演出安排问题--数模训练经典题
演出安排问题
摘要
本文将演出安排问题归为多目标组合优化问题，着眼于实际问题的解决，采用基于优先级的贪婪算法。
第一问中根据对问题中优化目标和约束条件的理解，在简化的演出安排规则下，将目标的优化分阶段实现；第一阶段，部分目标优化体现在基于优先级的贪婪算法里，第二阶段，将多目标加权归一转化为单目标，在查阅相关历史资料的基础上可以得到本模型下的最优安排方案。
第二问中根据资料合理地估计和设定参数，带入模型得到以六个月为一个演出周期的最佳安排方案，并预测公司净收益为4635万元，每个剧团收益为188万元；方案中演出单位时间为5天，有37个剧团参加演出。
对于第三问，在第一问模型的基础上，我们分别给出了三种紧急情形下的多种应急预案。
模型检验中我们主要通过对方案进行分析，绘制图表，来检验在算法里实现的优化目标的优化效果，结果是令人满意的。最后在模型改进中，考虑了两剧团可于同一时间段内在一家剧场演出的情况，对算法作了改进。
关键字:多目标组合优化，阶段性优化，演出单位时间，基于优先级的贪心算法，队列，MATLAB
问题重述
问题背景
随着我国经济的高速发展，人们对于文艺演出的需求也逐渐增加，为了获取商业利益演出公司需要进行一系列的策划和统筹安排，其中商演安排问题就是其中之一。请为某公司的演出合理安排、提出建议。
问题提出
某演出公司旗下有12 家剧场，分别位于以下城市：北京市(2家)、青岛市、上海市(2家)、杭州市、南京市、广州市、深圳市、重庆市、西安市、兰州市。公司需要组织若干演出团体于各剧场演出，每家剧场每天均需安排至少一场演出。为了保证上座率和演出效果，同一剧团每轮（指在同一家剧场连续不间断演出）演出时间有一上界。分别为：北京市：各14 天；青岛市：14 天；上海市：各14 天；杭州市：7 天，南京市：14天；广州市：7 天；深圳市：7 天；重庆市：7 天；西安市：7 天；兰州市：7 天。同一演出团体可以在不同剧场巡回演出，但不能在同一剧场多轮演出。同一演出团体在同城的两家剧场（北京或上海）演出的间隔（指自一家剧场
演出结束至另一家剧场演出开始）不能小于45 天。对加盟的演出团体，公司都需支付一笔固定费用；根据每个剧团演出场次的不同，还需支付该剧团相应的演出费用；另外公司还需承担剧团在不同城市巡回时所需的交通费用。其中前两项费用所占比例较大。对演出团体而言，一旦加盟就希望演出较多的场次，并且在不同剧场演出之间不能有太大的时间间隔，巡回路线也尽可能合理。
1．试为公司制定一个这12 家剧场的演出团体安排方案，使公司支付的费用尽可能少，获利尽可能多，方案应切实可行、便于操作、有利管理、公司和剧团合作双赢。
2．准备一份给公司经理参阅的关于方案的简要说明（不超过两页），并附一份简明直观的2010年前六个月的商演安排方案，作为公司和剧团执行的指南。
3．是否能将你的模型推广到一般情形。简述出现各种特殊情况时你的应急预案。如某剧团因故不能完成剩余演出，某剧团的节目不适合在某城市演出，某剧场另有专项演出任务等。
问题一
问题分析
本演出安排问题是一个多目标，多阶段，多约束条件的非线性组合优化问题。题目中演出安排规则为约束条件，安排需要考虑的多个因素为优化目标，并将目标分阶段实现。
一．演出安排的基本规则
1．每家剧场每天至少有一个剧团在演出，即剧场每天都有剧目；
2．剧团在某剧场的一轮（连续）演出时间有一上界，有的为一周有的为两周；
3．一个演出周期内同一剧团回到同一城市演出的时间间隔大于等于45天； 4．一个演出周期内同一剧团在在同一剧场最多演出一轮，即演出周期内剧团在某剧场的连续演出一旦结束，便不会再次在此剧场演出；
为了找出可行、便于操作的方案，我们将部分安排规则简化，简化后的规则如下：
1．每家剧场每天有且仅有一个剧团在演出；（经查阅资料，大多剧场一天只在黄金时间安排一场演出）
2．以)71(≤≤d d 天为演出单位时间，即剧团在有些剧场的演出时间为d 天，有些为d 2天；（设定演出单位时间使得剧团的演出时间统一分块，方案可操作性强，便于管理）
3．一个演出周期内同一剧团回到同一城市演出的时间间隔大于等于???
???d 45个
时间单位；
4．一个演出周期内同一剧团在在同一剧场最多演出一轮，即演出周期内剧团在某剧场的连续演出一旦结束，便不会再次在此剧场演出；
二．演出安排需要考虑的多个因素
1．公司支付费用尽量少，获利尽量多，平均每个剧团收益尽量大；
2．每个剧团的的演出场次尽量多，并且演出场次尽量分散；
3．各个剧团的演出场次尽量平均；
4．巡回路线的安排使路费尽量少。
说明：
因素1以公司利益为主统筹优化费用和获利两方面，再结合剧团收益，可以转化为一个目标，实现合作双赢；
因素2主要从剧团的角度出发，使演出时间间隔不至过大；
因素3则考虑使整体利益最大化的同时不能以牺牲个别剧团的利益为代价；
因素4，由于现在交通很发达，我们认为剧团在结束一个场次的演出后可以迅速赶到下一剧场进行第二天的演出，那么巡回路线的实际距离对演出几乎无影响，交通费便成为巡回路线优劣的判断标准。
在解决实际问题时，我们可以将因素2、3、4的优化问题在算法中实现，将因素1作为唯一的优化目标，从而将问题合理地大大简化。
模型假设
一．基本假设
1.剧团在酬劳方面是平等的，即公司付给每个加盟剧团的固定费用是一定的，各剧团每场演出费用也是一样的；
2.剧团在上座率和演出效果方面是等效的，即每单位演出时间收益是一样的；
二．变量说明
a：公司付给每个加盟剧团的固定费用
b：剧团每单位演出时间的演出费
c：一个剧团单位演出时间收益
η：剧团分红比例
λ：一个演出周期的总收益
δ：一个演出周期的总交通费
s：可行的安排方案
i
Ω：解空间
T：一个演出周期总天数
n：一个演出周期所需剧团总数
模型建立与求解
一．模型建立
)(d s i 为一种在以d 天为演出单位时间下符合演出安排规则的安排方案，
，{}h s s s ,,21=Ω为所有可取方案构成的解空间，)(i s n 为方案i s 所需的剧团数，
)(i s λ为方案i s 时的总收益，)(i s δ为方案i s 时的总交通费。
)(d γ为演出d 天的均上座率，x 为门票价，y 为剧场容量，则T y x ??=γλ，分红比例c b =
η，剧团均收益为n
ηλ
，公司净收益为δλη---na )1(，公司支出为δηλ++na 其中η,,,c b a 均为常数。
设权系数4321,,,μμμμ，满足14321=+=+μμμμ，其中21,μμ为剧团与公司利益之间的权衡，43,μμ为公司费用与收益之间的权衡。记g 为归一化算子，可得目标函数为
[])())1(()(
z 3421δηλμδλημμηλ
μ++----+=na g na g n
g (1)
那么模型可描述为：在解空间Ω中寻找最优解*s ，使得对于所有的Ω∈i s ，都有)(max )(i s z s z =*]1[。
二．模型求解 1．阶段一
在演出单位时间d 确定的情况下，通过用过基于优先级的贪婪算法实现因素
2，3，4的优化。
基本算法的选择和分析
对于NP 难问题，可以用“穷举法”获得近似最优解，然而“穷举法” 时间长，成本高，并无实际的应用价值，故我们考虑采取近似算法，使解决问题的算法复杂度从指数增长简化为多项式增长，便于程序运行。而基于优先级的贪婪算法是一种简便有效的解决最优化问题的基本方法。 贪婪算法不在整体最优上加以考虑，而是采用优先级逐步构造最优解的的解题思想。也就是说，它总是把整个解题过程分解成一个个细小的步
骤，做出在当前看来是局部最优的选择，逐步逼近给定的目标，以尽可能快地获得满意的处理结果。虽然贪婪算法不能使所有问题都得到整体最优解，但对很多问题它能产生整体最优解，如货箱装船问题、背包问题、拓扑排序问题、二分覆盖问题、最短路径问题、最小代价生成树问题等。在一些情况下，即使贪婪算法不能得到整体最优解，但其最终结果却是最优解的很好的近似解。故本文采用基于优先级的贪婪算法。
基于优先级的贪婪算法演出安排流程
基于优先级的贪婪算法安排剧团的过程仿照人工为剧团安排的方法，以周为单位，依次给各个剧场选择演出时间和巡回路线均合适的剧团进行安排。每个剧场在各个周的演出剧团排定后，各个剧团的安排也就随之排定。为了降低贪婪排课算法的复杂度，可以采用组合优先级贪婪策略。首先根据预先估计的所需剧团数量确定待排剧团的初始队列，再按照剧场所在城市GDP 的高低确定剧场的优先顺序；然后分析已知条件，根据安排时需要考虑的因素，对于当下剧场，确定剧团优先级，最后按照优先级安排剧团。
图1描述了基于优先级的贪婪算法排课流程，其具体步骤如下： (1)估计所需剧团的最小数量并确定剧场优先顺序。按序号1至n 排出剧团初始队列。若待安排的周期总时间为T （天），当以d 天为演出单位时
