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总复习习题：第十章计数原理、概率、随机变量及其分布课时提升作业六十四 10.1 Word版含答案

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课时提升作业六十四

分类加法计数原理与分步乘法计数原理

(25分钟50分)

一、选择题(每小题5分,共35分)

1.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有( )

A.10种

B.25种

C.52种

D.24种

【解析】选D.每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步,由分步乘法计数原理,共有24种不同的走法.

2.设集合A={1,2,3,4},m,n∈A,则方程+=1表示焦点位于x轴上的椭圆有

( ) A.6个 B.8个 C.12个 D.16个

【解析】选A.分三类,当n=1时,有m=2,3,4,共3个;

当n=2时,有m=3,4,共2个;

当n=3时,有m=4,共1个.

由分类加法计数原理得共有3+2+1=6(个).

【加固训练】(2016·沈阳模拟)椭圆+=1的焦点在y轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为.

【解析】以m的值为标准分类,分为五类.

第1类:当m=1时,使n>m的n有6种选择;

第2类:当m=2时,使n>m的n有5种选择;

第3类:当m=3时,使n>m的n有4种选择;

第4类:当m=4时,使n>m的n有3种选择;

第5类:当m=5时,使n>m的n有2种选择.

由分类加法计数原理,符合条件的椭圆共有20个.

答案:20

3.(2016·开封模拟)甲、乙、丙三个人踢毽子,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,

经过4次传递后,毽子又被踢回给甲,则不同的传递方式共有

( ) A.4种 B.6种 C.10种 D.16种

【解题提示】按甲先传给乙,先传给丙两种情况分类计数.

【解析】选B.第一类:甲先传给乙,如图所示.

,有3种传法.

第二类:甲先传给丙时也有3种传法,由分类加法计数原理,共有3+3=6(种)传递方法.

4.(2016·滨州模拟)集合P={x,1},Q={y,1,2},其中x,y∈{1,2,3,…,9},且P?Q.把满足上述条件的一个有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是( )

A.9

B.14

C.15

D.21

【解析】选B.当x=2时,x≠y,点的个数为1×7=7(个);当x≠2时,x=y,点的个数为7×1=7(个),则共有14个点.

5.如果一个三位正整数如“a1a2a3”满足a1a3,则称这样的三位数为凸数(如120,343,275等),那么所有凸数的个数为( )

A.240

B. 204

C.729

D.920

【解题提示】按a2取2,3,4,…,9分8类计数.

【解析】选A.若a2=2,则“凸数”为120与121,共2个,若a2=3,则“凸数”有2×3=6(个),若a2=4,满足条件的“凸数”有3×4=12(个),…,若a2=9,满足条件的“凸数”有8×9=72(个), 所以所有凸数有2+6+12+20+30+42+56+72=240(个).

6.(2016·济宁模拟)用4种不同的颜色填涂如图所示的1,2,3,4,5五个区域,要求一区一色,邻区异色,则不同的填涂方法种数是( )

A.120

B.96

C.72

D.48

【解题提示】先涂区域1有4种方法,区域2有3种涂色方法,区域3有2种涂色方法,区域4有2种涂色方法,区域5有2种涂色方法,根据分步乘法计数原理,问题得以解决.

【解析】选B.先涂区域1有4种方法,区域2有3种涂色方法,区域3有2种涂色方法,区域4

有2种涂色方法,区域5有2种涂色方法,根据分步乘法计数原理,得到共有4×3×2×2×2=96(种).

【加固训练】用1,3,5,7,9五个数字中的三个替换直线方程Ax+By+C=0中的A,B,C,若A,B,C 的值互不相同,则不同的直线共有( )

A.25条

B.60条

C.80条

D.181条

【解题提示】A,B,C的值互不相同,用1,3,5,7,9五个数字来替换,是分步乘法计数原理.

【解析】选B.用1,3,5,7,9五个数字中的三个来替换A,B,C;A,B,C的值互不相同,是分步乘法计数原理,直线条数是5×4×3=60.

7.(2016·福州模拟)设集合I={1,2,3,4,5},选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有( )

A.50种

B.49种

C.48种

D.47种

【解题提示】以A中最大的数为标准,进行分类讨论,A中最大的数可能为1,2,3,4共四种情况. 【解析】选B.当A中最大的数为1时,B可以是{2,3,4,5}的非空子集,即有24-1=15(种)方法; 当A中最大的数为2时,A可以是{2},也可以是{1,2},B可以是{3,4,5}的非空子集,即有2×(23-1)=14(种)方法;

当A中最大的数为3时,A可以是{3},{1,3},{2,3},{1,2,3},B可以是{4,5}的非空子集,即有4(22-1)=12(种)方法;

当A中最大的数为4时,A可以是{4},{1,4},{2,4},{3,4},{1,2,4},{1,3,4},

{2,3,4},{1,2,3,4},B可以是{5},有8×1=8(种)方法,故共有15+14+12+8=49(种)方法.

二、填空题(每小题5分,共15分)

8.若在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,则一个正五棱柱对角线共有条.

【解析】如图,在正五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中,从顶点A出发的对角线有两条:AC1,AD1,同理从B,C,D,E点出发的对角线也有两条,共2×5=10(条).

