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全国历年自学考试概率论与数理统计试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二）

课程代码：02197 选择题和填空题详解

试题来自百度文库答案由王馨磊导师提供

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A

2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5

1, P (B )=5

3, 则P (A ∪B )=

( B ) A ．253

B ．2517

C ．5

D ．2523

3．设随机变量X ~B (3, , 则P {X ≥1}= ( C ) A ． B ． C ． D ．解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-3=,故选C.

4．已知随机变量X 的分布律为 ,

则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ． B ． C ． D ．

解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=+=，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4

)3(2

π21)(+-

=x x f , 则E (X ), D (X )分别为

( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3

D ．3, 2

()()，

，度为解：正态分布的概率密+∞<<∞=

x e

x f x -212

2σμσ

与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为?

??≤≤≤≤=,,0,

20,20,),(其他y x c y x f 则常数

c =

( A )

A ．4

B ．2

C ．2

D ．4

解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

则称（X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

由0≤x ≤2，0≤y ≤2，知S=4，所以c=1/4，故选A.

7．设二维随机变量 (X , Y )~N (-1, -2；22, 32；0), 则X -Y ~ ( ) A ．N (-3, -5) B ．N (-3,13) C ．N (1, 13) D ．N (1,13)

解：由题设知，X~N(-1,22)，Y~N(-2，32)，且X 与Y 相互独立，所以E(X-Y)=E(X)-E(Y)=-1-(-2)=1，D(X-Y)=D(X)+D(Y)=13，故选D. 8．设X , Y 为随机变量, D (X )=4, D (Y )=16, Cov (X ,Y )=2, 则XY ρ=( )

A ．

321 B ．

161

C ．8

D ．41

..4

422)

()()(D Y D X D Y X Cov xy 故选，解：直接代入公式=?=

ρ 9．设随机变量X ~2χ(2), Y ~2χ(3), 且X 与Y 相互独立, 则3

/2/Y X ~ ( ) A ．2χ (5) B ．t (5) C ．F (2,3)

D ．F (3,2)

)(~)(~)(~21212221C n m F F F n m n

X m

X F X X n x X m x X ，据此定义易知选，记为分布，的与的分布是自由度为独立，则称与，，解：设=

10．在假设检验中, H 0为原假设, 则显着性水平α的意义是 ( ) A ．P {拒绝H 0|H 0为真} B ．P {接受H 0|H 0为真} C ．P {接受H 0|H 0不真} D ．P {拒绝H 0|H 0不真}

解：在0H 成立的情况下，样本值落入了拒绝域W 因而0H 被拒绝，称这种错误为第一类错误；

}|{..,""}|{0002

002

A H H P H W u u u H H u u P ，故本题选为真拒绝即即为显著水平，而概率即为误的由此可见，犯第一类错，从而拒绝了即样本值落入了拒绝域满足

本值算得的成立的条件下，根据样，在成立因为αααααα=>=>

二、填空题 (本大题共15小题, 每小题2分, 共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11．设A , B 为随机事件, P (A )=, P (B |A )=, 则P (AB )=__________.

解：由概率公式P(AB)=P(A)P(B|A)=×=.

()??

???∈=其他，，），，（0,1

D y x S x f

12．设随机事件A 与B 互不相容, P (A )=, P (A ∪B )=, 则P (B

)=__________.

4.06.01-8.0)(-1-)()(-)()()(1)()()()()()()(0)(=+===-=+=-+==）（，所以，又，从而互不相容，所以与解：因为事件A P AB P A P AB P B P A P A P B P A P AB P B P A P B A P AB P B A Y

13．设A , B 互为对立事件, 且P (A )=, 则P (A B )=__________.

4.0)()(...

======Φ=Ω=A P B A P A AA B A A B B A B A AB B A B A B A A A A 所以，，互为对立事件；显然与则称，，互不相容，即与中至少有一个发生，且与事件若事件的对立事件，记作不发生”为事件解：称事件“Y

14．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布, 则P {X =2}=__________.

9!23}2{23.0...2,1,0!

}{P X ......10X 332k ---=====>==

==e e X P k X k e k k X P n k

，所以，本题中的泊松分布服从参数为，称，其中，，的分布律为，而，，，，的可能值为解：设随机变量λλλλλ

15．设随机变量X ~N (0,42), 且P {X ＞1}=, Φ (x )为标准正态分布函数, 则

Φ=__________.

.5987.0)25.0()25.0(-14013.0)25.0(1}4

140{

1}1{1}1{=ΦΦ=Φ-=-≤--=≤-=>，解得所以，

解：因为X P X P X P 16．设二维随机变量 (X , Y )的分布律为

则P {X =0,Y =1}=______. 解：P {X =0,Y =1}=.

17．设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为??

?≤≤≤≤=,,

10,10,1),(其他y x y x f

则P {X +Y ＞1}=__________.

1))1(1(}1{10

=--==>+????-x xdx dx x dy dx Y X P x

解： 18．设二维随机变量(X ,Y )的分布函数为??

?>>--=--,,0,

0,0),e 1)(e 1(),(其他y x y x F y x

则当x >0时, X 的边缘分布函数F X (x )=__________.

()()()()()

?>-=+∞=-=-==>=-===>??

?>>=???==???-----∞

+--∞

++-∞++-???

0,1),()(2.

1)(0,

)(),()(0.