间时，??
?
???=d T t 个单位时间，因为有的剧场演出时间为一个单位时间，故所
需的最少演出剧团的数量t n =；以上一年城市GDP 为标准，一个演出单位时间内，以剧场所在城市GDP 高低为序依次给剧场安排剧团，使得演出效果较好的剧场能得到满足，减少利益遗失。
(2)确定优先原则。优先级涉及多个因素，如演出间隔等待时间优先、剧场间转移费用优先等，它们之间的关系复杂，也受制于前面所述的剧场安排基本规则。剧团的安排过程要在遵循基本规则的前提下，确定好安排的优先原则，具体表现为：第一：由于假设各剧团平等，初始队列按照剧团的编号由小到大，编号小的优先级高，此后过程中当前演出场次少的剧团优先级高；第二：到达该剧场路费小的剧团优先级高。
(3)计算优先权值(Weight)。在实际剧团的安排中，要量化优先级，以便于计算机处理。为了量化优先级，基于以上优先原则，我们引入待排剧团优先权值概念及计算方法。定义i p 为当前剧团队列按演出场次从小到大的顺序，归一化后记为i p '[])1,0(∈'i p ，i q 为剧团到当前剧场需路费，归一化后记为i q '；βα,分别为演出时间间隔和路费的偏好系数，优先权值
i i i q p W '+'=βα
图一基于优先级的贪婪算法流程图2．阶段二
阶段一中算出了不同演出单位时间下的较优方案)(i d s ，将各方案的对应数据带入式（1）算得目标函数，经过简单的数据处理便可得到目标函数的最大值及相应的近似最优方案)(*d s 。
问题二
在演出周期为六个月即181=T 的情况下，经查阅资料估计出δηγ,,,,y x 等参数。考虑演出安排主要以公司利益为主，设定8.02.021==μμ，；若公司流动资金较充裕则可将4μ的值取的高些，反之则低些，此处取8.02.043==μμ，。根据上述模型和算法即可得出符合条件的安排方案，程序见附录B 。部分数据如下：
图二
γ
随演出天数变化曲线
表一 模型预测数据
经计算，演出单位时间为5天时，可得最优安排方案，需37个剧团加盟。具体方案及说明详见附录A 。
问题三
情形一：如果剧团A 在剧场a 时因故不能完成剩余演出。
应急预案：
1．将剧团A从队列中永久性剔除后，探测能否用当前队列依照原有安排规则完成安排。若预案1无法实现，则采取预案2。
2．一直增加所需队伍数，从情形一出现处开始重新排列，直至可以完成安排。
情形二：某剧团的节目不适合在某城市演出。
应急预案：
1．若A离X市b场近且未去过b场，则让在不影响剧团A原有演出的基础上在剧场b演出，之后剧团A按原计划进行演出。若预案1无法实现，则采取预案2。
2．给该剧团加上已去过某城市剧场的约束，从情形二出现处开始重新排列，若不能完成安排则采取预案3。
3．一直增加所需队伍数，从情形二出现处开始重新排列，直至可以完成安排。
情形三：剧场a另有专项演出任务，即剧场a在某阶段不可用。
应急预案：
1．令即将前往剧场a的剧团A停留在原地。
2．在剧场a专项演出阶段内不对a做剧团的安排，从从情形二出现处开
由于我们将演出安排因素2、3、4的优化在算法中实现，不能从方案列表中直观看出优化效果，所以下面我们对方案进行分析，以图表的形式直观地检验优化效果。
表二各剧团演出时间
由表二可以看出各个剧团的演出时间均在10-16个演出时间单位之间，演出场次已经尽可能地大了，而且演出时间集中在12个演出时间单位，可见各剧团演出时间较为平均。
图四
图四为各剧团演出时间在时间轴上的分布情况，显然是比较分散的，没有时间间隔特别大的情况出现。
图五
图五是抽取的5号剧团的巡回路线，由于交通费用和实际距离是关联的，巡回路线较短，费用也会较低。由图可见该剧团的巡回路线近似哈密尔顿回路的一部分，已经使得交通费尽可能低了。
综上述，模型有较好的优化效果。
模型评价
优点：对约束条件作了合理简化，设定演出单位时间，使剧团演出时间统一分块，方案可操作性强又便于管理；巧妙地将多个优化目标分阶段处理，并将有些优化放在算法中实现，可行性强；采用基于优先级的贪婪算法，时间复杂度低，效率高。
缺点：由于贪婪算法的局限性，最后得到的方案很可能不是最优解；模型的抗风险性相对较弱，对紧急情况的应对方案不是很优秀。
模型改进
由所调查的资料显示，绝大部分单厅的剧院每天均只演出一场剧目，故本文模型均依照一天一场剧做模拟，但随着现代化进程的深入，逐渐出现的多功能剧场的涌现伴随着每日演出场次不再单一的局限于一场，虽然此显现仍不普遍，但本文模型改进在原模型基础上作出相应的调整，以应对如此情形。
在贪婪算法流程中加入第四步：
建立当前可进行二次安排的剧团队列，若剧团A符合如下条件则入队：
a.剧团a在当前条件下未到访过待排剧场；
b.剧团a未在45天内到访过与待排剧场在同一城市的其他剧场；
c.剧团a只在空闲时间在待排剧场演出，且演出对其之后安排无影响。
改进后的算法流程图见附录C。
参考目录[1]：https://www.wendangku.net/doc/a12744760.html,/view/1654819.htm
附录A：
2010年前六个月的商演安排方案
本文所建立的模型，在综合考虑每个剧团的演出间隔时间和巡回路线，使其平均演出场数尽量多，巡回路线尽量合理的情况下，使贵公司在此6个月内的综合收益最大化。
方案模型中对约束条件作了合理简化，设定演出单位时间，使剧团演出时间统一分块，增强了方案的可操作性强，十分便于管理。通过对历史数据的收集，如以往年份的票价，上座率—时间曲线等，在特定方案下估计出公司支出、净收益及剧团军收益作为统筹考虑的数据依据，按照公司的资金状况和经营理念选择最合理的安排方案。
城市与剧场编号安排如下表所示：
各个剧团依次按正整数编号1，2….n，具体的演出安排如下表所示：
城市
演出时间始末点上海北京
广
州
深
圳
重
庆
杭
州
青
岛
南
京
西
安
兰
州
1-1 1-5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1-5 1-10 1 2 3 4 13 14 15 16 9 10 17 18 1-11 1-15 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 1-16 1-20 19 20 21 22 31 32 33 34 27 28 35 36 1-21 1-25 37 8 9 10 6 5 11 1 2 16 7 17 1-26 1-30 37 8 9 10 14 13 12 28 2 16 18 3 1-31 2-4 26 27 29 15 24 23 30 19 4 20 25 35 2-5 2-9 26 27 29 15 32 31 36 37 4 20 33 21 2-10 2-14 34 16 2 1 11 22 17 7 8 19 9 10 2-15 2-19 34 16 2 1 28 12 18 20 8 19 3 25 2-20 2-24 4 6 26 27 30 11 5 14 29 37 15 33 2-25 3-1 4 6 26 27 22 28 35 24 29 37 21 9 3-2 3-6 7 19 8 13 12 36 23 32 34 31 10 2 3-7 3-11 7 19 8 13 17 30 3 4 34 31 1 15 3-12 3-16 20 14 16 37 18 25 29 6 26 24 5 27 3-17 3-21 20 14 16 37 36 17 21 31 26 24 23 11 3-22 3-26 32 22 34 33 35 7 10 9 19 4 2 1 3-27 3-31 32 22 34 33 25 18 28 12 19 4 8 5 4-1 4-5 13 24 6 3 29 20 27 30 14 26 16 23 4-6 4-10 13 24 6 3 7 35 2 22 14 26 37 31 4-11 4-15 9 4 19 11 21 10 1 36 32 12 28 8 4-16 4-20 9 4 19 11 20 29 16 13 32 12 34 26 4-21 4-25 30 33 14 5 27 15 37 25 24 22 6 28 4-26 4-30 30 33 14 5 10 21 31 17 24 22 36 7
