高中数学概念汇总

高中数学概念总结

一、 函数 1、

若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n

2，所有

非空真子集的个数是22-n

。

二次函数c bx ax

y ++=2

的图象的对称轴方程是a

b x 2-=，顶点坐标是

???

?

?

?--

a b ac a b 4422，。用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即（一般式）c bx ax

x f ++=2

)(，（零点式）)

()()(21x x x x a x f -?-=和n m x a x f +-=2

)()( （顶点式）

。 2、 幂函数n

m

x

y = ，当n 为正奇数，m 为正偶数，m

3、

函数652

+-=x x

y 的大致图象是

由图象知，函数的值域是)0[∞+，，单调递增区间是)3[]5.22[∞+，和，，单调递减区间是]35.2[]2(，和，-∞。 二、 三角函数 1、

以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边

上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则sin α=

r

y ，cos α=

r

x ，

tg α=

x

y ，ctg α=

y

x ，sec α=

x

r ，csc α=

y

r 。

2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin

2

2

=+αα，αα22sec 1=+tg ，

αα2

2csc 1=+ctg ；

倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα；

相除关系是：α

ααcos sin =

tg ，α

ααsin cos =

ctg 。

3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如：=-)2

3sin(απαcos -，

)2

15(

απ-ctg =αtg ，=-)3(απtg αtg -。

4、

函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是B A +，

最小值是A B -，周期是ω

π

2=

T ，频率是π

ω

2=

f ，相位是?ω+x ，初相是?；

其图象的对称轴是直线)(2

Z k k x ∈+=+π

π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点

都是该图象的对称中心。 5、

三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是

?????

?

+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是??

????

++23222ππππk k ，)(Z k ∈；

x y cos =的递增区间是

[]πππ

k k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈，tgx y =的递增区

间是

?

?? ?

?

+-22ππππk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是

()πππ+k k ，)(Z k ∈。

6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos(βαβαβαsin sin cos cos

=

±)(βαtg β

αβαtg tg tg tg ?± 1

7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2

2

sin

cos -=1cos 22-α=α2

sin 21-

tg2α=

α

α2

12tg tg -。

8、三倍角公式是：sin3α=αα3sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43

-

9、半角公式是：sin

2

α

=2

cos 1α

-±

cos

2

α

=2

cos 1α

+±

tg

2

α

=α

αcos 1cos 1+-±

=

α

αsin cos 1-=

α

αcos 1sin +。

10、升幂公式是：2

cos

2cos 12

α

α=+ 2

sin

2cos 12

α

α=-。

11、降幂公式是：2

2cos 1sin

2

α

α-=

2

2cos 1cos 2

α

α+=

。

12、万能公式：sin α=

2

12

22

ααtg

tg

+ cos α=

2

1212

2

α

αtg

tg

+- tg α=2

12

22

ααtg

tg -

13、sin(βα+)sin(βα-)=βα2

2

sin

sin

-，

cos(βα+)cos(βα-)=βα2

2

sin cos -=αβ2

2sin cos -。

14、)60sin()60sin(sin 40

ααα+-=α3sin ； )60

cos()60cos(cos 40

0ααα+-=α3cos ；

)60()60

(0

ααα+-tg tg tg =α3tg 。

15、ααtg ctg -=α22ctg 。

16、sin180

=

4

15-。

17、特殊角的三角函数值：

18、正弦定理是（其中R 表示三角形的外接圆半径）：

R C

c B

b A

a 2sin sin sin ==

=

19、由余弦定理第一形式，2

b =B a

c c a cos 22

2

-+

由余弦定理第二形式，cosB=

ac

b

c a 22

2

2

-+

20、△ABC 的面积用S 表示，外接圆半径用R 表示，内切圆半径用r 表示，半周长用p 表示则： ① =?=

a h a S 2

1；② ==

A bc S sin 2

1；

③C B A R S sin sin sin 22

=；④R

abc S 4=；

⑤))()((c p b p a p p S ---=

；⑥pr S =

21、三角学中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ?+?=，… 22、在△ABC 中，B A B A sin sin

cos

2

sin

C B A =+ 2

sin

2

cos

C B A =+ 2

2

C ctg

B A tg

=+

tgC tgB tgA tgC tgB tgA ??=++ 24、积化和差公式： ①)]sin()[sin(2

1cos sin βαβαβα-++=?， ②)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=?， ③)]cos()[cos(2

1cos cos βαβαβα-++=

?， ④)]cos()[cos(2

1sin sin βαβαβα--+-=?。

25、和差化积公式：

①2cos 2sin 2sin sin y x y x y x -?+=+， ②2sin 2cos 2sin sin y x y

x y x -?+=-， ③2

cos

2cos

2cos cos y x y x y x -?+=+， ④2

sin

2

sin 2cos cos y x y

x y x -?+-=-。

三、 反三角函数

1、x y arcsin =的定义域是[-1，1]，值域是]2

2[π

π，-

，奇函数，增函数； x y arccos =的定义域是[-1，1]，值域是]0[π，，非奇非偶，减函数； arctgx y =的定义域是R ，值域是)2

2

(π

π，-，奇函数，增函数； arcctgx

y =的定义域是R ，值域是)0(π，，非奇非偶，减函数。

2、当x x x x x ==-∈)cos(arccos )sin(arcsin ]11[，时，，；

2

2

1)cos(arcsin 1)sin(arccos x x x x -=

-=

，

x x x x arccos )arccos(arcsin )arcsin(-=--=-π， 2

arccos arcsin π

=+x x

对任意的R x ∈，有：

2

)()()()(ππ=

+-=--=-==arcctgx arctgx arcctgx x arcctg arctgx x arctg x

arcctgx ctg x arctgx tg ，，

当x

arctgx ctg x

arcctgx tg x 1)(1)(0=

=≠，时，有：。

3、最简三角方程的解集：

{}

{}{}{}。

，的解集为，方程

；，的解集为，方程；

，的解集为时，；的解集为时，，的解集为

时，；的解集为时，Z n arcctga n x x a ctgx R a Z n arctga n x x a tgx R a Z n a n x x a x a a x a Z

n a n x x a x a a x a n

∈+==∈∈+==∈∈±==≤=>∈?-+==≤=>πππφπφarccos 2cos 1cos 1arcsin )

1(sin 1sin 1

四、 不等式

1、若n 为正奇数，由b a <可推出n

n

b a

<吗？ （ 能 ）

若n 为正偶数呢？ （b a 、仅当均为非负数时才能） 2、同向不等式能相减，相除吗 （不能） 能相加吗？ （ 能 ）

能相乘吗？ （能，但有条件） 3、两个正数的均值不等式是：ab b

a ≥+2

三个正数的均值不等式是：

3

3

abc c

b a ≥

++

n 个正数的均值不等式是：

n

n n

a a a n

a a a 2121≥

+++

4、两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是

2

2

1122

2b a b a ab b

a +≤

+≤

≤+

6、 双向不等式是：b a b a b a +≤±≤-

左边在)0(0≥≤ab 时取得等号，右边在)0(0≤≥ab 时取得等号。 五、 数列

1、等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=，前n 项和公式是：2

)

(1n n a a n S +=

=d n n na )1(2

11-+

。

2、等比数列的通项公式是1

1-=n n q

a a ，

前n 项和公式是：??

