判别一元二次方程根的情况

22.2解一元二次方程

判别一元二次方程根的情况

教学内容

用b2-4ac大于、等于0、小于0判别ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况及其运用．教学目标

掌握b2-4ac>0，a x2+bx+c=0（a≠0）有两个不等的实根，反之也成立；b2-4ac=0，a x2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，反之也成立；b2-4ac<0，ax2+bx+c=0（a≠0）没实根，反之也成立；及其它们关系的运用．

通过复习用配方法解一元二次方程的b2-4ac>0、b2-4ac=0、b2-4ac<0各一题，?分析它们根的情况，从具体到一般，给出三个结论并应用它们解决一些具体题目．重难点关键

1．重点：b2-4ac>0?一元二次方程有两个不相等的实根；b2-4ac=0?一元二次方程有两个相等的实数；b2-4ac<0?一元二次方程没有实根．

2．难点与关键

从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的b2-4ac的情况与根的情况的关系．

教具、学具准备

小黑板

教学过程

一、复习引入

（学生活动）用公式法解下列方程．

（1）2x2-3x=0 （2）3x2（3）4x2+x+1=0

老师点评，（三位同学到黑板上作）老师只要点评（1）b2-4ac=9>0，?有两个不相等的实根；（2）b2-4ac=12-12=0，有两个相等的实根；（3）b2-4ac=│-4×4×1│=<0，?方程没有实根

二、探索新知

从前面的具体问题，我们已经知道b2-4ac>0（<0，=0）与根的情况，现在我们从求根公式的角度来分析：

求根公式：b2-4ac>0

于一个具体数，所以一元一次方程的x1x1

个不相等的实根．当b2-4ac=0时，?，所以x1=x2=

2b a

-

，即有两个相等的实根；当b2-4ac<0时，根据平方根的意义，负数没有平方根，所以没有实

数解．

因此，（结论）（1）当b2-4ac>0时，一元二次方程a x2+bx+c=0（a≠0）?有两个不相

等实数根即x1x2

（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等实数根即x1=x2=

2b a

-

．（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根．

例1．不解方程，判定方程根的情况

（1）16x2+8x=-3 （2）9x2+6x+1=0

（3）2x2-9x+8=0 （4）x2-7x-18=0

分析：不解方程，判定根的情况，只需用b-4ac的值大于0、小于0、等于0?的情况进行分析即可．

解：（1）化为16x2+8x+3=0

这里a=16，b=8，c=3，b2-4ac=64-4×16×3=-128<0

所以，方程没有实数根．

（2）a=9，b=6，c=1，

b2-4ac=36-36=0，

∴方程有两个相等的实数根．

（3）a=2，b=-9，c=8

b2-4ac=（-9）2-4×2×8=81-64=17>0

∴方程有两个不相等的实根．

（4）a=1，b=-7，c=-18

b2-4ac=（-7）2-4×1×（-18）=121>0

∴方程有两个不相等的实根．

三、巩固练习

不解方程判定下列方程根的情况:

（1）x2+10x+26=0 （2）x2-x-3

4

=0

（3）3x2+6x-5=0 （4）4x2-x+

1

16

=0

（5）x21

4

=0 （6）4x2-6x=0

（7）x（2x-4）=5-8x

四、应用拓展

例2．若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．

分析：要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．

解：∵关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根．∴（-2a）2-4（a-2）（a+1）=4a2-4a2+4a+8<0

a<-2

∵ax+3>0即ax>-3

∴x<-3 a

∴所求不等式的解集为x<-3 a

五、归纳小结

本节课应掌握：

b2-4ac>0?一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实根；b2-4ac=0 ?一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实根；b2-4ac<0?一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根及其它的运用．

六、布置作业

1．教材P46复习巩固6 综合运用9 拓广探索1、2．

2．选用课时作业设计．

第五课时作业设计

一、选择题

1．以下是方程3x2-2x=-1的解的情况，其中正确的有（）．

A．∵b2-4ac=-8，∴方程有解

B．∵b2-4ac=-8，∴方程无解

C．∵b2-4ac=8，∴方程有解

D．∵b2-4ac=8，∴方程无解

2．一元二次方程x2-ax+1=0的两实数根相等，则a的值为（）．

A．a=0 B．a=2或a=-2

C．a=2 D．a=2或a=0

3．已知k≠1，一元二次方程（k-1）x2+kx+1=0有根，则k的取值范围是（）．

A．k≠2 B．k>2 C．k<2且k≠1 D．k为一切实数

二、填空题

1．已知方程x2+px+q=0有两个相等的实数，则p与q的关系是________．

2．不解方程，判定2x2-3=4x的根的情况是______（?填“二个不等实根”或“二个相等实根或没有实根”）．

3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程x2-（2a+b）x+（a+ab-2b2）?=0的根的情况是________．

