伽马函数表(全)

定义证明二重极限_1

定义证明二重极限 定义证明二重极限就是说当点(x,y)落在以(x0,y0)点附近的一个小圈圈内的时候，f(x,y)与A的差的绝对值会灰常灰常的接近。那么就说f(x,y)在(x0,y0)点的极限为A关于二重极限的定义，各类数学教材中有各种不同的表述，归纳起来主要有以下三种：定义1设函数在点的某一邻域内有定义(点可以除外)，如果对于任意给定的正数。，总存在正数，使得对于所论邻域内适合不等式的一切点P(X，y)所对应的函数值都满足不等式那末，常数A就称为函数当时的极限.定义2设函数的定义域为是平面上一点，函数在点儿的任一邻域中除见外，总有异于凡的属于D的点，若对于任意给定的正数。，总存在正数a，使得对D内适合不等式0户几卜8的一切点P，有不等式V(P)一周。成立，则称A为函数人P)当P～P。时的极限.定义3设函数X一人工，”的定义域为D，点产人工。，人)是D的聚点，如果对于任意给定的正数。，总存在正数8，使得对于适合不等式的一切点P(X，…ED，都有成立，则称A为函数当时的极限.以上三种定义的差异主要在于对函数的前提假设不尽相同.定义1要求人X，…在点P 入x。，汕)的某去心邻域内有定义，而定义2允许人工，y)在点P。(X。，入)的任一去心邻域内都有使人X，y)无定义的点，相应地，定义I要求见的去心邻域内的点P都适合/(P)一A卜利用极限存在准则证明：(1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x^2)的极限为0;(2)证明数列{Xn}，其中a0，Xo0,Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2,n=1,2,…收敛，并求其极限。1)用夹逼准则:x大于1时,lnx0,x^20,故lnx/x^20且lnx1),lnx/x^2(x-1)/x^2.而(x-1)/x^2极限为0故(Inx/x^2)的极限为02)用单调有界数列收敛:分三种情况,x0=√a时,显然极限为√ax0√a时,Xn-X(n-1)=[-(Xn-1) (a/Xn-1)]/20,单调递减且Xn=[(Xn-1) (a/Xn-1)]/2√a,√a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A.对原始两边求极限得A=[A (a/A)]/2.解得A=√a同理可求x0√a时,极限亦为√a综上,数列极限存在,且为√(一)时函数的极限：以时和为例引入.介绍符号: 的意义, 的直观意义.定义( 和. )几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.例1验证例2验证例3验证证……(二)时函数的极限：由考虑时的极限引入.定义函数极限的“ ”定义.几何意义.用定义验证函数极限的基本思路.例4 验证例5 验证例6验证证由=为使需有为使需有于是, 倘限制, 就有例7验证例8验证( 类似有(三)单侧极限:1.定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域然后介绍等的几何意义.例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:Th类似有: 例10证明: 极限不存在.例11设函数在点的某邻域内单调. 若存在, 则有= §2 函数极限的性质(3学时)教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。教学重点：函数极限的性质及其计算。教学难点：函数极限性质证明及其应用。教学方法：讲练结合。一、组织教学：我们引进了六种极限: , .以下以极限为例讨论性质. 均给出证明或简证.二、讲授新课：(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:2.局部有界性:3.局部保号性:4.单调性( 不等式性质):Th 4若和都存在, 且存在点的空心邻域,使，都有证设= ( 现证对有)註:若在Th 4的条件中, 改“ ”为“ ”, 未必就有以举例说明.5.迫敛性:6.四则运算性质:( 只证“ ”和“ ”)(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：(注意前四个极限中极限就是函数值)这些极限可作为公式用. 在计算一些简单极限时, 有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质, 把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值, 即计算得所求极限.例1( 利用极限和)例2例3註:关于的有理分式当时的极限.例4 [ 利用公式]例5例6例7

神奇的Gamma函数 (上)

神奇的Gamma函数 (上) rickjin 关键词：特殊函数, 欧拉 G a m m a函数诞生记 学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数 Γ(x)=∫∞0t x?1e?t dt 通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质 Γ(x+1)=xΓ(x) 于是很容易证明，Γ(x)函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质 Γ(n)=(n?1)! 学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问： ? 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的； ? 2.为何定义Γ函数的时候，不使得这个函数的定义满足Γ(n)=n!而是Γ(n)=(n?1)! 最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。

