《三角形》单元测试题(含答案)
“三角形”知识要点梳理
三角形三边关系
三角形三角形内角和定理
角平分线
三条重要线段中线
高线
全等图形的概念
全等三角形的性质
三角形全等三角形SSS
SAS
全等三角形的判定ASA
AAS
HL（适用于RtΔ）
全等三角形的应用利用全等三角形测距离
作三角形
一、三角形概念
1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为
三角形，可以用符号“Δ”表示。
2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时
也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB 分别用b，c来表示；
4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。
二、三角形中三边的关系
1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；a-b 2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形： （1）当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形； （2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。 3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a b c a b -<<+. 三、三角形中三角的关系 1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。 2、三角形按内角的大小可分为三类： （1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。 注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。 （3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。 3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。 4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。 5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角。都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。 6、三角形内角和定理包含一个等式，它是我们列出有关角的方程的重要等量关系。 四、三 三条重 要线段 1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。 2、三角形的角平分线： （1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。 （2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。 3、三角形的中线： （1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。 （2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。 4、三角形的高线： （1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。 （2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。 五、全 等图形 1、两个 能够重 合的图 形称为全等图形。 2、全等图形的性质：全等图形的形状和大小都相同。 3、全等图形的面积或周长均相等。 4、判断两个图形是否全等时，形状相同与大小相等两者缺一不可。 5、全等图形在平移、旋转、折叠过程中仍然全等。 6、全等图形中的对应角和对应线段都分别相等。 六、全等分割 1、把一个图形分割成两个或几个全等图形叫做把一个图形全等分割。 2、对一个图形全等分割： （1）首先要观察分析该图形，发现图形的构成特点； （2）其次要大胆尝试，敢于动手，必要时可采用计算、交流、讨论等方法完成。 七、全等三角形 1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。 2、用“≌”连接的两个全等三角形，表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全等三角形的性质：全等三角形的对应边、对应角相等。这是今后证明边、角相等的重要依据。 4、两个全等三角形，准确判定对应边、对应角，即找准对应顶点是关键。 八、全等三角形的判定 1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。 2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。 3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。 4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。 5、注意以下内容 （1）三角形全等的判定条件中必须是三个元素，并且一定有一组边对应相等。 （2）三边对应相等，两边及夹角对应相等，一边及任意两角对应相等，这样的两个三角形全等。 （3）两边及其中一边的对角对应相等不能判定两三角形全等。 6、熟练运用以下内容 （1）熟练运用三角形判定条件，是解决此类题的关键。 （2）已知“SS”，可考虑A：第三边，即“SSS”；B：夹角，即“SAS”。 （3）已知“SA”，可考虑A：另一角，即“AAS”或“ASA”；B：夹角的另一边，即“SAS”。 （4）已知“AA”，可考虑A：任意一边，即“AAS”或“ASA”。 7、三角形的稳定性：根据三角形全等的判定方法（SSS）可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。 