数列7-8课时

第7课时 等差数列习题课

学习目标：1.能熟练地应用等差数列前n 项和公式解决有关问题；

2.能利用数列通项公式与前n 项和之间的关系解决有关问题．

学习重点：等差数列前n 项和公式的应用．

学习难点：数列通项公式与前n 项和之间的关系的应用. 学习过程：

一、学前准备：

1.复习等差数列的相关知识，熟记公式．

2.若数列{}n a 的前n 项和12-=n S n ，则4a = ．

3.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若

9

53

5=a a ，则

=5

9S S ．

4.若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，,36,963==S S 则=++987a a a ．

5.已知{}n a 等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d = ．

6.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，10S －7S ＝30，则8S ＝ ．

7.一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，当这个数列的前n 项和最大时，n= ．

8.在数列{}n a 中，a 1=14，且3a n =31+n a +2，则使a n ·a n+2＜0成立的n 值是 ．

9.数列{}n a 中，a n =2n +1，

=+++=n

a a a

b n

n 21 ，数列{}n b 的前n 项和= ．

二、合作探究

例1.已知等差数列{}n a 中，2

(1)2n S an a n a =++++．求出1a 、d 和通项公式n a ．

变式训练：把等差数列的条件去掉，求n a ．

例2.设S n 和T n 分别为等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，且27

417++=

n n T S n

n ，则

=11

11b a ．

由此得到的结论是：

例3.如果数列{}n a 满足13a =，1

115n n

a a +-=，求n a ；

例4.在等差数列中，1023a =，2522a =-．

⑴该数列第几项开始为负？ ⑵前多少项和最大？ ⑶求{}n a 的前n 项和．

例5.已知2

2

14--

-=n n n a S ．求：⑴1a ； ⑵n n a a 和1+的关系式； ⑶通项公式n a ．

三、回顾小结：

⑴10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值； ⑵n S 最值的求法：①若已知n S ，可用二次函数最值的求法(n N +∈)；

②若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??≤?或10

n n a a +≤??≥?．

四、自我测试：

1.已知数列{}n a 的前n 项和为2

2n S n n =--，则n a = ．

2.若等差数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，20,10455==S S ，则=50S ．

3.等差数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n S 和'n S ，且'723

n n

S n S

n +=

+，则

77

a b = ．

4.已知数列1{

}2

n a +成等差数列，且3116

a =-

，5137

a =-

，则8a = ．

5.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且2

2141n S n -=-．

求：⑴这个数列的通项公式； ⑵前n 项和公式．

6.数列{}n a 是首项为23，公差为整数的等差数列，且60a >，70a <． ⑴求公差d ； ⑵求n S 的最大值； ⑶当n S 为正数时，求n 的最大值．

§2.3.1 第8课时 等比数列的概念

学习目标：1.能准确叙述等比数列的定义；

2.能用定义判断数列是否为等比数列；

3.会求等比数列的公比及通项公式．

学习重点：等比数列的定义和等比数列通项公式． 学习难点：会求等比数列的通项公式. 学习过程：

一、学前准备：自学课本P45～46

1.等比数列的定义： ，那么这个数列就叫做等比数列，这个 叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示．注意：等比数列的公比和项都不能为零．