0,0,0,,,,,100

)(0

22其他：方法时，所以当时，当其他，，得：由解：方法x e x F x F e e

dx e x F x e e e dy e dy y x f x f x y x e y x y x F y x f y x f y x y x F x X x

x x

X x y x y x X y x

19．设随机变量X 与Y 相互独立, X 在区间[0, 3]上服从均匀分布, Y 服从参

数为4的指数分布, 则D (X +Y )=__________.

解：因为随机变量X 与Y 相互独立，所以D (X +Y )= D (X )+D (Y )，又 D (X )=(3-0)2/12=3/4, D (Y )=1/16,故D (X +Y )=3/4+1/16=13/16.

20．设X 为随机变量, E (X +3)=5, D (2X )=4, 则E (X 2)=__________.

解：由E(X+3)=E(X)+3，得E(X)=2,

由D(2X)=4D(X)，得，D(X)=1,故E(X2)=D(X)+(E(X))2=1+4=5.

21．设随机变量X 1, X 2, …, X n , …相互独立同分布, 且E (X i )=, D (X i )=2,

i =1, 2, …,

则=???

???

?>-∑

=→∞

0lim 1

μn n Xi P n

i n __________. .

5.00lim ),1,0(~11

=??

????

???????>--∑∑=∞

→=σμσμn n Xi P N n n Xi n i n n

i 所以的中心极限定理，知解：由独立同分布序列

22．设总体X ~N (, 64), x 1, x 2,…, x 8为来自总体X 的一个样本, x 为样本均值, 则

D (x )=__________.

解：D (x )=D(x)/n=64/8=8. 23．设总体X ~N (),x 1,x 2,…,x n 为来自总体X 的一个样本, x 为样本均值, s 2

为样本方差, 则~/n

s x μ-__________.

解：由表知~/n

s x μ-t(n-1).

24．设总体X 的概率密度为f (x ;θ),其中θ为未知参数, 且E (X )=2θ, x 1,x 2,…,x n

为来自总体X 的一个样本, x 为样本均值.若x c 为θ的无偏估计, 则常数c =__________.

222)()(?)(======c x x c x c x X E x X E X E x ，，所以，又，所以本题；

，即估计总体的均值是用样本均值解：矩估计的替换原理θθθ

25．设总体X ~N (2,σμ),2σ已知, x 1,x 2,…,x n 为来自总体X 的一个样本, x 为样

本均值, 则参数的置信度为1-的置信区间为__________.

()

.,,-1,

22?????

?+--=

n u x n u x n x u u σσαμσ

μμσα

α的置信区间为的所以统计量，因为的置信区间，可用已知时求解：

全国2002年4月高等教育自学考试

概率论与数理统计（二）试题

课程代码：02197

第一部分选择题（共20分）

一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项

是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1.设随机事件A 与B 互不相容，且P(A)>0，P(B)>0，则（D ） (A)=1-P （B ） (AB)=P(A)P(B) (A ∪B)=1 (AB )=1

2.设A ，B 为随机事件，P(A)>0,P （A|B ）=1，则必有（A ）

(A ∪B)=P(A)

? (A)=P(B) (AB)=P(A)

3.将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒投信的概率为（A ） A.2422

B.C C 2142

24!!

4.某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为3

，他连续射击直到命中为止，则射击次数为3的概率是（C ）

A.()3

B.()3

142?

C. ()143

D.C 4221434

()

5.已知随机变量X 的概率密度为f X (x )，令Y=-2X ，则Y 的概率密度f Y (y)为（D ）

(-2y) ()-y

C.-

-1

f y X () D.

f y X ()- 6.如果函数

f(x)=x a x b x a x b

,;,≤≤或0<>??

是某连续随机变量X 的概率密度，则区间[a,b]可以是（C ）

A.〔0，1〕

B.〔0，2〕

C.〔0，2〕

D.〔1，2〕 7.下列各函数中是随机变量分布函数的为（B ）

A.F x x

x 12

11(),=

+-∞<<+∞

B.F x x x x x 20010(),;

=+>??

??≤

C.F x e x x 3(),=-∞<<+∞-

D.F x arctgx x 43412(),=

+-∞<<+∞π

）

A. 112

212 C. 4

D. 512

9.已知随机变量X 和Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E(XY)=（A ） A. 3 B. 6 C. 10 D. 12 10.设Ф(x)为标准正态分布函数，X i =10,,事件发生；事件不发生，

A A ??? i=1，2，…，100，且P(A)=,X 1,X 2,…,X 100

相互独立。令Y=X

i =∑1

100

，则由中心极限定理知Y 的分布函数F(y)近似于（B ） A.Ф(y)

B.Ф(

)y -80

C.Ф(16y+80)

D.Ф(4y+80)

第二部分非选择题（共80分）

二、填空题（本大题共15空，每空2分，共30分）

不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。 11.一口袋中装有3只红球，

2只黑球，今从中任意取出2只球，则这2只球恰为一红一黑的概率是 . 12.设P(A)=

12，P(B|A)=2

，则P(AB)= . 13.则常数a= .

