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初中数学竞赛第十四讲圆内接四边形与四点共圆

第十四讲圆内接四边形与四点共圆

【趣题引路】

著名的“九点圆”是由欧拉于1765年了解到的.后来又由年仅22岁的费尔巴赫(1800-1834)于1822年重新发现,并称之为九点圆,这九个点是(如图)?:? 三角形ABC 的三条边的中点A ′、B ′、

C ′，E 、C ′、A ′、B ′与F 、C ′、A ′、B ′.??

故A ′、B ′、C ′、D 、E 、F 六点共圆.

在△HBC,△HCA 和△HAB 中,同理可证

L 、M 、N 也同圆于上面六个点所共的圆.?因

此,A ′、B ′、C ′、D 、E 、F 、L 、M 、N 九点

共圆.

我们知道,任何三角形都有内切圆、外

接圆、旁切圆等，?

还有鲜为人知的五点圆、第二莱莫恩六点圆、泰劳(Taylor)

六点圆，七点圆、富曼八点圆等等。

【知识延伸】

圆内接四边形和四点共圆之间有着非常密切的联系,?这是因为顺次连结共圆四点就成为圆内接四边形.实际上,在许多题目的已知条件中,并没有给出圆,有时需要通过证明四点共圆,把实际存在的圆找出来,然后再借助圆的性质得到要证明的结论.确定四点共圆的办法主要有:

1.诸点到某定点的距离相等,则诸点在同一圆周上.

2.若四边形对角互补或有一个外角等于它的内对角,则这四点共圆.

3.同底同侧的等角的三角形的各顶点共圆;同斜边的直角三角形的各顶点共圆.

4.若直线AB 与CD 相交于P,而且PA ·PB=PC ·PD,则A 、B 、C 、D 共圆. 要证多点共圆,一般根据题目条件先证四点共圆,再证其他点也在这个圆上. 例1 已知,四边形ABCD 内接于圆,连对角线AC 、BD.

求证:AC ·BD=AB ·CD+AD ·BC.

证明作ABK=∠CBD,BK 交AC 于点K,(如图).

由于∠BAK=∠BDC,∴△BAK ∽△BDC,

∴AB DB AK CD

即AB ·CD=AK ·BD ①

∵∠BCK=∠BDA,

∠CBK=∠CBD+∠DBK=∠KBA+∠DBK=∠DBA

∴△CBK∽△DBA.

∴BC DB CK AD

即BC·AD=BD·CK. ②

①+②,得

AB·CD+BC·AD=BD(CK+AK)=BD·AC.

点评

此题就是著名的托勒密(Ptole-my)定理,?即“圆内接四边形两条对角线的乘积等于两组对边乘积的和”.它综合运用圆和相似形的知识,证明线段的积、差,?也揭示了圆内接四边形的一个独特的性质.

更推广一些,便可得到:对于任何凸四边形ABCD,都有AB·CD+BC·AD≥AC·BD,其中等号当且仅当四边形内接于圆时成立.

托勒密定理的逆命题也成立,?即“在凸四边形两对角线的乘积等于它的两组对边乘积之和时,此四边形内接于圆.”你能证明吗?

例2 已知:如图,设四边形ABCD满足条件AB·CD+AD·BC=AC·BD.

求证:A、B、C、D四点共圆.

证明作∠ECD=∠ACB,∠EBC=∠CAD,于是△BEC∽△ADC,

∴BE BC

AD AC

=,即BE.AC=AD.BC,?①

BC EC

AC DC

=. ②∵∠1=∠2,

∴△ACB∽△DCE,

∴∠3=∠4, AB AC

DE DC

=,即DE·AC=AB·DC,③

①+③,得(BE+DE)AC=AD·BC+AB·DC.

∵AC·BD=AB·CD+AD·BC(已知条件)

∴BE+DE=BD,

∴E在BD上,∠3与∠BDC重合.

∴∠BDC=∠BAC,∴A、B、C、D四点共圆.

点评

这个逆定理也是证明四点共圆的重要依据.

例3已知,如图,P是△ABC的外接圆上一点,由P 向各边BC、CA、AB?引垂线PD、PE、PF.

求证:三个垂足D、E、F共线.

证明连结DE、DF、PB、PC.

∵PD⊥BC,PE⊥AC,

∴∠PDC=∠PEC=90°

∴P 、D 、C 、E 四点共圆,

∴∠PDE=∠PCE,

∵∠PDB=∠PFB=90°,

∴P 、D 、F 、B 四点共圆.

∴∠PDF+∠PBF=180°.

∵A 、B 、P 、C 四点共圆,

∴∠PBF=∠PCE,

∴∠PDF+∠PDE=∠PDF+∠PCE=∠PDF+∠PBF=180°.

∴DE ·DF 成一条直线,即D 、E 、F 三点共线.

点评

此题就是“西摩松线”,即从△ABC 外接圆上任一点P?到三边所作垂线的垂足在同一条直线上,简称“西摩松定理”.它的逆命题也成立.即:从一点P 向△ABC 的三边(或它们的延长线)作垂线,若三个垂足L 、M 、N 在同一条直线上,则点P 在△ABC?的外接圆上,证明如下:如图

∵∠BNP 和∠PLB 都是直角,

∴N 、B 、L 、P 四点共圆.

∴∠NBP=∠NLP,①

∵∠PLC 和∠PMC 都是直角,

∴P 、L 、M 、C 四点共圆,

∴∠NLP=∠MCP, ②

由①、②,得∠NBP=∠MCP,

故A 、B 、P 、C 四点共圆,即P 在△ABC 的外接

圆上. 例4 已知:四边形ABCD 内接于⊙O,对角线AC

与BD 相交于M,如图,

求证: AB AD AM CB CD CM =。证明 ∴ABM ADM CBM CDM

S S AM MC S S ????== ∴ABM ADM ABD CBM CDM CBD

S S S AM MC S S S ??????+==+ ∵∠BAD+∠BCD=180°,

∴1sin 21sin 2

ABD CBD AB AD BAD S AM AB AD MC S CB CD BC DC BCD ??∠===∠

即AB AD AM CB CD CM .

