第16讲 数学：无穷级数(一)(2010新版)

第四节 无穷级数

一、数项级数

（一）常数项级数的概念和性质 1 ．常数项级数的概念

数列 u n （ n = 1 , 2 , …）的各项依次相加的表达式1n n u ∞

=∑称为无穷级数，第n 项u n 称为级数的一般项或

通项，前n 项之和 S n =1

n i i u =∑称为级数1

n n u ∞=∑的部分和。若 lim n n s →∞

= S 存在．则称级数1

n n u ∞

=∑收敛，并称级数

1

n

n u

∞

=∑的和为S ; 若lim n n s →∞

不存在，则称级数1n n u ∞=∑发散 。 当级数1n n u ∞=∑收敛时， r n =1

i i n u ∞

=+∑称为级数的余

项，有lim n n r →∞

= 0 。

2 ．常数项级数的性质

（ 1 ）若1n n u ∞

=∑ = S,则1n n ku ∞

=∑= k 1

n n u ∞

=∑=ks （ k 为常数)；

（ 2 ）若1

n n u ∞

=∑=S ，则1

n ∞

=∑v n =T, 则

1

n ∞

=∑

（u n ±v n ) =1

n n u ∞

=∑±

1

n ∞

=∑

v n =S ± T;

（ 3 ）收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和； （ 4 ）在级数中改变有限项，不影响其收敛性；

（ 5 ）若级数1

n n u ∞

=∑收敛，则lim n n u →∞

＝ 0；反之，不一定成立。

3 ．典型级数

（ l ）几何级数1n ∞

=∑aq n-1，当q

< 1 时，收敛于

1a

q

-，当q ≥ 1 时，级数发散；

（ 2 ） p-级数1

n ∞

=∑

1

p

n （p > 0 ) ，当p > 1 时，级数收敛，当0＜p ≤1 时，级数发散.

（二）常数项级数的审敛法 1 ．正项级数审敛法

若级数1

n n u ∞

=∑，其中u n ≥0 （ n=1 , 2 ， … ），则称级数1

n n u ∞

=∑为正项级数。

（ l ）收敛准则：正项级羚收敛的充分必要条件是其部分和有界。

（ 2 ）比较审敛法：设1

n n u ∞

=∑、1

n ∞

=∑v n 为正项级数，对某个 N > 0 ，当n ＞ N 时， 0≤u n ≤Cv n （ C >

0 为常数）。若1

n ∞=∑v n 收敛，则1

n n u ∞=∑收敛；若1

n n u ∞=∑发散，则1

n ∞

=∑v n 发散。

比较审敛法的极限形式：若lim n

n n

u v →∞＝l （v n ≠0 ) ，则当0＜ l ＜十∞ 时，1n n u ∞=∑和1n ∞

=∑v n 同时收敛或

同时发散。

（ 3 ）比值审敛法：设1n n u ∞

=∑为正项级数，若 lim n →∞1

n

n

u u

+ = l ，则当l < l 时，级数收敛；当 l > 1 或

l = +∞时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。

（ 4) 根值审敛法：设1

n n u ∞=∑为正项级数，若lim n →∞

n

n u = l,则当l < l 时，级数收敛;当 l > 1 或 l = + ∞

时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。

2 ．任意项级数审敛法

若级数1

n n u ∞

=∑，其中u n （n = 1 , 2 ， … ）为任意实数，则称级数1

n n u ∞

=∑为任意项级数。若级数的各项

正负交替出现，即可写作1n ∞=∑（-1）n

u n （u n > 0 ）或1

n ∞

=∑（- l ） n+ l u n （u n ＞ 0 ） ，则称级数为交错

级数。

若级数1

n n u ∞

=∑为任意项级数，而级数1

n ∞

=∑

u n

收敛，则称级数1

n n u ∞=∑绝对收敛；若1

n n u ∞

=∑收敛，而

1

n ∞

=∑

u n

发散，则称级数1

n n u ∞

=∑条件收敛。

（ l ）莱布尼兹判别法：若交错级数1

n ∞

=∑（- l ） n u n （ u n ＞ 0 ）满足： 1 ）u n ≥ u n+1（n ＝ 1 ,

2 … ） ; 2 ） lim n →∞

u n = 0 ，则级数1

n ∞

=∑

（- 1 ）n u n 收敛，且有余项r n

≤ u n+1（n ＝ 1 , 2, …）

（ 2 ）若任意项级数1

n n u ∞

=∑绝对收敛，则该级数收敛。

（ 3 ）设1

n n u ∞=∑为任意项级数，若lim n →∞

1

n n

u u + = l （或lim n →∞n

n u ＝ l ） ，则当l < 1 时，级数绝

对收敛；当 l > 1 或 l = +∞ 时，级数发散；当 l = 1 时，级数可能收敛也可能发散。

《数学分析》第七章 无穷级数

第七章无穷级数 一、本章知识脉络框图 二、本章重点及难点 无穷级数是数学分析的重要内容之一，它在研究函数的分析性质、函数逼近、近似计算和微分方程定性理论等领域起着非常重要的作用. 无穷级数的核心是收敛性理论，它的本质就是“无穷多项的和”，但不是从“有限项相加”到“无限项相加”的简单推广，两者有着本质的区别，例如，对于有限项求和而言，加法交换律、结合律以及加法和乘法的分配律总是成立，有限个连续函数的和也是连续函数，但这些规律和性质却不能直接搬到无穷级数上去. 这就要求人们要用一种新的数学思想来研究无穷级数. 本章内容由数项级数、函数列与函数项级数、幂级数与傅里叶级数四部分组成，后两者氏特殊的函数项级数. 本章重点是各种级数的收敛性和一致收敛性的概念及其判别法，难点主要有以下几点：

