解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞

?自然哲学?

文章编号:1000-8934(2005)11-0001-04解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞

刘　二　中

(中国科学院研究生院　人文学院,北京　100049)

摘要:本文回顾了亚里士多德等人对芝诺悖论的一些看法,指出寻找该悖论推理过程逻辑漏洞的必要性,并试图给出对追龟辩和飞矢辩不同于亚里士多德、罗素等人的分析。

关键词:芝诺悖论;诡辩;逻辑学;亚里士多德;罗素中图分类号:N031 文献标识码:A

收稿日期:2005-08-03

作者简介:刘二中(1949-),河北顺平人,数理硕士,中国科学院研究生院人文学院教授,主要研究方向:科技史、科学方法论。

芝诺(Zeno ,约公元前495-425年)提出的关于运动的四个著名悖论,在哲学史、数学史和逻辑学方面都具有重大影响。其结论荒谬,推理又似乎合理,引起不少学者的关注。而芝诺悖论是否能被破解,

似乎仍有疑义〔1〕

。甚至有学者断言,芝诺悖论在逻辑上是正确的,尽管与事实不符。

另一方面,人们曾经试图从哲学的角度或是逻辑的角度对该悖论进行反驳或破解。这种反驳或破解是否令人满意甚至是否可能,仍有争论。下面本文将就此展开讨论。

1　芝诺的诡辩与亚里士多德的逻辑

芝诺的悖论包括“二分辩”、“追龟辩”、“飞矢辩”、“运动场辩”。

需要指出的是,这些悖论实际上是一个否认运动的总的悖论的组成部分。芝诺为了维护他的老师巴门尼德关于运动是不可能的论点,证明如果承认

运动就会导致这四个悖论〔2〕〔3〕

。据希腊史学家普罗克修斯说,实际上芝诺从“多”和“运动”出发,曾一共导出过四十个悖论,留存下来的有八个,其中四个与运动有关。

按照克莱因(K line ,Morris )的看法,当时人们对于空间、时间和运动有两种对立的看法:一种认为空间和时间无限可分,这样的话运动将是连续而又平顺的;另一种认为空间和时间是由不可分的小段组成的,那样的话运动将是一连串的小跳动。芝诺的二分辩和追龟辩针对的是前者,飞矢辩和运动

场辩针对的是后者〔2〕〔3〕

。也就是说,他对两种运动学说连同运动本身都加以反对。

实际上,希腊数学家在发展数学的过程中已经形成了逻辑的基础。在巴门尼德和芝诺活跃的年代,雄辩与推理风行一时。然而,严密的逻辑学尚未形成,雄辩常常变成诡辩。例如,如果你同意“你身上不可能有位于远处的东西”这一判断,就只能得出“你身上没有头”的结论。因为“远处有只狗,狗有头,头在远处,而你已经承认身上不可能有位于远处的东西,所以你身上没有头。”

由于人们往往不能指出这些“雄辩”的毛病,所以诡辩成为包括芝诺在内许多学者所向披靡令人无可奈何的“法宝”。这种情形直到亚里士多德的时代才得到改变。

正是亚里士多德(Aristotle ,公元前384-322年)创立了严密的逻辑学,使之成为科学。他提出了逻辑学的三大基本规律:同一律、矛盾律、排中律。同一律是指“推理或思想的内容必须是确定的”。甲就是甲,甲代表的内容不能在推理过程中改变,否则就是“偷换概念”。矛盾律是指“一个命题不能既是真的又是假的”。排中律是指“一个命题必然是真的或者是假的”。亚里士多德的逻辑学为科学研究提供了最根本的分析工具,也是戳穿诡辩的利器。

本人以为,尽管包括黑格尔、罗素在内的众多学者对芝诺的悖论作了多种哲学解释,但是芝诺诡辩毕竟是靠逻辑导出的,对其彻底破解必须找出它推理过程中的逻辑漏洞。如果作不到,那不应该是逻辑学的悲哀,而是人们在运用逻辑时把握不当。

1

第21卷　第11期2005年　11月

自然辩证法研究Studies in Dialectics of Nature Vol.21,No.11

Nov.,2005

2　亚里士多德对二分辩和

运动场辩的分析

芝诺悖论是亚里士多德在他的《物理》中陈述的〔2〕〔3〕。

他说:“第一个悖论(以下称为二分辩)说运动不存在,理由是运动中的物体在到达目的地前必须到达半路上的点。”其意思是,一个物体要通过A点到B点之间的距离,首先要通过A B之间的C点;然而,要通过A点到C点之间的距离,首先要通过A C 之间的D点,依此类推。换言之,如果空间无限可分,有限长度含有无限多的点,就不可能在有限时间内通过有限长度。

对此,亚里士多德已经作了自己的破解。他说:关于一个事物的无限性有两种意义:无限可分或无限宽广。在有限的时间内可以接触从可分的意义上是无限的东西,因为从这个意义上讲时间也是无限的,所以在有限时间内可以通过有限的长度。

换言之,亚里士多德的意思是,有限的距离和有限的时间都是无限可分的;有限距离和有限时间在无限分割时的总长仍是有限的;无限可分或无限分割的有限距离和有限时间并不意味着它们变成无限宽广,所以在有限时间内可以通过有限的长度。在这里,实际上必须强调的是二分辩违反了同一律:芝诺用“无限可分”偷换了“无限宽广”的概念。

有人认为:在距离被不断二分的过程中,距离会被分成无穷多个小段,而运动物体经过每个小段的时间都不为零,因而总的时间为无穷大。实际上,距离会被分成无穷多个小段的时候,经过这段距离的时间也被分成无穷多个小段,每个时间小段与每个距离小段是一一对应的,因而,时间总和与距离总和的有限性和无限性也是对应的。

人们常常把二分辩的矛盾归结到“无穷小量是否为零”的两难问题〔1〕,我们会在后文讨论中证明该问题已经得到解决。

运动场辩是芝诺的第四个悖论。亚里士多德说,它“讲到两列物体,每列都由数目相等的一样大的物体组成,在一段跑道是以同样速度循相反方向前进,互相越过。其中的一列原来占据跑道终点与中点之间的空间,另一列原来占据跑道中点与起点之间的空间。他认为这就可以得出一半时间等于一倍时间的结论。”

“例如(他就是这样论证的),假设AAAA是同样大小的静止物体,BBBB是与AAAA数目相等大小相同的物体,原来占据跑道上从起点到A列中央

的那一半,CCCC是原来占据从终点到A列中央那一半的物体,与BBBB数目、大小、速度都相等。

于是导出三个结论:第一,B列和C列互相越过时,第一个B达到最后一个C的时刻,就是第一个C 达到最后一个B的时刻。第二,在这个时刻,第一个C越过了所有的B,而第一个B只越过了A列的一半,因此只占了第一个C所占时间的一半,因为这两个物体中的每一个越过每一个A或B时所占时间相等。第三,就在这个时刻,所有的B越过了所有的C,因为第一个C和第一个B将同时到达跑道的相反末端,这是由于(芝诺这样说)第一个C越过每一个B时所占时间等于它越过每一个A所占时间,因为第一个B和第一个C越过每一个A时所占时间是相等的。”〔4〕

对此,亚里士多德已经分析得很清楚,他说芝诺的“错误在于假定一个物体以相同的速度通过一个移动物体和一个同样大小的静止物体时,所需时间相等,而这个假定是错误的。”

与另外三个悖论相比,至少现有版本的运动场辩缺乏足够的说服力,也不被亚里士多德以后的哲人所重视。亚里士多德对它的破解已经可以令人满意,而一些学者对该悖论的过度猜测和演绎(甚至联系到量子理论),本人认为是不必要的。我们不必将现代人的智慧强加于古人,再因受惠于先贤而感激不尽。

3　追龟辩的逻辑漏洞

对于第二个悖论(追龟辩),亚里士多德提到:“它说动得最慢的不能被动得最快的东西赶上,因为追赶者首先必须到达被追者出发之点,因而行动较慢的被追者必定总是跑在前面。”

如果描述得更具体的话,就是追赶者到达被追者出发点时,被追者又有了新的出发点,追赶者到达被追者新的出发点时,被追者又离开了……因此,追赶者永远也追不上被追者。

亚里士多德分析说:“这个论点同二分法论证在原则上一样,所不同者是不必再把所需通过的距离一再平分。这个论证的结论是‘追不上最慢的’;但是论证的路线与那个二分法论证是一样的(因为在这两个论证中,都是从距离的某种分割中得出不能达到目的地的结论,虽然‘阿基里斯论证’走得更远,断定连传说中跑得最快的人也追不上跑得最慢的),因而解决的办法必定是一样的。论证的前提‘领先的永远不能被追上’是错的,在领先的时候没有被追上是对的,可是,如果让他跑过一段指定的有限距

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自然辩证法研究 第21卷　第11期

离,他就被追上了。”

亚里士多德的说法有些笼统。显然,他似乎认为:正像从他有关追龟辩论点所引出的“有限的距离和时间被分成越来越小无限多的小段后其总和仍是有限的”那样,按比例越来越缩小的一段一段距离之和与对应的时间之和也是有限的。然而,对于大多数人来说,追龟辩所述图景的追赶距离和所需时间的无限次的外延与二分辩的距离内分大不相同。因此,亚里士多德的说法似乎不能令人十分信服。因此,本文有必要另行分析。

确实,按照追龟辩的追赶方法,无数次地追过越来越小的距离也不可能追上被追者。然而,无数次就意味着“永远”吗

?