5-1 5-5 12 3 32 23 2 1 8 18 11 9 19 34 5-6 5-10 12 3 32 23 4 27 20 33 11 9 26 16 5-11 5-15 25 17 24 35 15 37 6 29 13 30 22 14 5-16 5-20 25 17 24 35 1 2 19 3 13 30 31 32 5-21 5-25 18 5 28 36 8 4 34 10 12 33 20 22 5-26 5-30 18 5 28 36 9 26 14 11 12 33 30 6 5-31 6-4 29 13 7 16 37 8 24 21 23 25 27 19 6-5 6-9 29 13 7 16 3 9 32 5 23 25 12 20 6-10 6-14 10 35 17 31 26 34 22 15 33 11 14 24 6-15 6-19 10 35 17 31 19 3 4 2 33 11 32 29 6-20 6-24 21 23 18 30 34 19 13 27 28 1 24 37 6-25 6-29 21 23 18 30 16 33 9 35 28 1 4 13 6-30 7-4 15 25 12 6 33 16 26 23 36 5 13 4
*注：上表中纵行表示演出时间共计37个演出单位时间，演出始末时间差为一个单位时间的天数为5；行为对应的某演出时间各个剧场的安排，具体位置的值表示被安排的剧团的编号。如：第20行10列的值为26，表示在第20个单位时间，安排26号剧团在10号剧场演出。
对于上述安排具有如下优势：
1.贵公司的所有剧场均已排满，从而使得演出总场数达到最大化，进而演出收益最大化；
2.签约的剧团数达到最小值，从而使签约支出达到最小值；
3.在所有被签约的剧团中，演出场数最少的剧团的演出场数为X，该数量相对最大演出数N比较接近，故符合剧团演出场数比较多的原则；
4.如下图所示，巡回路线近似最短，即剧团转移路程已经非常理想；
5.由表及历史数据估算，贵公司的净收益将为：4635万元，每个剧团的收益为：188，均较为理想。
附录B
主程序.m文件：
clear
clc
lufei=xlsread('lufei.xls');
alpha=0.5;
for yanchutianshu=3:7;
for t=26:500
paidui=(1:t)';
a=zeros(t,12);
b=zeros(t,1);
didian=13*ones(t,1);
ren=[];
zhoushu=ceil(181/yanchutianshu);
for i=1:(zhoushu+1)/2
ren=[];
ren1=[];
b=0*b;
jiechu=[];
for k=1:12
youxiandu1=1/26:1/26:(1/26*length(paidui));
youxiandu2=0*youxiandu1;
for p=1:length(paidui)
youxiandu2(p)=lufei(didian(paidui(p)),k);
end
youxiandu=alpha*youxiandu1+(1-alpha)*youxiandu2;
[m,n]=sort(youxiandu);
for j=1:t
if
(k==1)&&(a(paidui(n(j)),2)~=0)&&(a(paidui(n(j)),2)>=2*i-1-9) continue
elseif
(k==3)&&(a(paidui(n(j)),4)~=0)&&(a(paidui(n(j)),4)>=2*i-1-9) continue
elseif
(k==2)&&(a(paidui(n(j)),1)~=0)&&(a(paidui(n(j)),1)>=2*i-1-9) continue
elseif
(k==4)&&(a(paidui(n(j)),3)~=0)&&(a(paidui(n(j)),3)>=2*i-1-9) continue
else
end
if (a(paidui(n(j)),k)==0)&&(b(n(j))==0)
b(n(j))=paidui(n(j));
didian(paidui(n(j)))=k;
a(paidui(n(j)),k)=2*i-1;
jiechu=cat(1,jiechu,n(j));
if k==7||k==8||k==9||k==10||k==11||k==12 ren=cat(1,ren,paidui(n(j)));
else
ren1=cat(1,ren1,paidui(n(j)));
end
break
end
end
end
paidui(jiechu)=[];
paidui=cat(1,paidui,ren);
b=0*b;
jiechu=[];
for k=[5 6 7 8 11 12]
youxiandu1=1/26:1/26:(1/26*length(paidui));
youxiandu2=0*youxiandu1;
for p=1:length(paidui)
youxiandu2(p)=lufei(didian(paidui(p)),k);
end
youxiandu=alpha*youxiandu1+(1-alpha)*youxiandu2; [m,n]=sort(youxiandu);
for j=1:t-6
if (a(paidui(n(j)),k)==0)&&(b(n(j))==0)
b(n(j))=paidui(n(j));
didian(paidui(n(j)))=k;
a(paidui(n(j)),k)=2*i;
jiechu=cat(1,jiechu,n(j));
ren1=cat(1,ren1,paidui(n(j)));
break
end
end
end
paidui(jiechu)=[];
paidui=cat(1,paidui,ren1);
end
for i=1:t
for j=1:12
if a(i,j)==zhoushu+1
a(i,j)=0;
end
end
end
b=sum(a&ones(t,12));
b=sort(b);
bb=cat(2,ceil(zhoushu/2)*ones(1,6),zhoushu*ones(1,6)); if b==bb
disp('Dèòa??í?êy');disp(t);
disp('?Y3?ììêy'),disp(yanchutianshu);
break
end
end
end
附录C
数学建模典型例题
一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij
数学建模 练习题1
2.14成绩与体重数学建模 一、问题 举重比赛按照体育运动员的体重分组，你能在一些合理、简单的假设下，建立比赛成绩与体重之间的关系吗？下面是下一届奥运会的成绩，可供检验你的模型。 一、问题分析 成绩与肌肉的力度有直接关系，随着力度的增加，成绩呈上升趋势。 假设力度与肌肉横截面积成正比，而截面积和体重都与身体的某个特征尺寸有直接关联。由此可以找到成绩和体重之间的关系。可以以此建立模型。
二、模型假设以及符号说明 1．本模型主要考虑运动员举重总成绩和体重的关系，所以假设运动员其他条件相差不大。 2．运动员的举重能力用其举重的总成绩来刻画 3．符号说明： 人的体重 W 人的身高 h 肌肉横截面积 S 人的体积 V 肌肉强度 T 举重成绩 C 非肌肉重量 W1 斜率 K 三、模型构成 模型一 1．题中给出举重比赛按照体育运动员的体重分组，所以我们猜测成绩与体重应该是正比关系。 2．画出坐标图，体重越重，成绩越好，进一步验证了正比关系。 最大体重
从上图可以看出，体重越大，举重总成绩相对越好，所以我们猜测举重总成绩与体重大概成线性关系。则，我们可以用一次函数C=kW+b对三个体重进行拟合，根据图中数据，可得： = = 2.66， = = 1.45, = = 1.17 把b代入得出三个一次函数为： = 2.66W+143.8, = 1.45W+75.1, = 1.17W+69.7, 用上述模型计算得到的理论值,并画出图表与原图表进行比较： 最大体重
