级数的概念及其性质
级数的概念及其性质
我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。
无穷级数的概念
设已给数列a1,a2,…,a n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+a n+…称为无穷
级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+a n+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，a n称为级数的通项.
取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，S n=a1+a2+…+a n，…
这个数列的通项S n=a1+a2+…+a n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。
如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。
例题：证明级数：的和是1.
证明：
当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1.
级数的性质
1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a n当n→∞时趋于零，即：
注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。
例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。
此级数为调和级数，在此我们不加以证明。
2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。
3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。
4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。
注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。
5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。
正项级数的收敛问题
对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。
我们先来考虑正项级数(即每一项a n≥0的级数）的收敛问题。
判定正项级数敛散性的基本定理
定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S n上有界.如果S n上无界，级数发散于正无穷大。
例如：p级数：，当p>1时收敛，当p≤1时发散。
注意：在此我们不作证明。
正项级数的审敛准则
准则一：设有两个正项级数及，而且a n≤b n(n=1,2,…）.如果收敛，那末也收敛；如果发散，那末也发散.
例如：级数是收敛的，因为当n>1时，有≤，而等比级数是收敛的
准则二：设有两个正项级数与，如果那末这两个级数或者同时收敛，或者同时发散。
关于此准则的补充问题
如果，那末当收敛时，也收敛；如果，那末当发散时，也发散.
例如：是收敛的.因为，而是收敛的.
注意：以上这两个准则来判定一个已知级数的敛散性，都需要另选一个收敛或发散的级数，以资比较.下面我们来学习两个只依赖于已知级数本身的审敛准则.
准则三：设有正项级数.如果极限存在，那末当λ＜1时级数收敛，λ＞1时级数收敛.
注意：此准则就是达朗贝尔准则.这种判定方法称为检比法.
例如：级数是收敛的，因为当n→∞时，
.
准则四(柯西准则)：如果极限存在，那末当λ＜1级数收敛，λ＞1级数
发散.
例如：级数是发散的，因为当n→∞时，
一般常数项级数的审敛准则
当级数中的正数项与负数项均为无穷多时，就称级数为一般常数项级数.
绝对收敛与条件收敛
设有一般常数项级数
取各项的绝对值所构成的级数
称为对应于原级数的绝对值级数.
绝对收敛的准则：如果对应的绝对值级数收敛，那末原级数也收敛.
注意：此时称为绝对收敛，
如果级数发散而级数收敛，
则称为条件收敛。
关于绝对收敛与条件收敛的问题
一个绝对收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是收敛的；
一个条件收敛级数的正数项与负数项所组成的级数都是发散的。
例题：证明：当λ>1时，级数为一绝对收敛级数.
证明：因为≤而当λ>1时收敛，故级数收敛，从而级数绝对收敛.
交错级数与它的审敛准则
交错级数就是任一相邻的两项都是符号相反的数，它是一般常数项级数的一种特殊级数.
交错级数可以写成：
交错级数的审敛准则(莱布尼兹准则)：
如果且，那末级数收敛.
例如：交错级数是收敛的，因为它满足莱布尼兹准则的两个条件：及
函数项级数、幂级数
在自然科学与工程技术中运用级数这一工具时，经常用到不是常数项的级数，而是函数项的级数.而常数项级数是研究函数项级数的基础。
函数项级数的概念
设有函数序列，，其中每一个函数都在同一个区间I上有定义，
那末表达式称为定义在I上的函数项级数。
下面我们来学习常见而应用广泛的一种具有如下形式的函数项级数：
它们的各项都是正整数幂的幂函数.这种级数称为幂级数，其中c n(n=0,1,2,…)均为常数.
显然，当上面级数中的变量x取定了某一个值x0时，它就变为一个常数项级数。
幂级数的收敛问题
与常数项级数一样，我们把称为幂级数的部分和。如果这部分和当n→∞时对区间I中的每一点都收敛，那末称级数在区间I收敛。此时s n(x)的极限是定义
在区间I中的函数，记作:s(x). 这个函数s(x)称为级数的和函数，简称和，记作：
对于幂级数，我们关心的问题仍是它的收敛与发散的判定问题，下面我们来学习关于幂级数的收敛的判定准则。
幂级数的审敛准则
准则：设有幂级数.如果极限，那末，当时，幂级数收敛，而且绝对收敛；当时，幂级数发散，其中R可以是零，也可以是+∞.
由上面的准则我们可知：幂级数的收敛区间是关于原点对称的区间.在这个区间内级数收敛，在这个区
间外级数发散.区间称为幂级数的收敛区间，简称敛区。正数R为幂级数的收敛半径.
关于此审敛准则问题
讨论幂级数收敛的问题主要在于收敛半径的寻求。当时，级数的敛散性不能由准则来判定，需另行讨论。
例题：求幂级数的收敛区间.
解答：该级数的收敛半径为：
所以此幂级数的敛区是（-5，5）.
在x=5与x=-5，级数分别为前者发散，后者收敛.
