2336 A πππ <+<，所以1sin 23A π??+< ???． 3A π??<+< ?? ? 所以，cos sin A C +的取值范围为322?? ? ?? ?，．例2.已知ABC △1，且sin sin A B C +=．（I ）求边AB 的长；（II ）若ABC △的面积为1 sin 6 C ，求角C 的度数．解：（I ）由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=， BC AC +=，两式相减，得1AB =．（II ）由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =g g ，得1 3 BC AC =g ，由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-=g 22()21 22 AC BC AC BC AB AC BC +--= =g g ，所以60C =o ．例3.已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝（1,3-），n ＝（cos A ,sin A ）.若m ⊥n ，且a cos B +b cos A =c sin C ，则角B ＝ 6 π . 例4.设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ，且A =60o ，c =3b.求a c 的值；解：由余弦定理得2222cos a b c b A =+-＝2221117 ()2,3329 c c c c c +-=g g g 故3a c = 例5.在△ABC 中，三个角,,A B C 的对边边长分别为3,4,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为 . 61 2 例6.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若() C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________. 3 例7.(2009年广东卷文)已知ABC ?中， C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==75A ∠=o ，则b = 【解析】0000000 sin sin 75sin(3045)sin 30cos 45sin 45cos30A ==+=+=

正余弦定理专题

解斜三角形（正余弦定理灵活应用） 1.正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin =2R.（关键点“比”）利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题. （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角；（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角.（从而进一步求出其他的边和角） 2.余弦定理： a2=b2+c2－2bccosA ；① b2=c2+a2－2cacosB ；② c2=a2+b2－2abcosC. ③ 在余弦定理中，令C =90°，这时cos C =0，所以c 2=a 2+b 2. cos A =bc a c b 2222-+； cos B =ca b a c 2222-+； cos C =ab c b a 22 22-+. 利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角. 可能出现一解、两解或无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”. 判断三角形的形状： 1.在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ，则△ABC 的形状一定是（）答案：C A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 2.下列条件中，△ABC 是锐角三角形的是（）答案：C A.sin A +cos A =51 B.AB ·＞0 C.tan A +tan B +tan C ＞0 D.b =3，c =33，B =30° 解析：由sin A +cos A =51 得2sin A cos A =－25 24＜0，∴A 为钝角. 由AB ·BC ＞0，得BA ·BC ＜0，∴cos 〈BA ，BC 〉＜0.∴B 为钝角. 由tan A +tan B +tan C ＞0，得tan （A +B ）·（1－tan A tan B ）+tan C ＞0. ∴tan A tan B tan C ＞0，A 、B 、C 都为锐角. 由 B b sin = C c sin ，得sin C =23，∴C =3π或3 π2. 3.在△ABC 中，sin A =C B C B cos cos sin sin ++，判断这个三角形的形状. 解：a =ab c b a ca b a c c b 22222222-++-++，所以b （a 2－b 2）+c （a 2－c 2）=bc （b +c ）.所以（b +c ）a 2=（b 3+c 3）+bc （b +c ）.所以a 2=b 2－bc +c 2+bc .所以a 2=b 2+c 2.所以△ABC 是直角三角形. 解斜三角形（求角度和长度） 4.已知（a +b +c ）（b +c －a ）=3bc ，则∠A =_______.

正弦与余弦定理练习题及答案

正弦定理练习题 1．在△ABC 中，∠A ＝45°，∠B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A.6 B. 2 C. 3 D ．2 6 2．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( ) A ．4 2 B ．4 3 C ．4 6 D.32 3 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对 4．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( ) A ．1∶5∶6 B ．6∶5∶1 C ．6∶1∶5 D ．不确定 5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( ) A ．1 B.12 C ．2 D.1 4 6．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 7．已知△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，∠B ＝30°，则△ABC 的面积为( )

A.32 B.34 C.32或 3 D.34或32 8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 9．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1， c ＝3，C ＝π 3，则A ＝________. 10．在△ABC 中，已知a ＝43 3，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 11．在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________. 12．在△ABC 中，a ＝2b cos C ，则△ABC 的形状为________． 13．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝63，b ＝12，S △ABC ＝183，则 a ＋ b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝________，c ＝________. 14．在△ABC 中，已知a ＝32，cos C ＝1 3，S △ABC ＝43，则b ＝________. 15．在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，若a ＝23，sin C 2cos C 2＝14，sin B sin C ＝cos 2A 2，求A 、B 及b 、c . 16．△ABC 中，ab ＝603，sin B ＝sin C ，△ABC 的面积为153，求边b 的长．

(完整版)正余弦定理综合习题及答案

正余弦定理综合 1.（2014天津）在ABC D 中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知1 4 b c a -= ，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_______. 2.（2014广东）.在ABC ?中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知 b B c C b 2cos cos =+，则 =b a . 3.已知ABC ?的内角 21)sin()sin(2sin ,+ --=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（） A.8)(>+c b bc B.)(c a ac + C.126≤≤abc D. 1224abc ≤≤ 4. （2014江苏）若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是。 5.（2014新课标二）钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( ) A. 5 B. 5 C. 2 D. 1 6、（2014浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练.已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面的射击线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小.若则的最大值。（仰角为直线AP 与平面ABC 所成角） 7．(2011·天津)如图，在△ABC 中，D 是边AC 上的点，且AB ＝AD, 2AB ＝3BD ，BC ＝2BD ，则sin C 的值为 ( ) A.33 B.36 C.63 D.66 8.（2014浙江）本题满分14分）在ABC ?中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知,3a b c ≠=，22cos -cos 3sin cos -3sin cos .A B A A B B = （I ）求角C 的大小；（II ）若4 sin 5 A = ，求ABC ?的面积.

正弦定理和余弦定理-知识点与题型归纳

2sin sin sin ===a b c R A B C (其中R 为△外接圆的半径) 变形1:2sin ,2sin ,2sin ,===a R A b R B c R C 变形2：sin ,sin ,sin ,222= ==a b c A B C R R R 变形3：∶∶∶∶sinA sinB sinC=a b c 注意：(补充) 关于边的齐次式或关于角的正弦的齐次式均可利用正弦定理进行边角互化。知识点二余弦定理 222 222222222222222cos ,22cos ,2cos ,cos ,22cos .cos .2?+-=??=+-?+-??=+-?=??=+-???+-?=?? b c a A bc a b c bc A a c b b a c ac B B ac c a b ab C a b c C ab 注意：(补充) （1）关于边的二次式或关于角的余弦

均可考虑利用余弦定理进行边角互化。（2）勾股定理是余弦定理的特例（3）在?ABC 中，222090??<+?<+?>a b c A 用于判断三角形形状《名师一号》P63问题探究问题3 判断三角形形状有什么办法？判断三角形形状的两种途径：一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．知识点三三角形中常见的结论 △的面积公式有： ①S ＝a ·h (h 表示a 边上的高)； ②S ＝＝＝＝；知两边（或两边的积）及其夹角可求面积 ③S ＝r (a ＋b ＋c )(r 为内切圆半径)． (补充)