2ε?<-A x )(,x E x ∈,y x E E D y x ?=∈),(.
累次极限与重极限是两个不同的概念,它们的存在性没有必然联系.若
),(lim
)
,(),(00y x f y x y x →和
)
,(lim lim 0
0y x f y y x x →→都存在,则)
,(lim lim ),(lim
000)
,(),(y x f y x f y y x x y x y x →→→=.
若
)
,(lim lim 0
0y x f y y x x →→和
),(lim lim 0
0y x f x x y y →→都存在但不相等,则重极限
),(lim
)
,(),(00y x f y x y x →必不存在.
4、函数列{})(x f n 在D 上一致收敛于)(x f
定义1 设函数列{})(x f n ，D x ∈，对0>?ε，
D x ∈?，?正整数N ，
当N n >时，有ε<-)()(x f x f n ,其中))((D x x f ∈是一个确定的函数.我们称函数列{})(x f n 一致收敛于)(x f .记作)(x f n (双箭头))(x f , (∞→n ) D x ∈.
定义的否定形式: 设函数列{})(x f n ，D x ∈， 0>?ε，D x ∈?，对
?正整数N ，N >?的n ，有ε≥-)()(x f x f n ,其中))((D x x f ∈是一
个确定的函数.我们称函数列{})(x f n 不一致收敛于)(x f .记作)(x f n
)(x f , (∞→n ) D x ∈.
例如，函数列n
n x x f =)(( ,,21=n )在),(10上收敛于0=)(x f ，但
不一致收敛于0=)(x f .取
n n x 1
111?
?
? ??
+-=',则对
ε=≥+-
=-+-
='-'211
1101
11n n x f x f n )()(
(对?正整数N ，当N n >时),便可证明n
n x x f =)(在),(10上不一致收敛
于0=)(x f .
再例如,函数列n
nx x f n sin )(=
( ,,21=n )在),(+∞-∞上不但收敛于
0=)(x f ，还一致收敛于0=)(x f .
§2.2极限运算法则和性质
一、知识结构 1、极限运算法则
(1)函数(有限个)和的极限等于极限的和(有限个),要求每个函数的极限均存在,且和函数中的函数个数为有限个.
①[])
(lim )(lim )()(lim
x g x f x g x f x x x x x x →→→±=
±,其中
)(lim ),(lim 0
x g x f x x x x →→均存在.
②[]n n n n n n n b a b a ∞
→∞
→∞
→±=±lim lim lim , 其中n n n n b a ∞
→∞→lim ,lim 均存在.
(2)函数商的极限等于极限的商，要求每个函数的极限存在,且分母的极限不为零.
①)
(lim )(lim )
()(lim
x g x f x g x f x x x x x x 0
→→→=
, 其中)(lim ),(lim x g x f x x x x 0
→→均存在,且
00
≠→)(lim x g x x .
②n
n n
n n
n n b a b a ∞
→∞
→∞
→=
lim lim lim
, 其中n n n n b a ∞
→∞
→lim ,lim 均存在, 且0lim ≠∞
→n n b .
(3)函数积的极限等于极限的积，要求每个函数的极限存在. ①
[])
(lim )(lim )()(lim
x g x f x g x f x x x x x x →→→?=
?, 其中其中
)(lim ),(lim 0
x g x f x x x x →→均存在.
②()n n n n n n n b a b a ∞
→∞
→∞
→?=?lim lim lim ,其中n n n n b a ∞
→∞→lim ,lim 均存在.
例如,计算
000lim 2lim 1lim 321
lim 2222222=+++=+++=??? ??++++∞→∞→∞→∞→ n n n n n n n n n n n n n 有误,虽然极限2
2
2
lim
,,2lim
,1lim
n
n n
n
n n n ∞
→∞
→∞
→ 均存在,但
2
2
2
lim
,,2lim
,1lim
n
n n
n
n n n ∞
→∞
→∞
→ 是无限个.
2、极限的性质
(1)惟一性 若)(lim 0
x f x x →存在，则此极限是惟一的.
(2)局部有界性 若)(lim 0
x f x x →存在，则)(x f 在0x 某空心邻域)(0x U o 内
有界.
(3)局部保号性 若0)(lim 0
>=→A x f x x , 则)(x f 在0x 某空心邻域
)(0x U o
内大于零.