九、作三角形 1、作图题的一般步骤： （1）已知，即将条件具体化； （2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件； （3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）； （4）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程； （5）证明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）。 2、熟练以下三种三角形的作法及依据。 （1）已知三角形的两边及其夹角，作三角形。 （2）已知三角形的两角及其夹边，作三角形。 （3）已知三角形的三边，作三角形。 十、利用三角形全等测距离 1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离。 2、运用全等三角形解决实际问题的步骤： （1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决； （2）根据实际问题抽象出几何图形； （3）结合图形和题意分析已知条件； （4）找到解决问题的途径。 十一、直角三角形全等的条件 1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。 2、“HL”是直角三角形特有的判定条件，对非直角三角形是不成立的； 3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样。 十二、分析-综合法 1、我们在平时解几何题时，采用的解题方法通常有两种，综合法与分析法。 2、综合法：从问题的条件出发，通过分析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题的结论。 3、分析法：从问题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件。 4、在具体解题中，通常是两种方法结合起来使用，既运用综合法，又运用分析法。 “三角形”单元测试 一、选择题 1．如图：△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB 于E，且AB=6㎝，则△DEB的周长是（） A．6㎝ B．4㎝ C．10㎝ D．以 上都不对 (第1题) (第6题) (第7题) 2．一个多边形的内角和是720 ，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7 3．等腰三角形中的一个内角为50°，则另两个内角的度数分别是 （） A、65°，65° B、50°，80° C、50°，50° D．65°，65°或50°，80° 4．以下各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是（ ） ，2，3 ，3，4 ，5，6 ，12，13 5．△ABC 中，①若AB ＝BC ＝CA ，则△ABC 是等边三角形；②一个底 角为60°的等腰三角形是等边三角形；③顶角为60°的等腰三角 形是等边三角形;④有两个角都是60°的三角形是等边三角形．上 述结论中正确的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．如图所示，已知△ABC 和△DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同 一条直线上，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交 于点F ，连接OC 、FG ，则下列结论：①AE ＝BD ；②AG ＝BF ；③FG ∥BE ； ④∠BOC ＝∠EOC ，其中正确的结论的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =040，则B =（ ） A 、060 B 、070 C 、075 D 、080 8．满足下列条件的ABC ?，不是直角三角形的是（ ） A ．?=∠25A , ?=∠65 B B ． 5:4:3::=∠∠∠ C B A C ．222c a b -= D ．12=AC ,20=AB ,16=BC 9．下列几组数，能作为直角三角形的三边的是 A．5，12，23 B．，，1 C．20，30，50 D．4, 5，6 10．如图，将Rt△ABC（∠ACB=90°，∠ABC=30°）沿直线AD折叠，使点B落在E处，E在AC的延长线上，则∠AEB的度数为（） A．30° B．40° C．60° D．55° (第10题) (第11题) (第13题) 二、填空题 11．如图，E点为ΔABC的边AC中点，CN∥AB，过E点作直线交AB 与M点，交CN于N点，若MB=6cm，CN=4cm，则AB=________。 12．一个十二边形的内角和是度，外角和是度. 13．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ACD=80°，∠B=30°，则 ∠A= 。 14．若等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形顶角的度 数为 . 15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝8，点M在BC上，且BM＝2 N是AC上一动点，则BN＋MN的最小值为___________． (第15题) (第16题) 16．如图,△ABC的三个顶点分别在格子的3个顶点上,请你试着再在图中的格子的顶点上找出一个点D,使得△DBC与△ABC全等,这样的三角形有个． 三、解答题 17．今年第九号台风“苏拉”登陆浙江,A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向85km的B处，正以14km/h的速度沿BC方向移动．已知A市到BC的距离AD=40km，那么台风中心从B点移到D点经过多长时间（计算结果精确到小时） 18．已知三角形的两边长分别为3和5，第三边长为c，化简 ． 19.如图，△ABD≌ △EBD, △DBE≌ △DCE, B, E, C在一条直线上. (1)BD是∠ABE的平分线吗为什么(2)DE⊥BC，BE=EC吗为什么 20．已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF.求证：AE=CF. F E D C B A 21．如图：AD是△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD。 求证：BE⊥AC。 22．如图，? = ∠90 AOB，OM是AOB ∠的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OB OA,交于点C和D,证明： PC ． PD 参考答案 1．