芝诺悖论之飞矢不动
芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？”
“那还用说，当然是动的。”
“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？”
“有的，老师。”
“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”
“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。”
“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”
“不动的，老师”
“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”
“也是不动的，老师”
“所以，射出去的箭是不动的？”
解析：飞矢在每一瞬间所占据的时间是零，飞矢飞行全程所有瞬间所占据的时间还是零。
之诺承认飞矢飞行在流动的时间中，但之诺指认的飞矢飞行中的任何瞬间都不组成飞行时间，组成飞行时间的是飞行全程中任意两个瞬间之间的时间段。飞矢飞行的全程时间由飞行中所有相邻瞬间之间的时间段之和组成。之诺分析的不是飞矢在飞行时间中表现出的现象。
任何物体都存在于时间和空间之中。物体不动有两个含意，一个是在时间流动状态下物体位置相对静止不动，另一个是时间不动，在时间静止状态下任何物体都是静止的、不动的。
瞬间是时间静止。之诺描述的是时间静止状态下的矢、不是时间流动状态下的飞矢。飞矢不动的理论逻辑错误是，把时间静止状态下的静止不动换成了时间流动状态下的位置静止不动。
解析二1.首先，你的逻辑很流氓，也很没道理。
“因为我做出来的证明结论是：物体在运动的过程中不存在静止的状态，你既然说我做错了，那么就请你证明：物体在运动的过程中存在静止的状态。”
——民科同志，如果一个定理是对的，你用错误的方法证明了，我们只需要找出你证明里的错误就行，而不用证明这整个定理是错的。
就像做一道题，你用错误的方法撞出了正确答案，我批你错，不用否定这个答案本身，懂么。
2.现在，我先把你整个证明之前的假设推翻。
你的假设是，“设一线段AB和一动点H，动点H无大小，长度为0。”(这个假设源于你的认知里没有“微分”概念——当然，说好了不讲微积分，那咱就不讲那么专业)
小学学线段的时候，老师说“线段由点组成，而点是没有体积、没有长度的”，他为什么不说“点是体积为0、长度为0的”？
这个问题主贴有人问了，但是你不敢面对，因为这是你数学概念混淆的第一步。为什么“点”没有“长度”？
——因为点属于0维空间，“长度”是1维空间才出现的，是“线”的度量。
为什么“线”没有“宽度”？
——因为线属于1维空间，“宽度”是2维空间“面”的度量。
为什么“面”没有“高度”？
——因为面属于2维空间，“高度”是3维空间“体”的度量。
所以，“点没有体积没有长度”，是“度量衡不存在”的意思，而不是“度量值为0”。
你先假设出一个“长度为0的点”（0维、1维空间都不存在这样的东西），然后一路拿它算到3维甚至4维空间，只能说你小学数学根本没理解通彻，和你学不学微积分玩不玩专业知识没有任何关系。
但微分为什么可以算这道题？因为分割到无穷小的线段依然是“线段”，它存在长度，只是长度无穷小，而不是质变成了“点”（没有长度）。认为无穷小=0的人，就是喜欢经常在相邻维度里跳来跳去的。
证明推翻到此结束。
所以说，不要觉得基础知识很幼稚、简单，当你连“点和线”不在同一维度都没有记住的时候，就不要觉得自己懂数学——概念不清，给你一万个公式都没有用。
还有，你答应花10天解决某楼提出的问题，解决不出就给1W RMB，我觉得还是直接给钱吧。无穷个0加起来不可能等于常数C，除非那不是0，是dt。
3.关于“飞矢不动”这个伪命题。
这个悖论其实在微积分发明出来以后就被解决了（绝对不是什么跨越2500年的哲学难题，比这难的海了去了），之所以现在还在量子力学的研究范围里，主要是因为它的确符合海森堡测不准原理，即状态和速度不可同时测得。但是这里我们不讨论，因为我们不生活在量子时间里。
民科大爷，姐告诉你，你就是把状态和速度同时测到了，所以才觉得矛盾（因为实际上不可能同时测得，否则你能拿诺贝尔物理学奖）。
实际上，4维空间的度量衡是“时间t”，如果按你的要求严格挑选一个“时刻”，其时间跨度为0，也就是说……很不好意思，你跳到3维去了。
在这个完全静止的、时刻为0的3维空间里，不存在“时间轴”，没有“时间”这个概念，所以没有运动，也没有所谓的“静止”，你测得了状态，但是测不到速度。
民科同志，你懂了吗，“静止”这个概念必须存在于有“时间轴”的空间里，也就是4维空间，在纯3维空间里讲静止就像你在0维空间里讲长度一样，是没有意义的！当你把无数个“时刻为0”的三维空间叠加起来，仍然只能处于3维空间，而3维空间里没有时间，所以飞矢不动。你永远回不到4维空间里。只有把时间T划分为无穷小量dt，你才能叠加回原来的时间T，而在每一个dt里，飞矢都是有速度的，不是静止。
一切都错误只是因为你的证明跑错了维度，这个悖论本身也是因为跑错了维度，微积分证明的基础就是把它拉回了4维空间，免得让你在3维空间里创造出一个“时间度量衡”。
累死了…
悖论的产生和意义
对于悖论存在及其意义的探究 摘要：悖论的存在已有数千年历史,悖论到底如何定义的?是为什么会存在的?历史上人们又是怎么对待悖论的?悖论能够怎样被解决?悖论的存在又有什么意义?这一切问题都需要我们深入思考研究。 关键词:悖论；逻辑哲学；存在；本体论；形而上学 一、什么是悖论？ 在人类思想史上，已经提出了各种各样的谜题与悖论，它们对人类理智构成了严重的挑战，许多大家、巨擘以及无名氏前仆后继地对其进行了艰辛的探索。从古希腊、中国先秦时期到现代数学、逻辑学等众多学科中，已经发现了各种各样的悖论或怪论，悖论已经成为数学、逻辑学、哲学、语言学、计算机科学、思维科学等多学科专家共同探讨的课题，谈论“悖论”几乎成为时髦。那么,到底什么是悖论呢?悖论，亦称为吊诡或诡局，是指一种导致矛盾的命题。通常从逻辑上无法判断正确或错误称为悖论，似非而是称为佯谬；有时候违背直觉的正确论断也称为悖论。悖论的英文paradox一词，来自希腊语paradoxos，意思是“未预料到的”，“奇怪的”。