用递推公式表示为 或 ．

2.等比数列的通项公式：已知等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则通项=n a ．

3.等比数列的单调性：

4.等比数列的图象：

等比数列的通项公式1

1n n a a q -=是一个常数与指数式的乘积，表示这个数列的各点

(,)n n a 均在函数1

1x y a q

-=的图象上．

5.观察下列数列，写出数列的第五项、第六项和通项公式：

① 1，2，4，8， ， ，… n a = ； ② 2，22，4，42， ， ，… n a = ； ③ 2

1-

，4

1，8

1-，

16

1， ， ，… n a = ．

6.一个等比数列的第2 项是10，第3项是20，它的第1项是______；第4项是_______； n a = ．

7.某种细菌在培养过程中,每半小时分裂一次(一个分裂为两个),经过4小时,这种细菌由1 个可繁殖成_________个．

二、合作探究

例1.已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列，求证：{}n n a b ?是等比数列．

思考：如果一个数列{}n a 的通项公式为(0,0)n

n a aq a q =≠≠，那么这个数列为等比数列吗？

例2.求下列各等比数列的通项公式：

⑴ 21-=a ，83-=a ； ⑵51=a ，且n n a a 321-=+．

变式提升：在数列{}n a 中，a 1=5, 且

1

1+=

+n n a a n

n ．

⑴数列是不是等比数列； ⑵能否求出数列的通项公式？

例3.已知等差数列{}n a 的公差为d ，n

a n

b 2

=，求证：数列{}n b 是等比数列．

例4.某厂在1995年底制定生产计划，要使2005年底的总产量在原有基础上翻两番， 求年平均增长率．

三、课堂练习：课本P47练习1～5

四、回顾小结：1.等比数列定义，通项公式以及通项公式的推导方法；

2.常数列都是等差数列，但常数列却不一定是等比数列；

3.学习等比数列时要与等差数列进行类比．

五、课外作业：课本P49习题2.3(1)：1～5 课课练 六、自我测试：

1.在等比数列{}n a 中，3620,160a a ==，则n a = ．

2.等比数列{}n a 中，已知12324a a +=，3436a a +=，则56a a += ．

3.在

83

和272

之间插入三个数，使五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为 ．

4.如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列 ．

①为常数数列 ②为非零的常数数列 ③存在且唯一 ④不存在

5.计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低31，现在价格为8100元的计算机，9年后的价格可降为 ．

等差数列(第一课时)教学设 计公开课

无为二中公开课 教 学 设 计 课题《2.2等差数列》 执教人：汪桂霞 班级：高一（10）班 时间：2017.3.28（星期二）下午第一节 高一数学必修5 等差数列 第一课时 一、教学目标 （一）知识与技能目标 1.理解等差数列的定义及等差中项的定义 2. 掌握等差数列的通项公式及推广后的通项公式

3.灵活运用等差数列，熟练掌握知三求一的解题技巧 （2）过程与方法目标 1.培养学生观察能力 2.进一步提高学生推理、归纳能力 3.培养学生合作探究的能力，灵活应用知识的能力 （三）情感态度与价值观目标 1.体验从特殊到一般，又到特殊的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神； 2.渗透函数、方程、化归的数学思想； 3.培养学生数学的应用意识，参与意识和创新意识。 二、教学重难点 （一）重点 1、等差数列概念的理解与掌握； 2、等差数列通项公式的推导与应用。 （二）难点 1、等差数列的应用及其证明 三、教学过程 （1）背景问题，创设情景 上节课我们共同学习了数列的定义及给出数列的两种方法——通项公式和递推公式。这两个公式从不同的角度反映了数列的特点。下面请同学们观察两个表格的数据并进行填空。 思考问题（一）：在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星，请问你能预测出下次人类观测哈雷彗星的时间吗？ 1682，1758，1834，1910，1986，（ 2062 ） 特点：后一次观测时间比前一次观测时间增加了76年 我们把这些数据写成数列的形式：1682，1758，1834，1910，1986，2062...... 思考问题（二）：通常情况下，从地面到10公里的高空，气温随高度的变化而变化符合一定的规律，请你根据下表填写处空格处的信息吗？ 1234567 (9) 高度 h(km) 温度t(°)2821.5158.52(-4.5)(-11)......(-24)特点：高度每增加一千米，温度就降低6.5度。 我们把表格中的数据写成数列的形式：28, 21.5, 15, 8.5, 2, …, -24.......

等比数列教学设计(共2课时)

《等比数列》教学设计（共2课时） 一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。 2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标（三维目标）： 第一课时： （1）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导 （2）在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力 （3）通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识 第二课时： （1）加深对等比数列概念理解，灵活运用等比数列的定义及通项公式，了解等比中项概念，掌握等比数列的性质 （2）运用等比数列的定义及通项公式解决问题，增强学生的应用 3、教学重点与难点： 第一课时： 重点：等比数列的定义及通项公式 难点：应用等比数列的定义及通项公式，解决相关简单问题 第二课时： 重点：等比中项的理解与运用，及等比数列定义及通项公式的应用 难点：灵活应用等比数列的定义及通项公式、性质解决相关问题 二、学情分析： 从整个中学数学教材体系安排分析，前面已安排了函数知识的学习，以及等差数列的有关知识的学习，但是对于国际象棋故事中的问题，学生还是不能解决，存在疑问。本课正是由此入手来引发学生的认知冲突，产生求知的欲望。而矛盾解决的关键依然依赖于学生原有的认知结构──在研究等差数列中用到的思想方法，于是从几个特殊的对应观察、分析、归纳、概括得出等比数列的定义及通项公式。 高一学生正处于从初中到高中的过度阶段，对数学思想和方法的认识还不够，思维能力比较欠缺，他们重视具体问题的运算而轻视对问题的抽象分析。同时，高一阶段又是学生形成良好的思维能力的关键时期。因此，本节教学设计一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强观察、分析、归纳、概括能力培养。 多数学生愿意积极参与，积极思考，表现自我。所以教师可以把尽可能多的时间、空间让给学生，让学生在参与的过程中，学习的自信心和学习热情等个性心理品质得到很好的培养。这也体现了教学工作中学生的主体作用。 三、教法选择与学法指导： 由于等比数列与等差数列仅一字之差，在知识内容上是平行的，可用比较法来学习等比