我们知道,在追赶过程中,一个又一个的出发点分割出一段段越来越短的距离,相邻段距离之比以及经由相应所需时间之比同为被追者与追赶者速度之比q ,其中,设最初两者距离为S ,追赶者跑过最初距离的时间为t 1;那么追赶者跑过n 段距离的总长S 所需时间为t n ;

t n =t 1(1+q 1+q 2+……+q n -1)

t n =t 1(1-q n )/(1-q )

由于1-q n <1,即使n 趋于无穷大

t n =t 1(1-q n

)/(1-q )

t n

显然,t 1/(1-q )为常量,因此,即使n 趋于无穷大,t n 仍然小于一个常量。可以看出,按照追龟辩规定的追赶方法,无数次的追赶所用的时间实际上是被限定在特定值以内的。时间短到一定限度,阿基里斯当然追不上乌龟。可是在追龟辩里,在“无数次”掩盖下的限定时间(t n )被偷换为“永远”,违反了亚里士多德逻辑学的同一律,因而其推理是错误的。由此我们可以清楚地看到,芝诺的第二悖论———追龟辩的逻辑漏洞确实已被锁定。应该提及,吴国盛在《芝诺悖论今昔谈》中谈到人们可以利用无穷数列的方法证明,追赶者“所走的空间距离并不是一个无限量”,但是“算出了距离是有限的并未解决问题”,因为“在这个方法中有一个前提,那就是阿喀琉斯最终追上了乌龟。这个假定说明,数学所告诉我们的不过是,如果能的话,需要多少时间,但数学不解决‘是否能’的问题。”〔5〕

经过比对可以看出,首先,与吴国盛所谈方法不同,本文直接证明的是“按照追龟辩规定的追赶方法,无数次的追赶所用的时间实际上是被限定在某个特定值以内的”,而不是“距离有限”;其次,本文证明“在追龟辩里,在‘无数次’掩盖下的限定时间被偷换为‘永远’,违反了亚里士多德逻辑学的同一律。话又说回来,这里证明的仅仅是芝诺追龟辩的“逻辑推理本身”是否包含逻辑错误,“能否成立”的问题,而不是去解决“能否追上”的全面论证问题。

4　飞矢辩的破解

对于“飞矢辩”,亚里士多德说:他(芝诺)讲的“是飞矢不动。他是在假定了时间由瞬间组成之后得出这个结论的。如果没有这个假定也就不会有这个结论。”亚里士多德又说:芝诺的意思是箭在运动的任一瞬间必定在一个确定位置因而是静止的,所以箭就不能处于运动状态。

亚里士多德指出,如果我们不承认时间具有不可分的单元,这种悖论就站不住脚了。

亚里士多德的看法显然是时间不具有不可分的单元,即时间是无限可分的。但是,我们并没有看到亚里士多德如何由此驳倒飞矢辩。

应该承认,飞矢辩的破解也许是四个悖论中最困难的,甚至连罗素也感到有些拿不准。

罗素为了解决自己称之为“四个无限微妙无限

深邃的悖论”之一的飞矢辩,甚至提出了三种办法〔6〕。

其一是:时空虽确由点和瞬间构成,但其数目在

任何有限的间隔中都是无限的。因为任何两个瞬间之间都有无穷多个瞬间,所以,任何一个瞬间的下一

个瞬间是找不出来的。其二是:可以根本否认时空由点和瞬间构成。其三是:可以根本否认时空的实在性。尽管第一条的某些内容可以让人接受,但要破解该悖论,这三种办法都不能令人信服。实际上,飞矢辩的根本问题在于混淆了“瞬间”这一概念的两种含义。第一种含义是代表“时刻”(t ),表示时间流程的一个数学意义的点,类似

于运动中的“位置”;第二种含义是代表很小的“时间段”,表示两个比较接近的“时刻”之差(Δt ,或t +Δt -t ,或时间的无穷小量d t ),类似于运动中的“位置差”或小段距离。“时刻”是没有长度的,而“时间段”是有长度的,即使有时其长度为无穷小。其实,一个物体在一个特定“时刻”

(第一种含义的瞬间)具有一个特定的位置,是十分自然的,既

不能表示它一定是静止的,也不能表示它一定是运动的。在这一点上,吴国盛有过相近的说法:“如果说一点物体在每一瞬间都处在一个位置,那么在这一瞬间,我们的确无法知道它是否是运动的,特别是

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解析芝诺悖论内含的逻辑漏洞

当时间和空间不连续时”。但是,他尚未意识到“瞬间”一词可能具有两种不同的含义。

没有时间段或时刻差,就谈不上速度的大小,或动或静,只有当物体在一个“时间段”(第二种含义的瞬间)内保持同一位置(例如Δx/Δt或d x/d t= 0),才表示它在这段时间或瞬间是静止的。

芝诺悖论之所以长期给人们带来很大困扰,还在于他看似简单的推理中包含着多重内涵。他所说的“箭在运动的任一瞬间必定在一个确定位置因而是静止的,所以箭就不能处于运动状态”这段话,实际上包含着几层意思:

A1箭在运动的任一瞬间必定在一个确定位置。(此处“瞬间”只能代表“时刻”,假如代表的是小“时间段”[t,位于t与t+Δt之间],箭将具有一段微小移动的非确定“位置”[x与x+Δx之间]。)

B1箭在运动的任一瞬间都在一个确定位置,因而在任一瞬间都是静止的。(此处“瞬间”又转而代表小“时间段”[Δt]。在任一个小“时间段”只有一个确定的位置,当然是静止的了。如果此处“瞬间”仍代表“时刻”,则无法推出箭是静止的。)

C1箭在运动的每一瞬间都是静止的,而时间是由瞬间组成的,所以整个时间内箭就不能处于运动状态。(此处“瞬间”只能代表小“时间段”[Δt];因为时间由小“时间段”组成,在每个时间段箭都静止,整个时间内箭就不能处于运动状态。)

这里,我们终于可以看清楚芝诺如何在其悖论中深藏不露地偷换“瞬间”概念的内涵了(在A里代表的是时刻,在B和C里代表的是时间段)。找到违反同一律的逻辑破绽,飞矢辩亦被破解。

可能有人认为,如果视“瞬间”为无穷小量,而无穷小量可以是零,那么两种含义的“瞬间”就可以成为单一的“时刻”意义了。然而,这是不可能的。

实际上,关于无穷小量问题在19世纪已由柯西等数学家解决。答案是:无穷小量自身不为零,但其极限为零。无穷小量同其极限是没有交集的两个不同概念。此后,在严肃的数学分析的演算中,无穷小量不再被等同于零〔8〕。

在文献〔1〕中,曾举出一个例子(该例的d s、d t的写法不够准确,似应写作Δs、Δt):

d s=x2-x1=gt d t+1

2g

d t2

v=d s/d t=gt+1

2g

d t

令d t=0,得　v=gt

这种推导是牛顿时代不严谨的作法,尽管结果是准确的。实际上,按照柯西的理论v≠Δs/Δt　gt +

1

2g

Δt≠gt

但Δs/Δt=gt+1

2g

Δt

由于Δs/Δt的极限为v,gt+1

2g

Δt的极限为gt

所以　v=gt(相等的函数其极限也相等,极限存在的准则I的推广,文献〔9〕第228页)