● 数项级数收敛性判别方法； ● 函数列与函数项级数一致收敛性判别法以及一致收敛的函数列与函数项级数的性质； ● 幂级数的收敛半径以及和函数的性质，函数的幂级数展开； ● 将函数展成傅里叶级数的条件和方法. 三、本章的基本知识要点 （一）数项级数 1.级数的收敛性 （1）级数收敛和发散的定义 若数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S （即S S n n =∞ →lim ），则称数项级数收敛， 称S 为数项级数的和，记为 ∑∞ ==1 n n u S 或.∑=n u S 若{}n S 发散，则称级数∑∞ =1 n n u 发散. （2）级数收敛的条件 ① 级数收敛的必要条件：级数 ∑∞ =1 n n u 收敛.0lim =?∞ →n n u ② 级数收敛的柯西准则（充要条件） （10 ）级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?0>?ε，+∈?N N ，N n >?，+∈?N p ，有 .21ε<++++++p n n n u u u （20 ）级数 ∑∞ =1 n n u 发散?00>?ε，+∈?N N ，N n >?0，+∈?N p 0，使得 .0210000ε≥++++++p n n n u u u （3）收敛级数的性质 ① 线性运算性质：若级数 ∑n u 和 ∑n v 都收敛，则对任意常数d c ,，级数 ()∑+n n dv cu 也收敛，且 ().∑∑∑+=+n n n n v d u c dv cu ② 级数的收敛性与前面有限项的值无关：去掉，增加或改变级数的有限项并不改变级

高等数学讲义-- 无穷级数(数学一和数学三)

129 第八章 无穷级数（数学一和数学三） 引言：所谓无穷级数就是无穷多项相加，它与有限项相加有本质不同，历史上曾经对一个无穷级数问题引起争论。例如： +-++-+-+1)1(1111n 历史上曾有三种不同看法，得出三种不同的“和” 第一种 0)11()11()11(=+-++-+- 第二种 1)11()11()11(1=------- 第三种 设S n =+-++-+-+ 1 )1(1111 则[]S =+-+-- 11111 ,1S S =- ,12=S 2 1= S 这种争论说明对无穷多项相加，缺乏一种正确的认识。 1) 什么是无穷多项相加？如何考虑？ 2) 无穷多项相加，是否一定有“和”？ 3) 无穷多项相加，什么情形有结合律，什么情形有交换律等性质。因此对无穷级数的基本概 念和性质需要作详细的讨论。 § 8.1 常数项级数 （甲） 内容要点 一、基本概念与性质 1. 基本概念 无穷多个数 ,,,,,321n u u u u 依次相加所得到的表达式 +++++=∑∞ =n n n u u u u u 3211 称 为数项级数（简称级数）。 ∑===n k k n u S 1 123n u u u u +++ + （ ,3,2,1=n ）称为级数的前n 项的部分和，

130 {}),3,2,1( =n S n 称为部分和数列。 S u S ，，u S ，S n n n n n n ==∑∑∞ =∞ =∞ →1 1 )(lim 记以且其和为是收敛的则称级数存在若 n n S ∞ →lim 若不存在，则称级数∑∞ =1 n n u 是发散的，发散级数没有和的概念。 （注：在某些特殊含义下可以考虑发散级数的和，但在基础课和考研的考试大纲中不作这种要求。） 2． 基本性质 （1） 如果 ∑∑∑∑∑∞=∞ =∞=∞ =∞=++1 1 1 1 1 )(,n n n n n n n n n n n v b u a ，bv au ，b ，a v u 且等于收敛则为常数皆收敛和 （2） 在级数中增加或减少或变更有限项则级数的收敛性不变。 （3） 收敛级数具有结合律，也即对级数的项任意加括号所得到的新级数仍收敛，而且其和不 变。发散级数不具有结合律，引言中的级数可见是发散的，所以不同加括号后得到级数的情形就不同。 （4） 级数 ∑∞ =1 n n u 收敛的必要条件是 0lim =∞ →n n u （注：引言中提到的级数 ∑∞ =+-1 1 ,) 1(n n 具有∞→n lim ()不存在1 1+-n ，因此收敛级数的必要条件不满 足， ∑∞ =1 n () 1 1+-n 发散。调和级数 ∑ ∞ =1 n n 1满足∞→n lim 但,01=n ∑∞ =1n n 1却是发散的，所以满足收敛级数的必要条件∞ →n lim 0=n u ，而 ∑ ∞ =1 n n u 收敛性尚不能确定。） 3．两类重要的级数 （1）等比级数（几何级数） ∑∞ =0 n n ar ()0≠a 当1

考研数学假期作业第七章无穷级数(数一数三必做的29题,附详解)

