专题17 三次函数的图像与性质(解析版)
专题17 三次函数的图像与性质
一、例题选讲
题型一 运用三次函数的图像研究零点问题
遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的.
例1、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?-
≥，
，，若函数()2()g x f x ax =-恰
有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．
例2、(2017南京学情调研）已知函数f (x )＝?????
12x －x 3，
x ≤0，
－2x ，
x ＞0.
)当x ∈(－∞，m ]时，f (x )的取值范围为[－16，
＋∞)，则实数m 的取值范围是________．
题型二 三次函数的单调性问题
研究三次函数的单调性，往往通过导数进行研究。要特别注意含参的讨论。
例3、已知函数32
()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =．
（1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点； （2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式； （3）设0a >，求()y g x =的单调增区间．
例4、(2018无锡期末） 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．
例5、(2018苏州期末）已知函数f(x)＝?
????－x 3＋x 2，
x<0，e x
－ax ，x ≥0，
其中常数a ∈R .
(1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；
(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围；
题型三 三次函数的极值与最值问题
①利用导数刻画函数的单调性，确定函数的极值；② 通过分类讨论，结合图象，实现函数的极值与零点问题的转化.
函数、方程和不等式的综合题，常以研究函数的零点、方程的根、不等式的解集的形式出现，大多数情况下会用到等价转化、数形结合的数学思想解决问题，而这里的解法是通过严谨的等价转化，运用纯代数的手段来解决问题的，对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高，此题也可通过数形结合的思想来解决问题，可以一试.
例6、(2018苏锡常镇调研）已知函数3
2
()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，
① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；
② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；
例7、（2017?江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：33b a >；
（3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于72
-，求a 的取值范围．
例8、(2018南京学情调研）已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R . (1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；
(2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围；
(3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值．
二、达标训练
1、(2017苏州暑假测试） 已知函数f (x )＝????
?
1
x
，x ＞1，
x 3
，－1≤x ≤1，
)若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同
的实数根，则实数k 的取值范围是________．
2、(2017苏北四市期末） 已知函数f (x )＝?????
sin x ，x ＜1，
x 3
－9x 2
＋25x ＋a ，
x ≥1，
)若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个
不同的公共点，则实数a 的取值集合为________．
3、(2019南京、盐城二模）已知函数f(x)＝?????>+-≤+0
,3120
,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1，且函数y ＝f(x)－g(x)的
图像经过四个象限，则实数k 的取值范围为________．
4、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤??=?-+->??
， ，
，的图象恰好经过三个象
限，则实数a 的取值范围是 ．
5、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )． (1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间；
(2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求b
a
的值；
(3) 当a ＝0时，若f (x ) 6、(2019南京、盐城一模）若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点． 设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )． (1) 若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围； (2) 求证：对任意实数t ，函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行； (3) 当t ＝3时，函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行线共有几组． 7、(2018南通、泰州一调）已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值) (1) 求b 关于a 的函数关系式； (2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－7 3. 专题17 三次函数的图像与性质 三、例题选讲 题型一 运用三次函数的图像研究零点问题 遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的. 例1、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?- ≥， ，，若函数()2()g x f x ax =-恰 有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】3(2)2 -， 【解析】：函数()2()g x f x ax =-恰有2个不同的零点，即方程2()0f x ax -=恰有2个不相等的根，亦即 方程（Ⅰ）20x a x ax ≥?? -=?和（Ⅱ）3260 x a x x ax 首先（Ⅰ）中20x ax -=，即(2)0a x -=，若2a =，则2x ≥都是方程20x ax -=的根，不符合题意，所以2a ≠，因此（Ⅰ）中由20x ax -=解得0x =，下面分情况讨论 （1）若0x =是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足0a ≥，即0a ≤，此时方程（Ⅱ）必须再有唯一的一 个根，即30 260 x a x x ax <≤??--=?有唯一根，因为0x ≠，由3260x x ax --=，得226x a =+必须有满足 0x a <≤的唯一根，首先60a +> ，其次解得的负根需满足0a <≤，从而解得3 02 a -<≤， （2）若0x =不是方程（Ⅰ）的唯一根，则必须满足0a <，即0a >，此时方程（Ⅱ）必须有两个不相 等的根，即30 260a x a x x ax ?>? 有两个不相等的根，由3260x x ax --=，得0x a =<适合，另外226x a =+还有必须一满足,0x a a <>的非零实根，首先60a +> ，解得的正根需满足 a ≥，从而解得02a <≤，但前面已经指出2a ≠，故02a <<， 综合（1）、（2），得实数a 的取值范围为3 (,2)2 -. 例2、(2017南京学情调研）已知函数f (x )＝????? 12x －x 3， x ≤0， －2x ， x ＞0. )当x ∈(－∞，m ]时，f (x )的取值范围为[－16， ＋∞)，则实数m 的取值范围是________． 【答案】 [－2,8] 【解析】思路分析 由于f (x )的解析式是已知的，因此，可以首先研究出函数f (x )在R 上的单调性及相关的性质，然后根据f (x )的取值范围为[－16，＋∞)，求出它的值等于－16时的x 的值，借助于函数f (x )的图像来对m 的取值范围进行确定． 当x ≤0时，f (x )＝12x －x 3，所以f ′(x )＝12－3x 2.令f ′(x )＝0，则x ＝－2(正值舍去)，所以当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减；当x ∈(－2,0]时，f ′(x )＞0，此时f (x )单调递增，故函数f (x )在x ≤0时的极小值为f (－2)＝－16.