???≠--==)

1(1)

1()1(11

q q q a q na S n

n

3、当等比数列{}n a 的公比q 满足q <1时，n n S ∞

→lim =S=

q

a -11。一般地，如果无穷数列

{}n a 的前n 项和的极限n n S ∞

→lim

存在，就把这个极限称为这个数列的各项和（或所有项的

和），用S 表示，即S=n n S ∞

→lim 。

4、若m 、n 、p 、q ∈N ，且q p n m +=+，那么：当数列{}n a 是等差数列时，有

q p n m a a a a +=+；当数列{}n a 是等比数列时，有q p n m a a a a ?=?。

5、

等差数列{}n a 中，若S n =10，S 2n =30，则S 3n =60；

6、等比数列{}n a 中，若S n =10，S 2n =30，则S 3n =70； 六、 复数 1、

n i 怎样计算？（先求n 被4除所得的余数，r

r

k i i

=+4）

2、

i i 2

32

12

32

121--

=+

-

=ωω、是1的两个虚立方根，并且：

13231==ωω 221ωω= 12

2ωω=

21

1

ωω=

12

1

ωω=

21ωω= 12ωω= 121-=+ωω

3、

复数集内的三角形不等式是：212121z z z z z z +≤±≤-，其中左边

在复数z 1、z 2对应的向量共线且反向（同向）时取等号，右边在复数z 1、z 2对应的向量共

线且同向（反向）时取等号。 4、 棣莫佛定理是：[]))(sin (cos )sin (cos Z n n i n r i r n

n

∈+=+θθθθ

5、

若非零复数)sin (cos ααi r z +=，则z 的n 次方根有n 个，即：

)1210)(2sin

2(cos

-=+++=

n k n

k i n

k r z n

k ，，，， α

πα

π

它们在复平面内对应的点在分布上有什么特殊关系？ 都位于圆心在原点，半径为n

r 的圆上，并且把这个圆n 等分。

6、

若121)3

sin

3(cos

32z i z z ?+==π

π

，，复数z 1、z 2对应的点分别是A 、B ，

则△AOB （O 为坐标原点）的面积是333

sin

622

1=???π

。

7、 z z ?=2

z 。

8、

复平面内复数z 对应的点的几个基本轨迹：

①?=)(arg 为实常数θθz 轨迹为一条射线。 ②?=-是实常数）是复常数，

θθ00()arg(z z z 轨迹为一条射线。

③?=-是正的常数）r r z z (0轨迹是一个圆。

④?-=-)(2121是复常数、z z z z z z 轨迹是一条直线。 ⑤?=-+-是正的常数）是复常数，

、a z z a z z z z 2121(2轨迹有三种

可能情形：a)当212z z a ->时，轨迹为椭圆；b)当212z z a -=时，轨迹为一条线段；c)当212z z a -<时，轨迹不存在。 ⑥?=---)(221是正的常数

a a z z z z 轨迹有三种可能情形：a)当

212z z a -<时，轨迹为双曲线；b) 当212z z a -=时，轨迹为两条射线；c) 当

212z z a ->时，轨迹不存在。

七、 排列组合、二项式定理 1、

加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？

加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。 2、排列数公式是：m

n P =)1()1(+--m n n n =

！

！

)(m n n -；

排列数与组合数的关系是：m

n m

n

C m P ?=！

组合数公式是：m

n C =

m

m n n n ???+-- 21)

1()1(=

！

！！

)(m n m n -?；

组合数性质：m

n C =m

n n

C - m n C +1

-m n

C =m

n C 1+

∑=n

r r

n

C

0=n

2 r n

rC

=11

--r n nC

1

121++++=++++r n r n r r r r r

r C C C C C

3、

二

项

式

定理

：

n

n

n r

r

n r

n n n n n n

n n

b C b a

C b a

C b a

C a C b a ++++++=+--- 22

21

1

)

(二项展

开式的通项公式：r

r

n r

n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =

八、 解析几何 1、 沙尔公式：A B x x AB -=

2、

数轴上两点间距离公式：A B x x AB -= 3、

直角坐标平面内的两点间距离公式：2

2122121)

()(y y x x P P -+-=

4、

若点P 分有向线段21P P 成定比λ，则λ=

2

1PP P P

5、

若点),(),(),(222111y x P y x P y x P ，，，点P 分有向线段21P P 成定比λ，

则：λ=

x

x x x --21=

y

y y y --21；

x =

λ

λ++121x x

y =

λ

λ++121y y

若),(),(),(332211y x C y x B y x A ，，，则△ABC

的重心G 的坐标是

??

?

??++++33321321y y y x x x ，。

6、求直线斜率的定义式为k=αtg ，两点式为k=1

212x x y y --。

7、直线方程的几种形式：

点斜式：)(00x x k y y -=-， 斜截式：b kx y +=

两点式：

1

211

21x x x x y y y y --=

--， 截距式：

1=+

b

y a

x

一般式：0=++C By Ax

经过两条直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：和：的交点的直线系方程是：0)(222111=+++++C y B x A C y B x A λ 8、

直线222111b x k y l b x k y l +=+=：，：，则从直线1l 到直线2l 的角θ满

足：2

1121k k k k tg +-=

θ

直线1l 与2l 的夹角θ满足：2

1121k k k k tg +-=

θ

直线0022221111=++=++C y B x A l C y B x A l ：，：，则从直线1l 到直线2l 的

角θ满足：2

1211221B B A A B A B A tg +-=

θ

直线1l 与2l 的夹角θ满足：2

1211221B B A A B A B A tg +-=

θ

9、

点),(00y x P 到直线0=++C By Ax l ：的距离：

2

2

00B

A C

By Ax d +++=

10、两条平行直线002211=++=++C By Ax l C By Ax l ：，：距离是

2

2

21B

A C C d +-=

11、圆的标准方程是：2

22

)()(r b y a x =-+-

圆的一般方程是：)04(02

2

2

2

>-+=++++F E

D F Ey Dx y x

其中，半径是2

42

2

F

E D r -+=

，圆心坐标是??

?

?

?-

-

22

E D ， 思考：

方程0

2

2

=++++F Ey Dx y x 在

042

2

=-+F E D 和

042

2

<-+F E D 时各表示怎样的图形？

12、若),(),(2211y x B y x A ，，则以线段AB 为直径的圆的方程是

0))(())((2121=--+--y y y y x x x x

经过两个圆

011122=++++F y E x D y x ，02222

2=++++F y E x D y x

的交点的圆系方程是：

0)(2222

211122=+++++++++F y E x D y x F y E x D y x λ

经过直线0=++C By Ax l ：与圆02

2

=++++F Ey Dx y x 的交点的圆系

方程是：0)(2

2

=+++++++C By Ax F Ey Dx y x λ

13、圆),(002

2

2

y x P r y

x

的以=+为切点的切线方程是

2

00r y y x x =+

一般地，曲线)(0002

2

y x P F Ey Dx Cy

Ax

，的以点=++-+为切点的切线方

程是：02

2

00=++?

++?

-+F y y E x x D y Cy x Ax 。例如，抛物线x

y

42

=的以点)21(，P 为切点的切线方程是：2

142+?

=x y ，即：1+=x y 。

注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。

14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：

①判别式法：Δ>0，=0，<0，等价于直线与圆相交、相切、相离；

②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系：距离大于半径、等于半径、小于半径，等价于直线与圆相离、相切、相交。 15、抛物线标准方程的四种形式是：，

，px y

px y

222

2

-== 。

，py x

py x

222

2

-== 16、抛物线px y

22

=的焦点坐标是：??

?