三、综合提高题

1．不解方程，试判定下列方程根的情况．

（1）2+5x=3x2（2）x2-（

2．当c<0时，判别方程x2+bx+c=0的根的情况．

3．不解方程，判别关于x的方程x2-2kx+（2k-1）=0的根的情况．

4．某集团公司为适应市场竞争，赶超世界先进水平，每年将销售总额的8%作为新产品开发研究资金，该集团2000年投入新产品开发研究资金为4000万元，2002年销售总额为7.2亿元，求该集团2000年到2002年的年销售总额的平均增长率．

答案:

一、1．B 2．B 3．D

二、1．p2-4q=0 2．有两个不等实根 3．有两个不等实根

三、

1．（1）化为3x2-5x-2=0 b2-4ac=（-5）2-4×3×（-2）=49>0，有两个不等实根．

（2）b2，没有实根．

2．∵c<0 ∴b2-4×1×c>0，方程有两个不等的实根．

3．b2-4ac=4k2-4（2k-1）=4k2-8k+4=4（k-1）2≥0，?

∴方程有两个不相等的实根或相等的实根．

4．设平均增长率为x，40000000

8%

（1+x）2=720000000，

即50（1+x）2=72 解得x=20%，

∴年销售总额的平均增长率是20%．

一元二次方程根的判别式知识点

一元二次方程根的判别 式知识点 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

一元二次方程根的判别式知识点及应用 1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式定理：在一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac 若△＞0则方程有两个不相等的实数根 若△=0则方程有两个相等的实数根 若△＜0则方程没有实数根 2、这个定理的逆命题也成立，即有如下的逆定理： 在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=b24ac 若方程有两个不相等的实数根，则△＞0 若方程有两个相等的实数根，则△=0 若方程没有实数根，则△＜0 特别提示：（1）注意根的判别式定理与逆定理的使用区别：一般当已知△值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。 一、不解方程，判断一元二次方程根的情况。 二、例1、判断下列方程根的情况 三、2x2+x━1=0；x2—2x—3=0；x2—6x+9=0；2x2+x+1=0 二、?已知一元二次方程根的情况，求方程中字母系数所满足的条件。 例2、当m为何值时关于x的方程（m—4）x2—（2m—1）x+m=0有两个实数根？ 三、?证明方程根的性质。 例3、求证：无论m为任何实数，关于x的方程x2+（m2+3）x+0.5(m2+2)=0恒有两个不相等的实数根。 四、?判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。 例4、当m为何值时，关于x的二次三项式mx2-2（m+2）x+（m+5）能在实数范围 内因式分解。 五、?判定二次三项式为完全平方式。 例5、若x2-2（k+1）x+k2+5是完全平方式，求k的值。 例6、当m为何值时，代数式（5m-1）x2-（5m+2）x+3m—2是

一元二次方程及根的定义

一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.

. 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ，

， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以，

所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得

九年级数学--二次根式,一元二次方程,四边形测试(含答案)

九年级数学--二次根式,一元二次方程,四边形测试（含答案） （命题人: 本卷满分150分,考试时间： ） 第 Ⅰ 卷（选择题,共30分） 一、选择题：本大题共10小题,每小题3分,共30分. 1．下列二次根式中,合并的是 【 ▲ 】 2.下面计算正确的是【 ▲ 】 A.+=3=2==-6 3.下列关于x 的一元二次方程有实数根的是【 ▲ 】 A.210x +=； B.210x x ++=； C.210x x -+= ； D.210x x --=． 4.关于x 的一元二次方程()2211a x x a -++=的一个根为0,则a 的值为【 ▲ 】 A.1 B.1- C.1或1- D. 12 5.若a ＜1,1＝【 ▲ 】 A ．a ﹣2 B ．2﹣a C ．a D ．﹣a 6.若关于x 的方程(x+5)2=m-2有两个不相等的实数根,则m 的取值范围是【 ▲ 】 A.m ＞0 B. m ≥2 C. m ＞2 D. m ≠2 7.某农机厂四月份生产零件50万个,第二季度共生产零件182万个.设该厂五、 六 月份平均每月的增长率为x,那么满足x 的方程是【 ▲ 】 A.50(1+x)2=182 B.50+50(1+x)+50(1+x)2=182 C.50(1+2x)＝182 D.50+50(1+x)+50(1+2x)=182 8.若关于x 的方程kx 2-2x-1=0有两个不相等的实数根,则k 的取值范围【 ▲ 】