【加固训练】(2014·安徽高考)从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60°的共有( )

A.24对

B.30对

C.48对

D.60对

【解析】选C.与正方体的一个面上的一条对角线成60°角的对角线有8条,故共有8对,正方体的12条面对角线共有96对,且每对均重复计算一次,故共有=48对.

9.(2016·北京模拟)三边长均为正整数,且最大边长为11的三角形的个数为.

【解析】由题意知本题是一个分类计数问题,

另外两边长用x,y表示,且不妨设1≤x≤y≤11,要构成三角形,必须x+y≥12.

当y取值11时,x=1,2,3,…,11,可有11个三角形;

当y取值10时,x=2,3,…,10,可有9个三角形;

当y取值分别为9,8,7,6时,x取值个数分别是7,5,3,1,

所以根据分类加法计数原理知所求三角形的个数为11+9+7+5+3+1=36.

答案:36

10.(2016·青岛模拟)用红,黄,蓝,绿,黑这5种颜色给如图所示的四连圆涂色,要求相邻两个圆所涂颜色不能相同,红色至少要涂两个圆,则不同的涂色方案种数为.

【解析】根据题意,红色至少要涂两个圆,而且相邻两个圆所涂颜色不能相同,则红色只能涂第一、三个圆、第二、四个圆或第一、四个圆,

分3种情况讨论:

①用红色涂第一、三个圆,

此时第2个圆不能为红色,有4种涂色方法,第4个圆也不能为红色,有4种涂色方法,

则此时共有4×4=16(种)涂色方案;

②同理,当用红色涂第二、四个圆也有16种涂色方案;

③用红色涂第一、四个圆,

此时需要在剩下的4种颜色中,任取2种,涂在第二、三个圆中,有=12(种)涂色方案;

则一共有16+16+12=44(种)不同的涂色方案.

(20分钟35分)

1.(5分)(2016·烟台模拟)某体育彩票规定:从01至36共36个号中抽出7个号为一注,每注2元.某人想从01至10中选3个连续的号,从11至20中选2个连续的号,从21至30中选1个号,从31至36中选1个号组成一注,则这人把这种特殊要求的号买全,至少要花( ) A.3360元 B.6720元

C.4320元

D.8640元

【解题提示】根据题意,依次计算“01至10中三个连号的个数”、“11至20中两个连号的个数”、“21至30中单选号的个数”、“31至36中单选号的个数”,进而由分步乘法计数原理计算可得答案.

【解析】选D.从01至10中选3个连续的号共有8种选法;从11至20中选2个连续的号共有9种选法;从21至30中选1个号有10种选法;从31至36中选一个号有6种选法,由分步乘法计数原理知共有8×9×10×6=4320(种)选法,至少需花4320×2=8640(元).

【加固训练】

如图所示,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有( )

A.9种

B.11种

C.13种

D.15种

【解析】选C.按照焊接点脱落的个数进行分类:第1类,脱落1个,有1,4,共2种;第2类,脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6种;第3类,脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种;第4类,脱落4个,有(1,2,3,4),共1种.根据分类加法计数原理,共有2+6+4+1=13种焊接点脱落的情况.

2.(5分)(2016·成都模拟)设三位数n=(即n=100a+10b+c,其中a,b,c∈N*),若以a,b,c 为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,则这样的三位数n有( )

A.45个

B.81个

C.165个

D.216个

【解析】选C.由题意知以a,b,c为三条边的长可以构成一个等腰(含等边)三角形,

先考虑等边三角形情况,

则a=b=c=1,2,3,4,5,6,7,8,9,此时n有9个,

再考虑等腰三角形情况,若a,b是腰,则a=b,

当a=b=1时,c

当a=b=2时,c<4,则c=1,3(c=2的情况等边三角形已经讨论了),此时n有2个;

当a=b=3时,c<6,则c=1,2,4,5,此时n有4个;

当a=b=4时,c<8,则c=1,2,3,5,6,7,有6个;

当a=b=5时,c<10,则c=1,2,3,4,6,7,8,9,有8个;

当a=b=6,7,8,9时,c各有8个.

由分类加法计数原理知n有2+4+6+8+8+8+8+8=52(个),

同理,若a,c是腰时也有52个,b,c是腰时也有52个,

所以n共有9+3×52=165(个).

【加固训练】1.(2016·菏泽模拟)将一个四棱锥S-ABCD的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两个端点异色,如果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是. 【解析】设想染色按S-A-B-C-D的顺序进行,对S,A,B染色,有5×4×3=60(种)染色方法.

由于C点的颜色可能与A同色或不同色,这影响到D点颜色的选取方法数,故分类讨论:

C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一),D应与A(C),S不同色,有3种选择;C与A不同色时,C有2种可选择的颜色,D也有2种颜色可供选择.从而对C,D染色有1×3+2×2=7(种)染色方法.

由分步乘法计数原理,总的染色方法有60×7=420(种).

