向量法求线面角(一)(人教A版)(含答案)

向量法求线面角（一）（人教A版）

一、单选题(共7道，每道14分)

1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，

（1）直线A1B与平面BC1D1所成的角的正切值为( )

A. B.

C. D.

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：用空间向量求直线与平面所成的角

2.（上接第1题）（2）直线A1B与平面A1B1CD所成的角的余弦值等于( )

A. B.

C. D.

答案：C

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：用空间向量求直线与平面所成的角

3.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90°，，，

则直线与平面所成角的正弦值是( )

A. B.

C. D.

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：用空间向量求直线与平面所成的角

4.如图，在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且PA=AB，则直线PB 与平面PCD所成角的大小为( )

A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

答案：A

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：用空间向量求直线与平面所成的角

5.如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，面

，．在线段上，若，则直线与平面所成角的正弦值是( )

A. B.

C. D.

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：用空间向量求直线与平面所成的角

6.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC．

（1）若M，N分别为PC，PB的中点，则CD与平面ADMN所成角的正弦值为( )

A. B.

C. D.

答案：D

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：用空间向量求直线与平面所成的角

7.（上接第6题）（2）若在线段上，且，则直线与平面所成角的正弦值是( )

A. B.

C. D.

答案：B

解题思路：

试题难度：三颗星知识点：用空间向量求直线与平面所成的角

高中数学人教版必修平面向量数量积和物理背景及其含义作业(系列二)

第二章 2.4.1平面向量数量积和物理背景及其含义 一、选择题 1．若a ·c ＝b ·c (c ≠0)，则( ) A ．a ＝b B ．a ≠b C ．|a |＝|b | D ．a 在c 方向上的正射影的数量与b 在c 方向上的正射影的数量必相等 [答案] D [解析] ∵a ·c ＝b ·c ， ∴|a |·|c |cos＝|b |·|c |cos， 即|a |cos＝|b |cos，故选D. 2．若|a |＝4，|b |＝3，a ·b ＝－6，则a 与b 的夹角等于( ) A ．150° B ．120° C ．60° D ．30° [答案] B [解析] cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12 .∴θ＝120°. 3．若|a|＝4，|b|＝2，a 和b 的夹角为30°，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2 B ． 3 C ．2 3 D ．4 [答案] C [解析] a 在b 方向上的投影为|a |cos＝4×cos30°＝2 3. 4．|m |＝2，m·n ＝8，＝60°，则|n |＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 [答案] D [解析] ∵m·n |m|·|n|＝cos， ∴ 82|n |＝1 2 ，∴|n |＝8.

5．向量a 的模为10，它与x 轴的夹角为150°，则它在x 轴上的投影为( ) A ．－5 3 B ．5 C ．－5 D ．5 3 [答案] A [解析] a 在x 轴上的投影为|a |·cos150°＝－5 3. 6．若向量a 、b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b·b ＋a·b 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 [答案] C [解析] b·b ＋a·b ＝|b|2＋|a|·|b |cos＝4＋1＝5. 二、填空题 7．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝____. [答案] 3 [解析] a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×3×cos30° ＝2×3×32 ＝3. 8．若|a |＝6，|b |＝4，a 与b 的夹角为135°，则a 在b 方向上的投影为________． [答案] －3 2 [解析] ∵|a|＝6，|b|＝4，a 与b 的夹角为135°， ∴a 在b 方向上的投影为|a|cos135°＝6×(－2 2)＝－3 2. 三、解答题 9．已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6的边长为2，求下列向量的数量积． (1)P 1P 2→·P 1P 3→； (2)P 1P 2→·P 1P 4→； (3)P 1P 2→·P 1P 5→； (4)P 1P 2→·P 1P 6→. [解析] (1)∵

＝π6，|P 1P 3→ |＝2 3. ∴P 1P 2→·P 1P 3→＝|P 1P 2→|·|P 1P 3→ |cos π6

向量法求空间角(高二数学-立体几何)

A B C D P Q 向量法求空间角 1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形， DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 2 1==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ； （2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小． 2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P －中，O 为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为26 ． （1）求侧面与底面所成的二面角的大小； D B A

（2）若E是的中点，求异面直线与所成角的正切值； （3）问在棱上是否存在一点F，使⊥侧面，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由． 3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB⊥平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点. （1）求证:AF//平面BCE; （2）求证:平面BCE⊥平面CDE; （3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面 角的大小.