A. k ＞-1 B. k<1且k ≠0 C. k ≥-1且k ≠0 D. k ＞-1且k ≠0 9. 2,则a 的范围为【 ▲ 】 A.a ≥4 B.a ≤2 C.2≤a ≤4 D.a=2或a=4 10.如图,点C 线段AB 上的一个动点,AB=1,分别以AC 和CB 为一边作正方形,用S 表示这两个正方形的面积之和,下列判断正确的是【 ▲ 】 A ．当C 是AB 的中点时,S 最小 B ．当 C 是AB 的中点时,S 最大 C ．当C 为AB 的三等分点时,S 最小 D ．当C 为AB 的三等分点时,S 最大 第 Ⅱ 卷 （非选择题,共120分） 二、填空题：本大题共10小题,每小题3分,共30分. 11. x 的取值范围是 ▲ . 12.在实数范围内因式分解：2x 2-4= ▲ . 13.计算：2013201432)(32)+-= ▲ . 14.写出一个关于x 的一元二次方程,使它的一个根11x =-,另一个根2x 满足 -1＜x 2＜2,你写的方程是 ▲ . 15.若方程x 2+4x+a=0有实根, 等于 ▲ . 16.已知 ,则m= ▲ . 17.已知:a 、b 实数且满足（a 2+b 2）2-(a 2+b 2)-6=0,则a 2+b 2的值为 ▲ . 18.当m= ▲ 时,二次三项式x 2-2(m+1)x+9是一个关于x 的完全平方 式. 19.如果1122=+-+a a a ,那么a 的取值范围是 ▲ . A C B 第10题图

一元二次方程根的情况试题练习题

一元二次方程根的情况练习题（含答案） 一．选择题 1．一元二次方程2x2﹣5x﹣2=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 2．一元二次方程3x2﹣4x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．两个相等的实数根D．两个不相等的实数根 3．一元二次方程x2﹣7x﹣2=0的实数根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．无实数根D．无法确定 5．a，b，c为常数，且（a﹣c）2＞a2+c2，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．无实数根D．有一根为0 6．一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 7．一元二次方程2x2﹣3x+1=0根的情况是（）

C．只有一个实数根D．没有实数根 8．y=x+1是关于x的一次函数，则一元二次方程kx2+2x+1=0的根的情况为（） A．没有实数根 B．有一个实数根 C．有两个不相等的实数根D．有两个相等的实数根 9．一元二次方程x2+2x+1=0的根的情况（） A．有一个实数根B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根D．没有实数根 10．一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 11．一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的根的情况为（） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．没有实数根 12．一元二次方程4x2+1=4x的根的情况是（） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根 13．方程x2﹣2x+3=0的根的情况是（） A．有两个相等的实数根B．只有一个实数根 C．没有实数根 D．有两个不相等的实数根 14．已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）

一元二次方程根的分布情况归纳总结

一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00??? -??? ->??f 综 合结论（不讨论 a ） ()00200b a a f ?>???-?? ()0 0200 b a a f ?>???->???>?? ()00

分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0??? -??? ->??k f 综 合结论（不讨论 a ） ()020b k a a f k ?>??? - ?? ()0 20 b k a a f k ?>??? - >???>?? ()0

一元二次方程与动点及答案

1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ 2.△ABC 中，∠B=90°，AB=5cm ，BC=6cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向终点B 以1cm/s 的速度移动，与此同时，点Q 从点B 开始沿边BC 向终点C 以2cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当点Q 运动到点C 时，两点停止运动．设运动时间 为t 秒． （1）填空：BQ= ，PB= （用含t 的代数式表示）； （2）当t 为何值时，PQ 的长度等于5cm ？ （3）是否存在t 的值，使得△PBQ 的面积等于4cm 2？若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由． P C A B Q ↑

3.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题： （1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm2？ （2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由． 4.如图所示，△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，经几秒，使△PBQ的面积等于8cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，并且P到B后又继续在BC边上前进，Q到C后又继续在CA边上前进，经过几秒，使△PCQ的面积等于12.6cm2？