答案:420

【一题多解】本题还可以用以下方法求解

根据所用颜色种数分类可分三类:

第一类:用三种颜色,此时A与C,B与D分别同色,问题相当于从5种颜色中选3种涂三个点.共=60(种)涂法;

第二类:用4种颜色,此时A与C,B与D中有且只有一组同色,涂法种数为2=240(种);

第三类:用5种颜色,涂法种数共有=120(种).

综上可知,满足题意的染色方法总数为60+240+120=420(种).

答案:420

2.用红、黄、蓝三种颜色去涂图中标号为1,2,…,9的9个小正方形(如图),使得任意相邻(有

公共边)的小正方形所涂颜色都不相同,且标号为1,5,9的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有种.

【解析】把区域分为三部分,第一部分1,5,9,有3种涂法.第二部分4,7,8,当5,7同色时,4,8各有2种涂法,共4种涂法;当5,7异色时,7有2种涂法,4,8均只有1种涂法,故第二部分共4+2=6种涂法.第三部分2,3,6与第二部分一样,共6种涂法.由分步乘法计数原理,可得共有3×6×6=108(种)涂法.

答案:108

3.(12分)给程序命名,需要用3个字符,其中首字符要求用字母A～G或U～Z,后两个要求用数字1～9.问最多可以给多少个程序命名?

【解题提示】要给一个程序命名,可以分三个步骤:第1步,选首字符;第2步,选中间字符;第3步,选最后一个字符.而首字符又可以分为两类.

【解析】先计算首字符的选法.由分类加法计数原理,首字符共有7+6=13种选法.

再计算可能的不同程序名称.由分步乘法计数原理,最多可以有13×9×9=1053个不同的名称,即最多可以给1053个程序命名.

4.(13分)某小组有10人,每人至少会英语和法语中的一门,其中8人会英语,5人会法语.

(1)从中任选一个会外语的人,有多少种选法?

(2)从中选出会英语与会法语的各1人并安排到相应工作岗位,有多少种不同的安排方法? 【解析】由于8+5=13>10,所以10人中必有3人既会英语又会法语,5人只会英语,2人只会法语.

(1)可分类完成此事:一类是只会英语,一类是既会英语也会法语,一类是只会法语,共有5+3+2=10(种).

(2)分4类,共有N=5×2+5×3+2×3+3×2=37(种)方法.

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计数原理与排列组合经典题型

计数原理与排列组合题型解题方法总结计数原理一、知识精讲 1、分类计数原理： 2、分步计数原理：特别注意:两个原理的共同点：把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。不同点：如果完成一件事情共有n类办法，这n类办法彼此之间相互独立的，无论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成这件事情，求完成这件事情的方法种数，就用分类计数原理。分类时应不重不漏（即任一种方法必须属于某一类且只属于这一类）如果完成一件事情需要分成n个步骤，各个步骤都是不可缺少的，需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，而完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事情的方法种数就用分步计数原理。各步骤有先后，相互依存，缺一不可。 3、排列 (1)排列定义,排列数 (2)排列数公式: (3)全排列列: 4.组合 (1)组合的定义,排列与组合的区别; (2)组合数公式: (3)组合数的性质二、.典例解析题型1:计数原理例1.完成下列选择题与填空题 (1)有三个不同的信箱,今有四封不同的信欲投其中,则不同的投法有种。 A.81 B.64 C.24 D.4 (2)四名学生争夺三项冠军,获得冠军的可能的种数是( ) A.81 B.64 C.24 D.4 (3)有四位学生参加三项不同的竞赛, ①每位学生必须参加一项竞赛,则有不同的参赛方法有; ②每项竞赛只许有一位学生参加,则有不同的参赛方法有;

③每位学生最多参加一项竞赛,每项竞赛只许有一位学生参加,则不同的参赛方法有。例2（1）如图为一电路图，从A 到B 共有条不同的线路可通电。例3: 把一个圆分成3块扇形，现在用5种不同的颜色给3块扇形涂色，要求相邻扇形的颜色互不相同，问有多少钟不同的涂法？若分割成4块扇形呢？例4、某城在中心广场造一个花圃，花圃分为6个部分(如图).现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有 ________ 种.(以数字作答) 例5、四面体的顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，问共有多少种不同的取法？例6、（1）电视台在”欢乐今宵”节目中拿出两个信箱,其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信,甲信箱中有30封,乙信箱中有20封.现有主持人抽奖确定幸运观众,若先确定一名幸运之星,再从两信箱中各确定一名幸运伙伴,有多少种不同的结果? （2）三边均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是 D C B A

高中数学选修2-3计数原理概率知识点总结

选修2-3定理概念及公式总结第一章基数原理 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 种不同的方法 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理，如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示（2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 用于计算，或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, 用于证明。 n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合（1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示（2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+== 用于计算，或)! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且用于证明。