故级数的收敛区间是[-5,5)
幂级数的性质
性质1：设有两个幂级数与，如果
=f1(x)，-R1 =f2(x)，-R2 则=f1(x)±f2(x)，-R 性质2：幂级数的和s(x)在敛区内时连续的. 性质3：幂级数的和s(x)在敛区内的任一点均可导，且有逐项求导公式： = 求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。 性质4：幂级数的和s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式： 积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径。 由以上这些性质可知：幂级数在其敛区内就像普通的多项式一样,可以相加,相减,可以逐项求导,逐项积分。 函数的幂级数展开式 通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题： 问题1：函数f(x)在什么条件下可以表示成幂级数 ； 问题2：如果f(x)能表示成如上形式的幂级数，那末系数c n(n=0,1,2,3,…)怎样确定？ 下面我们就来学习这两个问题。 泰勒级数 我们先来讨论第二个问题.假定f(x)在a的邻区内能表示成 这种形式的幂级数，其中a是事先给定某一常数，我们来看看系数c n与f(x)应有怎样的关系。 由于f(x)可以表示成幂级数，我们可根据幂级数的性质，在x=a的邻区内f(x)可任意阶可导.对其幂级数两端逐次求导。得： ， ， ……………………………………………… ， ……………………………………………… 在f(x)幂级数式及其各阶导数中，令x=a分别得： 把这些所求的系数代入得： 该式的右端的幂级数称为f(x)在x+a处的泰勒级数. 关于泰勒级数的问题 上式是在f(x)可以展成形如的幂级数的假定下得出的.实际上，只要f(x)在x=a处任意阶可导，我们就可以写出函数的泰勒级数。 问题：函数写成泰勒级数后是否收敛？是否收敛于f(x)？ 函数写成泰勒级数是否收敛将取决于f(x)与它的泰勒级数的部分和之差 是否随n→＋∞而趋向于零.如果在某一区间I中有那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式. 泰勒定理 设函数f(x)在x=a的邻区内n+1阶可导，则对于位于此邻区内的任一x，至少存在一点c,c在a 与x之间，使得： 此公式也被称为泰勒公式。(在此不加以证明） 在泰勒公式中，取a=0，此时泰勒公式变成： 其中c在0与x之间 此式子被称为麦克劳林公式。 函数f(x)在x=0的泰勒级数称为麦克劳林级数.当麦克劳林公式中的余项趋于零时，我们称相应的泰勒展开式为麦克劳林展开式. 即： 几种初等函数的麦克劳林的展开式 1.指数函数e x 2.正弦函数的展开式 3.函数(1+x)m的展开式 级数理论及其在初等数学中的应用 级数理论是大学数学分析这门课程中的一部分，也是在许多相关数学分支与自然科学领域和生产实际中有着十分重要应用的基础知识。如果能将级数知识的各部分内容有机的整合，领会知识的背景和作用，不仅能延伸到后续的其他内容或课程中，提高数学思维能力和数学方法的应用能力，还能从更深处解决初等数学中的部分问题。 1 级数理论部分 1.1 级数的基本概念 定义1（级数定义） 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式 ++++n u u u 21 （1） 称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为∑∞ =1n n u ，其中n u 称为数项（1）的通 项． 数项级数（1）的前n 项之和，记为∑==n k k n u S 1，称之为（1）的前n 项部分和， 简称为部分和． 定义2 （级数收敛、发散定义） 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即 S S n n =∞ →lim ），则称级数（1）收敛，并称S 为（1）的和，记为∑∞ ==1 n n u S ．若{} n S 是发散数列，则称级数（1）发散． 1.2 级数理论的知识体系 级数理论包括常数项级数和函数项级数两大部分知识. 1.2.1常数项级数 包括：概念、性质、收敛性判别法、绝对收敛与条件收敛。其中在收敛性判别法中，根据常数项级数的不同类型又有相应的不同的判别方法。详见附录1《常数项级数收敛性判别法》。 1.2.2 函数项级数. 包括：概念、收敛域、一致收敛、幂级数、傅里叶级数。下面重点谈一下幂级数及其收敛域。因为基本初等函数在一定范围内都可展成幂级数，幂级数有许多方便的运算性质，在研究初等函数方面成为一个很有力的工具。利用幂级数的展开式来表示函数，利用幂级数和函数. 的分析性质等，常常能解决许多初等数学中的疑难问题。 第六章 级数理论 §1 数项级数 I 基本概念 一 数项级数及其敛散性 定义1 给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连结起来的表达式 ++++n u u u 21 （1） 称为数项级数或无穷级数，简称级数，记为 ∑∞ =1 n n u ，其中n u 称为数项（1）的通项． 数项级数（1）的前n 项之和，记为∑== n k k n u S 1 ，称之为（1）的前n 项部分和，简称为 部分和． 定义2 若级数（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称级数（1）收敛， 并称S 为（1）的和，记为∑∞ == 1 n n u S ．若{}n S 是发散数列，则称级数（1）发散． 二 收敛级数的基本性质 1 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0>?ε，0>?N ，N n >?，+ ∈?Z p ，有 ε<++++++p n n n u u u 21． 2 级数收敛的必要条件：若级数 ∑∞ =1 n n a 收敛，则0lim =∞ →n n a ． 3 去掉、增加或改变级数的有限项并不改变级数的敛散性． 