一元二次方程根的分布教学设计

一元二次方程根的分布教学设计 大庆一中高中部孙庆夺 一、教学分析 （一）教学内容分析 本节课所讲的内容是高中数学必修一第三章第一节《函数与方程》之后的一个专题内容，是中学数学的重要内容之一。这段内容与一元二次不等式，二次函数等内容有着紧密的联系。它是在前面学习了函数与方程，二次方程，二次不等式基础上对函数与方程内容的深化和拓展，通过根的分布的不同情况，充分体现了由简单到复杂、特殊到一般的化归的数学思想。从而提升学生对数学知识的应用能力。通过学习一元二次方程根的分布，有助于学生进一步理解二次方程，二次函数，加深函数与方程思想，数形结合思想在数学学习中的应用的认识，同时也为以后数学的学习打下扎实的基础。 （二）教学对象分析 高中一年级的学生已经有了一定的观察识图能力及分析判断能力，有利用已有知识解决新问题的愿望。学生学习了函数与方程，二次方程，二次函数的知识， 已经具有用数学知识解决实际问题的能力。学生抽象逻辑思维很大程度上还属于经验型，需要感性经验的直接支持。通过学习，抽象逻辑思维逐步成熟，能够用理论作为指导来分析、综合各种事实材料，从而不断扩大自己的知识领域。 （三）教学环境分析 由于本节课涉及到根的分布情况较多，对老师的的作图提出了很高的要求。采用传统的板式教学，根本就无法向学生演示动态过程，很难满足学生的求知欲，达不到教学的最佳效果。多媒体网络教学，是现代高中数学教学全新的教育技术，

使传统的教学方式得到补充。在计算机的帮助下，利用制作好的几何画板课件，操作演示，感受根的分布的不同情况，加深学生的认识和理解，同时也符合学生认识事物从感性认识到理想认识的认知过程。 （四）教学手段 采用多媒体网络教学。《普通高中数学课程标准》指出：“现代信息技术的广泛应用真正对数学教学、数学学习方面产生深刻的影响，数学课程的设计应重视运用现代信息技术，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，提倡实现信息技术与课程内容的有机结合。”本节课涉及到的图象信息较多，利用多媒体网络教学可以实现最大容量地向学生提供图象信息，并让学生整理归纳信息，增强学生的动手能力、思考能力和自主学习能力，也能实现数学课堂中学生的高参与度，从而实现资源、时间、效率的最优化。 （五）教学方式 自主式探究，学案式导学。自主探究，学案导学的教学方式，能够激发学生的学习兴趣、突出学生的主题地位，培养学生的数学应用意识、合作精神，这与《新课标》的要求是吻合的。 二、教学目标 １.知识与能力 加深对一元二次方程，二次函数图象与性质的认识；会利用函数知识，方法重新审视一元二次方程． ２.过程与方法 体验“观察-猜想-验证”探究问题的方法，领会由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想，加深对函数与方程，数形结合思想的理解。

一元二次方程的根的判别式练习题

一元二次方程的根的判别式 1、方程2x 2+3x －k=0根的判别式是 ；当k 时，方程有实根。 2、关于x 的方程kx 2+(2k+1)x －k+1=0的实根的情况是 。 3、方程x 2+2x+m=0有两个相等实数根，则m= 。 4、关于x 的方程(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0的根的情况是 。 5、当m 时，关于x 的方程3x 2－2(3m+1)x+3m 2－1=0有两个不相等的实数根。 6、如果关于x 的一元二次方程2x(ax －4)－x 2+6=0没有实数根，那么a 的最小整数值是 。 7、关于x 的一元二次方程mx 2+(2m －1)x －2=0的根的判别式的值等于4，则m= 。 8、设方程(x －a)(x －b)－cx=0的两根是α、β，试求方程(x －α)(x －β)+cx=0的根。 9、不解方程，判断下列关于x 的方程根的情况： (1)(a+1)x 2－2a 2x+a 3=0(a>0) (2)(k 2+1)x 2－2kx+(k 2+4)=0 10、m 、n 为何值时，方程x 2+2(m+1)x+3m 2+4mn+4n 2+2=0有实根? 11、求证：关于x 的方程(m 2+1)x 2－2mx+(m 2+4)=0没有实数根。 12、已知关于x 的方程(m 2－1)x 2+2(m+1)x+1=0，试问：m 为何实数值时，方程有实数根? 13、 已知关于x 的方程x 2－2x －m=0无实根(m 为实数)，证明关于x 的方程x 2+2mx+1+2(m 2－1)(x 2+1)=0 也无实根。 14、已知：a>0,b>a+c,判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0根的情况。 15、m 为何值时，方程2(m+1)x 2+4mx+2m －1=0。 (1)有两个不相等的实数根； (2)有两个实数根； (3)有两个相等的实数根； (4)无实数根。 16、当一元二次方程(2k －1)x 2－4x －6=0无实根时，k 应取何值? 17、已知：关于x 的方程x 2+bx+4b=0有两个相等实根，y 1、y 2是关于y 的方程y 2+(2－b)y+4=0的两实根，求以1y 、2y 为根的一元二次方程。 18、若x 1、x 2是方程x 2+ p x+q=0的两个实根，且23x x x x 222121=++，25x 1x 12221=+求p 和q 的值。 19、设x 1、x 2是关于x 的方程x 2+px+q=0(q ≠0)的两个根，且x 2 1+3x 1x 2+x 2 2=1， 0)x 1(x )x 1(x 2211=+++，求p 和q 的值。 20、已知x 1、x 2是关于x 的方程4x 2－(3m －5)x －6m 2=0的两个实数根，且23x x 21=，求常数m 的值。 21、已知α、β是关于x 的方程x 2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3－α2β－αβ2+ β3=0，求证：p=0,q<0 22、已知方程(x －1)(x －2)=m 2(m 为已知实数，且m ≠0)，不解方程证明： (1)这个方程有两个不相等的实数根；