必修第二册课时作业：4.2.1.2 等差数列的性质 Word版含解析

课时作业(四) 等差数列的性质 [练基础] 1．在等差数列{a n }中，a 1＝2，a 3＋a 5＝10，则a 7＝( ) A ．5 B ．8 C ．10 D ．14 2．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 等于( ) A ．8 B ．4 C ．6 D ．12 3．数列{a n }满足3＋a n ＝a n ＋1且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 6(a 5＋a 7＋a 9)的值是( ) A ．－2 B ．－12 C ．2 D.12 4．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有( ) A ．a 1＋a 101>0 B ．a 2＋a 101<0 C ．a 3＋a 99＝0 D ．a 51＝51 5．在通常情况下，从地面到10 km 高空，高度每增加1 km ，气温就下降某一个固定数值．如果1 km 高度的气温是8.5 ℃，5 km 高度的气温是－17.5 ℃，则4 km 高度的气温是________ ℃ 6．若关于x 的方程x 2－x ＋m ＝0和x 2－x ＋n ＝0(m ，n ∈R 且m ≠n ) 的四个根组成首项为14的等差数列，求m ＋n 的值． [提能力] 7．(多选题)下列说法中不正确的是( ) A ．若a ，b ，c 成等差数列，则a 2，b 2，c 2成等差数列 B ．若a ，b ，c 成等差数列，则log 2a ，log 2b ，log 2c 成等差数列 C ．若a ，b ，c 成等差数列，则a ＋2，b ＋2，c ＋2成等差数列

(完整版)数列经典试题(含答案)

强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 212b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )．

最新2.3等差数列的前n项和第一课时教案

§2.3 等差数列的前 n 项和 授课类型：新授课 （第1课时） 一、教学目标 知识与技能：掌握等差数列前n 项和公式；会用等差数列的前n 项和公式解决问题。 过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律；通过公式推导的过程教学，扩展学生思维。 情感态度与价值观：通过公式的推导过程，使学生体会数学中的对称美，促进学生的逻辑思维。 二、教学重点 等差数列n 项和公式的理解、推导及应用 三、教学难点 灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题 四、教学过程 1、课题导入 “小故事”:高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家 出道题目: 1+2+…100=?” 过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说： “1+2+3+…+100=5050。” 教师问：“你是如何算出答案的？ 高斯回答说：因为1+100=101； 2+99=101；…50+51=101，所以 101×50=5050” 这个故事告诉我们： （1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规 律性的东西。 （2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法。 2、讲授新课 （1）等差数列的前n 项和公式1：2 )(1n n a a n S += 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ② ①+②：)()()()(223121n n n n n n a a a a a a a a S ++++++++=-- ∵ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ∴)(21n n a a n S += 由此得：2 )(1n n a a n S +=

人教A版数学高二必修5课时作业9等差数列的前n项和

课时作业9 等差数列的前n 项和 |基础巩固|(25分钟，60分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．等差数列{a n }中，a 4＝7，a 5＋a 6＝20，则前n 项和为( ) A ．n 2 B ．n 2＋n C ．2n 2 D ．2n 2－n 解析：设{a n }的首项为a 1，公差为d ，则有 { a 4＝a 1＋3d ＝7，a 5＋a 6＝2a 1＋9d ＝20，解得{ a 1＝1，d ＝2. 所以S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2，选A. 答案：A 2．(江西九江期末)在等差数列{a n }中，已知a 6＝1，则数列{a n }的前11项和S 11等于( ) A ．7 B ．9 C ．11 D ．13 解析：S 11＝11(a 1＋a 11)2 ＝11×a 6＝11.故选C. 答案：C 3．已知等差数列{a n }中a 1＝1，S n 为其前n 项和，且S 4＝S 9，a 4＋a k ＝0，则实数k 等于( ) A ．3 B ．6 C ．10 D ．11 解析：因为等差数列{a n }中a 1＝1，S n 为其前n 项和， 且S 4＝S 9， 所以S 9－S 4＝a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0， 所以5a 7＝0，即a 7＝0， 由等差数列的性质可得a 4＋a 10＝2a 7＝0， 因为a 4＋a k ＝0，所以k ＝10. 故选C. 答案：C 4．(山东枣庄八中月考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则S 9等于( ) A ．45 B ．81 C ．27 D ．54 解析：因为数列{a n }是等差数列， 所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列． 所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)， 即9＋S 9－36＝2(36－9)， 解得S 9＝81.故选B. 答案：B