4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数亦如此），即收敛级数满足结合律． 5 若级数适当加括号后发散，则原级数发散． 6 在级数中，若不改变级数中各项的位置，只把符号相同的项加括号组成一新级数，则两级数具有相同的敛散性． 7 线性运算性质 若级数 ∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，d c ,是常数，则 ()∑∞ =+1 n n n dv cu 收敛，且 ()∑∑∑∞ =∞ =∞ =±=±1 1 1 n n n n n n n v d u c dv cu ． 第九章 无穷级数（数二不作要求） 第一节 基本概念与内容提要 一、级数的基本概念、基本性质、级数收敛的必要条件 （一） 1 ()n n n a a R ∞ =∈∑称为级数。令1 n n k k S a ==∑，称n S 为级数1 n n a ∞ =∑的部分和。 若lim ()n n S A A R →∞ =∈称级数 1 n n a ∞ =∑收敛，否则称级数发散。 （二） 1 n n a ∞ =∑收敛的必要条件是lim 0n n a →∞ = （三）若 1n n a ∞ =∑， 1 n n b ∞ =∑均收敛，则 1 ()n n n a b ∞ =±∑也收敛 （四）若 1 n n a ∞ =∑收敛， 1 n n b ∞ =∑发散，则 1 ()n n n a b ∞ =±∑也发散 （五）收敛级数任意加括号后的新级数仍收敛，且其和不变。 （六）正项级数收敛的充要条件是其某一加括号后的新级数收敛 二、正项级数的审敛法 （一） 1 n n a ∞ =∑为正项级数， 1 n n a ∞ =∑收敛?{}n S 有界 （二）比较判别法 若0n n a b ≤≤，则 （1）由 1 n n b ∞ =∑收敛? 1 n n a ∞ =∑收敛 （2）由 1 n n a ∞ =∑发散? 1 n n b ∞ =∑发散 （三）比较判别法的极限形式 设0,0,lim n n n n n a a b b λ→∞≥>=，则 （1）当0λ≤<+∞， 1n n b ∞ =∑收敛时? 1n n a ∞ =∑收敛 （2）当0λ<≤+∞， 1 n n b ∞ =∑发散时? 1 n n a ∞ =∑发散 （四）比值判别法 设1 0,lim n n n n a a a λ+→∞>=，则 8.1数项级数的概念与基本性质 教学目的 理解级数的概念和基本性质 教学重点 级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数 教学难点 有穷项相加与无穷项相加的差异 教学过程 1.导入 以前我们学习的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要．在许多技术问题中常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数．无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具．无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础． 2.讲授新课 2.1常数项级数的概念 定义8.1 设给定数列}{n a ，我们把形如 ∑∞ == ++++1 21n n n a a a a （8.1.1） 的式子称为一个无穷级数，简称级数．其中第n 项n a 称为级数 ∑∞ =1 n n a 的通项（或一般项）． 如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数. 例如， 等差数列各项的和 +-+++++++])1([)2()(1111d n a d a d a a 称为算术级数． 等比数列各项的和 +++++-1 12 111n q a q a q a a 称为等比级数，也称为几何级数． 级数 1 1n n ∞ =∑ =111123n +++++ 称为调和级数． 级数（8.1.1）的前n 项和为： 121 n n k k k S a a a a ===+++∑ ， 称n S 为级数 ∑∞ =1 n n a 的前n 项部分和，简称部分和． 2.2常数项级数收敛与发散 定义8.2 若级数(8.1.1)的部分和数列}{n S 的极限存在， 即 S S n n =∞ →lim (常数) 则称极限S 为无穷级数 ∑∞ =1n n a 的和．记作 ++++==∑∞ =n n n a a a a S 211 此时称级数 ∑∞ =1 n n a 收敛；如果数列}{n S 没有极限，则称级数 ∑∞ =1 n n a 发散，这时级数没有和． 显然，当级数收敛时，其部分和n S 是级数和S 的近似值，它们之间的差 ++=-=++21n n n n a a S S r 叫做级数的余项．用近似值n S 代替S 所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为||n r ． 例１ 讨论几何级数 +++++=∑∞ =-n n n aq aq aq a aq 21 1 的敛散性，其中0≠a ，q 是公比． 结论：几何级数 ∑∞ =-1 1 n n aq ，当1|| 级数的概念及其性质 我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。 无穷级数的概念 设已给数列a1,a2,…,a n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a1+a2+…+a n+…称为无穷 级数，简称级数.记作：或，即：=a1+a2+…+a n+…，数列的各项a1,a2,…称为级数的项，a n称为级数的通项. 取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S1=a1，S2=a1+a2，…，S n=a1+a2+…+a n，… 这个数列的通项S n=a1+a2+…+a n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。 