反弯点法
水平荷载作用下的反弯点法
1.受力特点
风荷载或水平地震对框架结构的作用，一般可简化为作用于框架节点上的水平集中力，在此荷载的作用下，框架结构上的弯矩特征如图3-2-7所示，变形如图3-2-8所示。其受力与变形具有如下特点
（1）各杆的弯矩为直线分布，且每个杆均有一个零弯矩点即反弯点；
（2）在固定端处，角位移为零,但上部各层节点均有转角存在,节点的转角随梁柱线刚度比的增大而减小；
（3）如忽略梁的轴向变形，同层内各节点具有相同的侧向位移，同层各柱具有相同的层间位移。
2.解题思路
鉴于框架结构在水平荷载作用下具有上述受力变形特点，如能求出各柱的反弯点位置及反弯点处的剪力，就可以利用静力平衡条件求出各杆件的内力。因此解题的关键是确定各柱反弯点的位置及反弯点处的剪力。
3.基本假定
由受力特点可知，框架受力后节点会产生转角和侧移，但根据分析，当梁与柱的线刚度之比大于3时，节点转角很小，对内力影响不大，故可忽略即转角 =0（图3-2-9），实际上这等于是把框架梁简化为一刚性梁。基本假定如下：
（1）在求各柱子的剪力时，假定梁与柱的线刚度比为无穷大，即各节点转角为零；（2）在确定柱的反弯点位置时，假定除底层以外的其余各柱，受力后上下两端转角相同；(图3-2-10)
（3）梁端弯矩可按梁的线刚度进行分配。
4.柱的反弯点高度
——反弯点高度，指反弯点至柱下端的距离。
对于底层以上的各层柱，根据假定（2），各柱的上下端转角相等,则柱的上下端弯矩也应相同,所以反弯点在柱中部。对于底层柱,当柱脚固定时,柱下端转角为零(图
3-2-11(a))，上端转角为，因此柱上端弯矩比下端弯矩小,其反弯点则偏离柱中点而向
上移,可取在层高处。
各柱反弯点的高度为：
底层柱
其余各柱
5.各柱反弯点处的剪力
设框架结构共有n层，每一层有m个柱
子，框架节点上作用有水平荷载、……，如图3-2-12(a)所示。
（1）第j层所受到的总剪力
将框架沿第j层各柱的反弯点处切开，代以剪力和轴力，如图3-2-12(b)所示，本
层总剪力为。
根据内外力平衡条件有
3-2-1
式中——外荷载在第j所产生的总剪力；
——第j层至第n层的水平荷载之和。
（2）第j层第k柱所承受的剪力
由外荷载所产生的第j层剪力由本层m个柱子共同承担，即
3-2-2
式中——第j层第k柱所分担的剪力。
同层中各柱所分担的剪力的大小，与各柱自身抵抗水平位移的能力有关，即与柱子的抗侧移刚度有关，由力学知识可知。
3-2-3 式中i c——柱子的线刚度；
——柱子的抗侧移刚度，它是使柱子
上下两端产生相对单位水平位移所施加的
水平力（如图3-2-13所示）。
对第j层第k柱，在作用下，柱顶产生单位侧移，在剪力作用下，将产生侧移
，与的关系可表示为
3-2-4 由基本假定（3）可知，同层各柱顶位移相同，即
所以有
3-2-5
将式3-2-5代入式3-2-2中有
由此得
3-2-6
将式3-2-6代入式3-2-5得
3-2-7 式中
——第j层第k柱的抗侧刚度；
——第j层的m个柱子的抗侧刚度之和；
——第j层及以上各层节点水平荷载之和。
由式3-2-6可知，水平荷载作用下同层
各柱的剪力是根据各自的抗侧刚度的大小来进行分配的。当同层各柱的高度相同时，
有，即此时各柱的剪力可按柱子的线刚度的大小进行分配。
6.柱端弯矩及梁端弯矩的计算
（1）柱端弯矩
根据柱的反弯点位置及反弯点处的剪力，即可求出柱端弯矩。对于底层柱，有：
3-2-8
3-2-9 对于上部各层柱，有：
3-2-10
上式中上标t、b分别表示柱的顶端与底端。
（2）梁端弯矩
求出各柱端弯矩后，利用节点弯矩平衡条件即可求得梁端弯矩。
对边柱节点（图3-2-14(a)），有：
3-2-11
式中——边节点梁端弯矩；
、——节点上、下柱端弯矩。
对于中柱节点（图3-2-14(b)），先求出梁端总弯矩：
3-2-12
弯矩（）分配到各梁上去，即：
3-2-13
3-2-14
式中：、——分别为节点左、右两侧的梁端弯矩；
、——分别为节点左、右两侧
梁的线刚度。
至此可以确定整个框架的弯矩图。
7.梁端剪力及柱子轴力
以各个梁为脱离体，将梁的左、右端弯矩之和除以梁跨长，便得梁端剪力（图3-2-15）。
将每层每跨的梁端剪力求出后，自上而下逐层叠加节点左右的梁端剪力，即可得到柱的轴向力（图3-2-16）。
水平荷载作用下的D值法
D值法又称为修正反弯点法。它是在反弯点法的基础上，进行了某些改进而形成的。
1.反弯点法的不足
（1）反弯点法假定梁与柱的线刚度比为无穷大，框架柱的抗侧刚度只与各柱的线