精品高考数列经典大题

精品高考数列经典大题 2020-12-12 【关键字】条件、满足 1.等比数列{}n a 的各项均为正数，4352,,4a a a 成等差数列，且2322a a =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()()25 2123n n n b a n n += ++，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 2.已知数列{}n a 满足：11a =，且对任意∈n N *都有 n a ++ += ． （Ⅰ）求2a ，3a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； n n a a ++∈n N *）． 3.已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求23,,a a :并证明12,(*);n n a a n n N +=+∈ （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。 4．设b>0,数列}{n a 满足b a =1,)2(1 11 ≥-+= --n n a nba a n n n ．（1）求数列}{n a 的通项公 式；（2）证明：对于一切正整数n ,121+≤+n n b a ． 5： 已知数列{}n a 是等差数列，() *+∈-=N n a a c n n n 21 2 （1）判断数列{}n c 是否是等差数列，并说明理由；（2）如果 ()为常数k k a a a a a a 13143,130********-=+++=+++ ，试写出数列{}n c 的 通项公式；（3）在（2）的条件下，若数列{}n c 得前n 项和为n S ，问是否存在这样的实数k ，使n S 当且仅当12=n 时取得最大值。若存在，求出k 的取值范围；

【高中数学】第4章 4.3.1 等比数列的概念(第2课时)

4.3.1 等比数列的概念(第2课时) 素养目标 学科素养 1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质． 2．能够运用等比数列的性质解决有关问题．(重点) 3．能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题. 1.数学运算； 2．逻辑推理 情境导学 一组有趣的对话，折了38次的纸，最后一次的厚度可是一个庞大的数字哦！ 1．等比数列的性质 (1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； 若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a 2k ＝a m · a n . (2)若数列{a n }是等比数列，则{|a n |}，{a 2n }，???? ?? 1a n 仍为等比数列． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)在等比数列{a n }中，若a m a n ＝a p a q ，则m ＋n ＝p ＋q .(×) (2)若数列{a n }，{b n }都是等比数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等比数列．(×) (3)若数列{a n }是等比数列，则{λa n }也是等比数列．(×)

2．等比数列性质的应用 一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a ，aq ，aq 2或a q ，a ，aq ，此时公 比为q ；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3(公比为q )，当四个数均为正(负)数时，可设为a q 3，a q ，aq ，aq 3(公比为q 2)． (1)在等比数列{a n }中，若a 1＝1 9 ，a 4＝3，则该数列前五项的积为__1__. (2)已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数是1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.

等差数列(第一课时)

本节课讲述的是人教版高一数学（上）§3.2等差数列（第一课时）的内容。 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来

研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用 不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生

第五章 第2节 等差数列同步课时作业

第五章 第二节 等差数列及其前n 项和 1.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b ＝2”，那么 ( ) A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件 C ．甲是乙的充要条件 D ．甲是乙的既不充分也不必要条件 解析：由a b ＋c b ＝2，可得a ＋c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列，但a b ＋c b ≠2. 答案：B 2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n . (1)设b n ＝a n 2 n －1，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2 n －1＋1＝b n ＋1. 又b 1＝a 1＝1， 因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列． (2)由(1)知a n 2 n －1＝n ，即a n ＝n ·2n －1. S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 两边乘以2得，2S n ＝2＋2×22＋…＋n ×2n . 两式相减得 S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n ＝－(2n －1)＋n ·2n ＝(n －1)2n ＋1. 3.(2009·福建高考)n n 334，则公差d 等于 ( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．3