如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。 例题：证明级数：的和是1. 证明： 当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1. 级数的性质 1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a n当n→∞时趋于零，即： 注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。 例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。 此级数为调和级数，在此我们不加以证明。 2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。 3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。 4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。 注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。 5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。 正项级数的收敛问题 对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。 我们先来考虑正项级数(即每一项a n≥0的级数）的收敛问题。 判定正项级数敛散性的基本定理 定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S n上有界.如果S n上无界，级数发散于正无穷大。 例如：p级数：，当p>1时收敛，当p≤1时发散。 注意：在此我们不作证明。 正项级数的审敛准则 准则一：设有两个正项级数及，而且a n≤b n(n=1,2,…）.如果收敛，那末也收敛；如果发散，那末也发散. 例如：级数是收敛的，因为当n>1时，有≤，而等比级数是收敛的 准则二：设有两个正项级数与，如果那末这两个级数或者同时收敛，或者同时发散。 关于此准则的补充问题 如果，那末当收敛时，也收敛；如果，那末当发散时，也发散. 例如：是收敛的.因为，而是收敛的. 数项级数的概念与基本性质 8.1 数项级数的概念与基本性质 教学目的：理解级数的概念和基本性质。 教学重点：级数的基本性质，收敛的必要条件，几何级数。 教学难点：有限项相加与无穷项相加的差异。 教学过程： 1.导入 我们以前研究的加法是将有限个数相加，这种加法易于计算但无法满足应用的需要。在许多技术问题中，常要求我们将无穷多个数相加，这种加法叫做无穷级数。无穷级数是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种工具。无穷级数分为常数项级数和函数项级数，常数项级数是函数项级数的特殊情况，是函数项级数的基础。 2.讲授新课 2.1 常数项级数的概念 定义8.1：设给定数列{an}，我们把形如 a1+a2+。+an+。=∑an (n=1,2.) 的式子称为一个无穷级数，简称级数。其中第n项an称 为级数∑an的通项（或一般项）。如果级数中的每一项都是常数，我们称此级数为数项级数。 例如，等差数列各项的和a1+(a1+d)+(a1+2d)+。+[a1+(n-1)d]+。称为算术级数。等比数列各项的和XXX.称为等比级数，也称为几何级数。级数2n-1+。+1111+。=∑(2n-1)/(3n) (n=1,2.)称为调和级数。 级数(8.1.1)的前nXXX： XXX，k=1,2.n 称Sn为级数∑an的前n项部分和，简称部分和。 2.2 常数项级数收敛与发散 定义8.2：若级数(8.1.1)的部分和数列{Sn}的极限存在，即 limSn=S (常数) n→∞ 则称极限S为无穷级数∑an的和。记作 S=∑an=a1+a2+。+an+。 此时称级数∑an收敛；如果数列{Sn}没有极限，则称级数∑XXX发散，这时级数没有和。显然，当级数收敛时，其部分和Sn是级数和S的近似值，它们之间的差rn=S- Sn=an+1+an+2+。叫做级数的余项。用近似值Sn代替S所产生的误差是这个余项的绝对值，即误差为|rn|。 例1：讨论几何级数∑aq^(n-1)=a+aq+aq^2+。+aq^n+。的敛散性，其中a≠0，q是公比。 正项级数是指所有项都是非负实数的级数，即对于所有的n，有un≥0. 2.2正项级数的性质 正项级数有以下性质： 级数知识点总结归纳 引言 级数是数学中重要的概念，它在各个领域都有广泛的应用。本文将对级数的基本概念、性质和常见的级数测试进行总结和归纳。通过深入的探讨，希望能够帮助读者全面理解级数的知识。 一级标题1：级数的定义与基本性质 二级标题1.1：级数的定义 1.级数是由一列数相加得到的无穷和，形如a1+a2+a3+...+a n+...的表达 式。 二级标题1.2：级数的收敛与发散 1.如果级数的部分和数列S n极限存在，则称此级数收敛，数列{S n}的极限 值称为级数的和； 2.如果级数的部分和数列S n极限不存在或为无穷大，则称此级数发散。 二级标题1.3：级数的性质 1.收敛级数的部分和数列是有界的； 2.收敛级数的和不受有限或任意个项的去除影响； 3.可以对级数的各个项重新排序； 4.级数的收敛性与发散性不受固定个数项的改变影响； 5.如果级数∑a n收敛，则lim n→∞a n=0。 一级标题2：级数的测试 二级标题2.1：正项级数及比较测试 三级标题2.1.1：正项级数 1.如果级数所有的项都是非负的，称之为正项级数。 三级标题2.1.2：比较测试 1.比较测试：如果级数0≤a n≤b n，其中∑b n收敛，则∑a n也收敛； 2.极限形式的比较测试：如果级数0≤a n和0≤b n，且lim n→∞a n b n =L，其中0 级数的基本概念 级数的基本概念 级数是指由无穷多个数相加而成的和，是数学中重要的概念之一。在实际应用中，级数常用于计算无限接近于某个值的数列之和，如几何级数、调和级数等。本文将从定义、性质、收敛与发散以及常见级数类型等方面进行详细介绍。 