14.设随机变量X ～N （0，1），Ф(x)为其分布函数，则Ф(x)+Ф(-x)= 1 . 15.已知连续型随机变量X 的分布函数为

F x e x x x x x

(),

;(),;,

.=<+

?1301

310212≤≥

设X 的概率密度为f(x)，则当x<0,f(x)= . 16.设随机变量X 与Y 相互独立，且P{X ≤1}=

12，P{Y ≤1}=1

，则P{X ≤1，Y ≤1}= 1/6 . 17.设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，则E （X 2）= 6 . 18.设随机变量X 的概率密度为f(x)=

+∞<<-∞-

x e

x ,212

2π

，则E(X+1)= 1 .

19.设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=1，D(Y)=2，则D(X-Y)= 3 .

20.设随机变量X ～U[0,1]，由切比雪夫不等式可P{|X-12|≥1

}≤ 1/4 .

21.

= 2 .

22.设总体X ～N （(,),,,μσ212X X …,X n 为来自总体X 的样本，X 为样本均值，则D(X )= σ2

n .

23.设总体X 服从正态分布N (,)μσ2，其中μ未知，X 1，X 2，…,X n 为其样本。若假设检验问题为H 0：

σ2=1?≠H 121:σ，则采用的检验统计量应为 (n-1)s2或

()x

x i

i n

-=∑1

24.设某个假设检验问题的拒绝域为W ，且当原假设H 0成立时，样本值（x 1,x 2,…,x n ）落入W 的概率为,则犯第一类错误的概率为

25.设样本X 1，X 2，…,X n 来自正态总体N (,)μ

1，假设检验问题为：H :μ=0?≠H 0:μ，则在H 0

成立的条件下，对显着水平α，拒绝域W 三、证明题（共8分）

26.设A 、B 为两个随机事件，0

P AB P B P AB P B ()()()

(),=

又P AB P A B P A P AB ()()()()=-=-，由以上二式可得 P(AB)=P(A)P(B)，故A 与B 相互独立。证法二：由全概率公式得 P(A)=P B P A B P B P A B ()(|)()(|)+ =[P B P B ()()+]P(A|B) (由题设) =P(A|B)，

则P(AB)=P(B)P(A|B)=P(A)P(B), 故A 与B 相互独立。

四、计算题（共8分）

27.设随机变量X 的概率密度为f(x)=cx x α,;,.010<

?其它且E(X)=，求常数c 和α.

由cx dx cx dx α

α==?????????

+107501101

,.,

可得

c αα+=+=??

?????112075,.,

解得 α==23,.c

五、综合题（本大题共两小题，每小题12分，共24分）

28.设二维随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=e x y y -<

?,;,.00其它

（1）求（X ，Y ）分别关于X 和Y 的边缘概率密度f x (x),f Y (y)；（2）判断X 与Y 是否相互独立，并说明理由；（3）计算P{X+Y ≤1}. 解：（1）边缘概率密度为 fx(x)=f x y dy e dy e x x x y

x (,),;,,==>????

?+∞---∞+∞?

000≤

fx(y)=f x y dx e dx ye y y x y y y

(,),;,,==>????

---∞+∞000≤

（2）由于f(x,y)≠?f x f y X Y ()()，故X 与Y 不独立。

（3）P{X+Y ≤1}=f x y dxdy

x y (,)+??≤1

=dx

e dy

y x

--??

=121

+---e

29.设随机变量X 1与X 2相互独立，且X 1～N (,)μσ2，X 2～N (,)μσ2，令X=X 1+X 2，Y=X 1-X 2.求：（1）D(X),D(Y);(2)X 与Y 的相关系数ρXY .

解：D(X)=D(X1+X2)=D(X1)+D(X2)=2σ2

, D(Y)=D(X1-X2)= D(X1)+ D(X2)=2σ2

, Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

=E X E X E X E X E X E X ()()[(()][()()]12

1212--+?- =D(X1)-D(X2)=0,

则ρXY Cov X Y D X D Y =

=(,)()()

六、应用题（共10分）

30.某大学从来自A ，B 两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm ）后算得

x =，y =；s 21=，s 22=.假设两市新生身高分别服从正态分布X ～N (,)μσ12，Y ～N (,)μσ22

，其中

σ2未知。试求μμ12-的置信度为的置信区间。(9)=，(11)=

解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知，

n1=5,n2=6,x =,y =172,s 12

113=.,s 22=,α=005

.. s n s n s n n w =

-+-+-()()112

212112

= 选取(9)=,

则μμ12-置信度为的置信区间为：

=[,].

全国2011年7月自学考试概率论与数理统计（二）

课程代码：02197

试题来自百度文库答案由绥化市馨蕾园的王馨磊导数提供

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．设A ={2，4，6，8}，B ={1，2，3，4}，则A -B =（） A ．{2，4} B ．{6，8} C ．{1，3}

D ．{1，2，3，4}

B AB A B A B A B A 中的元素，故本题选中去掉集合合说的简单一些就是在集的差事件，记作与事件不发生”为事件发生而解：称事件“-

2．已知10件产品中有2件次品，从这10件产品中任取4件，没有取出次品的概率为（）

A ．1

B ．14

C ．1

D ．12

1789105678;8441041048484

10C C C P C C ，故选本题的概率件正品中取，共有从件中没有次品，则只能若种取法；

件，共有件产品中任取解：从=??????== 3．设事件A ，B 相互独立，()0.4,()0.7,P A P A B =?=，则()P B =（） A ． B ． C ．

D ．

()()()()()()()()()()()()()().