解析：∵S 3＝ (a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝a 3－a 12 ＝2. 答案：C 4．(2010·广州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k 等于 ( ) A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 解析：a n ＝????? S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2) ＝????? －8 (n ＝1) －10＋2n (n ≥2)＝2n －10， ∵5＜a k ＜8，∴5＜2k －10＜8， ∴152

高中数列经典题型 大全

高中数学：《递推数列》经典题型全面解析 类型1 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+2 11 ，求n a 。 类型2 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+=+，求n a 。 例:已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求n a 。 类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a . 变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异． 类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （1n n n a pa rq +=+, 其中p ，q, r 均为常数） 。 例:已知数列{}n a 中，65 1=a ,11)2 1(31+++=n n n a a ，求n a 。 类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。 解法一（待定系数——迭加法）:数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,，求数列{}n a 的通项公式。 解法二（特征根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,的特征 方程是：02532=+-x x 。 32,121= =x x Θ,∴1 2 11--+=n n n Bx Ax a 1)3 2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是 ???-=-=??? ? ? ?+=+=)(32332b a B a b A B A b B A a 故1)32)((323--+-=n n b a a b a 例:已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3 1 3212+=++，求n a 。

2.2等差数列第一课时教案

§2.2等差数列 授课类型：新授课 （第1课时） 一、教学目标 知识与技能：了解公差的概念，能根据定义判断一个数列是等差数列；正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项。 过程与方法：了解等差数列的构造过程以及应用等差数列的基本知识解决实际问题的方法。 情感态度与价值观：通过等差数列概念的学习，培养学生的观察能力及总结归纳的意识。 二、教学重点 等差数列的概念，等差数列的通项公式。 三、教学难点 等差数列的通项公式 四、教学过程 1、课题导入 上两节课我们学习了数列的定义并给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法.这些方法从不同的角度反映数列的特点。 下面我们看这样一些例子 ①0，5，10，15，20，25，… ②48，53，58，63 ③18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④10072，10144，10216，10288，10366 观察：请同学们仔细观察一下，看看以上四个数列有什么共同特征？ ★共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列. 2、讲授新课 ①等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示）。 注：公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； 对于数列{}n a ,若1n n a a d --=(与n 无关的数或字母)，2,n n +≥∈N ，则此数列是等差数列，d 为公差。 思考：请写出数列①、②、③、④的通项公式。 ②等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得。 若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可得： d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= ……

北师大版高中数学必修5等比数列 第2课时

等比数列 （第二课时） 教学目标： 进一步熟悉等比数列的有关性质 教学重点： 等比数列的性质 教学过程 一、复习引入： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0）， 即：1-n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: ) 0(11 1≠??=-q a q a a n n ， ) 0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛ n a ｝成等比数列?n n a a 1 +=q （+ ∈N n ,q ≠0） 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、等比数列的有关性质： 通过类比等差数列得到： 1、与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。 与某一项距离相等的两项之积等于 这一项的平方。 2、若q p n m +=+，则q p n m a a a a = 三、 例1：已知无穷数列 ,10 ,10,10,105 152 51 50 -n ， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的 10 1， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中

证：（1） 51 5 251 1 1010 10== ---n n n n a a （常数）∴该数列成等比数列 （2） 10 110 10 101 5 451 5 = == -+-+n n n n a a ，即：5 10 1+= n n a a （3）5 2 5 1 5 110 10 10 -+--==q p q p q p a a ，∵N q p ∈,，∴2≥+q p ∴11≥-+q p 且()N q p ∈-+1， ∴? ?? ? ?? ∈--+5 1n 5 2 1010 q p ，（第1-+q p 项） 例2：一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项. 解：设这个等比数列的第1项是1a ，公比是q ，那么：1221=q a ，① 18 3 1=q a ， ② 由②÷①可得第2 3=q ③ 把③代入①可得8 3 16121==∴= q a a a 答：这个数列的第1项与第2项是3 16和8. 例3：已知{}{}n n b a ,是项数相同的等比数列，求证{}n n b a ?是等比数列. 证明：设数列{}n a 的首项是1a ，公比为q 1;{}n b 的首项为b 1，公比为q 2，那么数列{}n n b a ?的第n 项与第n+1项分别为： n n n n n n q q b a q q b a q b q a q b q a ) () (21111 211121111 2 11 1 1与即为与---?????? .) ()(211 2111211111q q q q b a q q b a b a b a n n n n n n == ??-++ 它是一个与n 无关的常数，所以{}n n b a ?是一个以q 1q 2为公比的等比数列. 例4：在等比数列 {}n a 中，2 2 -=a ， 54 5=a ，求 8 a ， 解： 1458 2 54 542 553 58-=-? =? ==a a a q a a

第二章 2.2 第2课时 等差数列的性质(优秀经典课时作业练习题及答案详解).