一、定义 1. 通项公式 对于一个由无穷多项组成的级数，每一项都有一个通项公式，表示为an。 2. 部分和 部分和是指前n项的和，表示为Sn=∑an（n=1,2,3,...）。 3. 级数 当n趋近于无穷大时，部分和Sn也会趋近于一个定值S，则称S为级数∑an的和。 二、性质 1. 加法性 如果两个级数∑an和∑bn都收敛，则它们的和也收敛，并且 ∑(an+bn)=∑an+∑bn。 2. 常值性 如果一个级数所有项都相等，则该级数为等差级数，其通项公式可以 表示为a+(n-1)d。此时，该等差级数的部分和可以表示为 Sn=na+(n(n-1)/2)d。 3. 绝对收敛性与条件收敛性 如果一个级数的每一项的绝对值都收敛，则该级数称为绝对收敛级数。否则，该级数称为条件收敛级数。 三、收敛与发散 1. 收敛 如果一个级数的部分和Sn随着n的增加而趋近于一个定值S，则称该级数收敛，表示为∑an=S。 2. 发散 如果一个级数的部分和Sn随着n的增加而无限趋近于正无穷或负无穷，则称该级数发散。 3. 判别法 判断一个级数是否收敛或发散，可以使用以下几种判别法： （1）比较判别法：若存在正整数N，使得对于所有n>N，有|an|≤bn，则当∑bn收敛时，∑an也一定收敛；当∑bn发散时，∑an也一定发散。 （2）比值判别法：若极限limn→∞|an+1/an|=L<1，则∑an绝对收敛；若L>1，则∑an发散；若L=1，则比值判别法不适用。 （3）根值判别法：若极限limn→∞(|an|)^(1/n)=L<1，则∑an绝对 收敛；若L>1，则∑an发散；若L=1，则根值判别法不适用。 几何级数的概念与性质 几何级数是数学中常见的一种数列，它是指首项为a1，公比为q的无穷等比数列之和，用Sn来表示。几何级数的概念不仅在数学中有重要的应用，也在现实生活中起到很大的作用。如何理解几何级数，如何计算几何级数的和以及几何级数的性质是本文所要探讨的主要内容。 一、几何级数的定义 几何级数是指首项为a1，公比为q的无穷等比数列之和，用Sn来表示。其中，a1是几何级数的首项，q是公比，n是几何级数的项数。 几何级数的公式可以表示为：S∞=a1/ (1-q)。 在这个公式中，a1和q是已知的量，而n趋于∞时，几何级数的和Sn就会趋向于S∞，也就是几何级数的极限。 二、几何级数的计算 几何级数的计算是一种常见的数学运算，它可以通过不同的方法来进行。以下是几种计算几何级数的方法： 1、利用公式计算：对于给定的a1和q，我们可以利用几何级数的公式S∞=a1/ (1-q)来计算几何级数的和。 例如，对于首项为a1=2，公比为q=1/2的无穷等比数列，我们可以得到： S∞ = a1 / (1-q) = 2 / (1-1/2) = 4。 因此，这个几何级数的和是4。 2、利用递推式计算：我们可以利用几何级数的递推式来计算几何级数的和。几何级数的递推式是Sn = a1(1-q^n) / (1-q)，其中n为几何级数的项数。 例如，对于首项为a1=3，公比为q=1/3的无穷等比数列，我们可以利用递推式来计算几何级数的和。 当n=1时，Sn=3。 当n=2时，Sn=3(1-(1/3)^2)/(1-1/3)=3.9。 当n=3时，Sn=3(1-(1/3)^3)/(1-1/3)=4.233。 当n趋于无穷时，Sn的值趋向于S∞，即： S∞ = 3/(1-1/3) = 4.5。 因此，这个几何级数的和是4.5。 3、利用面积计算：我们可以利用面积的概念来计算几何级数的和。具体来说，我们可以将几何级数看作由无限个相似的三角形组成的图形，然后计算这个图形的面积。 例如，对于首项为a1=1，公比为q=1/2的无穷等比数列，我们可以将它表示为以下的图形： 常用的收敛级数和发散级数 收敛级数和发散级数是数学中重要的概念，它们在数学分析、物理学等领域都有广泛的应用。本文将从常用的收敛级数和发散级数的角度出发，介绍它们的定义、性质和应用。 一、收敛级数 收敛级数是指级数的部分和能够趋向于一个有限的值。在数学中，收敛级数的定义如下：对于给定的数列{an}，如果数列{sn}的极限存在且有限，即lim(n→∞)sn = S，则称级数∑an收敛于S。 常用的收敛级数有几何级数、调和级数和幂级数。 1. 几何级数 几何级数是指以一个常数q为公比的级数，其通项可以表示为an = aq^(n-1)，其中a为首项。当|q| < 1时，几何级数收敛，其和为S = a / (1-q)。 2. 调和级数 调和级数是指级数的通项为倒数的级数，即an = 1/n。调和级数的部分和可以表示为sn = 1/1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n。调和级数发散，即其部分和无限增大，但增长速度较慢。 3. 幂级数 幂级数是指级数的通项为多项式的级数，即an = cnx^n，其中cn 为常数系数。幂级数在数学分析和物理学中有广泛应用，常见的幂级数有泰勒级数和傅里叶级数。 二、发散级数 发散级数是指级数的部分和无法趋向于一个有限的值。在数学中，发散级数的定义如下：对于给定的数列{an}，如果数列{sn}的极限不存在或无穷大，即lim(n→∞)sn = ±∞或不存在，则称级数∑an发散。 常见的发散级数有等差级数、阶乘级数和振荡级数。 1. 等差级数 等差级数是指以一个常数d为公差的级数，其通项可以表示为an = a + (n-1)d，其中a为首项。等差级数的部分和可以表示为sn = (n/2)(2a + (n-1)d)。当公差d不等于0时，等差级数发散。 2. 阶乘级数 阶乘级数是指级数的通项为阶乘的级数，即an = n!。阶乘级数的部分和可以表示为sn = 1! + 2! + 3! + ... + n!。阶乘级数发散，其增长速度非常快。 3. 振荡级数 振荡级数是指级数的部分和在正负值之间不断变化，并且无法趋向于一个有限的值。振荡级数的部分和在每一项之间会发生正负变化， 级数求和与级数的性质分析 级数是数学中重要的概念之一，它是由一系列数字按照一定规律排列而成的。 级数求和是求级数中所有项的和，而级数的性质分析是对级数的各种性质进行研究和探讨。本文将介绍级数求和的方法，并对级数的性质进行深入分析。 一、级数求和的方法 在数学中，级数求和是一个常见的问题。