点评

本题利用两个三角形面积之比的性质来证明,对拓展证题思路,灵活运用所学的基础知识解决问题,大有益处,本题的结论可作定理运用.

【好题妙解】

佳题新题品味

例1 如图,过正方形ABCD 的顶点A 作

45°的角与CB 、DC?的延长线分

别交于E 、F 两点,即∠

EAF=45°;DB 、AE 的延长线交于

点O 1;DB 、AF 交于点O 2;EO 2?的

延长线交DF 于点P,连结AO 、FE

的延长线交AO 于点H,又DO 1,EF

交于点O 3,连结O 1H,O 2H,AP.由

以上条件,你能推出哪些结

论?(不再标注任何字母,不再添

加任何辅助线).

解析首先,如图,∠1=∠EAF=45°,

即有A 、E 、B 、O 2四点共圆;同样,?∠2=∠EAF=45°,

则A 、O 1、F 、D 四点共圆;

由上述四点共圆知∠AO 2E=∠ABE=90°,?∠AO 1F=∠ADF=90°,

所以E 、O 1、F 、O 2四点共圆.

又在△AOF 中,∵OO 2⊥AF,AO 1⊥OF,

∴E 为△AOF 的垂心,?这样六个四点共圆继续出现,

即(A 、H 、E 、O 2),(E 、H 、O 、O 1),(E 、O 1、F 、O 2),

(A 、O 、O 1、O 2),(O 、F 、O 2、H),(F 、A 、H 、O 1)四点共圆.

由于FH ⊥AO,

∴(A 、H 、E 、B),(A 、H 、F 、D)均四点共圆;

仔细观察,显然(A 、?O 2、P 、D),(O 2,Q 、C 、P)亦四点共圆;

还有(E 、O 1、F 、D)也是四点共圆.

由上述四点共圆有∠3=∠4,∠3=∠5,

则∠4=∠5.

∵FH ⊥AH,FD ⊥AD,

∴AH=AD,就是说点A 到EF 的距离恰好等于正方形的边长.

∴又有FH=FD,EF=PF,EO 2=PO 2,HO 2=DO 2

,AE=AP.

∵Rt △AHE ≌Rt △ABE,Rt △AHE ≌△ADP,

∴Rt △ABE ≌Rt △ADP,∴S △ABE = S △ADP ,

∴EF=DF -BE,即S △AEF = S △ADF - S △ABE .

同时有2AO AE =cos45o

=2, 1AO AF =sin45o

, ∴△A O 1O 2∽△AFE.

∴12

121sin 4521212sin 452

AO O AFE AO AO S S AF AE ???===? ∵∠O 2OF=∠O 1AO 2=45°,∴O 2O=O 2F.

由诸多四点共圆即有∠6=∠4,∠3=∠5,∠4=∠5,

∴∠3=∠6.

∵∠7=∠8=45°,∠9=∠EAO2=45°,

∴∠7=∠9,故E 为△HO 1O 2的内心.

显然点O 为△AEF 的垂心,由于O 2A=O 2E=O 2P,

∴O 2为△AEP 的外心.

∵∠4=∠5,∠AEH=∠AEB,

∴点A 为△ECF 的旁心(?旁心指三角形一内角平分线与另两个角的外角平分线的交点) ∵∠O 1HO 2=∠7+∠9=45°+45°=90°,

∴HO 12+HO 22=O 1O 22.

而HO 1=BO 1,HO 2=DO 2,

∴BO 12+DO 22=O 1O 22.

点评

这种类型称为几何探索题,是指问题的结论没有明确给出,需要自己探索,?解这类问题的思路是:从给定的条件出发,进行探索,归纳,猜想出结论,?然后对猜想出的结论进行证明,此题是用构造法解题的范例,是用发现法研究问题的典型,?认真回味,其乐无穷. 例 2 如图,由△ABC 的各边向外侧作正三角形

BCD 、CAE 、ABF,

求证:三直线AD 、BE 、CF 相交于一点.

证明设BE 、CF 相交于点O,连AO 、OD,△AEC 是

正三角形,

∴AE=AC,∠CAE=60°,

同理AB=AF,∠

BAF=60°, ∵∠CAF=∠BAF+∠BAC,

∠BAE=∠CAE+∠BAC, ∴∠BAE=∠CAF,

∴△BAE ≌△FAC.

∴∠1=∠2,可知A、O、C、E四点共圆,

∠3=∠4,可知A、O、B、F四点共圆.

∵∠AEC=∠AFB=60°,∴∠AOC=∠AOB=120°.

∵∠AOB+∠AOC+∠BOC=360°,

∴∠BOC=120°,∵∠BDC=60°,

∴∠BOC+∠BDC=180°,

∴O、B、D、C四点共圆,

∴∠COD=∠CBD=60°,

∵∠AOC=120°,∴∠AOC+∠COD=180°,

即得A、O、D三点在一直线上,最后得证BE、CF、AD交于点O.

点评

这是三线共点问题,可先设BE与CF相交于一点O,然后再证明AD也经过点O即可.?即证A、D、O三点在一条直线上,这就把三线共点问题转化为三点共线问题来证明.

中考真题欣赏

例1 (2003年辽宁省中考题)(1)如图1,已知直线AB为圆心O,交⊙O于点A、?B,直线AF交⊙O于F(不与B重合),直线L交⊙O于点C、D,交AB于E,且与AF垂直,垂足为G,连结AC、AD.

求证:①∠BAD=∠CAG;

②AC·AD=AE·AF.

(2)在问题(1)中,当直线L向上平行移动,与⊙O相切时,其他条件不变.

(1) (2)

①请你在图2中画出变化后的图形,并对照图1,标记字母;

②问题(1)中的两个结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,?请说明理由.

(1)证明①连结BD,∵AB是⊙O的直径,

∴∠ADB=90°,∵CD⊥AF,

∴∠AGC=∠ADB=90°,

∵四边形ACDB是⊙O内接四边形,

∴∠ACG=∠B.

∴∠BAD=∠CAG.

②连结CF,∵∠BAD=∠CAG,∠EAG=∠FAB,

∴∠DAE=∠FAC,∵∠ADC=∠F,

∴△ADE ∽△AFC,∴AD AE AF AC

=, ∴AC ·AD=AE ·AF;

(2)①变化后的图形如图所示.