通过比较两个图表，我们可以推测体重与成绩数据的推测图表和已知图标的拟合度并不是特别的理想，所以我们可以认为用线性函数对举重总成绩与体重进行拟合的模型过于简单、粗略，考虑的因素比较少。 模型二 我们这一次综合各种因素来进行分析建模。 通过查阅各种自然科学磁疗，我们可以近似以为：一般举重运动员的举重能力是用举重成绩来衡量，而举重运动员的举重能力与其肌肉强度近似成正比关系，从而举重运动员的举重总成绩与其肌肉强度近似成正比，即： C = T (为常数且>0) ○1从运动生理学得知，肌肉的强度与其横截面积近似成正比，即： T = S (为常数且>0) ○ 2综合○1，○2可得 C=T=S ○3通过查阅资料，我们可以假设肌肉的横截面积正比于身高的平方，人的体重正比于身高的三次方，即可得： S = , W = (，为常数且>0，>0) 综合上述所有算式，我们有： C= S = ○ 4 因为W = ，我们可以推测出举重运动员举重总成绩与其体重的关系为： C = 利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，求出上述模型的常数M。利用题目表格中所给的体重和举重总成绩数据，运用最小二乘法求出上述模型的系数 K 。因为体重超过108千克的运动员的体重没有具体的数据，为了模型的准确性，故将这个数据舍去。经过代入9次运算得出平均常数，为=20.3,=9.6，=9.0。于是举重运动员的举重总成绩与体重的关系模型为
数学建模及全国历年竞赛题目
数学建模及全国历年竞赛题目 (2010-09-28 21:58:01) 标签： 分类：专业教学 数学建模 应用数学模型 教育 一、数学建模的涵 （一）数学建模的概念 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。使用数学语言描述的事物就称为数学模型，这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。（二）应用数学模型 应用数学去解决各类实际问题，把错综复杂的实际问题简化、抽象为合理的数学结构。通过调查、收集数据资料，观察和研究实际对象的固有特征和在规律，抓住问题的主要矛盾，建立起反映实际问题的数量关系，然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。需要诸如数理统计、最优化、图论、微分方程、计算方法、神经网络、层次分析法、模糊数学，数学软件包如 Mathematica,Matlab,Lingo,Spss,Mapple的使用，甚至排版软件等知识的基础。
（三）数学建模的特点 数学建模具有难度大、涉及面广、形式灵活，对教师和学生要求高等特点；数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程。（四）数学建模的指导思想 数学建模的指导思想就是：以实验室为基础、以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学工作。 （五）数学建模的意义 数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学在各个领械广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。通过教学使学生了解利用数学理论和方法去分析和解决问题的全过程，提高他们分析问题和解决问题的能力；提高他们学习数学的兴趣和应用数学的意识与能力，使他们在以后的工作中能经常性地想到用数学去解决问题，提高他们尽量利用计算机软件及当代高新科技成果的意识，能将数学、计算机有机地结合起来去解决实际问题。 1.培养创新意识和创造能力； 2.训练快速获取信息和资料的能力； 3.锻炼快速了解和掌握新知识的技能； 4.培养团队合作意识和团队合作精神； 5.增强写作技能和排版技术；
数学建模训练题
数学建模训练题 1、个人住房贷款，根据中国人民银行颁布的《个人住房贷款管理办法》的规定，个人住房贷款的最长期限为30年，5年（含5年）的年利率为5.31%（折合月利率为4.425‰），5年以上年利率为5.58%（折合月利率为4.65‰）。同时还规定了个人住房贷款的两种按月还本付息的办法。第一种是等额本息还款法，即在贷款期间借款人以月均还款额偿还银行贷款本金和利息；第二种是等额本金还款法（又叫等本不等息还款法），即在贷款期间除了要还清当月贷款的利息外，还要以相等的额度偿还贷款的本金。 （1）试给出两种还款法的每月还款额、还款总额和利息负担总和的计算公式。 （2）若一借款人从银行得到贷款40万元，计划20年还清。试以此为例说明借款人选择何种还款法更为合算？ 2、某居民区有一供居民用水的圆柱形水塔，一般可以通过测量其水位来估计水的流量。面临的困难是，当水塔水位下降到设定的最底水位时，水泵自动启动向水塔供水，到设定的最高水位的时候停止供水，这段时间无法测量水塔的水位和水泵的供水量。通常水泵每天供水一两次，每次约3h. 水塔是一个高为12.2m，直径为17.4m的正圆柱。按照设计。水塔水位降至约8.2m时，水泵自动启动，水位升至约10.8m时水泵停止工作。 下表是某一天的水位测量记录（符号“//”表示水泵启动），试估计任何时刻（包括水泵正供水时）从水塔流出的水流量，及一天的总用水量。 表1 水位测量记录 （符号//表示水泵启动） 3、某探险队驾驶一越吉普车穿行2000km的大沙漠。除起点能得到足够的汽油供应外，行车途中的燃料供应必须在沿途设立若干的储油点，依靠自己运输汽油来解决。该车在沙漠中行车平均每公里耗油0.25L，车载油箱及油桶总共只能装载250L汽油。请设计一个最优的行车方案，使行车耗油最少而通过沙漠。试根据实际情况进行推广和评价。 4、由于军事上的需要，需将甲地n名战斗人员（不包括驾驶员）紧急调往乙地，但是由于运输车辆不足，m辆车无法保证每个战斗人员都能同时乘车，显然，部分战斗人员乘车，部分战斗人员急行军是可行的方案。设每辆车载人数目相同，只有一条道路，但足以允许车辆，人员同时进行，请制定一个调运方案，能最快地实现兵力调运，并证明方案的最优性。 5、为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m，要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r的半球面，用每根长
数学建模模拟试题及答案.pdf
数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题5分，共20分） 1. 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择，队1有1m 个顾客，每人都买了1n 件商品，队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品，假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是 . 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时，我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分，满分30分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑？试至少列出5种. 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),m l /m g (100/56 又过两个小时，含量降为),m l /m g (100/40试判断，当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过80/100)m l /m g (. （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度，则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ??=??+)()()( 其中0>k 为比例常数，负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.） 三、计算题（每题25分，满分50分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料，生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、2、8个单位，产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、3、5个单位，产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和80单位.试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大，并由此回答： （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.