(完整word)高中数学《计数原理》练习题

《计数原理》练习一、选择题 1.书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书，从中任取数学书和语文书各一本，则不同的取法种数有（） A 11 B 30 C 56 D 65 2.在平面直角坐标系中，若{}{}1,2,3,3,4,5,6x y ∈∈，则以(),x y 为坐标的点的个数为（） A 7 B 12 C 64 D 81 3.若()12n x +的展开式中，3x 的系数是x 系数的7倍，则n 的值为（） A 5 B 6 C 7 D 8 4.广州市某电信分局管辖范围的电话号码由8位数字组成，其中前3位是一样的，后5位数字都是0～9这10个数字中的一个，那么该电信分局管辖范围内不同的电话号码个数最多有（） A 50 B 30240 C 59049 D 100000 6.按血型系统学说，每个人的血型为A ，B ，O ，AB 型四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，其子女的血型一定不是O 型，如果某人的血型为O 型，则该人的父母血型的所有可能情况种数有（） A 6 B 7 C 9 D 10 7.计算0121734520C C C C ++++L 的结果为（） A 421C B 321 C C 320C D 420C 8.一个口袋内装有4个不同的红球，6个不同的白球，若取出一个红球得2分，取出一个白球得1分，问从口袋中取出5个球，使总分不少于7分的取法种数有（） A 15 B 16 C 144 D 186 二、填空题 9.开车从甲地出发到丙地有两种选择，一种是从甲地出发经乙地到丙地，另一种是从甲地出发经丁地到丙地。其中从甲地到乙地有2条路可通，从乙地到丙地有3条路可通；从甲地到丁地有4条路可通，从丁地到丙地有2条路可通。则从甲地到丙地不同的走法共有种。 10.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有种。 14.()()5 211x x +-的展开式中3x 的系数为

高中计数原理与概率计数原理

高中计数原理与概率计数原理一、知识导学 1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理分步计数原理又称乘法原理二、疑难知识导析 1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复. 2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成. 3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有ｎ类办法，这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理. 4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线. 5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多. 三、经典例题导讲 [例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种错解：学生进出体育场大门需分两类，一类从北边的4个门进，一类从南侧的3个门进，由分类计数原理，共有7种方案. ∴选B

高中数学典型例题解析：第九章计数原理与概率

第九章计数原理与概率 §9.1 计数原理一、知识导学 1.分类计数原理：完成一件事，有ｎ类办法，在第1类办法中，有1m 种不同的方法，在第2类办法中，有2m 种不同的方法，……在第ｎ类办法中，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ＋2m ＋……＋n m 种不同的方法. 2. 分步计数原理：完成一件事，需要分成ｎ个步骤，做第1步，有1m 种不同的方法，做第2步，有2m 种不同的方法，……做第ｎ步，有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有N ＝1m ×2m ×…×n m 种不同的方法.注：分类计数原理又称加法原理分步计数原理又称乘法原理二、疑难知识导析 1．分类原理中分类的理解：“完成一件事，有ｎ类办法”这是对完成这件事的所有办法的一个分类.分类时，首先要根据问题的特点，确定一个适合它的分类标准，然后在这个标准下进行分类，其次，分类时要注意满足两条基本原则：第一，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类；第二，分别属于不同类的两种方法是不同的方法.前者保证完成这件事的立法不遗漏，后者保证不重复. 2．分步原理中分步的理解：“完成一件事，需要分成ｎ个步骤”这就是说完成这件事的任何一种方法，都要完成这ｎ个步骤.分步时，首先要根据问题的特点确定一个可行的分步标准，其次，步骤的设置要满足完成这件事必须并且只需连续完成这ｎ个步骤，这件事才算最终完成. 3．两个原理的区别在于一个和分类有关，一个和分步有关.如果完成一件事有ｎ类办法，这ｎ类办法彼此之间是相互独立的，无论哪一类办法中的哪一个都能单独完成这件事，求完成这件事的方法种数，就用分类计数原理.如果完成一件事，需分成ｎ个步骤，缺一不可，即需要依次完成所有的步骤，才能完成这件事，完成每一个步骤各有若干种不同的方法，求完成这件事的方法种数，就用分步计数原理. 4．在具体解题时，常常见到某个问题中，完成某件事，既有分类，又有分步，仅用一种原理不能解决，这时需要认真分析题意，分清主次，选择其一作为主线. 5．在有些问题中，还应充分注意到在完成某件事时，具体实践的可行性.例如：从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再从丙地乘汽车到乙地.那么从甲地到乙地共有多少种不同的走法？这个问题中，必须注意到发车时刻，所限时间，答案较多.三、经典例题导讲 [例1]体育场南侧有4个大门，北侧有3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（） A ．12 种 B ．7种 C ．24种 D ．49种

计数原理、概率

计数原理、概率两个基本计数原理导学目标：理解分类计数原理和分步计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．自主梳理 1．分类计数原理完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步计数原理完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n 步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法． 3．分类计数原理与分步计数原理，都是涉及完成一件事的不同方法的种数，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成，从思想方法的角度看，分类计数原理的运用是将一个问题进行“分类”思考，分步计数原理是将问题进行“分步”思考．自我检测 1．(2009·北京改编)用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为________． 2. 右图小圆圈表示络的结点，结点之间的连线表示它们有线相联，连线上标注的数字表示该段线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点B向结点A传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为________． 3．某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种． 4．(2018·湖北改编)现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是________． 5. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，现有4种颜色可供选择，则不同着色方法共有________种．(以数字作答) 探究点一分类计数原理的应用例1在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？

高考数学压轴专题人教版备战高考《计数原理与概率统计》基础测试题含解析

数学高考《计数原理与概率统计》复习资料一、选择题 1．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958 【答案】D 【解析】分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可. 详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =，恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=，恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种【答案】C 【解析】【分析】给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】甲可有3种安排方法，若甲先安排第1社区，则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?；第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?；第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?；故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C.