A 2．C 3．D 4．D 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．C 11．10cm 12．18000，360° 13．50° 14．50°或80° 15．10 16．3 17．小时 18．由三边关系定理，得3+5>c，5－3 = =c－2－（4－c）=c－2－4+c=c－6．（15分） 19．略20．略21．略22．略 第五章三角形单元复习题 一、选择题 1．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在 ( ) A．三角形内部B．三角形的一边上 C．三角形外部D．三角形的某个顶点上 2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 ( ) A．4、5、6 B．6、8、15 C．5、7、12 D．3、9、13 3．在锐角三角形中，最大角α的取值范围是 ( ) A．0°＜α＜90°B．60°＜α＜90° C．60°＜α＜180°D．60°≤α＜90° 4．下列判断正确的是 ( ) A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等 B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等 C．有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等 D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等 5．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是( ) A．x＜6 B．6＜x＜12 C．0＜x＜12 D．x＞12 6．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A．则此三角形 ( ) A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60° C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形 7．三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的 ( ) A．三条中线交点B．三条角平分线交点 C．三条高线交点D．三条高线所在直线交点 8．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为 ( ) A．30°B．75° C．105°D．30°或75° 9．如图5—124，直线l、l'、l''表示三条相互交叉的公路，现计划建 一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( ) A．一处B．二处 C．三处D．四处 10．三条线段长度分别为3、4、6，则以此三条线段为边所构成的三角 形按角分类是 ( ) A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．根本无法确定 二、填空题 1．如果△ABC中，两边a＝7cm，b＝3cm，则c的取值范围是_________；第三边为奇数的所有可能值为_________；周长为偶数的所有可能值为_________． 2．四条线段的长分别是5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成______个三角形． 3．过△ABC的顶点C作边AB的垂线将∠ACB分为20°和40°的两个角，那么∠A，∠B 中较大的角的度数是____________． 4．在Rt△ABC中，锐角∠A的平分线与锐角∠B的平分线相交于点D，则∠ADB＝______．5．如图5—125，∠A＝∠D，AC＝DF，那么需要补充一个直接条件________(写出一个即可)，才能使△ABC≌△DEF． 6．三角形的一边上有一点，它到三个顶点的距离相等，则这个三角形是_______三角形．7．△ABC中，AB＝5，BC＝3，则中线BD的取值范围是_________． 8．如图5—126，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，CM平分AB，CE平分∠DCM，则∠ACE 的度数是______． 《数列》单元练习试题 一、选择题 １．已知数列}{n a 的通项公式432--=n n a n （∈n N *)，则4a 等于( ） (A)1 (B ）2 （C ）3 （D ）0 ２．一个等差数列的第5项等于1０，前3项的和等于3,那么( ) （A ）它的首项是2-，公差是3 （B)它的首项是2,公差是3- (C ）它的首项是3-,公差是2 (D ）它的首项是3,公差是2- 3．设等比数列}{n a 的公比2=q ,前n 项和为n S ,则 =24a S ( ） (A ）2 （B)4 (Ｃ）2 15 (D ）217 ４．设数列{}n a 是等差数列,且62-=a ，68=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则( ） （A)54S S < (B ）54S S = (C)56S S < (D ）56S S = 5.已知数列}{n a 满足01=a ，133 1+-=+n n n a a a (∈n Ｎ*），则=20a （ ） （A)0 （B)3- (C ）3 （Ｄ） 23 6.等差数列{}n a 的前m 项和为3０,前m 2项和为1０0，则它的前m 3项和为（ ） (A)130 (Ｂ）17０ （Ｃ）210 (Ｄ）260 7.已知1a ,2a ,…，8a 为各项都大于零的等比数列，公比1≠q ,则( ) (Ａ)5481a a a a +>+ （B ）5481a a a a +<+ (C)5481a a a a +=+ (D ）81a a +和54a a +的大小关系不能由已知条件确定 ８．若一个等差数列前3项的和为３4,最后3项的和为146，且所有项的和为39０,则这个数 列有（ ） （A ）13项 （B)12项 (C)1１项 （D)1０项 9.设}{n a 是由正数组成的等比数列,公比2=q ，且30303212=????a a a a ，那么 30963a a a a ???? 等于( ） （Ａ）210 (Ｂ)2２0 （C)2１６ (D)２15 10.