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 二、悖论与逻辑哲学 说谎者悖论被认为是世界上最早的悖论,由公元前六世纪的哲学家克利特人艾皮米尼地斯提出:“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这个悖论最简单的表述形式是:“我在说谎”。如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。这类悖论的一个标准形式是：如果事件A 发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这是一个自相矛盾的无限逻辑循环。悖论的存在显然是因为某些命题正在逻辑上存在不合理性从而引起了众多学者的探究。 虽然逻辑不能等同于逻辑哲学，但是逻辑哲学基本上是和逻辑同时产生的，任何逻辑学家都在无形中进行着对逻辑哲学的研究。尤其是对于数学这样的极其讲究严密的逻辑性的研究领域，逻辑哲学的研究根本无法避免。著名的“罗素悖论”的出现甚至引起了第三次数学危机。所谓的罗素悖论是罗素针对当时建立不久的集合论体系提出的一个基础上存在的矛盾：“定义两个集合：P={A∣A∈A} ，Q={A∣A?A} 。问题：Q∈P 还是 Q?P？”。显然，无论是指定哪个判断为真，最后都能够推断出与其相反的结论。为了使其更容易被理解，罗素悖论又被称为“理发师悖论”：“有一个理发师说：‘我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸’”。那么这个理发师要不要给自己刮脸呢？无论他怎么做，最后都一定会违背自己当初的话。 悖论的流行引发了世界上的思想风暴。越来越多的人认识到我们现有社会中存在的不完美，思维方式不能再局限于既定逻辑，而要尝试打破规则，因为悖论的存在充分说明了现有的规则有着无法忽视的漏洞，甚至会动摇社会根基。 三、悖论与本体论 西方哲学从古希腊开始一直以研究世界的本原为己任, 形成了西方哲学的本体论传统。本体论的最主要特征就是研究存在问题, 即关于什么样的实体存在, 以及作为实体在资格
浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟
浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟 公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基 里斯前头1000米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10 倍．当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍 然前于他100米．当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依 然前于他10米．芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟， 但他决不可能追上它。 此问题可用数学知识表示为；如图设阿基里斯处在A 点，乌龟处在B 点，A ，B 点相距X ，阿基里斯以速度V 前进，则乌龟以速度1∕10V 前进，若阿基里斯前进了X ，则乌龟前进了1/10X ，若阿基里斯前进了1/10X ，则乌龟前进了1/10?2X ，就这样无限的进行下去， 乌龟前进的路程可表示为S=1/10X+1/10?2X+1/10?3X+1/10?4X+…1/10?nX ，而阿基里斯前进的路程为S ’=X+1/10X+1/10?2X+1/10?3X+1/10?4X+…1/10?(n-1)X, 所以二者之差S ’—S= X —1/10?nX ，乌龟与阿基里斯相距1/10?nX ，当n 为无穷大时，S ’—S ≈X ， 1/10?nX ≈0，但是1/10?nX 总是一个大于0的数，因此阿基里斯是追不上乌龟的. 然而如果我们深思这个问题我们会发现，当n 为无穷大时，1/10?nX 会越来越小，通过这段路程的时间会趋于0. 对于宏观上分析，显然我们可以得出当1/10?nX ≈0时，阿基里斯与乌龟所占的空间要比1/10?nX 大得多，我们说阿基里斯没有追上乌龟这是不科学的。对于微观上分析，我们将阿基里斯与乌龟分别看成两个质点，设为A ，B ，而质点是没有体积的，这样讨论就不会产生宏观上的不科学的观点。若A,B 是质点，我们显然可以得到A 是永远追不上B 的。但在牛顿的经典物理学中，我们可以知道若A 比B 的速度快，经过有限时间后，A 是一定会追上B 的，因此这个问题是不可以用牛顿的经典物理学来分析的，经典物理学有两个假设： 其一是假定时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关，物质间相互作用的传递是瞬时到达的；其二是一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。也就是在经典物理学中时间和空间都是连续的，因此我们可以以时间不是连续的观点来讨论这A X B
芝诺悖论的极限分析
芝诺悖论的极限分析 学生姓名：王慧文指导教师：岳进 摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们 似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些 谬论。在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。在哲学方面违反了辩证法的客观 性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸 要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。 同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。 关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断 引言： 数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的发展。 芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。运动只是假象，不动不变才是真实。假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。 1、悖论对数学产生的作用 1.1从悖论说起 什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。悖论往往以逻辑推理为手段，深入到原理论的基础之中深刻地揭露出该理论体系中的无法回避的矛