4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD P-中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为正方形,G , = =分别为 ,2 AD, F E PD ,的中点． PC, PD CB （1）求证:// AP平面EFG; （2）求平面GEF和平面DEF的夹角.

5．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，平面1A BC ⊥ 侧面11A ABB 且12AA AB ==. （Ⅰ）求证：AB BC ⊥； （Ⅱ）若直线与平面1A BC 所成的角为6 π,求锐二面角1A A C B --的大小.

高中数学人教版必修第二章平面向量单元测试卷

第二章 平面向量 单元测试卷（A ） 时间：120分钟 分值：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 1．与向量a ＝(1，3)的夹角为30°的单位向量是( ) A ．(12，3 2)或(1，3) B ．(32，1 2) C ．(0,1) D ．(0,1)或(32，1 2) 2．设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，1 2)，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝2 2 C ．a －b 与b 垂直 D ．a ∥b 3．已知三个力f 1＝(－2，－1)，f 2＝(－3,2)，f 3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力f 4，则f 4等于( ) A ．(－1，－2) B ．(1，－2) C ．(－1,2) D ．(1,2) 4．已知正方形ABCD 的边长为1，AB →＝a ，BC →＝b ，AC →＝c ，则a ＋b ＋c 的模等于( ) A ．0 B ．2＋ 2 C ． 2 D ．2 2 5．若a 与b 满足|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°，则a ·a ＋a ·b 等于( ) A ．12 B ．32 C ．1＋32 D ．2 6．若向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) A ．－12a ＋32b B ．12a －32b C ．32a －12b D ．－32a ＋12b 7．若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 8．向量BA →＝(4，－3)，向量BC →＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A ．等腰非直角三角形 B ．等边三角形 C ．直角非等腰三角形 D ．等腰直角三角形 9．设点A (1,2)、B (3,5)，将向量AB →按向量a ＝(－1，－1)平移后得到A ′B ′→为( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,7) 10．若a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则λ的取值范围是( ) A ．? ????103，＋∞ B ．??????103，＋∞ C ．? ????－∞，103 D ．? ????－∞，103 11．在菱形ABCD 中，若AC ＝2，则CA →·AB →等于( ) A ．2 B ．－2 C ．|AB →|cos A D ．与菱形的边长有关 12．如图所示，已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6，下列向量的数量积中最大的是( )

用向量法求二面角的平面角教案

第三讲：立体几何中的向量方法 利用空间向量求二面角的平面角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形” 的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数 方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课 程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1使学生会求平面的法向量； 2?使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题; 4. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高 教学重点 求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法 教学难点 求解二面角的平面角的向量法 教学过程 I、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：[0,]）

2、 法向量的方向： 一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面 角等于法向量夹角的补角 . 3、 用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： （1） 建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何 问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2） 通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行 向量运算） （3） 把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。 （回到图形） n 、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形， ABC 90 , SA 求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值? 分析 分别以BA, AD,AS 所在直线为x,y,z 轴， 建立空间直角坐标系，求出平面 SCD 的法向量 仁, 平面SBA 法向量n 2，利用n i , n 2夹角 cos cos n 1, n 2 结论： 或 ——■ cos cos 门1,门2 cos cos n j , n 2 统一为： n 1 n 2 |n 1 n 2 1 面 ABCD , SA AB BC 1, AD -, 2