考研数学假期作业第七章无穷级数（数一数三必做29题，附答案） 1.判别无穷级数的收敛性. 2. ; 3.求级数的和. 4. 敛散性 5.已知，级数 收敛，证明级数也收敛. 6.判断级数 的敛散性 7.判断下列级数的敛散性 （1） （2）.（3） （4） 8.判定下列级数的收敛性. （1） （2） （3） （4） 9.判别级数 的收敛性. 10.判定下列级数的收敛性. （1） （2） 11. 判定下列级数的收敛性. ) 1(1 4 31321211???+++ ???+?+?+?n n )122( 1 ∑∞ =++-+n n n n ∑∞ =++1)2)(1(1 n n n n ∑∞ =??? ??-1 21cos 1n n n 0lim =∞ →n n nu ))(1(1 1 n n n u u n ∑∞ =+-+∑∞ =1 n n u 1 1 1n n n i n n n +∞ =??+ ?? ? ∑ n ∞ =11(1)(2)n n n ∞=++∑12(1)2n n n ∞=+-∑1 21 (2ln 1)n n n n n n -∞ =++∑ ∑∞ =1 1sin n n ∑∞ =+ 1 2 )11ln(n n ;! 21 ∑∞ =?n n n n n ;2)!(1 2 2 ∑∞ =n n n 10! 10321102110132???++???+??+?+n n ;! 21 ∑∞ =?n n n n n ;2)!(1 2 2 ∑∞ =n n n

（1）； （2）. 12.判定下列级数的收敛性 （1），（2）. 13. 判断的收敛性. 14.判别下列级数是绝对收敛还是条件收敛. （1） (2) 15.判别级数的收敛性. 16.已知级数 绝对收敛，级数条件收敛，则（） （A ） （B ） （C ） （D ） 17.设幂级数 在处收敛，则此级数在处（ ）. （A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）收敛性不能确定 18. 设幂级数 的收敛半径为3，则幂级数 的收敛区间_____. 19.求幂级数的收敛半径与收敛域. 20.求幂级数的收敛域. 21.求幂级数的收敛半径. 22.求幂级数的收敛域. 1 23 32n n n ∞ =+-∑11 (21)2n n n ∞ =-?∑∑∞ =-+1 2)1(2n n n 121n n n n ∞=?? ?+??∑∑∞ =--1 1 ln )1(n n n n ∑∞ =12 sin n n na 1 1 (1)21 n n n ∞ =--∑∑∞ =+-1 2 )11(21) 1(n n n n n 1 1(1) n n α∞ =-∑21(1)n n n α∞-=-∑102α<≤ 112α<≤312α<≤322α<<1 (1) n n n a x ∞ =-∑1x =-2x =0 n n n a x ∞ =∑1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑∑∞ =--11 ) 1(n n n n x ∑ ∞ =0 !1n n x n ∑∞ =0!n n x n ∑∞ =-12)1(n n n n x

高等数学(三)第11章 无穷级数

无穷级数是高等数学的一个重要内容，是无限个常量或变量之和的数学模型，它是表示函数、研究函数性态以及进行数值计算的一种有效工具，在数学理论以及工程技术中都有广泛的应用．

11.1 数项级数的概念及性质 11.1.1 数项级数的概念 实例1 小球运动的时间 小球从1米高处自由落下, 每次跳起的高度减少一半, 问小球运动的总时间． 解 由自由落体运动方程221gt s =知g s t 2=．设k t 表示第k 次小球落地的时间, 则小 球运动的总时间为 +++++=k t t t t T 222321. 这里出现了无穷多个数依次相加的式子.在物理、化学等许多学科中，也常能遇到这种无穷多个数或函数相加的情形，在数学上称之为无穷级数． 上述级数的定义只是一个形式上的定义，怎样理解无穷级数中无穷多个数相加呢？我们可以从有限项出发，观察它们的变化趋势，由此来理解无穷多个数量相加的含义. 令n n u u u S +++= 21，称n S 为级数(11.1.1)的部分和．当n 依次为1,2,3,…,时，得到一个数列1S ，2S ，…，n S ，…，称为级数(11.1.1) 的部分和数列．从形式上不难知道

∑∞ =1 n n u =n n S ∞ →lim ，所以我们可以根据部分和数列的收敛与发散来定义级数的敛散性. 当级数∑∞ =1 n n u 收敛于S 时，常用其部分和S n 作为和S 的近似值，其差 ∑∑∑∞ +==∞== -=-1 1 1 n k k n k k k k n u u u S S 叫做该级数的余项，记为n r ．用部分和S n 近似代替和S 所产生的绝对误差为| r n |． 例11.1.1 判定级数 ++?++?+?) 1(1321211n n 的敛散性． 解 所给级数的一般项为1 11)1(1+-=+= n n n n u n ，部分和 ) 1(1321211+?+ +?+?=n n S n 1 11)111()3121()211(+-=+-++-+-=n n n ， 所以1)111(lim lim =+-=∞→∞→n S n n n ，故该级数收敛于1，即1)1(11 =+∑∞ =n n n ． 例11.1.2 考察波尔察诺级数∑∞ =--11)1(n n 的敛散性． 解 它的部分和数列是1, 0, 1, 0, … ,显然n n S ∞ →lim 不存在，∑∞ =--1 1)1(n n 发散． 例11.1.3 讨论几何级数(也称等比级数) ∑∞ =0 n n aq +++++=n aq aq aq a 2 的敛散性，其中 a ≠ 0, q 称为级数的公比．