5.04.04.07.0D B P B P B P B P A P B P A P AB P B P A P B A P B P A P AB P B A ，故选，解得代入数值，得，所以，

相互独立，，解：=-+=-+=-+=?= 4．设某试验成功的概率为p ，独立地做5次该试验，成功3次的概率为（） A ．35C

B ．33

(1)C p p - C ．335

C p

D ．32(1)p p -

()

()()()

()().

1335.

,...2,1,0110~2

355B p p C P k n n k p p C k P k A p p A n p n B X k

n k

k n n ，故选，所以，本题，次的概率

恰好发生则事件，的概率为次检验中事件重贝努力实验中，设每定理：在，解：-====-=<<-

5．设随机变量X 服从[0，1]上的均匀分布，Y =2X -1，则Y 的概率密度为（）

A ．1

,11,

()20,

,Y y f y ?-≤≤?=???其他 B ．1,11,()0,,Y y f y -≤≤?=??其他

C ．1

,01,

()20,

,Y y f y ?≤≤?=???其他 D ．1,01,()0,,Y y f y ≤≤?=??其他

()()[]()()()()()()[]

()[][][].

.01,121

.01,1211.01,1212121.01,12

21211,121211201010

10~A y y y y f y f y y h y h f y f y h y y h y y x x y x x f U X X Y X Y X 故选其他，，其他，

，其他，，，得其他，，由公式，

，即，其中，解得由其他，，，

，，，解：?????-∈=?????-∈?=?????-∈??? ??+=???-∈'=='+=-∈+=-=?????≤≤=-=

6．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布为（）

则c =

A ．112

B ．

6 C ．14

D ．13

()()

1411211214161.

1,...2,1,0B c c P j i P Y X j

ij i

ij ，故选，解得由性质②，得②，

①：

的分布律具有下列性质，解：==+++++==≥∑∑

7．已知随机变量X 的数学期望E (X )存在，则下列等式中不恒成立．．．．的是（） A ．E [E (X )]=E (X ) B ．E [X +E (X )]=2E (X ) C ．E [X -E (X )]=0

D ．

E (X 2)=[E (X )]2

()()()().

D C B A X

E X E E X E X 均恒成立，故本题选、、由此易知，

即，期望的期望值不变，的期望是解：=

8．设X 为随机变量2()10,()109E X E X ==，则利用切比雪夫不等式估计概率P{|X-10|≥6}≤

（）

A ．

4 B ．

518 C ．34

D ．10936

()()

()()(){}()

{}.41

961091001092

2A X P X D X E X P X E X E X D ，故选所以；

切比雪夫不等式：，

解：=≤

≥-≤≥-=-=-=εε 9．设0，1，0，1，1来自X ～0-1分布总体的样本观测值，且有P {X =1}=p ，P {X =0}=q ，其中0

D ．4/5

()()().5

?5301?C p

x p q p X E x X E X E x ，故选，所以，本题，，即估计总体均值用样本均值矩估计的替换原理是：解：

===?+?==

10．假设检验中，显着水平α表示（） A ．H 0不真，接受H 0的概率 B ．H 0不真，拒绝H 0的概率 C ．H 0为真，拒绝H 0的概率

D ．H 0为真，接受H 0的概率

{}

00C H H P ，故选为真拒绝即拒真，表示第一类错误，又称解：显著水平αα=

二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．盒中共有3个黑球2个白球，从中任取2个，则取到的2个球同色的概率为________.

.52

223=+=C C C P 解： 12．有5条线段，其长度分别为1，3，5，7，9，从这5条线段中任取3条，所取的3条线段能拼成三角形的概率为________.

()()().

3.039,7,59,7,37,5,3103

5==P C 所以种，

共，，情况有，其中能够成三角形的解：

13．袋中有50个乒乓球，其中20个黄球，30个白球，甲、乙两人依次各取一球，取后不放回，甲先取，则乙取得黄球的概率为________.

{}{}{}()()()()()

4920503049195020=?+?=

+====A B P A P A B P A P B P B A A 由全概率公式，得

，则乙取到黄球，甲取到白球，甲取到黄球解：设

14．掷一枚均匀的骰子，记X 为出现的点数，则P {2

两种情况）

、中有种情况，掷一枚均匀的色子共有（，解：535263

62<<==

x P 15．设随机变量X 的概率密度为230()8

x C f x ?≤≤?=???其它

，则常数C =________.

.28

83130

320

====?

c c x dx x c

，所以解： 16．设随机变量X 服从正态分布N （2，9），已知标准正态分布函数值Φ(1)=，则P {X >5}=________.

{}().1587.011325325=Φ-=?

?????->-=>X P X P 解：

17．设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率分布为

则P （X >1）=________.

()().3.01.02.021=+===>X P X P 解：

18．设二维随机变量（X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，其中D 为x 轴、y 轴和直线x +y ≤1所围成的三角形区域，则P {X

{}.2

<域面积域面积的知识来解，解：本题可用几何概型D P Y X P

19．设X 与Y 为相互独立的随机变量，X 在[0，2]上服从均匀分布，Y 服从参数2λ=的指数分布，则（X ，Y ）的联合概率密度为________.

()()()()()??

?≤<==??