为了求出级数的和，我们可以使用不 同的方法，其中常见的有以下几种： 1. 等差数列求和法 如果级数的通项可以表示为一个等差数列的形式，即每一项与前一项之间的差 值固定，我们可以使用等差数列求和的公式来求解。例如，对于等差级数1，2，3，4，5...，我们可以使用等差数列求和公式S = (n/2)(a + l)来求和，其中n为项数，a 为首项，l为末项。 2. 等比数列求和法 如果级数的通项可以表示为一个等比数列的形式，即每一项与前一项之间的比 值固定，我们可以使用等比数列求和的公式来求解。例如，对于等比级数1，2，4，8，16...，我们可以使用等比数列求和公式S = a(1 - r^n)/(1 - r)来求和，其中a为首项，r为公比，n为项数。 3. 特殊级数求和法 有些级数的求和方法比较特殊，无法使用等差数列或等比数列的求和公式。针 对这种情况，我们可以使用其他方法来求解。例如，对于调和级数1，1/2，1/3， 1/4...，我们可以使用极限的概念来求和，即求出级数的极限值。 二、级数的性质分析 级数作为数学中重要的概念，具有许多独特的性质。下面将对级数的性质进行详细分析。 1. 收敛性和发散性 级数可以分为收敛和发散两种情况。如果级数的部分和有一个有限的极限值，我们称该级数为收敛级数；如果级数的部分和趋于无穷大，我们称该级数为发散级数。通过求和的方法可以确定级数的收敛性或发散性。 2. 绝对收敛性和条件收敛性 对于某些级数，即使它本身是发散的，但在绝对值意义下却是收敛的，我们称该级数为绝对收敛级数。而对于其他级数，只有在某些条件下才能收敛，我们称该级数为条件收敛级数。绝对收敛级数具有更强的收敛性质，而条件收敛级数则需要额外的条件才能收敛。 3. 收敛级数的性质 对于收敛级数，我们可以对其进行各种运算，包括级数的加法、乘法和求极限等。收敛级数的性质研究对于数学的发展和应用具有重要意义，它可以帮助我们更好地理解和应用级数。 4. 级数收敛判别法 为了确定一个级数的收敛性，数学家们提出了各种级数收敛判别法。常见的判别法包括比值判别法、根值判别法、积分判别法等。通过这些判别法，我们可以更快速地确定级数的收敛性，从而简化求解的过程。 总结： 本文介绍了级数求和的方法，并对级数的性质进行了分析。级数求和是数学中的一个重要问题，通过选择合适的求和方法，我们可以更快速地求解级数的和。而级数的性质分析则帮助我们深入理解级数的本质，并为后续的数学研究和应用提供 数列和级数的 数列和级数的概念及应用 数列和级数是数学中重要的概念，它们在许多领域中都有着广泛的 应用。本文将介绍数列和级数的基本定义、性质以及常见的应用。通 过对数列和级数的深入理解，我们可以更好地应用它们解决实际问题。 一、数列的概念及性质 数列是按照一定规律排列的一系列数的集合。数列一般用一个公式 或递推关系式表示，例如：an = 2n，表示数列的第n项等于2的n次方。数列的概念是数学分析的基础，对于理解数列的性质和应用是至 关重要的。 数列的性质主要包括有界性、单调性和有穷性。有界性指数列存在 上界和下界，即存在一个最大值和最小值；单调性指数列的项随着索 引的增加或减少而单调递增或递减；有穷性指数列的项数是有限的。 二、级数的概念及性质 级数是数列中各项之和的无穷和。级数一般用符号∑表示，例如： ∑an，表示数列项an的无穷和。级数的概念是数学分析的重要内容， 对于理解级数的性质和应用具有重要意义。 级数的性质主要包括收敛性和发散性。收敛性指级数的和存在且有限，可以通过逐项求和来获得；发散性指级数的和不存在或无穷大， 无法用有限的和表示。判断级数的收敛性和求和是级数研究的核心问题。 三、数列和级数的应用 数列和级数在实际问题中有着广泛的应用，如计算机科学、金融学、物理学等领域。下面我们以几个典型的应用为例进行介绍。 1. 数列在金融学中的应用：在复利计算中，通过计算不断递增的数 列可以确定未来的资产价值。根据数列的递推关系式，可以计算出复 利计算中的利率和期限，从而制定合理的投资策略。 2. 级数在物理学中的应用：在物理学中，级数经常用于计算连续变 量的和。例如，在计算机模拟中，可以通过级数的逐项加和来逼近实 际问题，如计算光束的强度分布、电场的分布等。 3. 数列和级数在计算机科学中的应用：在算法设计中，数列和级数 的概念常常用于衡量算法的效率和收敛性。通过分析数列和级数的性质，可以评估算法的运行时间和内存占用，从而选择合适的算法来解 决实际问题。 通过以上几个应用的介绍，我们可以看出数列和级数的重要性。它 们不仅是数学理论的基础，而且在实际问题的求解中有着广泛的应用。深入理解数列和级数的性质和应用，对于提升数学建模和问题解决能 力具有重要意义。 总结起来，数列和级数是数学中重要的概念。数列是按照一定规律 排列的一系列数的集合，而级数是数列中各项之和的无穷和。它们的 级数收敛定义 级数是数学中的一个重要概念，它是指将一系列数相加所得到的无穷和。在数学中，我们经常需要讨论级数的收敛性问题，这是因为级数的收敛性质与许多数学问题密切相关。本文将介绍级数收敛的定义、性质以及一些常见的判别法。 一、级数的定义 定义1：若数列 {a_n} 的和 s_n 满足当 n 趋向于无穷大时， s_n 趋向于一个有限数 s，则称级数∑a_n 收敛于 s，记作∑a_n=s。 定义2：若数列 {a_n} 的和 s_n 满足当 n 趋向于无穷大时， s_n 趋向于正无穷大或负无穷大，则称级数∑a_n 发散。 二、级数的性质 1.级数收敛的必要条件是其通项趋于零。即当∑a_n 收敛时， 必有 lim n→∞ a_n=0。 证明：假设∑a_n 收敛，若 lim n→∞ a_n≠0，则存在一个正数ε，使得对于所有的 n，有 |a_n|≥ε，从而∑|a_n|≥∑ε=+∞，这与级数收敛的定义相矛盾。 2.级数的收敛性与级数的部分和有关。即若级数∑a_n 收敛， 则其部分和数列 {s_n} 有界。 证明：由级数收敛的定义可知，对于任意的ε>0，存在一个正 整数 N，使得当 n>N 时，有 |s_n-s|<ε。取ε=1，则存在正整数 N1，使得当 n>N1 时，有 |s_n-s|<1，即 s_n-1 3.级数的收敛性具有可加性。即若级数∑a_n 和∑b_n 均收敛，则级数∑(a_n+b_n) 也收敛，并且有∑(a_n+b_n)=∑a_n+∑b_n。 