(4)保不等式性 若)(lim ),(lim 0
x g x f x x x x →→均存在，且在0x 某空心邻域
);(0δx U o
内有)()(x g x f ≤()()(x g x f <), 则)(lim )(lim 0
x g x f x x x x →→≤.
(5)迫敛性 设A x g x f x x x x ==→→)(lim )(lim 0
, 且在0x 某空心邻域
);(0δx U o
内有)()()(x g x h x f ≤≤, 则A x h x x =→)(lim 0
.
数列极限也有相应性质, 在此不再赘述. 3、函数极限存在的条件
(1)归结原则(把函数的极限问题转化为数列极限问题解决,因求数列极限问题简单)
?=→A x f x x )(lim 0
对任何()∞→→n x x n 0，有A x f n x x n =→)(lim
.
(2)柯西收敛准则(主要用于证明函数极限不存在) ①数列{}n a 的柯西收敛准则
定理1数列{}n a （∞→n ）收敛的?对0>?ε，?正整数N ，且
)(εN N =是ε的反比例函数,当N m n >,时，有ε<-m n a a .
定理1的否定形式: 数列{}n a （∞→n ）不收敛的? 00>?ε，对?正整数N ,?N >的m n ,，有0ε≥-m n a a (用处大).
②函数)(x f 的柯西收敛准则
定理 2 函数)(x f （0x x →）收敛的?对0>?ε，?0>δ，当δ<-'0x x 且δ<-''0x x ( δ<''-'x x )时，有()()ε<''-'x f x f .
定理2的否定形式: 函数)(x f （0x x →）不收敛的?0>?ε，对
0>?δ，δ<''-'?x x 的x x ''',，有()()ε≥''-'x f x f .
定理3 函数)(x f （∞→x ）收敛的?对0>?ε，?0>X ，当X x >'且X x >''时，有()()ε<''-'x f x f .
定理3的否定形式: 函数)(x f （∞→x ）不收敛的?0>?ε，对
0>?X ，X >?的x x ''',，有()()ε≥''-'x f x f .
定理4 函数)(x f （-∞→x ）收敛的?对0>?ε，?0>X ，当
X x -<'且X x -<''时，有()()ε<''-'x f x f .
定理4 的否定形式: 函数)(x f （-∞→x ）不收敛的?0>?ε，对
0>?X ，X -
定理5 函数)(x f （+∞→x ）收敛的?对0>?ε，?0>X ，当
X x >'且X x >''时，有()()ε<''-'x f x f .
定理5的否定形式: 函数)(x f （+∞→x ）不收敛的?0>?ε，对
0>?X ，X >?的x x ''',，有()()ε≥''-'x f x f .
4、两个重要的极限 (1)10=→x
x x sin lim
, 注意极限10
=→x
x x sin lim
和极限0
1sin lim 0=??? ?
?
?→x x x 的联系与区别.
解 因为x x
x ≤?≤1sin
0, 而0lim 0
=→x x ,所以01sin
lim 0
=?→x
x x ,进而
01sin lim 0=??? ?
?
?→x x x . (2)e x x x =??? ??+∞→11lim ，e n n n =??? ??+∞→11lim ,注意极限e x x
x =??? ??
+∞→11lim 和
极限111lim 0=??? ?
?
+→x
x x 的联系与区别.
解 x
x x x x x x x x x x x
x e
e e x 1ln 0ln 0ln )1ln(00lim lim lim 11lim -
→-→-+→→===??? ?
?
+
1lim lim lim 0
1
1
1ln 0
2
====→→-→x
x x
x
x x
x x e
e
e
.
§2.3 极限概念定义的应用
用极限概念的定义我们可得到一些重要概念的定义，这种极限概念定义的应用如下：
一、知识结构
1、无穷大量和无穷小量 (1)无穷小量
定义1 若)(x f 在)(0x U o
内有定义，且00
=→)(lim x f x x ，则称)(x f 为
当0x x →时的无穷小量；若)(x f 在)(0x U o
+内有定义，且00
=+
→)(lim
x f x x ，
则称)(x f 为当+
→0x x 时的无穷小量；若)(x f 在)(0x U o
+内有定义，且
00
=+→)(lim x f x x ，则称)(x f 为当+
→0x x 时的无穷小量；…….
无穷小量阶的比较
定义2 当0x x →时)(x f ,)(x g 均为无穷小量,则 (1) 若0)
()(lim
=→x g x f x x ,则称当0x x →时)(x f 为)(x g 的高阶无穷小量.