芝诺悖论
芝诺（埃利亚）（Zeno of Elea）生活在古代希腊的埃利亚城邦。他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德（Parmenides）的学生和朋友。关于他的生平，缺少可靠的文字记载。柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的了。”按照以后的希腊著作家们的意见，这次访问乃是柏拉图的虚构。然而柏拉图在书中记述的芝诺的观点，却被普遍认为是相当准确的。据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护。但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。芝诺有一本著作《论自然》。在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。”公元5世纪的评论家普罗克洛斯（Proclus）在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出40个各不相同的悖论。芝诺的著作久已失传，亚里士多德的《物理学》和辛普里西奥斯（Simplici－us）为《物理学》作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外只有少量零星残篇可提供佐证。现在流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论”共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多”的，一个是反对空间观念的，另一个则试图表明感觉是不可靠的，其中关于运动的4个悖论尤为著名。 直到19世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。英国数学家B．罗素感慨的说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了四个无限微妙无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后这些诡辩才得以正名。”19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺。他们推测芝诺的理论在古代就没能得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用来倡导怀疑主义和否定知识，亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。目前，学者们对芝诺提出这些悖论的目的还不清楚，但大家一致认为，芝诺关于运动的悖论不是简单的否认运动，这些悖论后面有着更深的内涵。亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，从这个意义上来说，他功不可没，但他对芝诺悖论的分析和批评是否成功，还不可以下定论。 芝诺悖论（Zeno's paradoxes)是芝诺提出的一系列关于运动的不可能性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺为了支持他老师巴门尼德关于“存在不动”、是一的学说（万物为一且永不变化的学说），提出了著名的运动悖论和多悖论，以表明运动和多是不可能的。他的结论在常人看来当然很荒谬，但他居然给出了乍看起来颇令人信服的论证，故人们常常称这些论证构成了悖论或佯谬。不过，若细细推敲，其结论未必荒谬，其论证未必令人信服，故中性的称这些论证为芝诺论辨（Argument）最为合适。 这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。
[亚里士多德,芝诺,悖论]浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论
浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论 一、导言 哲学有两种功效: 诊断和治疗。本文主要集中在对问题本身的诊断。维特根斯坦在《逻辑哲学论》中把哲学比喻为梯子，我们不应仅仅执迷于梯子上有什么，而应更加关注会有多少种梯子，因为不同的梯子可能会通向不同的方向。通常的解读下，哲学史是对柏拉图问题的回答，进一步讲，也可以认为是对巴门尼德问题的回答，但这只是问题的一个方面。如果把解决巴门尼德问题看作对真的追求，那么对芝诺问题的消解就可以看作对假的消除。既然哲学史可以解读为对真的追求，那么同样也可以解读为对假的消除，即哲学史既可以理解成是努力追求巴门尼德的真，亦可以理解成是在努力消解芝诺问题。 二、实体与属性: 芝诺悖论的多层结构 1. 按照胡吉特 ( Nick Huggett) 理论对芝诺悖论的结构分层 ( 1) 数量悖论。①密度悖论: 如果有多，他们必须与自身一样多，既不更多也不更少。但是如果他们和自身一样多，他们则是被限制的。如果他们是多，多这样的事物是不被限制的。因为在多的事物之间总是有其它的事物，并且在这些事物之间还有另一些事物，因此多这样的事物是不被限制的。②有限量悖论: 如果把其他存在的事物增加于它，这不会使其变大。因为如果它没有体量并且被增加，它在体量上也不可能增加。因此立即可以得出这样的结论，即被增加的是无。但是如果它被减少时其他事物并没有变小，它被增加时其他事物没有增加，那么显然被增加或减少的事物是无。