??02，p ，准线方程是：2p x -=。 若点),(00y x P 是抛物线px y

22

=上一点，则该点到抛物线的焦点的距离（称为

焦半径）是：2

0p x +

，过该抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的弦（称为通径）的长

是：p 2。

17、椭圆标准方程的两种形式是：

12

22

2=+

b

y a

x 和

12

22

2=+

b

x a

y

)0(>>b a 。

18、椭圆

12

22

2=+

b

y a

x )0(>>b a 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c

a

x 2

±

=，

离心率是a

c e =

，通径的长是

a

b 2

2。其中2

22

b a c

-=。

19、若点),(00y x P 是椭圆

12

22

2=+

b

y a

x )0(>>b a 上一点，21F F 、是其左、右焦

点，则点P 的焦半径的长是01ex a PF +=和02ex a PF -=。

20、双曲线标准方程的两种形式是：

12

22

2=-

b

y a

x 和

12

22

2=-

b

x a

y

)00(>>b a ，。

21、双曲线

12

22

2=-

b

y a

x 的焦点坐标是)0(，c ±，准线方程是c

a

x 2

±

=，离心率是

a

c e =

，通径的长是

a

b 2

2，渐近线方程是

02

22

2=-

b

y a

x 。其中2

2

2b a c +=。

22、与双曲线

12

22

2=-

b

y a

x 共渐近线的双曲线系方程是

λ=-

2

22

2b

y a

x )0(≠λ。与双

曲线

12

2

2

2=-

b

y a

x 共焦点的双曲线系方程是

12

2

2

2

=--

+k

b y

k

a x

。

23、若直线b kx y +=与圆锥曲线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为

2

212))(1(x x k AB -+=

；

若直线t my x +=与圆锥曲线交于两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则弦长为

2

212))(1(y y m AB -+=

。

24、圆锥曲线的焦参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，对于椭圆和双曲线都有：

c

b

p 2

=

。

25、平移坐标轴，使新坐标系的原点O '在原坐标系下的坐标是（h ，k ），若点P 在原坐标系下的坐标是，),(y x 在新坐标系下的坐标是),(y x ''，则x '=h x -，y '=k y -。 九、 极坐标、参数方程 1、

经过点

),(000y x P 的直线参数方程的一般形式是：

??

?+=+=)(00是参数t bt

y y at x x 。

2、

若直线l 经过点α，倾斜角为

),(000y x P ，则直线参数方程的标准形式是：

??

?+=+=)(sin cos 00是参数t t y y t x x α

α。其中点P 对应的参数t 的几何意义是：有向线段P

P 0的数量。

若点P 1、P 2、P 是直线l 上的点，它们在上述参数方程中对应的参数分别是，和、t t t 21则：

2121t t P P -=；当点P 分有向线段λ成定比21P P 时，λ

λ++=

121t t t ；当点P 是线

段P 1P 2的中点时，2

2

1t t t +=

。

3、圆心在点)(b a C ，，半径为r 的圆的参数方程是：???+=+=)(sin cos 是参数αα

αr b y r a x 。

3、

若以直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，点P 的极坐标

为，),(θρ直角坐标为),(y x ，则=x θρc o s ，=y θ

ρsin ，

x

y tg y x =

+=

θρ，2

2。

4、

经过极点，倾斜角为α的直线的极坐标方程是：απθαθ+==或，

经过点)0(，a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρcos ，

经过点)2

(π

，a 且平行于极轴的直线的极坐标方程是：a =θρsin ，

经过点)(00θρ，且倾斜角为

α的直线的极坐标方程是：

)s i n ()s i n (00αθραθρ-=-。

5、

圆心在极点，半径为r 的圆的极坐标方程是r =ρ；

圆心在点a a ，半径为，)0(的圆的极坐标方程是θρcos 2a =； 圆心在点a a ，半径为，)2

(π

的圆的极坐标方程是θρsin 2a =；

圆心在点

)(00θρ，，半径为

r 的圆的极坐标方程是

2

00

2

02

)cos(2r =--+θθρρ

ρρ

。

6、 若

点

M

)

(11θρ，、N

)

(22θρ，，则

=

MN )c o s (221

212

22

1θθρρρρ--+。 十、 立体几何

1、求二面角的射影公式是S

S '=

θcos ，其中各个符号的含义是：S 是二面角的一个面

内图形F 的面积，S '是图形F 在二面角的另一个面内的射影，θ是二面角的大小。 2、若直线l 在平面α内的射影是直线l '，直线m 是平面α内经过l 的斜足的一条直线，l 与l '所成的角为1θ，l '与m 所成的角为2θ, l 与m 所成的角为θ，则这三个角之间的关系是21cos cos cos θθθ?=。 3、体积公式：

柱体：h S V ?=，圆柱体：h r

V ?=2

π。

斜棱柱体积：l S V ?'=（其中，S '是直截面面积，l 是侧棱长）；

锥体：h S V ?=

31，圆锥体：h r V ?=

2

3

1π。

台体：)(3

1S S S S h V '+'?+?=， 圆台体：

)(3

12

2r r R R h V +?+=

π

球体：3

3

4r V π=。

4、

侧面积：

直棱柱侧面积：h c S ?=，斜棱柱侧面积：l c S ?'=；

正棱锥侧面积：h c S '?=

2

1，正棱台侧面积：h c c S ''+=

)(2

1；

圆柱侧面积：rh h c S π2=?=，圆锥侧面积：rl l c S π=?=

2

1，

圆台侧面积：l r R l c c S )()(2

1+='+=

π，球的表面积：2

4r S π=。

5、几个基本公式：

弧长公式：r l ?=α（α是圆心角的弧度数，α>0）；

扇形面积公式：

r l S ?=

2

1；

圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：πθ2?=

l

r ；

圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：πθ2?-=

l

r R 。

经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为l ，轴截面顶角是θ）：

?????<

2(2

1)20(sin 2122

πθππθθl l S 十一、比例的几个性质 1、比例基本性质：

bc ad d

c b a =?=

2、反比定理：c d a b d c b a =?=

3、更比定理：

d

b c a d

c b

a =?=

5、 合比定理；

d d c b b a d c b a +=+?= 6、 分比定理：

d d

c b b

a d c b

a -=

-?= 7、

合分比定理：d c d c b a b a d c b a -+=-+?= 8、 分合比定理：

d

c d c b

a b a d c b

a +-=

+-?