当x ＞0时，f (x )＝－2x 单调递减，f (0)＝0，f (8)＝－16，因此，根据f (x )的图像可得m ∈[－2,8]． 解后反思 根据函数的解析式来得到函数的相关性质，然后由此画出函数的图像，借助于函数的图像可以有效地进行解题，这就是数形结合的魅力． 题型二 三次函数的单调性问题 研究三次函数的单调性，往往通过导数进行研究。要特别注意含参的讨论。 例3、已知函数32 ()3f x x x ax =-+()a ∈R ，()|()|g x f x =． （1）求以(2,(2))P f 为切点的切线方程，并证明此切线恒过一个定点； （2）若()g x kx ≤对一切[0,2]x ∈恒成立，求k 的最小值()h a 的表达式； （3）设0a >，求()y g x =的单调增区间． 解析 （1）2()36f x x x a '=-+，(2)f a '=，过点P 的切线方程为()224y a x a =-+-，即4y ax =-，它恒过点（0，- 4）； （2）()g x kx ≤即32|3|x x ax kx -+≤． 当0x =时，上式恒成立； 当(0,2]x ∈时，即2|3|x x a k -+≤对一切(0,2]x ∈恒成立，设2max ()|3|,[0,2]h a x x a x ∈=-+， ①当9 4 a ≥时，2max |3|x x a -+在0x =时取得，∴()h a a =； ②当94a <时，2 max 9 9(),984|3|max{,}994()48a a x x a a a a a ?< 由①②，得9(),8 ()99()4 8a a g a a a ? >??=??-??≤； （3）32()3f x x x ax =-+，22()363(1)3f x x x a x a '=-+=-+-， 令()0f x =，得0x =或230x x a -+=， 当9 4 a < 时，由230x x a -+=，解得132x =232x = 令()0f x '=，得23(1)30x a -+-=， 当3a <时，由23(1)30x a -+-=，解得31x =-41x =+ 1）当3a ≥时，()y g x =的单调增区间为(0,)+∞； 2）当9 34 a <≤时，()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和4(,)x +∞； 3）当9 04 a << 时，()y g x =的单调增区间为3(0,)x 和14(,)x x 和2(,)x +∞． 例4、(2018无锡期末） 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (－∞，－1]∪??? ?7 2，＋∞ 思路分析 由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解． 函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|. 令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a ，则 g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)． 令g′(x)＝0得x 1＝－1，x 2＝ 2a －1 3 . ①当2a －13 <－1，即a<－1时， 令g′(x)>0，即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0，解得x<2a －13或x>－1；令g′(x)<0，解得2a －1 3 所以g(x)的单调增区间是????－∞，2a －13，(－1，＋∞)，单调减区间是??? ?2a －1 3，－1. 又因为g(a)＝g(－1)＝0，所以f(x)的单调增区间是? ??? a ，2a －13，(－1，＋∞)，单调减区间是(－∞，a)， ??? ?2a －13，－1，满足条件，故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1) ②当2a －13＝－1，即a ＝－1时，f(x)＝|(x ＋1)3|，函数f(x)图像如图2，则f(x)的单调增区间是(－1，＋∞)， 单调减区间是(－∞，－1)，满足条件，故a ＝－1. ,图2) ③当2a －13 >－1，即a>－1时， 令g′(x)>0，即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0，解得x<－1或x>2a －13；令g′(x)<0，解得－1 3. 所以g(x)的单调增区间是(－∞，－1)，?? ??2a －13，＋∞，单调减区间是? ??? －1， 2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0，所以f(x)的单调增区间是? ??? －1，2a －13，(a ，＋∞)，单调减区间是(－∞，－1)， ??? ?2a －13，a ，要使f(x)在[－1，2]上单调递增，必须满足2≤2a －13，即a ≥72，又因为a>－1，故a ≥72(此种情况函数f(x)图像如图3)． 综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪??? ?7 2，＋∞. ,图3) 例5、(2018苏州期末）已知函数f(x)＝? ????－x 3＋x 2， x<0，e x －ax ，x ≥0， 其中常数a ∈R . (1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间； (2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x －3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； 规范解答 (1) 当a ＝2时，f(x)＝?????－x 3＋x 2， x<0，e x －2x ， x ≥0. ①当x<0时，f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立，所以f(x)在(－∞，0)上递减；(2分) ②当x ≥0时，f ′(x)＝e x －2，可得f(x)在[0，ln 2]上递减，在[ln 2，＋∞)上递增．(4分) 因为f(0)＝1>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，0)和[0，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞)．(5分) (2) 当x>0时，f(x)＝e x －ax ，此时－x<0，f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2. 所以可化为a ＝x 2＋x ＋3 x 在区间(0，＋∞)上有实数解．(6分) 记g(x)＝x 2 ＋x ＋3x ，x ∈(0，＋∞)，则g′(x)＝2x ＋1－3x 2＝（x －1）（2x 2＋3x ＋3） x 2 .(7分) 可得g(x)在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，且g(1)＝5，当x →＋∞时，g(x)→＋∞.(9分) 所以g(x)的值域是[5，＋∞)，即实数a 的取值范围是[5，＋∞)．(10分) 题型三 三次函数的极值与最值问题 ①利用导数刻画函数的单调性，确定函数的极值；② 通过分类讨论，结合图象，实现函数的极值与零点问题的转化. 函数、方程和不等式的综合题，常以研究函数的零点、方程的根、不等式的解集的形式出现，大多数情况下会用到等价转化、数形结合的数学思想解决问题，而这里的解法是通过严谨的等价转化，运用纯代数的手段来解决问题的，对抽象思维和逻辑推理的能力要求较高，此题也可通过数形结合的思想来解决问题，可以一试. 例6、(2018苏锡常镇调研）已知函数3 2 ()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=， ① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）； ② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由； 规范解答 （1）①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ， 得22()32f x x ax a '=+-， 令()0f x '=，解得3 a x = 或a x -=. 由0>a 知，(,)()0x a f x '∈-∞->，，)(x f 单调递增， (,)()03a x a f x '∈-<，，)(x f 单调递减，(,)()03a x f x '∈+∞>，，)(x f 单调递增， 因此，)(x f 的极大值为3 ()1f a a -=+，)(x f 的极小值为3 5()1327 a a f =-. ② 当0a =时，0b =，此时3()1f x x =+不存在三个相异零点； 当0a <时，与①同理可得)(x f 的极小值为3 ()1f a a -=+，)(x f 的极大值为3 5()1327 a a f =-. 要使)(x f 有三个不同零点，则必须有33 5(1)(1)027 a a +- <， 即3327 15 a a <-> 或. 