但是如果它存在，每一个事物必须有一些体量和厚度，它的一部分必定与其他部分是不同的部分。同样的推理适用于在前面的部分。对于这部分，其自身有体量，所以其中也有在前的部分。现在基于同样的推理，不停重复。因为没有一个部分是最终的部分，也没有一个部分是与另一部分无关的。因此，如果有很多事物，他们必定是既小又大; 如此之小以至于没有体量，但是如此之大以至于是无限的。完全分割悖论:一旦一个事物被自然方法不停地分割，无论是用两分法或其他任何方法，如果这个事物确实被分了，那么最终什么都不可能留下虽然事实上可能没有一个物体能被这样分。 ( 2) 运动悖论。①二分法悖论: 你不能在有限的时间内越过无穷的点，当你穿过一定距离的全部之前，你必须穿过这个距离的一半，这样做下去就会陷入无止境。所以在任何一定的空间中都有无穷个点，你不能在有限的时间中一个一个接触无穷个点。②阿基里斯与龟悖论:阿基里斯永远追不上乌龟，他首先必须到达乌龟出发的地点，这时候乌龟会向前走了一段路，于是阿基里斯又必须赶上这段路，而乌龟又向前走了一段路。他总是愈追愈近，但是始终追不上它。③飞矢不动悖论: 飞着的箭是静止的，因为如果每一件东西在占据一个与它自身相等的空间时是静止的，而飞着的东西在任何一定的霎间总是占据一个与它自身相等的空间，那么它就不能动了。④运动场悖论: 运动场上有两排物体，每排由大小相等、数目相同的物体组成，各以相同速度按相反方向通过跑道，其中一排从终点开始排到中间，另一排从中间排到起点。他 [芝诺] 认为，这里包含了一个结论，一半时间等于一倍时间。 ( 3) 其他悖论。①空间悖论: 如果每一个存在的事物都占有一个空间，位置自身也占有一个空间，依此类推至无穷。②谷粒悖论:芝诺论证说米粒的任何一个部分都能发出声响，因为没有什么妨碍米粒的一个部分在不论什么时间中不能像一个整体的麦蒂蒙洛 (古希腊亚
芝诺悖论之飞箭不动
芝诺悖论之“飞箭不动” 摘要：自从芝诺提出他的悖论以来, 对哲学、逻辑学、数学和物理学等学科的发展, 产生了深远的影响, 以至今日它仍然是学界讨论的热门话题之一。在历史上, 亚里士多德、黑格尔和罗素等人对芝诺悖论都有极高的评价。但每一代人都需要以彻底改造的方式进行某种重建，这是因为论据、困惑、悖论必须在当代的语境之中被重复发现和重新建构。当然，时间哲学自芝诺时代以来一直在发展着，但这并不是说芝诺之“箭”不能以当代问题的方式提出。自从芝诺提出他的悖论以来, 对哲学、逻辑学、数学和物理学等学科的发展, 产生了深远的影响, 以至今日它仍然是学界讨论的热门话题之一。在历史上, 亚里士多德、黑格尔和罗素等人对芝诺悖论都有极高的评价。但每一代人都需要以彻底改造的方式进行某种重建，这是因为论据、困惑、悖论必须在当代的语境之中被重复发现和重新建构。当然，时间哲学自芝诺时代以来一直在发展着，但这并不是说芝诺之“箭”不能以当代问题的方式提出。 关键词：飞箭不动；历史评价；重建 一、飞箭不动悖论 芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。芝诺以一种看来是严格的逻辑论证的方法，提出了一与多、动与静、连续与间断等存在的悖论，其目的是要否定现象的多、动和可分的间断性，以归谬法来反证“一”即不动、连续的存在才是世界全体的合理本性。 芝诺从形式上看使用的都是归谬法，而从内容上看则主要集中在两个方面：
一是论证存在单一反对存在众多，二是论证存在不动反对存在运动。他提出了关于“运动”的四个悖论，本文主要就“飞箭不动”的悖论提出一些看法。 所谓的“飞箭不动”悖论是指，如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同的空间里时（没有越出它），它是静止的。如果位移的事物总是在“现在”里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的。 简单来说，即，一支箭从A点飞到B点，要经过A点与B点之间的所在点。在每一瞬间，它都处在某一点上，在这一瞬间它在这个点上是不动的（否则我们就不能说它在这一点上）。从A到B的距离是由其间的每一点集合而成，飞箭在每一瞬间在每一点上都是不动的，不动加不动仍然等于不动，所以飞箭不动。 飞箭既然在每一点上都是静止的，那么所有静止的点集合起来仍然是静止，故曰飞箭不动。“飞箭”实际上是“不动”的；如果说它在动，那就等于说它同时在这一点上又不在这一点上，但这是矛盾的。 亚里士多德批评道：“这个说法是错的，因为时间不是由不可分割的‘瞬间’组成的，正如别的量度也都不是由不可分割的部分组成一样。”这个悖论的实质是将运动经历的时间无限微分为不连续、不可超越的静态‘瞬间’，以此论证，就世界本性的存在而言，运动是表面的假象，运动不过是由无数静止的画面拼接而成的，就像如今动态的电影放映时连接的是静态胶片一样。 二、对飞箭不动悖论的历史评价 19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺．他们推测芝诺的理论在古代就没有得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用作倡导怀疑主义和否定知识的工具，从而背离了芝诺的真正宗旨。而亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。然而，迄今为止，学者们还找不出可靠的证
科学技术哲学论文全解
从数学史浅谈科学技术理念问题