=

9、 等比定理：若

n

n b a b a b a b a =

==

=

3

3221

1，0321≠++++n b b b b ，

则

1

1321321b a b b b b a a a a n

n =

++++++++ 。

十二、复合二次根式的化简

2

2

2

2

B A A B A A B A --±

-+=

±

当B A B A ->>2

00，，是一个完全平方数时，对形如B A ±的根式使用上述

公式化简比较方便。

高中数学函数概念

函数 1、 函数的概念 定义：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f ，使得A 中任一元素x ，都有B 中唯一确定的y 与之对应，那么从集合A 到集合B 的这个对应，叫做从集合A 到集合B 的一个函数。记作：x→y=f(x),x ∈A.集合A 叫做函数的定义域，记为D,集合{y ∣y=f(x),x ∈A}叫做值域，记为C 。定义域，值域，对应法则称为函数的三要素。一般书写为y=f(x),x ∈D.若省略定义域，则指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 两个函数相同只需两个要素：定义域和对应法则。 已学函数的定义域和值域 一次函数b ax x f +=)()0(≠a :定义域R, 值域R; 二次函数 c bx ax x f ++=2 )() 0(≠a :定义域R ，值域：当 2、 函数图象 定义：对于一个函数y=f(x)，如果把其中的自变量x 视为直角坐标系上的某一点的横坐标，把对应的唯一的函数值y 视为此点的纵坐标，那么，这个函数y=f(x)，无论x 取何值，都同时确定了一个点，由于x 的取值范围是无穷大，同样y 也有无穷个，表示的点也就有无穷个。这些点在平面上组成的图形就是此函数的图象，简称图象。 常数函数f(x)=1 一次函数f(x)=-3x+1 二次函数f(x)=2x 2+3x+1 反比例函数f(x)=1/x 3、定义域的求法 已知函数的解析式，若未加特殊说明，则定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围。一般有以下几种情况： 分式中的分母不为零； 偶次根式下的数或式大于等于零； 实际问题中的函数，其定义域由自变量的实际意义确定； 定义域一般用集合或区间表示。 4、值域的求法 ①观察法 通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。 例1求函数y=3+√(2－3x) 的值域。 ②反函数法 当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。 例2求函数y=(x+1)/(x+2)的值域。 练习：求函数y=(10x+10-x)/(10x －10-x)的值域。 ③配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域 例3：求函数y=√(－x 2+x+2)的值域。 练习：求函数y=2x －5＋√15－4x 的值域. ④判别式法 若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。 ⑤图象法 通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的值域。 例4求函数y=∣x+1∣+√(x-2) 2的值域。 ⑥换元法 以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。 例5求函数y=x-3+√2x+1 的值域。 练习：求函数y=√x-1 –x 的值域。 ⑦不等式法 例6求函数y=(2x-1)/(x+1) (1≤x ≤2) 的值域。 5、复合函数 设y=f(u ），u=g(x ），当x 在u=g(x ）的定义域Dg 中变化时，u=g(x ）的值在y=f(u ）的定义域D f 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。 6、函数的表示方法：列表法，解析法，图像法 7、分段函数：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集. 分段函数经常使用图像法 8、函数解析式的求法 ①代入法 例1已知f(x)=x 2-1,求f(x+x 2) ②待定系数法 若已知函数为某种基本函数，可设出解析式的表达形式的一般式，再利用已知条件求出系数。 例2已知f(x)是一次函数，f(f(x))=4x+3，求f(x) ③换元法 ④特殊值法 例4已知函数)(x f 对于一切实数y x ,都有x y x y f y x f )12 ()()(++=-+成立，且0)1(=f 。 (1)求 )0(f 的值；(2)求)(x f 的解析式。 ⑤方程组法 1、求下列函数的定义域： 2、求下列函数的值域 3 函数? ?? ??>+-≤<+≤+=1,51 0,30 ,32x x x x x x y 的最大值是 。 4已知：x x x f 2)1(2 += +，求)(x f 。 6已知()3()26,f x f x x --=+求()f x ．

高中数学必修一集合的含义及其表示教案

第一章 集合与函数概念 1.1集合 1.1.1 集合的含义及其表示 教学目的：（1）初步理解集合的概念，知道常用数集及其记法； （2）初步了解“属于”关系的意义； （3）初步了解有限集、无限集、空集的意义； 教学重点：集合的含义与表示方法； 教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。 教学过程： 一、问题引入： 我家有爸爸、妈妈和我； 我来自燕山中学； 省溧中高一（1）班； 我国的直辖市。 分析、归纳上述各个实例的共同特征，归纳出集合的含义。 二、建构数学： 1．集合的概念：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合（set ）。集合常用大写的拉丁字母来表示，如集合A 、集合B …… 集合中的每一个对象称为该集合的元素（element ）,简称元。集合的元素常用小写的拉丁字母来表示。如a 、b 、c 、p 、q …… 指出下列对象是否构成集合，如果是，指出该集合的元素。 （1）我国的直辖市； （2）省溧中高一（1）班全体学生；（3）较大的数 （4）young 中的字母； （5）大于100的数； （6）小于0的正数。 2．关于集合的元素的特征 （1）确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。 （2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。 （3）无序性：一般不考虑元素之间的顺序，但在表示数列之类的特殊集合时，通常按照习惯的由小到大的数轴顺序书写。 3．集合元素与集合的关系用“属于”和“不属于”表示； （1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ?A （“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写） 4．有限集、无限集和空集的概念： 5．常用数集的记法：（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N （2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {} ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，， 210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数 =Q （5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应 的=R

最新高中数学必修1-5知识点归纳及公式大全

高一数学常用公式及结论 必修1： 一、集合1、含义与表示：（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性 （2）集合的分类；有限集，无限集 （3）集合的表示法：列举法，描述法，图示法 2、集合间的关系：子集：对任意x A ∈，都有 x B ∈，则称A 是B 的子集。记作A B ? 真子集：若A 是B 的子集，且在B 中至少存在一个元素不属于A ，则A 是B 的真子集， 记作A ≠ ?B 集合相等：若：,A B B A ??,则A B = 3. 元素与集合的关系：属于∈ 不属于：? 空集：φ 4、集合的运算：并集：由属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫并集，记为 A B 交集：由集合A 和集合B 中的公共元素组成的集合叫交集，记为A B 补集：在全集U 中，由所有不属于集合A 的元素组成的集合叫补集， 记为U C A 5．集合12{,, ,}n a a a 的子集个数共有2n 个；真子集有2n –1个；非空子集有2n –1个； 6.常用数集：自然数集：N 正整数集：* N 整数集：Z 有理数集：Q 实数集：R 二、函数的奇偶性 1、定义： 奇函数 <=> f (– x ) = – f ( x ) ，偶函数 <=> f (–x ) = f ( x )（注意定义域） 2、性质：（1）奇函数的图象关于原点成中心对称图形； （2）偶函数的图象关于y 轴成轴对称图形； （3）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数； （4）如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． 二、函数的单调性 1、定义：对于定义域为D 的函数f ( x )，若任意的x 1, x 2∈D ，且x 1 < x 2 ① f ( x 1 ) < f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) < 0 <=> f ( x )是增函数 ② f ( x 1 ) > f ( x 2 ) <=> f ( x 1 ) – f ( x 2 ) > 0 <=> f ( x )是减函数 2、复合函数的单调性: 同增异减 三、二次函数y = ax 2 +bx + c （0a ≠）的性质 1、顶点坐标公式：??? ? ??--a b ac a b 44,22， 对称轴：a b x 2-=，最大（小）值：a b ac 442- 2.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2 ()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)两根式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 四、指数与指数函数 1、幂的运算法则： （1）a m ? a n = a m + n ，（2）n m n m a a a -=÷，（3）( a m ) n = a m n （4）( a b ) n = a n ? b n （5） n n n b a b a =??? ??（6）a 0 = 1 ( a ≠0)（7）n n a a 1=- （8）m n m n a a =（9）m n m n a a 1=- 2、根式的性质 （1）()n n a a =. （2）当n 为奇数时，n n a a =； 当n 为偶数时，,0 ||,0 n n a a a a a a ≥?==? -

人教版高中数学集合教案

1.1.1 集合 教学目标: 1、理解集合的概念和性质. 2、了解元素与集合的表示方法. 3、熟记有关数集. 4、培养学生认识事物的能力. 教学重点:集合概念、性质 教学难点:集合概念的理解 教学过程: 1、定义： 集合：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）. 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素. 由此上述例中集合的元素是什么？ 例（1）的元素为1、3、5、7， 例（2）的元素为到两定点距离等于两定点间距离的点， 例（3）的元素为满足不等式3x-2> x+3的实数x， 例（4）的元素为所有直角三角形， 例（5）为高一·六班全体男同学. 一般用大括号表示集合，{ …}如{我校的篮球队员}，{太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋}。则上几例可表示为…… 为方便，常用大写的拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员} ，B={1，2，3，4，5} 2