不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<， 则123()()()0f x f x f x ===， 3 221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③ ②-①得2 22212 121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以2 222 12121()0x x x x a x x a ++++-=， ④ 同理22 23 32232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤ ⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=， 因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， 又1322x x x +=，所以23 a x =- . 所以()03 a f -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-， 因此，存在这样实数 a =满足条件. 例7、（2017?江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b =+++>∈R 有极值，且导函数'()f x 的极值点是()f x 的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：33b a >； （3）若(),'()f x f x 这两个函数的所有极值之和不小于7 2 -，求a 的取值范围． 解析（1）2'()32f x x ax b =++有零点，24120a b ?=->，即23a b >，又''()620f x x a =+=，解 得3a x =-，根据题意，()03a f -=，即32 10333a a a a b ?????? -+-+-+= ? ? ???????，化简得2239b a a =+，又 2 03a a b >??>?，所以3a >，即223 (3)9b a a a =+>； （2）设243322 4591 ()3(427)(27)81381g a b a a a a a a a =-= -+=--，而3a >，故()0g a >，即23b a >； （3）设12,x x 为()f x 的两个极值点，令'()0f x =得12122,33 b a x x x x =+=- ， 法一：332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++ 22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++ 332424223 2()202732739a ab a a a a = -+=-++=． 记()f x ,()f x '所有极值之和为()S a ，12()()0f x f x +=，2 '()33 a a f b -=-， 则221237 ()()()'()3392 a a a S a f x f x f b a =++-=-=--≥， 而23()()3a S a a =-在(3,)a ∈+∞上单调递减且7 (6)2 S =-，故36a <≤． 法二：下面证明()f x 的图像关于(,())33a a f --中心对称， 2332 32()1()()()1333327 a a a a b a f x x ax bx x b x =+++=++-++-+ 23()()()()3333a a a a x b x f =++-++-， 所以()()2()0333 a a a f x f x f --+-+=-=，所以12()()0f x f x +=，下同法一． 例8、(2018南京学情调研）已知函数f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，a ∈R . (1) 曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值； (2) 若对于任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； (3) 若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )，m (a )，记h (a )＝M (a )－m (a )，求h (a )的最小值． 思路分析 第(3)问，欲求函数f(x)在区间[1，2]上的最值M(a)，m(a)，可从函数f(x)在区间[1，2]上的单调性入手，由于f′(x)＝6(x －1)(x －a)，且a ＞1，故只需分为两大类：a ≥2，1＜a ＜2.当1＜a ＜2时，函数f(x)在区间[1，2]上先减后增，进而比较f(1)和f(2)的大小确定函数最大值，由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝5 3. 规范解答 (1) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f(x)在x ＝0处的切线的斜率k ＝f′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝1 2 .(2分) (2) f(x)＋f(－x)＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln x x 2.(4分) 令g(x)＝2ln x x 2，x ＞0，则g′(x)＝2（1－2ln x ）x 3. 令g′(x)＝0，解得x ＝e . 当x ∈(0，e )时，g ′(x)＞0，所以g(x)在(0，e )上单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x)＜0，所以g(x)在(e ，＋∞)上单调递减． 所以g(x)max ＝g(e )＝1 e ，(6分) 所以－(a ＋1)≥1e ，即a ≤－1－1 e ， 所以a 的取值范围为? ???－∞，－1－1 e .(8分) (3) 因为f(x)＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f′(x)＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a)，令f′(x)＝0，则x ＝1或x ＝a.(10分) f(1)＝3a －1，f(2)＝4.由f(1)＝f(2)得到分类的节点a ＝5 3. ①当1＜a ≤5 3 时， 当x ∈(1，a)时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f ′(x)＞0，所以f(x)在(a ，2)上单调递增． 又因为f(1)≤f(2)，所以M(a)＝f(2)＝4，m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4. 因为h′(a)＝3a 2－6a ＝3a(a －2)＜0，所以h(a)在????1，5 3上单调递减， 所以当a ∈????1，53时，h(a)的最小值为h ????53＝8 27.(12分) ②当5 3 ＜a ＜2时， 当x ∈(1，a)时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(1，a)上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f ′(x)＞0，所以f(x)在(a ，2)上单调递增． 又因为f(1)＞f(2)，所以M(a)＝f(1)＝3a －1，m(a)＝f(a)＝－a 3＋3a 2，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1. 因为h′(a)＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2>0.所以h(a)在???? 53，2上单调递增， 所以当a ∈????53，2时，h(a)＞h ????53＝8 27.(14分) ③当a ≥2时， 当x ∈(1，2)时，f ′(x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)＝f(1)＝3a －1，m(a)＝f(2)＝4， 所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a －1－4＝3a －5， 所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1. 综上，h(a)的最小值为8 27.(16分) 四、达标训练 1、(2017苏州暑假测试） 已知函数f (x )＝???? ? 1 x ，x ＞1， x 3 ，－1≤x ≤1， )若关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同 的实数根，则实数k 的取值范围是________． 【答案】 ??? ?0，12 【解析】思路分析 方程f (x )＝k (x ＋1)的实数根的个数可以理解为函数y ＝f (x )与函数y ＝k (x ＋1)交点的个数，因此，在同一个坐标系中作出它们的图像，由图像来观察它们的交点的个数． 在同一个直角坐标系中，分别作出函数y ＝f (x )及y ＝k (x ＋1)的图像，则函数f (x )max ＝f (1)＝1，设A (1,1)，B (－1,0)，函数y ＝k (x ＋1)过点B ，则由图可知要使关于x 的方程f (x )＝k (x ＋1)有两个不同的实数根，则0＜k ＜k AB ＝1 2 . 2、(2017苏北四市期末） 已知函数f (x )＝????? sin x ，x ＜1， x 3 －9x 2 ＋25x ＋a ， x ≥1， )若函数f (x )的图像与直线y ＝x 有三个 不同的公共点，则实数a 的取值集合为________． 