刚度及柱高h有关，这种假定与实际结构
有差异。当梁柱线刚度比较为接近时，柱的抗侧刚度不仅与柱的线刚度及层高有关，还与节点梁柱线刚度比有关。
（2）在反弯点法中，柱反弯点的高度取为定值，而实际上，柱反弯点的位置是随梁柱线刚度比、该柱所在楼层的位置、与柱相邻的上下层梁的线刚度以及上下层层高等因素的不同而变化的。
D值法是在综合考虑了各种影响因素
后，对上述两个参数进行了一定的修正，使得计算结果更接近了框架的实际受力状况。
2.D值法的基本假定
（1）柱AB端节点及与之相邻各杆远端
的节点转角均为；柱AB及相邻的柱的旋
转角均为（）。
（2）柱AB及与其上下相邻的柱的线刚
度均为；
（3）与柱AB相交的横梁的线刚度分别
为、、、。
根据基本假定，柱AB及相邻各杆件受力后的变形状态如图3-2-17所示。可以看出，在D值法中，横梁不再是无变形的刚性梁，即考虑了节点转角的影响。
反弯点法例题
例：用反弯点法计算图示框架，并做出弯矩图。（括号中数据为线刚度） 解： 二层层剪力：V 2=68KN 二层柱侧移刚度： 2.7121222121?== h h i d 512 1222222 ?==h h i d 二层柱剪力：KN h h h d d d V V 13.402.122.7685122.7122.712 6822222 2121 221=?=?+???=+? = KN h h h d d d V V 87.272.125685122.712512 6822222 2122 222=?=?+???=+? = 二层柱端弯矩： m KN h V M .27.8422.413.4022121=?=? =上下 m KN h V M .53.582 2.487.2722222=?=? =上下 一层层剪力：V 1=68+52=120KN
一层柱侧移刚度： 2.7121222111?== h h i d 512 1222212 ?==h h i d 一层柱剪力：KN h h h d d d V V 82.702.122.71205122.7122.712 12022212 1111 111=?=?+???=+? = KN h h h d d d V V 18.492.1251205122.712512 12022212 1112 112=?=?+???=+? = 一层柱端弯矩： m KN h V M .46.21235.4282.70321111=??=? =下 m KN h V M .23.10635.482.7031111=?=? =上m KN h V M .54.14735 .4218.49321212=??=?? =下 m KN h V M .77.733 5.418.4931212=?=? =上 M 图略
结构力学中反弯点法计算例题2
例：用反弯点法计算图1所示刚架，并画出弯矩图。括号内数字为杆件线刚度的相对值。 图1 解：顶层柱反弯点位于柱中点 22h ，底层柱的反弯点位于柱高12 3 h 处，在反弯点处将柱切开，脱离体如图2、图3所示。 F QIF 图2 顶层脱离体 F QAD F QBE F QCF G I F E D 8 17 图3 底层隔离体 （1）求各柱剪力分配系数k k i k k μ=∑ 顶层： 2 0.286223 GD IF μμ== =?+ 3 0.428223 HE μ= =?+ 底层： 3 0.3324 DA FC μμ== =?+
4 0.4324 EB μ= =?+ （2）计算各柱剪力： 0.2868kN 2.29kN QGD QIF F F ==?= 0.4288kN 3.42kN QHE F =?= 0.325kN 7.5kN QAD QCF F F ==?= 0.425kN 10kN QBE F =?= （3）计算杆端弯矩，以节点E 为例说明杆端弯矩的计算 杆端弯矩： 2 3.3 3.42kN 5.64kN m 22EH QHE h M F m =-? =-?=-?（反弯点位于22 h 处） 1 3.610kN 12kN m 3 3EB QBE h M F m =-? =-? =-?（反弯点位于柱12 3 h 处） 计算梁端弯矩时，先求出节点柱端弯矩之和为： 17.64kN m EH EB M M M =+=-? 按梁刚度分配： 12 17.647.84kN m 27ED M =?=? 15 17.649.8kN m 27 EF M =?=? 图3是刚架弯矩图。
反弯点法及D值法设计题