这里,并不需要令Δt或d t=0,实际上Δt或d t 也不等于零,尽管它无限接近于零。

柯西的理论确实使用了无穷小量的概念,但它从来不需要也不允许无穷小量等于零,也就不受错误的所谓无穷小量悖论的影响〔8〕〔9〕。

因此,无论“时间段”意义的“瞬间”是否为无穷小量,它都不会等同于“时刻”。

需要指出的是,为了走出飞矢辩的窘境,有的学者走得太远了。他们认为:芝诺悖论的“全部要害在于用运动轨迹代替自身”,或是“用数学化的运动轨迹代替物理的运动轨迹”。吴国盛也认为“时空的分立点结构所导致的问题也许是更为深刻的”。

事实上,本文的论证过程表明,对飞矢辩的破解既不依赖数学化的运动轨迹,也不牵涉物理的运动轨迹,也未求助于时空的分立点结构。对亚里士多德逻辑学的准确把握和严密运用或许更为重要。

芝诺悖论的逻辑破解,或许会压缩某些“哲学戏说”的空间,但对芝诺概念的借用、转化和升华不会终止。思辨更多转向更尖锐的前沿领域,也许是哲学发展新的契机。

参考文献

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(下转第42页)

坚持与主流科学相一致的客观性准则和方法的合理性,使她们得以运用被广泛尊重的语言和概念框架而获得政治上、智力上的强有力的社会支持。因此,这种被女性主义激进派所攻击的保守性反而使她们的研究结果得以进入主流知识体系而遭到更少的拒绝,对于主流科学界以及传统科学的支持者具有更强的说服力,从而有利于女性主义运动的发展和女性研究的延续。而当代妇女运动被视为一场使我们更接近于近代科学的创始者们的理想目标的社会革命,这对于女性主义科学批判面临主流话语的敌意和不信任态度时是个有益的辩护策略。从这个意义上说,女性主义经验论可以有一个激进的未来。〔24〕

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The R evie w to Feminism Empirical Theory on Scientif ic Philosophy

HON G Xiao2nan1,GUO Li2li2

(1.Research Center of Philosophy of Science&Technology,Shanxi University,Taiyuan030006;School of Humanities and Social Sciences,

Dalian University of T echnology,Dalian116024,China;2.P olitical and Law Department,Liaoning University of T echnology,Fuxin123000,China)

Abstract:Feminism empirical theory is one of the form of feminism theory of recognition,which comes from feminism’s criticize to science1It inherit2 ed some views of traditional empirical theory,and reformed them at the same time1They took the aim of scientific criticize to“bad science”,and modi2 fied the main science1In the conception of knowledge,Feminism empirical theory stresses to realize the aim of“good science”by women’s movement1 K ey w ords:feminism empirical theory;scientific philosophy;bad science;good science

(本文责任编辑　费多益)

(上接第4页)

An Analysis of Logical Inconsistencies in the Z eno’s Paradoxes

L IU Er2zhong

(College of Social Sciences and Humanities,Graduate School of Chinese Academy of Sciences,Beijing100049,China)

Abstract:This paper has reviewed Aristotle and others’consideration of Zeno’s Paradoxes,and demonstrated that it is necessary to trace the false2 hoods during the process of reasoning of Zeno’s Paradoxes,and tried to give different analysis to Zeno’s Second Paradox(Achilles)and Third Paradox from Aristotle and H1N1Russell etc1

K ey w ords:Zeno’s paradoxes;logical falsehood;Aristotle;H1N1Russell

(本文责任编辑　王国政)

浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟

浅谈芝诺悖论——阿基里斯与乌龟 公元前5世纪，芝诺用他的无穷、连续以及部分和的知识，引发出以下著名的悖论：他提出让阿基里斯和乌龟之间举行一场赛跑，并让乌龟在阿基 里斯前头1000米开始．假定阿基里斯能够跑得比乌龟快10 倍．当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时乌龟仍 然前于他100米．当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟依 然前于他10米．芝诺辩解说，阿基里斯能够继续逼近乌龟， 但他决不可能追上它。 此问题可用数学知识表示为；如图设阿基里斯处在A 点，乌龟处在B 点，A ，B 点相距X ，阿基里斯以速度V 前进，则乌龟以速度1∕10V 前进，若阿基里斯前进了X ，则乌龟前进了1/10X ，若阿基里斯前进了1/10X ，则乌龟前进了1/10?2X ，就这样无限的进行下去， 乌龟前进的路程可表示为S=1/10X+1/10?2X+1/10?3X+1/10?4X+…1/10?nX ，而阿基里斯前进的路程为S ’=X+1/10X+1/10?2X+1/10?3X+1/10?4X+…1/10?(n-1)X, 所以二者之差S ’—S= X —1/10?nX ，乌龟与阿基里斯相距1/10?nX ，当n 为无穷大时，S ’—S ≈X ， 1/10?nX ≈0，但是1/10?nX 总是一个大于0的数，因此阿基里斯是追不上乌龟的. 然而如果我们深思这个问题我们会发现，当n 为无穷大时，1/10?nX 会越来越小，通过这段路程的时间会趋于0. 对于宏观上分析，显然我们可以得出当1/10?nX ≈0时，阿基里斯与乌龟所占的空间要比1/10?nX 大得多，我们说阿基里斯没有追上乌龟这是不科学的。对于微观上分析，我们将阿基里斯与乌龟分别看成两个质点，设为A ，B ，而质点是没有体积的，这样讨论就不会产生宏观上的不科学的观点。若A,B 是质点，我们显然可以得到A 是永远追不上B 的。但在牛顿的经典物理学中，我们可以知道若A 比B 的速度快，经过有限时间后，A 是一定会追上B 的，因此这个问题是不可以用牛顿的经典物理学来分析的，经典物理学有两个假设： 其一是假定时间和空间是绝对的，长度和时间间隔的测量与观测者的运动无关，物质间相互作用的传递是瞬时到达的；其二是一切可观测的物理量在原则上可以无限精确地加以测定。也就是在经典物理学中时间和空间都是连续的，因此我们可以以时间不是连续的观点来讨论这A X B

芝诺悖论的极限分析

芝诺悖论的极限分析 学生姓名：王慧文指导教师：岳进 摘要：古希腊哲学家芝诺提出了著名的“二分法”，其结论的荒谬性不言而喻，可是对他的论证我们 似乎很难找出毛病，好像是可以接受的。其结论之所以不可以接受，源于在他的论证中隐藏着一些 谬论。在极限方面过程中把带有统一度量单位的“无穷”混为一谈。在哲学方面违反了辩证法的客观 性原则、全面性原则和对立统一性原则；但芝诺悖论的提出，对辩证法的方法，以及运动过程中诸 要素的多种矛盾，通过逻辑运算对芝诺悖论的荒谬性进行反驳，对数学的发展起了很大的作用。 同时本文利用数学求极限的方法,通过逻辑运算,揭示阿基里斯永远追不上乌龟结论的错误。 关键词：悖论；无穷与有穷；运动与静止；连续与间断 引言： 数学悖论是数学发展过程中的一个重要的存在形态,它是数学体系中出现的一种尖锐的矛盾,对于这一矛盾的处理与研究,丰富了数学的内容,促进了数学的发展。 芝诺是公元五世纪古希腊埃利亚学派的代表人物。芝诺“二分法”悖论是说，你不能在有限的时间内穿过无穷的点。在你穿过一定的距离的全部之前,你必须穿过这个距离的一半。这样做下去就会陷入无止境,所以在任何一定的空间中都有无穷个点,你不能在有限的时间中一个接一个地接触无穷个点。运动只是假象，不动不变才是真实。假如承认有运动，就得承认速度最快的赶不上速度最慢的”，即快的“只能无限地接近但永远不能赶上”慢的。因为，快的要追上慢的，总要到达慢的所处，的所经过的每个出发点，而当它到达第一个出发点时，慢的已经往前走了“一段，即阿基里斯追赶乌龟的赛跑。 芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论和发展，不能不说是巨大的贡献。本论文就是通过极限与哲学的分析，对芝诺悖论进行剖析。 1、悖论对数学产生的作用 1.1从悖论说起 什么是悖论？它既属于逻辑矛盾、语义矛盾,也属于思想方法上的矛盾。简单地说，悖论一般表现为这样的命题：如果你认为它真，则可以推出它为假；如果你认为它假，则可以推出它为真[1]。悖论往往以逻辑推理为手段，深入到原理论的基础之中深刻地揭露出该理论体系中的无法回避的矛