②两个结论都成立,证明如下:如图.

①连结BC,∵AB 是直径,∴∠ACB=90°.

∴∠ACB=∠AGC=90°.

∵GC 切⊙O 于C,∴∠GCA=∠ABC,

∴∠BAC=∠CAG(即∠BAD=∠CAG).

②连结CF,∵∠CAG=∠BAC,∠GCF=∠GAC,

∴∠GCF=∠CAE,∠ACF=∠ACG-∠GFC,?∠E=∠ACG-∠

CAE, ∴∠ACF=∠

E, ∴△ACF ∽△AEC,∴AC AF AE AC

=, ∴AC 2=AE ·AF(即AC ·AD=AE ·AF).

点评

充分利用圆内接四边形外角等于它的内对角和Rt △两锐角互余及弦切角等性质解决此题.

例2 (2003年江西省中考题)如图,在⊙O 中,AB 是直径,CD 是弦,AB ⊥CD,

(1)P 是CAD 上一点(不与C 、D 重合),求证:∠CPD=∠COB.

(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时,∠CP ′D 与∠COB

有什么数量关系?请证明你的结论.

(1)证明连结OD,∵AB 是直径,∴AB ⊥CD,

∴BC=BD,∴∠COB=∠DOB=

12∠COD. 又∵∠CPD=12

∠COD,∴∠CPD=∠COB. (2)解析 ∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是: ∠CP ′D+∠COB=180°,证明如下:

∵∠CPD=∠CP ′D=180°,∠COB=∠CPD.

∴∠CP ′D+∠COB=180°.

点评

此题证明∠COB=∠P 是判定∠CP ′D+∠COB=180°的关键.

竞赛样题展示

例1 (2002年“我爱数学”初中生夏令营数学竞赛)设AB 、CD 为⊙O 的两直径,?过B 作PB 垂直AB,并与CD 延长线相交于点P.过P 作直线PE,与圆分别交于E 、F 两点,?连AE 、AF 分别与CD 交于G,H 两点如图.

求证:OG=OH.

证明作FK ∥GH 与AB,AE 分别交于点M 、K.

过点O 作ON ⊥EF 交EF 于点N,

∵∠PBO=?∠ONP=90°.

∴O 、P 、B 、N 四点共圆.

又∵∠MFN=∠OPN,故∠MFN=∠OBN,

因此M 、F 、B 、N 四点共圆,∠MNF=∠MBF=∠AEF,

从而MN ∥KE,

∴KM=MF,OH=OG.

点评

在处理平面几何中的许多问题时,常常要借助于圆的性质,问题才能得以解决,?有时题中条件就根本没有涉及圆,有时题中有圆,但此圆并不是我们直接要用的圆,?这就需要我们利用已知条件,借助图形,证四点共圆,?把需要用到的实际存在的圆找出来.

例2 (2002年四川省初中数学竞赛)如图,P 是⊙P 外一点,PA 与⊙O?切于点A,PBC 是

⊙O 的割线,AD ⊥PO 于D.

求证:PB:BD=PC:CD.

证明连结OA 、OB 、OC,则PA 2=PD ·PO=PB ·PC,于是B 、C 、O

、D 四点共圆,∴有△PCD ∽△POB,则

PC PO PO CD OB OC

==, ∵△POC ∽△PBD, ∴

PO PB OC BD

=. 由①、①,有PB PC BD CD =.

点评

本题利用切割线定理的逆定理证明B 、C 、O 、D 共圆,?从而得到同弧所对的圆周角相等,将已知的角与未知的角联系起来了.

初中数学竞赛——圆4.四点共圆

第1讲四点共圆典型例题一. 基础练习【例1】如图，P 为ABC △内一点，D 、E 、F 分别在BC 、CA 、AB 上．已知P 、D 、C 、E 四点共圆，P 、E 、A 、F 四点共圆，求证：B 、D 、P 、F 四点共圆．【例2】如图7-55，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，过B 、C 两点作一圆，AB 、CD 的延长线交该圆于点 E 、 F ．求证：A 、D 、E 、F 四点共圆．【例3】如图，⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点，P 是BA 延长线上一点，割线PCD 交⊙1O 于C 、D ，割线PEF 交⊙2O 于E 、F ，求证：C 、D 、E 、F 四点共圆． P E C B A D F P F D C B A E

【例4】如图7-56，在△ABC 中，AD =AE ，BE 与CD 交于点P ，DP =EP ，求证：B 、C 、E 、D 四点共圆．【例5】如图，已知ABC △是⊙O 的内接三角形，⊙O 的直径BD 交AC 于E ，AF BD ⊥于F ，延长 AF 交BC 于G ，求证：2AB BG BC =?．【例6】如图7－63，在ABCD □的对角线上，任取一点P ，过点P 作AB 、CD 的公垂线EG ，又作AD 、 BC 的公垂线FM ．求证：EF //GM ．【例7】如图7-66，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，DE ⊥AC ，AF ⊥BD ，点E 、F 是垂足．求证： EF //BC ． O G F E C D B A

【例8】如图7-60，已知△ABC ，AB 、AC 的垂直平分线交AC 、AB 的延长线于点F 、E ．求证：E 、F 、 C 、B 四点共圆．【例9】如图，已知：60ABD ACD ∠=∠=o ， 1 902 ADB BDC ∠=∠-∠o ．求证：ABC △是等腰三角形．二. 综合提高【例10】如图7-61，在⊙O 中，AB ∥CD ，点P 是AB 的中点，CP 的延长线交⊙O 于点F ，又点E 为弧 BD 上任一点，连EF 交AB 于点G ．求证：P 、G 、E 、D 四点共圆．【例11】如图7-62，在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB =AC ，BM =MC ，过M 、C 任作一圆，与AC 交于点E ，BE 与圆交于F 点，求证：AF ⊥BE ． C D B A