?≤>=?????≤≤=--.01000020102122其他，

，

，，相互独立，所以与因为，，，，其他，

，，

，解：x e Y f X f Y X f Y X x x e Y f x X f x x

20．已知连续型随机变量X 的概率密度为2(1)01

()0x x f x -≤≤?=??

其它，则E (X )=________.

()().3132121

0321

0=??? ?

-=-=?x x dx x x X E 解：

21．设随机变量X ，Y 相互独立，且有如下分布律

COV （X ，Y ）=________.

().27

278327422761273127222743=?+?+?+?-?-?

-=XY E 解： 22．设随机变量X ～B （200,），用切比雪夫不等式估计P {80

{}{}{}.87

50120100201002012080505.05.02001005.02002

≥<-=<-<-=<<=??==?=X P X P X P npq np ，，解：

23．设随机变量t ～t (n )，其概率密度为f t (n )(x )，若/2{||()}P t t n αα>=,则有/2()()()t n t n f x dx α-∞

________.

24．设,αβ分别是假设检验中犯第一、二类错误的概率，H 0，H 1分别为原假设和备择假设，则P {接

受H 0|H 0不真}=________.解：第二类错误，又称取伪，故本题填β.

25．对正态总体2(,)N μσ，取显着水平a =________时，原假设H 0∶2σ=1的接受域为

2220.950.05(1)(1)(1)n n S n χχ-<-<-.

()().1.005.021101

2222--1==???

? ??∞+-???? ??--ααχχααα，，所以本题，，的卡方检验的拒绝域为

，自由度为解：显著水平为n n n Y 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

26．设某地区地区男性居民中肥胖者占25%，中等者占60%，瘦者占15%，又知肥胖者患高血压病的概率为20%，中等者患高血压病的概率为8%，瘦者患高血压病的概率为2%，试求：（1）该地区成年男性居民患高血压病的概率；

（2）若知某成年男性居民患高血压病，则他属于肥胖者的概率有多大？

{}{}{}{}()()()()()()()()()()()()()()

1010.002.015.008.06.02.025.0.102.008.02.015.06.025.0=?+?+?=++===========C D P C P B D P B P A D P A P D P C D P B D P A D P C P B P A P D C B A 由全概率公式，得，

，，，，，，则患高血压，瘦者，中等者，肥胖者解：设

27．设随机变量X 在区间[-1，2]上服从均匀分布，随机变量

1,00,0,1,0X Y X X >??

==??-

求E (Y )，D (Y ).

()()(){}()；即，的概率都等于，去任一指定的实数值，对于连续性随机变量；

；其他，，，，解：3

310.000032310021-310

120==<======>??

???≤≤=?

?-dx X P x X P x X X P dx X P x X f

()()()()()()()()

()()()

()().

891113

1103213131103213

010003

012

22=-=-==?-++?==?-+?==<=-======>==Y E Y E Y D Y E Y E X P Y P X P Y P X P Y P Y ，

；所以，

，；

是离散型随机变量，且由题意可知，随机变量

四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 28．设随机变量X 的概率密度函数为

(1),11,()0,k x x f x +-<

其它.

求（1）求知参数k ；（2）概率P (X >0)；

（3）写出随机变量X 的分布函数.

()()()()()?

????≥<<-+≤==???

??+=+=>==???

??+=+=??-.

11111411-0432121121021221112

021

1-x x x x X F x x dx x X P k k x x k dx x k ，，

，，，；

；

，得解：由

29．设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

,01,01

(,)0,Cxy x y f x y ?<<<

其它

试求：E (X )；E (XY )；X 与Y 的相关系数xy ρ.（取到小数3位）

()()

()()()()()

()()

()()()()()()()()().

191.248010

,10

533221,80

435318

32212

653643621263226.

661

3112

2103102104102

10310103102

1032102102

102101

0≈?===?-=-==??? ??-=-==??? ??-=-=================???????????????Y D X D Y X Cov Y E X E XY E Y X Cov Y E Y E Y D X E X

E X D dy y dx x XY E dy y dx x Y E dy y dx x Y E dx x dy y dx x X E dx x dy y dx x X E C C dx x C dy y dx x C XY ρ；

；

；；

；

；；

；

，得解：由

五、应用题（本大题共1小题，10分）

30．假定某商店中一种商品的月销售量X ～Ｎ(2,μσ)，2,μσ均未知。现为了合理确定对该商品的进货量，需对2,μσ进行估计，为此，随机抽取7个月的销售量，算得，65.143,11.246,x S ==试求μ的95%的置信区间及2σ的90%的置信区间.（取到小数3位）（附表：(6)=. (6)= 22220.0250.050.9750.95(6)14.449.(6)12.595.(6) 1.237.(6) 1.635χχχχ====）

()()()[]()()()()()()[].119.464,249.601111635.16595.126246.116105.02

1.090.544.7574

2.5411246.1114

3.65447.26617025.02

05.09522--12

22222

--12

002222

00≈??

??????----====-===???

