大学生高等数学竞赛试题汇总及答案
前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）
（参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看
一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）
2009-2010年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分）
1．计算=--++??y x y
x x y
y x D
d d 1)
1ln()(16/15，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.
解: 令v x u y x ==+,，则v u y v x -==,，v u v u y x d d d d 1110det d d =???
?
??-=，
v u u v u u u y x y x x y
y x D D d d 1ln ln d d 1)
1ln()(????--=
--++
????----=---=10
2
1
0d 1)ln (1ln d )d ln 1d 1ln (u u u u u u u u u u v v u u
v u u u u u ?
-=1
2
d 1u u
u （*） 令u t -=1，则2
1t u -=
dt 2d t u -=，42221t t u +-=，)1)(1()1(2t t t u u +-=-，
?+--=0
1
42d )21(2(*)t
t t
?
+-=10
4
2
d )21(2t t t 1516513
2
21
053=
??????+-=t t t 2．设)(x f 是连续函数，且满足?
--
=20
22d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.
解: 令?
=
20
d )(x x f A ，则23)(2--=A x x f ，
A A x A x A 24)2(28d )23(20
2-=+-=--=
?
,
解得34=
A 。因此3
10
3)(2-=x x f 。 3．曲面22
22
-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-，而曲面2222
-+=y x z 在)
,(00y x 处
的
法
向
量
为
)
1),,(),,((0000-y x z y x z y x ，故
)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行，因此，由x z x =，y z y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====，
即1,200==y x ，又5)1,2(),(00==z y x z ，于是曲面022=-+z y x 在
)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ，即曲
面 22
22
-+=y x z 平行平面 022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x 。
4．设函数)(x y y =由方程29ln )
(y y f e xe
=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则
=2
2d d x y
________________. 解: 方程29ln )
(y y f e xe
=的两边对x 求导，得
29ln )()()(y e e y y f x e y y f y f '=''+
因)(29ln y f y xe e =，故
y y y f x
'=''+)(1
，即))(1(1y f x y '-=
'，因此 2
222)](1[)())(1(1d d y f x y y f y f x y x y '-'
''+
'--=''= 3
22
232)]
(1[)](1[)())(1(1)](1[)(y f x y f y f y f x y f x y f '-'--''='--'-''= 二、（5分）求极限x
e
nx x x x n
e e e )(
lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数. 解 :因
x
e
nx x x x x e nx x x x n
n e e e n e e e )1(lim )(lim 2020-++++=+++→→ 故
nx
n e e e e x e n n e e e A nx x x x nx x x x -+++=-+++=→→ 2020lim lim
e n n n e n ne e e e nx x x x 2
1
212lim 20+=+++=+++=→
因此
e n A x
e
nx x x x e e n
e e e 2
1
20)(lim +→==+++
三、（15分）设函数)(x f 连续，?
=
10
d )()(t xt f x g ，且A x
x f x =→)
(lim
，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.
解 : 由A x x f x =→)(lim 0
和函数)(x f 连续知，0)
(lim lim )(lim )0(000===→→→x
x f x x f f x x x
因?
=
1
d )()(t xt f x g ，故0)0(d )0()0(1
===?f t f g ，
因此，当0≠x 时，?=x
u u f x x g 0
d )(1)(，故
0)0(1
)
(lim
d )(lim
)(lim 0
====→→→?f x f x
u u f x g x x x x 当0≠x 时，
x
x f u u f x x g x
)
(d )(1)(0
2
+
-
='?， 200000d )(lim d )(1lim )0()(lim )0(x
t t f x t t f x x g x g g x x x
x x ??→→→==-='22)(lim 0A x x f x ==→ 2
2d )(1lim )(lim ])(d )(1[lim )(lim 02000200A
A A u u f x x x f x x f u u f x x g x x x x x x =-=-=+-='??→→→→
这表明)(x g '在0=x 处连续.
四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：
（1）??
-=---L
x y L
x y
x ye y xe x ye y xe
d d d d sin sin sin sin ；
（2）2sin sin 2
5
d d π?
≥--L
y
y x ye
y xe .
证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续，故由格林公式知 （1）y x ye y xe x x ye y xe D x y L
x y d d )()(d d sin sin sin sin ???
?????