也称当0x x →时)(x g 为)(x f 的低阶无穷小量.
(2) 若0)
()(lim 0
≠=→c x g x f x x ,则称当0x x →时)(x f ,)(x g 为的同阶无
穷小量.
(3) 若1)
()(lim 0
=→x g x f x x ,则称当0x x →时)(x f ,)(x g 为的等价无穷小
量.
等价无穷小量一定是同阶无穷小量,但同阶无穷小量不一定是等价无穷小量.
(2) 无穷大量
定义3 若)(x f 在)(0x U o
内有定义，且∞=→)(lim 0
x f x x ，则称)(x f 为
当0x x →时的无穷大量;若)(x f 在)(0x U o
+内有定义，且∞=+
→)(lim
x f x x ，
则称)(x f 为当+
→0x x 时的无穷大量; 若)(x f 在)(0x U o
+内有定义，且
∞=+
→)(lim
x f x x ，则称)(x f 为当+
→0x x 时的无穷大量; …….
定义4 当0x x →时)(x f ,)(x g 均为无穷大量,则 (1) 若0)
()(lim
=→x g x f x x ,则称当0x x →时)(x g 为)(x f 的高阶无穷大量.
也称当0x x →时)(x f 为)(x g 的低阶无穷大量.
(2) 若0)
()(lim 0
≠=→c x g x f x x ,则称当0x x →时)(x f ,)(x g 为的同阶无穷
大量.
(3) 若1)
()(lim 0
=→x g x f x x ,则称当0x x →时)(x f ,)(x g 为的等价无穷大
量.
2、曲线渐近线
(1)曲线)(x f 的斜(水平)渐近线为b kx y +=（当+∞→x ）
?
[]0
)()(lim
=+-+∞
→b kx x f x 或
0)(lim =??
????-+∞
→k x x f x 或
()b kx x f x =-+∞
→)(lim
.
曲线)(x f 的斜(水平)渐近线为b kx y +=（当-∞→x ）
?
[]0
)()(lim
=+--∞
→b kx x f x 或
0)(lim =??
????--∞
→k x x f x 或
()b kx x f x =--∞
→)(lim
.
曲线)(x f 的斜(水平)渐近线为b kx y +=（当∞→x ）
?[]0)()(lim =+-∞
→b kx x f x 或0)(lim
=??
?
???-∞→k x x f x 或()b kx x f x =-∞→)(lim . (2)曲线)(x f 的有垂直于x 轴渐近线0x x =?∞=→)(lim 0
x f x x 或
∞=+
→)(lim
x f x x 或∞=-
→)(lim
x f x x .
3、函数的连续与一致连续(见第三讲)
4、导数与微分(见第四讲)
5、定积分、二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分(见第五讲).
二、解证题方法 1、证明为主
(1)定义法 用极限定义证明的方法
例1 （清华大学2001年）设a a n n =∞
→lim ，b b n n =∞
→lim ，0≠b ，用N
-ε语言证明b
a b a n
n n =
∞
→lim
.
分析 把
b
a b a n
n -
化为含有a a n -,b b n -的式子.
()()
n
n n n
n n n
n
n n
n b b b
b a b a a bb b b a b a a bb ab b a b
a b a -+-<
---=
-=
-
()
εεε22)23,2(2
b a b b b b b b a
b n +=?
??
? ??∈?
+<
. 证明 因为a a n n =∞
→lim ，b b n n =∞
→lim ，b b n n =∞
→lim , 所以，对0>?ε，
?正整数N ，当N n >时，有ε<-a a n ,ε<-b b n .2
b b b n <
-,
因为 ()()
()
ε
εε2
22
b
a
b b b a b b b b
b a b a a bb b b a b a a bb ab b a b a b a n
n n n
n n n n
n n n +=
?
+<
-+-<
---=
-=
-，
并且
()
ε2
2b
a
b +可表示要多么小有多么小的正数，所以，对
()
022
>+?
εb
a
b ，?正整数N ，当N n >时，有
()
ε2
2b
a
b b
a b a n
n +<
-
,
故b
a b a n
n n =
∞
→lim
.
例2 （天津大学2005年）用δε-语言证明24
522
2
2
-=+--+→x x x x x lim
.
分析 把24
5222
++--+x x x x 化为含有2-x 的式子.
()()
()()
142134
569324522
2
2
2
----=
+-+-=
++--+x x x x x x x x x x x x
()()()ε<∈-<--=
--=)3,1(234
234
23x x x x x x
证明 对0>?ε，??