人教版初三数学圆的测试题及答案

九年级圆测试题一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图，直角三角形A BC 中，∠C ＝90°，A C ＝2，A B ＝4，分别以A C 、BC 为直径作半圆，则图中阴影的面积为（） A 2π－ 3 B 4π－4 3 C 5π－4 D 2π－23 2．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（） A 1∶2∶3 B 1∶ 2∶3 C 3∶2∶1 D 3∶2∶1 3．在直角坐标系中,以O(0，0)为圆心,以5为半径画圆,则点A(3-,4)的位置在（） A ⊙O 内 B ⊙O 上 C ⊙O 外 D 不能确定 4．如图，两个等圆⊙O 和⊙O ′外切，过O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB 等于（） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 5．在Rt △A BC 中，已知A B ＝6，A C ＝8，∠A ＝90°，如果把此直角三角形绕直线A C 旋转一周得到一个圆锥，其表面积为S 1；把此直角三角形绕直线A B 旋转一周得到另一个圆锥，其表面积为S 2，那么S 1∶S 2等于（） A 2∶3 B 3∶4 C 4∶9 D 5∶12 6．若圆锥的底面半径为 3，母线长为5，则它的侧面展开图的圆心角等于（） A ． 108° B ． 144° C ． 180° D ． 216° 7．已知两圆的圆心距d = 3 cm ，两圆的半径分别为方程0352 =+-x x 的两根，则两圆的位置关系是（） A 相交 B 相离 C 相切 D 内含 8．四边形中，有内切圆的是（） A 平行四边形 B 菱形 C 矩形 D 以上答案都不对 9．如图，以等腰三角形的腰为直径作圆，交底边于D ，连结AD ，那么

初中数学圆的经典测试题及解析

初中数学圆的经典测试题及解析一、选择题 1．如图，有一个边长为2cm 的正六边形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大圆形纸片，则这个圆形纸片的半径是（） A ．3cm B ．2cm C ．23cm D ．4cm 【答案】A 【解析】【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB 的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图所示，正六边形的边长为2cm ，OG ⊥BC ， ∵六边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠BOC=360°÷6=60°， ∵OB=OC ，OG ⊥BC ， ∴∠BOG=∠COG= 12 ∠BOC =30°， ∵OG ⊥BC ，OB=OC ，BC=2cm ， ∴BG= 12BC=12×2=1cm ， ∴OB=sin 30 BG o =2cm ， ∴OG=2222213OB BG -=-=， ∴圆形纸片的半径为3cm ，故选：A ．【点睛】

本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键． 2．如图，正方形ABCD内接于⊙O，AB=22，则?AB的长是（） A．πB．3 2 πC．2πD． 1 2 π 【答案】A 【解析】【分析】连接OA、OB，求出∠AOB=90°，根据勾股定理求出AO，根据弧长公式求出即可．【详解】连接OA、OB， ∵正方形ABCD内接于⊙O， ∴AB=BC=DC=AD， ∴???? AB BC CD DA ===， ∴∠AOB=1 4 ×360°=90°，在Rt△AOB中，由勾股定理得：2AO2=（2）2，解得：AO=2， ∴?AB的长为902 180 π′ =π，故选A．【点睛】本题考查了弧长公式和正方形的性质，求出∠AOB的度数和OA的长是解此题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C271为半径的⊙C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（）

(完整版)初中数学圆--经典练习题(含答案)

圆的相关练习题 1、已知：弦AB 把圆周分成1：5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为。 2、如图：在⊙O 中，∠AOB 的度数为1200，则的长是圆周的。 3、已知：⊙O 中的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1，则弦AB 的长为 cm ，AB 的弦心距为 cm 。 4、如图，在⊙O 中，AB ∥CD ，的度数为450，则∠COD 的度数为。 5、如图，在三角形ABC 中，∠A=700，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则 ∠BOC=（）。 A ．140° B ．135° C ．130° D ．125° （第2题图）（第4题图）（第5题图） 6、下列语句中，正确的有（） (1)相等的圆心角所对的弧相等； (2)平分弦的直径垂直于弦； (3)长度相等的两条弧是等弧； (4) 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7、已知：在直径是10的⊙O 中，的度数是60°，求弦AB 的弦心距。 8、已知：如图，⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ，求证：

600 9. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？ 10. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）（A ）ο15 （B ）ο30 （C ）ο45 （D ）ο60 2.（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1 寸，AB ＝10寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为（）（A ）2 25寸（B ）13寸（C ）25寸（D ）26寸 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（）（A ）2厘米（B ）22厘米（C ）4厘米（D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为 10厘米和17厘米，则这两圆的圆心距为（）（A ）7厘米（B ）16厘米（C ）21厘米（D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ο 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（）

初中数学竞赛：共圆点问题

初中数学竞赛：共圆点问题同在一个圆上的许多点称为共圆点，或者说这些点共圆．证明这些点共圆常常利用以下一些方法思考： (1)要证明若干点共圆，先设法发现其中以某两点为端点的线段恰为一直径，然后证明其他点对这条线段的视角均为直角． (2)要证明四点共圆，可证明以这点为顶点的四边形的对角互补，或证某两点视另两点所连线段的视角相等． (3)如果两线段AB，CD相交于E点，且AE·EB=CE·ED，则A，B，C，D四点共圆． (4)若相交直线PA，PB上各有一点C，D，且PA·PC=PB·PD，则A，B，C，D四点共圆． (5)若四边形一个外角等于其内对角，则四边形的四顶点共圆． (6)要证明若干点共圆，先证其中四点共圆，然后再证其余点都在此圆上．共圆点问题不但是几何中的重要问题，而且也是直线形和圆之间度量关系或位置关系相互转化的媒介．例1 设⊙O1，⊙O2，⊙O3两两外切，Y是⊙O1，⊙O2的切点，R，S分别是⊙O1，⊙O2与⊙O3的切点，连心线O1O2交⊙O1于P，交⊙O2于Q．求证：P，Q，R，S四点共圆．分析如图3－54，连YR，则∠PRY=90°，所以∠PRS为钝角，设法证明∠Q与∠PRS互补，则P，R，S，Q共圆．证连RY，PR，RS，SQ，并作切线RX，则在四边形PRSQ中，所以所以P，Q，R，S四点共圆．