【答案】 {－20，－16} 【解析】当x ＜1时，f(x)＝sin x ，联立? ???? y ＝sin x ， y ＝x ，得x －sin x ＝0，令u(x)＝x －sin x(x ＜1)，则u ′(x)＝1 －cos x ≥0，所以函数u(x)＝x －sin x(x ＜1)为单调增函数，且u(0)＝0，所以u(x)＝x －sin x(x ＜1)只有唯一的解x ＝0，这表明当x ＜1时，函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有1个公共点．因为函数f(x)的图像与直线y ＝x 有3个不同的公共点，从而当x ≥1时，函数f(x)的图像与直线y ＝x 只有2个公共点．当x ≥1时，f(x)＝ x 3－9x 2＋25x ＋a ，联立? ???? y ＝x 3－9x 2＋25x ＋a ， y ＝x ，得a ＝－x 3＋9x 2－24x ，令h(x)＝－x 3＋9x 2－24x(x ≥1)，则 h ′(x)＝－3x 2＋18x －24＝－3(x －2)(x －4)． 令h ′(x)＝0得x ＝2或x ＝4，列表如下： 数a ＝－20或a ＝－16.综上所述，实数a 的取值集合为{－20，－16}． 3、(2019南京、盐城二模）已知函数f(x)＝?????>+-≤+0 ,3120 ,33x x x x x 设g(x)＝kx ＋1，且函数y ＝f(x)－g(x)的 图像经过四个象限，则实数k 的取值范围为________． 【答案】 ? ???－9，1 3 【解析】解法1 y ＝? ?? ??|x ＋3|－（kx ＋1）， x ≤0，x 3－（k ＋12）x ＋2， x>0，若其图像经过四个象限． ①当x>0时，y ＝x 3－(k ＋12)x ＋2，当x ＝0时，y ＝2>0，故它要经过第一象限和第四象限，则存在x>0，使y ＝x 3－(k ＋12)x ＋2<0，则k ＋12>x 2＋2x ，即k ＋12>????x 2＋2x min .令h(x)＝x 2＋2x (x>0)，h ′(x)＝2x －2 x 2＝2（x 3－1） x 2，当x>1时，h ′(x)>0，h(x)在(1，＋∞)上递增；当0 ②当x ≤0时，y ＝|x ＋3|－(kx ＋1)，当x ＝0时，y ＝2>0，故它要经过第二象限和第三象限，则存在x<0，使y ＝|x ＋3|－(kx ＋1)<0，则k< |x ＋3|－1x ，即k ? |x ＋3|－1x max . 令φ(x)＝ |x ＋3|－1 x ＝?????－1－4x ，x ≤－3，1＋2x ， －3 易知φ(x)在(－∞，－3]上单调递增，在(－3，0)上单调递减，当x ＝－3时取得极大值，也是最大值，φ(x)max ＝φ(－3)＝13，故k<13. 综上，由①②得实数k 的取值范围为? ???－9，13. 解法2 可根据函数解析式画出函数图像，当x>0时，f(x)＝x 3－12x ＋3，f ′(x)＝3x 2－12＝3(x ＋2)(x －2)，可知f(x)在区间(0，2)上单调递减，在区间(2，＋∞)上单调递增，且 f(2)＝－13<0，当x ≤0时，f(x)＝|x ＋3|. g(x)＝kx ＋1恒过(0，1)，若要使y ＝f(x)－g(x)经过四个象限，由图可知只需f(x)与g(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别有交点即可(交点不可为(－3，0)和切点)． ①当k>0时，在(0，＋∞)必有交点，在(－∞，0)区间内，需满足 0 3 . ②当k<0时，在(－∞，0)必有交点，在(0，＋∞)内，只需求过定点(0，1)与函数f(x)＝x 3－12x ＋3(x>0)图像的切线即可，设切点为(x 0，x 30－12x 0＋3)，由k ＝3x 20－12＝x 30－12x 0＋3－1x 0 ，解得 x 0＝1，切线斜率k ＝－9，所以k ∈(－9，0)． ③当k ＝0也符合题意． 综上可知实数k 的取值范围为? ???－9，1 3. 4、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知函数310() 2 0ax x f x x ax x x -≤??=?-+->?? ， ， ，的图象恰好经过三个象 限，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答案】a ＜0或a ＞2 10y ax x =-，≤的图象经过两个象限，3|2|0y x ax x =-+->在 a ＜0时显然满足题意； 10y ax x =-，≤的图象仅经过第三象限， |2|0x x ->，的图象需经过第一、二象限． 3|2|y x x =+-与y ax =在y 轴右侧的图象有公 共点（且不相切）． l 0 O x y P 如图，3|2|y x x =+-= 332,02 2,2 x x x x x x ， 设切点坐标为3 00 0(,2)x x x ，2 31y x ，则有32 000 231 x x x x ， 解得01x ,所以临界直线0l 的斜率为2，所以a ＞2时，符合．综上，a ＜0或a ＞2． 【解法2】（函数最值法）由三次函数的性质知，函数图象过第一象限，则存()g x 在0x ，使得 3 |2|0,y x ax x 即 2 |2| x a x x 设函数22 2 2 1,02 |2| ()2 1,2x x x x g x x x x x x ， 当02x ，32 2222()2x g x x x x ()g x 在(0,1)单调递减，在（1，2）单调递增，又2x 时，函数为增函数，所以函数的最小值为2，所 以a ＞2，则实数a 的取值范围为a ＜0或a ＞2． 5、(2019苏州期末）已知函数f(x)＝ax 3＋bx 2－4a(a ，b ∈R )． (1) 当a ＝b ＝1时，求f (x )的单调增区间； (2) 当a ≠0时，若函数f (x )恰有两个不同的零点，求b a 的值； (3) 当a ＝0时，若f (x ) x 2－x 恰有两个不同的实数解． 另外，由g(x)＝x 3＋kx 2－4恰有两个不同的零点，可设g(x)＝(x －s)(x －t)2.展开，得x 3－(s ＋2t)x 2＋(2st ＋t 2)x －st 2＝x 3＋kx 2－4，所以?????－（s ＋2t ）＝k ，2st ＋t 2＝0，－st 2＝－4，解得???? ?s ＝1，t ＝－2，k ＝3. 解：(1)当a ＝b ＝1时，f(x)＝x 3＋x 2－4，f ′(x)＝3x 2＋2x.(2分) 令f′(x)>0，解得x>0或x<－2 3 ， 所以f(x)的单调增区间是? ???－∞，－2 3和(0，＋∞)．(4分) (2)法一：f′(x)＝3ax 2＋2bx ，令f′(x)＝0，得x ＝0或x ＝－2b 3a ，(6分) 因为函数f(x)有两个不同的零点，所以f(0)＝0或f ????－2b 3a ＝0. 当f(0)＝0时，得a ＝0，不合题意，舍去；(8分) 当f ????－2b 3a ＝0时，代入得a ????－2b 3a ＋b ????－2b 3a 2 －4a ＝0， 即－827????b a 3＋49????b a 3－4＝0，所以b a ＝3.(10分) 法二：由于a ≠0，所以f(0)≠0， 由f(x)＝0得，b a ＝4－x 3x 2＝4 x 2－x(x ≠0)．(6分) 设h(x)＝4x 2－x ，h ′(x)＝－8 x 3－1，令h′(x)＝0，得x ＝－2， 当x ∈(－∞，－2)时，h ′(x)<0，h(x)递减；当x ∈(－2，0)时，h ′(x)>0，h(x)递增， 当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x)>0，h(x)单调递增， 当x>0时，h(x)的值域为R ， 故不论b a 取何值，方程b a ＝4－x 3x 2＝4 x 2－x 恰有一个根－2， 此时函数f (x )＝a (x ＋2)2(x －1)恰有两个零点－2和1.(10分) (3)当a ＝0时，因为f (x ) g (x )＝ln x －bx 2，则 g ′(x )＝1 x －2bx ＝1－2bx 2x (x >0)， 当b ≤0时，因为g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上递增，且g (1)＝－b ≥0， 所以在(1，＋∞)上，g (x )＝ln x －bx 2≥0，不合题意；(11分) 当b >0时，令g ′(x )＝1－2bx 2 x ＝0，得x ＝ 12b ， 所以g (x )在? ??? 0， 12b 递增，在??? ?12b ，＋∞递减， 所以g (x )max ＝g ? ? ? ?12b ＝ln 12b －12 ， 要使g (x )>0有解，首先要满足ln 12b －12>0，解得b <1 2e . ①(13分) 又因为g (1)＝－b <0，g (e 12)＝1 2 －b e>0， 要使f (x ) ??? ?g （2）>0，g （3）≤0， 即?????ln2－4b >0，ln3－9b ≤0，解得ln39≤b 设h (x )＝ln x x ，则h ′(x )＝1－ln x x 2， 当x ∈(0，e)时，h ′(x )>0，h (x )递增；当x ∈(e ，＋∞)时，h ′(x )<0，h (x )递减． 所以h (x )max ＝h (e)＝1e >h (2)＝ln22，所以12e >ln2 4， 所以由①和②得，ln39≤b ＜ln2 4.(16分) (注：用数形结合方法做只给2分) 6、(2019南京、盐城一模）若函数y ＝f(x)在x ＝x 0处取得极大值或极小值，则称x 0为函数y ＝f(x)的极值点． 设函数f(x)＝x 3－tx 2＋1(t ∈R )． (1) 若函数f (x )在(0，1)上无极值点，求t 的取值范围； (2) 求证：对任意实数t ，函数f (x )的图像总存在两条切线相互平行； (3) 当t ＝3时，函数f (x )的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行线共有几组． 