?-??-??=
--- y x e e D
x y d d )(sin sin ??-+=
?--L
x
y x ye y xe d d sin sin y x ye y xe x D x y d d )()(sin sin ???????
?-??
-??=-
y x e e D
x y d d )(sin sin ??+=-
而D 关于x 和y 是对称的，即知
y x e e
D
x y
d d )(sin sin ??-+y x
e e D
x y d d )(sin sin ??+=-
因此
??-=---L
x
y L
x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin （2）因
)1(2)!
4!21(224
2t t t e e t
t
+≥+++=+-
故
2
2cos 522cos 12sin 22sin sin x
x x e e x x -=
-+
=+≥+- 由
?????+=+=----D
x
y L
D
x y y y y x e e y x e e x ye y xe d d )(d d )(d d sin sin sin sin sin sin 知
?????+++=----D
x y L
D x
y y
y y x e e y x e e x ye y xe d d )(21d d )(21d d sin sin sin sin sin sin ??????+=+++=
---D
x x D
x x D y
y y x e e y x e e y x e e d d )(d d )(21d d )(21sin sin sin sin sin sin 200sin sin 2
5
d 22cos 5d )(ππππ
π
=-≥+=?
?-x x x e
e
x
x
即 2sin sin 25d d π?≥--L y
y x ye
y xe 五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x
x e
xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是某二阶常系
数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
解 设x
x
e xe y 21+=，x
x
e xe y -+=2，x
x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐
次微分方程
)(x f cy y b y =+'+''
的三个解，则x x
e e
y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程
0=+'+''cy y b y
的解，因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ，而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是
02=++c b λλ
因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ，由)(2111
x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 21
2++='，x x x e xe e y 2142++='' 知，111
2)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= x e x )21(-=
二阶常系数线性非齐次微分方程为
x x xe e y y y 22-=-'-''
六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为3
1
.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
解 因抛物线c bx ax y ln 22
++=过原点，故1=c ，于是
2323
dt )(311
023102b a x b x a
bx ax +=??????+=+=? 即
)1(3
2
a b -=
而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积
??-+
=+=1
2210
22dt ))1(3
2
(dt )()(x a ax bx ax a V ππ ???-+-+=10221031
042dt )1(94
dt )1(34dt x a x a a x a ππ
π
22)1(27
4)1(3151a a a a -+-+=πππ 即
22)1(27
4
)1(3151)(a a a a a V -+-+=πππ
令
0)1(27
8)21(3152)(=---+=
'a a a a V πππ， 得
04040904554=+--+a a a
即
054=+a
因此
4
5
-=a ,23=b ,1=c .
七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n
, 且n
e
u n =)1(, 求函数项级数
∑∞
=1
)(n n
x u
之和.
解
x n n n
e x x u x u 1)()(-+='， 即
x n e x y y 1-=-'
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d (1x x C e y n x ?-+=
即
)(n
x C e y n
x
+=
因此
)()(n
x C e x u n
x
n +=
由)1
()1(n
C e u n e n +==知，0=C ， 于是
n
e x x u x n n =)(
下面求级数的和：
令
∑∑∞
=∞
===1
1)()(n x
n n n n e x x u x S 则
x e x S e x x S n e x e x
x S x n x
n n x n x
n -+=+=+='∑∑∞=-∞
=-1)()()()(111
1
即
x
e x S x S x
-=-'1)()(
由一阶线性非齐次微分方程公式知
)d 11
()(x x
C e x S x ?
-+= 令0=x ，得C S ==)0(0，因此级数
∑∞
=1
)(n n
x u
的和
)1ln()(x e x S x --=
八、（10分）求-
→1x 时, 与
∑∞
=0
2
n n x 等价的无穷大量.