?-+--====-===n S n n S n S n n S n t x n S n t x S x t n n ααααα

ααχχχχα

ασα

αμ，的公式，得

，把以上数据代入下面，，

，，，的置信区间：的再求，，的公式，得

，把以上数据代入下面，，，

，，，的置信区间：的解：先求

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设P （A ）＝21，P （B ）＝3

，P （AB ）＝61，则事件A 与B （ A ）

A ．相互独立

B ．相等

C ．互不相容

D ．互为对立事件

2．设随机变量X ～B （4，），则P ｛X>3｝=（ A ） A ． B ． C ．

D ．

3．设随机变量X 的分布函数为F （x ），下列结论中不一定成立．．．．．的是（ D ） A ．F （＋∞）＝1 B ．F （－∞）＝0 C ．0≤F （x ）≤1

D ．F （x ）为连续函数

4．设随机变量X 的概率密度为f (x)，且P ｛X ≥0｝＝1，则必有（ C ） A ．f (x)在（0，＋∞）内大于零 B ．f (x)在（－∞，0）内小于零 C ．

?+∞

1f(x)dx

D ．f (x)在（0，＋∞）上单调增加

5．设随机变量X 的概率密度为f (x)=8

221)x (e

，－∞

A ．N （－1，2）

B ．N （－1，4）

C ．N （－1，8）

D ．N （－1，16）

6．设（X ，Y ）为二维连续随机向量，则X 与Y 不相关．．．的充分必要条件是（ C ） A ．X 与Y 相互独立

B ．E （X ＋Y ）＝E （X ）＋E （Y ）

C ．E （XY ）＝E （X ）E （Y ）

D ．（X ，Y ）～N （μ1，μ2，21σ，22σ，0）

7．设二维随机向量（X ，Y ）～N （1，1，4，9，2

），则Cov （X ，Y ）＝（ B ） A ．

1 B ．3 C ．18

D ．36

8．已知二维随机向量（X ，Y ）的联合分布列为（ B ）

则E （X ）＝ A ． B ． C ．1 D ．

9．设随机变量X 1，X 2，…，X n ，…独立同分布，且i=1，2…，0

令∑

===

i i n .n ,X Y 1

21Λ，，Φ（x ）为标准正态分布函数，则=??

???????≤--∞→11lim n )p (np np Y P n （ B ）

A ．0

B ．Φ（1）

C ．1－Φ（1）

D ．1

10．设总体X ～N （μ，σ2），其中μ，σ2已知，X 1，X 2，…，X n (n ≥3)为来自总体X 的样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则下列统计量中服从t 分布的是（ D ） A ．

1σS

)n (X - B ．

1σμS

)n (X --

C ．

1σσμ

S )n (n

/X --

D ．

σσμ

S n /X -

二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

11．设P （A ）＝31

，P （A ∪B ）＝21，P （AB ）＝41，则P （B ）＝_____5\12__________.

12．设P （A ）＝，P （B ）＝，P （B ｜A ）＝，则P （A ｜B ）＝.

13．若1，2，3，4，5号运动员随机排成一排，则1号运动员站在正中间的概率为____1\5___________. 14．设X 为连续随机变量，c 为一个常数，则P ｛X ＝c ｝＝_______0________.

15．已知随机变量X 的概率密度为f (x)＝??

???<<其它，；

603sin 3ππx ,,x 则P ???X ≤4π???＝_________. 16．设连续随机变量X 的分布函数为F （x ）＝,x ;

x ,,e x 00012≤>?

??-－其概率密度为f (x)，则f (1)＝

_______________.

17．设随机变量X ～N （2，4），则P ｛X ≤2｝＝_______________.

18．设随机变量X 的分布列为，记X 的分布函数为F （x ），则F （2）

＝_______________

19．已知随机变量X ～N （0，1），则随机变量Y ＝2X ＋1的概率密度f Y (y)= _______________. 20．已知二维随机向量（X ，Y ）服从区域G ：0≤x ≤1, 0≤y ≤2上的均匀分布，则

????

≤≤210Y P _______________.

21．设随机变量X 的分布列为令Y ＝2X ＋1，则E （Y ）＝

_______________.

22．已知随机变量X 服从泊松分布，且D （X ）＝1，则P ｛X ＝1｝

＝_______________.

23．设随机变量X 与Y 相互独立，且D （X ）＝D （Y ）＝1，则D （X －Y ）＝_______________. 24．设E （X ）=－1，D （X ）＝4，则由切比雪夫不等式估计概率：P ｛－4

227i i

)(~X

χ，

则应取常数a ＝_______________.

三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 26．设总体X 服从正态分布

N （μ，σ2），抽取样本

x 1,x 2,…,x n ，且∑==

i i

x 1

为样本均值.

(1) 已知σ＝4，12=x ，n=144，求μ的置信度为的置信区间；

(2) 已知σ＝10，问：要使μ的置信度为的置信区间长度不超过5，样本容量n 至少应取多大？

（附：=,=）

27．某型号元件的尺寸X 服从正态分布，且均值为，标准差为.现用一种新工艺生产此类型元件，从中随机取9个元件，测量其尺寸，算得均值x ＝，问用新工艺生产的元件的尺寸均值与以往有无显着差异.

（显着水平α＝）.（附：=, =）

四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

28．设随机变量X 的概率密度为f (x)=.;x ;x ,,x ,x 其它211002<≤<≤??

??-

求：（1）E （X ），D （X ）；

（2）E （X n ），其中n 为正整数.

29．设二维随机向量（X ，Y ）的联合分布列为

试求：（1）（X ，Y ）关于X 和关于Y 的边缘分布列；

（2）X 与Y 是否相互独立？为什么？

（3）P ｛X ＋Y ＝0｝.