规范解答 (1)由函数f(x)＝x 3－tx 2＋1，得f′(x)＝3x 2－2tx.由f ′(x)＝0，得x ＝0，或x ＝2 3t. 因为函数f(x)在(0，1)上无极值点，所以23t ≤0或23t ≥1，解得t ≤0或t ≥3 2.(4分) (2)令f′(x)＝3x 2－2tx ＝p ，即3x 2－2tx －p ＝0，Δ＝4t 2＋12p. 当p ＞－t 2 3 时，Δ＞0，此时3x 2－2tx －p ＝0存在不同的两个解x 1，x 2.(8分) 设这两条切线方程为分别为y ＝(3x 21－2tx 1)x －2x 31＋tx 21＋1和y ＝(3x 22－2tx 2)x －2x 32＋tx 2 2＋1. 若两切线重合，则－2x 31＋tx 21＋1＝－2x 32＋tx 22＋1， 即2(x 21＋x 1x 2＋x 22)＝t(x 1＋x 2)，即2＝t(x 1＋x 2 )． 而x 1＋x 2＝2t 3，化简得x 1·x 2＝t 29，此时(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2 －4x 1x 2＝4t 29－4t 2 9＝0， 与x 1≠x 2矛盾，所以，这两条切线不重合． 综上，对任意实数t ，函数f(x)的图像总存在两条切线相互平行．(10分) (3)当t ＝3时f(x)＝x 3－3x 2＋1，f ′(x)＝3x 2－6x. 由(2)知x 1＋x 2＝2时，两切线平行． 设A(x 1，x 31－3x 21＋1)，B(x 2，x 32－3x 2 2＋1)， 不妨设x 1＞x 2，则x 1＞1. 过点A 的切线方程为y ＝(3x 21－6x 1)x －2x 31＋3x 21＋1.(11分) 所以，两条平行线间的距离 d ＝|2x 32－2x 31－3（x 22－x 21）| 1＋9（x 21－2x 1 ）2 ＝|（x 2－x 1）|1＋9（x 21－2x 1 ）2 ＝4， 化简得(x 1－1)6＝1＋92，(13分) 令(x 1－1)2＝λ(λ＞0)，则λ3－1＝9(λ－1)2， 即(λ－1)( λ2＋λ＋1)＝9(λ－1)2，即(λ－1)( λ2－8λ＋10)＝0. 显然λ＝1为一解，λ2－8λ＋10＝0有两个异于1的正根，所以这样的λ有3解． 因为x 1－1＞0，所以x 1有3解， 所以满足此条件的平行切线共有3组．(16分) 7、(2018南通、泰州一调）已知函数g(x)＝x 3＋ax 2＋bx(a ，b ∈R )有极值，且函数f (x )＝(x ＋a )e x 的极值点是g (x )的极值点，其中e 是自然对数的底数．(极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值) (1) 求b 关于a 的函数关系式； (2) 当a >0时，若函数F (x )＝f (x )－g (x )的最小值为M (a )，证明：M (a )<－73 . 思路分析 (1) 易求得f(x)的极值点为－a －1，则g′(－a －1)＝0且g′(x)＝0有两个不等的实数解，解之得b 与a 的关系． (2) 求导得F′(x)＝(x ＋a ＋1)(e x －3x ＋a ＋3)，解方程F′(x)＝0时，无法解方程e x －3x ＋a ＋3＝0，构造函数h(x)＝e x －3x ＋a ＋3，证得h(x)>0，所以－a －1为极小值点，而且得出M(a)，利用导数法证明即可． 规范解答 (1) 因为f′(x)＝e x ＋(x ＋a)e x ＝(x ＋a ＋1)e x ，令f′(x)＝0，解得x ＝－a －1. 列表如下： 所以x ＝－a －1时，f(x)取得极小值．(2分) 因为g′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ， 由题意可知g′(－a －1)＝0，且Δ＝4a 2－12b>0， 所以3(－a －1)2＋2a(－a －1)＋b ＝0， 专题17 三次函数的图像与性质 一、例题选讲 题型一 运用三次函数的图像研究零点问题 遇到函数零点个数问题，通常转化为两个函数图象交点问题，进而借助数形结合思想解决问题；也可转化为方程解的个数问题，通过具体的解方程达到解决问题的目的.前者由于是通过图形解决问题，故对绘制的函数图象准确度和细节处要求较高，后者对问题转化的等价性和逻辑推理的严谨性要求较高.下面的解法是从解方程的角度考虑的. 例1、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?-，求()y g x =的单调增区间． 例4、(2018无锡期末） 若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 一次函数图象和性质 【知识梳理】 1．正比例函数的一般形式是y=kx(k≠0)，一次函数的一般形式是y=kx+b(k≠0). 2. 一次函数y kx b =+的图象是经过（k b -，0）和（0，b ）两点的一条直线. 3. 一次函数y kx b =+的图象与性质 【思想方法】数形结合 【例题精讲】 例1. 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点. （1）求这个一次函数的解析式； （2）试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上； （3）求此函数与x 轴、y 轴围成的三角形的面积. 例2. 已知一次函数y=(3a+2)x －(4－b),求字母a 、b 为何值时： （1）y 随x 的增大而增大； （2）图象不经过第一象限； （3）图象经过原点； （4）图象平行于直线y=－4x+3； （5）图象与y 轴交点在x 轴下方. 例3. 如图，直线l 1 、l 2相交于点A ，l 1与x 轴的交点坐标为（－1，0），l 2与y 轴的交点坐标为（0，－2），结合图象解答下列问题： （1）求出直线l 2表示的一次函数表达式； （2）当x 为何值时，l 1 、l 2表示的两个一次函数的函数值都大于0？ k 、b 的符号 k ＞0，b ＞0 k ＞0，b ＜0 k ＜0，b ＞0 k ＜0，b ＜0 图像的大致位 置 经过象限 第 象限 第 象限 第 象限 第 象限 性质 y 随x 的增大 而 y 随x 的增大而而 y 随x 的增大 而 y 随x 的增大 而 x y O 3 2y x a =+ 1y kx b =+ y x O B A 【当堂检测】 1.直线y ＝2x ＋8与x 轴和y 轴的交点的坐标分别是_______、_______； 2.一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则下列 结论：①0k <；②0a >；③当3x <时，12y y <中， 正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3.一次函数(1)5y m x =++，y 值随x 增大而减小，则m 的取值范围是（ ） A ．1m >- B ． 1m <- C ．1m =- D ．1m < 4.一次函数23y x =-的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．已知函数y kx b =+的图象如图，则2y kx b =+的图象可能是（ ） 6.已知整数x 满足-5≤x≤5，y 1=x+1，y 2=-2x+4对任意一个x ，m 都取y 1，y 2中的较小值，则m 的最大值是（ ） A.1 B.2 C.24 D.-9 7.如图，点A 的坐标为(－1，0)，点B 在直线y =x 上运动，当线段AB 最短时，点B 的坐标为 ( ) A.（0，0） B.（ 22，2 2-） C.（－21，－2 1 ） D.（－22，－22） 8．一次函数y =2x －2的图象不经过．．． 的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是正比例函数y = -x 图象上两点，则下列判断正确的是 （ ） A ．y 1>y 2 B ．y 1 一次函数概念、图像及性质 【教学目标】 1. 了解认识一次函数定义、图像，并能根据函数解析式画出图像 2. 理解一次函数的截距概念，会根据直线的表达式指出它在y 轴上的截距 3. 理解、掌握一次函数性质，熟悉图像所经过的象限及y 随x 变化而变化的情况 4. 能运用一次函数的图像及性质解综合型问题 【教学重难点】 1. 根据一次函数的图像确定解析式 2. 掌握一次函数性质，并能灵活运用于解题 3. 能结合一次函数知识点灵活求解综合型问题 【教学内容】 ★ 知识梳理 一、概念 定义：解析式形如)0( ≠+=k b kx y 的函数叫做一次函数 二、图像 一次函数的图象满足：（1）形状是一条直线；（2）始终经过（0 , b ）和（k b - , 0）两点 三、截距 定义：直线)0( ≠+=k b kx y 与y 轴的交点坐标是) , 0 (b ，截距是b 四、性质 1. 一次函数)0( ≠+=k b kx y ，当0>k 时，函数值y 随自变量x 的值增大而增大；当0 一、概念 例1. 下列关于x 的函数中，是一次函数的是（ ） （A ）1)1(32+-=x y （B ）x x y 1+ = （C ）x y 3-= （D ）x y 5-= 例2. 下列各式中，y 与x 成正比例关系的是 ；成一次函数关系的是 （1）x y 43= （2）x y 2 2-= （3）x y 29-= （4）x y 4= （5）52=+xy （6）765=+y x 例3. 下列说法中，不正确的是（ ） （A ）一次函数不一定是正比例函数 （B ）不是一次函数就一定不是正比例函数 （C ）正比例函数是特殊的一次函数 （D ）不是正比例函数不一定不是一次函数 例4. 