芝诺悖论

芝诺（埃利亚）（Zeno of Elea）生活在古代希腊的埃利亚城邦。他是埃利亚学派的著名哲学家巴门尼德（Parmenides）的学生和朋友。关于他的生平，缺少可靠的文字记载。柏拉图在他的对话《巴门尼德》篇中，记叙了芝诺和巴门尼德于公元前5世纪中叶去雅典的一次访问。其中说：“巴门尼德年事已高，约65岁；头发很白，但仪表堂堂。那时芝诺约40岁，身材魁梧而美观，人家说他已变成巴门尼德所钟爱的了。”按照以后的希腊著作家们的意见，这次访问乃是柏拉图的虚构。然而柏拉图在书中记述的芝诺的观点，却被普遍认为是相当准确的。据信芝诺为巴门尼德的“存在论”辩护。但是不象他的老师那样企图从正面去证明存在是“一”不是“多”，是“静”不是“动”，他常常用归谬法从反面去证明：“如果事物是多数的，将要比是‘一’的假设得出更可笑的结果。”他用同样的方法，巧妙地构想出一些关于运动的论点。他的这些议论，就是所谓“芝诺悖论”。芝诺有一本著作《论自然》。在柏拉图的《巴门尼德》篇中，当芝诺谈到自己的著作时说：“由于青年时的好胜著成此篇，著成后，人即将它窃去，以致我不能决断，是否应当让它问世。”公元5世纪的评论家普罗克洛斯（Proclus）在给这段话写的评注中说，芝诺从“多”和运动的假设出发，一共推出40个各不相同的悖论。芝诺的著作久已失传，亚里士多德的《物理学》和辛普里西奥斯（Simplici－us）为《物理学》作的注释是了解芝诺悖论的主要依据，此外只有少量零星残篇可提供佐证。现在流传下来而广为人所知的所谓“芝诺悖论”共有九个：四个是关于运动的，三个是指向“多”的，一个是反对空间观念的，另一个则试图表明感觉是不可靠的，其中关于运动的4个悖论尤为著名。 直到19世纪中叶，亚里士多德关于芝诺悖论的引述及批评几乎是权威的，人们普遍认为芝诺悖论不过是一些诡辩。英国数学家B．罗素感慨的说：“在这个变化无常的世界上，没有什么比死后的声誉更变化无常了。死后得不到应有的评价的最典型例子莫过于埃利亚的芝诺了。他虽然发明了四个无限微妙无限深邃的悖论，后世的大批哲学家们却宣称他只不过是个聪明的骗子，而他的悖论只不过是一些诡辩。遭到两千多年的连续驳斥之后这些诡辩才得以正名。”19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺。他们推测芝诺的理论在古代就没能得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用来倡导怀疑主义和否定知识，亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。目前，学者们对芝诺提出这些悖论的目的还不清楚，但大家一致认为，芝诺关于运动的悖论不是简单的否认运动，这些悖论后面有着更深的内涵。亚里士多德的著作保存了芝诺悖论的大意，从这个意义上来说，他功不可没，但他对芝诺悖论的分析和批评是否成功，还不可以下定论。 芝诺悖论（Zeno's paradoxes)是芝诺提出的一系列关于运动的不可能性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺为了支持他老师巴门尼德关于“存在不动”、是一的学说（万物为一且永不变化的学说），提出了著名的运动悖论和多悖论，以表明运动和多是不可能的。他的结论在常人看来当然很荒谬，但他居然给出了乍看起来颇令人信服的论证，故人们常常称这些论证构成了悖论或佯谬。不过，若细细推敲，其结论未必荒谬，其论证未必令人信服，故中性的称这些论证为芝诺论辨（Argument）最为合适。 这些悖论中最著名的两个是：“阿基里斯跑不过乌龟”和“飞矢不动”。这些方法现在可以用微积分（无限）的概念解释，但还是无法用微积分解决，因为微积分原理存在的前提是存在广延（如，有广延的线段经过无限分割，还是由有广延的线段组成，而不是由无广延的点组成。），而芝诺悖论中既承认广延，又强调无广延的点。这些悖论之所以难以解决，是因为它集中强调后来笛卡尔和伽桑迪为代表的的机械论的分歧点。这些悖论其实都可以简化为：1/0=无穷。

十个著名悖论的最终解答(电车难题等)

十个著名悖论的最终解答（一）电车难题（The Trolley Problem） 引用： 一、“电车难题”是伦理学领域最为知名的思想实验之一，其内容大致是：一个疯子把五个无辜的人绑在电车轨道上。一辆失控的电车朝他们驶来，并且片刻后就要碾压到他们。幸运的是，你可以拉一个拉杆，让电车开到另一条轨道上。但是还有一个问题，那个疯子在那另一条轨道上也绑了一个人。考虑以上状况，你应该拉拉杆吗？ 解读： 电车难题最早是由哲学家Philippa Foot提出的，用来批判伦理哲学中的主要理论，特别是功利主义。功利主义提出的观点是，大部分道德决策都是根据“为最多的人提供最大的利益”的原则做出的。从一个功利主义者的观点来看，明显的选择应该是拉拉杆，拯救五个人只杀死一个人。但是功利主义的批判者认为，一旦拉了拉杆，你就成为一个不道德行为的同谋——你要为另一条轨道上单独的一个人的死负部分责任。然而，其他人认为，你身处这种状况下就要求你要有所作为，你的不作为将会是同等的不道德。总之，不存在完全的道德行为，这就是重点所在。许多哲学家都用电车难题作为例子来表示现实生活中的状况经常强迫一个人违背他自己的道德准则，并且还存在着没有完全道德做法的情况。 引用完毕。 Das曰： 人，应当为自己的行为负责，这里的“行为”是什么意思？人为自己的行为负责的理论依据是什么？ 承认人具有自由意识——这是法律和道德合理化的基础。不承认自由意识存在，也就否认了一切法律和道德的合理性。如果一个人杀人放火是由于童年的遭遇、社会的影响、政府的不公正待遇等外界客观因素所决定的——罪犯本身的原因不是决定性因素——我们就没有权利依据任何法律对这个人进行惩罚。他杀人放火是由于其他原因，是他本身不可改变的，惩罚这个人显然是不合理的，惩罚他也于事无补、毫无用处。 人具有自由意识，可以做出自由选择，并且他应当对自己的选择负责任——这是一切法律和道德合理化的最根本基础。 那么，我们现在可以解释“行为”是什么意思：行为，是人在所有可能性中做出的一个唯一的选择。 今天早晨你可以选择吃包子，也可以选择吃油条。结果你吃了包子，这是你的行为、你选择的结果。问题是吃包子或者吃油条，这并不是“所有可能性”，你也可以选择什么也不吃，选择饿肚子减肥。作为一个理性人，你应当预见到饿肚子减肥可能造成身体伤害，你选择了饿肚子减肥这种行为，就应当为这种行为负责。 行为并不是行动，你什么也不干也是一种选择，因而也是一种行为。 我们将这个思想实验稍作修改，就可以看到什么也不干确实是一种实实在在的行为：

日常生活中的悖论问题 研究性课题

日常生活中的悖论问题 在我们的生活中，存在着许多的数学问题，其中有一些现象，看着貌似是对的，但生活常识又告诉我们它是错的，我们把这一类问题叫做悖论问题。 悖论问题在我们的生活中十分常见，而且其中充满着许多数学乐趣，所以今天就让我们来探究一下悖论问题。 一．悖论问题的原理及解悖的方法 首先，悖论是指在逻辑上可以推导出互相矛盾之结论，但表面上又能自圆其说的命题或理论体系。悖论的出现往往是因为人们对某些概念的理解认识不够深刻正确所致。悖论的成因极为复杂且深刻，对它们的深入研究有助于数学、逻辑学、语义学等等理论学科的发展，因此具有重要意义，而悖论是表面上同一命题或推理中隐函着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是:如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。 悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。 悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。 其次，就是悖论的解决办法，一般而言，只要运用对称逻辑，没有一个悖论无解。悖论是表面上同一命题或推理中隐函着两个对立的结论，而这两个结论都能自圆其说。悖论的抽象公式就是:如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次、意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆，是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称，是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。 例如，用对称逻辑思维层次法解"说谎者悖论"，这个悖论即"我在说谎"这句话中所蕴含的悖论。这个悖论表面上由"我在说谎"和"我说实话"这两个对立的"命题"组成，实际上这两个"命题"并不等价--前一个命题包含思维内容，后一个"命题"只是前一个命题的语言表达式，因此后一个"命题"不是严格意义上的命题。长期以来人们之所以把其看成悖论，是由于把两个"命题"看成等价，即都是思维内容和语言表达式统一的命题。只要把思维的两大层次:命题的思维内容和命题的语言表达式区别开来，"我在说谎"这个悖论即可化解。 二．数学界典型的悖论 芝诺悖论是古希腊数学家芝诺提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于