1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列1,4,9,16,?可以用通项公式n2自然的表达，即便n为实数的时候，这个通项公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线y=x2通过所有的整数点(n,n2)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,?,我们可以计算2!,3!, 是否可以计算 2.5!呢？我们把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。 但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题，由此导致了Γ函数的诞生，当时欧拉只有22岁。 事实上首先解决n!的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现，

函数极限的十种求法

函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：

两个重要极限的证明

两个重要极限的证明第六节极限存在准则、两个重要极限 教学目的：1 使学生掌握极限存在的两个准则；并会利用它们求极限； 2使学生掌握利用两个重要极限求极限的方法； 教学重点：利用两个重要极限求极限 教学过程： 一、讲授新课： 准则I：如果数列满足下列条件： (i)对 ; (ii) 那么，数列的极限存在，且。 证明：因为，所以对，当时，有，即 ，对，当时，有，即，又因为，所以当时，有， 即有：，即，所以。 准则I′如果函数满足下列条件： (i)当时，有。 (ii)当时，有。 那么当时，的极限存在，且等于。 第一个重要极限： 作为准则I′的应用，下面将证明第一个重要极限：。 证明：作单位圆，如下图： 设为圆心角，并设见图不难发现：，即：，即， (因为，所以上不等式不改变方向) 当改变符号时，及1的值均不变，故对满足的一切 ，有。 又因为， 所以而，证毕。 【例1】。 【例2】。 【例3】。 【例4】。 准则Ⅱ：单调有界数列必有极限 如果数列满足：，就称之为单调增加数列;若满足：，就称之为单调减少数列;同理亦有严格单增或单减，以上通称为单减数列和严格单减数列。 如果，使得：，就称数列为有上界;若，使得：，就称有下界。 准则Ⅱ′：单调上升，且有上界的数列必有极限。 准则Ⅱ″: 单调下降，且有下界的数列必有极限。 注1：由前已知，有界数列未必有极限，若加单调性，就有极限。 2：准则Ⅱ，Ⅱ′，Ⅱ″可推广到函数情形中去，在此不一一陈述了。 第二个重要极限： 作为准则Ⅱ的一个应用，下面来证明极限是不存在的。 先考虑取正整数时的情形：对于，有不等式：，即：， 即： (i)现令，显然，因为将其代入，所以，所以为单调数列。 (ii)又令，所以， 即对，又对所以{ }是有界的。 由准则Ⅱ或Ⅱ′知存在，并使用来表示，即

二元函数极限证明

二元函数极限证明 设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有|f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ) 又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。

1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5

关于函数极限如何证明

关于函数极限如何证明 函数极限的性质是怎么一回事呢?这类的性质该怎么证明呢?下面就是学习啦给大家的函数极限的性质证明内容，希望大家喜欢。 X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |Xn+1-A| 以此类推，改变数列下标可得|Xn-A| |Xn-1-A| …… |X2-A| 向上迭代，可以得到|Xn+1-A| 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。

当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。Lim就省略不打了。。。 n/(n^2+1)=0

统计函数GAMMADIST

统计函数GAMMADIST 适用于: Microsoft Office Excel 2003 用途 返回伽玛分布。可以使用此函数来研究具有偏态分布的变量。伽玛分布通常用于排队分析。 语法 GAMMADIST(x,alpha,beta,cumulative) X 为用来计算伽玛分布的数值。 Alpha 分布参数。 Beta 分布参数。如果beta = 1，函数GAMMADIST 返回标准伽玛分布。 Cumulative 为一逻辑值，决定函数的形式。如果cumulative 为TRUE，函数GAMMADIST 返回累积分布函数；如果为FALSE，则返回概率密度函数。 说明 如果x、alpha 或beta 为非数值型，函数GAMMADIST 返回错误值#VALUE!。 如果x < 0，函数GAMMADIST 返回错误值#NUM!。 如果alpha ≤ 0 或beta ≤ 0，函数GAMMADIST 返回错误值#NUM!。 伽玛概率密度函数的计算公式如下： 标准伽玛概率密度函数为： 当alpha = 1 时，函数GAMMADIST 返回如下的指数分布：