（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性. 3、元素与集合的关系：隶属关系 元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?（? 也可表示为 ）两种。 如A={2，4，8，16}，则4∈A ，8∈A ，32 A. 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集A 记作 a ∈A ，相反，a 不属于集A 记作 a ?A （或a A ） 注：1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q …… 元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q …… 2、“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写。 4 注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。 （2）非负整数集内排除0的集。记作N *或N + 。Q 、Z 、R 等其它数集内排除0 的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z * 请回答：已知a+b+c=m ，A={x|ax 2+bx+c=m}，判断1与A 的关系。 1.1.2 集合间的基本关系 教学目标：1.理解子集、真子集概念； 2.会判断和证明两个集合包含关系； 3 . 理解 ”、“?”的含义； 4.会判断简单集合的相等关系； 5.渗透问题相对的观点。 教学重点：子集的概念、真子集的概念 教学难点：元素与子集、属于与包含间区别、描述法给定集合的运算 教学过程： 观察下面几组集合，集合A 与集合B 具有什么关系？ (1) A={1，2，3}，B={1，2，3，4，5}. (2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}. (3) A={正方形}，B={四边形}. (4) A=?，B={0}. ∈?∈

高中数学概念课教学

高中数学概念课教学 摘要培养创新精神和实践能力是目前我国教育改革，实施素质教育的重要任务之一，它要求我们在日常教学中持之以恒地认真钻研教材，合理创设问题情景，加强思维训练，并积极探索规律，改进教学方法，优化教学过程。笔者在高中数学概念教学中，发现教师若能充分重视数学概念的教学，在概念教学中恰当的把握好传授知识与增长能力的关系，充分尊重学生在学习过程中的主体体验、主动积极的思维和情感活动，才能循序渐进地引导学生在体验中感悟、在体验中创造、在体验中提高数学素养，帮助学生认识、理解、体验和掌握数学概念，促使其能运用数学概念灵活处理相关的数学问题。发展学生学会学习、学会思考、学会提问和开拓创新的能力。 关键词数学概念认识掌握拓展应用 数学是自然的，数学是清楚的。任何数学概念都有它产生的背景，考察它的来龙去脉，我们能够发现它是合情合理的。而要让学生理解概念，首先要了解它产生的背景，通过大量实例分析分析概念的本质属性，让学生概括概念，完善概念，进一步巩固和应用概念。才能是学生初步掌握概念。因此，概念教学的环节应包括概念的引入——概念的形成——概括概念——明确概念——应用概念—— 形成认知。传统的教法教师经常包办到家，口若悬河，常使学生感到枯燥无味，对数学课提不起兴趣，致使不少学生概念模糊，从而影响对数学内容的后续学习。数学概念是学习数学知识的基础，是

培养数学能力的前提。如何搞好数学概念课的教学呢? 一、让学生在亲自感知、体验教学中认识概念 学习一个新概念，首先应让学生明确学习它的意义，作用。因此，教师应设置合理的教学情景，使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入，通常有两类：一类是从数学概念体系的发展过程引入，一类是从解决实际问题出发的引入。我们着重谈一下从实际问题引入，通过创设实验活动，培养学生动手操作能力，让他们在亲自体验实践中形成数学概念。如在椭圆概念教学中，可要求学生事先准备两个小图钉和一条长度为定长细线，将细线两端分别固定在图板上不同两点a 和b ，用铅笔把细线拉紧，使笔尖在纸上慢慢移动所得图形。提问思考讨论：(1)椭圆上的点有何特征？(2)当细线长等于两定点之间距离时，其轨迹是什么？(3)当细线长小于两定点之间距离时，其轨迹是什么？(4)请同学总结，完善椭圆定义。这样的设计，不是教师机械的讲解、学生被动的接受的过程，而是学生通过数学实验，在不断思考和探索中得到新发现，获得新知识，从而体验数学概念的发生、形成和发展的过程，，一方面有利于增强学生上数学课兴趣，感受过程给他们带来的快乐，另一方面有利于学生充分了解概念由来，方便记忆。 二、寻找新旧概念之间联系，形成系统化，进一步掌握概念 数学中有许多概念都有着密切的联系，如平面角与空间角、映射与函数、平行线段与平行向量、等差数列与等比数列等等，在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。

高中数学定义大集合

数学定义 一.集合与函数 1. 的相互关系是什么?如何判断充分与必要条件? 进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特和殊情况，不要忘记了借助数轴文氏图进行求解. 2.在应用条件时，易A忽略是空集的情况 3.你会用补集的思想解决有关问题吗? 4.简单命题与复合命题有什么区别?四种命题之间 5.你知道“否命题”与“命题的否定形式”的区别. 6.求解与函数有关的问题易忽略定义域优先的原则. 7.判断函数奇偶性时，易忽略检验函数定义域是否关于原点对称. 8.求一个函数的解析式和一个函数的反函数时，易忽略标注该函数的定义域. 9.原函数在区间[-a,a]上单调递增，则一定存在反函数，且反函数也单调递增;但一个函数存在反函数，此函数不一定单调.例如：. 10.你熟练地掌握了函数单调性的证明方法吗?定义法(取值, 作差, 判正负)和导数法 11. 求函数单调性时，易错误地在多个单调区间之间添加符号“∪”和“或”;单调区间不能用集合或不等式表示. 12.求函数的值域必须先求函数的定义域。 13.如何应用函数的单调性与奇偶性解题?①比较函数值的大小;②解抽象函数不等式;③求 参数的范围(恒成立问题).这几种基本应用你掌握了吗? 14.解对数函数问题时，你注意到真数与底数的限制条件了吗? (真数大于零，底数大于零且不等于1)字母底数还需讨论 15.三个二次(哪三个二次?)的关系及应用掌握了吗?如何利用二次函数求最值? 16.用换元法解题时易忽略换元前后的等价性，易忽略参数的范围。 17.“实系数一元二次方程有实数解”转化时，你是否注意到：当时，“方程有解”不能转化为。若原题中没有指出是二次方程，二次函数或二次不等式，你是否考虑到二次项系数可能为的零的情形? 二.不等式 18.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”. 19.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么? 20.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式(分式)不等式的注意事项是什么? 21.解含参数不等式的通法是“定义域为前提，函数的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”. 22. 在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示;不能用不等式表示. 23. 两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b 三.数列

高中文科数学公式及知识点总结大全(精华版)

高中文科数学公式及知识点速记 一、函数、导数 1、函数的单调性 (1)设2121],,[x x b a x x <∈、那么 ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?<-上是增函数； ],[)(0)()(21b a x f x f x f 在?>-上是减函数. (2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减 函数. 2、函数的奇偶性 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f =-，则)(x f 是偶函数； 对于定义域内任意的x ，都有)()(x f x f -=-，则)(x f 是奇函数。 奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称。 3、函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义 函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. *二次函数： （1）顶点坐标为24(,)24b ac b a a --；（2）焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+- 4、几种常见函数的导数 ①' C 0=；②1 ' )(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos ' -=； ⑤a a a x x ln )(' =；⑥x x e e =' )(； ⑦a x x a ln 1)(log ' = ；⑧x x 1)(ln ' = 5、导数的运算法则 （1）' ' ' ()u v u v ±=±. （2）' ' ' ()uv u v uv =+. （3）'' '2 ()(0)u u v uv v v v -=≠. 6、会用导数求单调区间、极值、最值 7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时： (1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； (2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值． 指数函数、对数函数 分数指数幂 (1)m n a =0,,a m n N *>∈，且1n >）. (2)1m n m n a a - = = （0,,a m n N * >∈，且1n >）. 根式的性质 （1）当n a =；