对悖论的理解

对悖论的理解 一、什么是悖论 悖论，在物理学中也常称为佯谬。在英语中它们是同一个词paradox，指那些与常识相抵触、自相矛盾的反论，有的“似非而是”，又有的“似是而非”。严格说起来，佯谬只是悖论的一种，而且是其中最主要的一种，现在在自然科学工作者中几乎成了悖论的同义语。所谓佯谬，字面上的意思就是“假的谬误”，这是一些看起来是错的，实际上却是对的，即“似非而是”的那样一些论断。另外还有两种形式的悖论，我们把它总归为第二类。其一是在本来意义上的自相矛盾的反论。悖者，违背，违反之意也。如果对所考虑的某件事情，这样分析会得出一种结论，那样分析又会得出另一种结论，陷入左右为难，自相矛盾的境地，这就构成了悖论。其二则是那些真正错误的论断，可看起来似乎是对的，即“似是而非”，就是我们通常所说的诡辩。这与香港的黄展骥先生在“构成‘说谎者’悖论的两个矛盾———逻辑自身消解不了逻辑矛盾!”一文中把悖论定义为挑战常识的“大是若非”的卓论和“大非若是”的谬论的观点是一致的。 第一类，大是若非者，落实在“是”上，似非而是。数学史上导致三次里程碑式发现的悖论———希帕索斯(或毕达哥拉斯)无理数悖论(有些数不能表示成整数之比)、贝克莱无穷小悖论(无穷小量既等于零又不等于零)、罗素集合论悖论(可构造一个集合Ａ，Ａ∈Ａ当且仅当Ａ∈Ａ)。前两次悖论的消解分别扩展了数的系统并引发了欧几里德几何公理系统和亚里斯多德逻辑体系的建立；将微积分建立在严格的极限理论基础上，发展了严密的数学分析学科；第三次悖论的余波至今未平，它推动了数理逻辑的发展，导致了哥德尔不完全性定理(在包含初等数论的形式公理系统中，至少存在着一个不可判定命题，该命题本身和它的否定命题在这个系统中都是无法证明的)。还有量子力学中的三大佯谬———ＥＰＲ佯谬、薛定谔的猫、维格纳的朋友，以及导致狭义相对论发轫的光速佯谬(相向传播的两束光，它们的相对速度仍然是光速———或者与其等价的追光佯谬)，导致广义相对论诞生的双生子佯谬，导致现代宇宙学诞生的奥尔伯斯夜黑佯谬等。当然，随着理论的发展，它们也都将不再成为悖论了。 第二类大非若是者，落实在“非”上，似是而实非。伊壁尼门德的说谎者悖论(“我说的这句话是谎话”)、罗素的理发师悖论(塞维利亚的男人可分两类，第一类是自己给自己刮脸的，第二类是自己不给自己刮脸的，凡自我刮脸的理发师就不给他刮脸，而不自己给自己刮脸的则理发师给他刮脸。那么理发师是否自己给自己刮脸呢?)，芝诺悖论(善跑者追不上乌龟)，公孙龙悖论(白马非马，因为马是形体的名称，而白是颜色的名称，形体不是颜色，所以白马不是马)，芝诺的飞矢不动悖论等都可归入这类。说谎者悖论和理发师悖论在塔尔斯基指出应区分对象语言(“被谈论”的语言)和元语言(用来“谈论”对象的语言)后，从语义学上得到了澄清。实际上，“我这句话是假的”，这个语句是一个带有自我指涉的复合语

[亚里士多德,芝诺,悖论]浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论

浅谈亚里士多德实体与属性二分下的芝诺悖论 一、导言 哲学有两种功效: 诊断和治疗。本文主要集中在对问题本身的诊断。维特根斯坦在《逻辑哲学论》中把哲学比喻为梯子，我们不应仅仅执迷于梯子上有什么，而应更加关注会有多少种梯子，因为不同的梯子可能会通向不同的方向。通常的解读下，哲学史是对柏拉图问题的回答，进一步讲，也可以认为是对巴门尼德问题的回答，但这只是问题的一个方面。如果把解决巴门尼德问题看作对真的追求，那么对芝诺问题的消解就可以看作对假的消除。既然哲学史可以解读为对真的追求，那么同样也可以解读为对假的消除，即哲学史既可以理解成是努力追求巴门尼德的真，亦可以理解成是在努力消解芝诺问题。 二、实体与属性: 芝诺悖论的多层结构 1. 按照胡吉特 ( Nick Huggett) 理论对芝诺悖论的结构分层 ( 1) 数量悖论。①密度悖论: 如果有多，他们必须与自身一样多，既不更多也不更少。但是如果他们和自身一样多，他们则是被限制的。如果他们是多，多这样的事物是不被限制的。因为在多的事物之间总是有其它的事物，并且在这些事物之间还有另一些事物，因此多这样的事物是不被限制的。②有限量悖论: 如果把其他存在的事物增加于它，这不会使其变大。因为如果它没有体量并且被增加，它在体量上也不可能增加。因此立即可以得出这样的结论，即被增加的是无。但是如果它被减少时其他事物并没有变小，它被增加时其他事物没有增加，那么显然被增加或减少的事物是无。但是如果它存在，每一个事物必须有一些体量和厚度，它的一部分必定与其他部分是不同的部分。同样的推理适用于在前面的部分。对于这部分，其自身有体量，所以其中也有在前的部分。现在基于同样的推理，不停重复。因为没有一个部分是最终的部分，也没有一个部分是与另一部分无关的。因此，如果有很多事物，他们必定是既小又大; 如此之小以至于没有体量，但是如此之大以至于是无限的。完全分割悖论:一旦一个事物被自然方法不停地分割，无论是用两分法或其他任何方法，如果这个事物确实被分了，那么最终什么都不可能留下虽然事实上可能没有一个物体能被这样分。 ( 2) 运动悖论。①二分法悖论: 你不能在有限的时间内越过无穷的点，当你穿过一定距离的全部之前，你必须穿过这个距离的一半，这样做下去就会陷入无止境。所以在任何一定的空间中都有无穷个点，你不能在有限的时间中一个一个接触无穷个点。②阿基里斯与龟悖论:阿基里斯永远追不上乌龟，他首先必须到达乌龟出发的地点，这时候乌龟会向前走了一段路，于是阿基里斯又必须赶上这段路，而乌龟又向前走了一段路。他总是愈追愈近，但是始终追不上它。③飞矢不动悖论: 飞着的箭是静止的，因为如果每一件东西在占据一个与它自身相等的空间时是静止的，而飞着的东西在任何一定的霎间总是占据一个与它自身相等的空间，那么它就不能动了。④运动场悖论: 运动场上有两排物体，每排由大小相等、数目相同的物体组成，各以相同速度按相反方向通过跑道，其中一排从终点开始排到中间，另一排从中间排到起点。他 [芝诺] 认为，这里包含了一个结论，一半时间等于一倍时间。 ( 3) 其他悖论。①空间悖论: 如果每一个存在的事物都占有一个空间，位置自身也占有一个空间，依此类推至无穷。②谷粒悖论:芝诺论证说米粒的任何一个部分都能发出声响，因为没有什么妨碍米粒的一个部分在不论什么时间中不能像一个整体的麦蒂蒙洛 (古希腊亚