摘要：本文从哲学、科学、数学之间的关系角度出发，结合自身研究与实践以及几位伟大数学家的范例，阐述和分析了科学技术中数学环节的重 要性和必要性，举例说明了科学数学与自然哲学之间的关系，同时讨 论了工程技术人材应该的树立正确的科学理念。接着讨论了工程技术 人员应该秉持的科学哲学理念。最后讨论了高科技技术人员的道德伦 理问题。 关键字：哲学、科学、科学理念、道德伦理 18世纪，康德提出：科学是一种知识系统的见解：“每一种学问，只要其任务是按照特定原则建立一个完整的知识系统的话，皆可被称为科学。” ——《自然科学的形而上学起源》科学和哲学是人类理论思维的两种基本方式。科学用于构筑关于世界的模型；而科学哲学建构关于科学的模型。科学一词拉丁文Scientia表示知识或学问。科学是以世界的各种不同的领域、不同的方面、不同的层次或不同的问题为对象，哲学则以“整个世界”为对象；科学提供关于世界的不同领域或不同方面的“特殊规律”，哲学则提供关于整个世界的“普遍规律”。因此，哲学理论思维较之科学理论思维来说在对世界的把握上就具有最高的概括性和最高的解释性。在此意义上，哲学是科学之帅。由于人类理论思维形成的过程首先是逻辑思维的形成过程，而古希腊时代的三位伟大哲人——苏格拉底、柏拉图和亚里士多德——都曾殚精竭虑地思考和追究过思维的逻辑问题，他们对概念和思维规则的探索和认识，使人类理论思维的能力逐步走向成熟。在此意义上来说，哲学是科学之母。因此，科技工作者从事科学研究，都必然会受到一定的哲学世界观的指导和哲学思维特性的影响。当然，科技工作者并非学了哲学才会思维，但学好了哲学，通晓思维的形式和规律之后，有助于他更正确地思考、提高自己的思维能力。下面我们将首先从数学史上的伟人着手，分析科学哲学的基本理念。 一、科学探索需要灵感，灵感来源于长期的思维碰撞摩擦 “假如别人和我一样深刻和持续地思考真理,他们会作出同样的发现。” ——高斯高斯是一对贫穷夫妇的唯一的儿子。母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育。他的父亲曾做过园丁，商人和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。 14岁时，布伦兹维克公爵卡尔·威廉·斐迪南召见了高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习。
透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分
透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分 作者：华中师范大学计算机科学系2010级郑舒月学号77 内容摘要：基于大家在学习微积分的过程中的困惑，本文试图透过第二次数学危机谈一 谈这位既神秘又可恨可怜的“消失了的量的鬼魂”，以“贝克莱悖论（Berkeley paradox）”、 “芝诺悖论（Zeno paradox）”等悖论了解牛顿和莱布尼兹关于微积分的理论及公式。由于 18世纪的微积分的理论并不严谨，这就有悖于数学这一学科的首要特点。关于“无穷小量究 竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式 逻辑而言，这无疑是一个矛盾。从而掀起了第二次数学危机。 关键词：第二次数学危机微积分 Abstract：Based on most of students have the confusion in the process of studying calculus, from the second mathematical crisis,this paper tries to talk about this mysterious,hateful and poor "disappeared quantity of ghosts", with "Berkeley paradox ", "Zeno paradox" and so on, to know about the theories and formulas of Newton and . Because of calculus theori es were not rigorous in the 18th century, this is contrary to the primary feature of the question-- " whether infinitely small quantity is zero" :as infinitely small quantity is concerned in practical application at that time, it must be zero, and is not zero at the same time. But from the view of the form logic , there is no doubt that this is a contradiction. Thus the second mathematical crisis broke out. Key words：The second mathematical crisis calculus 前言 大家知道，在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机，这就是无理数的诞 生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。初次接触微积分时，大家都被弄迷糊 了，基本学完教材微积分的知识，仍是无数个疑问让大家百思不得其解，比如：无穷小量似
对悖论的理解
对悖论的理解 一、什么是悖论 悖论，在物理学中也常称为佯谬。在英语中它们是同一个词paradox，指那些与常识相抵触、自相矛盾的反论，有的“似非而是”，又有的“似是而非”。严格说起来，佯谬只是悖论的一种，而且是其中最主要的一种，现在在自然科学工作者中几乎成了悖论的同义语。所谓佯谬，字面上的意思就是“假的谬误”，这是一些看起来是错的，实际上却是对的，即“似非而是”的那样一些论断。另外还有两种形式的悖论，我们把它总归为第二类。其一是在本来意义上的自相矛盾的反论。悖者，违背，违反之意也。如果对所考虑的某件事情，这样分析会得出一种结论，那样分析又会得出另一种结论，陷入左右为难，自相矛盾的境地，这就构成了悖论。其二则是那些真正错误的论断，可看起来似乎是对的，即“似是而非”，就是我们通常所说的诡辩。这与香港的黄展骥先生在“构成‘说谎者’悖论的两个矛盾———逻辑自身消解不了逻辑矛盾!”一文中把悖论定义为挑战常识的“大是若非”的卓论和“大非若是”的谬论的观点是一致的。 第一类，大是若非者，落实在“是”上，似非而是。数学史上导致三次里程碑式发现的悖论———希帕索斯(或毕达哥拉斯)无理数悖论(有些数不能表示成整数之比)、贝克莱无穷小悖论(无穷小量既等于零又不等于零)、罗素集合论悖论(可构造一个集合Ａ，Ａ∈Ａ当且仅当Ａ∈Ａ)。