(完整word版)分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题

分类加法计数原理与分步乘法计数原理练习题一.选择题 1．一件工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是（）Ａ．8 Ｂ．15 Ｃ．16 Ｄ．30 2．从甲地去乙地有3班火车，从乙地去丙地有2班轮船，则从甲地去丙地可选择的旅行方式有（）Ａ．5种Ｂ．6种Ｃ．7种Ｄ．8种 3．如图所示为一电路图，从A 到B 共有（）条不同的线路可通电（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4．由数字0，1，2，3，4可组成无重复数字的两位数的个数是（）Ａ．25 Ｂ．20 Ｃ．16 Ｄ．12 5．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳有（）种不同的选择方式Ａ． 24 Ｂ．14 Ｃ． 10 Ｄ．9 6．设A ，B 是两个非空集合，定义{}()A B a b a A b B *=∈∈，，|，若{}{}0121234P Q ==，，，，，，，则P *Q 中元素的个数是（）Ａ．4 Ｂ．7 Ｃ．12 Ｄ．16 二、填空题 7．商店里有15种上衣，18种裤子，某人要买一件上衣或一条裤子，共有种不同的选法；要买上衣，裤子各一件，共有种不同的选法． 8．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，共有种行车路线． 9．已知{}{}0341278a b ∈∈，，，，，，，则方程22()()25x a y b -+-=表示不同的圆的个数是． 10．多项式123124534()()()()a a a b b a a b b ++++++··展开后共有项． 11．如图，从A →C ，有种不同走法． 12．将三封信投入4个邮箱，不同的投法有种．三、解答题 13．一个口袋内装有5个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有这些小球的颜色互不相同．（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？

选修2-3随机变量及其分布知识点总结典型例题

2-3随机变量及其分布 -- HW) T数字特征11 …. --- L-W Array「(两点分布〕 5店殊分布列)--憊几何分祠 -(二项分利十［并件相互独立性)一価立重复试劇 5J ~(条件概率) ”、r<正态分布密度曲绚 f正态分布)一要点归纳一、离散型随机变量及其分布列 1.⑴随机变量：在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示?在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量?通常用字母X, Y, E, n等表示. (2) 离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量. (3) 离散型随机变量的分布列：一般地，若离散型随机变量 X可能取的不同值为X i, X2…，X i，…X n，X取每一个值X i(i = 1，2，…，n)的概率 P(X= X)= p i，以表格的形式表示如下： X的分布列.有时为了简单起见，也用等式P(X = X i) = p i， i = 1，2，…，n表示X的分布列. (4)离散型随机变量的分布列的性质： ①P i>0，i = 1，2，…，n； n ②P i = 1. i = 1

(5)常见的分布列：两点分布：如果随机变量X 的分布列具有下表的形式，则称X 服从两点分布，并称p = P(X = 1)为成功概率. 两点分布又称 0- 1分布，伯努利分布. 超几何分布：一般地，在含有 M 件次品的N 件产品中，任取 X 件次品，则事件｛X = k ｝发生的概率为 P(X = 其中 m= min ｛ M , n ｝，且 n W N , M < N , n , M , N € N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量 X 服从超几何分布. 2 .二项分布及其应用 (1)条件概率：一般地，设 A 和B 是两个事件，且 P(A)>0, p / AB) 称P(BA) = P ((A )为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率.P(B|A)读作A 发生的条件下B 发生的概率. ⑵条件概率的性质： ① 0 < P(BA)< 1； ② 必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0; ③ 如果 B 和C 是两个互斥事件，则 P(B U C|A)= P(B|A) + P(C|A). (3) 事件的相互独立性：设 A, B 为两个事件，如果 P(AB)= P(A)P(B)，则称事件 A 与事件B 相互独立?如果事件 A 与B 相互独立，那么 A 与-,-与B ,-与-也都相互独立. (4) 独立重复试验：一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为n 次独立重复试验. c M c N-/i c N k = 0, 1, 2, ,m,即 n 件，其中恰有 k)=