下列说法不正确的是（ ） （A ）在32--=x y 中，y 是x 的正比例函数 （B ）在x y 21-=中，y 与x 成正比例 （C ）在1=xy 中，y 与x 1成正比例 （D ）在圆的面积公式2r S π=中，S 与2r 成正比例 例5. 已知b kx y +=，当3-=x 时，0=y ；当1=x 时，4=y ，求k 、b 的值 三次函数与四次函数 大连市红旗高中王金泽 wjz9589＠https://www.wendangku.net/doc/9f6228853.html, 在初中，已经初步学习了二次函数，到了高中又系统的学习和深化了二次函数，三次函数是继二次函数后接触的新的多项式函数类型，它是二次函数的发展，和二次函数类似也有“与x轴交点个数”等类似问题。三次函数是目前高考尤其是文科高考的热点，不仅仅如此，通过深化对三次函数的学习，可以解决四次函数问题。2008年高考有多个省份出现了四次函数高考题，本文的目的就是，对三次函数做个重点的归纳，并且阐述在四次函数中的应用 第一部分：三次函数的图象特征、以及与x轴的交点个数（根的个数）、极值情况 三次函数图象说明 a对图象 的影响 可以根据极限的思想去分析 当a＞0时，在x→+∞右向上 伸展，x→-∞左向下伸展。 当a＜0时，在x→+∞右向下 伸展，x→-∞左向上伸展。 (可以联系二次函数a对开口的影 响去联想三次函数右侧伸展情况) 与x轴有三 个交点 若0 3 2> -ac b,且 ) ( ) ( 2 1 < ?x f x f，既两个极 值异号；图象与x轴有三个交点 与x轴有二 个交点 若0 3 2> -ac b,且 ) ( ) ( 2 1 = ?x f x f，既有一 个极值为0，图象与x轴有两个 交点 与x轴有一 个交点 1。存在极值时即0 3 2> -ac b, 且0 ) ( ) ( 2 1 > ?x f x f，既两个 极值同号，图象与x轴有一个交点。 2。不存在极值，函数是单调函数 时图象也与x轴有一个交点。 1.()0f x =根的个数 三次函数d cx bx ax x f +++=23)( 导函数为二次函数:)0(23)(2/≠++=a c bx ax x f ， 二次函数的判别式化简为：△=)3(412422ac b ac b -=-， (1) 若032 ≤-ac b ，则0)(=x f 恰有一个实根； (2) 若032>-ac b ,且0)()(21>?x f x f ，则0)(=x f 恰有一个实根； (3) 若032>-ac b ,且0)()(21=?x f x f ，则0)(=x f 有两个不相等的实根； (4) 若032>-ac b ,且0)()(21-ac b ，且0)()(21>?x f x f ）. (3)0)(=x f 有两个相异实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有两个公共点且其中之一为切点，所以 032>-ac b ，且0)()(21=?x f x f . (4)0)(=x f 有三个不相等的实根的充要条件是曲线)(x f y =与X 轴有三个公共点，即)(x f 有一个极大值，一个极小值，且两极值异号.所以032 >-ac b 且0)()(21++=a c bx ax x f ， 二次函数的判别式化简为：△=)3(412422ac b ac b -=-， (1) 若032 ≤-ac b ，则)(x f 在),(+∞-∞上为增函数； (2) 若032>-ac b ，则)(x f 在),(1x -∞和),(2+∞x 上为增函数，)(x f 在),(21x x 上为减函数，其中 a ac b b x a a c b b x 33,332221-+-= ---=. 证明：c bx ax x f ++=23)('2, △=)3(41242 2ac b ac b -=-， (1) 当0≤? 即032 ≤-ac b 时，0)('≥x f 在 R 上恒成立， 即)(x f 在),(+∞-∞为增函数. 三次函数性质的探索 我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在 最大值与最小值，在某一闭区间取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？ 利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置． 其中运用的较多的一次函数不等式性质是： 在上恒成立的充要条件 接着，我们同样学习了二次函数， 利用已学知识归纳得出：当时(如图1) ，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增， 对称轴 上取得最小值； 当时(图2) ，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减， 对称轴 上取得最大值． 在某一区间取得最大值与最小值． 其中决定函数的开口方向，同时决定对称轴，决定函数与轴相交的位置． 总结：一次函数只有一个单调性，二次函数有两个单调性，那么三次函数是否就有三个单调性呢？ 三次函数专题 一、定义 定义1 形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。 定义 2 三次函数的导数 ，把叫做三次函数导函数的判 别式。 由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。 系列探究1： 从最简单的三次函数开始 反思1 ：三次函数的相关性质呢？ 反思2 ：三次函数的相关性质呢？ x y O 反思3 ：三次函数的相关性质呢？ 例题 1.（2012天津理4） 函数在区间内的零点个数是( ) （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 探究一般三次函数的性质： 先求导 1、单调性： （1 ）若，此时函数() f x在R上是增函数； （2 ）若 ，令两根为 12 ,x x 且， 则 在 上单调递增，在上单调递减。 导函数 图 象 极值点 个数 2 0 2 0 2、零点 (1) 若0 3 2≤ -ac b，则恰有一个实根； (2) 若,且，则恰有一个实根； (3) 若,且，则有两个不相等的实根； (4) 若,且，则有三个不相等的实根. 说明: (1)(2) 有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在上为单调函数或两极值 同号. x x1x 2 x0x x1x2 x x0 x 一次函数的图象和性质 一、知识要点： 1、一次函数：形如y=kx+b (k≠0, k, b为常数)的函数。 注意：（1）k≠0,否则自变量x的最高次项的系数不为1； （2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。 2、图象：一次函数的图象是一条直线， （1）两个常有的特殊点：与y轴交于（0，b）；与x轴交于（-，0） （2）由图象可以知道，直线y=kx+b与直线y=kx平行，例如直线：y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x平行。 3、性质： (1)图象的位置: (2)增减性 k>0时，y随x增大而增大 k<0时，y随x增大而减小 4．求一次函数解析式的方法 求函数解析式的方法主要有三种 (1)由已知函数推导或推证 (2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式，此类题一般在没有写出函数解析式前无法（或不易）判断两个变量之间具有什么样的函数关系。 (3)用待定系数法求函数解析式。 “待定系数法”的基本思想就是方程思想，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程（组）来解决，题目的已知恒等式中含有几个等待确定的系数，一般就需列出几个含有待定系数的方程，本单元构造方程一般有下列几种情况： ①利用一次函数的定义 构造方程组。 ②利用一次函数y=kx+b中常数项b恰为函数图象与y轴交点的纵坐标，即由b来定点；直线y=kx+b平行于y=kx，即由k来定方向。 ③利用函数图象上的点的横、纵坐标满足此函数解析式构造方程。 ④利用题目已知条件直接构造方程。 二、例题举例： 例1．已知y=，其中=(k≠0的常数)，与成正比例，求证y与x也成正比例。 证明：∵与成正比例， 设=a(a≠0的常数), ∵y=, =(k≠0的常数), ∴y=·a=akx， 其中ak≠0的常数， ∴y与x也成正比例。 例2．已知一次函数=(n-2)x+-n-3的图象与y轴交点的纵坐标为-1，判断 =(3-)是什么函数，写出两个函数的解析式，并指出两个函数在直角坐标系中的位置及增减性。 解：依题意，得 解得 n=-1， ∴=-3x-1, “三次函数的图象与性质”教学设计 一、教学内容解析： 三次函数是高中数学人教版选修2-2第一章第三节的内容。三次函数是中学数学利用导数研究函数的一个重要载体，有着重要的地位，围绕三次函数命制的试题，近几年来在全国各地高考及模拟试题中频繁出现，已成为高考数学的一大亮点，特别是文科数学。因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。但教材也没提及三次函数的这一概念，题型也局限在只是解决系数为常数的极值和单调区间问题，各种教辅资料中也往往只从求导、求极值、求单调区间等角度进行一些零碎的、浅表的探索，而很少对它作出比较系统地、实质性地阐述。 本节课是高三复习探究课，具体内容是：借助信息技术、通过几何画板的操作生成关于三次函数的动态效果，从而以三次函数的图像的形状特征为主线，探究三次函数的单调性和极值问题，加强学生对三次函数图像与性质的感性认识、引发学生的理性思考，形成经验。