人教版必修4平面向量习题

第二章 平面向量 一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等 D ．AD 与BD 相等 2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝b C ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ， D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )． A ．3x ＋2y －11＝0 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5 C ．2x －y ＝0 D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 56 π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1) D ．λ(AB －BC )，λ∈(0， 2 2) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋ED B ．EF －DE C ．EF ＋AD D ．EF ＋AF 7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )． (第1题)

考点二 用空间向量求线面角

考点二 用空间向量求线面角 【例2】 (2018·全国Ⅱ卷)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，P A ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点. (1)证明：PO ⊥平面ABC ； (2)若点M 在棱BC 上，且二面角M －P A －C 为30°，求PC 与平面P AM 所成角的正弦值. (1)证明 因为AP ＝CP ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP ＝2 3. 连接OB ，因为AB ＝BC ＝22AC ， 所以AB 2＋BC 2＝AC 2， 所以△ABC 为等腰直角三角形， 且OB ⊥AC ，OB ＝12 AC ＝2. 由OP 2＋OB 2＝PB 2知PO ⊥OB . 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 且OB ∩AC ＝O ，知PO ⊥平面ABC . (2)解 如图，以O 为坐标原点，OB →的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O －xyz . 由已知得O (0，0，0)，B (2，0，0)，A (0，－2，0)，C (0，2，0)，P (0，0，23)，AP →＝(0，2，23).取平面P AC 的一个法向量OB →＝(2，0，0). 设M (a ，2－a ，0)(0

设平面P AM 的法向量为n ＝(x ，y ，z ). 由AP →·n ＝0，AM →·n ＝0得 ? ??2y ＋23z ＝0，ax ＋（4－a ）y ＝0，可取n ＝(3(a －4)，3a ，－a )， 所以cos 〈OB →，n 〉＝23（a －4）23（a －4）2＋3a 2＋a 2 . 由已知可得|cos 〈OB →，n 〉|＝32 ， 所以23|a －4|23（a －4）2＋3a 2＋a 2＝32， 解得a ＝－4(舍去)，a ＝43， 所以n ＝? ????－833，433，－43. 又PC →＝(0，2，－23)，所以cos 〈PC →，n 〉＝34 . 所以PC 与平面P AM 所成角的正弦值为34. 规律方法 利用向量法求线面角的方法： (1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线和平面所成的角. 【训练2】 (2019·郑州测试)在如图所示的多面体中，四边形ABCD 是平行四边 形，四边形BDEF 是矩形，ED ⊥平面ABCD ，∠ABD ＝π6，AB ＝2AD . (1)求证：平面BDEF ⊥平面ADE ； (2)若ED ＝BD ，求直线AF 与平面AEC 所成角的正弦值.

人教版高中数学必修4《平面向量》说课稿

平面向量说课稿 各位评委，老师们：大家好！ 很高兴参加这次说课活动。这对我来说也是一次难得的学习和锻炼的机会，感谢各位老师来此予以指导。希望各位评委和老师们对我的说课内容提出宝贵意见。 我说课的内容是<平面向量>的教学，所用的教材是人民教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书<数学>必修4，第二章，第一节。针对我校学生基础相对较好。我在进行教学设计时，也充分考虑到了这一点。 下面我从教材分析，教学目标的确定，教学方法的选择和教学过程的设计四个方面来汇报我对这节课的教学设想。 一教材分析 (1)地位和作用 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。向量概念引入后，全等和平行、相似、垂直、勾股定理等就可以转化为向量的加(减)法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。向量是沟通代数，几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在数学和物理学科中具有广泛的应用。 平面向量的基本概念是在学生了解了物理学中的有关力，位移等矢量的概念的基础上进一步对向量的深入学习。为学习向量的知识体系奠定了知识和方法基础。 (2)教学结构的调整 教材在这一部分内容的教学为一课时，首先从重力、浮力、弹力这些既有大小，又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别。然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。为使学生更好地掌握这些基本概念，同时深化其认知过程和探究过程。在教学中我将教学的顺序做如下的调整：将本节教学中认知过程的教学内容适当集中，以突出这节课的主题;例题、习题部分主要由学生依照概念自行分析，独立完成。