解 令2
)(t x t f =，则因当10< ()2ln 0t f t tx x '=<，故 x t t e x t f 1ln 22 )(-==在(0,)+∞上严格单调减。因此 1 1 1 ()d ()d ()(0)()d 1()d n n n n n n n f t t f t t f n f f t t f t t ∞ ∞ ∞ +∞++∞ -====≤≤+=+∑∑∑? ? ? ? 即 0()d ()1()d n f t t f n f t t ∞ +∞+∞=≤≤+∑? ? ， 又 2 ()n n n f n x ∞ ∞ ===∑ ∑， 11 1 lim 11ln lim 11=-- =-→→x x x x x 21ln 1d 1ln 1d d d )(0 1 ln 2 22 π x t e x t e t x t t f t x t t = = ==??? ? ∞+-∞ +-∞+∞+， 所以，当- →1x 时, 与∑∞ =0 2 n n x 等价的无穷大量是 x -121π 。 2010-2012年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一、（25分，每小题5分） （1）设2 2(1)(1)(1),n n x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞ （2）求2 1lim 1x x x e x -→∞ ?? + ??? 。 （3）设0s >，求0 (1,2,)sx n I e x dx n ∞ -= =? 。 （4）设函数()f t 有二阶连续导数，2 2 1,(,)r x y g x y f r ?? =+= ???，求2222g g x y ??+??。 （5）求直线10:0x y l z -=??=? 与直线2213 :421x y z l ---== --的距离。 解：（1）22(1)(1)(1)n n x a a a =+++=22(1)(1)(1) (1)/(1)n n x a a a a a =-+++- =2 2 2(1)(1) (1)/(1)n a a a a -++-= =1 2(1)/(1)n a a +-- 1 2lim lim(1)/(1)1/(1)n n n n x a a a +→∞ →∞ =--=-∴ (2) 2 2 211 ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x x x x x x x e e e x -++--→∞→∞→∞ ??+== ??? 令x=1/t,则 原式=2 1(ln(1)) 1/(1)1 12(1) 22 lim lim lim t t t t t t t t t e e e e +-+-- - +→→→=== （3）00001120 21 011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞ -∞----+==-=--= -=====???? 二、（15分）设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数，并且 ()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞ →-∞ ''''>=>=<且存在一点0x ，使得0()0f x <。 证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根。 解： 二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，因为f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。 将f(x)二阶泰勒展开： ''' 2 ()()(0)(0)2 f f x f f x x ξ=++ 因为二阶倒数大于0，所以 lim ()x f x →+∞ =+∞，lim ()x f x →-∞ =-∞ 证明完成。 三、（15分）设函数()y f x =由参数方程2 2(1)() x t t t y t ψ?=+>-? =?所确定，其中()t ψ具有二 阶导数，曲线()y t ψ=与2 2 1 3 2t u y e du e -= + ? 在1t =出相切，求函数()t ψ。 解：（这儿少了一个条件22d y dx = ）由()y t ψ=与2 2 1 3 2t u y e du e -= + ? 在1t =出相切得 3(1)2e ψ= ，'2(1)e ψ= '//()22dy dy dt dx dx dt t t ψ==+ 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22) 2)2() d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=。。。 上式可以得到一个微分方程，求解即可。 四、（15分）设1 0,,n n n k k a S a =>= ∑证明： （1）当1α>时，级数 1n n n a S α+∞ =∑收敛； （2）当1α≤且()n s n →∞→∞时，级数1n n n a S α +∞ =∑发散。 解： （1）n a >0, n s 单调递增 当 1n n a ∞ =∑收敛时， 1 n n n a a s s αα <，而1n a s α收敛，所以n n a s α收敛； 当 1 n n a ∞ =∑发散时，lim n n s →∞ =∞ 111 n n n n s s n n n s s n n n a s s dx dx s s s x αααα----== 1211n n n s s n s s n n n a a a dx dx s s x s x ααααα-∞ ∞==<+=+∑∑?? 而 1 11111 1111lim 11 n s n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--? ，收敛于k 。 所以， 1n n n a s α ∞ =∑收敛。 （2） lim n n s →∞ =∞ 所以 1 n n a ∞ =∑发散，所以存在1k ，使得 1 12 k n n a a =≥∑ 于是，1 1 1 12221 2k k k n n n n n k a a a s s s α≥≥≥∑∑∑ 依此类推，可得存在121...k k <<< 使得1 12i i k n k n a s α+≥∑成立，所以11 2N k n n a N s α ≥?∑ 当n →∞时，N →∞，所以 1n n n a s α ∞ =∑发散 五、（15分）设l 是过原点、方向为(,,)αβγ，（其中2 2 2 1)αβγ++=的直线，均匀椭球 222 222 1x y z a b c ++≤，其中（0,c b a <<<密度为1）绕l 旋转。 （1）求其转动惯量； （2）求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值。 解： （1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离 2222222(1)(1)(1)222d x y z xy yz zx αβγαββγγα=-+-+---- 0xydV yzdV zxdV Ω Ω Ω ===????????? 2 2 2 22222 2 23214 (1)15c c c c x y z a b c z z dV z dz dxdy ab z dz abc c ππ--Ω +≤-==-=???? ?? ? 由轮换对称性， 2 32344 ,1515x dV a bc y dV ab c ππΩ Ω ==?????? 2232323444 (1) (1)(1)151515 I d dV a bc ab c abc απβπγπΩ ==-+-+-??? 2222224 [(1)(1)(1)]15 abc a b c παβγ= -+-+- （2）a b c >> ∴当1γ=时，22max 4 ()15I abc a b π=+ 当1α=时，22min 4 ()15I abc b c π=+ 六、(15分)设函数()x ?具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上，曲 线积分 42 2()c xydx x dy x y ?++? 的值为常数。 （1）设L 为正向闭曲线2 2 (2)1,x y -+=证明 42 2()0;c xydx x dy x y ?+=+? （2）求函数()x ?； （3）设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求42 2()c xydx x dy x y ?++? 。 解： （1） L 不绕原点，在L 上取两点A ，B ，将L 分为两段1L ，2L ，再从A ，B 作一曲线 3L ，使之包围原点。 则有 132 3 4242422()2()2()L L L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y ???-+++++=-+++??? （2） 令4242 2() ,xy x P Q x y x y ?= =++ 由（1）知 0Q P x y ??-=??，代入可得 '42352()()()422x x y x x x xy ??+-=- 上式将两边看做y 的多项式，整理得 2''4325()()()4(2)2y x x x x x y x x ???+-=-+ 由此可得 '()2x x ?=- '435()()42x x x x x ??-= 解得：2 ()x x ?=- （3） 取' L 为4 2 4 x y ξ+=，方向为顺时针 0Q P x y ??-=?? '''4242422 4 2()2()2()1 2c c L L L xydx x dy xydx x dy xydx x dy x y x y x y xydx x dy ???π ξ - -++++∴=++++= -=? ??? 2011-2012年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷 （参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书 及相关题目，主要是一些各大高校的试题。） 一． 计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分） （1）.求11cos 0sin lim x x x x -→?? ??? ； 解：（用两个重要极限）： () () 20003 2 2 1 sin 1cos sin 1cos 001sin cos 12lim lim lim sin 11331cos 3 222 sin sin lim lim 1lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x e e e e e →→→-? ---→→------→-????=+ ? ????? ===== （2）.求1 11lim ...12n n n n n →∞??+++ ?+++? ?； 解：(用欧拉公式）令111...12n x n n n n =++++++ 11 1ln =C+o 121 1111ln 2=C+o 12 12n n n n n n +++-+ +++++-+由欧拉公式得（），则（）， 其中，()1o 表示n →∞时的无穷小量， -ln2o 1n x ∴=两式相减，得：（）,lim ln 2.n n x →∞ ∴= （3）已知()2ln 1arctan t t x e y t e ?=+? ? =-?? ，求22 d y dx 。 解：222222221211,121121t t t t t t t t t t t e dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ ()() 22 2222412121224t t t t t t t e e d y d dy e e dx dx dt dx e e e dt +--+??∴=?== ??? 二．（本题10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。 解：设24,1P x y Q x y =+-=+-，则0Pdx Qdy += 1,P Q y x ??==∴??0Pdx Qdy +=是一个全微分方程，设dz Pdx Qdy =+ ()()() () ,0,0241x y z dz Pdx Qdy x y dx x y dy ==+=+-++-??? ,P Q y x ??=∴??该曲线积分与路径无关 ()()2 2 00124142 x y z x dx x y dy x x xy y y ∴=-++-=-++-?? 三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且 ()()()'"0,0,0f f f 均不为 0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得 ()()()() 1232 230lim 0h k f h k f h k f h f h →++-=。 证明：由极限的存在性：()()()()1230lim 2300h k f h k f h k f h f →++-=??? ? 