最新九年级上册特殊平行四边形与一元二次方程专题复习

一．1.为了美化环境，某市加大对绿化的投资．2007年用于绿化投资20万元，2009年用于绿化投资25万元，求这两年绿化投资的年平均增长率．设这两年绿化投资的年平均增长率为x ，根据题意所列方程为（ ） A 、22025x = B 、20(1)25x += C 、220(1)25x += D 、220(1)20(1)25x x +++= 2.2008年爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机。受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价%a 后售价为148元，下面所列方程正确的是 A ．2200(1%)148a += B ． 2200(1%)148a -= C ．200(12%)148a -= D ．2200(1%)148a -= 3.某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个.设该厂五、六月份 平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是（ ） A 、182)1(502=+x B ．182)1(50)1(50502 =++++x x C 、50(1+2x)＝182 D ．182)21(50)1(5050=++++x x 5. 如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD ．求该矩形草坪BC 边的长． 6、将5题BC 边上留出一个2米宽的开口，其他条件不变，求BC 边的长 7.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，?商场要想平均每天盈利120元，

一元二次方程判别式及韦达定理

一元二次方程判别式及韦达定理 一、选择题 1.（2013湖北黄冈）已知一元二次方程x 2－6x ＋c ＝0有一个根为2，则另一根为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 2.（2013四川泸州）若关于x 的一元二次方程2210kx x --=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．1k >- B ．1k <且0k ≠ C ． 1k ≥-且0k ≠ D ． 1k >-且0k ≠ 3. （2013四川泸州，）设12,x x 是方程2330x x +-=的两个实数根，则 2112 x x x x +的值为（ ） A ．5 B ．－5 C ．1 D ．－1 4. （2013福建福州，）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A ．x 2＋3＝0 B ．x 2＋2x ＝0 C ．(x ＋1)2＝0 D ．(x ＋3)(x －1)＝0 5．（2013山东滨州，）对于任意实数k ，关于x 的方程程x 2－2(k +1)x －k 2+2k －1=0的根的情况为 A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根 C ．有两个不相等的实数根 D ．无法确定 6．（2013广东广州）若0205<+k ，则关于x 的一元二次方程042=-+k x x 的根的情况是（ ） A .没有实数根 B .有两个相等的实数根 C .有两个不相等的实数根 D .无法判断 7．（2013山东日照）已知一元二次方程032=--x x 的较小根为1x ,则下面对1x 的估计准确的是 A ．121-<<-x B ．231-<<-x C ．321<

一元二次方程求根公式

一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式

法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，

中考数学：四边形

中考数学：图形的认识 往年的一道本省中考数学题，先上题吧！

审题后不难发现，又是探究的一种题，题中出现两个等边三角形，第一印象肯定要先想全等三角形的存在。 （1）△ADC≌△BEC即可，过程不再说了；之后就能得到角的度数和两线段的关系； （2）根据第一问的方法，证明两个三角形全等△ADC≌△BEC，AD=BE，DE=2CM，所以AE=2CM+BE； （3）∠BPD=90°，那么不就是以BD为直径，点P在圆上吗，根据题意可知BD=2，而PD=1，所以∠PBD=30°，画出图形如下，