对于正整数n，当alpha = n/2，beta = 2 且cumulative = TRUE 时，函数GAMMADIST 以自由度n 返回(1-CHIDIST(X))。 当alpha 为正整数时，函数GAMMADIST 也称为爱尔朗(Erlang) 分布。示例 如果您将示例复制到空白工作表中，可能会更易于理解该示例。 操作方法 1. 创建空白工作簿或工作表。 2. 请在“帮助”主题中选取示例。不要选取行或列标题。 从帮助中选取示例。 3. 按Ctrl+C。 4. 在工作表中，选中单元格A1，再按Ctrl+V。 5. 若要在查看结果和查看返回结果的公式之间切换，请按Ctrl+`（重音符），或 在“工具”菜单上，指向“公式审核”，再单击“公式审核模式”。 1 2 3 4 A B 数据说明 10 用来计算伽玛分布的数值9 Alpha 分布参数 2 Beta 分布参数 公式说明（结果）

二元函数极限证明

经典合同 二元函数极限证明姓名：XXX 日期：XX年X月X日

二元函数极限证明 目录 第一篇：二元函数极限证明 第二篇：二元函数的极限 第三篇：二元函数极限的研究 第四篇：二元函数的极限与连续 第五篇：函数极限的证明 正文 第一篇：二元函数极限证明 二元函数极限证明 设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：’ (1)两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在 (2)两个二次极限存在而不相等 (3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0) 根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当|x-x0|<δ时,有 |f(x)-a|<ε 而|x-x0|<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ) 第 2 页共 26 页

又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:|f(x)-a|<ε=1,即:a-1 再取m=max{|a-1|,|a+1|},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有|f(x)| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1，y以y=x^2-x的路径趋于 0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。 4 f(x,y)={(x^2+y^2)/(|x|+|y|)}*sin(1/x) 显然有y->0,f->(x^2/|x|)*sin(1/x)存在 当x->0,f->(y^2/|y|)*sin(1/x),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在 而当x->0,y->0时 由|sin(1/x)|<=1得|f|<=(x^2+y^2)/(|x|+|y|) 而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*|x||y|=(|x|+|y|)^2 所以|f|<=|x|+|y| 所以显然当x->0,y->0时，f的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 第 3 页共 26 页

神奇的Gamma函数

神奇的Gamma函数 (上) 关键词：特殊函数, 欧拉 G a m m a函数诞生记 学高等数学的时候，我们都学习过如下一个长相有点奇特的Gamma函数 通过分部积分的方法，可以推导出这个函数有如下的递归性质 于是很容易证明，函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，具有如下性质 学习了Gamma 函数之后，多年以来我一直有两个疑问： 1.这个长得这么怪异的一个函数，数学家是如何找到的；

2.为何定义函数的时候，不使得这个函数的定义满足而 是 最近翻了一些资料，发现有不少文献资料介绍Gamma 函数发现的历史，要说清楚它需要一定的数学推导，这儿只是简要的说一些主线。 1728年，哥德巴赫在考虑数列插值的问题，通俗的说就是把数列的通项公式 定义从整数集合延拓到实数集合，例如数列可 以用通项公式自然的表达，即便为实数的时候，这个通项 公式也是良好定义的。直观的说也就是可以找到一条平滑的曲线 通过所有的整数点，从而可以把定义在整数集上的公式延拓 到实数集合。一天哥德巴赫开始处理阶乘序列 ,我们可以计算, 是否可以计算 呢？我们把最初的一些的点画在坐标轴上，确实可以看到，容易画出一条通过这些点的平滑曲线。

但是哥德巴赫无法解决阶乘往实数集上延拓的这个问题，于是写信请教尼古拉斯.贝努利和他的弟弟丹尼尔.贝努利，由于欧拉当时和丹尼尔.贝努利在一块，他也因此得知了这个问题。而欧拉于1729 年完美的解决了这个问题， 由此导致了函数的诞生，当时欧拉只有22岁。 事实上首先解决的插值计算问题的是丹尼尔.贝努利，他发现， 如果都是正整数，如果，有 于是用这个无穷乘积的方式可以把的定义延拓到实数集合。例如， 取, 足够大，基于上式就可以近似计算出 。 欧拉也偶然的发现可以用如下的一个无穷乘积表达

了解伽马(GAMMA、伽马值、光度、灰度系数)