高等数学习题详解-第9章-无穷级数

习题9-1 1. 判定下列级数的收敛性： (1) 1n ∞=∑; (2) 113n n ∞ =+∑; (3) 1 ln 1n n n ∞ =+∑; (4) 1 (1)2n n ∞ =-∑; (5) 1 1n n n ∞ =+∑; (6) 0(1)21 n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1 ）1 1n n k S ===∑，则lim lim(11)n n n S n =+-=+?，级数 发散。 （2）由于 14 1 1 3 n n n n ゥ ===+邋，因此原级数是调和级数去掉前面三项所得的级数，而在一个级数中增加或删去有限项不改变级数的敛散性，所以原级数发散。 （3）1 1 ln [ln ln(1)]ln1ln(1)ln(1)1n n n k k n S n n n n n ====-+=-+=-++邋，则 lim lim[ln(1)]n n n S n =-+=-?，级数发散。 （4） 2 , 21, 1,2,3,; 0 , 2n n k S k n k ì-=-??==í?=?? L 因而lim n n S 不存在，级数发散。 （5）级数通项为1n n u n =+，由于1 lim 10n n n +=?，不满足级数收敛的必要条件， 原级数发散。 （6）级数通项为(1)21 n n n u n -=+，而lim n n S 不存在，级数发散。 2. 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) 1112 3n n n ∞ =??+ ???∑； (2) 11(1)(2) n n n n ∞ =++∑; (3) 1 πsin 2n n n ∞ =?∑; (4) 0 πcos 2n n ∞ =∑． 解：（1）因为 11 1111 111131111(1).2 32 3 2232223n n n n k k k k n n n n k k k S ===骣÷ ?=+=+=-+-=--?÷?÷?桫邋? 所以该级数的和为 3111 3 lim lim() ,2223 2 n n n n n S S ==--? 即 1113.2 32n n k ￥ =骣÷?+=÷?÷?桫?

(完整)人教版八年级下册数学第16章《二次根式》讲义第1讲二次根式认识、性质

第1讲 二次根式认识、性质 第一部分 知识梳理 知识点一： 二次根式的概念 形如 （ ）的式子叫做二次根式。 必须注意：因为负数没有平方根，所以是 为二次根式的前提条件 知识点二：二次根式 （ ）的非负性 （ ）表示a 的算术平方根， 即0（）。 非负性：算术平方根，和绝对值、偶次方。 非负性质的解题应用： （1）、如若，则a=0,b=0； （2）、若，则a=0,b=0； （3）、若 ，则a=0,b=0。 知识点三：二次根式的性质 第二部分 考点精讲精练 考点1、二次根式概念 例1、下列各式：12221 1 ,2)5,3)2,4,5)(),1,7)215 3 x a a a --+---+ 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、下列各式哪些是二次根式？哪些不是？为什么？ （121 （219- （321x +（439 （56a - （6221x x ---例3)))2302,12203,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 例4、下列各式中，属于二次根式的有（ ）

例5、若21x +的平方根是5±_____=． 1、下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A B C D 2中是二次根式的个数有______个 3、下列各式一定是二次根式的是（ ） A B C D 4、下列式子，哪些是二次根式， 1 x 、 x>0） 1 x y +、 （x≥0，y ≥0） ． 51+x 、2+1x 、______个。 考点2、根式取值范围及应用 例1 有意义，则x 的取值范围是 例2 有意义的x 的取值范围 例3、当_____x 时，式子 4 x -有意义． 例4、在下列各式中，m 的取值范围不是全体实数的是（ ） A ．1)2(2+- m B ．1)2(2-m C ．2)12(--m D ．2)12 (-m 例5、若y=5-x +x -5+2019，则x+y= 例6、实数a ，b ，c │a －=______． 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是（ ） A 、x>3 B 、x≥3 C 、 x>4 D 、x≥3且x≠4 2x 的取值范围是

第16讲 数学：无穷级数(一)(2010新版)

第四节 无穷级数 一、数项级数 （一）常数项级数的概念和性质 1 ．常数项级数的概念 数列 u n （ n = 1 , 2 , …）的各项依次相加的表达式1n n u ∞ =∑称为无穷级数，第n 项u n 称为级数的一般项或 通项，前n 项之和 S n =1 n i i u =∑称为级数1 n n u ∞=∑的部分和。若 lim n n s →∞ = S 存在．则称级数1 n n u ∞ =∑收敛，并称级数 1 n n u ∞ =∑的和为S ; 若lim n n s →∞ 不存在，则称级数1n n u ∞=∑发散 。 当级数1n n u ∞=∑收敛时， r n =1 i i n u ∞ =+∑称为级数的余 项，有lim n n r →∞ = 0 。 2 ．常数项级数的性质 （ 1 ）若1n n u ∞ =∑ = S,则1n n ku ∞ =∑= k 1 n n u ∞ =∑=ks （ k 为常数)； （ 2 ）若1 n n u ∞ =∑=S ，则1 n ∞ =∑v n =T, 则 1 n ∞ =∑ （u n ±v n ) =1 n n u ∞ =∑± 1 n ∞ =∑ v n =S ± T; （ 3 ）收敛级数加括号后所成的级数仍收敛于原来的和； （ 4 ）在级数中改变有限项，不影响其收敛性； （ 5 ）若级数1 n n u ∞ =∑收敛，则lim n n u →∞ ＝ 0；反之，不一定成立。 3 ．典型级数 （ l ）几何级数1n ∞ =∑aq n-1，当q < 1 时，收敛于 1a q -，当q ≥ 1 时，级数发散； （ 2 ） p-级数1 n ∞ =∑ 1 p n （p > 0 ) ，当p > 1 时，级数收敛，当0＜p ≤1 时，级数发散.