例2 设△ADE内接于圆O，弦BC分别交AD，AE边于F，G，分析欲证F，D，E，G四点共圆，由于已知条件中交弦较多，因此，用圆幂定理的逆定理，若能证出AF·AD=AG·AE成立，则F，D，E，G必共圆．径，所以∠FDN=∠FMN=90°，所以F，D，N，M四点共圆，所以 AD·AF=AN·AM．同理，AG·AE=AN·AM，所以 AD·AF=AG·AE，所以F，D，E，G四点共圆．例3 在锐角△ABC中，BD，CE是它的两条高线，分别过B，C引直线DE的垂线，BF⊥DE于F，CG⊥DE于G，求证：EF=DG(图3－56)．分析由已知，四边形BCGF为直角梯形，FG为一腰，要证EF=DG，易想，若OH为梯形中位线，则OH⊥FG于H，如果证得EH=HD，则FE=DG便是显然的了．证过BC中点O，作OH⊥DE于H．因为BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，所以

人教版初中数学第二十四章圆知识点

第二十四章圆 24.1 圆的有关性质 24.1.1 圆 1.平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中，定点称为圆心，定长称为半径，以点O为圆心的圆记作“☉O”，读作“圆O”. 2.确定圆的基本条件：（1）、圆心：定位置，具有唯一性，（2）、半径：定大小. 3.半径相等的两个圆叫做等圆，两个等圆能够完全重合. 4.连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径. 5.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，弧用符号“?”表示，圆的任意一条直径的两个端点分圆成为两条等弧，每一条弧都叫做半圆，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧. 6.在同圆或等圆中，能过重合的两条弧叫做等弧. 24.1.2 垂直于弦的直径垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧. 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：①AB是直径②AB CD ⊥③CE DE =④弧BC=弧BD⑤弧AC=弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等. 即：在⊙O中，∵AB∥CD AC=弧BD B D

24.1.3 弧、弦、圆心角 1.顶点在圆心的角叫做圆心角.圆心角的度数与他所对的弧的度数相等. 2.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等.此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =； ③OC OF =；④弧BA =弧BD 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等. 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，那他们所对的优弧劣弧分别相等. 24.1.4 圆周角 1.顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 2.圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角（或弧的度数）的一半. 即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠ 3.圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中，∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角

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最新整理初三数学教案数学竞赛平面几何讲座：四点共圆问题第四讲四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 1“四点共圆”作为证题目的例1．给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q四点共圆. 分析：设PQ，MN交于K点，连接AP，AM. 欲证M，N，P，Q四点共圆，须证 MK KN＝PK KQ，即证(MC′-KC′)(MC′+KC′) ＝(PB′-KB′) (PB′+KB′) 或MC′2-KC′2=PB′2-KB′2.① 不难证明AP=AM，从而有 AB′2+PB′2=AC′2+MC′2. 故MC′2-PB′2=AB′2-AC′2 =(AK2-KB′2)-(AK2-KC′2) =KC′2-KB′2.② 由②即得①，命题得证. 例2．A、B、C三点共线，O点在直线外，

O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC， △OCA的外心.求证：O，O1，O2， O3四点共圆. 分析：作出图中各辅助线.易证O1O2垂直平分OB，O1O3垂直平分OA.观察△OBC及其外接圆，立得∠OO2O1=∠OO2B=∠OCB.观察△OCA及其外接圆，立得∠OO3O1=∠OO3A=∠OCA. 由∠OO2O1=∠OO3O1O，O1，O2，O3共圆. 利用对角互补，也可证明O，O1，O2，O3四点共圆，请同学自证. 2以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等例3．在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，K，M分别在AD，BC上，∠DAM＝∠CBK. 求证：∠DMA＝∠CKB. 分析：易知A，B，M，K四点共圆.连接KM，有∠DAB＝∠CMK.∵∠DAB+∠ADC ＝180°， ∴∠CMK+∠KDC＝180°. 故C，D，K，M四点共圆∠CMD＝∠DKC. 但已证∠AMB＝∠BKA， ∴∠DMA＝∠CKB. (2)证线垂直例4．⊙O过△ABC顶点A，C，且与AB，

人教版初三数学圆练习题汇总

圆练习题 1.如图，已知线段OA 交⊙O 于点B ，且OB ＝AB ，点P 是⊙O 上的一个动点，那么∠OAP 的最大值是( ) A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 2.如图，已知AB 是⊙O 的直径，AD 切⊙O 于点A ，点C 是EB ︵的中点，则下列结论不成立的是( ) A. OC ∥AE B. EC ＝BC C. ∠DAE ＝∠ABE D. AC ⊥OE 3. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2的⊙P 的圆心P 的坐标为(－3，0)，将⊙P 沿x 轴正方向平移，使⊙P 与y 轴相切，则平移的距离为( ) A. 1 B. 1或5 C. 3 D. 5 4.若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为( ) A. 6，3 2 B. 32，3 C. 6，3 D. 62，32 5.已知⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2 cm 和3 cm ，若O 1O 2＝7 cm ，则⊙O 1和⊙O 2的位置关系是( ) A. 外离 B. 外切 C. 内切 D. 相交 6在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(－3，－1)，C(－3，1)，D(－2，－2)， E(0，－3)． (1)画出△ABC 的外接圆⊙P ，并指出点D 与⊙P 的位置关系． (2)若直线l 经过点D(－2，－2)，E(0，－3)，判断直线l 与⊙P 的位置关系． 7如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为D ，CD 与AB 的延长线交于点C ，∠A ＝30°，给出下面3个结论：①AD ＝CD ；②BD ＝BC ；③AB ＝2BC ，其中正确结论的个数是( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

(专题精选)初中数学圆的易错题汇编及答案

（专题精选）初中数学圆的易错题汇编及答案一、选择题 1．“直角”在几何学中无处不在，下列作图作出的AOB ∠不一定．．．是直角的是（） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】【分析】根据作图痕迹，分别探究各选项所做的几何图形问题可解. 【详解】解：选项A 中，做出了点A 关于直线BC 的对称点，则AOB ∠是直角. 选项B 中，AO 为BC 边上的高，则AOB ∠是直角. 选项D 中，AOB ∠是直径AB 作对的圆周角，故AOB ∠是直角. 故应选C 【点睛】本题考查了尺规作图的相关知识，根据基本作图得到的结论，应用于几何证明是解题关键． 2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（） A ．3 B ．36ππ C ．312π D ．48336ππ 【答案】C 【解析】【分析】易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．