同时在此过程中体会数形结合、分类讨论、化归与类比等思想方法。基于对教材的认识和分析，本节课的教学重点和难点分别确定为： 重点： （1）探究系数a,b,c,d的大小的变化与三次函数图像之间的变化规律； （2）根据图像探究三次函数的性质：单调性和极值。 难点： 根据图像分析出三次函数的性质：单调性和极值。 二、教学目标设置： 根据本节课的内容和地位，让学生通过这节课的教学达到下列三个目标： 1、知识与能力： ①加深对三次函数图像和性质的认识，学会利用三次函数解决问题；增强分析问题，解决问题的能力。 ②培养自主学习的能力和利用计算机软件《几何画板》探求新知识的能力。 ③掌握一定的多媒体环境下研究性学习的方法和手段，提高现代教育技术素养。 2、过程与方法： 通过对函数)0(,)(23≠+++=a d cx bx ax x f 性质的研究，引导学生建立讨论函数性质的基本框架，知道函数性质的基本内容及其作用，掌握研究函数性质的基本过程和方法。 3、情感态度与价值观： 通过直观的图形和抽象的函数性质的统一，培养学生的辨证唯物主义思想观；在研究的过程中，通过同学之间的讨论与协作，培养合作精神。 三、学生学情分析： 本节课，学生已初步搭建起研究函数的基本平台，借助导数的工具和图形技术（几何画板）来研究三次函数的图象和性质，符合学生的认知规律。三次函数的导数是二次函数，二次函数是重要的且具有广泛应用的基本初等函数，学生对此已有较为全面、系统、深刻的认识，并在某些方面具备了把握规律的能力。三次函数虽同样是初等函数，学生能通过导数解决一些三次函数性质相关的题型，但利用几何画板探究三次函数的性质仍显力不从心。首先学生对《几何画板》不够熟悉。其次三次函数的图像与性质本身就有一定的难度。对于观察图像探究系数的变化对图像的影响，学生通过自己的努力基本能够解决。但由此归纳总结性质就存在问题，因为函数的图像与性质本身就很复杂，对学生能力方面的要求较高，不仅需要调动广泛的知识，而且需要有比较清晰的思路。因此这方面教师要通过设置问题、追问、恰当提示等方法加强引导，从而达到突破教学难点。 四、教学策略分析： 根据这节课内容的特点，本节课设计强调学生主动探究式的学习方式，这也是新课程所倡导的教学理念。为突破难点，紧紧围绕教学重点，结合学生已有的基础：会用导数研究三次函数的性质，通过创设问题情境，搭设台阶，并以追问或问题串的形式引导学生积极参与 一次函数的性质和图像 目录一、函数的定义 （一）、一次函数的定义函数。 （二）、正比例函数的定义 二、函数的性质 （一）、一次函数的性质 （二）、正比例函数的性质 三、函数的图像 （一）、一次函数和正比例函数图像在坐标上的位置 （二）、一次函数的图像 1、一次函数图像的形状 2、一次函数图像的画法 （三）、正比例函数的图像 1、正比例函数图像的形状 2、正比例函数图像的画法 3、举例说明正比例函数图像的画法 四、k、b两个字母对图像位置的影响 K、b两个字母的具体分工是： （一次项系数）k决定图象的倾斜度。 （常数项）b决定图象与y轴交点位置。 五、解析式的确定 （一）一个点坐标决定正比，两个点坐标决定一次 （二）用待定系数法确定解析式 六、两条函数直线的四种位置关系 两直线平行，k1= k2，b1≠b2 两直线重合，k1= k2，b1=b2 两直线相交，k1≠k2 两直线垂直，k1×k2=－1 （一）两条函数直线的平行 （二）两条函数直线的相交 （三）两条函数直线的垂直 一次函数、反比例函数中自变量x前面的字母k称为比例系数 这一节我们要学习正比例函数和一次函数。一次函数的解析式是y=kx+b，如果当这个式子中的b=0时，式子就变成了正比例函数y=kx。因此，正比例函数是一次函数当b=0时的特殊情况。正是因为正比例函数实际上就是一次函数，所以把正比例函数和一次函数结合在一起来学习。 在正比例函数y=kx和反比例函数y=k/x中，由于函数y与自变量x之间有比例关系，就要在自变量x前面用字母系数k表示它们之间的比例关系，因而字母k就取名为比例系数。确定了比例系数k就可以直接确定正比例函数或反比例函数的解析式。 22.1 二次函数（第二课时） 教学目标： 1.会用描点法画出形如y = ax 2 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数y = ax 2 的图象特征和性质； 3．在类比探究二次函数y = ax 2 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想 教学重点：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，观察图象，得出二次函数y = ax 2 的图 象特征和性质。 教学难点：抛物线的图像特征。 教学过程： 一、问题引新 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么? 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢? 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、学习新知 1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。（有学生自己完成） 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： (2)描点(3)连线 x …－3 －2 －1 0 1 2 3 … y …9 4 1 0 1 4 9 … 找一名学生板演画图 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，） 2、归纳： 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 顶点．顶点坐标（0，0） 3、运用新知 （1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? （2）．课件出示：在同一直角坐标系中，y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较 （3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示） 让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称 轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______； 当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______ 一元三次函数性质与图象探索 高中部宋润生 我们已经学习了一次函数，知道图象是单调递增或单调递减，在整个定义域上不存在最大值与最小值，在某一区间 取得最大值与最小值．那么，是什么决定函数的单调性呢？利用已学过的知识得出：当k>0时函数单调递增；当k<0时函数单调递增；b决定函数与y轴相交的位置． 接着，我们同样学习了二次函数，图象大致如下： 图1 图2 利用已学知识归纳得出：当时(如图1)，在对称轴的左侧单调递减、右侧单调递增，对称轴上取得最小值；当时(图2)，在对称轴的左侧单调递增、右侧单调递减，对 称轴上取得最大值．在某一区间取得最大值与最小值．其中a决定函数的开口方向，a、b同时决定对称轴，c决定函数与y轴相交的位置． 三次函数的图象有六类．如图： 图3 图4 图5 图6 图7 图8 分析：由图3函数有哪些特点呢？归纳：解析式是，整个定义域上函数单调递增，在图4中解析式是，整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值，函数必经过原点．单调性又与什么知识相关呢？导数，现在求出函数的导数是 ，验证与0的关系，当时，即 的图象在是单调递增；当时，即 的图象在是单调递减相一致．当 ，根据图象知道，在处不是函数f(x)的极值点．所以 的根是函数取得极值的必要不充分条件．现在思考并验证函数 与函数图象有什么关系？经过验证得 出：函数与相同，当 时函数图象是图象向上平移|d|个单位；当时函数图象是图象向下平移|d|个单位；函数的导数都是． 在图5中解析式是，整个定义域上函数单调递增．在图6中解析式是，整个定义域上函数单调递增减．整个定义域上不存在极值．函数的导数，经过验证在图5中因为即，所以的图象在是单调递增；在图6中因为即，所以 的图象在是单调递减；函数都不存在极大值或极小值．为什么在图5中a>0、,在图6中a<0、呢？a>0、 或a<0、是又有什么结果呢？因为导数是二次函数，当a>0、或a<0、时判别式，导数函数不小于0，方程有一个根．当a>0、或a<0、时 ，方程有两个根．那么函数图象有什么特点呢？猜想如果，那么有两根，函数f(x)应有增也有减，我们来验证一下图7、图8： 在图7中解析式是，在或 上函数单调递增，在上函数单调递减；在处取得极大值，在处取得极小值；在图8中解析式是 ，在或上函数单调递减，在上函数单调递增；在处取得极小值，在处取得极 第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2 ，y=a(x-h)2，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2 图象， 能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2 中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质： x y O 2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字 “左加右减，上加下减”． 方法二： 一次函数的图象与性质（基础篇） 知识要点 1．