即 []()123100k k k f ++-=，又()00f ≠，1231k k k ∴++=① 由洛比达法则得 ()()()()()()() 1232 '''1230 230lim 2233lim 0 2h h k f h k f h k f h f h k f h k f h k f h h →→++-++== 由极限的存在性得()()()''' 1230 lim 22330h k f h k f h k f h →??++=?? 即 ()()'1232300k k k f ++=，又()'00f ≠，123230k k k ∴++=② 再次使用洛比达法则得 ()()()()()() ()()()'''1230 """1230 ""1232233lim 24293lim 02 4900 00 h h k f h k f h k f h h k f h k f h k f h k k k f f →→++++==∴++=≠ 123490k k k ∴++=③ 由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490 k k k k k k k k k ++=?? ++=??++=?的解 设1231111123,,01490k A x k b k ?????? ? ? ?=== ? ? ? ? ? ??????? ，则Ax b =， 增 广 矩 阵 *111110031230010314900011A ?? ?? ? ?=- ? ? ? ????? ，则 ()(),3R A b R A == 所以，方程Ax b =有唯一解，即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意， 且1 233,3,1k k k ==-=。 四．（本题17分）设 222 1222:1x y z a b c ∑++=，其中0 a b c >>>， 2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点 距离的最大值和最小值。 解：设Γ上任一点(),,M x y z ，令()222 222,,1x y z F x y z a b c =++-， 则' ''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为： 222,,,x y z t a b c ?? =∴ ???1∑在点M 处的切平面为∏： ()()()2220x y z X x Y y Z z a b c -+-+-= 原 点 到 平 面 ∏ 的距离为 222 4441d x y z a b c = ++，令 ()222444,,,x y z G x y z a b c =++ 则() 1 ,,d G x y z =， 现在求 ()222444,,, x y z G x y z a b c =++在条件 222 2221x y z a b c ++=， 222z x y =+下的条件极值， 令 ()()222 22222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ??=+++++-++- ??? 则由拉格朗日乘数法得： '1242'12 42'1242222 22222222202220 222010 0x y z x x H x a a y y H y b b z z H z c c x y z a b c x y z λλλλλλ?=++=?? ?=++=???=+-=?? ?++-=???+-=?? ， 解得2222 220x b c y z b c =???==?+? 或22 22220a c x z a c y ?==?+?? =?， 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()44 2222,,a c G x y z a c a c +=+ 此时的22 144 b c d bc b c +=+或22 244 a c d ac a c +=+ 又因为0a b c >>>，则12d d < 所以，椭球面 1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为： 22 244 a c d ac a c +=+，22 144 b c d bc b c +=+ 五．（本题16分）已知S 是空间曲线2231 x y z ?+=?=?绕y 轴旋转形成的椭球面的上半 部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到 切平面∏的距离，,,λμν表示S 的正法向的方向余弦。计算： （1）(),,S z dS x y z ρ??；（2）()3S z x y z dS λμν++?? 解：（1）由题意得：椭球面S 的方程为()2 22310x y z z ++=≥ 令22231,F x y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===， 切平面∏的法向量为(),3,n x y z =， ∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=， 原点到切平面∏的距离 ()222222 222 31,,99x y z x y z x y z x y z ρ++= = ++++ ()22219,,S S z I dS z x y z dS x y z ρ∴==++???? 将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥ ()() ()() 22 22 1210 222323244sin 3131xz D z x z r r dr I dxdz d x z r π θθ??-+-?? ∴==---?? ?? ()() ()22 2212 232sin 32sin 443 31r r dr d r π θθθ --==-? ? 4313322 24223ππ???=-= ???? (2)方法一： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3,,999x y z x y z x y z x y z λμν= = = ++++++ ()2 2 2213392S S I z x y z dS z x y z dS I π λμν∴=++=++== ???? 六．（本题12分）设f(x)是在 (),-∞+∞内的可微函数，且 ()()f x mf x <、， 其中 01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明： ()11 n n n a a ∞ -=-∑绝对收敛。 证明：()()112ln ln n n n n a a f a f a ----=- 由拉格朗日中值定理得：ξ? 