数学建模典型例题(二)
6 小行星的轨道模型 问题 一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：1.4959787×1011m ）.在5个不同的时间对小行星作了5次观察，测得轨道上5个点的坐标数据如表6.1. 表6.1 坐标数据 由Kepler （开普勒）第一定律知，小行星轨道为一椭圆.现需要建立椭圆的方程以供研究（注：椭圆的一般方程可表示为 012225423221=+++++y a x a y a xy a x a . 问题分析与建立模型 天文学家确定小行星运动的轨道时，他的依据是轨道上五个点的坐标数据： （x 1, y 1）, （x 2, y 2）, （x 3, y 3）, （x 4, y 4）, （x 5, y 5）. 由Kepler 第一定律知，小行星轨道为一椭圆.而椭圆属于二次曲线，二次曲线的一般方程为012225423221=+++++y a x a y a xy a x a .为了确定方程中的五个待定 系数，将五个点的坐标分别代入上面的方程，得 ???? ?????-=++++-=++++-=++++-=++++-=++++.122212221222122212225554253552251454424344224 135342 3333223125242 232222211514213112211y a x a y a y x a x a ， y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a ，y a x a y a y x a x a 这是一个包含五个未知数的线性方程组，写成矩阵
数学建模常用的十种解题方法
数学建模常用的十种解题方法 摘要 当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。数学建模的十种常用方法有蒙特卡罗算法；数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法；解决线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题的数学规划算法；图论算法；动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法；最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法；网格算法和穷举法；一些连续离散化方法；数值分析算法；图象处理算法。 关键词：数学建模；蒙特卡罗算法；数据处理算法；数学规划算法；图论算法 一、蒙特卡罗算法 蒙特卡罗算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法。在工程、通讯、金融等技术问题中, 实验数据很难获取, 或实验数据的获取需耗费很多的人力、物力, 对此, 用计算机随机模拟就是最简单、经济、实用的方法; 此外, 对一些复杂的计算问题, 如非线性议程组求解、最优化、积分微分方程及一些偏微分方程的解⑿, 蒙特卡罗方法也是非常有效的。 一般情况下, 蒙特卜罗算法在二重积分中用均匀随机数计算积分比较简单, 但精度不太理想。通过方差分析, 论证了利用有利随机数, 可以使积分计算的精度达到最优。本文给出算例, 并用MA TA LA B 实现。 1蒙特卡罗计算重积分的最简算法-------均匀随机数法 二重积分的蒙特卡罗方法(均匀随机数) 实际计算中常常要遇到如()dxdy y x f D ??,的二重积分, 也常常发现许多时候被积函数的原函数很难求出, 或者原函数根本就不是初等函数, 对于这样的重积分, 可以设计一种蒙特卡罗的方法计算。 定理 1 )1( 设式()y x f ,区域 D 上的有界函数, 用均匀随机数计算()??D dxdy y x f ,的方法: (l) 取一个包含D 的矩形区域Ω,a ≦x ≦b, c ≦y ≦d , 其面积A =(b 一a) (d 一c) ; ()j i y x ,,i=1,…,n 在Ω上的均匀分布随机数列,不妨设()j i y x ,, j=1，…k 为落在D 中的k 个随机数, 则n 充分大时, 有
[数学建模,高职,能力]关于利用数学建模训练增强高职学生创新能力
关于利用数学建模训练增强高职学生创新能力 当前，随着我国现代化教育技术的逐步发展，为了确保人才质量，高校数学教学必须注重联系实际生活与生产实践，强调创新意识的培养.数学建模为数学学科同其他学科之间的联结提供了桥梁和枢纽，采用数学建模不仅可以对实际问题加以数学形式的描述，还为实际问题的理论分析及科学解决提供了强有力的工具.由于数学建模均来源于生活实践，并非固定、唯一的答案，其目的在于激发学生的思维，提高学生的动手能力，能够深入生产及生活实践，去寻找并解决问题，因此，提高学生的数学建模能力，有助于培养学生的创新意识及实践能力. 1、数学建模的内涵及其重要性分析 数学建模，即采用数学思想及方法解决实际生活及生产实践中所遇到的各种问题，是将数学理论知识同实际问题进行有效联系的枢纽，并直接展现了数学教育对于大学生创新意识及能力培养方面的重要作用.如今，数学建模的重要性已经受到了社会各界的广泛认同，并在多个领域得到了广泛的应用.因此，各高校纷纷开设了数学建模课程，并积极组织大学生参与数学建模竞赛，将数学教育有效地融入社会生活实践中，转变了传统数学教学过程中的自我封闭、自成体系的局面，为数学同现实世界之间的联接提供了可行之道. 在如今这个注重素质教育，强调个性化发展的新时代，提高大学生的数学建模能力显得尤为重要.我国著名数学家丁石孙先生曾经说过：数学公式更为重要的作用，在于培养大学生树立科学的思想方法，同时，根据自身所学知识，不断创新，寻求更多新的途径，这远非在课堂中死啃定理即可实现的.我们采用何种方法，才能使更多学生意识到这个问题?我认为，建模竞赛就是一种很可行的方法.数学建模使学生应用所学数学知识解决问题，并通过实践进一步创新，寻求更多解决途径，在此过程中，不仅游戏提高了学生的动手能力，还培养了其创新意识，提高了自身的综合素质，推动了应用型人才的成长与发展.这不仅是数学教学改革的结果，也是我国经济社会发展对于数学教育所提出的要求.数学建模为大学生有效运用数学思想、理论知识及方法体系提供了途径.在数学建模教学过程中，应将重点放在基础理论知识，如微分方程、概率统计、优化方法、拟合等理论知识方面，同时，还应加强前沿理论成果的介绍，注重提高学生常用数学软件的使用等等，以逐步积累建模知识，开拓思路，提高寻找问题、分析问题及解决问题等能力，使大学生逐步养成创新意识及创新能力，推动其综合素质的全面提高. 2、数学建模与创新之间的关系 数学建模采用了计算机、信息查询等数学工具，针对实际生活及生产过程中所遇到的各种问题，将数学研究同工业、农业、经济管理等多个领域进行交叉组合所产生的一门新兴学科.数学建模是针对所研究事物的实际特征及数量关系，借助于形式化数学语言进行近似性表达所形成的数学结构，具体而言，常常表现为一套具体算法，或一系列数学关系式.在构建数学模型时，不仅要全面反映出问题的实质，还要将问题予以适当简化，以方便进行分析和推导，回到实际研究对象中将问题予以顺利解决，此外，合适的数学模型还应能够对误差范围进行科学估计.图1为数学建模的基本流程，是由简单问题出发，通过师生共同努力，进行数学模型的构建，从而初步理解数学模型构建的思路及方法，培养自身的创新意识及能力，利用活动小组或实习作业等多种形式进行讨论和分析，对不同模型的利弊进行分析，提出相