两种情况下的点P都给大家画出来了，题中要找到A到BP的距离，看着有点不太好计算呀。 先来看第一种情况，图中红线部分的点P位置， 老师已经将字母给大家标注上了，我们要得到AM的长度，那么如果同学们注意到AM//PD这个条件，就能得到三角形的相似， △AME∽△DPE，所以AM：PD=AE：DE，但是AE和DE未知，就需要将其求出，在圆内，△AEB∽△PED，所以相似比为AB：PD，那么根据相

似比和AD与PB的长度，就可以求出AE、DE的长度，以及PE和BE，那么再代入前面的比例中求出AM即可； 那么第二种情况，如图中绿色部分的点P位置，A到BP的距离为AN，不知道有没有同学注意到△ABN和△BAM是全等的，所以 AN=BM，根据AM的长度和AB利用勾股定理求出BM即可； 这道题的解析思路到此结束，所以我们可以根据这道题总结出一些规律，在出现两种等腰或等边三角形的情况下，一般会利用三角形的全等去证明一些结论；而在圆内，则利用相似的情况比较多，所以同学们看到圆内的三角形和线段，首先要想到勾股定理和三角形的相似。

一元二次方程根的判别式专题训练

一元二次方程根的判别式专题训练 1. (2010 广西钦州市) 已知关于x 的一元二次方程x 2 +kx +1 =0有两个相等的实数根，则k = ． 2. (2010 湖北省荆门市) 如果方程2210ax x ++=有两个不等实根，则实数a 的取值范围是____________. 3. (2010 江苏省苏州市) 若一元二次方程()2 220x a x a -++=的两个实数根分别是3b 、，则a b +=_________. 4. (2010 江苏省苏州市) 下列四个说法中，正确的是（ ） A ．一元二次方程22 452 x x ++=有实数根； B. 一元二次方程23 452 x x ++=有实数根； C. 一元二次方程25 453x x ++= 有实数根； D. 一元二次方程()2451x x a a ++=≥有实数根. 5. (2010 湖南省益阳市) 一元二次方程 )0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等的实数根，则ac b 42 -满足的条件是 Ａ．ac b 42 -＝0 Ｂ．ac b 42-＞0 Ｃ．ac b 42-＜0 Ｄ．ac b 42-≥0 6. (2010 山东省烟台市) 方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则（x1-1）（x2-1）= . 7. (2010 北京市) 已知关于 x 的一元二次方程 2410x x m -+-= 有两个相等的实数根， 求m 的值及方程的根． 8. 当k 是什么整数时, 方程(k2–1)x2–6(3k –1)x+72=0有两个不相等的正整数根？ 9. 关于x 的一元二次方程()011222=-+--m x m x 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数，求m 的整数值, 并求出两方程的整数根. 10. (2010 重庆市江津区) 在等腰△ABC 中，三边分别为a 、b 、c ，其中5a =，若关于x

一元二次方程根的差别式

典型例题一 例 求证：如果关于x 的方程922+=+m x x 没有实数根，那么，关于y 的方程0522=+-+m my y 一定有两个不相等的实数根. 分析：由已知，可根据一元二次方程的根的判别式证之. 证明 设方程922+=+m x x 即0922=--+m x x 的根的判别式为1?，方程 0522=+-+m my y 的根的判别式为2?，则 . 36)4( 208)25(4. 440)9(42222221-+=-+=--=?+=++=?m m m m m m m ∵方程922+=+m x x 无实数根， 01+∴m ，即036)4(2>-+m . 故方程0522=+-+m my y 有两个不相等的实数根. 说明：上述证明中，判定02>?用到了01

分析：运用根的判别式判定根的情况时，要首先把方程变形为一元二次方程的一般形式，然后从求出的判别式的值来判定根的判别式的符号，尤其是当方程系数中含有字母时，一般利用配方法将“?”化成完全平方式或完全平方式加上（或减去）一个常数，再根据完全平方式的非负性判断“?”的符号，从而判定方程的根的情况，有时还需要对字母进行讨论.这是不解方程判别根的情况的关键. 解：（1）),1(4,2,1-=-==k c k b a )1(414)2(422-??--=-=?∴k k ac b )2(4)44(416 16422 2≥-=+-=+-=k k k k k ∴方程有两个实数根. （2）0≠a ， ∴方程02=+bx ax 是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项，将常数项看作零. ∴2204b a b =?-=?. ∴不论b 取任何实数，2b 均为非负数， 02≥=?b 恒成立. ∴方程有两个实数根. （3）0≠a ， ∴方程02=+c ax 是缺少一次项的不完全的一元二次方程，它的一次项系数0=b . ac a 40402-=?-=?， ∴需要讨论a 、c 的符号，才能确定?的符号. 当0=c 时，0=?，方程有两个相等的实数根； 当a 、c 异号时，0>?，方程有两个不相等的实数根； 当a 、c 同号时，0