计数原理练习题

计数原理练习题一、排列数与组合数计算 1、若n ∈N 且n<20,则（27—n ）（28—n ）（34—n ）= ( ) A 、827n A - B 、n n A --2734 C 、734n A - D 、834n A - 2、已知=++++2252423n C C C C 363，则n=______ 3、化简=+++-2132n n n n C C C _________ 二、站队相邻与不相邻问题 4、记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） A 、1440种 B 、960种 C 、720种 D 、480种 5、把5件不同的商品在货架上排成一排，其中a ，b 两种必须排在一起，而c ，d 两种不能排在一起，则不同排法共有（）A 、12种 B 、20种 C 、24种 D 、48种 6、三个女生和五个男生排成一排，（1）如果女生必须全排在一起，有多少种不同的排法？（2）如果女生必须全分开，有多少种不同的排法？（3）如果两端都不能排女生，有多少种不同的排法？（4）如果两端不能都排女生，有多少种不同的排法？（5）如果三个女生站在前排，五个男生站在后排，有多少种不同的排法？三、定序问题 7、A 、B 、C 、D 、E 五人并排站在一排，其中A 、B 、C 顺序一定，那么不同的排法种数是________。四、错排问题 8、将数字1、2、3、4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与数字均不相同的填法有（） A 、6种 B 、9种 C 、11种 D 、23种五、分组分配问题 9、有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4 人承担这三项任务，不同的选法种数是__________。 10、5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A 、480种 B 、240种 C 、120种 D 、96种 11、有6名志愿者（其中4名男生，2名女生）义务参加某项宣传活动，他们自由分成两组完成不同的两项任务，但要求每组最多4人，女生不能单独成组，则不同的工作安排方式有 ( ) A 、40种 B 、48种 C 、60种 D 、68种 12、有2红3黄4白共9个球，同色球不加以区分，将这九个球排成一排，共有____种方法。六、名额分配问题 13、10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有_________不同分配方案。 14、方程60821=+++x x x 有多少组自然数解（用排列或组合表示）_____________。七、限制条件的分配问题 15、某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

排列组合与计数原理

排列组合与计数原理【复习目标】1.能熟练的判断利用加法原理和乘法原理。简单的排列组合组合数公式。【复习重难点】加法原理和乘法原理公式的计算及应用。 1.高三（1），（2），（3）班分别有学生52,48,50人。（1）从中选1人当学生代表的不同方法有____________种；（2）从每班选1人组成演讲队的不同方法有____________种；（3）从这150名学生中选4人参加学代会的不同方法有____________种；（4）从这150名学生中选4人参加数理化三个课外活动小组，共有不同方法有__________种。 2.假设在200件产品中有三件次品，现在从中任意抽取5件，期中至少有2件次品的抽法有__________种。 3.若,64 3n n C A 则n=___________。例1．在1到20这20个整数中，任取两个数相加，使其和大于20，共有________种取法。变式训练：从集合{1,2,3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为_______。例2．从6人中选4人分别到张家界、韶山、衡山、桃花源四个旅游景点游览，要求每个旅游景点只有一人游览，每人只游览一个旅游景点，且6个人中甲、乙两人不去张家界游览，则不同的选择方案共有______________种. 例3．如图，用4种不同的颜色对图中5个区域涂色(4种颜色全部使用)，要求每个区域涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色种数有_______ . 变式训练：要安排一份5天的值班表，每天有一人值班，现有5人，每人可以值多天班或不值班，但相邻两天不准由同一人值班，问此值班表共有_______ 种不同的排法.

2021-2022年高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率题组训练82古典概型理

2021年高考数学一轮总复习第十一章计数原理和概率题组训练82古典概型理 1．将一个骰子抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现的点数不超过3，事件B 表示向上的一面出现的点数不小于4，事件C 表示向上的一面出现奇数点，则( ) A ．A 与B 是对立事件 B ．A 与B 是互斥而非对立事件 C ．B 与C 是互斥而非对立事件 D ．B 与C 是对立事件答案 A 解析由题意知，事件A 包含的基本事件为向上点数为1，2，3，事件B 包含的基本事件为向上的点数为4，5，6.事件C 包含的点数为1，3，5.A 与B 是对立事件，故选A. 2．从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( ) A ．恰好有1件次品和恰好有2件次品 B ．至少有1件次品和全是次品 C ．至少有1件正品和至少有1件次品 D ．至少有1件次品和全是正品答案 A 解析依据互斥和对立事件的定义知，B ，C 都不是互斥事件；D 不但是互斥事件而且是对立事件；只有A 是互斥事件但不是对立事件． 3．(xx·广东茂名模拟)在{1，3，5}和{2，4}两个集合中各取一个数字组成一个两位数，则这个数能被4整除的概率是( ) A.1 3 B.12 C.16 D.14 答案 D

解析符合条件的所有两位数为12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45，共12个，能被4整除的数为12，32，52，共3个，故所求概率P ＝312＝1 4 . 4．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，若从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A.13 B.12 C.23 D.34 答案 C 解析从4张卡片中抽取2张的方法有6种，和为奇数的情况有4种，∴P ＝2 3 . 5．从存放的号码分别为1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一张卡片并记下号码，统计结果如下： A ．0.53 B ．0.5 C ．0.47 D ．0.37 答案 A 解析取到号码为奇数的卡片的次数为：13＋5＋6＋18＋11＝53，则所求的频率为53100 ＝0.53，故选A. 6．(xx·天津改编)甲、乙两人下棋，和棋的概率为12，乙获胜的概率为1 3，则甲获胜的概率和甲不输的概率分别为( ) A.16，1 6 B.12，23 C.16，23 D.23，12 答案 C 解析 “甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率P ＝1－12－13＝1 6. 设事件A 为“甲不输”，则A 可看作是“甲胜”与“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以P(A)＝16＋12＝2 3 .(或设事件A 为“甲不输”，则A 可看作是“乙胜”的对立事件．所以P(A)