[A 组 学业达标] 1．已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝4π，则cos a 5的值为( ) A ．－1 2 B ．－3 2 C.32 D.12 解析：因为{a n }为等差数列，a 1＋a 5＋a 9＝4π， 所以3a 5＝4π，解得a 5＝4π 3. 所以cos a 5＝cos 4π3＝－1 2. 答案：A 2．在等差数列{a n }中，a 3＋3a 8＋a 13＝120，则a 3＋a 13－a 8＝( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－8 解析：因为数列{a n }为等差数列， 所以a 3＋3a 8＋a 13＝5a 8＝120，所以a 8＝24， 所以a 3＋a 13－a 8＝a 8＝24. 答案：A 3．设e ，f ，g ，h 四个数成递增的等差数列，且公差为d ，若eh ＝13，f ＋g ＝14，则d 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 解析：e ，f ，g ，h 四个数成递增的等差数列，且eh ＝13，e ＋h ＝f ＋g ＝14， 解得e ＝1，h ＝13或e ＝13，h ＝1(不合题意，舍去)； 所以公差d ＝13(h －e )＝1 3×(13－1)＝4. 答案：D

4．已知等差数列{a n}的公差为d(d≠0)，且a3＋a6＋a10＋a13＝32，若a m＝8，则m为() A．12 B．8 C．6 D．4 解析：由等差数列性质得， a3＋a6＋a10＋a13＝(a3＋a13)＋(a6＋a10) ＝2a8＋2a8＝4a8＝32， ∴a8＝8，又d≠0，∴m＝8. 答案：B 5．若等差数列{a n}和{b n}的公差均为d(d≠0)，则下列数列中不为等差数列的是 () A．{λa n}(λ为常数) B．{a n＋b n} C．{a2n－b2n} D．{a n·b n} 解析：等差数列{a n}和{b n}的公差均为d(d≠0)，对于A，由λa n＋1－λa n＝λ(a n＋1－a n)＝λd为常数，则该数列为等差数列； 对于B，由a n＋1＋b n＋1－a n－b n＝(a n＋1－a n)＋(b n＋1－b n)＝2d为常数，则该数列为等差数列； 对于C，由a2n＋1－b2n＋1－(a2n－b2n)＝(a n＋1－a n)(a n＋1＋a n)－(b n＋1－b n)(b n＋1＋b n) ＝d(2a1＋(2n－1)d)－d(2b1＋(2n－1)d)＝2d(a1－b1)为常数，则该数列为等差数列； 对于D，由a n＋1b n＋1－a n b n＝(a n＋d)(b n＋d)－a n b n＝d2＋d(a n＋b n)不为常数，则该数列不为等差数列． 答案：D 6．在等差数列{a n}中，若a5＝a，a10＝b，则a15＝________. 解析：法一：d＝a10－a5 10－5 ＝ b－a 5，

(完整版)等比数列经典例题范文

1.(2009安徽卷文）已知为等差数列，，则等 于 A. -1 B. 1 C. 3 D.7 【解析】∵即∴同理可得∴公差∴.选B 。 【答案】B 2.(2009年广东卷文)已知等比数列的公比为正数，且·=2，=1，则= A. B. C. D.2 【答案】B 【解析】设公比为,由已知得,即,又因为等比数列的公 比为正数，所以,故,选B 3.（2009江西卷文）公差不为零的等差数列的前项和为.若是的等比中项, , 则等于 A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 【答案】C 【解 析】由得得,再由 得 则,所以,.故选C 4.（2009湖南卷文）设是等差数列的前n 项和，已知，，则等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 【解析】故选C. 135105a a a ++=33105a =335a =433a =432d a a =-=-204(204)1a a d =+-?=}{n a 3a 9a 2 5a 2a 1a 2 1 222q ( )2 2 8 41112a q a q a q ?=2 2q =}{n a q = 212a a q = == {}n a n n S 4a 37a a 与832S =10S 2 437a a a =2111(3)(2)(6)a d a d a d +=++1230a d +=8156 8322 S a d =+ =1278a d +=12,3d a ==-10190 10602 S a d =+ =n S {}n a 23a =611a =7S 172677()7()7(311) 49.222 a a a a S +++= ===