??
???=1,3
min εδ，当δ<-<20x 时，有
()()
()()
()()()ε
<∈-<--=
----=
+-+-=
++--+),(31234
23142134
569324522
2
2
2
x x x x x x x x x x x x x x x x ,
故24
522
22
-=+--+→x x x x x lim
.
例3(汕头大学2003年)用N -ε语言证明0lim n
n n a
→∞
=，其中1a >.并
给出推广结论.
分析 要由
0n
n
n n a
a
ε-=
<得到()n N ε>,则分母要出现2
n .因为
()()()2
12
11111n
n n n a a C a C a ??=+-=+-+-+??
…()1n
n
n C a +-, 且1a >, 所以要
()
()()
2
2
21
0111n
n
n
n n n
a
a
C
a n a ε-=
<=
<---,则
()
()
()
22
2
111
111a n a a εεε+->
+=
--
证明 因为
()()()2
1211111n
n n n a a C a C a ??=+-=+-+-+??…()1n
n
n C a +-,
且1a >, 所以()
()()
2
2
2
1
0111n
n
n
n n n
a
a
C
a n a -=
<=
---. 取
()()22
111a N a εε??+-??=-???
?
，当n N >时，有0n n
a ε-<. 所以0lim n n n a →∞=.
上述结论可推广为0lim
=∞
→n
p n a
n ,其中1>a ,0>p .
例4 （山东师范大学2005年）用定义证明
111=+++∞→y
y x y x lim
)
,(),(.
分析
11-++y
y x 中含有1-x , y 式子.
()ε<+∞∈-<--<
+-=
+-=
-++),2(11
1111111y x y x y
x y
x y
y x （y 为正
数）
证明 对0>?ε(2
1<
ε)，?0>=εδ,ε
1
=
Y ，当δ<-<10x ，
Y y >时，有ε<-<+-=+-=
-++1111111x y
x y
x y
y x .
例5(清华大学2003年)设),(y x f 在{}),(\002
y x R 上有定义,
A y x f y x y x =→),(lim
)
,(),(00,且存在0>ρ,使得当ρ<-<00y y 时,
)(),(lim y y x f x x ?=→0
,证明 A y x f x x y y =→→),(lim lim 0
0.
证明 因为
A y x f y x y x =→),(lim
)
,(),(00，所以，对0>?ε，?0>δ，当
δ<-<00x x ，δ<-<00y y 时，有ε<-A y x f ),(,其中A 是一个
常数.因δ是要多么小有多么小的正数，所以可让ρδ<.进而对0>?ε，
?0>δ，并且ρδ<,当δ<-<00x x ，ρδ<<-<00y y 时，有
{}.
)(,),(\,)(),(ε?ε?<-?∈<-A y y x R E y y y x f y 002
故
A y x f x x y y =→→),(lim lim 0
0.
例6 证明 ∞=+→x
x x 21lim 0
.
分
析
要
M
x
x
x
x >-≥
+=
+212121，只需要
δ=+<<2
10M x .
证明 对0>?M ，?0>δ，且2
1)(+=
=M M δδ.当
δ<-<00x 时，有M x
x
x
x >-≥+=+212121,进而
∞=+→x
x x 21lim
.
例7(重庆大学2010年) （1）叙述柯西收敛原理.
（2）设数列{}n x 满足：存在常数0M >，使得1
11n i i i x x M -+=-≤∑，
2,3,4,n = ，证明：数列{}n x 收敛.