【详解】连接OE ，OF ． ∵BD=12，AD ：AB=1：2， ∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°， ∴S △ABD =×43×12=243,S 扇形= 603616,633933602OEB S ππ?==??=V ∵两个阴影的面积相等， ∴阴影面积=() 224369330312ππ?--=- . 故选：C 【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积． 3．如图，在平面直角坐标系中，点P 是以C （﹣2，7）为圆心，1为半径的⊙C 上的一个动点，已知A （﹣1，0），B （1，0），连接PA ，PB ，则PA 2+PB 2的最小值是（） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 【答案】C 【解析】【分析】设点P （x ，y ），表示出PA 2+PB 2的值，从而转化为求OP 的最值，画出图形后可直观得出OP 的最值，代入求解即可．【详解】设P （x ，y ）， ∵PA 2＝（x +1）2+y 2，PB 2＝（x ﹣1）2+y 2， ∴PA 2+PB 2＝2x 2+2y 2+2＝2（x 2+y 2）+2， ∵OP 2＝x 2+y 2， ∴PA 2+PB 2＝2OP 2+2，当点P 处于OC 与圆的交点上时，OP 取得最值，

初中数学圆经典练习题(含答案)

圆的相关练习题（含答案） 1、已知：弦AB 把圆周分成1：5的两部分，这弦AB 所对应的圆心角的度数为。 2、如图：在⊙O 中，∠AOB 的度数为1200，则的长是圆周的。 3、已知：⊙O 中的半径为4cm ，弦AB 所对的劣弧为圆的3 1，则弦AB 的长为 cm ， AB 的弦心距为 cm 。 4、如图，在⊙O 中，AB ∥CD ，的度数为450，则∠COD 的度数为。 5、如图，在三角形ABC 中，∠A=700，⊙O 截△ABC 的三边所得的弦长相等，则 ∠BOC=（）。 A ．140° B ．135° C ．130° D ．125° （第2题图）（第4题图）（第5题图） 6、下列语句中，正确的有（） (1)相等的圆心角所对的弧相等； (2)平分弦的直径垂直于弦； (3)长度相等的两条弧是等弧； (4) 圆是轴对称图形，任何一条直径都是对称轴 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 7、已知：在直径是10的⊙O 中，的度数是60°，求弦AB 的弦心距。 8、已知：如图，⊙O 中，AB 是直径，CO ⊥AB ，D 是CO 的中点，DE ∥AB ，求证：

600 9. 已知：AB 交圆O 于C 、D ，且AC ＝BD.你认为OA ＝OB 吗？为什么？ 10. 如图所示，是一个直径为650mm 的圆柱形输油管的横截面，若油面宽AB=600mm ，求油面的最大深度。 11. 如图所示，AB 是圆O 的直径，以OA 为直径的圆C 与圆O 的弦AD 相交于点E 。你认为图中有哪些相等的线段？为什么？答案：1.60度 2. 3 2 3. 1 3 4 4.90度 5.D 6.A 7.2.5 8.提示：连接OE ，求出角COE 的度数为60度即可 9.略 10.100毫米 11.AC=OC ， OA=OB ， AE=ED B

高二数学讲义四点共圆

高二数学竞赛班二试平面几何讲义第五讲四点共圆（一）班级姓名一、知识要点： 1. 判定“四点共圆”的方法: （1)若对角互补，则四点共圆；（2）若线段同一侧的两点对线段的张角相等，则四点共圆；（3）圆的割线定理成立，则四点共圆；（4）圆的相交弦定理成立，则四点共圆； 2. “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 二、例题精析：例1. 在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK. 求证：∠DMA ＝∠CKB. （第二届袓冲之杯初中竞赛） A B C D K M ··

例2.给出锐角△ABC，以AB为直径的圆与AB边的高CC′及其延长线交于M，N.以AC为直径的圆与AC边的高BB′及其延长线将于P，Q.求证：M，N，P，Q 四点共圆. (第19届美国数学奥林匹克) 例3．A、B、C三点共线，O点在直线外，O1，O2，O3分别为△OAB，△OBC， △OCA的外心.求证：O，O1，O2， O3四点共圆. (第27届莫斯科数学奥林匹克) A B C K M N P Q B′ C′ A B C O O O O 1 2 3 ？？

三、精选习题： 1．⊙O1交⊙O2于A，B两点，射线O1A交⊙O2于C点，射线O2A 交⊙O1于D点.求证：点A是△BCD的内心. 2．△ABC为不等边三角形.∠A及其外角平分线分别交对边中垂线于A1，A2；同样得到B1，B2，C1，C2.求证：A1A2=B1B2=C1C2.

人教版初中数学圆的技巧及练习题

人教版初中数学圆的技巧及练习题一、选择题 1．一个圆锥的底面半径是5，高为12，则这个圆锥的全面积是（） A ．60π B ．65π C ．85π D ．90π 【答案】D 【解析】【分析】根据勾股定理求出圆锥侧面母线长，再根据圆锥的全面积=底面积+侧面积求出答案. 【详解】 ∵圆锥的底面半径是5，高为12， ∴侧面母线长为2251213+=， ∵圆锥的侧面积=51365ππ??=，圆锥的底面积=2525ππ?=， ∴圆锥的全面积=652590πππ+=，故选：D. 【点睛】此题考查圆锥的全面积，圆锥侧面母线长与底面圆的半径、圆锥的高的关系，熟记计算公式是解题的关键. 2．如图，在平行四边形ABCD 中，BD ⊥AD ，以BD 为直径作圆，交于AB 于E ，交CD 于F ，若BD=12，AD ：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为（） A ．123 B ．1536π-π C ．30312π- D ．48336π-π 【答案】C 【解析】【分析】易得AD 长，利用相应的三角函数可求得∠ABD 的度数，进而求得∠EOD 的度数，那么一个阴影部分的面积=S △ABD -S 扇形DOE -S △BOE ，算出后乘2即可．【详解】连接OE ，OF ． ∵BD=12，AD ：AB=1：2， ∴AD=43 ，AB=83，∠ABD=30°， ∴S △ABD =33,S 扇形= 60361 6,633933602 OEB S ππ?==?=V