芝诺悖论之飞箭不动

芝诺悖论之“飞箭不动” 摘要：自从芝诺提出他的悖论以来, 对哲学、逻辑学、数学和物理学等学科的发展, 产生了深远的影响, 以至今日它仍然是学界讨论的热门话题之一。在历史上, 亚里士多德、黑格尔和罗素等人对芝诺悖论都有极高的评价。但每一代人都需要以彻底改造的方式进行某种重建，这是因为论据、困惑、悖论必须在当代的语境之中被重复发现和重新建构。当然，时间哲学自芝诺时代以来一直在发展着，但这并不是说芝诺之“箭”不能以当代问题的方式提出。自从芝诺提出他的悖论以来, 对哲学、逻辑学、数学和物理学等学科的发展, 产生了深远的影响, 以至今日它仍然是学界讨论的热门话题之一。在历史上, 亚里士多德、黑格尔和罗素等人对芝诺悖论都有极高的评价。但每一代人都需要以彻底改造的方式进行某种重建，这是因为论据、困惑、悖论必须在当代的语境之中被重复发现和重新建构。当然，时间哲学自芝诺时代以来一直在发展着，但这并不是说芝诺之“箭”不能以当代问题的方式提出。 关键词：飞箭不动；历史评价；重建 一、飞箭不动悖论 芝诺悖论(Zeno's paradoxes)是古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea）提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。芝诺以一种看来是严格的逻辑论证的方法，提出了一与多、动与静、连续与间断等存在的悖论，其目的是要否定现象的多、动和可分的间断性，以归谬法来反证“一”即不动、连续的存在才是世界全体的合理本性。 芝诺从形式上看使用的都是归谬法，而从内容上看则主要集中在两个方面：

一是论证存在单一反对存在众多，二是论证存在不动反对存在运动。他提出了关于“运动”的四个悖论，本文主要就“飞箭不动”的悖论提出一些看法。 所谓的“飞箭不动”悖论是指，如果任何事物，当它是在一个和自己大小相同的空间里时（没有越出它），它是静止的。如果位移的事物总是在“现在”里占有这样一个空间，那么飞着的箭是不动的。 简单来说，即，一支箭从A点飞到B点，要经过A点与B点之间的所在点。在每一瞬间，它都处在某一点上，在这一瞬间它在这个点上是不动的（否则我们就不能说它在这一点上）。从A到B的距离是由其间的每一点集合而成，飞箭在每一瞬间在每一点上都是不动的，不动加不动仍然等于不动，所以飞箭不动。 飞箭既然在每一点上都是静止的，那么所有静止的点集合起来仍然是静止，故曰飞箭不动。“飞箭”实际上是“不动”的；如果说它在动，那就等于说它同时在这一点上又不在这一点上，但这是矛盾的。 亚里士多德批评道：“这个说法是错的，因为时间不是由不可分割的‘瞬间’组成的，正如别的量度也都不是由不可分割的部分组成一样。”这个悖论的实质是将运动经历的时间无限微分为不连续、不可超越的静态‘瞬间’，以此论证，就世界本性的存在而言，运动是表面的假象，运动不过是由无数静止的画面拼接而成的，就像如今动态的电影放映时连接的是静态胶片一样。 二、对飞箭不动悖论的历史评价 19世纪下半叶以来，学者们开始重新研究芝诺．他们推测芝诺的理论在古代就没有得到完整的、正确的报道，而是被诡辩家们用作倡导怀疑主义和否定知识的工具，从而背离了芝诺的真正宗旨。而亚里士多德正是按照被诡辩家们歪曲过的形象来引述芝诺悖论的。然而，迄今为止，学者们还找不出可靠的证

悖论大全

老虎悖论是博弈论中一个著名的逻辑悖论。 故事 国王要处决一个囚犯，但给他一个生还的机会。囚犯被带到5扇紧闭的门前，其中一扇后面关着一只老虎。国王 对囚犯说：“你必须依次打开这些门。我可以肯定的是，在你没有打开关着老虎的那扇门之前，你是无法知道老虎是在那扇门后。”显然，如果囚犯有可能在打开有老虎的那扇门前知道，就证明国王在撒谎，那么就可以活命。开门之前，囚犯进行了如下分析：假如老虎在第五扇门，那当他把前四扇门打开后都没发现老虎，那他肯定猜到老 虎在第五扇门中，因国王说过不论何时他也料不到老虎在哪扇门后，那国王的说话就错了。因此，老虎肯定不在 第五扇门中。同样道理，老虎也不在第四道门中，否则囚犯打开三道门后，只剩两道门，老虎既不在第五扇门后，那就会给他料到在第四扇门后；依次类推，老虎不存在任何一道门后；囚犯这时就不再多想，冒冒失失依次推门，结果老虎从第二扇门中跳了出来，把囚犯咬死了。国王看见了说：“不是跟你说了老虎在哪扇门后总是出乎你的意料了吗？现在你就是万料不到了。” 悖论分析 如果囚犯的推理成立，那么就算国王把老虎放在第五扇门后，也是“料想不到”，学者们争论的重点在于：这个推理究竟错在第几步？ 1.主张错在第一步 如果第一步是正确的，那么后面几步为什么是错的？所以第一步就错了。错在囚犯把国王的思路作为论据。 首先必须定义怎样算国王所谓的“知道”(或“意料”)，如果投机猜测算的话，那国王不论怎样放都不能保证不被猜中，所以带投机成分的猜测不能算“知道”（国王为了自身利益也会这么定义），设“知道”定义为“在即有事实下的逻辑推

理”，那么囚犯不仅要正确预测老虎，还要对其预测给出严格的逻辑证明才行。本例中不考虑没有老虎的情况，即 囚犯已知必有1老虎。作为囚犯，他在每次打开一个门前都会进行逻辑推理，如果能推出老虎是在即将打开的门 里就赢了，如果不能推出，他就只能打开这个门，如果打开后没有老虎就继续推理下一个门是否有老虎，依此类推。 然后，把问题从5个门简化为只有2个门，囚犯会在打开第一个门之前，对第一个门里是否有老虎做逻辑推理： 由于囚犯要引用国王的思路，故须先考虑国王思路是否是会错。 A.如果相信国王是不会错的，那么你不可能推测出第一个门里有没有，因为如果推测出就说明国王会错，所以在 这个前提下不可能知道。囚犯无法推测出第一个门里有没有老虎，必然要打开第一个门。 B.如果相信国王是会错的： 囚犯首先认为国王放第二个门是错的，但国王既然是会错的，他为何不会按囚犯认为错误的思路放第二个门呢？ 所以国王的思路就没法唯一的推测了。囚犯失去国王的思路做论据，无法推测出第一个门里有没有老虎，必然要 打开第一个门。 因此，国王应且只应放到第一个门中，则国王必胜。 推广到n个门的情况，只要国王不把老虎放到最后一个门，则国王必胜，囚犯必败。 2.主张错在第二步 故事中的囚犯最后决定相信“没有老虎”。但，国王并不知道囚犯是否会这样，所以的确不可能把老虎放在第五扇门。如果囚犯决定相信“一定有老虎”，那么在前四扇门都没有老虎之后，第五扇门后的老虎的确就变成“可预料的”了。 既然老虎在第五扇门的话，它一定是“可预料的”，那么当你已经开了三扇空门时，情况是怎么样？我们可以试着写成逻辑式子：前提一、老虎不可预料。前提二、老虎如果在第五扇门时，可预料。前提三、老虎不在第五扇门时，就一定在第四扇门。前提四、老虎如果在第四扇门时，可预料。结论：前提互相矛盾。 请注意：这时的逻辑推理中，既然前提互相矛盾，必定有一个以上不成立，那么可能性就是以下四个其中之一、 或是更多： A.老虎可预料。 B.老虎如果在第五扇门时，不可预料。 C.老虎不在第五扇门时，也不一定在第四扇门。 D.老虎如果在第四扇门时，不可预料。 二和四自身是矛盾命题，不考虑，三会导致老虎变成薛定谔的猫，也就是既存在亦非存在的状态（囚犯把老虎往 前门推是错误的，因为前提中包含“已经开了三扇空门”）。所以可能性只有一个：老虎可预料。但若老虎可预料，那么显示国王说谎，如果国王可能说谎，那么老虎也真的有可能消失。 这时的正确结论是：国王一定说谎，但他的谎言可能是“老虎可预料”，却也可能是“根本没老虎”，囚犯只是偏心于 一个可能性，结果帮国王圆谎罢了。 3.主张错在最后一步 如果“不可预料”并不是一种保证，而只意味“高机率”，“有老虎”才是保证，那么情况又整个改观。可以列成以下状况：