用向量法求二面角的平面角教案

第三讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求二面角的平面角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对二面角的求法进行总结。 教学目标 1．使学生会求平面的法向量； 2.使学生学会求二面角的平面角的向量方法； 3.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 4.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点

求平面的法向量； 求解二面角的平面角的向量法. 教学难点 求解二面角的平面角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾相关公式： 1、二面角的平面角：（范围：],0[πθ∈） 向量夹角的补角. 3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题） （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形） Ⅱ、典例分析与练习 例1、如图，ABCD 是一直角梯形，?=∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，

平面向量高中人教版

平面向量 教学目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量 与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等，进行向量计 算理解向量共线的充要条件。能用两个不共线向量表示一个向量； 或一个向量分解为两个向量。要求学生理解点P 分有向线段21P P 所成的 比λ的含义和有向线段的定比分点公式，并能应用解题。 教学难点：根据图形判定向量是否平行、共线、相等，进行向量计算理解向量共线的充要条件。能用两个不共线向量表示一个向量； 或一个向量分解为两个向量。要求学生理解点P 分有向线段21P P 所成的比λ的含义和有向线段的定比分点公式， 一、实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 提出课题：平面向量 1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量 等 注意：1?数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大 小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学 体系，用以研究空间性质。 2． 向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） 2?字母表示法：AB 可表示为a （印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里） 3． 模的概念：向量AB 的大小——长度称为向量的模。 记作：|AB | 模是可以比较大小的 4． 两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作0。0的方向是任意的。 注意0与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 A B A(起点) B （终点） a A B 北

最新人教版高中数学《平面向量》全部教案

人教版高中数学《平面向量》全部教案

第五章 平面向量 第一教时 教材：向量 目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与 已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程： 一、开场白：课本P93（略） 实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 二、提出课题：平面向量 1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量 等 注意：1?数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体 系，用以研究空间性质。 2．向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 A B A(起点) B （终 a

记作（注意起讫） 2?字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里） 3．模的概念：向量AB 的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 4．两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意0与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：与是否同一向量？ 答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：a ∥b ∥c 规定：0与任一向量平行 2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= a b c

人教版必修四第二章平面向量教案

人教版必修四第二章平面向量教案 教学目标： 三维目标 1、知识与技能 （1）了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示； （2）掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念； 并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系 （3）通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别. 2、过程与方法 引导发现法与讨论相结合。这是向量的第一节课，概念与知识点较多，在对学生进行适当的引导之后，应让学生清清楚楚得明白其概念，这是学生进一步获取向量知识的前提；通过学生主动地参与到课堂教学中，提高学生学习的积极性。体现了在老师的引导下，学生的的主体地位和作用。 3、情感目标与价值观 通过对向量与数量的比较，培养学生认识客观事物的数学本质的能力，并且意识到数学与现实生活是密不可分的，是源于生活，用于生活的。 教学重点：理解向量、相等向量等相关的概念，向量的几何表示等是本节课的重点。 教学难点：难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解。 学情和教材分析：向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，因此向量具有数形结合的特征，是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具，在其他学科中也有广泛应用。所以向量是历年高考的必考内容，本节课是向量的第一节课，是新知识的一个起点，所以这是十分关键、重要的一节课。本节教学内容的特点是：概念多，有向量、平行向量、相等向量、单位向量等相关概念及向量的几何表示。学生在学习过程中，诸多概念容易混淆，它们之间关系不易理清，这些是学习中的难点。 教法设计：引导启发式教学 学法设计：指导学生自主学习 课时计划：一课时 教具学具：多媒体、彩笔、三角板 教学过程 一、创设情景、导入新课 1.我们知道物理中的力、速度，位移等都是矢量，不同与路程、质量等量，他们具有什么样的共同特征？………（学生讨论作答） 2.你能举出几个具有以上特征的量吗？年龄、身高、体重、长度等具有这些特征吗？（学生思考作答） 3.在数学上，我们把具有这种特征的量称为向量，（教师在黑板上书写课题，然后大屏幕展示课题，学生阅读课本P74） 二、推进新课 1.定义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度等。 注意：1?数量与向量的区别：数量只有大小，可以比较大小；向量既有方向又 有大小，不能比较大小（强调）。 2.向量的表示方法： 1?几何表示法：有向线段——具有一定方向的线段