前两次悖论的消解分别扩展了数的系统并引发了欧几里德几何公理系统和亚里斯多德逻辑体系的建立；将微积分建立在严格的极限理论基础上，发展了严密的数学分析学科；第三次悖论的余波至今未平，它推动了数理逻辑的发展，导致了哥德尔不完全性定理(在包含初等数论的形式公理系统中，至少存在着一个不可判定命题，该命题本身和它的否定命题在这个系统中都是无法证明的)。还有量子力学中的三大佯谬———ＥＰＲ佯谬、薛定谔的猫、维格纳的朋友，以及导致狭义相对论发轫的光速佯谬(相向传播的两束光，它们的相对速度仍然是光速———或者与其等价的追光佯谬)，导致广义相对论诞生的双生子佯谬，导致现代宇宙学诞生的奥尔伯斯夜黑佯谬等。当然，随着理论的发展，它们也都将不再成为悖论了。 第二类大非若是者，落实在“非”上，似是而实非。伊壁尼门德的说谎者悖论(“我说的这句话是谎话”)、罗素的理发师悖论(塞维利亚的男人可分两类，第一类是自己给自己刮脸的，第二类是自己不给自己刮脸的，凡自我刮脸的理发师就不给他刮脸，而不自己给自己刮脸的则理发师给他刮脸。那么理发师是否自己给自己刮脸呢?)，芝诺悖论(善跑者追不上乌龟)，公孙龙悖论(白马非马，因为马是形体的名称，而白是颜色的名称，形体不是颜色，所以白马不是马)，芝诺的飞矢不动悖论等都可归入这类。说谎者悖论和理发师悖论在塔尔斯基指出应区分对象语言(“被谈论”的语言)和元语言(用来“谈论”对象的语言)后，从语义学上得到了澄清。实际上，“我这句话是假的”，这个语句是一个带有自我指涉的复合语
哲学家芝诺悖论是什么
哲学家芝诺悖论是什么 古希腊哲学家芝的诺悖论在数学和哲学这两个方面都享有非常高的荣誉，英国伟人罗素认为芝诺发明的四个悖论既微妙又深邃。下面是为你搜集芝诺悖论是什么的相关内容，希望对你有帮助! 芝诺悖论芝诺悖论一：二分说。芝诺认为运动是不存在的，他的意思是说，一个人如果要过一段路，那么在走完这段路之前是肯定会走过你要走的这一段路的一半的位置，过了这个位置之后，你又想走完剩下来的这一半，那么就又要走剩下来的这一半路的一半的位置，这样一直下去。 芝诺悖论二：追龟说。这个悖论与上一个悖论二分说相似，意思是说，一个人到达乌龟的出发点时，乌龟就已经在前面走了一小段路了，于是就必须走过这一小段路程，可是乌龟在你走的时候也在向前走，于是就是这样，你无限接近它，但不能追到它。 芝诺悖论三：飞箭静止说。这个悖论的意思是，如果你和一个东西在同一个空间但是没有超过它，这个东西是静止的。那么如果要移动的事物在这个空间里面占有一个小的空间，那么飞在空中的箭是静止不动的。 芝诺悖论四：运动场悖论。运动场悖论是运动物体的论点，在跑道上有前后两排大小和数目都相同的事物，其中一排是前半段的，另一排后半段的，他们以相同的速度却向着反方向作运动。
芝诺的历史评价虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止。不论怎样，人们无须担心芝诺的名字会从数学史上一笔勾销.正如美国数学史家E.T.贝尔(Bell)所说，芝诺毕竟曾"以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。 "芝诺的功绩在于把动和静、无限和有限、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察.虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但是有一点决不是偶然的巧合:柏拉图写作对话《巴门尼德》篇的时候，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来。当时欧多克索斯(Eudoxus)正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学。欧多克索斯在稍后的时间里创立了新的比例论(《几何原本》第五卷中的主要内容)，从而克服了因发现不可公度量而出现的数学危机;并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题。因此，在希腊数学发展的这个关键时刻，很难说芝诺没有对它的发展作出过有意义的贡献。 芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的发明人。黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指出:"芝诺主要是客观地辩证地考察了运动"，并称芝诺是"辩证法的创始人"。
芝诺的乌龟
数学论文——芝诺的乌龟 摘要：“芝诺的乌龟”是古希腊数学家、哲学家芝诺（Zeno of Elea）提出的关于运动不可分的哲学悖论，同时也是 科学史上广为人知的动物形象。而这一悖论与“飞矢不 动”以及“游行队伍”都作为了芝诺提出的伟大的“二 分法”的事例。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴 门尼德关于”存在”不动、是一的学说。虽然“芝诺的 乌龟”现在已得到了完善的解决，但这并不说明“芝诺 的乌龟”如今已没有了实际意义。那么，“芝诺的乌龟” 中解决问题契机是什么其中深层的含义又是什么 芝诺是古希腊时期爱利亚学派的主要成员，这个学派的基本思想是否认现实世界中的任何运动变化，认为它们只是真实存在的表面现象。而芝诺为了证明他们的观点，第一个设想和论证了物体运动中存在的令人不安的困难。芝诺的伟大便在于此。但在知识的越来越深入的探究，许多人们开始对“芝诺的乌龟”产生质疑——芝诺的悖论意义何在这是一个真正的悖论吗 让我们仔细地了解一下“芝诺的乌龟”。在“芝诺的乌龟”中，芝诺的论证是这样的：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！（如图一） 这段论证似是非常有道理，但如果撇去那些杂乱的语言，这实际上就是一个追及问题了。有快者和慢者，且为同一方向，也有速度差。实际上就是“小明去学校，老爸给他送忘带的书”之类的问题。典型的“追及问题”怎么会追不上呢
芝诺悖论危机