悖论逻辑浅析

悖论逻辑浅析 悖论，是一个与数学、逻辑学等多个学科紧密联系的课题，其成因往往是深刻复杂的，本文通过对悖论进行初步探究，可以使我们对许多数学、逻辑的概念有更加深刻的认识，而悖论的成因也正与定义的不明确，或者我们对定义的不理解有关，这些内容都将在本文中加以初步解读。 本文将在前人研究的基础上加以梳理，用逻辑分析与解读的方式，力争让大家对悖论，尤其是数学悖论有所认识。而在数学的领域中，历史上曾经有过多个重大的悖论课题，如康托尔悖论、最大序数悖论等。这些悖论当时看似动摇了数学的根基，实则让我们在研究悖论的过程中对数学与逻辑、概念有了更深刻、更清晰的理解。再此，若要浅析悖论问题，首先要对数学上的悖论问题进行分类研究，其中就要涉及到有限与无限悖论及概率，统计，几何，时间，逻辑等类型的悖论。 本文的学习结果主要为：初步认识到了悖论的成因，以及几种典型的悖论类型，并对其进行了一定程度上的分析。 在对数学逻辑悖论进行研究的过程中，我们可以对一些数学上的概念、定义有更深刻的认识，同时使我们有一个更清晰的逻辑思维。从而提升自身！ 关键词：悖论;康托尔;逻辑

第一章绪论 1.1 研究背景及意义 本文研究意义在于：解除一些悖论在学习中给我们带来的疑惑，明确一些数学与逻辑学中的定义，理清思路，使我们逻辑更加清晰、对定义的理解更加明确，从而也对我们所学习的理论有更加深刻的认识。 1.2 研究对象 本文的研究对象以数学、逻辑学两方面的悖论为主，同时还会涉及到一些数学定义等。 1.3 研究思路 对前人提出的悖论，通过明确定义以及理清逻辑思维，对经典的悖论进行 1.4 研究方法 文献法、运算法、讨论法、归谬法等。 1.5 知识准备 研究悖论，首先要以逻辑思维为基础，涉及到的具体的、较为深入的专业知识并不是非常多，首先，在数理逻辑悖论的探究中，需要具备一定的数学基础，特别是逻辑语言与统计学的基础知识，了解集合论的一些基本定义、统计学中的权重等概念。

科学技术哲学论文全解

从数学史浅谈科学技术理念问题

摘要：本文从哲学、科学、数学之间的关系角度出发，结合自身研究与实践以及几位伟大数学家的范例，阐述和分析了科学技术中数学环节的重 要性和必要性，举例说明了科学数学与自然哲学之间的关系，同时讨 论了工程技术人材应该的树立正确的科学理念。接着讨论了工程技术 人员应该秉持的科学哲学理念。最后讨论了高科技技术人员的道德伦 理问题。 关键字：哲学、科学、科学理念、道德伦理 18世纪，康德提出：科学是一种知识系统的见解：“每一种学问，只要其任务是按照特定原则建立一个完整的知识系统的话，皆可被称为科学。” ——《自然科学的形而上学起源》科学和哲学是人类理论思维的两种基本方式。科学用于构筑关于世界的模型；而科学哲学建构关于科学的模型。科学一词拉丁文Scientia表示知识或学问。科学是以世界的各种不同的领域、不同的方面、不同的层次或不同的问题为对象，哲学则以“整个世界”为对象；科学提供关于世界的不同领域或不同方面的“特殊规律”，哲学则提供关于整个世界的“普遍规律”。因此，哲学理论思维较之科学理论思维来说在对世界的把握上就具有最高的概括性和最高的解释性。在此意义上，哲学是科学之帅。由于人类理论思维形成的过程首先是逻辑思维的形成过程，而古希腊时代的三位伟大哲人——苏格拉底、柏拉图和亚里士多德——都曾殚精竭虑地思考和追究过思维的逻辑问题，他们对概念和思维规则的探索和认识，使人类理论思维的能力逐步走向成熟。在此意义上来说，哲学是科学之母。因此，科技工作者从事科学研究，都必然会受到一定的哲学世界观的指导和哲学思维特性的影响。当然，科技工作者并非学了哲学才会思维，但学好了哲学，通晓思维的形式和规律之后，有助于他更正确地思考、提高自己的思维能力。下面我们将首先从数学史上的伟人着手，分析科学哲学的基本理念。 一、科学探索需要灵感，灵感来源于长期的思维碰撞摩擦 “假如别人和我一样深刻和持续地思考真理,他们会作出同样的发现。” ——高斯高斯是一对贫穷夫妇的唯一的儿子。母亲是一个贫穷石匠的女儿，虽然十分聪明，但却没有接受过教育。他的父亲曾做过园丁，商人和一个小保险公司的评估师。当高斯三岁时便能够纠正他父亲的借债账目的事情，已经成为一个轶事流传至今。 14岁时，布伦兹维克公爵卡尔·威廉·斐迪南召见了高斯。这位朴实、聪明但家境贫寒的孩子赢得了公爵的同情，公爵慷慨地提出愿意作高斯的资助人，让他继续学习。

关于逻辑悖论问题

“悖论”一词的意思 悖论是指一种导致矛盾的命题。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 注：包括罗素悖论和en:Liar paradox 的所有悖论，都有二个方向，即“清除悖论”和“理解悖论”。西方文化偏向于“清除悖论”，包括中国文化和印度文化的东方文化偏向于“理解悖论”。实际上，悖论有拓扑学模型的，其二维是莫比乌斯带，其三维是克莱因瓶。参见“易联国际论坛”的《一个理论体系》 例如： 谎言者悖论是公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）说的话：“所有克利特人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。” 如果这名诗人说的是真的，那么，克利特人与就不是说谎者，这个诗人不能排除在外；如果这名诗人说谎，那么克利特人就不是说谎的群体，这个诗人也应该不是说谎者，这和诗人说谎矛盾。这就是悖论。 关于逻辑悖论问题 1、逻辑中的悖论佯谬 2、记者：您在前面多次谈到了"悖论"这个词。请问什么是悖论？ 何新：在近代科学哲学中，存在着两大佯谬。第一是前面我们曾讨论过的归纳

法佯谬，是休谟所提出，普遍性与必然性不存在于感性的经验观察中，因此归纳法缺少一个客观意义的基础。第二就是关于逻辑悖论的佯谬。 记者：究竟什么是逻辑悖论？ 何新：所谓悖论（Paradox），康德称作"二律背反"，黑格尔称作辩证矛盾。它指的是两个相反的或互相矛盾的命题，但从正面论证则其反面成立，从其反面论证则其正面成立。悖论的存在，使得思维和语言陷入自相矛盾，成为语义混乱而不知所云。在希腊和中国先秦思想史上，正是悖论的发现，推动古典学者开始探讨形式逻辑规律以规范思维和语言。为解决悖论引起的逻辑混乱问题，亚里士多德等古典逻辑学者提出了三大思维规律（同一律/不容矛盾律/排中选择律）。事实上，不容矛盾律构成演绎推论（三段式）的公理基础。但是，悖论问题从来没有真正得到解决。只是后来人们学会了如何通过恰当的矛盾陈述，正确地表述和理解语言的意义。近代数学在寻求公理化基础时重新遭遇严重的逻辑矛盾，从而发生了"第三数次学危机"。 2、辩证逻辑可以解决悖论佯谬 记者：如果悖论问题不能得到解决，那么形式逻辑的基本原理就受到了严重挑战。你认为悖论是否可能得到解决呢？ 何新：这就是我在70年代所曾致力研究的问题。逻辑是区分为类型的。在古往今来的各种逻辑类型中，有一种可以容纳悖论（即逻辑矛盾）的逻辑，这就是黑格尔的辩证逻辑。黑格尔甚至认为，必须建构一种容纳矛盾的逻辑，因为矛