高数中求极限的16种方法
高数中求极限的16种方法——好东西 首先对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内，函数的正负与极限一致 一、极限分为一般极限，还有数列极限，（区别在于数列极限发散，是一般极限的一种） 二、求极限的方法如下： 1 .等价无穷小的转化，（一般只能在乘除时候使用，在加减时候用必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2.罗比达法则（大题目有时候会有暗示,要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提，必须是 X趋近而不是N趋近！所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！必须是函数的导数要存在！必须是 0比0 无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0 注意：罗比达法则分为3种情况 0比0，无穷比无穷的时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方;对于（指数幂数）方程,方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了,（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0） 3.泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余弦的加减的时候要特别注意！！！！） E的x展开，sina 展开，cos 展开，ln1+x展开，对题目简化有很好帮助 4.面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则，最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 5.无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。 面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！ 6.夹逼定理（主要对付数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7.等比等差数列公式应用（对付数列极限，q绝对值符号要小于1） 8.各项的拆分相加（来消掉中间的大多数，对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9.求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn 的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10.两个重要极限的应用。第一个是X趋近0时候的sinx与x比值。第二个是趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用第2 个重要极限） 11.还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大,不同函数趋近于无穷的
数学实验二_极限与连续
实验二：极限与连续 第一题：数列极限 In[1]= f[n_]:=Sum[1/j^3,{j,1,n}]; xn=Table[N[f[n],10],{n,30}] Out[1]= {1.000000000,1.125000000,1.162037037,1.177662037,1.185662037,1.190291667,1. 193207119,1.195160244,1.196531986,1.197531986,1.198283300,1.198862004,1.199 317170,1.199681602,1.199977898,1.200222039,1.200425580,1.200597048,1.200742 842,1.200867842,1.200975822,1.201069736,1.201151926,1.201224264,1.201288264 ,1.201345159,1.201395965,1.201441518,1.201482521,1.201519558} In[2]=ListPlot[xn,PlotStyle→PointSize[0.02]] 第二题：递归数列 In[3]=Clear[f]; f[1]=1; f[n_]:=f[n]=N[(f[n-1]+3/f[n-1])/2,20]; fn=Table[f[n],{n,30}]
Out[3]= {1,2.00,1.00,1.29,1.05,1.53,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.3 5,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35,1.35} In[4]=ListPlot[fn,PlotStyle→PointSize[0.02]] Out[4]= Graphics 第三题：多次自复合 In[5]= Plot[{Sin[x],Nest[Sin,x,5],Nest[Sin,x,10],Nest[Sin,x,30]},{x,-2Pi,2Pi},PlotStyle→{R GBColor[0,0,1],RGBColor[1,1,0],RGBColor[1,0,0],RGBColor[0,1,0]}] Out[5]=
高等数学函数的极限与连续习题及答案
1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同． 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大． 错误 根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在． 错误 如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ． 错误 如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）． 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ． 正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小． 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ． 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ． 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点． 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．
高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版
高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ
实验二极限与连续数学实验课件习题答案
天水师范学院数学与统计学院 实验报告 实验项目名称极限与连续 所属课程名称数学实验 实验类型上机操作 实验日期 2013-3-22 班级 10数应2班 学号 291010836 姓名吴保石 成绩