计数原理教学内容

计数原理

第三章计数原理第一节：加法原理（一）【教学内容】：认识加法原理【教学目的】：初步认识加法原理，并运用加法原理解决简单的实际问题。【教学重难点】：理解加法原理【例题精讲】：例1 从桂林到长沙，可乘火车也可乘汽车，还可乘飞机。如果某天中，从桂林去长沙有5趟火车，4班汽车和3班飞机，那么这一天中由桂林去长沙可以有多少种不同走法？分析一天中从桂林去长沙有乘火车、乘汽车和乘飞机三类不同形式。第一类办法乘火车有5种不同走法，第二类办法乘汽车4班中任选其一有4种走法，第三类乘飞机有3种不同走法，不管采取哪类形式中任何一种方法都可以到达长沙。一天中从桂林到长沙共有5＋4＋3=12种不同走法，解决上述问题运用了加法原理。解： 5＋4＋3=12（种）答：一天中由桂林去长沙可以有12种不同走法。加法原理：完成某一件事可以有几类方法，第一类方法中有m种不同方法；第二类方法有m种不同方法、、、、、、在第N类方法中有m种不同方法，那么完成这件事共有N=m＋m＋、、、、、、＋m种不同的方法。【巩固练习】：

1、学校开展读书活动，小明要从5本故事书、2本文艺书、7本科技书中任意选取一本书，共有多少种不同的选法？小结：加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和。例2：某职业中学有3个专业，农机专业3个班，家庭经营专业2个班，畜牧专业4个班，现在派一个班参加公益劳动，有几种不同的派法？分析选派一个班参加公益劳动有三类办法：第一类办法是从农机专业3个班中任选一个班，有3种办法；第二类办法是从家庭经营专业2个班中选派一个班有2种办法；第三类办法是从畜牧专业4个班中任选一个班，有4种办法。根据加法原理将这三类方法数相加。 3＋2＋4=9（种）答：有9种不同的派法。【巩固练习】： 1、从武汉到南京去有2班火车、3班汽车、2班飞机、1班轮船，请问：从武汉到南京去一共有多少种不同走法？ 2、小明到图书馆去借书，他喜欢的书有：3种故事书、4种科技书、5种文艺书，他只能借其中的一种，请问他有多少种不同的选择方法？ 3、甲、乙、丙三个班，甲班42人，乙班50人，丙班40人，如果从三个班中共同选出一名同学在学校的晨会上发言，有多少种不同选法？（参考答案：1、8种 2、12种 3、132种）

(完整版)分类计数原理和分步计数原理练习题

1、一个学生从3本不同的科技书、4本不同的文艺书、5本不同的外语书中任选一本阅读，不同的选法有_________________种。 2、一个乒乓球队里有男队员5人，女队员4人，从中选出男、女队员各一名组成混合双打，共有_________________种不同的选法。 3、一商场有3个大门，商场内有2个楼梯，顾客从商场外到二楼的走法有 __________种。 4、从分别写有1，2，3，…，9九张数字的卡片中，抽出两张数字和为奇数的卡片，共有_________________种不同的抽法。 5、某国际科研合作项目成员由11个美国人，4个法国人和5个中国人组成，（1）从中选出1人担任组长，有多少种不同选法？（2）从中选出两位不同国家的人作为成果发布人，有多少种不同选法？ 6、（1）3名同学报名参加4个不同学科的比赛，每名学生只能参赛一项，问有多少种不同的报名方案？（2）若有4项冠军在3个人中产生，每项冠军只能有一人获得，问有多少种不同的夺冠方案？ 7、用五种不同颜色给图中四个区域涂色，每个区域涂一种颜色，（1）共有多少种不同的涂色方法？（2）若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有多少种不同的涂色方法？ 8、从甲地到乙地有两种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地共有_________________种不同的走法。 9、某电话局的电话号码为，若后面的五位数字是由6或8组成的，则这样的电话号码一共有_________________个。 10、从0，1，2，…，9这十个数字中，任取两个不同的数字相加，其和为偶数的不同取法有_________________种。

10_计数原理与概率知识点及题型

计数原理与概率一、计数原理与排列组合 1、基础知识：

(3) 组合数的两个性质：（1）C m n =C m n n -；（2）C m n 1+=C m n +C 1 -m n . 2、经典题型见文库里的专题文章二、二项式定理 1、基础知识： 1) 二项式定理特征： () 0111*().n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --+=++ +++∈ ①右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式 ②各项的系数r n C 叫做二项式系数 ③r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项即1(0,1,2, ,).r n r r r n T C a b r n -+== ④二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 2) 二项式系数的性质性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项

式系数相等，即m n m n n C C -= 性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++= 性质3 ()n a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即 012.n n n n n C C C ++ += （令1a b ==即得）性质4 ()n a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即 02 213 21 12. r r n n n n n n n C C C C C C +-++++ =++ ++ =（1,1a b ==-即得）性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n n C - 1 2n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大） 2、经典题型题型1 求展开式中的指定项和特定项（通项公式是关键） 1) 求系数最大或最小项例：在二项式11 )1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是；解：r r r r x T C )1(1111 1-= -+ ∴ 要使项的系数最小，则r 必为奇数，且使C r 11为最大，由此得5=r ，从而可知最小,项的系数为 462)1(55 11 -=-C 2) 系数绝对值最大的项例：在（7 )y x -的展开式中，系数绝对值最大项是；解：求系数绝对最大问题都能够将“n b a )(-”型转化为 ")("n b a +型来处理，