2020高中数学概念公式大全

高中数学概念公式大全 一、 三角函数 1、以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，点P 到原点的距离记为r ，则 sin α= r y ，cos α=r x ，tg α=x y ，ctg α=y x ，sec α=x r ，csc α=y r 。 2、同角三角函数的关系中，平方关系是：1cos sin 22=+αα， αα22sec 1=+tg ，αα22csc 1=+ctg ； 倒数关系是：1=?ααctg tg ，1csc sin =?αα，1sec cos =?αα； 相除关系是：αααcos sin = tg ，α α αsin cos =ctg 。 3、诱导公式可用十个字概括为：奇变偶不变，符号看象限。如： =-)23sin(απαcos -，)215(απ -ctg =αtg ， =-)3(απtg αtg -。 4、函数B x A y ++=)sin(?ω），（其中00>>ωA 的最大值是 B A +，最小值是A B -，周期是ω π 2= T ，频率是π ω 2= f ，相位是?ω+x ，初相是?；其图象的对称轴是直线 )(2 Z k k x ∈+ =+π π?ω，凡是该图象与直线B y =的交点都 是该图象的对称中心。 5、三角函数的单调区间：

x y sin =的递增区间是?????? +-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是?? ???? ++23222ππππk k ，)(Z k ∈；x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22， )(Z k ∈，tgx y =的递增区间是?? ? ? ?+ - 22 πππ πk k ，)(Z k ∈，ctgx y =的递减区间是()πππ+k k ，)(Z k ∈。 6、=±)sin(βαβαβαsin cos cos sin ± =±)cos(βαβαβαsin sin cos cos μ = ±)(βαtg β αβ αtg tg tg tg ?±μ1 7、二倍角公式是：sin2α=ααcos sin 2? cos2α=αα2 2 sin cos -=1cos 22 -α=α2 sin 21- tg2α= α α 212tg tg -。 8、三倍角公式是：sin3α=αα3 sin 4sin 3- cos3α=ααcos 3cos 43 - 9、半角公式是：sin 2α=2cos 1α-± cos 2α=2 cos 1α +± tg 2α=α αcos 1cos 1+-±=ααsin cos 1-=ααcos 1sin +。

人教版高一数学必修一《函数的概念》教学设计

. 1.2.1 函数的概念（第一课时） 班级 姓名 时间 制作人： 课题 函数的概念 课 型 新 授 课 知识目标—— 通过丰富的实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系 的重要数学模型；用集合与对应的思想理解函数的概念；理解函数的三要素 及函数符号的深刻含义. 能力目标—— 培养学生观察、类比、推理的能力；培养学生分析、判断、抽 学习目标 重 点 难 点 学法指导 象、归纳概括的能力；强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想 情感目标——探究过程中，强化学生参与意识，激发学生观察、分析、探求 的兴趣和热情；体会由特殊到一般、从具体到抽象、运动变化、相互联系、 相互制约、相互转化的辩证唯物主义观点；逐渐形成善于提出问题的习惯， 学会数学表达和交流，发展数学应用意识；感受数学的抽象性和简洁美渗， 透数学思想和文化. 函数的概念、函数的三要素 函数概念及符号 y = f ( x ) 的理解 ⑴先自学课本 15～18 页，尝试完成课本例题和练习题。 ⑵找准自学中存在的问题，以备课堂内解决。 一．知识链接： 1、在初中我们学习了哪几种基本初等函数？ 一次函数，二次函数，反比例函数 2、在初中学习阶段，函数的定义是如何表述的？ 在一个变化过程中，有两个变量x 与 y ，如果对于 x 的每一个值， y 都有唯一确定的值和它 对应，那么就说 x 是 y 的函数， y 叫自变量． 3、由上述定义你能判断“y=1”是否表示一个函数？函数 y=x 与函数 y = x 2 表示同一个函 x 数吗？ （学生思考、小组讨论） 教师点拨：仅用上述函数概念很难回答这些问题，我们需要从新的角度来认识函数概念。这 就是今天我们要学习的课题：函数的概念（板书） 二、新课探究： 1.实例感受： 实例一：一枚炮弹发射后，经过 26s 落到地面击中目标．炮弹的射高为845m ，且炮弹 距地面的高度 h （单位： m ）随时间 t （单位： s ）变化的规律是： y = 130t - 5t 2． 思考 1：（１）. t 的范围是什么？ h 的范围是什么？ （２）. t 和 h 有什么关系？这个关系有什么特点？ （实例一由师生共同完成） 事实上生活中这样的实例有很多，随着改革开放的深入，我们的生活水平越来越高， 1

《新课标下高中数学概念教学的实践与研究》

《新课标下高中数学概念教学的实践与研究》 课题开题报告 浙江温州第二十二中学高洪武325000 一、课题提出的背景及现实意义 新一轮课程改革已经在全国部分省市如火如荼地开展，为了进一步扩大普通高中新课程实验范围，教育部决定从2006年秋季起，福建、浙江、辽宁和安徽4省将全面进入普通高中新课程实验。这将意味着我省教师将真正意义上进入新课程教学的实践与研究了。作为高中数学教师，理所当然将在这一实验过程中扮演着重要的角色。在新课程理念下，对构建数学理论大厦的数学概念如何实施教学是摆在每一位老师面前的一个严峻的课题。 高中数学课程标准指出：数学教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解。长期以来，由于受应试教育的影响，不少数学教师重解题、轻概念造成数学解题与概念脱节、学生对概念含混不清，一知半解，不能很好地理解和运用概念。数学课堂变成了教师进行学生解题技能培训的场所；而学生成了解题的机器，整天机械地按照老师灌输的“程序”进行简单的重复劳作。严重影响了学生思维的发展，能力的提高。这与新课程大力倡导的培养学生探究能力与创新精神已严重背离。那么在新课标下如何才能帮助学生更好、更加深刻地理解数学概念；如何才能灵活地应用数学概念解决数学问题，我想关键的环节还是在于教师如何实施数学概念教学，为此“新课标下高中数学概念教学的实践与研究”课题在这样的背景下应运而生。 二、国内外关于同类课题的研究综述和课题研究的理论依据 1.国内外关于同类课题的研究综述： 国内外关于数学概念教学理论研究是比较多的，对于一些概念课授课方法也是有研究的。但是那些理论的得出和经验的总结都是特定教育环境下的产物；而对于今天所推进的新课程实验（特别是在我国刚刚开始实施阶段），高中数学概念教学理论研究还几乎是一片空白。对于实践研究就更不足为谈了。 2. 课题研究的理论依据: 2-1 一般来说，数学概念要经历感知、理解、保持和应用四种心理过程。数学概念教学主要依据有如下理论： （1）联结理论、媒介理论：联结理论把概念的掌握过程解释为各种特征的重叠过程，尤如用照相机拍摄下来的事物在底片上的重叠，能够冲洗出照片一样。即接受外界刺激然后做出相应的反应。而媒介理论认为内部过程存在一种媒介因素，并用它来解释复杂的人类行动。 （2）同化、顺应理论：皮亚杰认为，概念的掌握过程无非是经历了一个同化与顺应的过程；所谓同化，就是把新概念、新知识接纳入到一个已知的认知结构中去；所谓顺应，就是当原有的认知结构不能纳入新概念时，必须改变已有的认知结构，以适应新概念。 （3）假设理论：假设理论不同于联结理论把概念掌握的过程看成是一个消极被动的过程，并认为学生掌握概念是一个积极制造概念的过程。所谓积极制造概念的过程，就是根据事实进行抽象、推理、概括、提出假设，并将这一假设应用于日后遇到的事例中加以检验的