五、应用题（共10分）

30．已知一批产品中有95％是合格品，检验产品质量时，一个合格品被误判为次品的概率为，一个次品被误判为合格品的概率是，求：（1）任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率；（2）一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率.

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二）课程代码：02197 选择题和填空题详解试题来自百度文库答案由王馨磊导师提供一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为则称（X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则（1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ，（4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。

《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

一、填空题（每小题3分，共15分） 1．设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2．设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3．设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章随机事件和概率第一节基本概念 1、排列组合初步（1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序）例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

《概率论与数理统计》实验报告答案

《概率论与数理统计》实验报告学生姓名李樟取学生班级计算机122 学生学号201205070621 指导教师吴志松学年学期2013-2014学年第1学期

实验报告一成绩日期年月日实验名称单个正态总体参数的区间估计实验性质综合性实验目的及要求 1．了解【活动表】的编制方法； 2．掌握【单个正态总体均值Z 估计活动表】的使用方法； 3．掌握【单个正态总体均值t 估计活动表】的使用方法； 4．掌握【单个正态总体方差卡方估计活动表】的使用方法； 5．掌握单个正态总体参数的区间估计方法．实验原理利用【Excel 】中提供的统计函数【NORMISINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值Z 估计活动表】，在【单个正态总体均值Z 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【总体标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 1设总体2~(,)X N μσ，其中2σ已知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值于是得到μ的置信水平为1-α 的置信区间为利用【Excel 】中提供的统计函数【TINV 】和平方根函数【SQRT 】，编制【单个正态总体均值t 估计活动表】，在【单个正态总体均值t 估计活动表】中，只要分别引用或输入【置信水平】、【样本容量】、【样本均值】、【样本标准差】的具体值，就可以得到相应的统计分析结果。 2.设总体2~(,)X N μσ，其中2 σ未知，12,,,n X X X L 为来自X 的一个样本，12,,,n x x x L 为样本的观测值整理得 /2/21X z X z n n P αασαμσ? ?=-??? ?-<<+/2||1/X U z P n ασμα????==-??????-

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个无偏估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝。！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

概率论与数理统计试题库

《概率论与数理统计》试题（1）一、判断题（本题共15分，每小题3分。正确打“√”，错误打“×”） ⑴ 对任意事件A 和B ，必有P(AB)=P(A)P(B) ( ) ⑵ 设A 、B 是Ω中的随机事件,则(A ∪B )-B=A ( ) ⑶ 若X 服从参数为λ的普哇松分布，则EX=DX ( ) ⑷ 假设检验基本思想的依据是小概率事件原理（） ⑸ 样本方差2n S = n 121 )(X X n i i -∑=是母体方差DX 的无偏估计（）二、（20分）设A 、B 、C 是Ω中的随机事件，将下列事件用A 、B 、C 表示出来（1）仅A 发生，B 、C 都不发生；（2）,,A B C 中至少有两个发生；（3）,,A B C 中不多于两个发生；（4）,,A B C 中恰有两个发生；（5）,,A B C 中至多有一个发生。三、（15分）把长为a 的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 四、（10分）已知离散型随机变量X 的分布列为 2101 31111115651530 X P -- 求2 Y X =的分布列. 五、（10分）设随机变量X 具有密度函数|| 1()2 x f x e -= ，∞＜ x ＜∞，求X 的数学期望和方差. 六、（15分）某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X 表示在随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求(1430)P X ≤≤. x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 Ф(x) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.977 0.994 0.999 七、（15分）设12,,,n X X X 是来自几何分布 1 ()(1) ,1,2,,01k P X k p p k p -==-=<< ，的样本，试求未知参数p 的极大似然估计.

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业第1题您的答案:B 题目分数：0.５此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题

您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题您的答案:A 题目分数:０.５此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题

您的答案：Ａ题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。第６题您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。第８题您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题

您的答案：C 题目分数：0.５此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。第10题您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。第1１题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。第12题您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题

概率论与数理统计模拟试题

模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶3 发，事件表示“击中i发”，i = 0，1，2，3。那么事件表示( )。 ( A ) 全部击中；( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中；( D ) 击中3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为 ( )。 ( A ) ；( B ) ；(C) ；(D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中0 < p < 1 ，n = 1，2,…，那么，对于任一实数x，有等于( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时内每人需用台秤的概率为，则4人中至多1人需用台秤的概率为：__________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________。三、（10分）已知，求证四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数：五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为10% ,瘦者患高血压病的概率为

5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是：如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为又知随机变量 , 试求w的分布律及其分布函数。九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为 7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？( 分别取和0.01，已知，）十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习第一章概率论的基本概念一.基本概念随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则交换律结合律分配律德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