介于12,n n a a --之间，使得 ()()()() ()'1212ln ln n n n n f f a f a a a f ξξ-----=- ()() ()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-=-， 又 ()() f mf ξξ<、得 ()() 'f m f ξξ< 111210 ...n n n n n a a m a a m a a ----∴-<-<<-01m << ∴级数110 1 n n m a a ∞ -=-∑收敛，∴级数 1 1 n n n a a ∞ -=-∑收敛，即 () 11 n n n a a ∞ -=-∑绝对收敛。 七．（本题15分）是否存在区间 []0,2上的连续可微函数 f(x)，满足 ()()021f f ==， ()()2 01,1f x f x dx ≤≤?、 ？请说明理由。 解：假设存在，当[]0,1x ∈ 时，由拉格朗日中值定理得： 1ξ?介于0，x 之间，使得()()()'10,f x f f x ξ=+， 同理，当[]1,2x ∈时，由拉格朗日中值定理得： 2ξ?介于x ，2之间，使得()()()()'222f x f f x ξ=+- 即()()[]()()()[]'' 121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈ ()11f x -≤≤、， ()[]()[]11,0,1;13,1,2x f x x x x f x x x ∴-≤≤+∈-≤=-∈ 显然， ()()2 0,0f x f x dx ≥≥? ()()()()()1 2 2 1 2 1 1 111133 x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=?????()20 1f x dx ∴≥?，又由题意得()()22 1,1f x dx f x dx ≤∴=?? 即 ()2 1f x dx =? ，()[][]1,0,11,1,2x x f x x x ?-∈?∴=?-∈?? ()()()()1 1111111lim lim 1,lim lim 11 11 1x x x x f x f f x f x x x x x x + +-+ →→→→----====----- ()'1f ∴不存在，又因为f(x)是在区间 []0,2上的连续可微函数，即()'1f 存在，矛 盾，故，原假设不成立，所以，不存在满足题意的函数f(x)。 1 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 （本大题共16小题，总计80分） （本小题5分） 3 求极限 lim 一3x - x 2 2x 3 （本小题5分） 求 X 2 2 dx. （1 x ） （本小题5分） （本小题5分） 设函数y y （x ）由方程y 5 in y 2 x 6 所确定，求鱼. dx （本小题5分） 求函数y 2e x e x 的极值 （本小题5分） 2 2 2 2 求极限lim & ° （2x ° （3x ° 辿」 x （10x 1）（11x 1） （本小题5分） cos2x d x. sin xcosx 二、解答下列各题 （本大题共2小题，总计14分） 3 . ---------- 求 x . 1 xdx . 5 sin x , 2—dx. 0 8 sin 2 x （本小题5分） 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、 9、 10、 11、 12、 13、 14、 15、 16、 x 2的单调区间 设 x(t) e kt (3cos 4sin t), 求 dx . 12x 16 9x 2 12x .1 arcs in x 求极限 limarctan x x （本小题5分） 求—^dx. 1 x （本小题5分） 求—x .1 t 2 dt . dx 0 （本小题5分） 求 cot 6 x esc 4 xdx. （本小题5分） 求-1 1 , 求 cos dx. x x 5分） ［曲2确定了函数y es int 5分） （本小题 设 x y （本小 y(x),求乎 dx （本大题6分） 设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根 一学期期末高数考试（答案） 、解答下列各题 （本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分） lim 」^ x 2 12x 18 2、（本小题3分） (1 2 1 d(1 x ) 2 (1 x 2)2 1 1 2 1 x 2 3、（本小题3分） 故 limarctan x 4、（本小题3分） dx dx 」 dx dx 1 x x In 1 x c. 5、 (本小题3分) 原式 2x 1 x 4 6、 (本小题4分) .6 4 cot x csc xdx cot 6 x(1 cot 2 x)d(cot x) 1、（本小题7分） 某农场需建一个面积为 512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿 2、（本小题7分） 2 求由曲线y -和y 2 三、解答下列各题 ，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省? 3 —所围成的平面图形绕 ox 轴旋转所得的旋转体的 8 沿， 体积. 解:原式 lim x 2 6x 3x 2~ 2 12 18x 12 c. 因为 arctanx —而 limarcsin 2 x .1 x arcs in x 高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 高等数学B （上）试题1答案 一、判断题（每题2分，共16分）（在括号里填写“√”或“×”分别表示“对”或“错”） （ × ）1. 两个无穷大量之和必定是无穷大量. （ × ）2. 闭区间上的间断函数必无界. （ √ ）3. 若)(x f 在某点处连续，则)(x f 在该点处必有极限. （ × ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ √ ）5. 无穷小量与有界变量之积为无穷小量. （ × ）6. ()y f x =在点0x 连续，则()y f x =在点0x 必定可导. （ × ）7. 若0x 点为()y f x =的极值点，则必有0()0f x '=. （ × ）8. 若()()f x g x ''≡，则()()f x g x ≡. 二、填空题（每题3分，共24分） 1. 设2 )1(x x f =-，则(3)f =16. 2．1lim sin x x x →∞ ＝1 。 