∵两个阴影的面积相等， ∴阴影面积=() 224369330312ππ?--=- . 故选：C 【点睛】本题主要是理解阴影面积等于三角形面积减扇形面积和三角形面积． 3．已知，如图，点C ，D 在⊙O 上，直径AB=6cm ，弦AC ，BD 相交于点E ，若CE=BC ，则阴影部分面积为（） A ．934 π- B ． 9942 π- C ． 39 324 π- D ． 39 22 π- 【答案】B 【解析】【分析】连接OD 、OC ，根据CE=BC ，得出∠DBC=∠CEB=45°，进而得出∠DOC=90°，根据S 阴影=S 扇形-S △ODC 即可求得．【详解】连接OD 、OC ， ∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°， ∵CE=BC ， ∴∠CBD=∠CEB=45°， ∴∠COD =2∠DBC=90°， ∴S 阴影=S 扇形?S △ODC = 2903360 π?? ?1 2×3×3=94π ?92.

20年苏教版初中数学《圆有关的最值问题》专题

圆有关的最值问题一、求解方法： 1．根据“三角形三边关系”求解： -≤≤+ a b c a b 2．动中有静，抓住不变量求解． 3．旋转必产生圆，很多情况在相切位置产生最值． 4．四点共圆（补充）．五个基本判断方法： (1)若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆． (2)若一个四边形的一组对角互补（和为180。），则这个四边形的四个点共圆． (3)若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆． (4)若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线所夹的角相等，那么这两个点和这条线的两个端点共圆． (5)同斜边的直角三角形的顶点共圆，二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化．

三、中考展望与题型训练例一、圆外一点与圆的最近点、最远点 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是平面内的一个动点，且AD＝2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是．例二、正弦定理 2．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝4，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O分别交AB、AC于E、F，连结EF，则线段EF长度的最小值为． 3．如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD＝3，AB＝8，PM＝l，则l的最大值是．例三、不等式、配方法 4．如图，已知半径为2的⊙O与直线l相切于点A，点P是直径AB左侧半圆上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为C，PC与⊙O交于点D，连接PA、PB，设PC的长为x （2＜x＜4）．当x为何值时，PD?CD的值最大？最大值是多少？

初三数学圆经典例题

一．圆的定义及相关概念【考点速览】考点1：圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。考点2：确定圆的条件；圆心和半径 ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆；考点3：弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。（请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念）弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）固定的已经不能再固定的方法：求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：考点4：三角形的外接圆：锐角三角形的外心在，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在。考点5 点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，

则点与圆的位置关系有三种。 ①点在圆外?d ＞r ；②点在圆上?d=r ；③点在圆? d ＜r ；【典型例题】例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°,AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。例2．已知，如图，CD 是直径，?=∠84EOD ，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC ，求∠A 的度数。例3 ⊙O 平面一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm 。例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 和CD 的距离是多少？例5 如图,⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm ，EB=2cm, 30=∠CEA ，求CD 的长．例6.已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为3,2，求BAC ∠的度数． A B D C O · E

中考复习：四点共圆问题

第四讲四点共圆问题 “四点共圆”问题在数学竞赛中经常出现，这类问题一般有两种形式：一是以“四点共圆”作为证题的目的，二是以“四点共圆”作为解题的手段，为解决其他问题铺平道路. 1 “四点共圆”作为证题目的例1．给出锐角△ABC ，以AB 为直径的圆与AB 边的高CC ′及其延长线交于M ， N .以AC 为直径的圆与AC 边的高BB ′及其延长线将于P ，Q .求证：M ，N ，P ，Q 四点共圆. 分析：设PQ ，MN 交于K 点，连接AP ，AM . 欲证M ，N ，P ，Q 四点共圆，须证 MK ·KN ＝PK ·KQ ，即证(MC ′-KC ′)(MC ′+KC ′) ＝(PB ′-KB ′)·(PB ′+KB ′) 或MC ′2-KC ′2=PB ′2-KB ′2 . ① 不难证明 AP =AM ，从而有 AB ′2+PB ′2=AC ′2+MC ′2. 故 MC ′2-PB ′2=AB ′2-AC ′2 =(AK 2-KB ′2)-(AK 2-KC ′2) =KC ′2-KB ′2. ② 由②即得①，命题得证. 例2．A 、B 、C 三点共线，O 点在直线外， O 1，O 2，O 3分别为△OAB ，△OBC ， △OCA 的外心.求证：O ，O 1，O 2， O 3四点共圆. 分析：作出图中各辅助线.易证O 1O 2垂直平分OB ，O 1O 3垂直平分OA .观察△OBC 及其外接圆，立得∠OO 2O 1=2 1∠OO 2B =∠OCB .观察△OCA 及其外接圆，立得∠OO 3O 1=2 1∠OO 3A =∠OCA . 由∠OO 2O 1=∠OO 3O 1?O ，O 1，O 2，O 3共圆. 利用对角互补，也可证明O ，O 1，O 2，O 3四点共圆，请同学自证. 2 以“四点共圆”作为解题手段这种情况不仅题目多，而且结论变幻莫测，可大体上归纳为如下几个方面. (1)证角相等例3．在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＞CD ，K ，M 分别在AD ，BC 上，∠DAM ＝∠CBK . 求证：∠DMA ＝∠CKB . 分析：易知A ，B ，M ，K 四点共圆.连接KM ，有∠DAB ＝∠CMK .∵∠DAB +∠ADC ＝180°， ∴∠CMK +∠KDC ＝180°. 故C ，D ，K ，M 四点共圆?∠CMD ＝∠DKC . A B C K M N P Q B ′C ′A B C O O O O 123？？A B C D K M ··