数学强化班(武忠祥)-高数第七章 无穷级数

第七章 无 穷 级 数 第一节 常数项级数 1．概念与性质 （1）定义：∑∞ =∞ →=1 lim n n n n S u （2）性质 1）若∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v 分别收敛于σ,s ，则)(1 n n n v u ±∑∞ =收敛于σ±s . 2)改变级数前有限项不影响级数的敛散性. 3)收敛级数加括号仍收敛且和不变. 4) ∑∞ =1 n n u 收敛0lim =∞ →n n u 2.判敛准则 (1)正项级数(∑∞ =1n n u ,0≥n u ) 基本定理：∑∞ =1 n n u 收敛?n S 上有界。 1)比较判别法：设n n v u ≤,则 ∑∞ =1n n v 收敛?∑∞ =1n n u 收敛. ∑∞ =1 n n u 发散?∑∞ =1 n n v 发散. 2)比较法极限形式：设∞ →n lim )0(+∞≤≤=l l v u n n ①若+∞<

③若+∞=l ,则∑∞=1 n n v 发散?∑∞=1 n n u 发散,∑∞=1 n n u 收敛?∑∞ =1 n n v 收敛. 3)比值法:设ρ=+∞→n n n u u 1 lim ,则∑∞ =1n n u ??? ??=><, 1,,1, ,1, ρρρ不一定发散收敛 4)根值法: 设ρ=∞ →n n n u lim ,则∑∞ =1n n u ??? ??=><, 1,,1, ,1,ρρρ不一定发散收敛 (2)交错级数(∑∞ =->-1 10,)1(n n n n u u ) 莱不尼兹准则: 若：(1)n u 单调减; (2) 0lim =∞ →n n u , 则∑∞ =--1 1)1(n n n u 收敛. (3)任意项级数(∑∞ =1 n n u ,n u 为任意实数) 1)绝对收敛与条件收敛概念 2)绝对收敛和条件收敛的基本结论 ①绝对收敛的级数一定收敛,即||1 ∑∞ =n n u 收敛∑∞ =?1 n n u 收敛. ②条件收敛收敛的级数的所有正项(或负项)构成的级数一定发散. 即: ∑∞ =1n n u 条件收敛∑∞ =+?12||n n n u u 和∑∞=-1 2| |n n n u u 发散. 题型一 正项级数敛散性的判定 例7.1判定下列级数的敛散性. 1) );0(11>? ?? ? ?+∑∞ =a n na n n 2) )0(! 1>∑∞ =a n n a n n n 3) ;)cos 1(1 ∑∞ =-n n π 4) ;)1 1ln()1(1 ∑∞ =+-+n p n n n 解 1）a n na u n n n n =+=∞→∞ →1 lim lim ，则

四年级升五年级暑假课程讲义第16讲-小数乘法提升拓展专题(选讲)人教版

四年级升五年级暑假课程讲义第16讲- 小数乘法提升拓展专题 小数位数较多的小数乘法： 1. 渗透一种数学思想：转化思想。 2. 学习一类思维方法：类推法。 [例题]计算：0.00……0034×0.00……0091＝ [分析] （1）第一个因数有36位小数,第二个因数有75位小数； （2）两个因数共有36＋75＝111（位）小数,所以积的小数位数是111位； （3）先算出34×91＝3094,再将小数点向左移动111位,要在“1”的前面添加111－4＝107（个）0补位,点上小数点,最后写出整数部分的0,便是得数。 [解答] 0.00......0034×0.00......0091＝0.00 (003094) 107个0 [技巧]解决此类题目的步骤： （1）转化为整数乘法算出积； （2）算出两个因数共有几位小数,所得结果就是乘积的小数位数； （3）将小数点向左移动相应的小数位数,便是最后的得数。 75个0 36个0 75个0 36个0

[举一反三] （1） 0.00……0025×0.00……0035＝ （2） 0.00……0046×0.00……009＝ （3）0.00……0036×0.00……009＝ （4） 0.00……00308×0.00……0015＝ 2020个 2021个 105个 60个 700个 80个 2021个 1000个

速算与巧算（一） 1.渗透三种数学思想：迁移、转换、策略优化。 2.学习两种思维方法：凑整法、提公因数法。 思维提升 [例题]用简便方法计算下列各题。 3.65×0.1＋0.6×36.5＋0.039×365 12.7×15－9× 4.5 [解答] 3.65×0.1＋0.6×36.5＋0.039×365 ＝3.65×0.1＋×3.65×6＋3.65×3.9 ＝3.65×(0.1＋6＋3.9) ＝3.65×10 ＝36.5 12.7×15－9×4.5 ＝12.7×15－9×0.3×15 ＝12.7×15－2.7×15 ＝(12.7－2.7)×15 ＝10×15 ＝150 [技巧] 1.多个乘法算式相加减,且每一个算式中都含有一个因数是由相同数字组成的,可以利用积不变的规律,先把这些因数转化成大小相等的因数,再根据乘法分配律进行计算。 2.多个乘法算式相加减,各算式中有因数存在倍数关系时,先将它们进行拆分,使原式转化为具有相同因数的算式的和（差）,再根据乘法分配律进行计算。

考研数学一(无穷级数,常微分方程)历年真题试卷汇编1(题后含答

考研数学一（无穷级数，常微分方程）历年真题试卷汇编1(题后含 答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．(2009年试题，一)设有两个数列{an}，{bn}，若则( )． A．当收敛时，anbn收敛 B．当发散时,anbn发散 C．当收敛时,an2bn2收敛 D．当发散时,an2bn2发散 正确答案：C 解析：A选项的反例可取an=bn=；B，D选项的反例可取an=bn=故正确答案为 C．解析二考察选项 C．由知，{an}有界；由收敛知．即{｜bn｜}也有界．又0≤an2bn2=an｜bn｜｜bn｜≤M｜bn｜(M为常数)，根据比较敛法知，an2bn2收敛，正确答案为C．知识模块：无穷级数 2．(2006年试题，二)若级数收敛，则级数( )． A．收敛 B．收敛 C．收敛 D．收敛 正确答案：D 解析：由级数收敛推出收敛；再由线性性质推出收敛，即收敛．故选 D．知识模块：无穷级数 3．(2004年试题，二)设为正项级数．下列结论中正确的是( )． A．若，则级数收敛 B．若存在非零常数λ，使得则级数发散 C．若级数收敛，则 D．若级数发散，则存在非零常数λ，使得 正确答案：B 解析：由题设，为正项级数，可通过举反例的方法一一排除干扰项．关于A，令则发散，但故A可排除；关于C，令则收敛，但，故C也可排除；关于D，令则发散，但．即D也排除；关于B，由于发散，则由正项级数的比较判别法知发散，综上，选