概率论与数理统计实验报告

概率论与数理统计实验报告概率论部分实验二《正态分布综合实验》

实验名称：正态分布综合实验实验目的：通过本次实验，了解Matlab在概率与数理统计领域的应用，学会用matlab做概率密度曲线，概率分布曲线，直方图，累计百分比曲线等简单应用；同时加深对正态分布的认识，以更好得应用之。实验内容：实验分析：本次实验主要需要运用一些matlab函数，如正态分布随机数发生器normrnd函数、绘制直方图函数hist函数、正态分布密度函数图形绘制函数normpdf函数、正态分布分步函数图形绘制函数normcdf等；同时，考虑到本次实验重复性明显，如，分别生成100,1000,10000个服从正态分布的随机数，进行相同的实验操作，故通过数组和循环可以简化整个实验的操作流程，因此，本次实验程序中要设置数组和循环变量。实验过程： 1.直方图与累计百分比曲线 1）实验程序 m=[100,1000,10000]; 产生随机数的个数 n=[2,1,0.5]; 组距 for j=1:3 for k=1:3 x=normrnd(6,1,m(j),1); 生成期望为6，方差为1的m(j)个正态分布随机数

a=min(x); a为生成随机数的最小值 b=max(x); b为生成随机数的最大值 c=(b-a)/n(k); c为按n(k)组距应该分成的组数 subplot(1,2,1); 图形窗口分两份 hist(x,c);xlabel('频数分布图'); 在第一份里绘制频数直方图 yy=hist(x,c)/1000; yy为各个分组的频率 s=[]; s(1)=yy(1); for i=2:length(yy) s(i)=s(i-1)+yy(i); end s[]数组存储累计百分比 x=linspace(a,b,c); subplot(1,2,2); 在第二个图形位置绘制累计百分比曲线 plot(x,s,x,s);xlabel('累积百分比曲线'); grid on; 加网格 figure; 另行开辟图形窗口，为下一个循环做准备 end end 2）实验结论及过程截图实验结果以图像形式展示，以下分别为产生100,1000,10000个正态分布随机数，组距分别为2,1,0.5的频数分布直方图和累积百分比曲线，从实验结果看来，随着产生随机数的数目增多，组距减小，累计直方图逐渐逼近正态分布密度函数图像，累计百分比逐渐逼近正态分布分布函数图像。

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间：（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；（2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；（4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下（1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件：（1）A发生，B和C不发生；（2）A与B都发生，而C不发生；（3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生；（5）A、B、C不都发生；（6）A、B、C至少有一个发生；（7）A、B、C不多于一个发生；（8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则（1）事件AB表示什么？（2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？（3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？解所求的事件表示如下（1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

概率论与数理统计试题库及答案(考试必做)

<概率论>试题A 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和 0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ? ?<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a =________ b =________ 8. 设X ～2(2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率

为8081 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥=，4{0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分布，则（x,y ）关于X 的边缘概率密度在x = 1 处的值为。 15.已知)4.0,2(~2-N X ，则2(3)E X +＝ 16.设)2,1(~),6.0,10(~N Y N X ，且X 与Y 相互独立，则(3)D X Y -= 17.设X 的概率密度为2 ()x f x -=，则()D X ＝ 18.设随机变量X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N （0，22），X 3服从参数为λ=3的泊松分布，记Y=X 1－2X 2+3X 3，则D （Y ）= 19.设()()25,36,0.4xy D X D Y ρ===，则()D X Y += 20.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且均值为μ,方差为2σ,那么当n 充分大时,近似有X ～或 X ～。特别是，当同为正态分布时，对于任意的n ，都精确有 X ～或～ . 21.设12,,,,n X X X ??????是独立同分布的随机变量序列,且i EX μ=，

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

概率论与数理统计实验报告

概率论与数理统计实验报告一、实验目的 1.学会用matlab求密度函数与分布函数 2.熟悉matlab中用于描述性统计的基本操作与命令 3.学会matlab进行参数估计与假设检验的基本命令与操作二、实验步骤与结果概率论部分：实验名称：各种分布的密度函数与分布函数实验内容： 1.选择三种常见随机变量的分布，计算它们的方差与期望<参数自己设定）。 2.向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5,。记正面向上的次数为x，（1）计算x=45和x<45的概率，（2）给出随机数x的概率累积分布图像和概率密度图像。 3.比较t(10>分布和标准正态分布的图像<要求写出程序并作图）。程序： 1.计算三种随机变量分布的方差与期望 [m0,v0]=binostat(10,0.3> %二项分布，取n=10,p=0.3 [m1,v1]=poisstat(5> %泊松分布，取lambda=5 [m2,v2]=normstat(1,0.12> %正态分布，取u=1,sigma=0.12 计算结果： m0 =3 v0 =2.1000 m1 =5 v1 =5 m2 =1 v2 =0.0144 2.计算x=45和x<45的概率，并绘图 Px=binopdf(45,100,0.5> %x=45的概率 Fx=binocdf(45,100,0.5> %x<45的概率 x=1:100。 p1=binopdf(x,100,0.5>。 p2=binocdf(x,100,0.5>。 subplot(2,1,1>

plot(x,p1> title('概率密度图像'> subplot(2,1,2> plot(x,p2> title('概率累积分布图像'> 结果： Px =0.0485 Fx =0.1841 3.t(10>分布与标准正态分布的图像 subplot(2,1,1> ezplot('1/sqrt(2*pi>*exp(-1/2*x^2>',[-6,6]> title('标准正态分布概率密度曲线图'> subplot(2,1,2> ezplot('gamma((10+1>/2>/(sqrt(10*pi>*gamma(10/2>>*(1+x^2/10>^(-(10+1>/2>',[-6,6]>。b5E2RGbCAP title('t(10>分布概率密度曲线图'> 结果：

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为（ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为（ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次）。就能打开保险箱的概率为（1 10000

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件：（1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。的度量对应区域的度量对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式：设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率）乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式：（全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。（贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性：两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。二、随机变量和分布函数:

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