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 1．数列极限的概念 通过计算与作图，加深对极限概念的理解． 例2.1 考虑极限3321 lim 51 x n n →∞++ Print[n ，" "，Ai ，" "，0.4－Ai]； For[i=1，i 15，i++，Aii=N[(2i^3+1)/(5i^3+1)，10]； Bii=0.4－Aii ；Print[i ，" "，Aii ，" "，Bii]] 输出为数表 输入 fn=Table[(2n^3+1)/(5n^3+1)，{n ，15}]； ListPlot[fn ，PlotStyle {PointSize[0.02]}] 观察所得散点图，表示数列的点逐渐接近直线y=0 .4 2．递归数列 例2.2 设n n x x x +==+2,211．从初值21=x 出发，可以将数列一项项地计算出来，这样定义的数列称为 数列，输入 f[1]=N[Sqrt[2]，20]； f[n_]:=N[Sqrt[2+f[n-1]]，20]； f[9] 则已经定义了该数列，输入 fn=Table[f[n]，{n ，20}] 得到这个数列的前20项的近似值．再输入 ListPlot[fn ，PlotStyle {PointSize[0.02]}] 得散点图，观察此图，表示数列的点越来越接近直线2y =
例2.3 考虑函数arctan y x =，输入 Plot[ArcTan[x]，{x ，-50，50}] 观察函数值的变化趋势．分别输入 Limit[ArcTan[x]，x Infinity ，Direction +1] Limit[ArcTan[x]，x Infinity ，Direction -1] 输出分别为2 π 和2π-，分别输入 Limit[sign[x]，x 0，Direction +1] Limit[Sign[x]，x 0，Direction －1] 输出分别为-1和1 4．两个重要极限 例2．4 考虑第一个重要极限x x x sin lim 0→ ，输入 Plot[Sin[x]/x ，{x ，－Pi ，Pi}] 观察函数值的变化趋势．输入 Limit[Sin[x]/x ，x 0] 输出为1，结论与图形一致． 例2．5 考虑第二个重要极限1 lim(1)x x x →∞+，输入 Limit[(1+1/n)^n ，n Infinity] 输出为e ．再输入 Plot[(1+1/n)^n ，{n ，1，100}] 观察函数的单调性 5．无穷大 例2．6 考虑无穷大，分别输人 Plot[(1+2x)/(1-x)，{x ，-3，4}] Plot[x^3-x ，{x ，-20，20}] 观察函数值的变化趋势．输入 Limit[(1+2x)/(1-x)，x 1] 输出为-∞ 例2．7 考虑单侧无穷大，分别输人 Plot[E^(1/x)，{x ，-20，20}，PlotRange {-1，4}] Limit[E^(1/x)，x 0，Direction +1] Limit[E^(1/x)，x 0，Direction -1] 输出为图2.8和左极限0，右极限∞．再输入 Limit[E^(1/x)，x 0] 观察函数值的变化趋势． 例2．8 输入 Plot[x+4*Sin[x]，{x ，0，20Pi}] 观察函数值的变化趋势． 输出为图2 .9．观察函数值的变化趋势，当x →∞时，这个函数是无穷大，但是，它并不是单调增加．于是，无并不要求函数单调 例2．9 输入
高等数学求极限的常用方法
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）
高等数学-求极限的各种方法
求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x
例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ， 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．． ；
高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成
极限与连续基础练习题含解答
第二章 极限与连续 基础练习题（作业） §2.1 数列的极限 一、观察并写出下列数列的极限： 1．468 2, ,,357 极限为1 2．1111 1,,,,,2345 --极限为0 3．21 2212?-??=?+???n n n n n n a n 为奇数为偶数极限为1 §2.2 函数的极限 一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限： 1．lim →-∞ x x e 极限为零 2．2 lim tan x x π → 无极限 3．lim arctan →-∞ x x 极限为2 π- 4．0 lim ln x x + → 无极限，趋于-∞ 二、设2 221, 1()3,121,2x x f x x x x x x +??=-+? ，问当1x →，2x →时，()f x 的极限是否存在？ 2 1 1 lim ()lim(3)3x x f x x x ++→→=-+=；11 lim ()lim(21)3x x f x x -- →→=+= 22 2 lim ()lim(1)3x x f x x ++ →→=-=；222 lim ()lim(3)53x x f x x x --→→=-+=≠ 2 lim ()x f x →∴不存在。 三、设()1 11x f x e = +，求 0x →时的左、右极限，并说明0x →时极限是否存在．
lim ()x f x →∴不存在。 四、试讨论下列函数在0x →时极限是否存在． 1．绝对值函数()||=f x x ，存在极限为零 2．取整函数()[]=f x x 不存在 3．符号函数()sgn =f x x 不存在 §2.3 无穷小量与无穷大量 一、判断对错并说明理由： 1．1 sin x x 是无穷小量． 错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不再是无穷小量。当 0x →时，1sin 0x x →；当1x →时，1 sin sin1x x →不是无穷小量。 2．同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量． 对，两个无穷小量的商是“0/0”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。 3．无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量． 对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能一致地大于任意给定的正数。 二、下列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量： 1． 22 1 x x +-， 2x →-时，或x →∞时，为无穷小量； 1x →时，或1x →-时，为无穷大量。 2．1ln tan x , k Z ∈ ()2x k ππ-→+时，tan x →+∞，则ln tan x →+∞，从而+1 0ln tan x →为无穷小量； x k π+→时，tan 0x +→，则ln tan x →-∞，从而1 0ln tan x -→为无穷小量； 4x k ππ→+时，tan 1x →，则ln tan 0x →，从而1 ln tan x →∞为无穷大量； 三、当0+ →x 时，2 x ，阶的无穷小量分别是谁？ 2 00lim lim 01x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x 22 300lim lim 0 1 x x x x ++→→==，所以当0+→x 时，2x 的高阶无穷小量。
高等数学基础极限与连续
第二章 极限与连续 一、教学要求 1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法. 2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算. 重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。 难点：极限、连续的概念。 二、课程内容导读 1. 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。 例1 求下列极限： （1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =21613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即