数学建模考试题(开卷)及答案
2010年上学期2008级数学与应用数学，信息与计算科学专业 《数学建模》课程考试供选试题 第1题 4万亿投资与劳动力就业： 2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下： 1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？ 2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？ 3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？ 4、请你给出相关的政策与建议。 第2题 深洞的估算：假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。 1、不计空气阻力； 2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05； 3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025； 4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。 第3题 优秀论文评选：在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下： step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。 Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。 Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。 如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题:
数学建模典型例题
一、人体重变化 某人得食量就是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中得503８焦/天。每天得体育运动消耗热量大约就是６9焦/（千克?天)乘以她得体重(千克)。假设以脂肪形式贮存得热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量４１868焦。试研究此人体重随时间变化得规律. 一、问题分析 人体重W（t)随时间t变化就是由于消耗量与吸收量得差值所引起得,假设人体重随时间得变化就是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W得变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存得热量１０0%有效 2、当补充能量多于消耗能量时,多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重得变化就是一个连续函数 4、初始体重为Ｗ0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重得变化量为W（t＋△ｔ）—W(t); 身体一天内得热量得剩余为（1０4６7—50３8-６9*W（t)） 将其乘以△ｔ即为一小段时间内剩下得热量； 转换成微分方程为:ｄ[W(t+△t）-Ｗ（t）］=(１0467—５038－6９*W（ｔ))ｄt; 四、模型求解 d（５42９—6９W)/（54２9-69W)＝-６9ｄt/416８6 W(0）=W0 解得： ５4２9-６９W=（54２９－69W0)ｅ（－6９t/４1686) 即：
W（t）=５4２９／６9—（5429－６9Ｗ０)/５４29e(-6９t/41686） 当t趋于无穷时，ｗ=８１; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间得最佳方案。５年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时,这家公司评估在年i得开始买进汽车并在年j得开始卖出汽车,将有净成本ａｉj（购入价减去折旧加上运营与维修成本).以千元计数ａiｊ得由下面得表给出： 请寻找什么时间买进与卖出汽车得最便宜得策略。 二、问题分析 本问题就是寻找成本最低得投资策略,可视为寻找最短路径问题.因此可利用图论法分析,用Dijkstra算法找出最短路径，即为最低成本得投资策略。 三、条件假设 除购入价折旧以及运营与维护成本外无其她费用; 四、模型建立 二 5 11 7 三６ 4
2003全国大学生数学建模竞赛B题优秀论文(出题人亲作)
2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛 B 题参考答案 注意：以下答案是命题人给出的，仅供参考。各评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。 问题分析： 本题目与典型的运输问题明显有以下不同： 1． 运输矿石与岩石两种物资； 2． 产量大于销量的不平衡运输； 3． 在品位约束下矿石要搭配运输； 4． 产地、销地均有单位时间的流量限制； 5． 运输车辆每次都是满载，154吨/车次； 6． 铲位数多于铲车数意味着最优的选择不多于7个产地； 7． 最后求出各条路线上的派出车辆数及安排。 运输问题对应着线性规划，以上第1、2、3、4条可通过变量设计、调整约束条件实现； 第5条使其变为整数线性规划；第6条用线性模型实现的一种办法，是从1207 10 C 个整数规划中取最优的即得到最佳物流；对第7条由最佳物流算出各条路线上的最少派出车辆数（整数），再给出具体安排即完成全部计算。 对于这个实际问题，要求快速算法，计算含50个变量的整数规划比较困难。另外，这是一个二层规划，第二层是组合优化，如果求最优解计算量较大，现成的各种算法都无能为力。于是问题变为找一个寻求近优解的近似解法，例如可用启发式方法求解。 调用120次整数规划可用三种方法避免：（1）先不考虑电铲数量约束运行整数线性规划，再对解中运量最少的几个铲位进行筛选；（2）在整数线性规划的铲车约束中调用sign 函数来实现；（3）增加10个0－1变量来标志各个铲位是否有产量。 这是一个多目标规划，第一问的目标有两层：第一层是总运量（吨公里）最小，第二层是出动卡车数最少，从而实现运输成本最小。第二问的目标有：岩石产量最大；矿石产量最大；运量最小，三者的重要性应按此序。 合理的假设主要有： 1. 卡车在一个班次中不应发生等待或熄火后再启动的情况； 2. 在铲位或卸点处因两条路线（及以上）造成的冲突时，只要平均时间能完成任务即 可，不进行排时讨论； 3. 空载与重载的速度都是28km/h ，耗油相差却很大，因此总运量只考虑重载运量； 4. 卡车可提前退出系统。 符号：x ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点的石料运量 单位 吨； c ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点的距离 公里； T ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点路线上运行一个周期平均所需时间 分； A ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点最多能同时运行的卡车数 辆； B ij ~ 从i 号铲位到j 号卸点路线上一辆车最多可以运行的次数 次； p i ~ i 号铲位的矿石铁含量。 % p =(30,28,29,32,31,33,32,31,33,31) q j ~ j 号卸点任务需求 吨 q =(1.2,1.3,1.3,1.9,1.3)*10000