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,比如: 新课标高一化学必修1第三章单元测试题(A) （金属及其化合物） 班别学号姓名评分_____ ___ 相对原子质量：Na 23 Al 27 Fe 56 Cu 64 H 1 O 16 C 12 S 16 Cl 35.5 一、选择题:(本题包括13 小题,1－9题为只有1个选项符合题意，每小题3分,10－13题有1 1．在实验室中，通常将金属钠保存在 A．水中B．煤油中C．四氯化碳中D．汽油中 2．下列物质中，不属于 ．．．合金的是 A．硬铝B．黄铜C．钢铁D．金箔 3．下列物质中既能跟稀H2SO4反应, 又能跟氢氧化钠溶液反应的是①NaHCO3 ②Al2O3③Al(OH)3 ④Al A．③④B．②③④C．①③④D．全部 4．下列关于Na和Na+的叙述中,错．误的 ．．是 A．它们相差一个电子层B．它们的化学性质相似 C．钠原子,钠离子均为同一元素D．灼烧时，它们的焰色反应都呈黄色 5．除去Na2CO3固体中少量NaHCO3的最佳方法是 A．加入适量盐酸B．加入NaOH溶液 C．加热D．配成溶液后通入CO2 6．镁、铝、铜三种金属粉末混合物, 加入过量盐酸充分反应, 过滤后向滤液中加入过量烧碱溶液, 再过滤, 滤液中存在的离子有 -B．Cu2+C．Al3+D．Mg2+ A．AlO 2 7．少量的金属钠长期暴露在空气中，它的最终产物是： A．NaOH B．Na2CO3?10H2O C．Na2CO3 D．NaHCO3 8．只用一种试剂可区别()() 、、、、五种溶液, 这种试剂 Na SO MgCl FeCl Al SO NH SO 2422243424是 A．Ba(OH)2B．H2SO4C．NaOH D．AgNO3 9．将Fe、Cu、Fe2＋、Fe3＋和Cu2＋盛于同一容器中充分反应，如Fe有剩余，则容器中只能有A．Cu、Fe3＋B．Fe2＋、Fe3＋C．Cu、Cu2＋、Fe D．Cu、Fe2＋、Fe 10．将Na2O2投入FeCl3溶液中, 可观察到的现象是 A．生成白色沉淀B．生成红褐色沉淀C．有气泡产生D．无变化 11．下列离子方程式书写正确 ．．的是 A．铝粉投入到NaOH溶液中：2Al+2OH－══ 2AlO2－+H2↑ 三角形经典测试题及解析 一、选择题 1．如图，直线a b ∥，点A 、B 分别在直线a 、b 上，145∠?＝，若点C 在直线b 上，105BAC ∠?＝，且直线a 和b 的距离为3，则线段AC 的长度为（ ） A ．32 B ．33 C ．3 D ．6 【答案】D 【解析】 【分析】 过C 作CD ⊥直线a ，根据30°角所对直角边等于斜边的一半即可得到结论． 【详解】 过C 作CD ⊥直线a ，∴∠ADC =90°． ∵∠1=45°，∠BAC =105°，∴∠DAC =30°． ∵CD =3，∴AC =2CD =6． 故选D ． 【点睛】 本题考查了平行线间的距离，含30°角的直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键． 2．把一副三角板如图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A-45°，∠D=30°，斜边AB=6，DC=7，把三角板DCE 绕着点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1（如图乙），此时AB 与CD 1交于点O ，则线段AD 1的长度为（ ） A ．32 B ．5 C ．4 D 31 【解析】 【分析】 【详解】 由题意易知：∠CAB=45°，∠ACD=30°， 若旋转角度为15°，则∠ACO=30°+15°=45°． ∴∠AOC=180°－∠ACO－∠CAO=90°． 在等腰Rt△ABC中，AB=6，则AC=BC=32． 同理可求得：AO=OC=3． 在Rt△AOD1中，OA=3，OD1=CD1－OC=4， 由勾股定理得：AD1=5．故选B． 3．如图，在平行四边形ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，若BF=6，AB=5，则AE的长为() A．4 B．8 C．6 D．10 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：设AG与BF交点为O，∵AB=AF，AG平分∠BAD，AO=AO，∴可证△ABO≌△AFO，∴BO=FO=3，∠AOB=∠AOF=90o，AB=5，∴AO=4，∵AF∥BE，∴可证△AOF≌△EOB， AO=EO，∴AE=2AO=8，故选B． 【点睛】 本题考查角平分线的作图原理和平行四边形的性质． 4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（） A．2, 2,5B．3,3C．3,4,8D．4,5,6 【答案】D 【解析】 【分析】 三角形的任何一边大于其他两边之差，小于两边之和，满足此关系的可组成三角形，其实只要最小两边的和大于最大边就可判断前面的三边关系成立． 一、数列的概念选择题 1．在数列{}n a 中，12a =，1 1 1n n a a -=-(2n ≥)，则8a =（ ） A ．1- B ． 12 C ．1 D ．2 2．数列{}n a 的通项公式是2 76n a n n =-+，4a =（ ） A ．2 B ．6- C ．2- D ．1 3．已知数列{} ij a 按如下规律分布（其中i 表示行数，j 表示列数），若2021ij a =，则下列结果正确的是（ ） A ．13i =，33j = B ．19i =，32j = C ．32i =，14j = D ．33i =，14j = 4．已知数列{}n a ，若()12* N n n n a a a n ++=+∈，则称数列{}n a 为“凸数列”.已知数列{} n b 为“凸数列”，且11b =，22b =-，则数列{}n b 的前2020项和为（ ） A ．5 B ．5- C ．0 D ．1- 5．在数列{}n a 中，已知11a =，25a =，() * 21n n n a a a n N ++=-∈，则5a 等于（ ） A ．4- B ．5- C ．4 D ．5 6．已知数列{}n a ，{}n b ，其中11a =，且n a ，1n a +是方程220n n x b x -+=的实数根， 则10b 等于（ ） A ．24 B ．32 C ．48 D ．64 7．在数列{}n a 中，114a =-，1 11(1)n n a n a -=->，则2019a 的值为（ ）七年级下北师大版三角形单元测试
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