用向量法求直线与平面所成的角教案

用向量法求直线与平面所 成的角教案 Prepared on 24 November 2020

第二讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法.

教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：（范围：]2,0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为n ，则>

《用向量法求异面直线所成的角》教案

第一讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求异面直线所成的角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线线角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求异面直线所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学难点 求解异面直线所成的角的向量法. 教学过程

Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、两异直线所成的角：（范围：） （1）定义：过空间任意一点o分别作异面直线a与b的平行线a′与b′，那么直线a′与b′所成的锐角或直角，叫做异面直线a与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角，设两异面直线a、b 的方向向量分别为和， 问题1：当与的夹角不大于90°时，异面直线a、b 所成 的角与和的夹角的关系？ 问题2：与的夹角大于90°时，，异面直线a、b 所成的角与和的夹角的关系？ 两向量数量积的定义： a b O

高中数学人教版必修平面向量基本定理教案(系列五)

2.3平面向量的基本定理及坐标表示 2.3.1 平面向量基本定理 教学目的： （1）了解平面向量基本定理； （2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解 决实际问题的重要思想方法； （3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 教学重点：平面向量基本定理. 教学难点：平面向量基本定理的理解与应用. 授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、 复习引入： 1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa （1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0 2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λμ)a =λa μa ， λ(a b )=λa λb 3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b = λa . 二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a =λ11e λ22e . 探究：

(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线； (3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例： 例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e 32e . 例2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b 表示MA ，MB ，MC 和MD 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是 任意一点，求证：OA OB OC OD =4OE 例4（1）如图， OA ，OB 不共线，AP =t AB (t ∈R )用OA ，OB 表示OP . （2）设OA 、 OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线. 四、课堂练习： 1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( ) A .e 1、e 2一定平行 B .e 1、e 2的模相等 C .同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1μe 2(λ、μ∈R ) D .若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1u e 2(λ、u ∈R ) 2.已知矢量a = e 12e 2，b =2e 1e 2，其中e 1、e 2不共线，则ab 与c =6e 12e 2的关系 A .不共线 B .共线 C .相等 D .无法确定 3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x 4y )e 1(2x 3y )e 2=6e 13e 2，则xy 的值等于( ) A .3 B .-3 C .0 D .2