2019年数学建模训练题
西安市蔬菜价格变动分析及采购计划的制定 摘要 食品价格是居民消费价格指数的重要组成部分，食品价格波动直接影响居民生活成本和农民收入，是关系国计民生的重要战略问题。在收入增长缓慢的情况下，食品价格上涨将使人民群众明显感到生活成本增加，特别是蔬菜价格的变化关系到千家万户的日常生活，菜价的上涨将严重影响城市低收入群体的生活质量。本文应用时间序列法来研究蔬菜价格的变动以及蔬菜价格指数的编制问题，并运用所构建的模型来进行蔬菜价格的短期预测。 针对问题一，要求根据所选的5种蔬菜近几年的价格数据，建立数学模型研究这5种蔬菜价格随月份的变化规律，并预测2015年这5种蔬菜每月的价格。通过绘制5种蔬菜价格随月份变化的折线图，发现蔬菜价格具有较明显的季节性变动。显然，5种蔬菜价格分别是5个时间序列，利用EViews软件对5个时间序列进行稳定性检验，结果显示全部5个时间序列都是平稳时间序列。因此，本文分别对5个时间序列建立了ARMA模型，利用EViews和MATLAB软件进行参数求解和模型检验得出具体的时间序列模型，并通过所建立的模型对未来一年内的蔬菜价格进行了预测。 针对问题二，本文首先利用SPSS软件对17种蔬菜进行了系统聚类，将17种蔬菜分为三类，通过分别计算三类蔬菜价格的平均值来给各类蔬菜对价格指数的影响程度赋予不同的权重值。然后考虑人们的消费习惯对价格指数的影响，本文查找网上资料，按销量将17种蔬菜分为五类，用各类蔬菜的销量在一定程度上反映人们的消费习惯。通过各类蔬菜的销量来给各类蔬菜对价格指数的影响程度赋予不同的权重值。最后对于上述两种因素，本文凭借生活经验，人为的对两种因素赋予不同的权重值，进而计算每月蔬菜价格的加权平均价格，求出每月的定基价格指数。通过检验发现价格指数仍是一平稳的时间序列，因此同第一问一样建立ARMA模型进行研究。 针对问题三，本文对问题二所得到的蔬菜价格指数进行回归分析，利用SPSS软件绘制散点图，发现在95%的置信区间内可以进行线性回归分析。然后利用SPSS软件做线性回归，得到显著性水平为0.05时，线性回归模型整体显著。由回归方程可知近几年蔬菜价格总体升高，结合蔬菜价格指数的变动情况可知西安市每年一月至四月蔬菜价格总体处于高位。 针对问题四，本文根据题目要求，在满足所有约束条件的情况下，以采购蔬菜的最大重量为目标函数，分别对四个蔬菜批发市场建立整数规划模型。通过LINGO软件进行求解，得出到胡家庙蔬菜批发市场进行一次采购可以使得当天采购蔬菜的总重量最大。 关键词：蔬菜价格时间序列 ARMA模型价格指数线性回归整数规划 一、问题重述 为监测食品价格的实际变化情况，西安市物价局对食品价格一直进行着严密的监测，每周都会在其官方网站上公布食品价格监测数据。为了跟踪研究西安市农副产品价格变动的规律，请从该网站下载查阅相关监测数据，建立数学模型解决如下问题：
数学建模知识竞赛题库
数学建模知识竞赛题库 1.请问计算机中的二进制源于我国古代的哪部经典? D A.《墨经》 B.《诗经》 C.《周书》 D.《周易》 2.世界上面积最大的高原是？D A.青藏高原 B.帕米尔高原 C.黄土高原 D.巴西高原 3.我国海洋国土面积约有多少万平方公里? B A.200 B.300 C.280 D.340 4.世界上面值最高的邮票是匈牙利五百亿彭哥，它的图案是B A.猫 B.飞鸽 C.海鸥 D.鹰 5. 龙虾是我们的一种美食、你知道它体内的血是什么颜色的吗？B A.红色 B.蓝色 C.灰色 D.绿色 6.MATLAB使用三维向量[R G B]来表示一种颜色，则黑色为（D ） A. [1 0 1] B. [1 1 1] C. [0 0 1] D. [0 0 0] 7.秦始皇之后，有几个朝代对长城进行了修葺？ A A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 8.中国历史上历时最长的朝代是？A A.周朝 B.汉朝 C.唐朝 D.宋朝 9我国第一个获得世界冠军的是谁？C A 吴传玉 B 郑凤荣 C 荣国团 D 陈镜开 10.我国最早在奥运会上获得金牌的是哪位运动员？B A.李宁 B.许海峰 C.高凤莲 D.吴佳怩
11.围棋共有多少个棋子？B A.360 B.361 C.362 D.365 12下列属于物理模型的是:A A水箱中的舰艇 B分子结构图 C火箭模型 D电路图 13名言：生命在于运动是谁说的？C A.车尔尼夫斯基 B.普希金 C.伏尔泰 D.契诃夫 14.饱食后不宜剧烈运动是因为B A.会得阑尾炎 B.有障消化 C.导致神经衰弱 D.呕吐 15、MATLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角16红军长征中，哪次战役最突出反应毛泽东的军事思想和指挥才?A A.四渡赤水B.抢渡大渡河C.飞夺泸定桥D.直罗镇战役 17色盲患者最普遍的不易分辨的颜色是什么？A A.红绿 B.蓝绿 C.红蓝 D.绿蓝 18下列哪种症状是没有理由遗传的？ A.精神分裂症 B.近视 C.糖尿病 D.口吃 19下面哪个变量是正无穷大变量？（A ）
全国数学建模大赛题目
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题储油罐的变位识别与罐容表标定 通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。 许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。 请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。 （2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。 附件1：小椭圆储油罐的实验数据 附件2：实际储油罐的检测数据 地平线油位探针
数学建模入门练习题
《数学建模入门》练习题 练习题1：发现新大陆！ 发现新大陆！人人都能做到，可是最终哥伦布做到了。为什么哥伦布能做到呢？ 练习题2：棋盘问题 有一种棋盘有64个方格，去掉对角的两个格后剩下62个格（如下图），给你31块骨牌，每块是两个格的大小。问能否用这些骨牌盖住这62个方格？ 练习题3：硬币游戏 如果你和你的对手准备依次轮流地将硬币放在一个长方形桌子上，使得这些硬币不重叠。最后放上硬币的人为胜者，在开始时你有权决定先放还是后放。为了能赢得这场比赛，你决定先放还是后放呢？ 练习题4：高速问题 一个人从 A 地出发，以每小时30公里的速度到达 B