《等差数列》第一课时教案

《等差数列》第一课时教案 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入“数学建模”的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。

3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为: ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法,对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对“数学建模”的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情分析对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 二、教法分析 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、学法指导在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。 四、教学程序 本节课的教学过程由（一）复习引入（二）新课探究（三）应用例解（四）反馈练习（五）归纳小结（六）布置作业，

高中数学教案——等比数列 第二课时

课题：3.4 等比数列（二） 教学目的： 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.深刻理解等比中项概念. 3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法教学重点：等比中项的理解与应用 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同

一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即： 1 -n n a a =q （q ≠0） 2.等比数列的通项公式: )0(111≠??=-q a q a a n n ， )0(≠??=-q a q a a m m n m n 3．｛n a ｝成等比数列?n n a a 1+=q （+∈N n ,q ≠0） “n a ≠0”是数列｛n a ｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、讲解新课： 1．等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±ab （a ,b 同号） 如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，则ab G ab G G b a G ±=?=?=2， 反之，若G 2=ab ,则G b a G =，即a ,G ,b 成等比数列∴a ,G ,b 成等比数列?G 2=ab （a ·b ≠0） 2．等比数列的性质：若m+n=p+k ，则k p n m a a a a = 在等比数列中，m+n=p+q ，k p n m a a a a ,,,有什么关系呢？ 由定义得：11n 11 --==n m m q a a q a a 11k 11 --?==k p p q a a q a a 221-+=?n m n m q a a a ，22 1-+=?k p k p q a a a 则k p n m a a a a = 3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 4．等比数列的增减性：当q>1, 1a >0或0

2021年高中数学 第二章 2.2等差数列(二)课时作业 新人教A版必修5

2021年高中数学 第二章 2.2等差数列（二）课时作业 新人教A 版必修5 课时目标 1．进一步熟练掌握等差数列的通项公式． 2．熟练运用等差数列的常用性质． 1．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数；点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点． 2．已知在公差为d 的等差数列{a n }中的第m 项a m 和第n 项a n (m ≠n )，则a m －a n m －n ＝d . 3．对于任意的正整数m 、n 、p 、q ，若m ＋n ＝p ＋q .则在等差数列{a n }中，a m ＋a n 与 a p ＋a q 之间的关系为a m ＋a n ＝a p ＋a q . 一、选择题 1．在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12 a 8的值为( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 答案 C 解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80， ∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12 (2a 7－a 8) ＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12 a 6＝8. 2．已知数列{a n }为等差数列且a 1＋a 7＋a 13＝4π，则tan(a 2＋a 12)的值为( ) A. 3 B ．± 3 C ．－33 D ．－ 3 答案 D 解析 由等差数列的性质得a 1＋a 7＋a 13＝3a 7＝4π， ∴a 7＝4π3 . ∴tan(a 2＋a 12)＝tan(2a 7)＝tan 8π3 ＝tan 2π3 ＝－ 3. 3．已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( ) A ．12 B ．8 C ．6 D ．4 答案 B 解析 由等差数列性质a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，

数列经典例题(裂项相消法)

数列经典例题(裂项相消法)

数列裂项相消求和的典型题型 1．已知等差数列}{n a 的前n 项和为, 15,5,55==S a S n 则数列}1 {1 +n n a a 的前100项和为( ) A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101 100 2．数列, )1(1 += n n a n 其前n 项之和为,109 则在平面直角坐标系中， 直线0)1(=+++n y x n 在y 轴上的截距为( ) A ．－10 B ．－9 C ．10 D ．9 3．等比数列}{n a 的各项均为正数，且6 22 321 9,132a a a a a ==+． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设, log log log 32313n n a a a b +++= 求数列}1{n b 的前n 项和． 4．正项数列}{n a 满足0 2)12(2 =---n a n a n n ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式n a ； (Ⅱ)令, )1(1 n n a n b += 求数列}{n b 的前n 项和n T ． 5．设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且1 2,4224 +==n n a a S S ． (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式； (Ⅱ)设数列}{n b 满足,,2 1 1*221 1N n a b a b a b n n n ∈-=+++ 求}{n b 的前n 项和n T ． 6．已知等差数列}{n a 满足：26 ,7753 =+=a a a ．}{n a 的前n 项和为n S ． (Ⅰ)求n a 及n S ；