芝诺悖论隐藏的数学危机 传说芝诺在五岁的时候，他父亲曾经考他，从他们家到外婆家有五公里路，他以每小时五公里的速度走，需要走多少时间。芝诺答是一个小时，父亲给他了一颗糖吃，因为他答对了。十年后，等他十五岁时，父亲又拿这个问题问他时，他知道这下如果再答是一个小时肯定要挨骂。因为，很显然这回父亲考的再不是他的算术能力。父亲是在考他的判断、分析、思辩等多方面的能力，他需要找出另外一种答案来博得父亲的嘉许。最后，他告诉父亲：他永远也走不到外婆家。父亲想当然地替他回答了原因：因为外婆已经去世，外婆家已经不存在。这事实上也是父亲要的答案。父亲问这个问题的目的就是要儿子打开思路。但年少的芝诺说：不，父亲，你这是偷换概念，不是在用数学说明问题。父亲哈哈大笑说：那你用数学来说明一下。他根本不相信，这还能用数学来解释。芝诺说：我可以把五公里一分为二，然后又把一分为二的五公里再一分为二，这样分下去、分下去，可以分出无穷个“一分为二”，永远也分不完。既然永远分不完，你也就永远走不到。芝诺正是这样创造了他流芳百世的悖论学。 由于量子的发现，这些悖论已经得到完善的解决。也就是无限细分在量子尺度就无法再细分了。 但这个只是解决了物理学上的芝诺悖论，而数学上的芝诺悖论却从来就没解决过，相反，它却更加深刻地反映出数学上的危机。 两分法/芝诺悖论：“一个人从A点走到B点，要先走完路程的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的1/2……”如此循环下
去，永远不能到终点。 从悖论的数学描述中，我们不难看出人抽象成一个点，路程抽象成一条直线。 先让我们想象一种情形，假如芝诺是一个二维人，也就是生活在在相片中的人，我们拿着芝诺的相片，让他跳高，跳到5公分就算成功。芝诺只能遗憾的告诉你，他生活在二维世界，没有高度的维度，无法跳出相片，如果能跳出相片，他就变成一个三维人了。 再让我们想象第二种情形，假如芝诺是一个一维人，也就是生活在直线中的人，我们拿着芝诺的直线，让他横向移动，横行5公分就算成功。芝诺只能遗憾的告诉你，他生活在一维世界，没有宽度的维度，无法跨出直线，如果能跨出直线，他就变成一个二维人了。 最后我们想象第三种情形，假如芝诺是一个零维人，也就是一个点，我们拿着芝诺的点，让他向前走，走5公分就算成功。芝诺只能遗憾的告诉你，他生活在零维世界，没有长度的维度，无法走出点，如果能走出点，他就变成一个一维人了。 看到这里，你该明白芝诺悖论的根本问题出在哪里了吧？我们把人抽象成一个零维点，却要让一个零维点从A移动到B点产生位移，而位移是一个一维量。在这个数学模型中，零维的人和一维的位移混杂在一起，结果就象是让相片中的人跳出相片一样荒谬。 一种正确的解法是把人抽象成一个一维的微小线段，线段的长度就是直线最小像素的长度，这样，无限可分的悖论就迎刃而解。无限的原因，其实来自一维和零维之间的维度差就是无穷大。
芝诺悖论与微积分的关系
芝诺悖论与微积分的关系 芝诺悖论是古希腊数学家芝诺（约在公元前464-前461）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证。其中最著名的两个是：“阿基里追不上乌龟”和“飞矢不动”。 “阿基里斯”悖论：“快跑者追不上慢跑者”。因为追赶者必须先到慢跑者的起点，而在此同时，慢跑者又到达了前面的一点，就这样有无穷的起点在等着他。 那么，阿基里斯真的追不上乌龟了吗? 当然不是。对于“阿基利斯追不上乌龟”这个悖论，从理论上说，芝诺只做了“微分”，而没有做“积分”，也就是说，他的工作只做了一半。而且，他还偷换了概念。无穷小的概念是：趋近于零，但不等于零。在无穷小“dx”里，芝诺在乌龟那里只部分强调了“不等于零”的概念，而在阿基里斯那里只部分强调了“趋近于零”的概念。换句话说，芝诺在同一个问题中，采取了两个不同的标准，得出悖论就很正常的。而这种不同的标准，其实是一个概念的两个方面。 “飞矢不动”悖论：“飞着的箭是静止的”。飞箭在任一瞬间必静止在一确定的位置上。所以运动就是由许多的静止组成。 “飞矢不动”这个悖论最关键的地方，是所谓“瞬间”。理论上的物理学“瞬间”意思是时间长短为零。而在实际中，时间长短永远不可能为零。简单来说，“芝诺悖论”的错误就在于，他将无穷小彻底等同于零。无穷小等于零之后，再怎么相加、累积，最终的结果当然都是零，所以得出推论“飞矢”是“不动”的。但是，真正的概念是无穷小只是趋近于零，无穷个“趋近于零”的无穷小相加、累积之后，就会有一个确切的值。 其实，“芝诺悖论”的这个隐蔽手段也经常出现在现实之中，比方说“自由”。从一个侧面说，人的自由似乎是绝对的，是所谓“天赋人权”，但是在另一个方面，任何自由都必然要受到限制的。我们在讨论问题的时候，如果仅仅只是强调“自由”的一个侧面，就会得出不同的结果。如果在同一个问题上转换“自由”概念的不同侧面，就会造成自相矛盾。 芝诺揭示的矛盾是深刻而复杂的。前两个悖论诘难了关于时间和空间无限可
芝诺悖论无穷级数解释
芝诺悖论无穷级数解释 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
芝诺（Zeno of Elea ）辩论（Argument ） ——从量子的角度能得到完善的解决。这里用无穷级数做些解释。 阿基里斯与乌龟赛跑问题：古希腊神话中善跑的英雄阿基里斯和乌龟的赛 跑，如果先让乌龟爬行1000米后，再让阿基里斯去追乌龟，那么阿基里斯不可能追上乌龟。 芝诺辩论：因为在赛跑中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯 追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！ 从逻辑上讲上述辩论没有任何问题，但显然不符合现实！ 无穷级数分析： 设乌龟的出发点为1A , 阿基里斯的起跑点为0A ，两者的间距为1s ，乌龟的速度为v ，阿基里斯的速度是乌龟的100倍，即为100v . 因为乌龟爬行到2A 的时间与阿基里斯到达1A 的时间相等，所以 21100s s v v =，即12100 s s =. 以此类推，21100n n s s --=,1100 n n s s -=，所以 1 11100n n s s -?? = ? ?? 阿基里斯在追赶乌龟时所跑的路程为：
123n s s s s s =+++++ 2 3 1 111111111100100100100n s s s s s -???? ?? =++++ ++ ? ? ????? ?? 231 111111100100100100n s -????????=++++ ++ ?? ? ? ??????? ??? ? 11 111100100lim .1991100 n n s s →∞?? ???-?? ???????==- 因此，从表面上看，阿基里斯在追赶乌龟的过程中总跑不完，但模型分析计算可知当阿基里斯追到离起点 1100 99 s 处时，已经追赶上了乌龟。