地，问他从B 地回到A 地的速度要达到多少？才能使得往返路程的平均速度达到每小时60公里？、 练习题5：登山问题 某人上午八点从山下的营地出发，沿着一条山间小路登山，下午五点到达山顶；次日上午八点又从山顶开始下山（沿同一条小路）返回，下午五点又到达了山下的营地。问：是否能找到一个地点来回时刻是相同的？ 练习题6：兄弟三人戴帽子问题 解放前，在一个村子里住着聪明的三兄弟，他们除恶杀了财主的儿子，犯了人命案。县太爷有意想免他们一死，决意出一个难题测测他们是否真的聪明，如果他们能在一个时辰内回答出来，就免他们一死，否则就被处死。题目如下：兄弟三人站成一路纵队(老三选择了站在最前面，他后面是老二，老大站在了最后面 )，并分别被蒙住了眼睛，县太爷说我这里有两顶黑帽子和三顶红帽子，接着分别给他们头上各带了一顶帽子，然后又分别把被蒙住的眼睛解开。 此时，老大只可以看见老三和老二头上的帽子,老二只可以看见老三头上的帽子，老三看不见帽子。 只有一个时辰的时间，看谁能说出自己头上帽子的颜色，第一句声音有效。现在开始！ (县太爷有多少种带帽子的方案，那一种最难？你能回答
数学建模优化问题经典练习
1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000
简单数学建模100例
“学”以致用 -----简单数学建模步骤 数学教学过程中学习了一个数学公式后，需要做大量的应用题，通过训练来加深理解所学公式。但是在生活中又有多少实际问题是可以直接套用公式的呢？数学建模的引入对培养学生利用数学方法分析、解决实际问题的能力开辟了一条有效的途径，让中职学生从中体会到数学是来源于生活并应用于生活的. 一．模型准备先了解该问题的实际背景和建模目的，尽量弄清要建模的问题属于哪一类学科的问题，可能需要用到哪些知识，然后学习或复习有关的知识，为接下来的数学建模做准备。 二．模型假设有了模型准备的基础，要想把实际问题变为数学问题还要对其进行必要合理的简化和假设.明确了建模目的又掌握了相关资料，再去除一些次要因素.以主要矛盾为主来对该实际问题进行适当的简化并提出一些合理的假设。 三．模型构成在模型假设的基础上，选择适当的数学工具并根据已知的知识和搜集的信息来描述变量之间的关系或其他数学结构（如数学公式、定理、算法等）。 四．模型解析在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对其进行求解，其中有些可以借助于计算机软件来做这些工作。 五．模型检验与应用把模型解析得到的结果与实际情况对比，以检验其合理和有效性，检验后获取的正确模型对研究的实际问题给出 精品
预报或对类似实际问题进行分析、解释，以供决策者参考称为 精品
. 精品
第一关：接触数学建模 【 1 】一副扑克牌有54张，从中任取 多少张，可以保证一定有5张牌的花色 是一样的？ 分析除去大、小鬼还有52张牌，其中4种花色各13张.运气最好的情况下所取 的5张牌都是同一花色的，哪运气不佳时至少要取多少张牌，才能保证一定有5张牌的花色是一样的呢？ 假设假定至少要取N张，才能保证一定有5张牌的花色是一样的. 模型逆向地思维 解析在运气最不好的情况下，每种花色各4张，再加大、小鬼2张，共取18张是保证一定没有5张牌的花色一样的最大可能。 所以442119 N=?++=张就可以保证一定有5张牌的花色是一样的. 检验在很多情况下采用逆向地思维，可以使解题思路清晰、便捷. 练习题公园里准备对300棵珍稀树木依次从1—300进行编号，问所有的编号中“1”共会出现的几次？ 精品
数学建模练习题
2011—2012学期数学建模问题 1食品加工 一项食品加工业，为将几种粗油精炼，然后加以混合成为成品油。原料油有两大类，共5种：植物油2种，分别记作V1和V2；非植物油3种，记为O1、O2和O3。各种原料油从市场采购。现在（一月份）和未来半 成品油售价1500元/吨。 植物油和非植物油要在不同的生产线精炼。每个月最多可精炼植物油200吨。非植物油250吨。精炼过程中没有重量损失。精炼费用可以忽略。 每种原料油最多可存贮1000吨备用。存贮费为每吨每月50元。成品油和经过精炼的原料油不能存贮。 对成品油限定其硬度在3到6单位之间。各种原料油的硬度如下表所示： 假设硬度是线性地混合的。 现存有5种原料油每种500吨。要求在6月底仍然有这样多存货。 （1）为使公司获得最大利润，应取什么样的采购和加工，请写出相关的数学模型并求解。 （2）研究总利润和采购与加工方案适应不同的未来市场价格应如何变化。考虑如下的价格变化方式：2月份植物油价上升x%，非植物油价上升2 x%；3月份植物油价升2 x%，非植物油升4 x%；其余 月份保持这种线性的上升势头。对不同的正整数x值（直到20），就方案的必要的变化及对总利 润的影响，作出全面计划。 （3）对原问题中附加3个条件：㈠每个月中最多使用3种原料油；㈡在一个月中，一种原料油如被使用，则至少要用20吨；㈢如果某月使用了原料油V1和V2，则必须使用O3。重新对问题（1） 求解。 运输问题 某地区有50个乡镇（见附件1），设该地区的每个乡镇需要铺设通信网络（在沿铁路线上的乡镇已有通信网络，不需要再重复建设）。设铺设的费用与每个乡镇之间的距离成正比（各乡镇之间的距离见附件2）。 （1）请建立安排费用最小的铺设方案的数学模型，并给出最佳的方案。 （2）如果铺设的材料需要从外地从铁路运输到该地区的两个火车站，再通过汽车将材料运往各乡镇。 每辆汽车一次可装载2公里的材料，运费为每公里C元（在沿铁路线上的乡镇也有平行的公路相 联）。假设每个乡镇所存放的材料约为两乡镇之间公里数量的一半，请分别安排两个火车站各需要 多少公里的材料，才能使汽车运费最少。
数学建模题(乒乓球赛)
东华理工大学 数学建模一周论文论文题目：乒乓球赛问题 姓名1：夏国图学号：2 姓名2：蔡鹏泽学号：2 姓名3：吕玉林学号：2 专业：核工程与核技术 班级： 指导教师：黄涛
2016年1月7日
摘要 “乒乓球赛”数学模型是根据参赛人出场顺序不同，来探讨如何有效地获取最大几率的胜利。就我们所知道的，在奥运会中，乒乓球赛是以五局三胜制来决定胜负，因为五局三胜制更能体现运动员的综合能力。 如何最大可能获取胜利，是每个队共同追求的，建立乒乓球模型，可以帮助我们更快解决这一难题，乒乓球的建模问题可以与数学的建模问题联合起来。以“五局三胜制”进行乒乓球赛，虽然两队实力相当，但不同的出场顺序可能导致不同的结果，所以合理的安排是取得成功的关键。 题中所给矩阵也只是打满五局A队获胜的预测结果。根据矩阵来说明两队实力的强弱，不同的出场方案会有不同的结果。当站在A队的角度，分析采取不同的出场方案。对“五局三胜制”的乒乓球赛，我们进行了假设、分析、建模、解模。A队以i次序出场、B队以j 次序出场时，设这时A队每一局比赛获胜的概率是一个不变的常数，并且假设各局是否获胜是相互独立的，因此需要对五场比赛各队的输赢情况进行列举，比较双方的实力。从矩阵中可知，A队以i次序出场而B队以j次序出场，则打满5局A队可胜局，A、B两支队伍实力的强弱与胜利的次数有关，由A队在5局比赛中获胜的概率分布为： , k=0,1,2,3,4,5 ,然后计算五局三胜制比赛中A 队最后获胜的概率：在矩阵中A队以i次序出场、B队以j次序出场时，在五局三胜制比赛中A队最后获胜的概率。 建模目的：通过两支乒乓球队过去所比赛胜负的记录来预测将要进行一场五局三胜制的比赛的胜负情况，并对该预测方式的优缺点进行分析，最后以本次预测方式为基础，对乒乓球比赛赛制方式进行分析点评以及提出了一些新的比赛方式。