一次函数的定义： ①已知y=(m+1)x2－|m|+n+4，当m= ，y是x的一次函数；当m= ，n= 时，y是x 的正比例函数． ②已知函数y=(k+2)x+k2－2，当k时，它为一次函数；当k= 时，它为正比例函数． 2．一次函数y=kx+b(k≠0)的图象特征： 一次函数的图象是一条直线，因为两点确定一条直线，所以画一次函数图象时，描点时常选图象与x轴的交点和y轴的交点． ①当k>0，b>0时，直线过第象限． ②当k>0，b<0时，直线过第象限． ③当k<0，b>0时，直线过第象限． ④当k<0，b<0时，直线过第象限． ⑤若正比例函数y=－(k+1)x+k2－4的图象只经过第一、三象限，则k = ． ⑥一次函数y=－3x必过第象限． ⑦一次函数y=πx+3必过第象限． ⑧正比例函数y=(3k2+1)x必过第象限． 3．直线y=kx+b与y=kx(k≠0)的关系： 直线y=kx+b与y=kx(k≠0)的关系是平行关系． ①当b>0时，直线y= kx+b可以由直线y=kx向上平移个单位而得到． ②当b<0时，直线y= kx+b可以由直线y=kx向下平移个单位而得到． ③将直线y=3x沿y轴向平移个单位长度可得直线y=3x+6； ④将直线y=－5x+6沿y轴向平移个单位长度可得直线y=－x． 4．直线与坐标轴交点的求法： 求函数图象与x轴的交点坐标，令y=0，解方程kx+b=0得x的值，就是相应的横坐标x的值； 求函数图象与y轴的交点坐标，令x=0得y=b，就是相应的横坐标y的值； ①已知函数y=2x－6，与x轴的交点坐标为；与y轴的交点坐标为． ②函数y=2x+1的图象是不经过第象限的直线，它与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是． 5．一次函数y=kx+b(k≠0)的增减性： 当k>0时，y随x的增大而增大，函数图象从左到右呈上升趋势． 当k<0时，y随x的增大而减小，函数图象从左到右呈下降趋势． ①已知一次函数y=(1－2k)x+2k－1，当k时，y随x的增大而增大，此时图象经过第象限． ②已知一次函数y=(6+3m)x+(n－4)． 当m时，y随x的增大而减小；当m，n时，函数图象与y轴的交点在x 轴下方；当m，n时，函数图象经过原点． 二次函数图像与性质总 结 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。Array 3.()2 =-的性质： y a x h 左加右减。 4.()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后 者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中 2 424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴 对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2 b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）； 3.两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 培优： 一次函数图像及性质 【基础知识概述】 一、函数的图象： 把—个函数的自变量x 与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象. 二、正比例函数的图象及性质： 1．正比例函数y=kx(k 是常数,k≠0)的图象是过(0，0)，(1，k)两点的一条直线． 2．当k ﹥0时，y 值随x 的值的增大而增大；（图象经过一、三象限） 当k ﹤0时，y 值随x 的值的增大而减小。（图象经过二、四象限） 3．|k|越大直线越靠近y 轴，|k|越小直线越靠近x 轴。 三、一次函数的图象及性质： 1．一次函数y=kx+b(k ，b 为常数，k ≠0)的图象是过(0，b),(k b - ，0)两点的一条直线． 2．当k ＞0时，y 随x 的增大而增大，这时函数的图象从左到右上升。 ① 当k>0,b>0时,一次函数图象过一、二、三象限， ② 当k>0,b ＜0时,一次函数图象过一、三、四象限， 3．当k<0时，y 随x 的增大而减小，这时函数的图象从左到右下降。 ① 当k<0,b>0时,一次函数图象过一、二、四象限， ② 当k<0,b<0时,一次函数图象过二、三、四象限， 【例题巧解点拨】 例1、① 函数25+-=x y 与x 轴的交点是 ，与y 轴的交点是 ； ② 已知一次函数y= ax+4与y = bx-2的图象在x 轴上相交于同一点, 则b a 的值是__________. 变式训练：1.已知函数y= -x+m 与y= mx-4的图象的交点在x 轴的负半轴上,那么m 的值___. 2.若函数y=-x-4与x 轴交于点A ，直线上有一点M ，若△AOM 的面积为8，则点M 的坐标 ． 3.（2011衡阳）如图，一次函数y=kx+ b 的图象与x 轴的交点坐标为（2，0）， 则下列说法：①y 随x 的增大而减小； ②b>0； ③关于x 的方程kx+b=0的解为x=2． 其中说法正确的有 ． 例2、已知函数y= -2x-6。 ① 求当x= -4时，y 的值，当y= -2时，x 的值。 ② 画出函数图象； ③ 求出函数图象与坐标轴的两个交点之间的距离； ④ 如果y 的取值范围-4≤y ≤2,求x 的取值 课题三次函数图像和性质 商城二高孙明 【命题趋势】 在高中课程中，用导数知识研究初等函数是一种重要的方法。将三次函数作为载体，考查导数的知识是一类常见题型。以三次函数为载体的试题，可综合考查函数，导数，不等式等知识，是近年高考的一个亮点。 【重点，难点】 三次函数的图象三次函数的性质（单调性，最值，极值，对称性） 【教学过程】 由f(x)=ax3+bx2+cx+d可得f/(x)=3ax2+2bx+c,令△=4(b2-3ac)，当△=4(b2-3ac)>0时，设方程f／(x)=0的两个根是x1,x2,且x1< x2,那么三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象与性质可以归纳如下。（对于任意两个函数y=f(x)与y= -f(x)的图象都是关于x轴对称的，其性质也就能够轻易互相推知。）于是不妨设a>0. 【高考链接】 例1.已知函数f(x)=x3-3x2+6x-7的图象是中心对称图象，其对称中心为---------------------。 例2.（2013，Ⅱ，理10）已知f(x)=x 3+ax+bx+c ，下列结论错误的是 （ ） A ．?x 0∈R,f(x 0)=0 B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形 C. 若x 0是f(x)的极小值，则f(x)在区间（- ∞，x 0）单调递减 D ．若x 0是f(x)的极值，则f ／ (x 0)=0 例3.（2014，Ⅰ，理11）已知f(x)=ax 3-3x 2+1,若f(x)存在唯一零点x 0，且x 0>0,则a 的取值范围是 （ ） A ．（2，+∞） B 。（- ∞，-2） C 。（1，+∞） D 。（-∞，-1） 【拓展训练】 1.函数f(x)=x 3 -3x+a 有3个不同零点，则实数a 的取值范围 （ ） A ．（-2,2） B 。[-2,2] C.(-∞,-1) D.(1,+∞) 2.（2014，浙江理6）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，且0 一次函数的图像和性质教案 怀安城中学李文高 一、教学目标 知识与技能目标： 1. 掌握一次函数y= kx + b（k工0）的性质. 2. 能利用一次函数的有关性质解决有关问题。 过程与方法目标： 1. 经历探索一次函数图象性质的过程，感受一次函数中k与b的值对函数性质 的影响；培养学生合作交流探究意识。 2. 观察图象，体会一次函数k、b的取值和直线位置的关系，提高学生数形结合能力. 情感态度价值观目标： 通过数学实验、自主探究和合作交流，增强团队意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质，体验成功的喜悦。 二、教学重点和难点 教学重点：掌握一次函数y = kx + b（k工0）的性质. 教学难点：由一次函数的图像实验归纳出一次函数的性质及对性质的理解。 三、教学方法：观察法，数形结合发、自主探究式教学方法 四、教学过程 （一）知识回顾： 1 、画函数图像的步骤：______________________________ 2、一次函数y=kx+b（k丰0）的图像是：________ 取两点即可画出图像，方法为： 画y=kx（k丰0）的图像常选取两点为（），（）. 3 、正比例函数y=kx（k丰0）的图像和性质： 二、探究一： 请大家用描点法在同一坐标系中画出函数函数y=—2x, y= —2x+3,y= —2x —3的图象。 思考：这三个函数的图象形状都是 ________ ，并且倾斜程度_______ ，函数y=-2x的图象经 过_________ ，函数y=-2x+3的图象与y轴交于点_________ ，即函数y=-2x+3的图象可以看作 由直线y=-2x向—平移—个单位长度而得到.函数y=-2x-3的图象与y轴交于点________________ ，即函数y=-2x-3的图象可以看作由直线y=-2x向—平移 ____________ 个单位长度而得到.高考数学专题17 三次函数的图像与性质(原卷版)
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高中数学三次函数的图象和性质精品教案教学设计
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