土木1204班 组员：卢焕然 邵明明 胡伟 卢鼎 刘杰 张辉 周敏 题目：试分别用反弯点法和D 值法计算下图1-1所示框架结构的内力（弯矩、剪 力、轴力）和水平位移。图中在各杆件旁标出了线刚度，其中2600i kN m = 。 图1-1： （1）反弯点法： 解：顶层柱反弯点位于柱中点 2 2 h ，底层柱的反弯点位于柱高123h 处，在反 弯点处将柱切开，脱离体如图2、图3所示。 图1-2顶层脱离体：
图1-3底层脱离体： （1）求各柱剪力分配系数k k i k k μ= ∑， 顶层： 2 0.286223 GD IF μμ== =?+ 3 0.428223 HE μ= =?+ 底层： 3 0.3324 DA FC μμ== =?+ 4 0.4324 EB μ= =?+ （2）计算各柱剪力： 0.2868kN 2.29kN QGD QIF F F ==?= 0.4288kN 3.42kN QHE F =?= 0.325kN 7.5kN QAD QCF F F ==?= 0.425kN 10kN QBE F =?= （3）计算杆端弯矩，以节点E 为例说明杆端弯矩的计算 杆端弯矩： 2 3.33.42kN 5.64kN m 22 EH QHE h M F m =-? =-?=-?（反弯点位于 2 2 h 处） 1 3.6 10kN 12kN m 3 3EB QBE h M F m =-? =-? =-?（反弯点位于柱123 h 处） 计算梁端弯矩时，先求出节点柱端弯矩之和为：
17.64kN m EH EB M M M =+=-? 按梁刚度分配： 12 17.647.84kN m 27ED M =?=? 1517.649.8kN m 27 EF M =?=? 图1-4是刚架弯矩图： 图1-4弯矩图（单位kN m ?）： （2）D 值法： ①求各柱的剪力值： 8 17 3.78 2.51 5.64 3.78 3.13 3.78 3.78 3.78 9 12.78 5.64 9.8 7.84 12 12.783.78 18 24 18 9
反弯点法及D值法设计题
题目：试分别用反弯点法和D 值法计算下图1-1所示框架结构的内力（弯矩、剪 力、轴力）和水平位移。图中在各杆件旁标出了线刚度，其中2600i kN m =? 。 图1-1： （1）反弯点法： 解：顶层柱反弯点位于柱中点 22h ，底层柱的反弯点位于柱高12 3 h 处，在反弯点处将柱切开，脱离体如图2、图3所示。 图1-2顶层脱离体：
图1-3底层脱离体： （1）求各柱剪力分配系数k k i k k μ= ∑， 顶层： 2 0.286223 GD IF μμ== =?+ 3 0.428223 HE μ= =?+ 底层： 3 0.3324 DA FC μμ== =?+ 4 0.4324 EB μ= =?+ （2）计算各柱剪力： 0.2868kN 2.29kN QGD QIF F F ==?= 0.4288kN 3.42kN QHE F =?= 0.325kN 7.5kN QAD QCF F F ==?= 0.425kN 10kN QBE F =?= （3）计算杆端弯矩，以节点E 为例说明杆端弯矩的计算 杆端弯矩： 2 3.33.42kN 5.64kN m 22EH QHE h M F m =-? =-?=-?（反弯点位于22 h 处） 1 3.6 10kN 12kN m 3 3EB QBE h M F m =-? =-? =-?（反弯点位于柱123 h 处） 计算梁端弯矩时，先求出节点柱端弯矩之和为： 17.64kN m EH EB M M M =+=-? 按梁刚度分配： 12 17.647.84kN m 27ED M =?=? 1517.649.8kN m 27 EF M =?=? 图1-4是刚架弯矩图：
结构力学中反弯点法计算例题
结构力学中反弯点法计算例题
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例：用反弯点法计算图1所示刚架，并画出弯矩图。括号内数字为杆件线刚度的相对值。 图1 解：顶层柱反弯点位于柱中点 22h ，底层柱的反弯点位于柱高12 3 h 处，在反弯点处将柱切开，脱离体如图2、图3所示。 F QIF F QHE F QGD G I 8 图2 顶层脱离体 F QAD F QBE F QCF G I F E D 8 17 图3 底层隔离体 （1）求各柱剪力分配系数k k i k k μ=∑ 顶层： 2 0.286223 GD IF μμ== =?+ 3 0.428223 HE μ= =?+ 底层： 3 0.3324 DA FC μμ== =?+