一元二次方程压轴题(含答案)

一元二次方程 1.（北京模拟)已知关于x 得一元二次方程x 2+px ＋q +1＝０有一个实数根为 2. (１)用含p 得代数式表示ｑ; (2）求证:抛物线y 1＝x 2+ｐx +q 与x 轴有两个交点; （3)设抛物线y 1=x ２ ＋ｐx +q 得顶点为M ,与y 轴得交点为E ,抛物线ｙ2＝ｘ2+px ＋q ＋1得顶点为N ,与y 轴得交点为F ,若四边形FEM Ｎ得面积等于２,求p 得值. 2．设关于x 得方程x ２ －5x －ｍ２ ＋1＝0得两个实数根分别为α、β,试确定实数ｍ得取值范围,使｜α|＋|β｜≤6成立. ３．（湖南怀化)已知x 1,x 2就是一元二次方程(a -6)x 2+2ax +a ＝０得两个实数根. （1）就是否存在实数a ,使-x １＋x １x ２=4＋ｘ2成立？若存在,求出a 得值；若不存在,请您说明理由; (2)求使(x 1+１)(x 2＋1)为负整数得实数ａ得整数值. 4.(江苏模拟)已知关于ｘ得方程ｘ2-(a +ｂ+１）x ＋a ＝0（ｂ≥0)有两个实数根x 1、x ２,且ｘ1≤ ｘ2. (1)求证:x 1≤1≤x 2 (2)若点A (1，２),B (＼F （1,２),1),C (1,1),点P (x 1，x 2)在△ＡBC 得三条边上运动,问就是否存在这样得点Ｐ,使a ＋b ＝5 4?若存在，求出点P 得坐标;若不存在,请说明理由． ５.(福建模拟)已知方程组错误!有两个实数解错误!与错误!，且x １x 2≠0，ｘ1≠x 2. (1)求ｂ得取值范围； (２）否存在实数b ,使得1 x １ ＋错误!=１？若存在,求出b 得值;若不存在，请说明理由. 6．(成都某校自主招生)已知a ，b ,c 为实数,且满足a +b +c =0,abc ＝8,求ｃ得取值范围. ７.(四川某校自主招生)已知实数ｘ、y 满足错误! ，求x y 得取值范围. 8.（福建某校自主招生）已知方程(a ｘ＋1）2＝ａ2（1－x 2)(a >1)得两个实数根ｘ1、x 2满足x 1＜x 2，求证: -1＜x 1＜0＜x 2＜1. (答案) １.(北京模拟)已知关于ｘ得一元二次方程ｘ2＋px ＋q ＋１=0有一个实数根为２． (1)用含p 得代数式表示ｑ; (2)求证:抛物线y 1＝x ２ ＋p ｘ+q 与x 轴有两个交点; (3)设抛物线y 1=ｘ2+px +q 得顶点为M ,与y 轴得交点为Ｅ,抛物线y 2＝x 2+px +q +1得顶点为N ,与ｙ轴得交点为Ｆ，若四边形ＦＥM Ｎ得面积等于２,求ｐ得值. 解:（1)∵关于x 得一元二次方程x 2＋px ＋q +1＝0有一个实数根为2 ∴２２ ＋2p +q ＋１＝0，整理得:q =-２p -5 (2)∵△=p 2－４q ＝p ２－4（-2p －5)＝p ２ ＋8p +20=(p +4）2+4 无论p 取任何实数，都有（ｐ+4）2≥0 ∴无论ｐ取任何实数,都有(p ＋4)2＋４>0,∴△＞0 ∴抛物线y 1＝ｘ２ +px +q 与x 轴有两个交点 (3)∵抛物线ｙ1=x 2＋px ＋ｑ与抛物线ｙ２＝x 2+px ＋q ＋1得对称轴相同, 都为

一元二次方程根的分布情况归纳(完整版)