B．知识模块：无穷级数 4．(2002年试题，二)设un≠0(n=1，2，3，…)，且则级数( ). A．发散 B．绝对收敛 C．条件收敛 D．收敛性根据所给条件不能判定 正确答案：C 解析：由题设，令而由已知则根据比较判别法知发散，则原级数不是绝对收敛，排除B，考虑原级数的部分和，即由已知从而．因而所以即原级数条件收敛，选 C．知识模块：无穷级数 5．(2000年试题，二)设级数收敛，则必收敛的级数为( )． A． B． C． D． 正确答案：D 解析：观察四个选项，结合题设收敛，可知D中必然收敛，因为它是两个收敛级数和逐项相加所得，关于其余三个选项，可逐一举出反例予以排除．关于A，令不难验证是收敛的交错级数，而是发散级数；关于B，令同样有为收敛的交错级数，而是发散级数；关于C，令则是收敛的交错级数，而，当n→∞时，而级数发散，因此发散．综上，选 D．一般通过举反例来排除错误选项时，常以P级数．级数(当P>1时，绝对收敛；0(当P>1时，收敛；P≤1时，发散)作为反例，其中P的取值根据具体情况而定．知识模块：无穷级数 6．(2011年试题，一)设数列{an}单调减少，无界，则幂级数的收敛域为( )． A．(一1，1] B．[一1，1) C．[0，2) D．(0，2] 正确答案：C 解析：因为{an}单调减少所以an＞0(n=1，2，…)，由交错级数的莱布尼兹法则，收敛，因为无界，所以级数发散，则的收敛域为[一1，1)，故原级数的收敛域为[0，2)．故选 C．知识模块：无穷级数 7．(1999年试题，二)设其中则等于( )．

高等数学(复旦大学版)第十二章 无穷级数

第十二章 无穷级数 无穷级数是数与函数的一种重要表达形式，也是微积分理论研究与实际应用中极其有力的工具. 无穷级数在表达函数、研究函数的性质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有着重要的应用. 研究级数及其和，可以说是研究数列及其极限的另一种形式，但无论在研究极限的存在性还是在计算这种极限的时候，这种形式都显示出很大的优越性. 本章先讨论数项级数，介绍无穷级数的一些基本内容，然后讨论函数项级数，并着重讨论如何将函数展开成幂级数与三角级数的问题. 第一节 常数项级数的概念和性质 教学目的： 1、理解无穷级数的概念； 2、理解级数的收敛或发散的概念； 3、掌握等比级数和p 级数等特殊级数的敛散性； 4、了解无穷级数的基本性质。 教学重点：级数收敛或发散的判定 教学难点：级数收敛或发散的判定 教学内容： 一、常数项级数的概念 定义1 给定数列{}n u ，则称 12n u u u ++++L L 为常数项无穷级数，简称级数，记做 1 n n u ¥ =å ，即 121 n n n u u u u ¥ ==++++å L L 式子中每一项都是常数，称作常数项级数，第n 项称为级数的一般项（或通项）。 级数 1 n n u ¥ =å 的前n 项和称为级数的部分和，记做n s ，即 12n n s u u u =+++L 级数的所有前n 项部分和n s 构成一个数列{}n s ，称此数列为级数 1 n n u ¥ =å 的部分和数列。

定义2 若级数 1 n n u ¥ =å 的部分和数列{}n s 收敛于s ，则称级数1 n n u ¥=å收敛，或称1 n n u ¥ =å为收敛级数，称s 为这个级数的和，记作 121 n n n s u u u u ¥ ==++++= å L L 而 12n n n n r s s u u ++=-=++L 称为级数的余项，显然有 lim lim()0n n n n r s s =-= 若{}n s 是发散数列，则称级数1 n n u ¥ =å 发散，此时这个级数没有和。 例1 试讨论等比级数 21(0)n a ar ar ar a -+++++?L L 的收敛性. 例2 判定级数 1 2 (21)(21)n n n ¥ =-+å的收敛性. 例3 证明调和级数 11111 123n n n ¥ ==+++++å L L 发散. 二、常数项级数的性质 性质1 若级数 1 n n u ¥ =å 收敛于和s ，又设k 为常数，则1 n n ku ¥ =å也收敛，且和为ks . 性质2 若级数1 n n u ¥ =å ，1 n n v ¥=å分别收敛于1s , 2s ，则级数1 ()n n n u v ¥ =±å也收敛，且其 和为12s s ±. 性质2的结果表明：两个收敛级数可以逐项相加或逐项相减. 性质3 在级数中去掉、增加或改变有限项，不会改变级数的敛散性.