高中数学-集合的概念及其基本运算练习

高中数学-集合的概念及其基本运算练习 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【新课标I 卷文】已知集合，，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析：利用集合的交集中元素的特征，结合题中所给的集合中的元素，求得集合中 的元素，最后求得结果. 详解：根据集合交集中元素的特征，可以求得 ，故选A. 2.【天津文】设集合{1,2,6},{2,4},{1,2,3,4}A B C ===，则()A B C =U I （A ）{2}（B ）{1,2,4}（C ）{1,2,4,6}（D ）{1,2,3,4,6} 【答案】B 【解析】由题意可得：{}(){}1,2,4,6,1,2,4A B A B C =∴=U U I .本题选择B 选项. 3．【浙江省嘉兴市高三上期末】已知集合{|1}P x x =<， {} 0Q x x =，则（ ） A. P Q ? B. Q P ? C. P ? R C Q D. R C P Q ? 【答案】D 【解析】R C P =[1,)+∞∴ R C P Q ?,选D. 4．【浙江省嵊州市高三上期末】已知集合2 {|1}A x x =≤， {}21B =-，，则A B ?=（ ） A. {}1 B. {}21-， C. {|11}x x -≤≤ D. {|211}x x x =--≤≤， 或 【答案】A 【解析】Q {} 2|1A x x =≤ {}=|11x x -≤≤， {}21B =-，， {}1A B ∴?=，故选A. 5．【浙江省杭州市高三上期末】设集合{|22}A x x =+≤， [] 0,4B =，则()R C A B ?=（ ） A. R B. {}0 C. {|,0}x x R x ∈≠ D. ?

新课标下如何进行高中数学概念教学

新课标下如何进行高中数学概念教学 发表时间：2011-01-26T17:01:56.810Z 来源：《少年智力开发报》2010年第9期供稿作者：杨昆 [导读] 如何在这一要求下进行数学概念教学？我认为抓好概念教学是提高数学教学质量的最关键的一环。 贵州省平塘民族中学杨昆 教师应该准确地提示概念的内涵与外延，使学生深刻理解概念，并在解决各类问题时灵活应用数学概念是新课标下数学概念的教学要求。因此正确理解数学概念，是掌握数学基础知识的前提。如何在这一要求下进行数学概念教学？我认为抓好概念教学是提高数学教学质量的最关键的一环。下面我从引入概念、解析概念、巩固概念三个方面谈谈对概念教学。 一、引入概念 概念教学中要引导学生经历从具体的实例抽象出数学概念的过程．因此引入数学概念就要以具体的典型材料和实例为基础，揭示概念形成的实际背景，要创设好的问题情境，帮助学生完成由材料感知到理性认识的过渡，并引导学生把背景材料与原有认知结构建立实质性联系．下面介绍几种引入数学概念的方法： 1.从实际生活中，引入新概念。 新课标强调“数学教学要紧密联系学生的生活实际”．在数学概念的引入上，尽可能地选取学生日常生活中熟悉的事例． 2.创设问题情境，引入新概念。 教师要善于恰当地创设趣味性、探索性的问题情境，激发学生概念学习的兴趣，使学生能够从问题分析中，归纳和抽象出概念的本质特征，这样形成的概念才容易被学生理解和接受。 3. 从最近概念引入新概念。 数学概念具有很强的系统性。数学概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后续概念的基础，从而形成了数学概念的系统。公理化体系就是这种系统性的最高反映。教学中充分利用学生头脑中已有的知识与相关的经验引入概念，使相应的具体经验升华为理性认识，不仅能使学生准确地理解概念的形式定义，而且有利于建立起关于概念的恰当心理表征。使学生对知识的积累变成对知识的融合。 二、解析概念 生动恰当的引入概念，只是概念教学的第一步，，要使学生真正掌握新概念，还必须多角度、多方位的解析概念。对概念理解不深刻，解题时就会出现这样或那样的错误，要正确而深刻地理解一个概念并不是一件容易的事，教师要根据学生的知识结构和能力特点，从多方面着手，适当地引导学生正确地分析解剖概念，充分认识概念的科学性，抓住概念的本质。因此，教师要充分利用概念课，培养学生的能力，训练学生的思维，使学生认识到数学概念，既是进一步学习数学的理论基础，又是进行再认识的工具。为此，我们可以从以下几个方面努力，加深对概念的理解。 1.用数学符号语言解析概念。数学教学体现了数学语言的特点，数学语言无非是文字叙述、符号表示、图形表示三者之间的转换，当然要会三者的翻译，同时更重要的是强调符号感。引进数学符号以后，应当引导学生把符号与它所代表的实质内容联系起来，使学生在看到符号时就能够联想起符号所代表的概念及其本质特征。事实上，如果概念的符号能够与概念的实质内容建立起内在联系，那么，符号的掌握可以提高学生的抽象能力、概括能力。数学中的逻辑推理关键就在于能够合理、恰当地应用符号，而这又要依靠对符号的实质意义的把握。在概念学习中，形式地掌握符号而不懂得符号的本质涵义的情况是经常发生的，这时符号将使知识学习产生困难，导致数学推理的错误。 2.用图形语言解析概念。数与形的结合是使学生正确理解和深刻体会概念的好方法，数形结合妙用无穷，教学中凡是“数”与“形”能够结合起来讲的，一定要尽量结合起来讲。 3.逆向分析，加深对概念的理解。人的思维是可逆的，但必须有意识地去培养这种逆向思维活动的能力。对某些概念还应从多方面设问并思考。 4.讲清数学概念之内涵和外延，沟通知识的内在联系。概念反映的所有对象的共同本质属性的总和，叫做这个概念的内涵，又称涵义。适合于概念所指的对象的全体，叫做这个概念的外延，又称范围。 5.揭示概念与概念之间的区别与联系,使新概念与已有认知结构中的有关概念建立联系,把新概念纳入到已有概念体系中,同化新概念。教学中，应将相近、相反或容易混淆的概念放到一块来对比讲解，从定义、图形、性质等各方面进行分析对比，从而正确理解把握概念.。 三、巩固概念 学生认识和形成概念，理解和掌握之后，巩固概念是一个不可缺少的环节。巩固的主要手段是多练习、多运用，只有这样才能沟通概念、定理、法则、性质、公式之间的内存联系。我们可以选择概念性、典型性的习题，加强概念本质的理解，使学生最终理解和掌握数学思想方法。例如，当学习完“向量的坐标”这一概念之后，进行向量的坐标运算，提出问题：已知平行四边形ABCD的三个顶点ABC的坐标分别是(1,2),(2,4),(0,2),试求顶点D的坐标。学生展开充分的讨论，不少学生运用平面解析几何中学过的知识（如两点间的距离公式、斜率、直线方程、中点坐标公式等），结合平行四边形的性质，提出了各种不同的解法，有的学生应用共线向量的概念给出了解法，还有一些学生运用所学过向量坐标的概念，把点D的坐标和向量CD的坐标联系起来，巧妙地解答了这一问题。学生通过对问题的思考，尽快地投入到新概念的探索中去，从而激发了学生的好奇以及探索和创造的欲望，使学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。除此之外，教师通过反例、错解等进行辨析，也有利于学生巩固概念。 总之，在中学数学概念的教学中，只要针对学生实际和概念的具体特点，注重引入，加强分析，重视训练，辅以灵活多样的教法，使学生准确地理解和掌握概念，才能更好地完成数学概念的教学任务，从而有效地提高数学教学质量。