(完整)初中数学“最值问题”_集锦

“最值问题”集锦 ●平面几何中的最值问题 (01) ●几何的定值与最值 (07) ●最短路线问题 (14) ●对称问题 (18) ●巧作“对称点”妙解最值题 (22) ●数学最值题的常用解法 (26) ●求最值问题 (29) ●有理数的一题多解 (34) ●4道经典题 (37) ●平面几何中的最值问题在平面几何中，我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，有时它和不等式联系在一起，统称最值问题．如果把最值问题和生活中的经济问题联系起来，可以达到最经济、最节约和最高效率．下面介绍几个简例．在平面几何问题中，当某几何元素在给定条件变动时，求某几何量（如线段的长度、图形的面积、角的度数）的最大值或最小值问题，称为最值问题。最值问题的解决方法通常有两种：（1）应用几何性质： ①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②两点间线段最短； ③连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短； ④定圆中的所有弦中，直径最长。 ⑵运用代数证法： ①运用配方法求二次三项式的最值； ②运用一元二次方程根的判别式。例1、A、B两点在直线l的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。分析：在直线L上任取一点P’，连结A P’，BP’，

在△ABP’中AP’+BP’＞AB，如果AP’+BP’＝AB,则P’必在线段AB上，而线段AB 与直线L无交点，所以这种思路错误。取点A关于直线L的对称点A’，则AP’＝ AP，在△A’BP中A’P’+B’P’＞A’B,当P’移到A’B与直线L的交点处P点时 A’P’+B’P’＝A’B，所以这时PA+PB最小。 1 已知AB是半圆的直径，如果这个半圆是一块铁皮，ABDC是内接半圆的梯形，试问怎样剪这个梯形，才能使梯形ABDC的周长最大(图3－91)？分析本例是求半圆AB的内接梯形的最大周长，可设半圆半径为R．由于AB∥CD，必有AC=BD．若设CD=2y，AC=x，那么只须求梯形ABDC的半周长u=x+y+R的最大值即可．解作DE⊥AB于E，则x2=BD2=AB·BE＝2R·(R-y)＝2R2-2Ry，所以所以求u的最大值，只须求-x2+2Rx+2R2最大值即可． -x2+2Rx+2R2=3R2-(x-R)2≤3R2，上式只有当x=R时取等号，这时有所以2y=R=x．所以把半圆三等分，便可得到梯形两个顶点C，D，这时，梯形的底角恰为60°和120°． 2 .如图3－92是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为8米(m)，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好？分析与解设x表示半圆半径，y表示矩形边长AD，则必有2x+2y+πx=8，

初中数学圆形经典习题

第二十四章圆经典训练题 24．1 圆一、选择题． 1．如图1，如果AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列结论中，?错误的是（）． A ．CE=DE B ． BC BD = C ．∠BAC=∠BAD D ．AC>AD C (1) (2) (3) 2．如图2，⊙O 的直径为10，圆心O 到弦AB 的距离OM 的长为3，则弦AB 的长是（） A ．4 B ．6 C ．7 D ．8 3．如图3，在⊙O 中，P 是弦AB 的中点，CD 是过点P 的直径，?则下列结论中不正确的是（） A ．A B ⊥CD B ．∠AOB=4∠ACD C ． A D BD = D ．PO=PD 二、填空题 1．如图4，AB 为⊙O 直径，E 是 BC 中点，OE 交BC 于点D ，BD=3，AB=10，则AC=_____． B A 2．P 为⊙O 内一点，OP=3cm ，⊙O 半径为5cm ，则经过P 点的最短弦长为________；?最长弦长为_______． 3．如图5，OE 、OF 分别为⊙O 的弦AB 、CD 的弦心距，如果OE=OF ，那么_______________（只需写一个正确的结论）三、综合提高题 1．如图，⊙O 直径AB 和弦CD 相交于点E ，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD 长．

24.1 圆(第2课时) 一、选择题． 1．如果两个圆心角相等，那么（） A ．这两个圆心角所对的弦相等; B ．这两个圆心角所对的弧相等 C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等; D ．以上说法都不对 2．在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD ，则两条弧AB 与CD 关系是（） A ． A B =2 CD B ． AB > CD C ． AB <2 CD D ．不能确定 3．如图5，⊙O 中，如果 AB =2 AC ，那么（）． A ．AB=AC B ．AB=AC C ．AB<2AC D ．AB>2AC A B A 二、填空题 1．交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的__________________． 2．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的__________________． 3．如图6，AB 和DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，若弦BE=3，则弦CE=________．三、解答题 1．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N ?在⊙O 上．（1）求证： AM = BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则 AM MN NB ==成立吗？ B A

四点共圆问题-(数学竞赛)

P 四点共圆问题四点共圆是平面几何证题中一个十分有利的工具，四点共圆这类问题一般有以下两种形式：（1）证明某四点共圆或者以四点共圆为基础证明若干点共圆；（2）通过某四点共圆得到一些重要结论，进而解决问题下面给出与四点共圆有关的一些基本知识（1）若干个点与某定点的距离相等，则这些点在一个圆上；（2）在若干个点中有两点，其他点对这两点所成线段的视角均为直角，则这些点共圆；（3）若四点连成的四边形对角互补或有一外角等于它的内对角，则这四点共圆；（4）若点C 、D 在线段AB 的同侧，且ACB ADB ∠=∠，则A B C D 、、、四点共圆；（5）若线段AB CD 、交于E 点，且AE EB CE ED =g g ，则A B C D 、、、四点共圆；（6）若相交线段PA PB 、上各有一点C D 、，且PA PC PB PD =g g ，则A B C D 、、、四点共圆。四点共圆问题不但是平面几何中的重要问题，而且是直线形和圆之间度量关系或者位置关系相互转化的媒介。例1、已知PQRS 是圆内接四边形，0 90PSR ∠=，过点Q 作PR PS 、的垂线，垂足分别为点H K 、求证：HK 平分QS 例2、给定锐角ABC V ，以AB 为直径的圆与边AB 上的高线' CC 及其延长线交于点M N 、，以AC 为直径的圆与AC 上的高线' BB 及其延长线交于点P Q 、。证明：M P N Q 、、、四点共圆。例3、在等腰ABC V 中，P 为底边BC 上任意一点，过点P 做两腰的平行线分别与AB AC 、交于点 Q R 、，又点'P 是点P 关于直线QR 的对称点。求证：点'P 在ABC V 分析：

初中数学竞赛第十四讲 圆内接四边形与四点共圆