x x x 10)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。 （4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。 （5） 利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+? 2. 知道一些与极限有关的概念 (1) 知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； (2) 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； (3) 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点； 例2 填空、选择题 (1) 下列变量中，是无穷小量的为（ ） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(e 1 →-x x D. )2(422→--x x x 解 选项A 中：因为 +→0x 时， +∞→x 1，故 +∞→x 1ln ，x 1ln 不是无穷小量； 选项B 中：因为1→x 时，0ln →x ，故x ln 是无穷小量； 选项C 中：因为 +→0x 时，-∞→-x 1，故0e 1 →-x ；但是-→0x 时，x 1- +∞→，故+∞→-x 1 e ，因此x 1 e -当0→x 时不是无穷小量。 选项D 中：因为21422+=--x x x ，故当2→x 时，41422→--x x ，4 22--x x 不是无穷小量。 因此正确的选项是B 。 （2） 下列极限计算正确的是（ ）。 A.=→x x x 1sin lim 001sin lim lim 00=→→x x x x
高等数学求极限的16种方法
高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）
高数求极限方法总结
第一章极限计算方法总结 一、极限定义、运算法则和一些结果 1．定义： 数列极限、函数极限， 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：0)1(1 lim 2=+-∞→n n ；5)13(lim 2=-→x x ；1,0lim <=∞ →q q n n 当等。 定义证明按着总结的四个步骤来，缺一不可！（2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限 作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 2．极限运算法则 定理1 已知 )(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在， 且（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[（2）B A x g x f ?=?)()(lim （3）)0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。 3．两个重要极限 （1） 1sin lim 0=→x x x （2） e x x x =+→1 0)1(lim ； e x x x =+∞→)11(lim 说明：（1）不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式。 （2）一定注意两个重要极限成立的条件。 例如： 133sin lim 0=→x x x ，e x x x =--→210)21(lim ，e x x x =+∞→3)31(lim ；等等。 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。 定理3 当0→x 时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x ～x sin ～x tan ～x arcsin ～x arctan ～)1ln(x +～1-x e 。 说明：当上面每个函数中的自变量x 换成)(x g 时（0)(→x g ），仍有上面的等价 关系成立，例如：当0→x 时， 13-x e ～ x 3 ；)1ln(2x - ～ 2x -。 定理4 如果函数 )(),(),(),(11x g x f x g x f 都是0x x →时的无穷小，且)(x f ～)(1x f ， )(x g ～)(1x g ，则当)()(lim 110 x g x f x x →存在时，)() (lim 0x g x f x x →也存在且等于)()(lim 1 10x g x f x x →。 5．连续性 定理5 一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果0x 是函数)(x f 的定义去间内
高等数学习题详解-第2章-极限与连续
习题2-1 1. 观察下列数列的变化趋势，写出其极限： (1) 1 n n x n = + ; (2) 2(1)n n x =--； (3) 13(1)n n x n =+-； (4) 211n x n =-. 解：(1) 此数列为12341234,,,,,,23451 n n x x x x x n =====+L L 所以lim 1n n x →∞=。 (2) 12343,1,3,1,,2(1),n n x x x x x =====--L L 所以原数列极限不存在。 (3) 1234111131,3,3,3,,3(1),234n n x x x x x n =-=+=-=+=+-L L 所以lim 3n n x →∞ =。 (4) 123421111 11,1,1,1,,1,4916n x x x x x n =-= -=-=-=-L L 所以lim 1n n x →∞=- 2.下列说法是否正确： (1)收敛数列一定有界 ; (2)有界数列一定收敛； (3)无界数列一定发散； (4)极限大于0的数列的通项也一定大于0. 解：(1) 正确。 (2) 错误 例如数列{} (-1)n 有界，但它不收敛。 (3) 正确。 (4) 错误 例如数列21(1) n n x n ?? =+-??? ? 极限为1，极限大于零，但是11x =-小于零。 *3.用数列极限的精确定义证明下列极限： (1) 1 (1)lim 1n n n n -→∞+-=; (2) 22 2 lim 11 n n n n →∞-=++； (3) 3 2 3125lim -=-+∞→n n n 证：(1) 对于任给的正数ε，要使1(1)111n n n x n n ε-+--= -=<，只要1 n ε >即可，所以可取正整数1 N ε ≥ . 因此，0ε?>，1N ε?? ?=???? ，当n N >时，总有 1(1)1n n n ε-+--<，所以
高数数学极限总结
函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：?.左极限：或 ?.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x →
等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有； （2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时， （2） ，， 那么存在，且等于。 夹逼定理：（1）当时，有??成立 （2） ?,那么，极限存在，且等于A 【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f
高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结
L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！ 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。
为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换