芝诺悖论之飞矢不动
芝诺问他的学生：“一支射出的箭是动的还是不动的？” “那还用说，当然是动的。” “确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？” “有的，老师。” “在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？” “有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。” “那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？” “不动的，老师” “这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？” “也是不动的，老师” “所以，射出去的箭是不动的？” 解析：飞矢在每一瞬间所占据的时间是零，飞矢飞行全程所有瞬间所占据的时间还是零。 之诺承认飞矢飞行在流动的时间中，但之诺指认的飞矢飞行中的任何瞬间都不组成飞行时间，组成飞行时间的是飞行全程中任意两个瞬间之间的时间段。飞矢飞行的全程时间由飞行中所有相邻瞬间之间的时间段之和组成。之诺分析的不是飞矢在飞行时间中表现出的现象。 任何物体都存在于时间和空间之中。物体不动有两个含意，一个是在时间流动状态下物体位置相对静止不动，另一个是时间不动，在时间静止状态下任何物体都是静止的、不动的。
瞬间是时间静止。之诺描述的是时间静止状态下的矢、不是时间流动状态下的飞矢。飞矢不动的理论逻辑错误是，把时间静止状态下的静止不动换成了时间流动状态下的位置静止不动。 解析二1.首先，你的逻辑很流氓，也很没道理。 “因为我做出来的证明结论是：物体在运动的过程中不存在静止的状态，你既然说我做错了，那么就请你证明：物体在运动的过程中存在静止的状态。” ——民科同志，如果一个定理是对的，你用错误的方法证明了，我们只需要找出你证明里的错误就行，而不用证明这整个定理是错的。 就像做一道题，你用错误的方法撞出了正确答案，我批你错，不用否定这个答案本身，懂么。 2.现在，我先把你整个证明之前的假设推翻。 你的假设是，“设一线段AB和一动点H，动点H无大小，长度为0。”(这个假设源于你的认知里没有“微分”概念——当然，说好了不讲微积分，那咱就不讲那么专业) 小学学线段的时候，老师说“线段由点组成，而点是没有体积、没有长度的”，他为什么不说“点是体积为0、长度为0的”？ 这个问题主贴有人问了，但是你不敢面对，因为这是你数学概念混淆的第一步。为什么“点”没有“长度”？ ——因为点属于0维空间，“长度”是1维空间才出现的，是“线”的度量。 为什么“线”没有“宽度”？ ——因为线属于1维空间，“宽度”是2维空间“面”的度量。 为什么“面”没有“高度”？ ——因为面属于2维空间，“高度”是3维空间“体”的度量。
芝诺悖论的意义
芝诺悖论的意义 芝诺悖论的意义 芝诺(Zeno of Elea)（大约公元前490年——公元前425年)主要研究数学与哲学。 芝诺生活在古代希腊的埃利亚城邦。他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德的学生和朋友。芝诺因其悖论而著名，并因此在数学和哲学两方面享有不朽的声誉。 数学史家F·卡约里（Cajori）说，“芝诺悖论的历史，大体上也就是连续性、无限大和无限小这些概念的历史。”但遗憾的是，芝诺的著作没有能流传下来，我们是通过批评他的亚里士多德及其注释者辛普里西奥斯才得以了解芝诺悖论的要旨的。 直到19世纪中叶，人们对于亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是深信不疑的，普遍认为芝诺悖论只不过是一些有趣的谬见。英国数学家B·罗素（Russell）感慨地说道：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的最显眼的牺牲品莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了4个无限微妙、无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是一个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。 柏拉图在他的《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德在公元前5世纪的中期去雅典的一次访问。其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁，满头白发，但仪表堂堂。那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观。”并在书中记述了芝诺的观点。据说芝诺在为巴门尼德的“存在论”辩护。但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。芝诺有一本著作《论自然》。在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。” 公元5世纪的评论家普罗克洛斯(Proclus)在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出了四十个各不相同的悖论。芝诺的著作久已失传，亚里士多德的《物理学》和辛普里西奥斯为《物理学》作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外还有少量零星残篇可提供佐证。现存的芝诺悖论至少有八个，其中最著名的是关于运动的四个悖论。 下面就是这四个悖论。引号内的是亚里士多德的《物理学》中的原话。 ◆二分说。“运动不存在”。理由是：位移事物在达到目的地之前必须先抵达一半处。“J·伯内特（Burnet）解释说：即不可