了解伽马（GAMMA、伽马值、光度、灰度系数）来源：pconline 日期：2007-08-26 00:05 一. 在哪见过、听说过Gamma？ * 还用说，Adobe Gamma * 常听说MAC的默认Gamma是1.8，PC的是2.2 * 我的显卡驱动程序里有Gamma调节 * 我下载了一个软件，也可以调节显示器的Gamma * WinDVD播放器带Gamma校正功能 * ACDSEE的曝光调节里可以调Gamma * ACDSEE的选项中有Enable Gamma Correction * XV Viewer 能以参数-gamma 2.2 启动（x window也可以） * PNG文件里有Gamma校正 * Photoshop里当然也有 * ICC Profile也和Gamma有关？ * 摄像头、数码相机、扫描仪？胶片？……中也有提到Gamma的…… 这些都是怎么回事？

图：显卡（驱动程序）上的Gamma设置 图：ACDSEE中的曝光调节

二. 什么是Gamma？ 2.1. 显示器Gamma曲线 Gamma可能源于CRT（显示器/电视机）的响应曲线，即其亮度与输入电压的非线性关系。 图：一典型显示器的响应曲线，非常接近指数函数 (说明：上图中输入值为数字化的，即通常的RGB值，但可以理解数/模转换是线 性的，所以它和输入电压是等效的) 归一化后，我们通常可以用一简单的函数来表示： output = input ^ gamma gamma就是指数函数中的幂。

图：归一化的Gamma曲线 注意上图曲线的一些特性： * 端点是不变的，即不管gamma值如何变化，0对应的输出始终是0，1的输出始终是1（这一特性会被用到）。这可能是gamma又被叫作“灰度”系数的原因吧。 * gamma > 1时，曲线在gamma=1斜线的下方；反之则在上方。 另外说明一下，虽然是以显示器作为例子，但可扩展到一般的图像相关的输入/输出设备。Gamma曲线应该是普遍存在的，即使它不是严格的指数关系，可能还是会这么通称。至少我知道的数码机机/摄像头里的sensor也存在gamma 曲线及gamma校正。 2.2. 检查显示系统的Gamma值 在PC上，好像还没有什么软件方法可以得到系统的Gamma值（4.1会说明这一点）。有人做了一些图片，可以粗略估计。其原理和Adobe Gamma类似。

伽马函数在概率统计中的应用

韩山师范学院 学生毕业论文 （ 2011届） 题目（中文）伽马函数在概率统计中的应用（英文）The Application of the Γ–Function in the Probability 系别：数学与信息技术系 专业：数学与应用数学班级： 20071112 姓名：史泽龙学号: 2007111205 指导教师：屈海东讲师 韩山师范学院教务处制

诚信声明 我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。 毕业论文作者签名：签名日期：年月日

摘要: 本文阐述了Γ函数的定义及其特殊性质, 并就如何利用Γ函数的特定性质解决概率应用中的一些特定问题进行了探讨和分析. 分析说明: 应用Γ函数收敛的性质, 可间接求解概率积分值; 利用Γ函数表示分布的密度;可表征F分布的密度函数. 这些分析及其结论对于函数的具体应用, 对于求解概率论中的一些具体实用问题具有重要的参考价值. 关键词: Γ函数; 收敛性; 概率积分; 密度函数

Abstract: Expounds the definition of Γ function and its special properties, and how to use the specific nature solution Γ function in some specific questions the probability application is discussed and analyzed. Γ function analysis and explanation: application of nature, but indirect convergent solution probability integral value; Use the density of Γ function says distribution; F distribution can be characterized the density function analysis and conclusions. These specific application for function for solving some of the specific practical problems probability has important reference value. Keywords:Gamma function;Convergence; Probability integral;Density function