高中数学必修1、3、4、5知识点归纳与公式大全

必修1数学知识点 §1.1.1、集合 1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。 2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：*N 或+N ，整数集合：Z ，有理数集合：Q ，实数集合：R . 4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系 1、 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称集合A 是集合B 的 子集。记作B A ?. 2、 如果集合B A ?，但存在元素B x ∈，且A x ?，则称集合A 是集合B 的真子集.记作：A B. 3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：?.并规定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A 中含有n 个元素，则集合A 有n 2个子集. §1.1.3、集合间的基本运算 1、 一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与B 的并集.记作：B A . 2、 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集.记作：B A . 3、全集、补集？{|,}U C A x x U x U =∈?且 §1.2.1、函数的概念 1、 设A 、B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都 有惟一确定的数()x f 和它对应，那么就称B A f →:为集合A 到集合B 的一个函数，记作： ()A x x f y ∈=,. 2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致， 则称这两个函数相等. §1.2.2、函数的表示法 1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、 注意函数单调性证明的一般格式： 解：设[]b a x x ,,21∈且21x x <，则：()()21x f x f -=… §1.3.2、奇偶性 1、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-，那么就称函数()x f 为偶函数. 偶函数图象关于y 轴对称. 2、 一般地，如果对于函数()x f 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-，那么就称函数()x f 为奇函数.奇函数图象关于原点对称. 第二章、基本初等函数（Ⅰ） §2.1.1、指数与指数幂的运算 1、 一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根。其中+∈>N n n ,1. 2、 当n 为奇数时，a a n n =； 当n 为偶数时，a a n n =. 3、 我们规定：

对高中数学概念教学的一点想法

对高中数学概念教学的一点想法 发表时间：2009-07-07T11:16:12.733Z 来源：《中学课程辅导·教学研究》2009年第10期供稿作者：王仙 [导读] 随着新课改的深入实施，高中数学概念教学受到了前所未有的重视。 摘要：随着新课改的深入实施，高中数学概念教学受到了前所未有的重视。本文结合实例探讨了怎样才能更有效地进行概念教学以及相应的教学方法。 关键词：概念教学；课堂教学；理解；概括 作者简介：王仙，任教于浙江省衢州高级中学。 长期以来,由于受应试教育的影响,不少教师在教学中重解题、轻概念,造成数学概念与解题脱节的现象。有些教师仅仅把数学概念看作一个名词而已,认为概念教学就是对概念作解释,要求学生记忆。而没有看到像函数、向量这样的概念,本质是一种数学观念,是一种处理问题的数学方法。一节“概念课”教完了,也就完成了它的历史使命,剩下的是赶紧解题,造成学生对概念含糊不清,一知半解,不能很好地理解和运用概念,严重影响了学生的解题质量。另一方面,新教材有的地方对概念教学的要求是知道就行,需要某个概念时,就在旁边用小字给出,这样过高的估计了学生的理解能力,也是造成学生不会解题的一个原因。那么如何搞好新课标下数学概念课的教学呢? 一、正确地理解概念 我国从20世纪50年代以来，中学数学教学大纲虽经历多次修订，但都有一个共同的指导思想，这就是搞好三基。并强调指出，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。而当前我国数学教学中的突出问题，恰好是把掌握数学基础，即数学概念的正确理解，给忽视了。一方面是教材低估了学生的理解能力，为了“减负”，淡化甚至回避一些较难理解的基本概念；另一方面，“题海战术”式的应试策略，使教师没有充分的时间和精力去钻研如何使学生深入理解基本的数学概念。说是为了减负，其实南辕北辙，老师、学生的压力都增加了。 其实我们知道，正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。学生如果不能正确地理解数学中的各种概念，就不能掌握各种法则、定理、公式，从而也就不能进行计算和论证。因此，讲清概念，使学生正确地理解概念，对于提高数学教学质量具有重要的意义。鉴于此，教师们都渐渐地开始重视概念的教学。 在较长的一段时间里，概念教学搞“一个定义三项注意”，不讲概念产生的背景，也不经历概念的概括过程，仅从“逻辑意义”列举“概念要素”和“注意事项”，忽视“概念所反映的数学思想方法”，导致学生难以达成对概念的实质性理解，无法形成相应的“心理意义”。 没有“过程”的教学，因为缺乏数学思想方法为纽带，概念间的关系无法认识，概念间的联系难以建立，导致学生的数学认知结构缺乏整体性。 用例题教学替代概念的概括过程，认为“应用概念的过程就是理解概念的过程”。殊不知没有概括过程必然导致概念理解的先天不足，没有理解的应用是盲目的应用。结果不仅“事倍功半”，而且“功能僵化”--面对新情境时无法“透过现象看本质，难以实现概念的正确、有效应用，质量效益都无保障。那么怎样才能有效地进行概念教学呢？ 二、对不同的概念，要采取不同的方法 有的只需在例题教学中实施概念教学。比如：相关关系的概念是描述性的，不必追求形式化上的严格。建议采用案例教学法。对比函数关系，重点突出相关关系的两个本质特征在：关联性和不确定性。关联性是指当一个变量变化时，伴随另一个变量有一定的变化趋势；不确定性是指当一个变量取定值时，与之相关的变量的取值仍具有随机性。因为有关联性，才有研究的必要性。因为其不确定性，从少量的变量观测值，很难估计误差的大小，因此必须对变量进行大量的观测。但每个观测值都有一定误差，为了消除误差的影响，揭示变量间的本质联系，就必须要用统计分析方法。 有的先介绍概念产生的背景，然后通过与概念有明显联系、直观性强的例子，使学生在对具体问题的体验中感知概念，提炼出本质属性。如：“异面直线”概念的教学，可以在长方体模型或图形中（或现有的教室中），引导学生找到既不相交也不平行的两条直线，直接给出像这样的两条直线叫“异面直线”。然后画出一些看起来是异面直线其实不是异面直线的图，以完善异面直线的概念。再给出简明、准确、严谨的定义。最后让学生在各种模型中找出、找准所有的异面直线，以体验概念的发生发展过程。 有的要联系其它概念，借助多媒体等一些辅助设施进行直观教学。比如：导数是微积分的一个核心概念，它有着极其丰富的背景和广泛的应用。高等数学里，导数定义为自变量的改变量趋于零时，函数的改变量和相应的自变量的改变量之比的极限（倘若存在），涉及有限到无限的辩证思想，这样的数学概念是比较抽象的，这与初等数学在知识内容、思想方法等方面有较大的跨度，加上学生刚接触导数概念，所以往往把导数作为一种运算规则来记忆，却没有理解导数概念的内涵和基本思想。建议（1）导数教学前要加强变化率的实例分析； (2)利用多媒体的直观性，帮助学生理解动态无限趋近的思想；（3）利用APOS理论指导导数概念教学。 有的在情景设计、意义建构、例题讲解、课堂小结整个教学环节中实施，比如“函数”一课。我们知道函数是一个核心概念，函数思想是一种核心的数学思想方法。衢州高级中学何豪明老师是用三个实例（以解析式、图象、表格三种形式给出）设计情景，以小组讨论的形式让学生自己归纳出函数概念及三要素，又用四个例题层层深入地加深对概念的理解。整堂课紧紧围绕函数概念和思想方法进行教学，上出“简约”而“深刻”的效果。 概念是人们对客观事物在感性认识的基础上经过比较，分析，综合，概括，判断，抽象等一系列思维活动，逐步认识到它的本质属性以后才形成的。数学概念也不例外。因此，数学概念的产生和发展，人们对数学概念的认识都要经历由实践，认识，再实践，再认识的不断深化的过程。学生要形成、理解和掌握基本的数学概念也是一个十分复杂的认识过程，这就决定了对较难理解的数学概念的教学不能一步到位，而是要分阶段进行。 三、在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念 数学中有许多概念都有着密切的联系,如平行线段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等,在教学中应善于寻找、分析其联系与区别,有利于学生掌握概念的本质。再如,函数概念有两种定义,一种是初中给出的定义,是从运动变化的观点出发,其中的对应关系是将自变量的每一个取值,与唯一确定的函数值对应起来:另一种是高中给出的定义,是从集合、对应的观点出发,