人教版高中数学《平面向量》教材分析

第五章《平面向量》教材分析 一、平面向量在教材中的地位和作用 1、地位 （1）改变传统教材结构 在几十年来的国内外数学教育改革中，向量进入中学是一个重要的特征。平面向量的集中讲授，在我国高中数学教材中是首次，其目的之一是系统地学习向量知识，目的之二是以向量知识作为工具，改变传统的综合几何、平面三角等内容的讲法。向量、向量的加法与减法在传统教材的复数中讲授，线段的定比分点、平面两点间的距离、平移在传统教材在解析几何中讲授，正弦定理、余弦定理在传统教材的三角中讲授，新教材把这些内容糅合到一章。用向量的观点来处理，大大地改变了传统教材的编排体系。 按照新教材的编排体系，平面向量作为工具性内容在安排上尽量提前。由于介绍向量的数量积要用到有关三角知识，因此将平面向量安排在紧随三角函数之后作为第五章。又由于讲斜三角形解法可以用到平面向量，新教材又作了将斜三角形解法移入平面向量这一章的调整。需要指出的是，在平面向量这章还运用向量方法解决了解析几何入门的有关知识，为学习解析几何做好了准备。同时，在后续的第七章直线与圆的部分向量知识立刻就能应用，在学习立体几何之后安排空间向量，让向量的应用得到完善和深化。这样的安排是科学的、合理的。 （2）改变传统教材内容 用向量的观点来处理，由于向量具有几何形式与代数形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介。因此，向量的引入不仅使高中数学教材采取混编体系成为一件别无选择的事，而且使它在研究其它许多问题时获得了广泛的应用。新高中数学课程为了有利于精简教学内容，提高教学效益，有利于加强数学各部分内容的相互联系与知识的综合运用，将代数、几何等内容综合编排。向量的引入，使高中数学各部分内容的联系加强了；使高中教学内容与大学内容衔接更加紧密。 2、作用 （1）工具性和方法性 向量带有基础知识的特点，是一种工具性和方法性知识。向量有一套优秀的运算系统，由于它提供的向量法、坐标法，使其成为研究高中数学的重要方法。纵观平面向量这一章，如果除去应用性知识，纯属向量知识约占10课时，教材上大量的篇幅是突出向量的应用，突出向量的工具性和方法性。例如用向量方法推出线段定比分点坐标公式、平面上两点间距离公式、平移公式、正弦定理、余弦定理，而且与物理学中力学等内容的学习相互呼应。在后续的解析几何、立体几何、复数等内容的学习中，向量仍将继续发挥其重要作用。仅花费10课时的代价换来这么大的效益是十分合算的。 向量有一套优良的运算系统，几何中有关长度、角度的计算，平行、垂直的判定与证明，很多场合下都可以化归为向量的运算来完成，教材中正弦定理、余弦定理的证明、定比分点坐标公式的导出，就是这方面典型的例子。这些体现了数学中化归和数形结合的思想。 向量“形”、“数”兼备，是数形结合的桥梁。在引进向量知识时，教材充分运用几何图形直观的特点，而在解决几何问题时，又注意充分运用向量法与坐标法，处处渗透了数形结合的思想。 （2）沟通代数与几何 向量是除函数外的另一条主线，使几何代数化、符号化、形式化。向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角的工具。新教材引进向量，充分体现了新课程理念。由于它的引入，使几何与代数变得更加紧密，一维二维和三维过度更加顺畅；有效克服了繁琐和技巧导致的“双基异化”。它是知识、是方法、是思想。 （3）突出新教材的理念……注重应用 向量的概念是从生活实践中抽象出来的，反过来又成为解决物理学和工程技术中有关问题的重要工具。教材中十分注重理论和实际的结合，更加注重应用。用例如从速度、位移、力、加速度

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

第二讲：立体几何中的向量方法——利用空间向量求直线与平面所成的 角大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合 推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般 规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。 空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1. 使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2. 使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3. 使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 I、复习回顾 一、回顾有关知识： 1

1、直线与平面所成的角：（范围：二? [0,—]） 2 思考：设平面:的法向量为n，则::n,BA .与二的关系? JT ■■二日=----- < n, BA > 2 （图 ） 2