二元函数极限证明.docx

二元函数极限证明 二元函数极限证明设P=f, P0=,当P-PO时f的极限是x, y 同时趋向于a, b时所得到的称为二重极限。 此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限，称为二次极限。 我们必须注意有以下几种情形：' 两个二次极限都不存在而二重极限仍有可能存在两个二次极限存在而不相等 两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在 2 函数f当x-*XO时极限存在，不妨设：limf=a 根据定义:对任意￡>0,存在8〉0,使当|x-x 0|而| x-xO | 又因为￡有任意性，故可取￡ =1,则有：|f -a|再取M=max {|a-l I, |a+l |},则有:存在8 >0,当任意x属于x 0的某个邻域U时，有|f| 证毕 3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。 1,y 以y=x"2-x 的路径趋于OLimitedsi n/x"2=Limi tedsinx"2/x"2=l而y=x的路径趋于0结果是无穷大。 2,3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是P以任何方式趋向于该点。

f={/}*sin 显然有y->0 , f-〉*sin存在 当x->0, f->*sin, sin再0处是波动的所以不存在而当 x->0, y->0时 由| sin |而x"2+y"2所以|f|所以显然当x ->0, y->0 时，f 的极限就为0 这个就是你说的，唯一不一样就是非正常极限是不存在而不是你说的 正无穷或负无穷或无穷，我想这个就可以了 就我这个我就线了好久了 5 时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号：的意义，的直观意义. 定义 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数?然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证…… 时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的"”定义.

Γ分布函数

Γ分布函数算法新解及其应用 李世才吴戈堂林莺 (广西南宁水利电力设计院) 摘要从Γ函数与不完全Γ函数的恒等关系出发，导出了Γ(α)与lnΓ(α)的精确解析式，并在文[1]的基础上导出Γ分布函数新算法的精确解析式。把迄今Γ(α)、lnΓ(α)和Γ分布函数的计算只能应用各种逼近的近似公式现状，提高到精确解析式的计算水平，并归纳为收敛的级数展式和连分式展式的数值计算，使其算法统一成为现实。用新算法的通用数学模型设计的电算程序，对实际工程的计算和文[2～4]中的全部算例及文[5，6]中的有关数表进行了验证比较，结果表明新算法更为优越。 关键词Γ函数Γ分布函数算法新解精确解析式数学模型数值计算。 本文于1996年6月15日收到，广西自然科学基金资助项目，桂科［自］9912010. 统计学、分子结构论、特殊函数、工程水文分析与计算、水文学的汇流计算等应用和研究领域，经常会遇到Γ函数、Γ分布函数和其逆函数的数值计算问题。文[1]对几种常见的数值积分法进行了分析比较，并给出Γ分布函数通用算法的综合解析表达式 (1) 式中α为参变量(α>0)，x为自变量(x≥0)，T的表达式为 (2) 电算实践表明：一些特殊问题的计算中，需要程序参与计算的各个变量(含常数)都按双精度(16位有效数字)或高精度(任意指定精度)运行，而计算Γ(α)和lnΓ(α)的各种逼近算法公式[1～5]最多只能求得10至12位有效数字，这样即使应用双精度计算P(α,x)，最多也只能达到与Γ(α)或lnΓ(α)同样的精度，并且有时会加速计算过程的误差传播和积累，从而导致死循环、迭代过程不收敛、计算结果失真等不良的现象。要解决这些问题，可以将Γ(α)和lnΓ(α)

gamma函数的性质

gamma函数的性质 Beta函数和Gamma函数是最基本也是最重要的两个特殊函数，它们如同基石般奠定了整个特殊函数论大厦的基础。部分理论应用如下：应用 a.Beta函数和Gamma函数提供了大部分超几何函数（Hypergeometric functions）的理论基础。Gauss 超几何级数的积分表示便是借助了Beta积分。而Mellin-Barnes积分表示则是借助了Gamma函数的性质，这使得超几何级数在复平面上的延拓得以通过一种统一的形式得以实现。应用b.分数阶微积分，也就是通常牛顿-莱布尼茨微积分的推广，也依赖于Beta和Gamma函数的定义。你可以看一下Riemann-Liouville分数阶积分的定义。而由整数阶导数到分数阶导数（复数阶导数）的插值就是来源于Gamma函数实际上是阶乘n!的插值这一性质。应用c.Riemann zeta function 的一个基本的积分表示其核心就是Gamma函数。而许多zeta函数的推广都离不开Gamma函数。应用https://www.wendangku.net/doc/986766618.html,place变换和Mellin变换，这两个十分重要的积分变换，可以十分好的统一在Gamma函数的积分表示上。也就是说，Gamma函数是指数函数的Mellin变换，同时还是幂函数的Laplace变换。应用e.Beta函数本身可以用来构造概率分布。而高维的Beta函数，例如Dirichlet, Liouville型的Beta函数也在概率统计中有这重要的应用价值。应用f. Selberg 构造的一个特别重要的multidimensional Beta integral在解决Macdonald Conjecture的过程中也起到了很大的作用。而它本身现在也成为了一个十分重要的研究对象。总之，从Gamma和Beta函数出发，已经生长出了足够我们穷