透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分

透过第二次数学危机浅谈神秘可恨的微积分 作者：华中师范大学计算机科学系2010级郑舒月学号77 内容摘要：基于大家在学习微积分的过程中的困惑，本文试图透过第二次数学危机谈一 谈这位既神秘又可恨可怜的“消失了的量的鬼魂”，以“贝克莱悖论（Berkeley paradox）”、 “芝诺悖论（Zeno paradox）”等悖论了解牛顿和莱布尼兹关于微积分的理论及公式。由于 18世纪的微积分的理论并不严谨，这就有悖于数学这一学科的首要特点。关于“无穷小量究 竟是否为0”的问题：就无穷小量在当时实际应用而言，它必须既是0，又不是0。但从形式 逻辑而言，这无疑是一个矛盾。从而掀起了第二次数学危机。 关键词：第二次数学危机微积分 Abstract：Based on most of students have the confusion in the process of studying calculus, from the second mathematical crisis,this paper tries to talk about this mysterious,hateful and poor "disappeared quantity of ghosts", with "Berkeley paradox ", "Zeno paradox" and so on, to know about the theories and formulas of Newton and . Because of calculus theori es were not rigorous in the 18th century, this is contrary to the primary feature of the question-- " whether infinitely small quantity is zero" :as infinitely small quantity is concerned in practical application at that time, it must be zero, and is not zero at the same time. But from the view of the form logic , there is no doubt that this is a contradiction. Thus the second mathematical crisis broke out. Key words：The second mathematical crisis calculus 前言 大家知道，在公元前5世纪出现了数学基础的第一次灾难性危机，这就是无理数的诞 生。这次危机的产生和解决大大地推动了数学的发展。初次接触微积分时，大家都被弄迷糊 了，基本学完教材微积分的知识，仍是无数个疑问让大家百思不得其解，比如：无穷小量似

哲学家芝诺悖论是什么

哲学家芝诺悖论是什么 古希腊哲学家芝的诺悖论在数学和哲学这两个方面都享有非常高的荣誉，英国伟人罗素认为芝诺发明的四个悖论既微妙又深邃。下面是为你搜集芝诺悖论是什么的相关内容，希望对你有帮助! 芝诺悖论芝诺悖论一：二分说。芝诺认为运动是不存在的，他的意思是说，一个人如果要过一段路，那么在走完这段路之前是肯定会走过你要走的这一段路的一半的位置，过了这个位置之后，你又想走完剩下来的这一半，那么就又要走剩下来的这一半路的一半的位置，这样一直下去。 芝诺悖论二：追龟说。这个悖论与上一个悖论二分说相似，意思是说，一个人到达乌龟的出发点时，乌龟就已经在前面走了一小段路了，于是就必须走过这一小段路程，可是乌龟在你走的时候也在向前走，于是就是这样，你无限接近它，但不能追到它。 芝诺悖论三：飞箭静止说。这个悖论的意思是，如果你和一个东西在同一个空间但是没有超过它，这个东西是静止的。那么如果要移动的事物在这个空间里面占有一个小的空间，那么飞在空中的箭是静止不动的。 芝诺悖论四：运动场悖论。运动场悖论是运动物体的论点，在跑道上有前后两排大小和数目都相同的事物，其中一排是前半段的，另一排后半段的，他们以相同的速度却向着反方向作运动。

芝诺的历史评价虽然芝诺时代已经过去二千四百多年了，但是围绕芝诺的争论还没有休止。不论怎样，人们无须担心芝诺的名字会从数学史上一笔勾销.正如美国数学史家E.T.贝尔(Bell)所说，芝诺毕竟曾"以非数学的语言，记录下了最早同连续性和无限性格斗的人们所遭遇到的困难。 "芝诺的功绩在于把动和静、无限和有限、连续和离散的关系惹人注意地摆了出来，并进行了辩证的考察.虽然不能肯定他对古典希腊数学的发展有无直接的重要影响，但是有一点决不是偶然的巧合:柏拉图写作对话《巴门尼德》篇的时候，因为其中讨论的主要话题之一是芝诺的观点，芝诺也是书中的主角之一，因此在柏拉图学园中很自然地热烈讨论起芝诺悖论来。当时欧多克索斯(Eudoxus)正在柏拉图学园中攻读和研究数学与哲学。欧多克索斯在稍后的时间里创立了新的比例论(《几何原本》第五卷中的主要内容)，从而克服了因发现不可公度量而出现的数学危机;并完善了穷竭法，巧妙地处理了无穷小问题。因此，在希腊数学发展的这个关键时刻，很难说芝诺没有对它的发展作出过有意义的贡献。 芝诺在哲学上被亚里士多德誉为辩证法的发明人。黑格尔在他的《哲学史讲演录》中指出:"芝诺主要是客观地辩证地考察了运动"，并称芝诺是"辩证法的创始人"。

悖论问题研究

悖论问题的探究 过程： 阶段一：收集悖论的资料，广泛征集悖论问题，为后续阶段打下基础。 阶段二：对其具体探究，深入尝试解决问题。 阶段三：在班级范围内推广悖论问题，培养数学兴趣。 阶段四：总结分析探究成果，得出合理结论并进行成果展示。 研究成果： 一．著名的悖论问题 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。 什么是悖论？ 我们先来看看几个著名的悖论，对其进行初步了解： 如，著名的说谎者悖论：克里特岛人EPIMENIDES说：“所有的克里特岛人都是说谎者。”以及演变形式：“我总是说谎。”“我正在说谎。”“这个句子是错的”等等。而问题正是这些陈述本身是否也是谎言？ 再如，阿基里斯悖论：公元前400多年，古希腊埃里亚学派巴门尼德的门徒芝诺提出了阿基里斯悖论，用来反对赫拉克利特的流动说，以维护埃利亚学派的静止说。古代神话中一位跑得最快的人叫阿基里斯，他永远追不上爬得很慢的乌龟。意思是说，阿基里斯的速度永远大于乌龟，但乌龟毕阿基里斯先行一段距离AB，阿基里斯在A点作为起跑线，乌龟在B 点作为起跑线，当阿基里斯跑到B点时，乌龟已爬到B1点；当阿基里斯跑到B1点时，乌龟又前进到B2点；当阿基里斯跑到B2点时，乌龟该爬到B3点；如此下去，以至于阿基里斯永远也追不上乌龟。 再如，纸牌悖论：纸牌的一面写着：“纸牌反面的句子是对的。”而另一面却写着：“纸牌反面的句子是错的。”这是由英国数学家Jourdain提出来的。 又如，理发师悖论：一个理发师宣称：“给所有不给自己理发的人理发。”问题是谁给这个理发师理发？这个悖论是由罗素提出来的，似乎他本人也没有解决好这个难题。 悖论是多种多样的，逻辑学家告诉我们，很多悖论找不到逻辑上的解释。然而，倘若我们一旦发现了某些合理的解释，就会觉得绕有趣味。 悖论是指一种导致矛盾的命题。悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 悖论有三种主要形式。 1.一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的(佯谬)。 2.一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了(似是而非的理论)。 3.一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。 悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。 二．悖论的发展

芝诺的乌龟

数学论文——芝诺的乌龟 摘要：“芝诺的乌龟”是古希腊数学家、哲学家芝诺（Zeno of Elea）提出的关于运动不可分的哲学悖论，同时也是 科学史上广为人知的动物形象。而这一悖论与“飞矢不 动”以及“游行队伍”都作为了芝诺提出的伟大的“二 分法”的事例。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴 门尼德关于”存在”不动、是一的学说。虽然“芝诺的 乌龟”现在已得到了完善的解决，但这并不说明“芝诺 的乌龟”如今已没有了实际意义。那么，“芝诺的乌龟” 中解决问题契机是什么其中深层的含义又是什么 芝诺是古希腊时期爱利亚学派的主要成员，这个学派的基本思想是否认现实世界中的任何运动变化，认为它们只是真实存在的表面现象。而芝诺为了证明他们的观点，第一个设想和论证了物体运动中存在的令人不安的困难。芝诺的伟大便在于此。但在知识的越来越深入的探究，许多人们开始对“芝诺的乌龟”产生质疑——芝诺的悖论意义何在这是一个真正的悖论吗 让我们仔细地了解一下“芝诺的乌龟”。在“芝诺的乌龟”中，芝诺的论证是这样的：阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。在他和乌龟的竞赛中，他速度为乌龟十倍，乌龟在前面100米跑，他在后面追，但他不可能追上乌龟。因为在竞赛中，追者首先必须到达被追者的出发点，当阿基里斯追到100米时，乌龟已经又向前爬了10米，于是，一个新的起点产生了；阿基里斯必须继续追，而当他追到乌龟爬的这10米时，乌龟又已经向前爬了1米，阿基里斯只能再追向那个1米。就这样，乌龟会制造出无穷个起点，它总能在起点与自己之间制造出一个距离，不管这个距离有多小，但只要乌龟不停地奋力向前爬，阿基里斯就永远也追不上乌龟！（如图一） 这段论证似是非常有道理，但如果撇去那些杂乱的语言，这实际上就是一个追及问题了。有快者和慢者，且为同一方向，也有速度差。实际上就是“小明去学校，老爸给他送忘带的书”之类的问题。典型的“追及问题”怎么会追不上呢