考研数学一(无穷级数)模拟试卷12(题后含答案及解析)

考研数学一（无穷级数）模拟试卷12(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题 选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1．设an＞0(n=1，2，3，…)且a2n ( ) A．绝对收敛。 B．条件收敛。 C．发散。 D．敛散性与A有关。 正确答案：A 解析：由于an为正项级数且收敛，则级数a2n收敛，而则由比较判别法知a2n绝对收敛。故选A。知识模块：无穷级数 2．设an为正项级数，下列结论中正确的是( ) A．若an收敛。 B．若存在非零常数λ，使得an发散。 C．若级数n2an=0。 D．若级数an发散，则存在非零常数λ，使nan=λ。 正确答案：B 解析：取an=发散，(A)不对；取an==+∞，(c)不对；取an=nan=+∞，(D)不对。故应选B。知识模块：无穷级数 3．级数(α＞0，β＞0)的敛散性( ) A．仅与β取值有关。 B．仅与α取值有关。 C．与α和β的取值有关。 D．与α和β的取值无关 正确答案：C 解析：由于。(1)当0＜β＜1时，级数发散。(2)当β＞1时，级数收敛。(3)当＞=1时，原级数为，此时，当α＞1时收敛，当α≤1时发散，故应选C。知识模块：无穷级数 4．下列级数中属于条件收敛的是( ) A． B． C．

D． 正确答案：D 解析：由排除法，因此应选D。知识模块：无穷级数 5．设a＞0为常数，则( ) A．绝对收敛。 B．条件发散。 C．发散。 D．收敛性与a有关。 正确答案：A 解析：由于1一cos收敛，根据绝对收敛的定义知绝对收敛。因此应选A。知识模块：无穷级数 6．若an(x一1)n在x=一1处收敛，则此级数在x=2处( ) A．条件收敛。 B．绝对收敛。 C．发散。 D．收敛性不确定。 正确答案：B 解析：因x=一1为级数的收敛点，知级数在｜x一1｜＜｜一1—1｜=2内收敛，即当一1＜x＜3时绝对收敛，x=2在区间(一1，3)内，故应选B。知识模块：无穷级数 7．下列四个级数中发散的是( ) A． B． C． D． 正确答案：B 解析：对于(A)，因为而级数发散，由比较审敛法的极限形式知级数发散。应选B。对于(C)，这是一个交错级数，而且令f(x)=，因此当x＞e2时，f’(x)＜0，f(x)单调减少，所以当n＞[e2]([e2]表示不大于e2的最大整数)时，，由交错级数的莱布尼茨判别法知，级数收敛。对于(D)，因为知识模块：无穷级数 8．若级数bn发散，则( )

同济大学(高等数学)_第四篇_无穷级数

第四篇 无穷级数 第七章 无穷级数 无穷级数是高等数学课程的重要内容，它以极限理论为基础，是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数，介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容，然后讨论函数项级数，着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题，最后介绍工程中常用的傅里叶级数. 第1节 常数项级数的概念与性质 常数项级数的概念 一般的，给定一个数列 ,,,,,321n u u u u 则由这数列构成的表达式 +++++n u u u u 321 叫做（常数项）无穷级数 简称（常数项）级数 记为∑∞ =1 n n u 即 3211 ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++=∑∞ =n n n u u u u u 其中第n 项n u 叫做级数的一般项 作级数∑∞ =1 n n u 的前n 项和 n n i i n u u u u u s +⋅⋅⋅+++==∑= 3211 称为级数∑∞ =1 n n u 的部分和 当n 依次取1,2,3…时，它们构成一个新的数列 11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++，…，

12...n n s u u u =+++，… 根据这个数列有没有极限，我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。 定义 如果级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列}{n s 有极限s 即s s n n =∞ →lim 则称无穷级数 ∑∞ =1 n n u 收敛 这时极限s 叫做这级数的和 并写成 3211 +++++==∑∞ =n n n u u u u u s 如果}{n s 没有极限 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 发散 当级数∑∞ =1 n n u 收敛时 其部分和n s 是级数∑∞ =1 n n u 的和s 的近似值 它们之间的差值 12n n n n r s s u u ++=-=++ 叫做级数∑∞ =1n n u 的余项 例1 讨论等比级数（几何级数）n n aq ∑∞ =0 (a 0)的敛散性 解 如果1 ≠q 则部分和 q aq q a q aq a aq aq aq a s n n n n ---=--=+⋅⋅⋅+++=-111 1 2 当1q 时 因为∞ =∞ →n n s lim 所以此时级数n n aq ∑∞ =0 发散 如果1=q 则当1=q 时 n s na =→∞ 因此级数n n aq ∑∞ =0 发散 当1-=q 时 级数n n aq ∑∞ =0 成为

专升本高等数学全套讲义及真题解析：第十章-无穷级数

第十章 无穷级数 【考试要求】 1．理解级数收敛、发散的概念．掌握级数收敛的必要条件，了解级数的基本性质． 2．掌握正项级数的比值审敛法．会用正项级数的比较审敛法． 3．掌握几何级数、调和级数与 p 级数的敛散性． 4．了解级数绝对收敛与条件收敛的概念，会使用莱布尼茨判别法． 5．了解幂级数的概念，收敛半径，收敛区间． 6．了解幂级数在其收敛区间内的基本性质（和、差、逐项求导与逐项积分）． 7．掌握求幂级数的收敛半径、收敛区间的方法． 【考试内容】 一、常数项级数的相关概念 1．常数项级数的定义 一般地，如果给定一个数列 1u ，2u ，，n u ， ，则由这数列构成的表 达式123n u u u u +++++ 叫做常数项无穷级数，简称常数项级数或级数， 记为 1 n n u ∞ =∑，即 1231 n n n u u u u u ∞ ==+++++∑，其中第n 项n u 叫做级数 的一般项． 2．常数项级数收敛、发散的概念 作常数项级数 1 n n u ∞ =∑的前n 项和121 n n n i i s u u u u ==++ +=∑，n s 称为级 数 1 n n u ∞ =∑的部分和，当n 依次取1,2,3, 时，它们构成一个新的数列 11s u =，212s u u =+，3123s u u u =++， ， 12n n s u u u =++ + ， ． 如果级数 1 n n u ∞ =∑的部分和数列{}n s 有极限s ，即lim n n s s →∞ =，则称无穷级数