《用向量法求直线与平面所成的角》教案

第二讲：立体几何中的向量方法 ——利用空间向量求直线与平面所成的角 大家知道，立体几何是高中数学学习的一个难点，以往学生学习立体几何时，主要采取“形到形”的综合推理方法，即根据题设条件，将空间图形转化为平面图形，再由线线，线面等关系确定结果，这种方法没有一般规律可循，对人的智力形成极大的挑战，技巧性较强，致使大多数学生都感到束手无策。 高中新教材中，向量知识的引入，为学生解决立体几何问题提供了一个有效的工具。它能利用代数方法解决立体几何问题，体现了数形结合的思想。并且引入向量，对于某些立体几何问题提供通法，避免了传统立体几何中的技巧性问题，因此降低了学生学习的难度，减轻了学生学习的负担，体现了新课程理念。 为适应高中数学教材改革的需要，需要研究用向量法解决立体几何的各种问题。本文举例说明如何用向量法解决立体几何的空间角问题。以此强化向量的应用价值，激发学生学习向量的兴趣，从而达到提高学生解题能力的目的。 利用向量法求空间角，不需要繁杂的推理，只需要将几何问题转化为向量的代数运算，方便快捷。空间角主要包括线线角、线面角和二面角，下面对线面角的求法进行总结。 教学目标 1.使学生学会求平面的法向量及直线与平面所成的角的向量方法； 2.使学生能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题； 3.使学生的分析与推理能力和空间想象能力得到提高. 教学重点 求平面的法向量； 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学难点 求解直线与平面所成的角的向量法. 教学过程 Ⅰ、复习回顾 一、回顾有关知识： 1、直线与平面所成的角：（范围：]2 , 0[π θ∈） 思考：设平面α的法向量为，则><,与θ的关系？ A B θ αO

§3.2.2立体几何中的向量方法(4)及详解——向量法求线线角与线面角

§立体几何中的向量方法（4） 向量法求线线角与线面角 一、学习目标 1．理解直线与平面所成角的概念． 2．掌握利用向量方法解决线线、线面 、面面的夹角的求法． 二、问题导学 问题1：什么叫异面直线所成的角它的范围是什么怎样用定义法求它的大小 问题2：怎样通过向量的运算来求异面直线所成的角 设l 1与l 2是两异面直线，a 、b 分别为l 1、l 2的方向向量，l 1、l 2所成的角为θ， 则〈a ，b 〉与θ ，cos θ＝ 。 问题3：用向量的数量积可以求异面直线所成的角，能否求线面角 如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量， n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，θ＝〈a ，n 〉， 则sin φ＝ 。 三、例题探究 例1．如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABCD A B C D 的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'CD 所成的角． 变式：在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的 班别： _____________ 学号： _____________ 高二理科数学 导学案

中点，点P在A1B1上，则直线PQ与直线AM所成的角等于 ( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 例2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB，AB＝AA1，∠BAA1＝60°. (1)证明：AB⊥A1C； (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB＝2， 求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值． 变式：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ. 四、练一练（时间：5分钟） 1. 1．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v， 直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( ) A．cosθ＝μ·v |μ||v| B．cosθ＝ |μ·v| |μ||υ| C．sinθ＝ μ·v |μ||v| D．sinθ＝ |μ·v| |μ||v|

人教版高中数学《平面向量》全部教案

第五章 平面向量 第一教时 教材：向量 目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。 过程： 一、开场白：课本P93（略） 实例：老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去， 问：猫能否追到老鼠？（画图） 结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。 二、 提出课题：平面向量 1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。例：力、速度、加速度、冲量 等 注意：1?数量与向量的区别： 数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大 小； 向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2?从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学 体系，用以研究空间性质。 2． 向量的表示方法： 1?几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） 2?字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字） P95 例 用1cm 表示5n mail （海里） 3． 模的概念：向量 记作：|| 模是可以比较大小的 4． 两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？ 答：不是。因为零上零下也只是大小之分。 例：与是否同一向量？ A B A(起点) B （终点） a

答：不是同一向量。 例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。 三、 向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 = = = 例：（P95）略 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？（11个） 变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？（存在） 变式三：与向量共线的向量有哪些？（,,） 四、 小结： 五、 作业：P96 练习 习题5.1 第二教时 教材：向量的加法 目的：要求学生掌握向量加法的意义，并能运用三角形法则和平行四边形法则作 几个向量的和向量。能表述向量加法的交换律和结合律，并运用它进行向 量计算。 过程： 六、复习：向量的定义以及有关概念 强调：1?向量是既有大小又有方向的量。长度相等、方向相同的向量相等。 2?正因为如此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何 向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置。 七、 提出课题：向量是否能进行运算？ 5．某人从A 到B ，再从B 按原方向到C ， 则两次的位移和：=+ a b c A B C