4 0.4324 EB μ= =?+ （2）计算各柱剪力： 0.2868kN 2.29kN QGD QIF F F ==?= 0.4288kN 3.42kN QHE F =?= 0.325kN 7.5kN QAD QCF F F ==?= 0.425kN 10kN QBE F =?= （3）计算杆端弯矩，以节点E 为例说明杆端弯矩的计算 杆端弯矩： 2 3.33.42kN 5.64kN m 22 EH QHE h M F m =-? =-?=-?（反弯点位于2 2 h 处） 1 3.6 10kN 12kN m 3 3 EB QBE h M F m =-? =-? =-?（反弯点位于柱12 3 h 处） 计算梁端弯矩时，先求出节点柱端弯矩之和为： 17.64kN m EH EB M M M =+=-? 按梁刚度分配： 12 17.647.84kN m 27ED M =?=? 15 17.649.8kN m 27 EF M =?=? 图3是刚架弯矩图。
反弯点法
水平荷载作用下的反弯点法 1.受力特点 风荷载或水平地震对框架结构的作用，一般可简化为作用于框架节点上的水平集中力，在此荷载的作用下，框架结构上的弯矩特征如图3-2-7所示，变形如图3-2-8所示。其受力与变形具有如下特点
（1）各杆的弯矩为直线分布，且每个杆均有一个零弯矩点即反弯点； （2）在固定端处，角位移为零,但上部各层节点均有转角存在,节点的转角随梁柱线刚度比的增大而减小； （3）如忽略梁的轴向变形，同层内各节点具有相同的侧向位移，同层各柱具有相同的层间位移。
2.解题思路 鉴于框架结构在水平荷载作用下具有上述受力变形特点，如能求出各柱的反弯点位置及反弯点处的剪力，就可以利用静力平衡条件求出各杆件的内力。因此解题的关键是确定各柱反弯点的位置及反弯点处的剪力。 3.基本假定 由受力特点可知，框架受力后节点会产生转角和侧移，但根据分析，当梁与柱的线刚度之比大于3时，节点转角很小，对内力影响不大，故可忽略即转角 =0（图3-2-9），实际上这等于是把框架梁简化为一刚性梁。基本假定如下： （1）在求各柱子的剪力时，假定梁与柱的线刚度比为无穷大，即各节点转角为零；（2）在确定柱的反弯点位置时，假定除底层以外的其余各柱，受力后上下两端转角相同；(图3-2-10) （3）梁端弯矩可按梁的线刚度进行分配。
4.柱的反弯点高度 ——反弯点高度，指反弯点至柱下端的距离。 对于底层以上的各层柱，根据假定（2），各柱的上下端转角相等,则柱的上下端弯矩也应相同,所以反弯点在柱中部。对于底层柱,当柱脚固定时,柱下端转角为零(图 3-2-11(a))，上端转角为，因此柱上端弯矩比下端弯矩小,其反弯点则偏离柱中点而向 上移,可取在层高处。 各柱反弯点的高度为： 底层柱 其余各柱
D值法例题详解
例题： 4、已知：框架计算简图，用 D 值法计算内力并绘制弯矩图解：1）求各柱的剪力值 2）求出各柱的反弯点高度yh 3）求各柱的柱端弯矩 第三层 M CD二 kNm M DC= kNm = kN m M GH= kNm = kNm M HG= kNm = kNm M LM= kN m = kNm M ML= kN m = kNm 第二层 BC= kNm = kNm
M FG= kNm = kNm M CB= kNm M GH= kNm M JL= kNm = kNm M ML二 kN m = kNm 第一层 M AB= kNm = kNm M EF= kNm = kNm M BA= kNm = kNm M FE= kNm = kNm M M IJ= kNm = kNm
JI= kNm = kNm 4）求各横xx 的弯矩第三层 M DH= M DC= kNm M DH= kNm = kNm M HM= kN m = kNm M MH= M ML= kN m 第二层 M CG= M CD+ M CB= kNm + kNm = kNm M GC=（+）kN m = kNm
GC= (+) kN m = kNm M LG= M LM+ M LJ= kNm + kNm = kNm 第一层 M BF= M BC+ M BA= kNm + kNm = kNm M FB= (+) kNm = kNm M FJ=( +) kN m = kNm M JF= M JL+ M JI= kNm + kNm = kNm 5) 绘各横梁与柱的弯矩图(单 kN m)位： 如下图所示 4/ 4