证明：设∑a_n=s1，∑b_n=s2，∑(a_n+b_n)=s3。则对于任意 的ε>0，由级数收敛的定义可知，存在正整数 N1，N2，N3，使得当n>N1，n>N2，n>N3 时，有 |s1-s_n|<ε/2，|s2-t_n|<ε/2，|s3-(s_n+t_n)|<ε。 于是当 n>max{N1,N2,N3} 时，有 |s3-(s_n+t_n)|=|(s1-a_1-...-a_n)+(s2-b_1-...-b_n)-(s1+s2-a_ 1-b_1-...-a_n-b_n)| ≤ |s1-a_1-...-a_n|+|s2-b_1-...-b_n|+|a_1+b_1+...+a_n+b_n| <ε/2+ε/2+ε/2=ε。 因此，级数∑(a_n+b_n) 收敛，并且有∑(a_n+b_n)=∑a_n+ ∑b_n。 4.级数的收敛性不具有乘性。即若级数∑a_n 和∑b_n 均收敛，则级数∑(a_nb_n) 不一定收敛。 举例说明：考虑级数∑(1/n^2)，它显然收敛。但是级数∑(1/n) 发散，因此级数∑(1/n^2)×(1/n) 也不收敛。 三、级数的判别法 1.比较判别法 比较判别法是判定级数收敛性的常用方法之一。其思想是将待判 级数和的定义 什么是级数？ 在数学中，我们经常会遇到一类特殊的数列，被称为级数。级数是由一个无穷序列的项相加而得到的无穷和。具体来说，如果给定一个数列 {a₁, a₂, a₃, …}，那么 这个数列的级数可以表示为： S = a₁ + a₂ + a₃ + … 其中 S 表示级数的和。 级数和的定义 对于一个给定的级数 {a₁, a₂, a₃, …}，我们可以通过求前 n 项的和来逐渐逼近 它的和。也就是说，我们可以定义一个序列 {S₁, S₂, S₃, …} 来表示前 n 项的和： S₁ = a₁ S₂ = a₁ + a₂ S₃ = a₁ + a₂ + a₃ … 这个序列被称为部分和序列。 那么，当 n 趋向于无穷大时，部分和序列 {S₁, S₂, S₃, …} 的极限值是否存在呢？如果存在，并且极限值有限，则我们称该级数收敛，并将其极限值作为级数的和。否则，如果部分和序列没有极限或者极限值为无穷大，则该级数发散。 因此，根据上述定义，级数的和可以表示为： S = lim(n→∞) Sₙ 级数和的性质 1.如果级数 {a₁, a₂, a₃, …} 收敛，则其任意子序列也收敛，并且极限值相 同。 2.如果级数 {a₁, a₂, a₃, …} 发散，则其任意子序列也发散。 3.如果级数 {a₁, a₂, a₃, …} 和 {b₁, b₂, b₃, …} 都收敛，则它们的和 {a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃, …} 也收敛，并且有以下性质： –S(a + b) = Sa + Sb，其中 Sa 和 Sb 分别表示级数 {a₁+b₁, a₂+b₂, a₃+b₃, …} 的和。 –S(ka) = kSa，其中 k 是常数。 4.如果级数 {a₁, a₂, a₃,…} 收敛，则其任意有限项的改变不会影响级数的收 敛性。 需要注意的是，对于发散的级数，我们无法定义它们的和。因此，在研究级数时，我们主要关注的是收敛性以及求出收敛级数的和。 第十一章无穷级数 教学内容目录： §1—§8 本章主要内容： 常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的根本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比拟审敛法和比值审敛法，交织级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。 幂级数：幂级数概念，阿贝尔〔Abel〕定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四那么运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数〔、 e x cos sin ln(1+x)、(1+x)m等〕的幂级数展开式，幂级数在 、x x 、 近似计算中的应用举例，“欧拉〔Euler〕公式。 函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。 教学目的与要求： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，理解无穷级数根本性质及收敛的必要条件。 2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比拟审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4、理解交织级数的审敛法〔莱布尼兹定理〕。 5、理解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6、理解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7、掌握比拟简单的幂级数收敛区间的求法〔区间端点的收敛性可不作要求〕。 8、理解幂级数在其收敛区间内的一些根本性质。 9、理解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10、掌握应用e x,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林〔Maclaurin〕展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。 11、理解函数展开为傅里叶〔Fourier〕级数的狄利克雷〔Dirchet〕条件，会将定义在〔-π,π〕上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在〔-π,π〕上的函数展开为正弦或余弦级数。 §11.1 常数顶级数的概念和性质 一、级数的定义 若给定一个数列 u u u n 12,,,, ，由它构成的表达式 u u u n 12++++ (1) 称之为常数项无穷级数，简称级数，记作 u n n =∞ ∑1 。 