二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a

根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n

特殊的平行四边形与一元二次方程

1.在下列命题中，正确的是（ ） A ．一组对边平行的四边形是平行四边形 B ．有一个角是直角的四边形是矩形 C ．有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 2.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是（ ） A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形 3.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当A C ⊥B D 时，它是菱形 C ．当∠ABC=900时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形 4.如图，在ABC △中，点E D F ，，分别在边AB ，BC ，CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四个判断中，不正确．．． 的是（ ） A ．四边形AEDF 是平行四边形 B ．如果90BAC ∠=，那么四边形AEDF 是矩形 C ．如果A D 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形 D ．如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形 5.（2007德州）如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若6CD =，则AF 等于（ ） A ． B ． C ． D ．8 6.（2008潍坊）如图，矩形ABCD 的周长为20cm ，两条对角线相交于O 点，过点O 作AC 的垂线EF ，分别交AD BC ，于E F ，点，连结CE ，则CDE △的周长为（ ） A ．5cm B ．8cm C ．9cm D ．10cm 7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，若OA ＝2，则BD 的长为（ ）。 A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 8.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0 232057 x +-= 9.下列方程中,常数项为零的是 ( ) D C B A Ａ Ｆ Ｃ Ｄ ＢＥ Ｂ Ｆ Ｃ Ｅ Ｄ Ａ A D

一元二次方程根与系数关系附答案

一元二次方程根与系数的关系（附答案） 评卷人得分 一．选择题（共6小题） 1．已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0，下列说确的是（） A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2．关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根，则m的取值围是（）A．m≥﹣1 B．m＞﹣1 C．m≤﹣1 D．m＜﹣1 3．关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 4．设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，则x12+x22的值是（）A．2 B．4 C．5 D．6 5．若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则α+β的值为（）A．﹣5 B．5 C．﹣2 D． 6．已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根，则常数c的值为（） A．﹣1 B．0 C．1 D．3 评卷人得分

二．填空题（共1小题） 7．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0（a≠0）的两个不等实数根分别为p，q，且p2﹣pq+q2=18，则的值为． 评卷人得分 三．解答题（共8小题） 8．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0． （1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值围； （2）若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长，且k=2，求该矩形的对角线L 的长． 9．已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）若该方程的一个根为1，求a的值； （2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 10．已知关于x的一元二次方程（x﹣m）2﹣2（x﹣m）=0（m为常数）．（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若该方程一个根为3，求m的值． 11．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0． （1）当a=﹣11时，解这个方程； （2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值围； （3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值． 12．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根．

解一元二次方程(根的判别式)

第四课时 解一元二次方程（根的判别式） 学习目标： 1、熟练使用公式法解一元二次方程。 2、会用ac b 42 -的值来判断一元二次方程。 授课内容： 1、用公式法法解下列方程： （1）0222=--x x （2）0122=+-x x （3）0222=+-x x . 2、观察上述方程的根，方程（1）两个实数根________，方程（2）两实数根________， 方程（3）_______________。那么方程根出现不同情况是由什么来判断的呢？ 3,结论：一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的情况可由ac b 42-来判定： 当__________时，方程有两个不相等的实数根； 当__________时，方程有两个相等的实数根； 当__________时，，方程没有实数根。 我们把ac b 42-叫做一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 的根的判别式 说明：（1）可以不解方程求ac b 42 -的值来判别方程的根的情况。 （2）上述结论反过来也成立。 例题讲解 例1、不解方程，判别方程根的情况： （1）0132=-+x x （2）0962 =+-x x （3）04322=+-y y （4）x x 5252=+ 变式：求证：不论x 取何值时，关于x 的一元二次方程012 =--kx x 总有两个不相等的实 数根。

例2、k 取什么值时，关于x 的方程022)2(22=-++-k x k x 有两个相等的实数根？有 两个不等的实数根？无实数根？ 变式1：已知关于0232 =-+-k x x 有实数根，求k 的取值范围。 例3、已知关于x 的方程220kx +-=有两个不相等的实数根．．．．．．．．．，求k 的取值范围。 变式:关于x 的方程．．2 (2)2(1)10k x k x k ---++=有实数根，求k 的取值范围。 课堂练习: 1,已知关于x 的方程222(41)210x k x k -++-=，K 取什么值时 ○ 1、方程有两个不相等的实数根； ○ 2、方程有两个相等的实数根； ○ 3、方程无实数根； 2,试说明关于x 的方程222(1)2(4)0m x mx m +-++=无实数根。