1 n n u ∞ =∑收敛，这时极限 s 叫做这级数的和，并写成 123n s u u u u =+++ ++ 或者 1 n n u s ∞ ==∑；如果{}n s 没有极限，则称无穷 级数 1 n n u ∞ =∑发散． 3．收敛级数的基本性质 （1）如果级数 1n n u ∞ =∑收敛于和s ，则级数 1 n n ku ∞ =∑也收敛，且其和为ks ．一 般地，级数的每一项同乘一个不为零的常数后，它的收敛性不变． （2）如果级数 1 n n u ∞ =∑、1 n n v ∞ =∑分别收敛于和s 、σ，则级数 1 ()n n n u v ∞ =±∑也 收敛，且其和为s σ±． （3）在级数 1 n n u ∞ =∑中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性． （4）如果级数1 n n u ∞ =∑收敛，则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收 敛，且其和不变． （5）如果级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则它的一般项n u 趋于零，即lim 0n n u →∞ =． 说明：此条件称为级数收敛的必要条件．由原命题成立逆否命题一定成立可得，如果lim n n u →∞ 不为零，则级数 1 n n u ∞ =∑一定发散． 4．几个重要的常数项级数 （1）等比级数 级 数 21 n n n q q q q ∞ ==++++ ∑或 20 1n n n q q q q ∞ ==+++++∑称为等比级数或几何级数，其中q 叫做级数

小学五年级奥数第16讲 倍数问题(一)(含答案分析)

第16讲倍数问题（一） 一、知识要点 倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或差以及这几个数之间的倍数关系，求这几个数的应用题。 解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其它几个数与这个1倍数的关系，确定“和”或“差”相当于这样的几倍，最后用除法求出1倍数。 二、精讲精练 【例题1】两根同样长的铁丝，第一根剪去18厘米，第二根剪去26厘米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍。原来两根铁丝各长多少厘米？ 练习1： 1.两个数的和是68 2.其中一个加数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个加数。这两个加数各是多少？ 2.两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍。两根绳子原来各长多少米？

【例题2】甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍。原来甲组有图书多少本？ 练习2： 1.原来小明的画片是小红的3倍，后来二人各买了3张，这样小明的画片就是小红的2倍。原来二人各有多少张画片？ 2.一个书架分上、下两层，上层的书的本数是下层的4倍。从下层拿5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍。原来下层有多少本书？ 【例题3】幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍。大班的同学每7人一组，每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩下16个。大班共有多少个同学？

1.高年级同学植树，共有杉树苗和杨树苗100棵。如果每个小组分给杉树苗6棵，杨树苗8棵，那么，杉树苗正好分完，杨树苗还剩2棵。两种树苗原来各有多少棵？ 2.高年级同学植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍。如果每小组分到杉树6棵，杨树8棵，那么，杉树正好分完，杨树还剩20棵。两种树原来各有多少棵？ 【例题4】有两筐桔子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的桔子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐的桔子是乙筐的2倍。甲、乙两筐原来各有多少个桔子？

专题3 数列专题压轴小题(原卷版)

专题3数列专题压轴小题 一、单选题 1．（2021·湖北·高三期中）2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，这个政策就是我们所说的“双减”政策，“双减”政策极大缓解了教育的“内卷”现象，而“内卷”作为高强度的竞争使人精疲力竭.数学中的螺旋线可以形象的展示“内卷”这个词，螺旋线这个名词来源于希腊文，它的原意是“旋卷”或“缠卷”，平面螺旋便是以一个固定点开始向外逐圈旋绕而形成的曲线，如图（1）所示.如图（2）所示阴影部分也是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD 的边长为4，取正方形ABCD 各边的四等分点E ，F ，G ，H ，作第2个正方形EFGH ，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M ，N ，P ，Q ，作第3个正方形MNPQ ，依此方法 一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案.设正方形ABCD 边长为1a ，后续各正方形边长依次为2a ， 3a ，…，n a ，…；如图（2）阴影部分，设直角三角形AEH 面积为1b ，后续各直角三角形面积依次为2b ，3b ， …，n b ，….下列说法错误．． 的是（ ） A ．从正方形ABCD 开始，连续3个正方形的面积之和为129 4 B ．1 4n n a -=⨯⎝⎭ C ．使得不等式1 2 n b > 成立的n 的最大值为4 D ．数列{}n b 的前n 项和4n S < 2．（2021·云南·峨山彝族自治县第一中学高三月考（理））已知数列{}n a 满足12 21 n n n a a a +=+，满足()10,1a ∈，1220212020a a a ++⋅⋅⋅+=，则下列成立的是（ ） A ．120211 ln ln 2020a a ⋅> B ．120211 ln ln 2020 a a ⋅= C ．120211 ln ln 2020 a a ⋅< D ．以上均有可能 3．（2021·浙江·高三月考）已知各项都为正数的数列{}n a 满足1(2)a a a =>，1 *11 ()n a n n n e a ka n N a +-++=- +∈，给出下列三个结论：①若1k =，则数列{}n a 仅有有限项；②若2k =，则数列{}n a 单调递增；③若2k = ，则