3.112lim sin sin x x x x x x x x →∞??+??++=?? ??????? 2 1e +. 4. 曲线3 26y y x -=在(2,2)-点切线的斜率为2 3 . 5．设0()f x A '=，则000 (2)(3) lim h f x h f x h h →+--＝ 5A . 6. 设1 ()sin cos ,(0)f x x x x =≠，当(0)f =0时，)(x f 在0=x 点连续. 7. 函数3 3y x x =-在x =1 -处有极大值. 8. 设)(x f 为可导函数,(1)1f '=，2 1()()F x f f x x ??=+ ??? ，则=')1(F 1 . 三、计算题（每题6分，共42分） 1．求极限 3(2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++ . 解： 3 (2)(3)(4) lim 5n n n n n →+∞+++ 高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数． 《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准 一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分 ? ? x e dy y x f dx ln 0 1 ),(的积分次序为 （ c ） (A ) ? ? x e dx y x f dy ln 0 1 ),( (B ) ?? 1 ),(dx y x f dy e e y (C ) ? ? e e y dx y x f dy ),(10 (D ) ?? e x dx y x f dy 1 ln 0 ),( 2、锥面22y x z +=在柱面x y x 22 2≤+内的那部分面 积为 （D ） (A ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 d d (B ) ? ? - θπ π ρ ρθcos 20 222 d d (C ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 2 22 2d d (D ) ? ? - θπ π ρρθcos 20 22 2d d 3、若级数∑∞ =-1 )2(n n n x a 在2-=x 处收敛，则级数 ∑∞ =--1 1 )2(n n n x na 在5=x （B ） (A ) 条件收敛 (B ) 绝对收敛 (C ) 发散(D ) 收敛性不确定 4、下列级数中收敛的级数为 （ A ） (A ) ∑∞ =-1 )13(n n n n (B ) ∑∞ =+1 21n n n (C ) ∑∞ =+1 11 sin n n (D ) ∑∞ =1 3!n n n 5、若函数 )()2()(2 222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值 为 （ c ） (A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 四川理工学院试卷（2007至2008学年第一学期） 课程名称： 高等数学(上)(A 卷) 命题教师： 杨 勇 适用班级： 理工科本科 考试(考查)： 考试 2008年 1 月 10日 共 6 页 注意事项： 1、 满分100分。要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。 2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否 则视为废卷。 3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。 4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷 分别一同交回，否则不给分。 试 题 一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3分，共15分） 1. =--→1 ) 1sin(lim 21x x x ( C ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D) 2 1 2.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(? --为( B ) (A) c e F x +)(； (B) c e F x +--)(； (C) c e F x +-)(； (D ) c x e F x +-) ( 3.下列广义积分中 ( D )是收敛的. (A) ? +∞ ∞ -xdx sin ； (B)dx x ? -111 ； (C) dx x x ?+∞ ∞-+2 1； (D)?∞-0dx e x 。 4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( B ) (A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导； (C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则? x a dt t f )(在[]b a ,上一定可导。 5. 设函数=)(x f n n x x 211lim ++∞→ ，则下列结论正确的为( D ) (A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x 二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→x x x 1 1lim 20 _0____. 2. 曲线? ??=+=3 2 1t y t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程x xe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22 )2(2 1+- ，则该方程的通解为 . 4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22 ) (lim 2=-→x x f x ，则_____)2(='f 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。 6．曲线23 3 2 x y =上相应于x 从3到8的一段弧长为 . 三、设0→x 时，)(22 c bx ax e x ++-是比2 x 高阶的无穷小，求常数c b a ,,的值（6分） 高等数学 一、填空 、选择题（每题3分，共30分） 1．