极限 定义证明

极限定义证明 极限定义证明趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0 x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2 这两个用函数极限定义怎么证明? x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0 证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式 |sinx/√x-0|=|sinx/√x||sinx/√x|^2sinx^2/ξ^2, ∵|sinx| ≤1∴只需不等式x>1/ξ^2成立， 所以取X=1/ξ^2，当x>X时，必有|sinx/√x-0|同函数极限的定义可得x→+∞时，sinx/√x极限为0. x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2 证明：对于任意给定的ξ>0，要使不等式 |1-4x^2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1|需要0|1-4x^2/2x+1-2|=|2x+1|由函数极限的定义可得x→-1/2时，1-4x^2/2x+1的极限为2. 注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0. 记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷; 下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。 不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,M>1; 那么存在N1,当x>N1,有a/M注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当x>N2时，0同理，存在Ni，当x>Ni时，0取N=max{N1,N2...Nm}; 那么当x>N,有 (a/M)^n所以a/M对n取极限，所以a/M令x趋于正无穷， a/M注意这个式子对任意M>1,b>a都成立，中间两个极限都是固定的数。 令M趋于正无穷，b趋于a; 有a这表明limg(x)=a; 证毕; 证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。 还有个看起来简单些的方法 记g(x)=lim[f1(x)^n+...+fm(x)^n]^(1/n)，n趋于正无穷; g(x)=max{f1(x),....fm(x)}; 然后求极限就能得到limg(x)=max{a1,...am}。 其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。 有种简单点的方法，就是 max{a,b}=|a+b|/2+|a-b|/2 从而为简单代数式。 多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式， 故极限可以放进去。 2 一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号: 的意义, 的直观意义. 定义( 和. )

zt9专题九 关于Gamma函数与Beta函数的关系及应用

专题九 关于Γ函数与B 函数的关系及应用 问题1：欧拉函数是什么东西？如何定义的？ 答： 欧拉函数是Γ函数与B 函数 的统称。其中若下面的含参变量广义积分收敛，则分别 称为Γ函数与B 函数。即： (s)Γ= 1 s x x e dx +∞--? (1) (p,q)B = 1 1 1 (1) p q x x dx ---? (2) (1)式称为伽马函数，（2）式称为贝塔函数，二者统称为欧拉函数 ，Γ函数与B 函数实质上是含参变量广义积分表示的两个特殊函数． 问题2：Γ函数与B 函数的定义域是什么？ 答：（一）、Γ函数的定义域：(s)Γ的定义域为0s >. 事实上，（1）当s 1≥时，0x =不是被积函数的瑕点，因此取1p >都有 1 l i m ()0p s x x x x e --→+∞ = ，由柯西判别法知（1）的积分是收敛． （2）当s<1时，0x =是被积函数的瑕点，此时，有 (s)Γ=1 1 1 01 s x s x x e dx x e dx +∞ ----+ ?? =()()I s J s + 其中()J s 对任何s 都是收敛的， 又110 lim ()lim 1s s x x x x x x e e + + ----→→==，所以1 10 s x dx -?与 1 1 0s x x e dx --?在0x =点是等价的，当11s ->-时，1 1 s x dx -?是收敛，当11s -≤-时， 1 1 s x dx -? 是发散．所以当01s <<时(s)Γ是收敛的． 综上可知(s)Γ的定义域为0s >. （二）、B 函数的定义域：0,0p q >>。 事实上，(p,q)B =1 1 11 1 1 1 1 1 2100 2 (1) (1) (1) p q p q p q x x dx x x dx x x dx -------= -+ -?? ? =I J + 而I ，J 在各自的区间内只有一个瑕点。又 1111 lim (1)lim (1)1p p q q x x x x x x + + ----→→-=-= ∴ 在0x =，1p x -与11(1)p q x x ---等价，∴ 当11p -<时，1 p x -收敛， 所以0p >时， 1 1 (1) p q x x ---在0x =收敛．

函数极限的性质证明(精选多篇)