亦即 u u u u n n n =∞ ∑=++++1 12 其中第n 项u n 叫做级数的一般项。 上述级数定义仅仅只是一个形式化的定义，它未明确无限多个数量相加的意义。无限多个数量的相加并不能简单地认为是一项一项地累加起来，因为，这一累加过程是无法完成的。 为给出级数中无限多个数量相加的数学定义，我们引入部分和概念。 作级数(1)的前n 项之和 s u u u n n =+++12 (2) 称s n 为级数(1)的部分和。当n 依次取123,,, 时，它们构成一个新数列 s u 11= s u u 212=+ s u u u 3123=++ s u u u u n n =++++123 称此数列为级数(1)的部分和数列。 根据部分和数列(2)是否有极限，我们给出级数(1)收敛与发散的概念。 【定义】当n 无限增大时，如果级数(1)的部分和数列(2)有极限s ，即 lim n n s s →∞ = 则称级数(1)收敛，这时极限s 叫做级数(1)的和，并记作 s u u u u n =+++++123 ； 如果部分和数列(2)无极限，则称级数(1)发散。 当级数(1)收敛时，其部分和s n 是级数和s 的近似值，它们之间的差值 r s s u u u n n n n n k =-=+++++++12 叫做级数的余项。 【注明】由级数定义 u s u k k n n n k k n =∞ →∞ →∞=∑∑==1 1 lim lim 发现，它对加法的规定是： 依数列k u 的序号大小次序进行逐项累加，因此，级数的敛散性与这种加法规定的方式有关。 【著名反例】1111111 +-++-++-+-+-()()()() n n (1)、若逐项相加，部分和为 s n n n =⎧⎨⎩01为偶数 为奇数 , s n 无极限，故级数发散。 (2)、若每两项相加之后再各项相加，有 ()()[()()]1111111 -+-++-+-+- n n =++++000 =0 【例1】讨论等比级数 aq a aq aq a q a k k n =∞ ∑=+++++≠0 20 () 的敛散性。 解：若1≠q ，则部分和为 q aq a q a aq aq a aq s n n n k k n --= ++++== --=∑11 2 1 (1)、当q <1时，lim n n q →∞ =0，故lim n n s a q →∞ = -1， 等比级数收敛，且和为a q 1-； (2)、当q >1时，lim n n q →∞ =∞，从而lim n n s →∞ =∞， 等比级数发散； (3)、当1=q 时， 若q =1，则 )(1 1 ∞→∞→⋅=++++=⋅= ∑-=n a n a a a a a s n k k n 第七章 级数 7.1 常数项级数的概念与性质 7.1.1 常数项级数的概念 常数项级数： 一般的，设给定数列 12,,,,n a a a 则该数列所有项相加所得的表达式 12n a a a ++++ 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数； 其中第n 项n a 叫做级数的一般项或通项。 级数简记为： 1 n n a ∞ =∑，即 121 n n n a a a a ∞ ==++++∑ 部分和： 作（常数项）级数12 n a a a ++++ 的前n 项的和121 n n n i i S a a a a ==+++=∑ ， n S 称为级数（1）的前n 项部分和。 当n 依次取1，2，3，… 时，它们构成一个新的数列{}n S ，称为部分和数列。 级数收敛与发散： 如果级数 1 n n a ∞ =∑的部分和数列{}n S 有极限S ，即lim n n S S →∞ =（有限值），则称无穷级数 1 n n a ∞ =∑收敛，极限S 叫做该级数的和，并写成12n S a a a =++++ 。 如果{}n S 没有极限（lim n n S →∞ 不存在或为±∞），则称无穷级数 1 n n a ∞ =∑发散。 常用级数： （1）等比级数（几何级数）： n n q ∞ =∑ 1 11q q - 当时收敛于 1q ≥当发散 （2）p 级数: 11p n n ∞ =∑ 11p p ≤ 当时收敛当时发散 级数的基本性质： 性质1： 若级数 1n n a ∞ =∑收敛于和S ，则级数 1 n n Ca ∞ =∑（C 是常数）也收敛，且其和为CS 。 性质2： 若级数 1 n n a ∞ =∑和级数 1 n n b ∞ =∑分别收敛于和S 、σ，则级数 ()1 n n n a b ∞ =±∑也收敛，且其和为 S σ±。 注意：如果级数 1n n a ∞ =∑和 1 n n b ∞ =∑都发散，则级数 ()1n n n a b ∞ =±∑可能收敛也可能发散；而如果两个级数 1 n n a ∞ =∑和 1 n n b ∞ =∑中有且只有一个收敛，则 ()1 n n n a b ∞ =±∑一定发散。 性质3： 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。 性质4： 若级数 1 n n a ∞ =∑收敛，则对该级数的项任意加括号后所构成的新的级数 1121111()()()n n k k k k k a a a a a a -++++++++++++ 仍收敛，且其和不变。 注意：该性质的逆命题不成立。即，若一个级数加括号后的新级数收敛，则不能推出原级数收敛。 推论1： 若加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。 性质5： 若级数 1 n n a ∞ =∑收敛，则 lim 0n n a →∞ =。 注意：lim 0n n a →∞ =仅仅是级数1 n n a ∞ =∑收敛的必要条件，而非充分条件。级数理论及其在初等数学中的应用正文
第6讲 级数理论
第九章 级数
数项级数的概念与基本性质
级数的概念及其性质
数项级数的概念与基本性质
级数知识点总结归纳
级数的基本概念
几何级数的概念与性质
常用的收敛级数和发散级数
级数求和与级数的性质分析
数列和级数的
级数收敛定义
级数和的定义
级数的概念与性质
§11.1 常数顶级数的概念和性质
高数知识汇总之级数