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》知识点总复习有解析

新数学《计数原理与概率统计》高考知识点一、选择题 1．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（） A ．12E E ξξ<，12D D ξξ< B ．12E E ξξ=，12D D ξξ> C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ> 【答案】B 【解析】【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】 1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1， ()1409P ξ== ，()1129P ξ==，()141411999 P ξ==--=，故123E ξ= ，22 214144402199999 D ξ=?+?+?-=. ()22110323P ξ?== =?，()22122 1323 P ξ??===?，故223E ξ= ，2 221242013399 D ξ=?+?-=, 故12 E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别. 2．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，有放回的摸取5次，设摸得白球数为X ，已知()3E X =，则()(D X = ) A ． 85 B ． 65 C ． 45 D ． 25 【答案】B 【解析】【分析】由题意知，3~(5, )3X B m +，由3 533EX m =? =+，知3~(5,)5 X B ，由此能求出()D X ．

两个计数原理与排列组合知识点及例题

两个计数原理与排列组合知识点及例题两个计数原理内容 1、分类计数原理：完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法……在第n类办法中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1 +m2 +……+m n种不同的方法. 2、分步计数原理：完成一件事，需要分n个步骤，做第1步骤有m1种不同的方法，做第2步骤有m2种不同的方法……做第n步骤有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×……×m n种不同的方法. 例题分析例1 某学校食堂备有5种素菜、3种荤菜、2种汤。现要配成一荤一素一汤的套餐。问可以配制出多少种不同的品种？分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配一个荤菜、配一个素菜、配一汤） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步配一个荤菜有3种选择第二步配一个素菜有5种选择第三步配一个汤有2种选择共有N=3×5×2=30（种）例2 有一个书架共有2层，上层放有5本不同的数学书，下层放有4本不同的语文书。（1）从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2）从书架上任取一本数学书和一本语文书，有多少种不同的取法？（1）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算。解：属于分类：第一类从上层取一本书有5种选择第二类从下层取一本书有4种选择共有N=5+4=9（种）（2）分析：1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？ 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 解：属于分步：第一步从上层取一本书有5种选择第二步从下层取一本书有4种选择共有N=5×4=20（种）例3、有1、2、3、4、5五个数字. （1）可以组成多少个不同的三位数？（2）可以组成多少个无重复数字的三位数？（3）可以组成多少个无重复数字的偶数的三位数？（1）分析： 1、完成的这件事是什么？ 2、如何完成这件事？（配百位数、配十位数、配个位数） 3、它们属于分类还是分步？（是否独立完成） 4、运用哪个计数原理？ 5、进行计算. 略解：N=5×5×5=125（个）【例题解析】 1、某人有4条不同颜色的领带和6件不同款式的衬衣，问可以有多少种不同的搭配方法？

高考数学压轴专题专题备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编含答案解析

【最新】数学《计数原理与概率统计》复习知识点一、选择题 1．将三枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A =“三个点数之和等于15”，B =“至少出现一个5点”，则概率()|P A B 等于（） A ． 5108 B ． 113 C ． 17 D ． 710 【答案】B 【解析】【分析】根据条件概率的计算公式即可得出答案. 【详解】 3311166617()216A P AB C C C +==Q ，111 5556111 6691 ()1216 C C C P B C C C =-= ()()()72161 |2169113 P AB P A B P B ∴= =?= 故选：B 【点睛】本题主要考查了利用条件概率计算公式计算概率，属于中档题. 2．已知函数，在区间内任取一点，使的概率为（） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】【分析】先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案. 【详解】由得，故或，由，故或，故使的概率为 . 【点睛】本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般. 3．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v 共线的概率为( ) A ． 13 B ． 14 C ． 16 D ． 112 【答案】D

【分析】由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r 共线的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解。【详解】由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636?=种结果，又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r 共线，即630m n -=，即2n m =，满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果，所以向量p u r 与q r 共线的概率为31 3612 P = =，故选D 。【点睛】本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。 4．《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，则这两卦的六根线中恰好有4根阴线的概率为（） A ． 314 B ．27 C ． 928 D ． 1928 【答案】A 【解析】【分析】列出所有28种情况，满足条件的有6种情况，计算得到概率. 【详解】根据题意一共有：乾坤、乾巽、乾震、乾坎、乾离、乾艮、乾兑；坤巽、坤震、坤坎、坤离、坤艮、坤兑；巽震、巽坎、巽离、巽艮、巽兑；震坎、震离、震艮、震兑；坎离、坎艮、坎兑；离艮、离兑；艮兑，28种情况. 满足条件的有：坤巽，坤离，坤兑，震坎，震艮，坎艮，共6种. 故632814p = =. 故选：A .

总复习习题：第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 课时提升作业 六十四 10.1 Word版含答案