函数极限的性质证明 函数极限的性质证明 x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |xn+1-a|<|xn-a|/a 以此类推，改变数列下标可得|xn-a|<|xn-1-a|/a; |xn-1-a|<|xn-2-a|/a; |x2-a|<|x1-a|/a; 向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n) 2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化) =/【√+√】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。 3 当0

当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)(分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim=0 n→∞ (2)lim=3/2 n→∞ (3)lim=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1 sin(1/n)=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过程写出来 就好了 第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数 极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀 limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0 lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n ^2)=1 limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0 第二篇：函数极限的性质 §3.2 函数极限的性质 §2函数极限的性质 ⅰ. 教学目的与要求 1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不 等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题. 2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限. ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 函数极限的性质. 难点: 函数极限的性质的证明及其应用. ⅲ. 讲授内容

函数极限的性质证明

函数极限的性质证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限求极限我会 |Xn+1-A|<|Xn-A|/A 以此类推，改变数列下标可得 |Xn-A|<|Xn-1-A|/A ; |Xn-1-A|<|Xn-2-A|/A; …… |X2-A|<|X1-A|/A; 向上迭代，可以得到|Xn+1-A|<|Xn-A|/(A^n) 2 只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： ①证明{x(n)}单调增加。 x(2)=√[2+3x(1)]=√5>x(1); 设x(k+1)>x(k)，则 x(k+2)-x(k+1))=√[2+3x(k+1)]-√[2+3x(k)](分子有理化) =[x(k+1)-3x(k)]/【√[2+3x(k+1)]+√[2+3x(k)]】>0。 ②证明{x(n)}有上界。 x(1)=1<4， 设x(k)<4，则 x(k+1)=√[2+3x(k)]<√(2+3*4)<4。 3 当0 当0 构造函数f(x)=x*a^x(0 令t=1/a，则：t>1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1) 则： lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x =lim(x→+∞)[x'/(t^x)'](分子分母分别求导) =lim(x→+∞)1/(t^x*lnt) =1/(+∞) =0 所以，对于数列n*a^n，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim[1/(n的平方)]=0 n→∞ (2)lim[(3n+1)/(2n+1)]=3/2 n→∞ (3)lim[根号(n+1)-根号(n)]=0 n→∞ (4)lim0.999…9=1 n→∞ n个9

Gamma分布与指数分布

Gamma分布与指数分布 "Gamma分布gamma distribution; form of gamma distribution;" 在学术文献中的解释 1、在地震序列的有序性、地震发生率的齐次性、计数特征具有独立增量和平稳增量情况下,可以导出地震发生i次时间的概率密度为Gamma密度函数(亦称为Gamma分布) Γ(x)称为伽马函数，它是用一个积分式定义的，不是初等函数。伽马函数有性质：Γ(x+1)=xΓ(x)，Γ(0)=1，Γ(1/2)=√π，对正整数n，有Γ(n+1)=n！伽马分布里面Γ(α,β)（分布函数已经了解）。α,β个指代何种意义的参数？比如在化工里面有这样一个问题，说反应器管道的长度L服从Γ(α,β)分布，那么α,β是和管道形状和尺度相关的参数。α,β是两个分布调整参量，该分布的期望=C+(α/β),也就是说α/β调整期望；分布的方差=α/β^2，由此并不需要单独定义二者，应该共同对分布起作用！ 伽马函数Γ（z）的定义域是，C-{-n,n=0,1,2,...},其中C为复数域， Re（z）>0时，常见的积分是收敛，也就是说Γ（z）可用常见的积分定义。 如1种常见的积分：Γ（z）=∫{0

均值是a/入 方差是a/(入^2) 指数分布 如果随机变量X的概率密度为 公式 P（X≥0）=λ乘以(e的－λX次方）;p(x<0)=0 则称X遵从指数分布（参数为λ）。 在概率论和统计学中，指数分布（Exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。 许多电子产品的寿命分布一般服从指数分布。有的系统的寿命分布也可用指数分布来近似。它在可靠性研究中是最常用的一种分布形式。指数分布是伽玛分布和威布尔分布的特殊情况，产品的失效是偶然失效时，其寿命服从指数分布。 指数分布可以看作当威布尔分布中的形状系数等于1的特殊分布，指数分布的失效率是与时间t无关的常数，所以分布函数简单。