曲面z xy =上点(1,2,2)处的法线方程为 . 2.已知D 是由直线1,1x y x y +=-=及0x =所围,则D yd σ=?? . 3.若曲线L 是2 2 1x y +=在第一象限的部分,则L xds =? . 4.设(,)ln()2y f x y x x =+ ,则(1,0)xx f = . 5.若级数 1 (2)n n u ∞ =+∑收敛,则lim n n u →∞ = . 6.函数3 2 2 (,)42f x y x x xy y =-+-,下列说法正确的是( ). (A)点(2,2)是(,)f x y 的极小值点; (B) 点(0,0)是(,)f x y 的极大值点; (C) 点(2,2)不是(,)f x y 的驻点; (D)(0,0)f 不是(,)f x y 的极值. 7.函数2 2 (,)f x y x y =+在点(1,1)处沿着那个方向的方向导数最大?( ) (A) (1,1); (B) (2,2); (C) (0,1); (D) (1,0). 8.曲线L 为沿2 24x y +=顺时针一周,则 1 2 L xdy ydx -=??( ). (A)2π- (B) 4π; (C) 4π-; (D)0. 9. 累次积分1 (,)y dy f x y dx ? 改变积分次序后等于( ). (A) 2 1 0(,)x x dx f x y dy ? ? ; (B) 21 (,)x x dx f x y dy ? ?; (C) 1 (,)x dx f x y dy ? ; (D) 21 (,)x dx f x y dy ?. 10. 下列各级数中条件收敛的是（ ） (A) 1 1 (1) n n ∞ +=-∑; (B) 1 2 11 (1)n n n ∞ +=-∑; (C) 1 1 (1) 1 n n n n ∞ +=-+∑; (D) 1 1 1 (1)(1) n n n n ∞ +=-+∑; 二解答题(6*4) 1.设函数22 ln()y x z x y e =++,求(1,0) dz . 2.设sin ,,2u z e v u xy v x y ===-,求 ,z z x y ????. 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?， 《高等数学》试题30 考试日期：2004年7月14日 星期三 考试时间：120 分钟 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、 ()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 高等数学下册试题 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 范文范例参考 《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题 3 分，共 30 分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）. （A ）f x ln x2和 g x2ln x（ B） （C ）f x x 和g x 2 x（D ） f x| x | 和 g x x2 f x | x | g x1 和 x sin x 4 2 x0 2．函数f x ln 1x在 x 0 处连续，则a（） . a x0 （A ）0（ B）1 （D）2 （C）1 4 3．曲线y x ln x 的平行于直线 x y 1 0 的切线方程为（） . （A ）y x 1（ B）y( x 1)（C ）y ln x 1x 1（D）y x 4．设函数f x| x |，则函数在点x0 处（） . （A ）连续且可导（ B）连续且可微（ C ）连续不可导（ D）不连续不可微 5．点x0 是函数y x4的（）. （A ）驻点但非极值点（B）拐点（C）驻点且是拐点（D）驻点且是极值点 6．曲线y 1 ） . 的渐近线情况是（ | x | （A ）只有水平渐近线（ B）只有垂直渐近线（ C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．f 11 ）. x x2 dx 的结果是（ （A ） 1 C 1 C 1 C （D） f 1 f（ B）f（ C ）f C x x x x 8． dx x e e x 的结果是（）. （A ）arctan e x C （） arctan e x C （ C ）x e x C （ D ）x e x )C B e ln( e 9．下列定积分为零的是（） . （A ）4arctanx dx （B）4x arcsin x dx （C） 1 e x e x 1x2x sin x dx 1x212 dx （D） 44 1 10 ．设f x为连续函数，则1 f 2x dx 等于（） . 0 （A ）f 2f0（B）1 f 11 f 0 （C） 1 f 2 f 0 （D） f 1 f 0 22 二．填空题（每题 4 分，共 20 分） f x e 2x1 x0 在 x 0处连续，则 a 1．设函数x. 高等数学(下册)期末复习试题及答案 一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处 收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线? ??=+-+=-+-020 32z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{ }3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-= D y x y x e I d d ) (22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-= 20 20 d d 2 r r e I r π θ??--=-202 20)(d d 212 r e r πθ?-?-=202 d 22 1r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而2 2y x u +=，xy v =，求z d ． 解： )2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求 y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格 林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)期末高等数学(上)试题及答案
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